Школа ИМТП Электронная образовательная среда 10-11 классы
Математика в 10 классе: алгебра, геометрия, вероятность и статистика, формулы, графики, примеры решения задач и учебные материалы
Учебные материалы - 10 класс

Математика учебные материалы для 10 класса

Алгебра и начала математического анализа, геометрия, вероятность и статистика: теория, формулы, примеры решения задач, презентации, упражнения и дополнительные материалы для самостоятельного изучения.

Перейти к курсам Все предметы
Математика - 10 класс

Курсы учебного предмета

Выберите курс, чтобы перейти к его разделам, темам и учебным материалам.

170 академических часов

После выбора курса страница плавно перейдет к его разделам и последовательно размещенным урокам.

Математика - 10 класс

Алгебра и начала математического анализа

Выберите тему курса. После нажатия страница плавно перейдет к соответствующему разделу и последовательно размещенным урокам.

68 академических часов

Количество часов каждой темы определяет количество отдельных уроков: 14 часов - 14 уроков, 6 часов - 6 уроков, 18 часов - 18 уроков, 22 часа - 22 урока, 5 часов - 5 уроков. В названии третьей темы буква n обозначает натуральное число. После изучения курса можно пройти итоговый тренировочный тест.

Тема 1

Множества рациональных и действительных чисел. Рациональные уравнения и неравенства

Множества и операции над множествами, диаграммы Эйлера - Венна, рациональные и действительные числа, обыкновенные и десятичные дроби, проценты, приближённые вычисления, тождества и преобразования выражений, целые и дробно-рациональные уравнения и неравенства, метод интервалов.

14 учебных часов
01 Урок 1 Понятие множества. Элементы множества Открыть урок Свернуть урок

Урок 1. Понятие множества. Элементы множества

Это вводный урок для самостоятельного изучения. Он подойдёт как обучающимся 10 класса, так и взрослым, которые давно не занимались математикой. Все новые термины и математические знаки сначала объясняются словами, а затем используются в примерах.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете понимать смысл слова «множество», называть элементы множества, читать основные математические обозначения и записывать простые множества двумя способами.

01

Поймёте основные термины

Множество, элемент множества, конечное, бесконечное и пустое множество.

02

Научитесь читать обозначения

Знаки принадлежности и непринадлежности, фигурные скобки и обозначение пустого множества.

03

Научитесь записывать множества

Перечислением элементов и указанием свойства, которым обладают все элементы.

Рекомендуемый порядок: сначала прочитайте теорию, затем самостоятельно разберите примеры, выполните задания и только после этого откройте решения. Видео, презентацию и интерактив можно использовать для повторения.

Что такое множество

В повседневной жизни мы часто объединяем объекты в группы: книги на полке, ученики в классе, дни недели, города страны, чётные числа. В математике такую рассматриваемую как единое целое совокупность объектов называют множеством.

Понятие множества является одним из основных, или первоначальных, понятий математики. Это означает, что его обычно не определяют через более простые математические понятия. Для понимания можно использовать пояснение: множество - это совокупность определённых объектов, которые рассматриваются вместе.

Множество

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Элемент множества

Элемент множества - это отдельный объект, который входит в данное множество. Элементом может быть число, буква, слово, человек, геометрическая фигура или другой объект.

Примеры

  • множество дней недели состоит из семи элементов;
  • множество гласных букв русского алфавита состоит из букв а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я;
  • множество чётных натуральных чисел содержит числа 2, 4, 6, 8 и так далее;
  • множество учеников конкретного класса состоит из всех обучающихся этого класса.
Важно: слово «множество» не означает, что объектов обязательно должно быть много. Множество может содержать один элемент или вообще не содержать элементов.

Как обозначают множество и его элементы

Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, M. Элементы часто обозначают строчными латинскими буквами или записывают непосредственно числами, словами и другими объектами.

Запись Как читается Что означает Пример
A «Множество А» Заглавная латинская буква обозначает всё множество. A - множество чётных чисел от 1 до 10.
A = {2; 4; 6; 8} «А равно множеству чисел два, четыре, шесть, восемь» Элементы записываются внутри фигурных скобок. Множество A содержит четыре элемента.
4 ∈ A «Четыре принадлежит множеству А» Знак ∈ называется знаком принадлежности. Запись верна, если число 4 входит в множество A.
5 ∉ A «Пять не принадлежит множеству А» Знак ∉ означает, что объект не является элементом множества. Запись верна, если числа 5 в множестве A нет.
∅ «Пустое множество» Символ ∅ обозначает множество, в котором нет ни одного элемента. Множество месяцев, содержащих 32 дня, равно ∅.
|A| = 4 «Мощность множества А равна четырём» Для конечного множества запись |A| показывает количество его элементов. Если A = {2; 4; 6; 8}, то |A| = 4.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
4 ∈ A Знак ∈ читается «принадлежит».
5 ∉ A Знак ∉ читается «не принадлежит».
Фигурные скобки { } показывают, что внутри записаны элементы множества. Обычные круглые скобки для перечисления элементов множества не используют.

Наглядное представление множества

Множество можно представить как область, внутри которой находятся его элементы. На рисунке множество A содержит числа 2, 4, 6 и 8. Число 3 расположено снаружи, поэтому оно множеству A не принадлежит.

Множество A и его элементы Внутри овала множества A находятся числа 2, 4, 6 и 8. Число 3 находится вне множества. A 2 4 6 8 3

Как прочитать рисунок

Числа 2, 4, 6 и 8 находятся внутри области множества A. Поэтому можно записать: 2 ∈ A, 4 ∈ A, 6 ∈ A, 8 ∈ A.

Число 3 находится снаружи. Поэтому записывают: 3 ∉ A.

В множестве четыре элемента, следовательно: |A| = 4.

Способы задания множества

Задать множество - значит сообщить достаточно информации, чтобы можно было однозначно определить, входит конкретный объект в это множество или не входит.

01

Перечисление элементов

Подходит для небольших конечных множеств. Все элементы записывают внутри фигурных скобок.

A = {2; 4; 6; 8}
02

Указание свойства

Указывают общее условие, которому удовлетворяет каждый элемент множества.

A = {x | x - чётное число от 1 до 10}
03

Словесное описание

Множество можно описать словами, если описание однозначно определяет его элементы.

M - множество месяцев года
В записи {x | ...} вертикальная черта читается «таких, что». Например: «множество всех x таких, что x является чётным числом от 1 до 10».

Конечное, бесконечное и пустое множества

К

Конечное множество

Содержит определённое конечное количество элементов. Например, множество дней недели содержит семь элементов.

Б

Бесконечное множество

Содержит бесконечно много элементов. Например, множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4 и так далее.

∅

Пустое множество

Не содержит ни одного элемента. Пустое множество обозначают знаком ∅ или пустыми фигурными скобками { }.

Не путайте: пустое множество ∅ не равно множеству {0}. В множестве {0} есть один элемент - число ноль.

Подробно разобранные примеры

Сначала прочитайте условие и попробуйте выполнить каждый шаг самостоятельно. Затем сравните своё рассуждение с объяснением.

Пример 1. Принадлежность элементов

Дано множество A = {2; 4; 6; 8}. Определите, принадлежат ли множеству числа 4, 5 и 8. Найдите количество элементов.

1
Прочитаем запись множества

Внутри фигурных скобок перечислены четыре элемента: 2, 4, 6 и 8.

2
Проверим число 4

Число 4 присутствует в перечне элементов. Поэтому записываем: 4 ∈ A.

3
Проверим число 5

Числа 5 в перечне нет. Поэтому записываем: 5 ∉ A.

4
Проверим число 8

Число 8 присутствует в перечне. Поэтому: 8 ∈ A.

5
Посчитаем элементы

В множестве четыре различных элемента. Следовательно: |A| = 4.

Пример 2. Переход от свойства к перечислению

Запишите перечислением множество B всех натуральных чисел, которые меньше 6.

1
Уточним, какие числа называются натуральными

В школьном курсе натуральные числа используются для счёта: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

2
Отберём числа, меньшие 6

Условию удовлетворяют числа 1, 2, 3, 4 и 5. Число 6 не включаем, потому что требуется число меньше 6, а не меньше или равно 6.

3
Запишем ответ

B = {1; 2; 3; 4; 5}

Пример 3. Пустое множество

Пусть C - множество месяцев года, содержащих 32 дня. Запишите множество C.

1
Проверим условие

Ни один месяц года не содержит 32 дня.

2
Сделаем вывод

Множество не содержит элементов, поэтому оно является пустым.

3
Запишем ответ

C = ∅ или C = { } .

Пример 4. Повторяющиеся элементы

Сколько элементов содержит запись D = {1; 1; 2; 2; 3}?

1
Вспомним важное свойство

В множестве каждый элемент учитывается только один раз. Повторение одного и того же элемента не создаёт новый элемент.

2
Уберём повторы

Запись можно привести к виду: D = {1; 2; 3} .

3
Посчитаем различные элементы

Элементов три: |D| = 3 .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать повторяющиеся записи разными элементами

В множестве {2; 2; 2} только один элемент - число 2. Повторы не учитываются.

Ошибка 2. Считать порядок элементов важным

Множества {1; 2; 3} и {3; 2; 1} содержат одни и те же элементы, поэтому это одно и то же множество.

Ошибка 3. Путать пустое множество и число ноль

∅ не содержит элементов. Множество {0} содержит один элемент - число 0.

Ошибка 4. Неверно читать знак принадлежности

Запись 4 ∈ A читается «четыре принадлежит множеству A», а не «A принадлежит четырём».

Ошибка 5. Использовать круглые скобки

Элементы множества перечисляют в фигурных скобках: {1; 2; 3}, а не в круглых: (1; 2; 3).

Ошибка 6. Давать неточное описание множества

Свойство должно позволять однозначно решить, принадлежит объект множеству или нет. Формулировка «множество больших чисел» без уточнения неоднозначна.

Практические задания

Выполните задания письменно. Решение открывайте только после того, как сформулируете собственный ответ.

Задание 1. Принадлежность множеству

Дано множество A = {1; 3; 5; 7; 9}. Определите истинность записей:

  1. 3 ∈ A;
  2. 4 ∈ A;
  3. 8 ∉ A;
  4. 9 ∉ A.
Открыть решение
  1. 3 ∈ A - верно, потому что число 3 входит в перечень.
  2. 4 ∈ A - неверно, потому что числа 4 в множестве нет. Правильная запись: 4 ∉ A.
  3. 8 ∉ A - верно, потому что числа 8 в множестве нет.
  4. 9 ∉ A - неверно, потому что число 9 входит в множество. Правильная запись: 9 ∈ A.

Задание 2. Запись перечислением

Запишите множество B всех положительных однозначных чётных чисел.

Открыть подробное решение

Однозначные положительные числа - это числа от 1 до 9.

Чётными называются числа, которые делятся на 2 без остатка. Среди чисел от 1 до 9 это 2, 4, 6 и 8.

Ответ: B = {2; 4; 6; 8}.

Задание 3. Элементы множества букв

Запишите множество C различных гласных букв, встречающихся в слове «математика».

Открыть подробное решение

В слове «математика» встречаются гласные а, е, а, и, а.

В множестве каждый элемент записывается только один раз. Поэтому повторяющуюся букву а записываем один раз.

Ответ: C = {а; е; и}.

Задание 4. Определите вид множества

Укажите, является множество конечным, бесконечным или пустым:

  1. множество месяцев года;
  2. множество натуральных чисел;
  3. множество чётных чисел, которые одновременно больше 10 и меньше 8;
  4. множество букв русского алфавита.
Открыть решение
  1. Множество месяцев года - конечное, в нём 12 элементов.
  2. Множество натуральных чисел - бесконечное.
  3. Число не может одновременно быть больше 10 и меньше 8. Это пустое множество.
  4. Множество букв русского алфавита - конечное, в нём 33 элемента.

Задание 5. Исправьте ошибки

  1. A = (2; 4; 6; 8);
  2. множество {0} является пустым;
  3. в множестве {1; 1; 2; 2; 3} пять элементов;
  4. записи {1; 2; 3} и {3; 2; 1} задают разные множества.
Открыть исправленный вариант
  1. Нужно использовать фигурные скобки: A = {2; 4; 6; 8}.
  2. Множество {0} не является пустым: оно содержит один элемент - число 0.
  3. В множестве {1; 1; 2; 2; 3} три различных элемента: 1, 2 и 3.
  4. Порядок элементов не имеет значения, поэтому {1; 2; 3} и {3; 2; 1} - равные множества.

Небольшая самостоятельная работа

Выполните без таблицы обозначений. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Запишите множество первых пяти натуральных чисел.
  2. Запишите знаком принадлежности: «число 6 входит в множество A».
  3. Запишите знаком непринадлежности: «число 7 не входит в множество B».
  4. Сколько элементов в множестве {а; б; а; в; б}?
  5. Является ли множество дней недели конечным?
  6. Чем отличаются множества ∅ и {0}?
Открыть ответы и критерии
  1. {1; 2; 3; 4; 5}.
  2. 6 ∈ A.
  3. 7 ∉ B.
  4. Три элемента: а, б, в.
  5. Да. Оно содержит семь элементов.
  6. ∅ не содержит элементов, а {0} содержит один элемент - число 0.

6 баллов - материал усвоен уверенно. 4-5 баллов - повторите обозначения и типичные ошибки. 2-3 балла - ещё раз разберите примеры. 0-1 балл - вернитесь к началу теории и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube даёт доступное введение в понятие множества. Дополнительное видео YouTube более подробно разбирает множество, элементы и основные обозначения.

Основное видео Rutube. Ролик маркирован как материал для 6 класса, но содержит базовое объяснение, необходимое для начала курса 10 класса и повторения взрослыми обучающимися.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация помогает повторить понятие множества, способы задания, равенство и пустое множество. Для этого урока достаточно изучить начальные слайды до перехода к операциям над множествами.

На что обратить внимание

  • как отличаются множество и отдельный элемент;
  • почему элементы записываются в фигурных скобках;
  • два способа задания множества;
  • понятие пустого множества;
  • для этого урока изучите слайды 1-11, не переходя к операциям над множествами.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

В упражнении нужно распределить элементы по соответствующим множествам. Оно помогает проверить, понимаете ли вы, по какому признаку объект относится к определённому множеству.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала прочитайте название или признак множества;
  • для каждого элемента сформулируйте, почему он подходит;
  • не ориентируйтесь только на внешний вид объекта;
  • после ошибки объясните себе правильный признак;
  • выполните упражнение повторно без подсказок.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно и только после этого раскройте готовый ответ.

01 Что в математике называют множеством?

Ответ: множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое.

02 Что называют элементом множества?

Ответ: элемент множества - это отдельный объект, входящий в данное множество.

03 Как читается запись 5 ∈ A?

Ответ: «число пять принадлежит множеству A».

04 Какими двумя основными способами можно задать множество?

Ответ: перечислить все элементы или указать свойство, которым обладают все элементы множества.

05 Почему множества {1; 2; 3} и {3; 2; 1} равны?

Ответ: они содержат одни и те же элементы. Порядок перечисления элементов множества не имеет значения.

06 Чем пустое множество отличается от множества {0}?

Ответ: пустое множество не содержит ни одного элемента, а множество {0} содержит один элемент - число ноль.

07 Сколько элементов в множестве {а; а; б; б; в}?

Ответ: три элемента: а, б и в. Повторяющиеся элементы учитываются один раз.

Главное по уроку

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как единое целое.

Объекты, входящие в множество, называются его элементами.

Множества обычно обозначают заглавными латинскими буквами, а элементы записывают в фигурных скобках.

Знак ∈ читается «принадлежит», а знак ∉ - «не принадлежит».

Множество можно задать перечислением элементов или указанием общего свойства.

Порядок элементов и повторение одного элемента не изменяют множество.

Пустое множество не содержит элементов и обозначается знаком ∅.

Следующий урок - «Подмножества. Равенство множеств. Операции над множествами».

02 Урок 2 Подмножества. Равенство множеств. Операции над множествами Открыть урок Свернуть урок

Урок 2. Подмножества. Равенство множеств. Операции над множествами

На этом уроке вы научитесь сравнивать множества и выполнять действия с ними. Каждый новый знак сначала будет прочитан словами. Не старайтесь запоминать знаки отдельно от смысла: связывайте каждый знак с вопросом, который нужно задать элементу множества.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете определять подмножества и равные множества, находить объединение, пересечение, разность и дополнение множеств, а также читать соответствующие обозначения.

01

Подмножество

Определите, входят ли все элементы одного множества в другое множество.

02

Равные множества

Сравните множества по составу элементов, а не по порядку их записи.

03

Операции

Находите элементы объединения, пересечения, разности и дополнения.

Перед началом: вспомните, что знак x ∈ A относится к отдельному элементу, а знак подмножества относится сразу ко всему множеству.

Подмножество

Рассмотрим два множества: A = {1; 2; 3; 4} и B = {2; 4}.

Каждый элемент множества B входит в множество A: число 2 входит в A, и число 4 тоже входит в A. Поэтому множество B является подмножеством множества A.

Подмножество

Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

B ⊆ A Читается: «B является подмножеством A» или «B содержится в A». Знак ⊆ допускает случай, когда B и A равны.
B ⊂ A Читается: «B является собственным подмножеством A». Это означает, что все элементы B входят в A, но B не равно A.
В некоторых учебниках знак ⊂ используют для любого подмножества. В этом курсе для подмножества, которое может совпадать с исходным множеством, используется знак ⊆, а для собственного подмножества - знак ⊂.
Два важных факта: любое множество является подмножеством самого себя: A ⊆ A. Пустое множество является подмножеством любого множества: ∅ ⊆ A.

Равенство множеств

Равные множества

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Например: A = {1; 2; 3} и B = {3; 2; 1}. Эти множества равны, потому что содержат одни и те же элементы. Порядок элементов значения не имеет.

Равенство множеств можно проверить с помощью двух включений. Если A ⊆ B и одновременно B ⊆ A, то A = B.

Множества {1; 2; 3} и {1; 2; 3; 3} тоже равны. Повторная запись элемента не добавляет новый элемент.

Основные операции над множествами

Операция над множествами - это правило, по которому из одного или нескольких исходных множеств получают новое множество.

Операция Обозначение Как читается Какие элементы входят Ключевое слово
Объединение A ∪ B «Объединение множеств A и B» Все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B. «или»
Пересечение A ∩ B «Пересечение множеств A и B» Только элементы, которые одновременно принадлежат и A, и B. «и»
Разность A \ B «Разность множеств A и B» Элементы A, которые не принадлежат B. «в A, но не в B»
Дополнение U \ A «Дополнение множества A в универсальном множестве U» Элементы универсального множества U, которые не входят в A. «все остальные»
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Универсальное множество

Универсальное множество - это множество всех объектов, которые рассматриваются в данной задаче. Обычно его обозначают буквой U.

В записи A \ B знак в виде обратной косой черты читается как «разность». Порядок множеств важен: A \ B обычно не равно B \ A.

Диаграммы Эйлера - Венна

Диаграмма Эйлера - Венна - это наглядное изображение множеств в виде областей. Закрашенная часть показывает результат операции.

Подмножество B ⊆ A

A B

Вся область B расположена внутри области A. Поэтому каждый элемент B принадлежит A.

Пересечение A ∩ B

A B

Закрашена только общая часть. В неё входят элементы, которые принадлежат обоим множествам.

Объединение A ∪ B

A B

Закрашены обе области полностью. Элемент достаточно найти хотя бы в одном из множеств.

Разность A \ B

A B

Закрашена часть A без общей области с B. Берём элементы A и удаляем те, которые входят в B.

Алгоритм выполнения операций

1

Прочитайте знак операции

Определите, требуется объединение, пересечение, разность или дополнение.

2

Переведите знак в словесное условие

Объединение - «в A или в B»; пересечение - «в A и в B»; разность - «в A, но не в B».

3

Проверяйте каждый элемент

Последовательно просмотрите элементы исходных множеств и решите, удовлетворяет ли каждый элемент выбранному условию.

4

Уберите повторения

Один и тот же элемент в результате записывается только один раз.

5

Проверьте ответ

Для каждого записанного элемента объясните, почему он должен входить в результат.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Подмножество и равенство

Даны множества A = {1; 2; 3; 4}, B = {2; 4}, C = {4; 3; 2; 1}. Установите отношения между ними.

Шаг 1. В множестве B два элемента: 2 и 4. Оба входят в A. Значит, B ⊆ A.

Шаг 2. В A есть элементы 1 и 3, которых нет в B. Поэтому B не равно A и является собственным подмножеством: B ⊂ A.

Шаг 3. Множества A и C содержат одинаковые элементы. Порядок записи различается, но это не влияет на множество. Следовательно: A = C.

Пример 2. Объединение, пересечение и разность

Пусть A = {1; 2; 3; 4; 5}, B = {3; 4; 5; 6; 7}.

Объединение. Собираем все элементы A и B, не повторяя одинаковые: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Пересечение. Ищем элементы, которые встречаются в обоих множествах: A ∩ B = {3; 4; 5}.

Разность A \ B. Берём элементы A и удаляем общие элементы 3, 4 и 5: A \ B = {1; 2}.

Разность B \ A. Теперь начинаем с B и удаляем общие элементы: B \ A = {6; 7}.

Пример 3. Дополнение множества

Универсальное множество U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, A = {2; 4; 6; 8}. Найдите дополнение A.

Универсальное множество содержит все рассматриваемые элементы.

Из U удаляем элементы множества A: 2, 4, 6 и 8.

Остаются числа 1, 3, 5 и 7.

Ответ: U \ A = {1; 3; 5; 7}.

Пример 4. Практическая задача

В группе 12 человек изучают английский язык, 8 человек - немецкий, а 5 человек изучают оба языка. Что означают объединение и пересечение этих множеств?

Пусть A - множество изучающих английский язык, B - множество изучающих немецкий язык.

A ∩ B - это люди, изучающие одновременно английский и немецкий языки. По условию их 5.

A ∪ B - это все люди, изучающие хотя бы один из двух языков.

При подсчёте нельзя просто сложить 12 и 8, потому что пять человек будут учтены дважды. Поэтому: 12 + 8 - 5 = 15.

Ответ: хотя бы один язык изучают 15 человек.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать элемент и подмножество

Если 2 является элементом A, пишут 2 ∈ A. Если B является множеством и все его элементы входят в A, пишут B ⊆ A.

Ошибка 2. Использовать для пересечения слово «или»

Пересечение требует одновременного выполнения двух условий: элемент должен входить и в A, и в B.

Ошибка 3. Повторять элементы в объединении

В объединении каждый элемент записывается один раз, даже если он принадлежит обоим множествам.

Ошибка 4. Считать разность перестановочной

A \ B и B \ A - разные операции. В первом случае начинаем с A, во втором - с B.

Ошибка 5. Считать пустое пересечение ошибкой

Если у множеств нет общих элементов, их пересечение является пустым множеством: A ∩ B = ∅.

Ошибка 6. Искать дополнение без универсального множества

Дополнение зависит от того, какие объекты входят в универсальное множество U. Без U результат может быть неоднозначным.

Практические задания

Выполните задания письменно. Перед открытием решения объясните используемую операцию словами.

Задание 1. Подмножества

Дано A = {1; 2; 3; 4; 5}. Определите, какие множества являются подмножествами A:

  1. B = {2; 4};
  2. C = {1; 5; 6};
  3. D = ∅;
  4. E = {1; 2; 3; 4; 5}.
Открыть решение
  1. B ⊆ A, потому что числа 2 и 4 входят в A.
  2. C не является подмножеством A, потому что число 6 не входит в A.
  3. D = ∅ является подмножеством A. Пустое множество является подмножеством любого множества.
  4. E ⊆ A, причём E = A.

Задание 2. Операции с конечными множествами

Дано A = {1; 3; 5; 7; 9}, B = {2; 3; 5; 7}. Найдите:

  1. A ∪ B;
  2. A ∩ B;
  3. A \ B;
  4. B \ A.
Открыть подробное решение

Объединение содержит все элементы обоих множеств: A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9}.

Пересечение содержит общие элементы: A ∩ B = {3; 5; 7}.

Из A удаляем элементы 3, 5 и 7: A \ B = {1; 9}.

Из B удаляем элементы 3, 5 и 7: B \ A = {2}.

Задание 3. Равенство множеств

Какие из следующих множеств равны?

  1. A = {а; б; в};
  2. B = {в; а; б};
  3. C = {а; б; б; в};
  4. D = {а; б}.
Открыть решение

Множества A, B и C равны. Они содержат одни и те же различные элементы: а, б и в.

Множество D не равно им, потому что в нём нет элемента в.

Задание 4. Дополнение

Дано универсальное множество U = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} и множество A = {0; 2; 4; 6; 8}. Найдите U \ A.

Открыть решение

В A входят чётные цифры. Из универсального множества удаляем 0, 2, 4, 6 и 8.

Ответ: U \ A = {1; 3; 5; 7; 9}.

Задание 5. Задача о кружках

В классе 14 учеников посещают спортивный кружок, 11 учеников - музыкальный, а 6 учеников посещают оба кружка. Сколько учеников посещают хотя бы один из этих кружков?

Открыть подробное решение

При сложении 14 + 11 шесть учеников, посещающих оба кружка, учитываются два раза.

Чтобы каждый ученик был учтён один раз, вычитаем количество учеников в пересечении:

14 + 11 - 6 = 19.

Ответ: хотя бы один кружок посещают 19 учеников.

Самостоятельная работа

Выполните без таблицы. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Как читается запись B ⊆ A?
  2. Когда два множества равны?
  3. Найдите {1; 2; 3} ∪ {3; 4; 5}.
  4. Найдите {1; 2; 3} ∩ {3; 4; 5}.
  5. Найдите {1; 2; 3} \ {2; 3; 4}.
  6. Верно ли, что ∅ ⊆ {1; 2}?
  7. Верно ли, что {1; 2} = {2; 1; 1}?
  8. Чем A \ B отличается от B \ A?
Открыть ответы и критерии
  1. «B является подмножеством A».
  2. Когда они содержат одни и те же элементы.
  3. {1; 2; 3; 4; 5}.
  4. {3}.
  5. {1}.
  6. Да. Пустое множество является подмножеством любого множества.
  7. Да. Порядок и повторения не изменяют множество.
  8. В A \ B остаются элементы A, которых нет в B. В B \ A остаются элементы B, которых нет в A.

7-8 баллов - материал усвоен уверенно. 5-6 баллов - повторите таблицу операций. 3-4 балла - заново разберите примеры. 0-2 балла - вернитесь к определениям и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube содержит подробное объяснение объединения, пересечения и подмножеств с примерами применения. Дополнительный материал YouTube посвящён операциям над множествами и их основным свойствам в курсе 10 класса.

Основное видео Rutube для 8-11 классов. Обратите особое внимание на различие знаков принадлежности и включения, а также на примеры объединения и пересечения.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация содержит определения, примеры подмножеств, диаграммы Эйлера, объединение и пересечение множеств.

На что обратить внимание

  • определение подмножества;
  • расположение подмножества на диаграмме;
  • различие объединения и пересечения;
  • использование слов «или» и «и»;
  • запись результата без повторяющихся элементов.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение помогает проверить понимание терминов «множество», «подмножество» и основных операций над множествами.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала прочитайте знак операции;
  • различайте элемент и подмножество;
  • для пересечения ищите только общие элементы;
  • для объединения учитывайте элементы обоих множеств;
  • после ошибки вернитесь к соответствующему определению.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Как определить, является ли B подмножеством A?

Ответ: нужно проверить, что каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

02 Чем знак ∈ отличается от знака ⊆?

Ответ: знак ∈ связывает отдельный элемент и множество. Знак ⊆ связывает два множества и показывает, что первое является подмножеством второго.

03 Когда два множества равны?

Ответ: когда они содержат одни и те же элементы. Порядок записи элементов и повторения не учитываются.

04 Что входит в объединение A ∪ B?

Ответ: все элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств A или B.

05 Что входит в пересечение A ∩ B?

Ответ: элементы, которые одновременно принадлежат и A, и B.

06 Почему A \ B может не совпадать с B \ A?

Ответ: в A \ B выбирают элементы A, отсутствующие в B, а в B \ A - элементы B, отсутствующие в A. Исходные множества меняются местами.

07 Что называют дополнением множества A?

Ответ: множество всех элементов универсального множества U, которые не принадлежат A.

Главное по уроку

B является подмножеством A, если каждый элемент B входит в A.

Два множества равны, если они содержат одни и те же элементы.

Объединение A ∪ B содержит элементы, принадлежащие A или B.

Пересечение A ∩ B содержит элементы, принадлежащие одновременно A и B.

Разность A \ B содержит элементы A, которые не входят в B.

Дополнение U \ A содержит элементы универсального множества, не входящие в A.

Следующий урок - «Диаграммы Эйлера - Венна. Решение задач с помощью множеств».

03 Урок 3 Диаграммы Эйлера - Венна. Решение задач с помощью множеств Открыть урок Свернуть урок

Урок 3. Диаграммы Эйлера - Венна. Решение задач с помощью множеств

На уроке вы научитесь переводить текст задачи в наглядную схему, правильно заполнять области диаграммы и находить количество объектов в объединении, пересечении и вне заданных множеств. Все задачи разобраны пошагово и рассчитаны на самостоятельное изучение.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете изображать множества с помощью диаграмм, понимать значение каждой области и решать задачи о двух группах объектов.

01

Построение диаграммы

Научитесь изображать универсальное множество, отдельные множества и их пересечение.

02

Заполнение областей

Узнаете, почему заполнение задачи начинается с общей части множеств.

03

Решение задач

Научитесь находить «только первое», «только второе», «хотя бы одно» и «ни одно».

Перед началом вспомните: A ∩ B - общая часть множеств, а A ∪ B - все элементы, входящие хотя бы в одно из множеств.

Что такое диаграмма Эйлера - Венна

Диаграмма Эйлера - Венна

Диаграмма Эйлера - Венна - это графическая схема, на которой множества изображаются замкнутыми областями. Пересекающиеся области показывают общие элементы множеств.

Обычно универсальное множество изображают прямоугольником. Внутри него рисуют круги или овалы, соответствующие рассматриваемым множествам.

Если два множества имеют общие элементы, их области пересекаются. Если общих элементов нет, области не пересекаются.

Число, записанное в определённой области, показывает, сколько объектов относится именно к этой части диаграммы.

Важно: число в пересечении уже входит и в первое, и во второе множество. Его нельзя повторно прибавлять к каждой отдельной части.

Области диаграммы двух множеств

При двух пересекающихся множествах внутри универсального множества образуются четыре содержательно разные области.

Область Математическая запись Как понимается Формулировка в задаче Как найти
Только A A \ B Элементы A, которые не входят в B. «Только английский», «только футбол». Из общего количества A вычесть пересечение.
Только B B \ A Элементы B, которые не входят в A. «Только немецкий», «только хоккей». Из общего количества B вычесть пересечение.
Оба множества A ∩ B Элементы, одновременно входящие в A и B. «Оба языка», «обе секции». Обычно значение дано в условии или находится отдельно.
Хотя бы одно A ∪ B Только A, пересечение и только B вместе. «Хотя бы один язык», «не менее одного кружка». Сложить три внутренние области.
Ни одно U \ (A ∪ B) Элементы универсального множества вне обоих кругов. «Не посещают ни один кружок». Из общего количества вычесть объединение.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Формула количества элементов объединения

Мощность множества

Мощность конечного множества - это количество его элементов. Запись |A| читается «мощность множества A» или «количество элементов множества A».

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| Количество элементов объединения равно сумме количеств элементов двух множеств за вычетом количества общих элементов.

Почему пересечение вычитается

При сложении |A| + |B| каждый элемент пересечения учитывается дважды: один раз как элемент A и второй раз как элемент B.

Чтобы каждый объект был посчитан один раз, количество общих элементов нужно один раз вычесть.

Слово «хотя бы один» означает, что учитываются объекты из первого множества, из второго множества и из их пересечения.

Как читать диаграмму

Только множество A

A B

Здесь находятся элементы A, которые не принадлежат B.

Пересечение A и B

A B

Здесь находятся элементы, одновременно принадлежащие A и B.

Вне обоих множеств

U A B

Здесь находятся объекты, которые не принадлежат ни A, ни B.

Алгоритм решения задачи

Задачи с двумя множествами удобно решать в одном и том же порядке.

1

Определите универсальное множество

Установите, обо всех каких объектах говорится в задаче: учениках класса, участниках опроса, туристах или покупателях.

2

Назовите два множества

Например, A - изучающие английский язык, B - изучающие немецкий язык.

3

Начните с пересечения

Сначала запишите в общую часть количество объектов, относящихся одновременно к обоим множествам.

4

Найдите отдельные части

Из общего количества каждого множества вычтите пересечение.

5

Найдите объединение

Сложите количество элементов в трёх внутренних областях: только A, пересечение и только B.

6

Найдите область вне кругов

Из общего количества объектов вычтите количество объектов в объединении.

Подробно разобранные задачи

Задача 1. Изучение иностранных языков

В группе 28 человек. Английский язык изучают 17 человек, немецкий - 13 человек, а оба языка - 6 человек. Сколько человек изучают только английский, только немецкий, хотя бы один язык и ни одного из этих языков?

Шаг 1. Обозначим через A множество изучающих английский язык, через B - множество изучающих немецкий язык.

Шаг 2. В пересечении находится 6 человек: |A ∩ B| = 6.

Шаг 3. Только английский изучают: 17 - 6 = 11 человек.

Шаг 4. Только немецкий изучают: 13 - 6 = 7 человек.

Шаг 5. Хотя бы один язык изучают: 11 + 6 + 7 = 24 человека.

Это же можно получить по формуле: 17 + 13 - 6 = 24.

Шаг 6. Ни одного из двух языков не изучают: 28 - 24 = 4 человека.

Ответ: только английский - 11, только немецкий - 7, хотя бы один язык - 24, ни один - 4 человека.

Задача 2. Спортивные секции

Среди 32 обучающихся 20 занимаются бегом, 15 - плаванием, 9 занимаются и бегом, и плаванием. Сколько занимаются только бегом, только плаванием и ни одним из этих видов спорта?

Пересечение: 9 обучающихся занимаются обоими видами спорта.

Только бег: 20 - 9 = 11 обучающихся.

Только плавание: 15 - 9 = 6 обучающихся.

Хотя бы один вид спорта: 11 + 9 + 6 = 26 обучающихся.

Ни один из двух видов: 32 - 26 = 6 обучающихся.

Проверка: 11 + 9 + 6 + 6 = 32. Все обучающиеся учтены ровно один раз.

Задача 3. Когда известно количество «только»

В классе 25 человек. Только математику любят 8 человек, только физику - 6 человек, оба предмета - 7 человек. Сколько человек любят хотя бы один предмет и сколько не любят ни один из них?

В условии уже даны три непересекающиеся внутренние области диаграммы: только математика - 8, оба предмета - 7, только физика - 6.

Хотя бы один предмет любят: 8 + 7 + 6 = 21 человек.

Ни один из предметов не любят: 25 - 21 = 4 человека.

Ответ: хотя бы один предмет любят 21 человек, ни один - 4 человека.

Задача 4. Три множества - повышенный уровень

В опросе участвовали 40 человек. Чай выбирают 24 человека, кофе - 20, сок - 15. Чай и кофе выбирают 10, чай и сок - 8, кофе и сок - 7, а все три напитка - 5 человек. Сколько участников выбирают хотя бы один напиток?

При сложении 24 + 20 + 15 участники, входящие в пересечения двух множеств, учитываются повторно.

Поэтому вычитаем количества в трёх попарных пересечениях: 10, 8 и 7.

Но пять участников, выбирающих все три напитка, сначала были учтены три раза, а затем три раза вычтены. В результате они исчезли из подсчёта, поэтому их нужно один раз вернуть.

24 + 20 + 15 - 10 - 8 - 7 + 5 = 39

Ответ: хотя бы один из трёх напитков выбирают 39 участников. Один участник не выбрал ни один из указанных напитков.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Начинать заполнение с отдельных частей

Сначала нужно заполнить пересечение. Иначе объекты, относящиеся к обоим множествам, будут посчитаны дважды.

Ошибка 2. Считать общее количество значением «только»

Если английский изучают 17 человек, в это число входят и те, кто одновременно изучает немецкий.

Ошибка 3. Складывать мощности без вычитания пересечения

В выражении |A| + |B| общие элементы учтены дважды. Поэтому один раз вычитается |A ∩ B|.

Ошибка 4. Путать «оба» и «хотя бы один»

«Оба» означает пересечение. «Хотя бы один» означает объединение всех внутренних областей.

Ошибка 5. Забывать область вне кругов

Если дано общее количество объектов, часть из них может не относиться ни к одному из двух множеств.

Ошибка 6. Не выполнять проверку

Сумма всех непересекающихся областей диаграммы должна равняться общему количеству объектов.

Практические задания

Для каждого задания нарисуйте прямоугольник универсального множества и два пересекающихся круга. Подписывайте области по мере вычисления.

Задание 1. Театр и кино

Из 35 опрошенных 21 человек посещает театр, 18 - кино, а 9 посещают и театр, и кино. Найдите количество людей, которые:

  1. посещают только театр;
  2. посещают только кино;
  3. посещают хотя бы одно из двух мест;
  4. не посещают ни театр, ни кино.
Открыть подробное решение

Пересечение равно 9.

Только театр: 21 - 9 = 12.

Только кино: 18 - 9 = 9.

Хотя бы одно: 12 + 9 + 9 = 30.

Ни театр, ни кино: 35 - 30 = 5.

Ответ: 12; 9; 30; 5 человек.

Задание 2. Книги

В группе 30 человек. Детективы читают 16 человек, фантастику - 19 человек, а оба жанра - 8 человек. Сколько человек читают хотя бы один жанр? Сколько не читают ни один из этих жанров?

Открыть решение

Хотя бы один жанр: 16 + 19 - 8 = 27 человек.

Ни один жанр: 30 - 27 = 3 человека.

Ответ: хотя бы один жанр читают 27 человек, ни один - 3 человека.

Задание 3. Только одна из групп

В объединении двух множеств 40 элементов. В пересечении находится 12 элементов, а множество A содержит 25 элементов. Сколько элементов находится только в A?

Открыть решение

Множество A включает область «только A» и пересечение.

Поэтому из мощности A вычитаем мощность пересечения: 25 - 12 = 13.

Ответ: только в A находится 13 элементов.

Задание 4. Проверка возможных данных

Может ли множество A содержать 10 элементов, множество B - 8 элементов, а их пересечение - 12 элементов? Объясните ответ.

Открыть объяснение

Нет, такие данные невозможны.

Пересечение является частью каждого из двух множеств. Поэтому количество элементов в пересечении не может быть больше количества элементов ни в A, ни в B.

Здесь 12 больше 10 и больше 8, поэтому условие противоречиво.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. За каждый полностью правильный ответ начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. С какой области начинают заполнение диаграммы двух пересекающихся множеств?
  2. Что означает выражение «хотя бы один из двух»?
  3. Запишите формулу для |A ∪ B|.
  4. В A находится 18 элементов, в пересечении - 7. Сколько элементов находится только в A?
  5. В B находится 15 элементов, в пересечении - 7. Сколько элементов находится только в B?
  6. Общее количество объектов равно 30, а в объединении - 26. Сколько объектов находится вне обоих множеств?
  7. Почему нельзя просто сложить |A| и |B|?
  8. Может ли пересечение содержать больше элементов, чем одно из исходных множеств?
Открыть ответы и критерии
  1. С пересечения множеств.
  2. Объект входит в первое множество, во второе множество или одновременно в оба.
  3. |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.
  4. 18 - 7 = 11.
  5. 15 - 7 = 8.
  6. 30 - 26 = 4.
  7. Общие элементы будут учтены дважды.
  8. Нет. Пересечение является частью каждого исходного множества.

7-8 баллов - материал усвоен уверенно. 5-6 баллов - повторите алгоритм решения. 3-4 балла - заново разберите подробные задачи. 0-2 балла - вернитесь к теории и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube объясняет устройство диаграммы Эйлера - Венна и показывает вложенность числовых множеств. Дополнительное видео YouTube посвящено практическому решению задач с множествами.

Основное видео Rutube. Для данного урока особенно важен фрагмент с начала ролика, где объясняется принцип построения диаграммы Эйлера - Венна.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация содержит определения операций над множествами и несколько задач с поэтапным заполнением диаграмм Эйлера - Венна.

На что обратить внимание

  • какие области соответствуют объединению и пересечению;
  • почему сначала заполняется общая часть кругов;
  • как находятся области «только первое» и «только второе»;
  • как вычисляется количество объектов вне обоих множеств;
  • как проверяется сумма всех областей диаграммы.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивное упражнение помогает сопоставлять отношения между множествами с их изображением в виде кругов Эйлера.

На что обратить внимание при выполнении

  • определяйте, пересекаются ли множества;
  • проверяйте, является ли одно множество частью другого;
  • различайте пересечение и полное совпадение множеств;
  • проговаривайте смысл каждой области словами;
  • после ошибки повторно нарисуйте схему на бумаге.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Для чего используется диаграмма Эйлера - Венна?

Ответ: для наглядного изображения множеств, их пересечений, объединений и других отношений.

02 Почему заполнение диаграммы начинают с пересечения?

Ответ: объекты из пересечения входят в общее количество каждого множества. Их нужно сначала выделить, чтобы затем правильно найти отдельные части.

03 Что означает выражение «только A»?

Ответ: элементы принадлежат A, но не принадлежат B. Это область A \ B.

04 Как найти количество объектов, входящих хотя бы в одно из двух множеств?

Ответ: сложить мощности двух множеств и вычесть мощность их пересечения.

05 Как найти количество объектов вне обоих множеств?

Ответ: из общего количества объектов универсального множества вычесть количество объектов в объединении A ∪ B.

06 Как проверить решение задачи по диаграмме?

Ответ: сложить количества во всех непересекающихся областях. Результат должен совпасть с общим количеством объектов.

07 Может ли пересечение быть больше одного из исходных множеств?

Ответ: нет. Пересечение является частью каждого исходного множества, поэтому не может содержать больше элементов, чем любое из них.

Главное по уроку

Диаграмма Эйлера - Венна показывает множества в виде замкнутых областей.

Общая часть кругов соответствует пересечению множеств.

Задачу с двумя множествами начинают заполнять с пересечения.

Количество объектов только в A находится вычитанием пересечения из общего количества объектов A.

Количество объектов в объединении вычисляется по формуле: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

Количество объектов вне обоих множеств находится вычитанием мощности объединения из общего количества объектов.

Правильность решения проверяется сложением всех непересекающихся областей диаграммы.

Следующий урок - «Множество рациональных чисел. Обыкновенные и десятичные дроби».

04 Урок 4 Множество рациональных чисел. Обыкновенные и десятичные дроби Открыть урок Свернуть урок

Урок 4. Множество рациональных чисел. Обыкновенные и десятичные дроби

На уроке вы повторите, какие числа называются рациональными, как одно и то же число записывается обыкновенной, конечной десятичной или бесконечной периодической дробью. Все новые обозначения объясняются словами, а преобразования разобраны по шагам.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете распознавать рациональные числа, объяснять устройство обыкновенной дроби и переводить числа из одной формы записи в другую.

01

Рациональное число

Научитесь определять, можно ли представить число в виде отношения двух целых чисел.

02

Формы записи

Повторите обыкновенные, конечные десятичные и бесконечные периодические дроби.

03

Преобразования

Научитесь переводить обыкновенную дробь в десятичную и десятичную дробь в обыкновенную.

Рекомендуемый порядок: прочитайте определения, разберите таблицу форм записи, выполните преобразования вместе с примерами и только затем переходите к самостоятельным заданиям.

Что называют рациональным числом

Рациональное число

Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, а n - натуральное число, не равное нулю.

x = m n , n ≠ 0 Буква m обозначает числитель, буква n - знаменатель. Знак ≠ читается «не равно».

Слово «рациональное» связано с понятием отношения. Дробь m n показывает отношение целого числа m к ненулевому целому числу n.

Множество всех рациональных чисел обозначают символом ℚ. Этот символ читается «кью» и происходит от английского слова quotient - частное.

Запись 5 ∈ ℚ читается: «число пять принадлежит множеству рациональных чисел».

Знаменатель не может быть равен нулю. Деление на ноль не определено, поэтому запись 3 0 не задаёт рациональное число.

Какие числа входят в множество рациональных чисел

Вид числа Пример Представление дробью Почему число рациональное Дополнительное пояснение
Натуральное число 7 7/1 Представляется отношением двух целых чисел. Любое натуральное число рационально.
Целое отрицательное число -4 -4/1 Числитель может быть отрицательным. Все целые числа входят в ℚ.
Ноль 0 0/1 Ноль делится на любое ненулевое число с результатом 0. Ноль является рациональным числом.
Обыкновенная дробь 3/5 3/5 Уже записана как отношение целых чисел. Знаменатель равен 5 и не равен нулю.
Конечная десятичная дробь 0,75 75/100 = 3/4 Десятичную дробь можно записать со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. После сокращения получается обыкновенная дробь.
Бесконечная периодическая дробь 0,(3) 1/3 Повторяющуюся десятичную дробь можно преобразовать в обыкновенную. В скобках записывают повторяющуюся часть - период.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Все натуральные и целые числа являются рациональными, потому что любое целое число a можно записать в виде дроби a/1.

Вложенность числовых множеств

Натуральные числа входят в множество целых чисел, а целые числа входят в множество рациональных чисел.

Вложенность натуральных, целых и рациональных чисел Множество натуральных чисел находится внутри множества целых чисел, которое находится внутри множества рациональных чисел. ℚ - рациональные числа ℤ - целые числа ℕ натуральные -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 1/2; -4/5; 0,75

Как прочитать схему

Символ ℕ читается «эн» и обозначает множество натуральных чисел.

Символ ℤ читается «зет» и обозначает множество целых чисел.

Символ ℚ читается «кью» и обозначает множество рациональных чисел.

Схема выражается записью: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Она читается: «натуральные числа являются подмножеством целых, а целые - подмножеством рациональных».

Обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь - запись числа в виде отношения числителя к ненулевому знаменателю.

3 4 Число 3 называется числителем, число 4 - знаменателем. Дробь читается «три четвёртых».

Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое. Числитель показывает, сколько таких частей взято.

Дробная черта означает деление. Поэтому 3/4 = 3 : 4.

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Это основное свойство дроби.

1/2 = 2/4 = 5/10 = 50/100 Все записи обозначают одно и то же число.
Дроби 2/4 и 1/2 имеют разные числители и знаменатели, но равны по значению.

Десятичные дроби

Конечная десятичная дробь

Конечная десятичная дробь - десятичная запись, в которой после запятой находится конечное количество цифр.

0,75 = 75/100 = 3/4 В числе 0,75 две цифры после запятой, поэтому первоначальный знаменатель равен 100.
Бесконечная периодическая десятичная дробь

Бесконечная периодическая десятичная дробь - десятичная дробь, в которой одна цифра или группа цифр бесконечно повторяется.

0,(3) = 0,333333... Цифра 3 повторяется бесконечно и называется периодом дроби.
0,1(6) = 0,166666... Цифра 1 не входит в период, а цифра 6 повторяется бесконечно.
Многоточие в записи 0,333... показывает, что десятичная запись продолжается бесконечно.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.

1

Сократите дробь

До начала деления проверьте, можно ли разделить числитель и знаменатель на общий делитель.

2

Разделите числитель на знаменатель

Дробная черта означает действие деления.

3

Определите тип записи

Деление может закончиться конечной десятичной дробью или привести к повторяющейся последовательности цифр.

4

Запишите период

Если цифры начали повторяться, повторяющуюся часть заключите в круглые скобки.

После сокращения обыкновенная дробь превращается в конечную десятичную дробь, если в разложении её знаменателя на простые множители остаются только числа 2 и 5.
8 = 2 · 2 · 2 В знаменателе только множитель 2, поэтому дробь со знаменателем 8 имеет конечную десятичную запись.
20 = 2 · 2 · 5 В знаменателе только множители 2 и 5, поэтому десятичная запись конечна.
6 = 2 · 3 В знаменателе есть множитель 3, поэтому десятичная запись будет бесконечной периодической.

Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную

1

Уберите запятую

Получившееся целое число запишите в числитель.

2

Определите знаменатель

Если после запятой одна цифра, знаменатель равен 10; две цифры - 100; три цифры - 1000.

3

Сократите дробь

Разделите числитель и знаменатель на их общий делитель.

0,24 = 24/100 = 6/25 После запятой две цифры, поэтому знаменатель равен 100. Числитель и знаменатель делим на 4.

Подробно разобранные примеры

Попробуйте выполнить каждый шаг самостоятельно и только затем сравните своё рассуждение с объяснением.

Пример 1. Определение рациональных чисел

Определите, являются ли рациональными числа 6, -3, 0, 2/7 и 0,125.

Число 6 можно записать как 6/1. Следовательно, 6 - рациональное число.

Число -3 можно записать как -3/1. Следовательно, -3 - рациональное число.

Число 0 можно записать как 0/1. Следовательно, 0 - рациональное число.

Число 2/7 уже записано как отношение двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Оно рационально.

Число 0,125 можно записать как 125/1000 = 1/8. Оно рационально.

Ответ: все перечисленные числа являются рациональными.

Пример 2. Конечная десятичная дробь

Переведите дробь 3/8 в десятичную.

Дробная черта означает деление: 3/8 = 3 : 8.

Выполняем деление: 3 : 8 = 0,375.

Деление закончилось. Получена конечная десятичная дробь.

Ответ: 3/8 = 0,375.

Пример 3. Бесконечная периодическая дробь

Переведите дробь 2/3 в десятичную.

Выполняем деление 2 : 3.

Получаем: 2 : 3 = 0,666666...

Цифра 6 повторяется бесконечно, поэтому она является периодом.

Краткая запись: 2/3 = 0,(6).

Ответ: 0,(6).

Пример 4. Перевод десятичной дроби

Переведите число 1,35 в обыкновенную дробь.

После запятой две цифры, поэтому знаменатель равен 100.

Убираем запятую и записываем: 1,35 = 135/100.

Числитель и знаменатель делятся на 5: 135 : 5 = 27, 100 : 5 = 20.

Получаем: 1,35 = 27/20.

Можно выделить целую часть: 27/20 = 1 7/20.

Пример 5. Перевод чистой периодической дроби

Представьте число 0,(4) в виде обыкновенной дроби.

Обозначим число буквой x: x = 0,444444....

В периоде одна цифра. Умножаем равенство на 10: 10x = 4,444444....

Вычитаем первое равенство из второго: 10x - x = 4,444... - 0,444....

Получаем: 9x = 4.

Делим обе части на 9: x = 4/9.

Ответ: 0,(4) = 4/9.

Пример 6. Смешанная периодическая дробь

Представьте число 0,1(6) в виде обыкновенной дроби.

Запишем: x = 0,166666....

Сначала переносим непериодическую цифру 1 в целую часть. Для этого умножаем на 10: 10x = 1,666666....

Затем переносим одну цифру периода. Ещё раз умножаем на 10: 100x = 16,666666....

Вычитаем: 100x - 10x = 16,666... - 1,666....

Получаем: 90x = 15.

Следовательно: x = 15/90 = 1/6.

Ответ: 0,1(6) = 1/6.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать рациональными только дробные числа

Натуральные числа, отрицательные целые числа и ноль тоже рациональны, потому что их можно записать со знаменателем 1.

Ошибка 2. Допускать нулевой знаменатель

Знаменатель рациональной дроби должен быть ненулевым. Делить на ноль нельзя.

Ошибка 3. Не сокращать дробь перед анализом

Тип десятичной записи определяют по знаменателю сокращённой дроби. Например, 3/6 сначала сокращается до 1/2.

Ошибка 4. Неверно определять период

В числе 0,1(6) повторяется только цифра 6. Цифра 1 находится перед периодом и в скобки не входит.

Ошибка 5. Неверно выбирать знаменатель десятичной дроби

В числе 0,35 две цифры после запятой, поэтому первоначальный знаменатель равен 100, а не 10.

Ошибка 6. Округлять периодическую дробь без указания

Запись 1/3 = 0,33 неверна как точное равенство. Правильно: 1/3 = 0,(3) или 1/3 ≈ 0,33.

Ошибка 7. Путать знаки «равно» и «приблизительно равно»

Знак = используется для точного равенства. Знак ≈ читается «приблизительно равно» и применяется при округлении.

Ошибка 8. Не учитывать отрицательный знак

При преобразовании отрицательного числа знак минус сохраняется: -0,25 = -25/100 = -1/4.

Практические задания

Выполните задания письменно. Сначала запишите собственное решение, затем откройте подробный ответ.

Задание 1. Рациональные числа

Объясните, почему каждое число является рациональным:

  1. 12;
  2. -7;
  3. 0;
  4. 4/9;
  5. 0,32.
Открыть решение
  1. 12 = 12/1.
  2. -7 = -7/1.
  3. 0 = 0/1.
  4. 4/9 уже является отношением двух целых чисел.
  5. 0,32 = 32/100 = 8/25.

Задание 2. Перевод в десятичную дробь

Переведите в десятичную форму:

  1. 1/2;
  2. 3/4;
  3. 7/20;
  4. 1/3;
  5. 5/6.
Открыть подробное решение
  1. 1 : 2 = 0,5.
  2. 3 : 4 = 0,75.
  3. 7 : 20 = 0,35.
  4. 1 : 3 = 0,333... = 0,(3).
  5. 5 : 6 = 0,8333... = 0,8(3).

Задание 3. Перевод в обыкновенную дробь

Переведите в обыкновенную дробь и сократите:

  1. 0,6;
  2. 0,45;
  3. 1,25;
  4. -0,08.
Открыть решение
  1. 0,6 = 6/10 = 3/5.
  2. 0,45 = 45/100 = 9/20.
  3. 1,25 = 125/100 = 5/4.
  4. -0,08 = -8/100 = -2/25.

Задание 4. Конечная или периодическая дробь

Не выполняя полного деления, определите, какой будет десятичная запись сокращённой дроби:

  1. 3/8;
  2. 7/25;
  3. 5/12;
  4. 11/30;
  5. 9/40.
Открыть объяснение
  1. 8 = 2³. Только множитель 2 - дробь конечная.
  2. 25 = 5². Только множитель 5 - дробь конечная.
  3. 12 = 2² · 3. Есть множитель 3 - дробь периодическая.
  4. 30 = 2 · 3 · 5. Есть множитель 3 - дробь периодическая.
  5. 40 = 2³ · 5. Только множители 2 и 5 - дробь конечная.

Задание 5. Запись периода

Запишите кратко:

  1. 0,777777...;
  2. 0,121212...;
  3. 2,3454545...;
  4. -1,083333....
Открыть решение
  1. 0,(7).
  2. 0,(12).
  3. 2,3(45).
  4. -1,08(3).

Задание 6. Исправьте ошибки

  1. 1/3 = 0,33;
  2. 0,25 = 25/10;
  3. число 5 не является рациональным, потому что оно не записано дробью;
  4. 0,1666... = 0,(16);
  5. 4/0 является рациональным числом.
Открыть исправленный вариант
  1. Точно: 1/3 = 0,(3). Приближённо: 1/3 ≈ 0,33.
  2. 0,25 = 25/100 = 1/4.
  3. Число 5 рационально, потому что 5 = 5/1.
  4. 0,1666... = 0,1(6).
  5. 4/0 не определено, потому что знаменатель равен нулю.

Самостоятельная работа

Выполните без таблицы и примеров. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Дайте определение рационального числа.
  2. Как обозначается множество рациональных чисел?
  3. Почему число -8 является рациональным?
  4. Переведите 3/5 в десятичную дробь.
  5. Переведите 0,72 в обыкновенную дробь.
  6. Запишите кратко число 0,454545....
  7. Будет ли дробь 7/40 конечной десятичной?
  8. Будет ли дробь 4/15 периодической?
  9. Чем 0,3 отличается от 0,(3)?
  10. Почему знаменатель дроби не может быть равен нулю?
Открыть ответы и критерии
  1. Рациональное число можно представить в виде m/n, где m - целое число, а n - ненулевое целое число.
  2. Символом ℚ.
  3. -8 = -8/1.
  4. 3/5 = 0,6.
  5. 0,72 = 72/100 = 18/25.
  6. 0,(45).
  7. Да. 40 = 2³ · 5.
  8. Да. В знаменателе 15 = 3 · 5 есть множитель 3.
  9. 0,3 - конечная дробь, равная 3/10. 0,(3) - бесконечная периодическая дробь, равная 1/3.
  10. Потому что деление на ноль не определено.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите способы преобразования дробей. 4-6 баллов - заново разберите подробные примеры. 0-3 балла - вернитесь к определениям и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube подробно рассматривает конечные и бесконечные десятичные дроби, период и перевод периодической дроби в обыкновенную. Дополнительное видео YouTube относится к курсу алгебры 10 класса и объясняет множество рациональных чисел и формы их записи.

Основное видео Rutube: обыкновенные и десятичные дроби, конечная и бесконечная запись, период дроби и преобразование периодической записи.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация раскрывает множество рациональных чисел и показывает переход между обыкновенными, конечными десятичными и периодическими дробями.

На что обратить внимание

  • определение рационального числа;
  • вложенность натуральных, целых и рациональных чисел;
  • перевод обыкновенной дроби в десятичную;
  • различие конечной и периодической записи;
  • перевод периодической дроби в обыкновенную.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

В упражнении необходимо установить соответствие между обыкновенными и равными им десятичными дробями.

На что обратить внимание при выполнении

  • рассматривайте дробную черту как деление;
  • при необходимости сокращайте обыкновенную дробь;
  • проверяйте количество знаков после запятой;
  • сопоставляйте числа по значению, а не по внешнему виду;
  • после ошибки выполните обратное преобразование.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Какое число называется рациональным?

Ответ: число, которое можно представить в виде отношения m/n, где m - целое число, а n не равно нулю.

02 Почему любое целое число является рациональным?

Ответ: любое целое число a можно представить в виде дроби a/1.

03 Что означает символ ℚ?

Ответ: символ ℚ обозначает множество всех рациональных чисел.

04 Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?

Ответ: нужно числитель разделить на знаменатель.

05 Что называется периодом десятичной дроби?

Ответ: повторяющаяся цифра или группа цифр в бесконечной периодической десятичной дроби.

06 Когда сокращённая обыкновенная дробь имеет конечную десятичную запись?

Ответ: когда в разложении её знаменателя на простые множители присутствуют только множители 2 и 5.

07 Как перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную?

Ответ: убрать запятую и записать полученное число в числитель, в знаменатель записать 10, 100, 1000 и так далее по количеству цифр после запятой, затем сократить дробь.

Главное по уроку

Рациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел с ненулевым знаменателем.

Множество рациональных чисел обозначают символом ℚ.

Все натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби являются рациональными.

Дробная черта означает деление числителя на знаменатель.

Для перевода обыкновенной дроби в десятичную числитель делят на знаменатель.

Конечная десятичная дробь переводится в обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее.

В бесконечной периодической дроби повторяющуюся часть записывают в круглых скобках.

Следующий урок - «Арифметические действия с рациональными числами».

05 Урок 5 Арифметические действия с рациональными числами Открыть урок Свернуть урок

Урок 5. Арифметические действия с рациональными числами

На уроке вы повторите правила сложения, вычитания, умножения и деления положительных и отрицательных рациональных чисел. Отдельно разберём действия с обыкновенными и десятичными дробями, порядок вычислений и способы проверки результата.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете выполнять все основные действия с рациональными числами, правильно определять знак результата и преобразовывать смешанные числовые выражения.

01

Знаки чисел

Научитесь заранее определять знак суммы, произведения и частного.

02

Действия с дробями

Повторите общий знаменатель, сокращение и замену деления умножением.

03

Числовые выражения

Научитесь выбирать удобную форму записи и соблюдать порядок действий.

Совет для самостоятельной работы: перед вычислением отдельно определите знак результата, затем выполняйте действие с модулями чисел. Такой порядок заметно уменьшает количество ошибок.

Модуль и противоположные числа

Модуль числа

Модуль числа - это расстояние от точки, изображающей это число, до нуля на числовой прямой. Модуль всегда является неотрицательным числом.

|-7| = 7 Запись читается: «модуль числа минус семь равен семи».
|5| = 5 Положительное число и его модуль совпадают.
Противоположные числа

Противоположные числа имеют одинаковые модули, но разные знаки. Их сумма равна нулю.

8 + (-8) = 0 Числа 8 и -8 являются противоположными.
Не путайте: знак минус перед числом показывает, что число отрицательное. Знак вычитания между числами обозначает арифметическое действие. В записи 5 - (-3) первый минус обозначает вычитание, второй - знак отрицательного числа.

Основные правила действий

Действие Знаки чисел Что сделать с модулями Знак результата Пример
Сложение Одинаковые Сложить модули. Сохранить общий знак. -4 + (-7) = -11
Сложение Разные Из большего модуля вычесть меньший. Поставить знак числа с большим модулем. -9 + 5 = -4
Вычитание Любые Заменить вычитание сложением противоположного числа. Затем применить правило сложения. 6 - (-2) = 6 + 2 = 8
Умножение Одинаковые Перемножить модули. Положительный. (-3) · (-5) = 15
Умножение Разные Перемножить модули. Отрицательный. (-3) · 5 = -15
Деление Одинаковые Разделить модуль делимого на модуль делителя. Положительный. (-18) : (-6) = 3
Деление Разные Разделить модуль делимого на модуль делителя. Отрицательный. 18 : (-6) = -3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Краткое правило знаков при умножении и делении: одинаковые знаки дают знак «плюс», разные знаки дают знак «минус».

Сложение и вычитание рациональных чисел

Сложение чисел с одинаковыми знаками

Сложите модули чисел и поставьте перед результатом их общий знак.

-3,7 + (-2,5) = -(3,7 + 2,5) = -6,2

Сложение чисел с разными знаками

Сравните модули, из большего модуля вычтите меньший и поставьте знак числа с большим модулем.

-8 + 3 = -(8 - 3) = -5
8 + (-3) = 8 - 3 = 5
Правило вычитания

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

a - b = a + (-b) Буквы a и b обозначают произвольные рациональные числа.
-4 - 7 = -4 + (-7) = -11
-4 - (-7) = -4 + 7 = 3
Выражение «минус на минус даёт плюс» нельзя применять ко всем действиям подряд. При вычитании отрицательного числа происходит замена: a - (-b) = a + b. Это не умножение знаков, а переход к сложению противоположного числа.

Умножение и деление рациональных чисел

1

Определите знак

При одинаковых знаках результат положительный, при разных - отрицательный.

2

Выполните действие с модулями

Перемножьте или разделите положительные значения чисел.

3

Поставьте найденный знак

Запишите окончательный результат с правильным знаком.

(-2,4) · 3 = -(2,4 · 3) = -7,2
(-2,4) · (-3) = 2,4 · 3 = 7,2
(-12,6) : 3 = -4,2
(-12,6) : (-3) = 4,2
Деление на ноль невозможно. Выражение a : 0 не имеет значения при любом числе a.

Действия с обыкновенными дробями

Сложение и вычитание

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают или вычитают по числителям, сохраняя знаменатель.

3 7 + 2 7 = 5 7

Дроби с разными знаменателями сначала приводят к общему знаменателю.

1 3 + 1 4 = 4 12 + 3 12 = 7 12

Умножение

Числитель умножают на числитель, знаменатель - на знаменатель. До умножения желательно выполнить сокращение.

3 5 · 10 9 = 2 3 Перед умножением сокращаем 3 и 9 на 3, а 10 и 5 - на 5.

Деление

Деление на ненулевую дробь заменяют умножением на обратную дробь.

Взаимно обратные числа

Два ненулевых числа называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Для дроби a/b обратной является дробь b/a.

2 3 : 4 5 = 2 3 · 5 4 = 5 6

Действия с десятичными дробями

+

Сложение и вычитание

Записывайте числа так, чтобы запятая находилась под запятой. При необходимости дописывайте нули справа.

×

Умножение

Сначала умножьте числа без запятых, затем отделите справа суммарное количество десятичных знаков.

:

Деление

Перенесите запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков, чтобы делитель стал целым.

7,4 - 2,85 = 7,40 - 2,85 = 4,55
1,2 · 0,35 = 0,420 = 0,42 В множителях вместе три цифры после запятых, поэтому в результате отделяем три цифры.
4,8 : 0,6 = 48 : 6 = 8 В обоих числах переносим запятую на один знак вправо.

Свойства арифметических действий

Свойства позволяют менять порядок вычислений и упрощать выражения. Перед применением свойства убедитесь, что оно относится к данному действию.

Название свойства Запись Смысл Пример Ограничение
Переместительное свойство сложения a + b = b + a Слагаемые можно менять местами. -7 + 12 = 12 + (-7) Для вычитания не действует.
Сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c) Слагаемые можно группировать. (-4 + 4) + 9 = 0 + 9 Применяется к сумме.
Переместительное свойство умножения ab = ba Множители можно менять местами. (-2) · 5 = 5 · (-2) Для деления не действует.
Сочетательное свойство умножения (ab)c = a(bc) Множители можно группировать. 0,5 · 4 · 7 = 2 · 7 Применяется к произведению.
Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac Множитель умножается на каждое слагаемое. 6 · 19 + 6 · 1 = 6 · 20 Можно применять в обе стороны.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Порядок выполнения действий

1

Действия в скобках

Сначала вычисляют значения выражений внутри круглых скобок.

2

Степени

Если в выражении есть степени, их значения находят до умножения и деления.

3

Умножение и деление

Действия одинаковой ступени выполняют слева направо.

4

Сложение и вычитание

Эти действия также выполняют слева направо, если свойства не позволяют упростить выражение.

Выбирайте удобную форму записи. Например, в одном выражении иногда проще перевести все числа в обыкновенные дроби, а иногда - в десятичные. Переводить числа в разные формы без необходимости не следует.

Подробно разобранные примеры

Перед чтением решения самостоятельно определите знак результата и порядок действий.

Пример 1. Сложение чисел с разными знаками

Вычислите: -12,7 + 8,4.

Модули чисел равны 12,7 и 8,4.

Знаки разные, поэтому из большего модуля вычитаем меньший: 12,7 - 8,4 = 4,3.

Больший модуль имеет отрицательное число -12,7, поэтому результат отрицательный.

Ответ: -12,7 + 8,4 = -4,3.

Пример 2. Вычитание отрицательного числа

Вычислите: -6,2 - (-3,7).

Заменяем вычитание сложением противоположного числа: -6,2 - (-3,7) = -6,2 + 3,7.

Складываем числа с разными знаками. Из 6,2 вычитаем 3,7: 6,2 - 3,7 = 2,5.

Больший модуль имеет число -6,2, поэтому результат отрицательный.

Ответ: -2,5.

Пример 3. Действия с обыкновенными дробями

Вычислите: -2/3 + 5/12.

Наименьший общий знаменатель чисел 3 и 12 равен 12.

Приводим первую дробь к знаменателю 12: -2/3 = -8/12.

Получаем: -8/12 + 5/12 = -3/12.

Сокращаем дробь на 3: -3/12 = -1/4.

Ответ: -1/4.

Пример 4. Умножение дробей с сокращением

Вычислите: (-9/14) · (7/12).

Знаки множителей разные, поэтому результат будет отрицательным.

До умножения сокращаем 9 и 12 на 3: 9 : 3 = 3, 12 : 3 = 4.

Сокращаем 7 и 14 на 7: 7 : 7 = 1, 14 : 7 = 2.

Получаем: -(3 · 1)/(2 · 4) = -3/8.

Ответ: -3/8.

Пример 5. Смешанное выражение

Вычислите: 3,6 - 1,2 · (-2,5).

Сначала выполняем умножение: 1,2 · (-2,5) = -3.

Подставляем результат: 3,6 - (-3).

Заменяем вычитание отрицательного числа сложением: 3,6 + 3 = 6,6.

Ответ: 6,6.

Пример 6. Удобное применение свойств

Вычислите: -4,7 + 12,3 + 4,7 - 2,3.

Переместительное и сочетательное свойства позволяют сгруппировать удобные слагаемые.

Группируем противоположные числа: (-4,7 + 4,7) + (12,3 - 2,3).

Первая сумма равна нулю, вторая равна 10.

0 + 10 = 10.

Ответ: 10.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Складывать модули при разных знаках

В выражении -8 + 3 нужно вычесть модули: 8 - 3 = 5, а затем поставить знак минус.

Ошибка 2. Забывать заменить вычитание

Выражение a - b сначала преобразуют в a + (-b), особенно если вычитаемое отрицательное.

Ошибка 3. Неверно определять знак произведения

Произведение двух отрицательных чисел положительно, а произведение чисел с разными знаками отрицательно.

Ошибка 4. Складывать знаменатели

При сложении дробей знаменатели не складывают. Сначала дроби приводят к общему знаменателю.

Ошибка 5. Переворачивать обе дроби при делении

Обратной заменяют только вторую дробь - делитель. Первая дробь остаётся без изменения.

Ошибка 6. Сокращать слагаемые

Сокращение выполняют в произведениях, а не между отдельными слагаемыми суммы.

Ошибка 7. Нарушать порядок действий

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, если скобки не задают другой порядок.

Ошибка 8. Терять десятичную запятую

При сложении запятые располагают друг под другом, при умножении учитывают общее количество десятичных знаков.

Практические задания

Выполняйте задания письменно. Перед вычислением укажите правило, которое собираетесь применить.

Задание 1. Сложение и вычитание

  1. -7 + (-9);
  2. -13 + 8;
  3. 5 - (-12);
  4. -6 - 11;
  5. -14 - (-9).
Открыть решение
  1. -7 + (-9) = -(7 + 9) = -16.
  2. -13 + 8 = -(13 - 8) = -5.
  3. 5 - (-12) = 5 + 12 = 17.
  4. -6 - 11 = -6 + (-11) = -17.
  5. -14 - (-9) = -14 + 9 = -5.

Задание 2. Умножение и деление

  1. (-7) · 8;
  2. (-9) · (-6);
  3. 45 : (-5);
  4. (-72) : (-8);
  5. 0 · (-125).
Открыть решение
  1. Разные знаки: (-7) · 8 = -56.
  2. Одинаковые знаки: (-9) · (-6) = 54.
  3. Разные знаки: 45 : (-5) = -9.
  4. Одинаковые знаки: (-72) : (-8) = 9.
  5. Произведение любого числа и нуля равно нулю.

Задание 3. Обыкновенные дроби

  1. 3/8 + 1/4;
  2. -5/6 + 1/3;
  3. 7/10 - 9/20;
  4. (-4/9) · (3/8);
  5. (5/12) : (-10/9).
Открыть подробное решение
  1. 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8.
  2. -5/6 + 1/3 = -5/6 + 2/6 = -3/6 = -1/2.
  3. 7/10 - 9/20 = 14/20 - 9/20 = 5/20 = 1/4.
  4. (-4/9) · (3/8) = -12/72 = -1/6.
  5. (5/12) : (-10/9) = (5/12) · (-9/10) = -45/120 = -3/8.

Задание 4. Десятичные дроби

  1. -3,8 + 6,5;
  2. 7,2 - 9,85;
  3. (-1,4) · 2,5;
  4. 5,04 : (-0,7);
  5. -0,36 : (-0,12).
Открыть решение
  1. -3,8 + 6,5 = 2,7.
  2. 7,2 - 9,85 = 7,20 - 9,85 = -2,65.
  3. (-1,4) · 2,5 = -3,5.
  4. 5,04 : (-0,7) = -7,2.
  5. -0,36 : (-0,12) = 3.

Задание 5. Порядок действий

  1. 8 - 3 · (-4);
  2. (-6 + 2) · 3;
  3. 18 : (-3) - 5;
  4. 2,5 + 1,5 · (-2);
  5. (-4) · (-3) - 20 : 5.
Открыть подробное решение
  1. 8 - 3 · (-4) = 8 - (-12) = 20.
  2. (-6 + 2) · 3 = (-4) · 3 = -12.
  3. 18 : (-3) - 5 = -6 - 5 = -11.
  4. 2,5 + 1,5 · (-2) = 2,5 - 3 = -0,5.
  5. (-4) · (-3) - 20 : 5 = 12 - 4 = 8.

Задание 6. Рациональный способ вычисления

  1. -6,8 + 14,2 + 6,8;
  2. 3,7 · 25 · 4;
  3. 18 · 7 - 8 · 7;
  4. -2,5 · 16 · 0,4;
  5. 4,6 + 8,9 - 4,6 - 3,9.
Открыть решение
  1. (-6,8 + 6,8) + 14,2 = 14,2.
  2. 3,7 · (25 · 4) = 3,7 · 100 = 370.
  3. 18 · 7 - 8 · 7 = (18 - 8) · 7 = 70.
  4. (-2,5 · 0,4) · 16 = -1 · 16 = -16.
  5. (4,6 - 4,6) + (8,9 - 3,9) = 5.

Самостоятельная работа

Выполните без таблицы правил. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. -8 + 13;
  2. -7 - (-11);
  3. (-6) · (-9);
  4. 48 : (-6);
  5. 2/3 - 5/6;
  6. (-3/5) · (10/9);
  7. 0,75 : (-0,25);
  8. 4 - 2 · (-5);
  9. (-3 + 7) · (-2);
  10. -4,2 + 9,7 + 4,2 - 1,7.
Открыть ответы и критерии
  1. 5.
  2. 4.
  3. 54.
  4. -8.
  5. 4/6 - 5/6 = -1/6.
  6. -30/45 = -2/3.
  7. -3.
  8. 4 - (-10) = 14.
  9. 4 · (-2) = -8.
  10. (-4,2 + 4,2) + (9,7 - 1,7) = 8.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите действия с дробями и порядок вычислений. 4-6 баллов - ещё раз разберите подробные примеры. 0-3 балла - вернитесь к таблице правил и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube систематизирует правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел. Дополнительное видео YouTube посвящено свойствам действий и рациональным способам вычисления.

Основное видео Rutube. Материал предназначен для повторения и систематизации всех арифметических действий с рациональными числами.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация содержит правила действий с числами разных знаков, примеры вычислений и задания для самостоятельного закрепления.

На что обратить внимание

  • различие правил сложения чисел с одинаковыми и разными знаками;
  • замена вычитания сложением противоположного числа;
  • правило знаков при умножении и делении;
  • соблюдение порядка действий;
  • проверка результата оценкой его знака и величины.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивное упражнение проверяет умение выполнять разные арифметические действия с рациональными числами.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала определяйте знак ответа;
  • соблюдайте порядок действий;
  • перед умножением дробей выполняйте сокращение;
  • при делении заменяйте вторую дробь обратной;
  • после ошибки повторно решайте пример письменно.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Как сложить два отрицательных числа?

Ответ: сложить их модули и поставить перед результатом знак минус.

02 Как сложить числа с разными знаками?

Ответ: из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.

03 Как заменить вычитание сложением?

Ответ: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a - b = a + (-b).

04 Как определяется знак произведения или частного?

Ответ: при одинаковых знаках результат положительный, при разных - отрицательный.

05 Как складывают дроби с разными знаменателями?

Ответ: сначала приводят дроби к общему знаменателю, затем складывают числители и сохраняют общий знаменатель.

06 Как разделить одну обыкновенную дробь на другую?

Ответ: первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

07 В каком порядке выполняются действия в числовом выражении?

Ответ: сначала действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Главное по уроку

При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают их модули и сохраняют общий знак.

При сложении чисел с разными знаками из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.

Вычитание заменяют сложением противоположного числа.

При умножении и делении одинаковые знаки дают плюс, разные - минус.

Дроби с разными знаменателями перед сложением или вычитанием приводят к общему знаменателю.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.

Арифметические свойства позволяют менять порядок и группировку чисел для более удобного вычисления.

Следующий урок - «Дроби и проценты в практических задачах».

06 Урок 6 Дроби и проценты в практических задачах Открыть урок Свернуть урок

Урок 6. Дроби и проценты в практических задачах

На уроке вы разберёте основные типы задач на дроби и проценты: нахождение части от числа, числа по его части, процентного отношения двух величин, новой цены после скидки или повышения. Все формулы объясняются словами и сопровождаются подробными решениями.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете переводить дроби в проценты и обратно, различать основные типы процентных задач и применять проценты в бытовых, финансовых и учебных расчётах.

01

Связь дробей и процентов

Научитесь представлять одну и ту же часть обыкновенной дробью, десятичной дробью и процентами.

02

Три основных типа задач

Найдёте процент от числа, число по его проценту и процентное отношение двух чисел.

03

Практические расчёты

Рассчитаете скидку, повышение цены, выполненную часть работы и процентное изменение величины.

Главный вопрос любой задачи: какое число принимается за целое, то есть за 100 процентов? Пока это не определено, начинать вычисления нельзя.

Что такое процент

Процент

Один процент - это одна сотая часть целого. Процент обозначается знаком %. Запись 1% читается «один процент» и равна дроби 1/100 или десятичной дроби 0,01.

1% = 1 100 = 0,01
p% = p 100 Буква p обозначает количество процентов. Например, при p = 25 получаем 25% = 25/100 = 0,25.

Проценты всегда показывают отношение части к некоторому целому. Одно и то же число процентов может соответствовать разным числовым значениям.

Например, 10% от 200 равны 20, а 10% от 800 равны 80. Процент одинаковый, но целые величины разные.

Важно: выражение «25 процентов» без указания целого не позволяет найти конкретное число. Нужно знать, 25 процентов от какой величины рассматриваются.

Как увидеть процент как часть целого

Тридцать пять процентов от целого Из полосы, обозначающей сто процентов, выделено тридцать пять процентов. Целое = 100% 35% 0% 100%

Как прочитать рисунок

Вся полоса принимается за целое и соответствует 100%.

Выделенная часть составляет 35 сотых целого: 35% = 35/100 = 0,35.

Если целое равно 400, то выделенная часть равна: 400 · 0,35 = 140.

Перевод дробей и процентов

Обыкновенная дробь Десятичная дробь Проценты Как выполнен перевод Практический смысл
1/2 0,5 50% 1 : 2 = 0,5; 0,5 · 100% = 50%. Половина целого.
1/4 0,25 25% 1 : 4 = 0,25; 0,25 · 100% = 25%. Четверть целого.
3/4 0,75 75% 3 : 4 = 0,75; 0,75 · 100% = 75%. Три четверти целого.
1/5 0,2 20% 1 : 5 = 0,2; 0,2 · 100% = 20%. Одна пятая целого.
3/5 0,6 60% 3 : 5 = 0,6; 0,6 · 100% = 60%. Три пятых целого.
1/8 0,125 12,5% 1 : 8 = 0,125; 0,125 · 100% = 12,5%. Одна восьмая целого.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
%

Из процентов в дробь

Разделите число процентов на 100. Например: 18% = 18/100 = 0,18.

×

Из десятичной дроби в проценты

Умножьте дробь на 100%. Например: 0,42 · 100% = 42%.

:

Из обыкновенной дроби в проценты

Разделите числитель на знаменатель, затем умножьте результат на 100%.

Три основных типа задач на проценты

Большинство практических задач сводится к одному из трёх типов. Сначала определите, какие величины известны и какую величину требуется найти.

01

Найти процент от числа

Известно целое число и количество процентов. Требуется найти соответствующую часть.

часть = целое · p/100
02

Найти число по его проценту

Известно значение части и известно, сколько процентов от целого она составляет.

целое = часть : (p/100)
03

Найти процентное отношение

Известны часть и целое. Требуется определить, сколько процентов часть составляет от целого.

процент = часть : целое · 100%
В формуле буква p обозначает количество процентов. Например, для 18% значение p/100 равно 18/100 = 0,18.

Как найти процент от числа

Пример вопроса: «Сколько составляют 15% от 2400 рублей?»

1

Определите целое

За 100% принимаются 2400 рублей.

2

Переведите проценты в дробь

15% = 15/100 = 0,15.

3

Умножьте целое на дробь

2400 · 0,15 = 360.

4

Запишите ответ с единицей измерения

15% от 2400 рублей составляют 360 рублей.

2400 · 15 100 = 360

Как найти число по его проценту

Пример вопроса: «42 страницы составляют 35% книги. Сколько страниц в книге?»

1

Определите известную часть

Известная часть равна 42 страницам.

2

Переведите проценты в дробь

35% = 0,35.

3

Разделите часть на соответствующую дробь

42 : 0,35 = 120.

4

Выполните проверку

35% от 120 равны 120 · 0,35 = 42. Условие выполнено.

При нахождении целого результат обычно больше известной части, если дано меньше 100%. Если получилось число меньше части, проверьте действие.

Как найти процентное отношение двух чисел

Пример вопроса: «Из 120 заданий выполнено 54. Сколько процентов заданий выполнено?»

1

Определите целое

Все 120 заданий принимаются за 100%.

2

Разделите часть на целое

54 : 120 = 0,45.

3

Переведите дробь в проценты

0,45 · 100% = 45%.

4

Сформулируйте ответ

Выполнено 45% всех заданий.

54 : 120 · 100% = 45%

Увеличение и уменьшение величины на несколько процентов

Процентное изменение

Процентное изменение показывает, какую часть от первоначального значения составляет увеличение или уменьшение величины.

+

Увеличение на p процентов

Новое значение получают умножением первоначального значения на коэффициент 1 + p/100.

новое = старое · (1 + p/100)
-

Уменьшение на p процентов

Новое значение получают умножением первоначального значения на коэффициент 1 - p/100.

новое = старое · (1 - p/100)
%

На сколько процентов изменилось

Изменение делят на первоначальное значение и умножают на 100%.

изменение : старое · 100%
увеличение на 12%: 1 + 0,12 = 1,12
уменьшение на 12%: 1 - 0,12 = 0,88
Число, на которое умножается первоначальная величина, называется коэффициентом изменения. При увеличении коэффициент больше 1, при уменьшении - меньше 1, но больше 0.

Подробно разобранные практические задачи

Сначала определите, какая величина принимается за 100%, затем выберите тип задачи.

Пример 1. Скидка на товар

Первоначальная цена товара равна 4800 рублей. Магазин предоставил скидку 15%. Найдите размер скидки и новую цену.

Шаг 1. Первоначальная цена 4800 рублей принимается за 100%.

Шаг 2. Находим 15% от 4800: 4800 · 0,15 = 720 рублей.

Это размер скидки, а не окончательная цена.

Шаг 3. Вычитаем скидку из первоначальной цены: 4800 - 720 = 4080 рублей.

Можно решить одним действием: 4800 · 0,85 = 4080, потому что после скидки остаётся 85% первоначальной цены.

Ответ: скидка равна 720 рублям, новая цена - 4080 рублей.

Пример 2. Повышение стоимости

Ежемесячная стоимость услуги составляла 1250 рублей и увеличилась на 8%. Найдите новую стоимость.

Повышение на 8% означает, что новая стоимость составляет 108% первоначальной.

Переводим 108% в десятичную дробь: 108% = 1,08.

Умножаем: 1250 · 1,08 = 1350.

Проверка через величину повышения: 1250 · 0,08 = 100; 1250 + 100 = 1350.

Ответ: новая стоимость равна 1350 рублям.

Пример 3. Нахождение первоначальной цены

После скидки 20% товар стоит 3600 рублей. Какова первоначальная цена?

После скидки осталось: 100% - 20% = 80% первоначальной цены.

Значит, 3600 рублей составляют 80% первоначальной цены.

Переводим 80% в дробь: 80% = 0,8.

Находим целое: 3600 : 0,8 = 4500 рублей.

Проверка: 20% от 4500 равны 900; 4500 - 900 = 3600.

Ответ: первоначальная цена равна 4500 рублям.

Пример 4. Процент выполнения работы

Из 160 заданий выполнено 124. Какой процент заданий выполнен и какой процент остался?

Все 160 заданий принимаются за 100%.

Процент выполненных заданий: 124 : 160 · 100% = 77,5%.

Процент оставшихся заданий: 100% - 77,5% = 22,5%.

Проверка по количеству: 160 - 124 = 36; 36 : 160 · 100% = 22,5%.

Ответ: выполнено 77,5%, осталось 22,5% заданий.

Пример 5. Процентная концентрация

Масса раствора равна 750 граммам. В нём содержится 12% вещества. Найдите массу вещества.

Вся масса раствора 750 граммов принимается за 100%.

Масса вещества составляет 12% от общей массы: 750 · 0,12 = 90 граммов.

Масса остальной части раствора: 750 - 90 = 660 граммов.

Ответ: масса вещества равна 90 граммам.

Пример 6. Последовательные изменения

Цена товара сначала увеличилась на 20%, а затем снизилась на 20%. Вернулась ли цена к первоначальному значению?

Для удобства примем первоначальную цену за 1000 рублей.

После увеличения на 20%: 1000 · 1,2 = 1200 рублей.

Теперь снижение на 20% считается уже от 1200 рублей: 1200 · 0,8 = 960 рублей.

Новая цена на 40 рублей меньше первоначальной: 1000 - 960 = 40.

Процент уменьшения относительно первоначальной цены: 40 : 1000 · 100% = 4%.

Ответ: цена не вернулась к первоначальному значению. Она стала на 4% меньше.

Пример 7. На сколько процентов выросла величина

Количество участников увеличилось с 240 до 300 человек. На сколько процентов произошло увеличение?

Находим числовое увеличение: 300 - 240 = 60 человек.

За 100% принимаем первоначальное количество - 240 человек.

Находим, сколько процентов 60 составляет от 240: 60 : 240 · 100% = 25%.

Ответ: количество участников увеличилось на 25%.

Проценты и процентные пункты

Процентный пункт

Процентный пункт - единица измерения разницы между двумя величинами, уже выраженными в процентах.

Например, показатель увеличился с 20% до 25%. Разница равна: 25% - 20% = 5 процентных пунктов.

При этом относительное увеличение самого показателя равно: (25 - 20) : 20 · 100% = 25%.

Поэтому выражения «увеличился на 5 процентных пунктов» и «увеличился на 25 процентов» в данном примере описывают одно изменение разными способами.

Процент и процентный пункт - не одно и то же. Процент сравнивает изменение с первоначальным значением, а процентный пункт показывает простую разность двух процентных значений.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Не определить, что принято за 100%

Перед вычислением обязательно назовите исходную величину, которая соответствует целому.

Ошибка 2. Не перевести проценты в дробь

Нельзя умножать число непосредственно на 15. Для нахождения 15% число умножают на 0,15.

Ошибка 3. Принять размер скидки за новую цену

Найденные 15% от цены показывают величину скидки. Для получения новой цены скидку нужно вычесть.

Ошибка 4. Перепутать часть и целое

При нахождении процентного отношения часть делят на целое, а не целое на часть.

Ошибка 5. Считать последовательные изменения от одной базы

Каждое следующее изменение рассчитывается от нового значения, полученного после предыдущего изменения.

Ошибка 6. Считать увеличение и уменьшение на один процент взаимно обратными

Увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% не возвращает первоначальное значение.

Ошибка 7. Сравнивать изменение с конечной величиной

Процент увеличения или уменьшения обычно рассчитывается относительно первоначального значения.

Ошибка 8. Путать проценты и процентные пункты

Разность между 30% и 35% равна 5 процентным пунктам, но относительный рост равен не 5%.

Практические задания

Выполняйте задания письменно. В начале каждого решения укажите, какую величину вы принимаете за 100%.

Задание 1. Перевод форм записи

  1. Переведите 32% в десятичную дробь.
  2. Переведите 0,18 в проценты.
  3. Переведите 3/5 в проценты.
  4. Переведите 12,5% в обыкновенную дробь.
Открыть решение
  1. 32% = 32/100 = 0,32.
  2. 0,18 · 100% = 18%.
  3. 3/5 = 0,6 = 60%.
  4. 12,5% = 12,5/100 = 0,125 = 1/8.

Задание 2. Нахождение процента от числа

  1. Найдите 18% от 2500.
  2. Найдите 7,5% от 640.
  3. Найдите 125% от 80.
Открыть подробное решение
  1. 2500 · 0,18 = 450.
  2. 640 · 0,075 = 48.
  3. 80 · 1,25 = 100.

Процент может быть больше 100%. В таком случае найденная часть будет больше исходного числа.

Задание 3. Нахождение целого

  1. Число 54 составляет 30% некоторого числа. Найдите это число.
  2. После выполнения 65% работы осталось выполнить 140 заданий. Сколько заданий было всего?
Открыть решение
  1. 54 : 0,3 = 180.
  2. Выполнено 65%, значит осталось 35%. Число 140 составляет 35% всех заданий. Поэтому 140 : 0,35 = 400 заданий.

Задание 4. Процентное отношение

  1. Сколько процентов число 36 составляет от числа 90?
  2. Из 250 участников 215 выполнили задание. Какой процент участников выполнил задание?
  3. Цена увеличилась с 800 до 920 рублей. На сколько процентов она увеличилась?
Открыть решение
  1. 36 : 90 · 100% = 40%.
  2. 215 : 250 · 100% = 86%.
  3. Увеличение равно 920 - 800 = 120 рублей. Процент увеличения: 120 : 800 · 100% = 15%.

Задание 5. Скидки и повышение цены

  1. Товар стоимостью 7200 рублей продаётся со скидкой 12%. Найдите новую цену.
  2. Цена 4500 рублей увеличилась на 16%. Найдите новую цену.
  3. После повышения на 25% цена стала равна 5000 рублей. Найдите первоначальную цену.
Открыть подробное решение
  1. После скидки остаётся 88% цены. 7200 · 0,88 = 6336 рублей.
  2. Новая цена составляет 116%. 4500 · 1,16 = 5220 рублей.
  3. 5000 рублей составляют 125% первоначальной цены. 5000 : 1,25 = 4000 рублей.

Задание 6. Последовательные изменения

Первоначальная цена равна 10 000 рублей. Сначала её снизили на 10%, а затем новую цену повысили на 10%. Найдите окончательную цену и общее процентное изменение.

Открыть подробное решение

После снижения: 10 000 · 0,9 = 9000 рублей.

После последующего повышения: 9000 · 1,1 = 9900 рублей.

Цена уменьшилась на: 10 000 - 9900 = 100 рублей.

Процент уменьшения: 100 : 10 000 · 100% = 1%.

Ответ: окончательная цена равна 9900 рублям, общее уменьшение - 1%.

Задание 7. Концентрация раствора

В 600 граммах раствора содержится 48 граммов вещества. Найдите процентную концентрацию вещества.

Открыть решение

За 100% принимаем всю массу раствора - 600 граммов.

Масса вещества составляет: 48 : 600 · 100% = 8%.

Ответ: концентрация вещества равна 8%.

Самостоятельная работа

Выполните без таблицы формул. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Что означает 1%?
  2. Переведите 45% в десятичную дробь.
  3. Переведите 0,72 в проценты.
  4. Найдите 24% от 350.
  5. Число 48 составляет 60% некоторого числа. Найдите это число.
  6. Сколько процентов число 27 составляет от числа 45?
  7. Цена 3200 рублей снизилась на 15%. Найдите новую цену.
  8. Цена увеличилась с 500 до 625 рублей. На сколько процентов она выросла?
  9. После скидки 25% товар стоит 3000 рублей. Найдите первоначальную цену.
  10. Показатель изменился с 40% до 46%. На сколько процентных пунктов он увеличился?
Открыть ответы и критерии
  1. Одна сотая часть целого.
  2. 45% = 0,45.
  3. 0,72 = 72%.
  4. 350 · 0,24 = 84.
  5. 48 : 0,6 = 80.
  6. 27 : 45 · 100% = 60%.
  7. 3200 · 0,85 = 2720 рублей.
  8. Увеличение равно 125. 125 : 500 · 100% = 25%.
  9. После скидки осталось 75%. 3000 : 0,75 = 4000 рублей.
  10. На 6 процентных пунктов.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите задачи на нахождение целого и процентное изменение. 4-6 баллов - ещё раз разберите подробные примеры. 0-3 балла - вернитесь к трём основным типам задач и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube рассчитано на обучающихся 9-11 классов и разбирает основные типы задач на проценты. Дополнительное видео YouTube посвящено процентному изменению величин.

Основное видео Rutube. В ролике пошагово рассматриваются процент от числа, число по его части, процентное отношение, увеличение и уменьшение величины.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует три основных типа задач на проценты и содержит практические примеры.

На что обратить внимание

  • какая величина в каждой задаче принимается за 100%;
  • различие между частью и целым;
  • формулы трёх основных типов задач;
  • нахождение новой величины после изменения;
  • обязательная проверка полученного ответа.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Подборка интерактивных практико-ориентированных задач позволяет применить проценты в ситуациях из повседневной жизни.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала определяйте целое, равное 100%;
  • устанавливайте, какой из трёх типов задачи дан;
  • записывайте проценты в виде десятичной дроби;
  • сохраняйте единицы измерения;
  • после ошибки повторно выполняйте вычисление письменно.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Что называют одним процентом?

Ответ: один процент - это одна сотая часть целого: 1% = 1/100 = 0,01.

02 Как перевести проценты в десятичную дробь?

Ответ: число процентов нужно разделить на 100. Например, 18% = 0,18.

03 Как найти p процентов от числа?

Ответ: умножить число на p/100.

04 Как найти число по известному значению его процентов?

Ответ: известную часть разделить на десятичную дробь, соответствующую данным процентам.

05 Как определить, сколько процентов одно число составляет от другого?

Ответ: первое число разделить на второе и умножить результат на 100%.

06 Почему повышение и последующее снижение на одинаковый процент не компенсируют друг друга?

Ответ: второе изменение рассчитывается уже от нового значения, поэтому основания для вычисления процентов различаются.

07 Чем процент отличается от процентного пункта?

Ответ: процент показывает относительное изменение по сравнению с исходной величиной, а процентный пункт показывает разность двух значений, уже выраженных в процентах.

Главное по уроку

Один процент равен одной сотой части целого.

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, число процентов делят на 100.

Чтобы найти процент от числа, число умножают на соответствующую десятичную дробь.

Чтобы найти число по его проценту, известную часть делят на соответствующую десятичную дробь.

Чтобы определить процентное отношение, часть делят на целое и умножают результат на 100%.

При увеличении на p процентов исходное значение умножают на 1 + p/100.

При уменьшении на p процентов исходное значение умножают на 1 - p/100.

Последовательные процентные изменения выполняются поочерёдно, потому что каждое следующее изменение рассчитывается от нового значения.

Следующий урок - «Множество действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа».

07 Урок 7 Множество действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа Открыть урок Свернуть урок

Урок 7. Множество действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа

На уроке вы узнаете, почему рациональных чисел недостаточно для описания всех точек числовой прямой, какие числа называются иррациональными и как рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Все обозначения и способы распознавания чисел разобраны последовательно.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете различать рациональные и иррациональные числа, определять принадлежность числа числовому множеству и использовать десятичные приближения иррациональных чисел.

01

Иррациональные числа

Узнаете, какие числа нельзя представить отношением двух целых чисел.

02

Действительные числа

Поймёте, как рациональные и иррациональные числа объединяются в одно множество.

03

Распознавание и сравнение

Научитесь классифицировать числа и сравнивать их с помощью точных записей и приближений.

Перед началом: вспомните, что рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m - целое число, а n не равно нулю.

Повторение: рациональные числа

Рациональное число

Рациональным называется число, которое можно представить в виде отношения m/n, где m - целое число, а n - ненулевое целое число.

x = m n , n ≠ 0 Знак ≠ читается «не равно». Буква m обозначает числитель, буква n - знаменатель.

Множество рациональных чисел обозначается символом ℚ. Символ читается «кью».

К рациональным относятся натуральные числа, целые числа, обыкновенные дроби, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.

5 = 5/1 -3 = -3/1 0,75 = 3/4 0,(3) = 1/3
Десятичная запись рационального числа обязательно является конечной или бесконечной периодической.

Почему появились новые числа

Рассмотрим квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора квадрат длины его диагонали равен:

d² = 1² + 1² = 2 Буква d обозначает длину диагонали.
d = √2 Знак √ называется знаком квадратного корня. Запись √2 читается «квадратный корень из двух».

Число √2 нельзя точно представить обыкновенной дробью. Его десятичная запись продолжается бесконечно и не имеет повторяющегося периода:

√2 = 1,41421356237...
Запись √2 ≈ 1,41 является приближённой. Знак ≈ читается «приблизительно равно». Точное значение числа - √2.

Иррациональные числа

Иррациональное число

Иррациональным называется число, которое нельзя представить в виде отношения m/n, где m и n - целые числа, а n не равно нулю.

Десятичная запись

Иррациональное число записывается бесконечной непериодической десятичной дробью. Это означает, что десятичная запись продолжается бесконечно и в ней нет конечной группы цифр, которая повторялась бы без конца.

Число Приближённая запись Вид числа Объяснение Важное замечание
√2 1,41421356... Иррациональное Нельзя представить отношением двух целых чисел. Квадрат числа равен 2.
√3 1,73205080... Иррациональное Десятичная запись бесконечна и непериодична. Число 3 не является квадратом целого числа.
π 3,14159265... Иррациональное Число π нельзя представить обыкновенной дробью. Символ π читается «пи».
√9 3 Рациональное √9 = 3 = 3/1. Не всякий квадратный корень иррационален.
0,1010010001... Запись уже дана Иррациональное Количество нулей между единицами увеличивается, постоянного периода нет. Бесконечность записи сама по себе недостаточна: важно отсутствие периода.
0,(27) 0,272727... Рациональное Группа цифр 27 повторяется бесконечно. Бесконечная периодическая дробь рациональна.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Иррациональные числа удобно обозначать как ℝ \ ℚ. Запись читается «множество действительных чисел без рациональных чисел».

Почему число √2 иррационально

Ниже приведено классическое доказательство. Оно относится к материалу повышенной сложности, но помогает понять, что иррациональность является строго установленным свойством.

Открыть пошаговое доказательство

Предположим обратное: пусть √2 является рациональным числом.

Тогда его можно записать в виде несократимой дроби m/n, где m и n - натуральные числа: √2 = m/n.

Возведём обе части равенства в квадрат: 2 = m²/n².

Умножим обе части на n²: m² = 2n².

Число m² является чётным, потому что равно удвоенному целому числу. Следовательно, само число m тоже чётное.

Запишем m = 2k. Тогда: m² = 4k².

Подставляем в равенство m² = 2n²: 4k² = 2n².

Делим на 2: n² = 2k².

Получается, что n² и n также чётные.

Следовательно, m и n одновременно делятся на 2. Это противоречит предположению, что дробь m/n несократима.

Значит, исходное предположение неверно. Число √2 нельзя представить обыкновенной дробью, поэтому оно иррационально.

Множество действительных чисел

Действительные числа

Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.

ℝ = ℚ ∪ (ℝ \ ℚ) Символ ℝ читается «эр» и обозначает множество действительных чисел. Знак ∪ читается «объединение».

Каждое рациональное число является действительным.

Каждое иррациональное число также является действительным.

При этом ни одно число не может быть одновременно рациональным и иррациональным.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Натуральные числа входят в целые, целые - в рациональные, рациональные - в действительные.
Запись √2 ∈ ℝ читается «корень из двух принадлежит множеству действительных чисел». Запись √2 ∉ ℚ читается «корень из двух не принадлежит множеству рациональных чисел».

Взаимосвязь числовых множеств

Вложенность числовых множеств Множество действительных чисел разделено на рациональные и иррациональные числа. В рациональные числа входят целые и натуральные числа. ℝ - действительные числа ℚ - рациональные ℤ - целые ℕ - натуральные 1; 2; 3; 4; ... -3; -2; -1; 0 1/2; -3/4; 0,25; 0,(6) ℝ \ ℚ иррациональные √2 √3 π 0,101001...

Как читать схему

Внешний прямоугольник изображает все действительные числа.

Левая область содержит рациональные числа. Внутри неё расположены целые и натуральные числа.

Правая область содержит иррациональные числа. Она не пересекается с множеством рациональных чисел.

Любое число из любой внутренней области является действительным.

Как определить вид числа

1

Упростите запись

Вычислите корень, степень или значение выражения, если это возможно.

2

Проверьте возможность записи дробью

Если число можно представить отношением двух целых чисел, оно рационально.

3

Проанализируйте десятичную запись

Конечная или периодическая запись соответствует рациональному числу. Бесконечная непериодическая - иррациональному.

4

Проверьте квадратный корень

Корень из полного квадрата является рациональным. Корень из натурального числа, которое не является полным квадратом, иррационален.

5

Назовите наименьшее подходящее множество

Например, число 5 одновременно натуральное, целое, рациональное и действительное, но наиболее точное название - натуральное.

Наличие знака корня ещё не означает, что число иррационально: √25 = 5, поэтому √25 является натуральным, целым, рациональным и действительным числом.

Приближения и сравнение иррациональных чисел

Десятичное приближение

Десятичное приближение - конечная десятичная дробь, близкая к точному значению числа. Приближение получают округлением или ограничением десятичной записи.

√2 ≈ 1,414 √3 ≈ 1,732 π ≈ 3,142

Первый способ: десятичные приближения

Чтобы сравнить √2 и 1,5, используем приближение √2 ≈ 1,414. Поскольку 1,414 меньше 1,5, получаем √2 < 1,5.

Второй способ: сравнение квадратов

Если сравниваются положительные числа, содержащие квадратные корни, иногда удобно сравнить их квадраты.

Например, сравним √5 и 2. Оба числа положительны. Их квадраты равны 5 и 4. Поскольку 5 > 4, получаем √5 > 2.

При округлении всегда сохраняйте знак приблизительного равенства: π ≈ 3,14, а не π = 3,14.

Что получается при действиях с числами

Действие Возможный результат Пример Объяснение Ограничение
Рациональное + рациональное Рациональное 1/2 + 3/4 = 5/4 Сумму можно представить обыкновенной дробью. Правило действует всегда.
Рациональное + иррациональное Иррациональное 2 + √3 Если бы сумма была рациональной, вычитание числа 2 сделало бы √3 рациональным. Рациональное число может быть любым.
Ненулевое рациональное · иррациональное Иррациональное 3√2 Деление результата на 3 должно вернуть √2. Рациональный множитель не должен быть равен нулю.
Иррациональное + иррациональное Может быть рациональным или иррациональным √2 + (-√2) = 0 В данном примере получается рациональное число. Например, √2 + √3 иррационально.
Иррациональное · иррациональное Может быть рациональным или иррациональным √2 · √2 = 2 Произведение двух иррациональных чисел оказалось рациональным. Например, √2 · √3 = √6 иррационально.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Нельзя заранее утверждать, что сумма или произведение двух иррациональных чисел обязательно иррациональны. Результат зависит от самих чисел.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Классификация чисел

Определите вид чисел: 8; -3; 2/5; 0,(7); √16; √7; π.

Число 8 является натуральным. Следовательно, оно также целое, рациональное и действительное.

Число -3 является целым. Оно также рациональное и действительное.

Число 2/5 является рациональным и действительным.

Число 0,(7) является бесконечной периодической дробью, поэтому оно рационально.

√16 = 4. Следовательно, это натуральное, целое, рациональное и действительное число.

Число 7 не является полным квадратом натурального числа. Поэтому √7 иррационально.

Число π является иррациональным и действительным.

Пример 2. Конечная, периодическая или непериодическая запись

Определите вид чисел 0,125; 1,2(45); 0,1001000100001....

Число 0,125 является конечной десятичной дробью. Оно рационально.

В числе 1,2(45) группа 45 повторяется бесконечно. Это периодическая дробь, поэтому число рационально.

В числе 0,1001000100001... количество нулей между единицами изменяется. Постоянного периода нет. Число иррационально.

Пример 3. Сравнение числа с квадратным корнем

Сравните √10 и 3.

Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

Квадрат √10 равен 10.

Квадрат числа 3 равен 9.

Поскольку 10 > 9, получаем: √10 > 3.

Пример 4. Между какими целыми числами находится корень

Между какими последовательными целыми числами находится √20?

Найдём ближайшие полные квадраты: 4² = 16, 5² = 25.

Число 20 находится между 16 и 25: 16 < 20 < 25.

Следовательно: 4 < √20 < 5.

Пример 5. Результат действий с иррациональными числами

Определите вид чисел √5 - √5 и √5 · √5.

Числа √5 и -√5 иррациональны.

Их сумма равна: √5 - √5 = 0.

Ноль является рациональным числом.

Произведение: √5 · √5 = 5.

Число 5 также рационально.

Следовательно, результат сложения или умножения иррациональных чисел может оказаться рациональным.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать любую бесконечную дробь иррациональной

Бесконечная периодическая дробь рациональна. Иррациональной является бесконечная непериодическая дробь.

Ошибка 2. Считать любой квадратный корень иррациональным

√36 = 6, поэтому это рациональное число. Нужно сначала вычислить корень, если это возможно.

Ошибка 3. Записывать приближение как точное равенство

Правильно: π ≈ 3,14. Запись π = 3,14 неверна, потому что 3,14 является только приближением.

Ошибка 4. Считать иррациональные числа недействительными

Иррациональные числа являются частью множества действительных чисел.

Ошибка 5. Путать число и его десятичное приближение

√2 - точное число, а 1,41 - его приближённое значение с точностью до сотых.

Ошибка 6. Считать сумму иррациональных чисел всегда иррациональной

Например, √2 + (-√2) = 0. Результат является рациональным.

Ошибка 7. Считать произведение иррациональных чисел всегда иррациональным

Например, √3 · √3 = 3. Результат является рациональным.

Ошибка 8. Не упрощать выражение перед классификацией

Выражение √49 сначала нужно вычислить. После упрощения получаем рациональное число 7.

Практические задания

Сначала решите задания письменно. Для каждого числа укажите причину, по которой вы относите его к определённому множеству.

Задание 1. Рациональные и иррациональные числа

Распределите числа на две группы:

  1. 7;
  2. -4/9;
  3. 0,125;
  4. 0,(18);
  5. √2;
  6. √64;
  7. π;
  8. 0,1010010001....
Открыть решение

Рациональные: 7; -4/9; 0,125; 0,(18); √64 = 8.

Иррациональные: √2; π; 0,1010010001....

Задание 2. Упростите и определите вид числа

  1. √81;
  2. -√25;
  3. √12;
  4. 2√7;
  5. √2 · √2;
  6. √3 - √3.
Открыть подробное решение
  1. √81 = 9 - рациональное число.
  2. -√25 = -5 - рациональное число.
  3. √12 = 2√3 - иррациональное число.
  4. 2√7 - иррациональное число, потому что ненулевое рациональное число 2 умножено на иррациональное √7.
  5. √2 · √2 = 2 - рациональное число.
  6. √3 - √3 = 0 - рациональное число.

Задание 3. Принадлежность множествам

Установите, верны ли утверждения:

  1. 5 ∈ ℕ;
  2. -5 ∈ ℕ;
  3. -5 ∈ ℤ;
  4. 3/7 ∈ ℚ;
  5. √3 ∈ ℚ;
  6. √3 ∈ ℝ;
  7. π ∉ ℚ.
Открыть решение
  1. Верно. Число 5 натуральное.
  2. Неверно. Отрицательные числа не являются натуральными.
  3. Верно. Число -5 является целым.
  4. Верно. Дробь 3/7 рациональна.
  5. Неверно. √3 иррационально.
  6. Верно. Любое иррациональное число является действительным.
  7. Верно. Число π не является рациональным.

Задание 4. Сравнение

  1. Сравните √5 и 2.
  2. Сравните √8 и 3.
  3. Сравните √15 и 4.
  4. Сравните π и 3,1.
Открыть подробное решение
  1. 5 > 4, поэтому √5 > 2.
  2. 8 < 9, поэтому √8 < 3.
  3. 15 < 16, поэтому √15 < 4.
  4. π ≈ 3,14159, поэтому π > 3,1.

Задание 5. Между какими целыми числами находится корень

  1. √6;
  2. √14;
  3. √30;
  4. √70.
Открыть решение
  1. 4 < 6 < 9, поэтому 2 < √6 < 3.
  2. 9 < 14 < 16, поэтому 3 < √14 < 4.
  3. 25 < 30 < 36, поэтому 5 < √30 < 6.
  4. 64 < 70 < 81, поэтому 8 < √70 < 9.

Задание 6. Исправьте ошибки

  1. √36 является иррациональным числом, потому что содержит знак корня.
  2. 0,(12) является иррациональным числом, потому что его запись бесконечна.
  3. π = 3,14.
  4. Любое действительное число является рациональным.
  5. Сумма двух иррациональных чисел всегда иррациональна.
Открыть исправленный вариант
  1. √36 = 6, поэтому число рационально.
  2. 0,(12) является периодической дробью, поэтому число рационально.
  3. Правильно: π ≈ 3,14.
  4. Действительные числа делятся на рациональные и иррациональные.
  5. Сумма может быть рациональной: √2 + (-√2) = 0.

Самостоятельная работа

Выполните задания без таблиц и примеров. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Дайте определение рационального числа.
  2. Дайте определение иррационального числа.
  3. Как обозначается множество действительных чисел?
  4. Является ли число 0,(5) рациональным?
  5. Является ли число √49 иррациональным?
  6. Является ли число √11 действительным?
  7. Между какими целыми числами находится √17?
  8. Сравните √10 и 3.
  9. Может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным?
  10. Как правильно записать приближение числа π до сотых?
Открыть ответы и критерии
  1. Рациональное число можно представить в виде m/n, где m и n - целые числа, а n не равно нулю.
  2. Иррациональное число нельзя представить отношением двух целых чисел. Его десятичная запись бесконечна и непериодична.
  3. Символом ℝ.
  4. Да. Это бесконечная периодическая дробь.
  5. Нет. √49 = 7 - рациональное число.
  6. Да. Любое иррациональное число является действительным.
  7. 16 < 17 < 25, поэтому 4 < √17 < 5.
  8. 10 > 9, поэтому √10 > 3.
  9. Да. Например, √2 · √2 = 2.
  10. π ≈ 3,14.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите классификацию и сравнение чисел. 4-6 баллов - заново разберите определения и примеры. 0-3 балла - вернитесь к началу урока и пройдите материал повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube раскрывает понятия иррационального и действительного числа, рассматривает координатную прямую и сравнение чисел. Дополнительное видео YouTube кратко показывает взаимосвязь основных числовых множеств.

Основное видео Rutube для 10 класса. Обратите внимание на определение иррационального числа, обозначение множества действительных чисел и расположение чисел на координатной прямой.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация для 10 класса систематизирует понятия рациональных, иррациональных и действительных чисел и содержит примеры классификации чисел.

На что обратить внимание

  • определение иррационального числа;
  • отличие периодической дроби от непериодической;
  • обозначение множества действительных чисел;
  • взаимосвязь множеств ℕ, ℤ, ℚ и ℝ;
  • использование приближённых значений.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

В упражнении необходимо различить рациональные и иррациональные числа и распределить их по соответствующим группам.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала упрощайте квадратные корни;
  • конечные дроби относите к рациональным числам;
  • периодические дроби также относите к рациональным;
  • проверяйте наличие постоянного периода;
  • после ошибки объясните классификацию числа словами.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Чем рациональное число отличается от иррационального?

Ответ: рациональное число можно представить отношением двух целых чисел, а иррациональное нельзя.

02 Как выглядит десятичная запись рационального числа?

Ответ: она является конечной или бесконечной периодической дробью.

03 Как выглядит десятичная запись иррационального числа?

Ответ: она является бесконечной непериодической десятичной дробью.

04 Какие числа называют действительными?

Ответ: все рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.

05 Почему √25 не является иррациональным числом?

Ответ: √25 = 5, а число 5 можно представить дробью 5/1.

06 Почему запись π = 3,14 неверна?

Ответ: число 3,14 является только приближённым значением π. Правильно писать π ≈ 3,14.

07 Всегда ли сумма двух иррациональных чисел иррациональна?

Ответ: нет. Например, √2 + (-√2) = 0, а ноль является рациональным числом.

Главное по уроку

Рациональное число можно представить отношением двух целых чисел с ненулевым знаменателем.

Десятичная запись рационального числа является конечной или периодической.

Иррациональное число нельзя представить обыкновенной дробью.

Десятичная запись иррационального числа бесконечна и непериодична.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел ℝ.

Не каждый квадратный корень является иррациональным: √16 = 4.

Для сравнения иррациональных чисел можно использовать десятичные приближения или сравнение квадратов положительных чисел.

Приближённое равенство записывается знаком ≈.

Следующий урок - «Сравнение и упорядочивание действительных чисел. Приближения».

08 Урок 8 Сравнение и упорядочивание действительных чисел. Приближённые значения Открыть урок Свернуть урок

Урок 8. Сравнение и упорядочивание действительных чисел. Приближённые значения

На уроке вы научитесь сравнивать рациональные и иррациональные числа, располагать их в порядке возрастания или убывания, записывать двойные неравенства, находить приближения по недостатку и избытку, округлять числа и оценивать точность полученного результата.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете сравнивать действительные числа несколькими способами, округлять их до указанного разряда и проверять, является ли результат вычисления разумным.

01

Сравнение чисел

Научитесь использовать числовую прямую, десятичные записи, разность и сравнение квадратов.

02

Приближённые значения

Разберёте приближение по недостатку, приближение по избытку и знак приблизительного равенства.

03

Округление и оценка

Научитесь округлять числа, находить абсолютную погрешность и делать прикидку ответа.

Рекомендуемый порядок: сначала разберите способы сравнения, затем правила округления и только после этого переходите к заданиям на погрешность и оценку результата.

Что означает сравнить два числа

Сравнение чисел

Сравнить два числа - значит установить, какое из них больше, какое меньше или равны ли они.

a < b Читается: «число a меньше числа b».
a > b Читается: «число a больше числа b».
a = b Читается: «числа a и b равны».

На числовой прямой большее число расположено правее, а меньшее - левее.

Например, число 2 расположено правее числа -1, поэтому: 2 > -1.

При сравнении отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше: -3 > -8, потому что -3 находится правее -8.

Действительные числа на числовой прямой

Расположение чисел на числовой прямой На числовой прямой отмечены числа минус два, минус корень из двух, ноль, один, корень из двух, полтора и число пи. -2 -1 0 1 2 3 -√2 √2 1,5 π направление увеличения

Как прочитать рисунок

Число -√2 ≈ -1,414 расположено между -2 и -1.

Число √2 ≈ 1,414 расположено между 1 и 1,5.

Число π ≈ 3,142 расположено правее числа 3.

Поэтому: -2 < -√2 < 0 < √2 < 1,5 < π .

Основные способы сравнения действительных чисел

Способ Когда применяется Алгоритм Пример Вывод
Числовая прямая Когда понятно расположение чисел. Большее число находится правее. -2 < 1 Число 1 расположено правее -2.
Десятичные записи Когда можно получить достаточно точные приближения. Записать числа с одинаковым количеством знаков после запятой и сравнить поразрядно. √2 ≈ 1,414 < 1,42 √2 меньше 1,42.
Разность Когда удобно вычислить a - b. Если a - b положительно, то a > b. Если отрицательно, то a < b. 7 - 5 = 2 > 0 7 > 5.
Сравнение квадратов Для положительных чисел, содержащих квадратные корни. Сравнить квадраты положительных чисел. (√10)² = 10 > 9 = 3² √10 > 3.
Оценка между целыми числами Для квадратных корней. Найти два соседних полных квадрата. 16 < 20 < 25 4 < √20 < 5.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
При сравнении положительных квадратных корней действует правило: если a > b ≥ 0, то √a > √b.

Упорядочивание чисел

Упорядочить числа

Упорядочить числа - значит расположить их в определённой последовательности: по возрастанию или по убыванию.

↑

По возрастанию

Каждое следующее число больше предыдущего.

↓

По убыванию

Каждое следующее число меньше предыдущего.

<

Двойное неравенство

Позволяет одной записью показать положение числа между двумя границами.

1 < √2 < 1,5 Число √2 больше 1, но меньше 1,5.
3 < π < 4 Число π находится между числами 3 и 4.
В двойном неравенстве знаки должны быть направлены согласованно: 2 < x < 5. Запись 2 < x > 5 не показывает, что x находится между числами 2 и 5.

Точное и приближённое значения

Точное значение

Точное значение полностью и без ошибки описывает число или величину. Например, √2 и π являются точными записями соответствующих чисел.

Приближённое значение

Приближённое значение заменяет точное число близким к нему числом, с которым удобнее выполнять вычисления.

√2 ≈ 1,414 Знак ≈ читается «приблизительно равно».
π ≈ 3,14 Число 3,14 является приближением числа π до сотых.
Нельзя заменять знак приблизительного равенства знаком точного равенства. Запись π = 3,14 неверна.

Приближение по недостатку и по избытку

Приближение по недостатку

Приближение по недостатку меньше точного значения числа.

Приближение по избытку

Приближение по избытку больше точного значения числа.

1,41 < √2 < 1,42 Число 1,41 является приближением √2 по недостатку до сотых, а 1,42 - по избытку.
3,141 < π < 3,142 Границы отличаются на одну тысячную.

Приближения по недостатку и избытку ограничивают точное число с двух сторон.

Такая запись особенно полезна, когда нужно оценить возможные границы результата.

Правило округления

Округление заменяет число близким числом с меньшим количеством значащих разрядов.

1

Определите, до какого разряда нужно округлить число

Найдите разряд, цифра которого должна остаться последней в результате. Например, при округлении до сотых последней сохраняемой цифрой будет цифра сотых - вторая цифра после запятой.

2

Найдите цифру сразу справа от сохраняемого разряда

После того как выбран разряд округления, посмотрите на цифру, которая стоит непосредственно справа от сохраняемой цифры. Например, при округлении до сотых сохраняется цифра сотых, а рассматривается следующая за ней цифра тысячных. Именно эта следующая цифра показывает, нужно ли изменять сохраняемую цифру.

3

Если следующая цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4

Сохраняемая цифра не изменяется. Все цифры, расположенные справа от неё, отбрасываются.

4

Если следующая цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9

Сохраняемая цифра увеличивается на единицу. После этого все цифры справа от неё отбрасываются.

5

Запишите округлённое число

В дробной части ненужные цифры удаляются. В целой части цифры справа от разряда округления заменяются нулями.

Пример выбора цифр: округлим число 7,348 до сотых. Цифра сотых - 4. Она должна сохраниться последней. Сразу справа от неё находится цифра тысячных - 8. Именно цифру 8 нужно использовать для принятия решения об округлении.
7,342 ≈ 7,34 Округляем до сотых. Цифра сотых - 4, следующая за ней цифра тысячных - 2. Поскольку 2 меньше 5, цифра 4 не изменяется.
7,348 ≈ 7,35 Округляем до сотых. Цифра сотых - 4, следующая за ней цифра тысячных - 8. Поскольку 8 больше 5, цифра 4 увеличивается до 5.
12 648 ≈ 12 600 Округляем до сотен. Цифра сотен - 6, следующая справа цифра десятков - 4. Поскольку 4 меньше 5, цифра сотен не изменяется.

Округление до разных разрядов

Исходное число До какого разряда Сохраняемая цифра Следующая цифра справа Результат
6,2748 До целых 6 - цифра единиц 2 - цифра десятых 6
6,2748 До десятых 2 - цифра десятых 7 - цифра сотых 6,3
6,2748 До сотых 7 - цифра сотых 4 - цифра тысячных 6,27
6,2748 До тысячных 4 - цифра тысячных 8 - цифра десятитысячных 6,275
38 472 До тысяч 8 - цифра тысяч 4 - цифра сотен 38 000
38 672 До тысяч 8 - цифра тысяч 6 - цифра сотен 39 000
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Нули в конце десятичной дроби могут показывать точность записи. Например, числа 4,2 и 4,20 равны, но запись 4,20 указывает точность до сотых.

Абсолютная погрешность приближения

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью приближения называют модуль разности между точным значением числа и его приближённым значением.

Δ = |x - a| Буква Δ читается «дельта». Число x - точное значение, число a - приближённое значение.

Модуль нужен потому, что погрешность показывает расстояние между числами и не может быть отрицательной.

Например, число 3,14 используется как приближение числа π.

|π - 3,14| ≈ 0,00159
Чем меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближённое значение к точному.

Точность округления

При округлении до некоторого разряда абсолютная погрешность не превышает половины единицы этого разряда.

1

До целых

Погрешность не превышает 0,5.

0,1

До десятых

Погрешность не превышает 0,05.

0,01

До сотых

Погрешность не превышает 0,005.

x ≈ 7,3 с точностью до 0,1 Точное число находится в пределах от 7,25 до 7,35, если используется обычное округление.
|x - 7,3| ≤ 0,05 Знак ≤ читается «меньше или равно».

Прикидка и оценка результата

Прикидка

Прикидка - предварительное приближённое вычисление, которое позволяет понять примерный размер результата и обнаружить грубую ошибку.

1

Округлите исходные числа

Выберите удобные числа, близкие к данным.

2

Выполните простое вычисление

Получите примерный результат.

3

Сравните с точным ответом

Проверьте знак, порядок величины и количество цифр.

19,8 · 4,9 ≈ 20 · 5 = 100 Точный ответ должен быть близок к 100.
598 : 19,7 ≈ 600 : 20 = 30 Частное должно быть близко к 30.
Прикидка не заменяет точного вычисления, когда в задаче требуется точный ответ. Она используется для предварительной оценки и проверки.

Подробно разобранные примеры

Сначала попробуйте определить способ решения самостоятельно, затем изучите последовательное объяснение.

Пример 1. Сравнение квадратного корня и целого числа

Сравните √13 и 4.

Оба числа положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

Квадрат числа √13 равен 13.

Квадрат числа 4 равен 16.

Поскольку 13 < 16, получаем: √13 < 4.

Ответ: √13 меньше 4.

Пример 2. Упорядочивание чисел

Расположите по возрастанию числа 1,4; √2; 1,5; 7/5.

Переведём дробь 7/5 в десятичную: 7/5 = 1,4.

Используем приближение: √2 ≈ 1,414.

Получаем числа: 1,4; 1,4; 1,414; 1,5.

Следовательно: 1,4 = 7/5 < √2 < 1,5 .

Пример 3. Приближение корня по недостатку и избытку

Найдите приближения √7 до десятых по недостатку и по избытку.

Известно: √7 ≈ 2,64575.

Приближение до десятых по недостатку должно быть меньше точного значения: 2,6.

Приближение до десятых по избытку должно быть больше точного значения: 2,7.

Получаем: 2,6 < √7 < 2,7.

Пример 4. Округление до сотых

Округлите число 18,3764 до сотых.

При округлении до сотых последней сохраняемой должна остаться вторая цифра после запятой.

В числе 18,3764 цифра сотых - 7.

Сразу справа от неё находится цифра тысячных - 6.

Поскольку 6 больше или равна 5, цифру сотых увеличиваем на единицу: 7 + 1 = 8.

Остальные цифры справа от сотых отбрасываем.

Ответ: 18,3764 ≈ 18,38.

Пример 5. Абсолютная погрешность

Точное значение величины равно 12,47, а приближённое - 12,5. Найдите абсолютную погрешность.

Используем формулу: Δ = |x - a|.

Подставляем значения: Δ = |12,47 - 12,5|.

Разность равна -0,03.

Модуль отрицательного числа равен положительному: |-0,03| = 0,03.

Ответ: абсолютная погрешность равна 0,03.

Пример 6. Проверка результата прикидкой

Ученик получил значение 873,6 для произведения 29,8 · 3,1. Разумный ли это ответ?

Выполним прикидку: 29,8 ≈ 30 и 3,1 ≈ 3.

Примерный результат: 30 · 3 = 90.

Ответ 873,6 почти в десять раз больше ожидаемого результата.

Следовательно, при вычислении была допущена грубая ошибка, вероятнее всего неверно поставлена десятичная запятая.

Точное вычисление: 29,8 · 3,1 = 92,38.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать большее по модулю отрицательное число большим

Число -8 меньше -3, хотя его модуль больше. На числовой прямой -8 находится левее.

Ошибка 2. Сравнивать только первые цифры

Числа 1,409 и 1,41 нужно записать как 1,409 и 1,410. Тогда видно, что 1,409 < 1,41.

Ошибка 3. Возводить в квадрат числа разных знаков

Из равенства квадратов нельзя заключить равенство чисел: (-3)² = 3², но -3 не равно 3.

Ошибка 4. Писать точное равенство вместо приближённого

Для округлённого значения используется знак ≈, например √3 ≈ 1,73.

Ошибка 5. Не определить сохраняемый разряд

Сначала нужно установить, до какого разряда округляется число. Только после этого можно определить, какая цифра сохраняется и какая цифра справа используется для проверки.

Ошибка 6. Смотреть не на ту цифру

При округлении до сотых решение принимается по цифре тысячных - цифре, которая стоит непосредственно справа от цифры сотых.

Ошибка 7. Всегда увеличивать сохраняемую цифру

Сохраняемая цифра увеличивается только тогда, когда следующая справа цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9.

Ошибка 8. Получать отрицательную погрешность

Абсолютная погрешность является модулем разности и поэтому не может быть отрицательной.

Ошибка 9. Считать прикидку точным вычислением

Прикидка показывает примерный размер ответа, но не заменяет точного решения.

Практические задания

Выполняйте задания письменно. В заданиях на сравнение обязательно указывайте способ, которым вы пользовались.

Задание 1. Сравните числа

  1. √6 и 2;
  2. √15 и 4;
  3. π и 3,14;
  4. -√5 и -2;
  5. 7/5 и √2.
Открыть решение
  1. 6 > 4, поэтому √6 > 2.
  2. 15 < 16, поэтому √15 < 4.
  3. π ≈ 3,14159, поэтому π > 3,14.
  4. √5 ≈ 2,236, поэтому -√5 ≈ -2,236 < -2.
  5. 7/5 = 1,4, а √2 ≈ 1,414, поэтому 7/5 < √2.

Задание 2. Расположите по возрастанию

Расположите числа: -1,5; -√2; 0; √3; 1,7; 2.

Открыть подробное решение

Используем приближения: -√2 ≈ -1,414 и √3 ≈ 1,732.

Получаем порядок:

-1,5 < -√2 < 0 < 1,7 < √3 < 2

Задание 3. Округлите числа

  1. 18,736 до десятых;
  2. 18,736 до сотых;
  3. 0,09486 до тысячных;
  4. 47 582 до сотен;
  5. 47 582 до тысяч.
Открыть решение
  1. Сохраняем цифру десятых 7. Справа находится цифра сотых 3. Она меньше 5, поэтому 18,736 ≈ 18,7.
  2. Сохраняем цифру сотых 3. Справа находится цифра тысячных 6. Она больше 5, поэтому 18,736 ≈ 18,74.
  3. Сохраняем цифру тысячных 4. Справа находится цифра десятитысячных 8. Поэтому 0,09486 ≈ 0,095.
  4. Сохраняем цифру сотен 5. Справа находится цифра десятков 8. Поэтому 47 582 ≈ 47 600.
  5. Сохраняем цифру тысяч 7. Справа находится цифра сотен 5. Поэтому 47 582 ≈ 48 000.

Задание 4. Приближения по недостатку и избытку

Для каждого числа запишите приближения до сотых по недостатку и по избытку:

  1. √3;
  2. √10;
  3. π.
Открыть решение
  1. 1,73 < √3 < 1,74.
  2. 3,16 < √10 < 3,17.
  3. 3,14 < π < 3,15.

Задание 5. Абсолютная погрешность

  1. Точное значение 8,36, приближённое 8,4.
  2. Точное значение 15,028, приближённое 15,03.
  3. Точное значение 96, приближённое 100.
Открыть подробное решение
  1. |8,36 - 8,4| = |-0,04| = 0,04.
  2. |15,028 - 15,03| = |-0,002| = 0,002.
  3. |96 - 100| = |-4| = 4.

Задание 6. Выполните прикидку

  1. 49,6 · 2,1;
  2. 803 : 39,8;
  3. 198,4 + 301,7;
  4. 1002 - 497.
Открыть возможный вариант
  1. 49,6 · 2,1 ≈ 50 · 2 = 100.
  2. 803 : 39,8 ≈ 800 : 40 = 20.
  3. 198,4 + 301,7 ≈ 200 + 300 = 500.
  4. 1002 - 497 ≈ 1000 - 500 = 500.

Задание 7. Найдите и исправьте ошибку

  1. 2,764 ≈ 2,76 при округлении до десятых.
  2. 7,895 ≈ 7,89 при округлении до сотых.
  3. π = 3,142.
  4. -7 > -3, потому что 7 > 3.
  5. Абсолютная погрешность равна -0,04.
Открыть исправленный вариант
  1. До десятых сохраняем цифру 7, а рассматриваем следующую справа цифру 6. Поэтому 2,764 ≈ 2,8.
  2. До сотых сохраняем цифру 9, а рассматриваем следующую справа цифру 5. Поэтому 7,895 ≈ 7,90.
  3. Правильно: π ≈ 3,142.
  4. Правильно: -7 < -3.
  5. Абсолютная погрешность неотрицательна и равна 0,04.

Самостоятельная работа

Выполните задания без таблиц и примеров. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Сравните √8 и 3.
  2. Сравните -√3 и -1,7.
  3. Запишите двойное неравенство для √30 между соседними целыми числами.
  4. Расположите по возрастанию числа 1,4; √2; 1,42.
  5. Округлите 9,846 до десятых.
  6. Округлите 9,846 до сотых.
  7. Запишите приближение π до тысячных.
  8. Найдите абсолютную погрешность приближения 6,2 для точного значения 6,17.
  9. Выполните прикидку произведения 39,8 · 5,2.
  10. Объясните различие знаков = и ≈.
Открыть ответы и критерии
  1. 8 < 9, поэтому √8 < 3.
  2. √3 ≈ 1,732, поэтому -√3 ≈ -1,732 < -1,7.
  3. 25 < 30 < 36, поэтому 5 < √30 < 6.
  4. 1,4 < √2 < 1,42.
  5. До десятых сохраняем цифру 8, а рассматриваем следующую справа цифру 4. Поэтому 9,846 ≈ 9,8.
  6. До сотых сохраняем цифру 4, а рассматриваем следующую справа цифру 6. Поэтому 9,846 ≈ 9,85.
  7. π ≈ 3,142.
  8. |6,17 - 6,2| = 0,03.
  9. 39,8 · 5,2 ≈ 40 · 5 = 200.
  10. Знак = обозначает точное равенство, а знак ≈ - приблизительное равенство.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите правила округления и сравнение корней. 4-6 баллов - заново разберите примеры и таблицы. 0-3 балла - вернитесь к определениям и пройдите урок повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube повторяет понятие действительного числа и рассматривает сравнение чисел. Дополнительное видео YouTube сосредоточено на правилах сравнения действительных чисел.

Основное видео Rutube: иррациональные числа, действительные числа и их сравнение. Материал используется для повторения и систематизации.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация посвящена приближённым значениям действительных чисел, округлению и абсолютной погрешности.

На что обратить внимание

  • отличие точного значения от приближённого;
  • приближения по недостатку и избытку;
  • выбор сохраняемого разряда;
  • определение цифры, расположенной сразу справа от сохраняемого разряда;
  • формулу абсолютной погрешности.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Первое упражнение проверяет сравнение действительных чисел. Второе упражнение помогает закрепить приближённые значения и округление.

На что обратить внимание при выполнении

  • приводите числа к сопоставимой форме;
  • используйте приближённые значения корней;
  • учитывайте знак отрицательного числа;
  • сначала определяйте сохраняемый разряд;
  • затем находите цифру, расположенную сразу справа от него.
Сравнение действительных чисел Приближённые значения и округление

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Как определить большее число по числовой прямой?

Ответ: большее число расположено на числовой прямой правее меньшего.

02 Как сравнить два положительных числа, содержащих квадратные корни?

Ответ: можно сравнить их квадраты или использовать десятичные приближения.

03 Что называется приближением по недостатку?

Ответ: приближённое значение, которое меньше точного значения числа.

04 Что называется приближением по избытку?

Ответ: приближённое значение, которое больше точного значения числа.

05 Какую цифру нужно рассматривать после выбора разряда округления?

Ответ: нужно рассматривать цифру, которая расположена непосредственно справа от сохраняемого разряда. Например, при округлении до сотых рассматривается цифра тысячных.

06 Что происходит, если следующая справа цифра равна 7?

Ответ: сохраняемая цифра увеличивается на единицу, потому что следующая справа цифра больше или равна 5.

07 Как вычисляется абсолютная погрешность?

Ответ: нужно найти модуль разности точного и приближённого значений.

08 Для чего выполняют прикидку результата?

Ответ: чтобы заранее определить примерный размер ответа и обнаружить грубую вычислительную ошибку.

Главное по уроку

На числовой прямой большее число расположено правее.

Действительные числа можно сравнивать по десятичным записям, с помощью разности, сравнением квадратов или оценкой между целыми числами.

Приближение по недостатку меньше точного числа, а приближение по избытку - больше.

Приближённое равенство обозначается знаком ≈.

При округлении сначала определяют разряд, цифра которого должна остаться последней.

Затем находят цифру, которая расположена непосредственно справа от сохраняемого разряда.

Если эта цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра не изменяется.

Если эта цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Абсолютная погрешность равна модулю разности точного и приближённого значений.

Прикидка помогает проверить знак и примерный размер результата.

Следующий урок - «Арифметические операции с действительными числами».

09 Урок 9 Арифметические операции с действительными числами Открыть урок Свернуть урок

Урок 9. Арифметические операции с действительными числами

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Вы повторите сложение, вычитание, умножение и деление действительных чисел, разберёте основные свойства арифметических действий, правила знаков, порядок вычислений и особенности действий с рациональными и иррациональными числами.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете выполнять арифметические действия с действительными числами, применять свойства действий для упрощения вычислений и определять возможный вид результата.

01

Основные операции

Повторите названия компонентов сложения, вычитания, умножения и деления.

02

Свойства действий

Разберёте переместительное, сочетательное и распределительное свойства.

03

Точные вычисления

Научитесь сохранять иррациональные числа в точной форме до окончания вычислений.

Перед началом: действительные числа - это все рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел обозначается символом ℝ.

Четыре арифметические операции

Арифметическая операция

Арифметическая операция - действие, которое выполняют над числами по установленному правилу. Основные операции - сложение, вычитание, умножение и деление.

Операция Запись Названия исходных чисел Название результата Пример
Сложение a + b Слагаемые Сумма 3 + 5 = 8
Вычитание a - b Уменьшаемое и вычитаемое Разность 7 - 4 = 3
Умножение a · b Множители Произведение 3 · 6 = 18
Деление a : b Делимое и делитель Частное 20 : 5 = 4
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Деление на ноль не определено. Запись a : 0 не имеет числового значения.

Замкнутость множества действительных чисел

Замкнутость относительно операции

Множество называют замкнутым относительно некоторой операции, если результат выполнения этой операции над числами из множества снова принадлежит тому же множеству.

Если числа a и b являются действительными, то их сумма, разность и произведение также являются действительными числами.

a + b ∈ ℝ a - b ∈ ℝ a · b ∈ ℝ

Частное двух действительных чисел также является действительным, если делитель не равен нулю.

a : b ∈ ℝ, если b ≠ 0
Знак ∈ читается «принадлежит». Запись a + b ∈ ℝ означает, что сумма чисел a и b является действительным числом.

Основные свойства арифметических действий

Свойства позволяют изменять порядок вычислений, группировать числа и раскрывать скобки, не изменяя значение выражения.

Свойство Формула Объяснение Пример Где применяется
Переместительное свойство сложения a + b = b + a Слагаемые можно менять местами. 7 + 13 = 13 + 7 Для удобной перестановки слагаемых.
Сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c) Слагаемые можно группировать по-разному. (8 + 12) + 5 = 8 + (12 + 5) Для объединения удобных слагаемых.
Переместительное свойство умножения a · b = b · a Множители можно менять местами. 4 · 25 = 25 · 4 Для удобной перестановки множителей.
Сочетательное свойство умножения (a · b) · c = a · (b · c) Множители можно группировать по-разному. (2 · 5) · 7 = 2 · (5 · 7) Для получения удобных произведений.
Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac Множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. 3(10 + 2) = 30 + 6 Для раскрытия скобок и вынесения общего множителя.
Нейтральный элемент сложения a + 0 = a При прибавлении нуля число не изменяется. √2 + 0 = √2 При упрощении выражений.
Нейтральный элемент умножения a · 1 = a При умножении на единицу число не изменяется. π · 1 = π При преобразовании произведений.
Умножение на ноль a · 0 = 0 Произведение любого числа и нуля равно нулю. √5 · 0 = 0 При вычислении произведений.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Переместительное и сочетательное свойства не применяются к вычитанию и делению: 8 - 3 ≠ 3 - 8, 12 : 4 ≠ 4 : 12.

Противоположные и взаимно обратные числа

Противоположные числа

Два числа называют противоположными, если их сумма равна нулю. Для числа a противоположным является число -a.

a + (-a) = 0 √3 + (-√3) = 0
Взаимно обратные числа

Два ненулевых числа называют взаимно обратными, если их произведение равно единице. Для ненулевого числа a обратным является число 1/a.

a · 1 a = 1, a ≠ 0
Число 0 не имеет обратного числа, потому что деление 1 : 0 невозможно.

Действия с положительными и отрицательными числами

Модуль числа

Модуль числа - расстояние от точки, изображающей это число, до нуля на числовой прямой. Модуль не может быть отрицательным.

|5| = 5 |-5| = 5
Действие Ситуация Как определить знак Как выполнить действие Пример
Сложение Одинаковые знаки Сохраняется общий знак. Модули складываются. -4 + (-7) = -11
Сложение Разные знаки Берётся знак числа с большим модулем. Из большего модуля вычитается меньший. -9 + 5 = -4
Вычитание Любые числа Вычитание заменяется сложением с противоположным числом. a - b = a + (-b) 4 - (-3) = 4 + 3 = 7
Умножение или деление Одинаковые знаки Результат положительный. Выполняется действие с модулями. (-6) · (-2) = 12
Умножение или деление Разные знаки Результат отрицательный. Выполняется действие с модулями. (-15) : 3 = -5
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Каким может быть результат действий

При вычислениях важно различать принадлежность результата множеству действительных чисел и его более точный вид - рациональный или иррациональный.

Исходные числа Операция Возможный результат Пример Объяснение
Два рациональных числа Сложение, вычитание, умножение Рациональное число 1/2 + 3/4 = 5/4 Результат можно представить отношением целых чисел.
Два рациональных числа Деление Рациональное число 3/5 : 2/7 = 21/10 Делитель не должен быть равен нулю.
Рациональное и иррациональное Сложение Иррациональное число 2 + √3 Прибавление рационального числа не устраняет иррациональную часть.
Ненулевое рациональное и иррациональное Умножение Иррациональное число 3√2 Ненулевой рациональный множитель не делает иррациональное число рациональным.
Два иррациональных числа Сложение Рациональное или иррациональное √2 + (-√2) = 0 В данном примере иррациональные части уничтожаются.
Два иррациональных числа Умножение Рациональное или иррациональное √2 · √2 = 2 Произведение двух иррациональных чисел может быть рациональным.
Два иррациональных числа Умножение Может быть иррациональным √2 · √3 = √6 Число 6 не является полным квадратом, поэтому √6 иррационально.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Сумма или произведение двух иррациональных чисел не обязаны быть иррациональными. Результат зависит от конкретных чисел.

Почему рациональное число и иррациональное число дают иррациональную сумму

Рассуждение помогает не только запомнить правило, но и понять его.

Открыть объяснение

Пусть число r рационально, а число x иррационально.

Предположим, что сумма r + x оказалась рациональной.

Из этой суммы можно вычесть рациональное число r:

x = (r + x) - r

Разность двух рациональных чисел является рациональным числом. Тогда число x должно было бы быть рациональным.

Но по условию x иррационально. Получено противоречие.

Следовательно, сумма рационального и иррационального чисел является иррациональной.

Почему ненулевое рациональное число, умноженное на иррациональное, даёт иррациональное число

Пусть r - ненулевое рациональное число, а x - иррациональное число.

Предположим, что произведение r · x является рациональным.

Разделим произведение на ненулевое рациональное число r:

x = (r · x) : r

Частное двух рациональных чисел при ненулевом делителе является рациональным. Тогда x должно быть рациональным, что противоречит условию.

Поэтому произведение ненулевого рационального и иррационального чисел иррационально.

Сложение выражений с одинаковой иррациональной частью

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые - слагаемые с одинаковой буквенной или иррациональной частью. У них складывают или вычитают числовые коэффициенты.

Коэффициент

Коэффициент - числовой множитель перед буквенным выражением или числом, записанным с корнем. В выражении 3√2 коэффициент равен 3.

3√2 + 5√2 = 8√2 Складываются коэффициенты 3 и 5, а общая часть √2 сохраняется.
7π - 2π = 5π Вычитаются коэффициенты 7 и 2.
Нельзя складывать разные иррациональные части: √2 + √3 не равно √5. Эти слагаемые не являются подобными.

Порядок выполнения действий

Если выражение содержит несколько операций, они выполняются в установленной последовательности.

1

Действия в скобках

Сначала вычисляются или преобразуются выражения, заключённые в скобки.

2

Степени и корни

Затем вычисляются степени и значения корней, если это возможно.

3

Умножение и деление

Эти действия выполняются слева направо.

4

Сложение и вычитание

Эти действия также выполняются слева направо.

5

Проверка результата

Проверьте знаки, возможность деления, точность записи и примерный размер ответа.

6 - 2(1 - √2) Сначала учитываются скобки, затем выполняется умножение, после этого - сложение и вычитание.

Точная и приближённая форма результата

Точная форма

Точная форма сохраняет число без погрешности. Например, √2, 3√5 и 2 + π являются точными записями.

Приближённая форма

Приближённая форма заменяет иррациональное число конечной десятичной дробью с указанной точностью.

2 + √3 Точное значение выражения.
2 + √3 ≈ 2 + 1,732 = 3,732 Приближённое значение при использовании √3 ≈ 1,732.
В промежуточных действиях лучше сохранять точную форму. Округление обычно выполняют в конце решения, чтобы не увеличивать погрешность.

Подробно разобранные примеры

В каждом примере сначала определяется подходящее свойство или порядок действий, затем выполняется преобразование.

Пример 1. Удобная группировка рациональных чисел

Вычислите: 17,4 + 8,6 - 3,4.

Используем переместительное и сочетательное свойства сложения.

Удобно сначала объединить числа 17,4 и -3,4:

17,4 - 3,4 = 14

Затем:

14 + 8,6 = 22,6

Ответ: 22,6.

Пример 2. Приведение подобных слагаемых

Упростите: 5√2 - 3√2 + √2.

Все слагаемые содержат одинаковую иррациональную часть √2.

Коэффициент перед последним слагаемым √2 равен 1.

Выполняем действие с коэффициентами:

5 - 3 + 1 = 3

Следовательно:

5√2 - 3√2 + √2 = 3√2

Ответ: 3√2.

Пример 3. Раскрытие скобок

Упростите: 2(3 - √2) + √2.

Применяем распределительное свойство:

2(3 - √2) = 2 · 3 - 2 · √2

Получаем:

6 - 2√2 + √2

Приводим подобные слагаемые:

-2√2 + √2 = -√2

Ответ: 6 - √2.

Пример 4. Произведение иррациональных чисел

Вычислите: √5 · √5.

Число √5 по определению является неотрицательным числом, квадрат которого равен 5.

Произведение числа на себя является его квадратом:

√5 · √5 = (√5)²

Следовательно:

(√5)² = 5

Ответ: 5.

Два иррациональных множителя дали рациональный результат.

Пример 5. Вычисление по порядку действий

Упростите: 6 - 2(1 - √2).

Сначала умножаем число 2 на каждое слагаемое в скобках:

2(1 - √2) = 2 - 2√2

Подставляем:

6 - (2 - 2√2)

Перед скобками стоит знак минус. При раскрытии скобок знаки внутри изменяются:

6 - 2 + 2√2

Вычисляем рациональную часть:

4 + 2√2

Ответ: 4 + 2√2.

Пример 6. Точное и приближённое значение

Найдите точное и приближённое значение выражения 3 + 2√2.

Точная запись уже дана:

3 + 2√2

Используем приближение:

√2 ≈ 1,414

Умножаем:

2 · 1,414 = 2,828

Прибавляем 3:

3 + 2,828 = 5,828

Ответ: точное значение - 3 + 2√2; приближённое значение - 5,828.

Пример 7. Практическая задача

Диагональ квадрата со стороной 3 м равна 3√2 м. Найдите приближённую длину диагонали до сотых.

Точная длина диагонали:

d = 3√2 м

Используем √2 ≈ 1,414:

d ≈ 3 · 1,414 = 4,242 м

Округляем до сотых. Цифра сотых - 4, следующая цифра - 2. Цифра сотых не изменяется.

Ответ: приблизительно 4,24 м.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Делить на ноль

Деление на ноль не определено. Перед делением обязательно проверяйте, что делитель не равен нулю.

Ошибка 2. Менять местами числа при вычитании

Вычитание не обладает переместительным свойством: 8 - 3 не равно 3 - 8.

Ошибка 3. Менять местами числа при делении

Деление не обладает переместительным свойством: 12 : 4 не равно 4 : 12.

Ошибка 4. Неверно раскрывать скобки

В выражении a(b + c) множитель a должен быть умножен на каждое слагаемое в скобках.

Ошибка 5. Складывать разные корни

Выражение √2 + √3 нельзя заменить выражением √5. Слагаемые имеют разные иррациональные части.

Ошибка 6. Считать результат двух иррациональных чисел всегда иррациональным

Например, √7 - √7 = 0 и √5 · √5 = 5. Оба результата рациональны.

Ошибка 7. Рано округлять промежуточный результат

Преждевременное округление увеличивает погрешность. Точную форму следует сохранять до последнего действия.

Ошибка 8. Нарушать порядок действий

Умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, если порядок не изменён скобками.

Ошибка 9. Терять знак минус перед скобками

При раскрытии скобок со знаком минус знаки всех слагаемых внутри скобок изменяются на противоположные.

Ошибка 10. Записывать приближение как точное равенство

Правильно: √2 ≈ 1,414. Запись √2 = 1,414 неверна.

Практические задания

Выполняйте задания письменно. Сначала укажите используемое правило или свойство, затем проведите вычисление.

Задание 1. Удобные вычисления

  1. 12,7 + 8,3 + 7,3;
  2. 4 · 2,5 · 17;
  3. 18,6 - 7,4 - 1,6;
  4. 25 · 13 · 4.
Открыть решение
  1. 12,7 + 7,3 + 8,3 = 20 + 8,3 = 28,3.
  2. 4 · 2,5 · 17 = 10 · 17 = 170.
  3. 18,6 - 1,6 - 7,4 = 17 - 7,4 = 9,6.
  4. 25 · 4 · 13 = 100 · 13 = 1300.

Задание 2. Правила знаков

  1. -8 + 13;
  2. -11 + (-7);
  3. 6 - (-9);
  4. (-4) · (-12);
  5. 56 : (-7).
Открыть решение
  1. -8 + 13 = 5.
  2. -11 + (-7) = -18.
  3. 6 - (-9) = 6 + 9 = 15.
  4. (-4) · (-12) = 48.
  5. 56 : (-7) = -8.

Задание 3. Подобные слагаемые

  1. 4√3 + 2√3;
  2. 9√5 - 6√5;
  3. 3π + 5π - 2π;
  4. 7√2 - √2 - 3√2.
Открыть подробное решение
  1. 4√3 + 2√3 = (4 + 2)√3 = 6√3.
  2. 9√5 - 6√5 = (9 - 6)√5 = 3√5.
  3. 3π + 5π - 2π = (3 + 5 - 2)π = 6π.
  4. 7√2 - √2 - 3√2 = (7 - 1 - 3)√2 = 3√2.

Задание 4. Раскройте скобки и упростите

  1. 3(2 + √2);
  2. 5(1 - √3) + 2√3;
  3. 4 - 2(3 - √5);
  4. 3(2√2 - 1) - 4√2.
Открыть подробное решение
  1. 3(2 + √2) = 6 + 3√2.
  2. 5(1 - √3) + 2√3 = 5 - 5√3 + 2√3 = 5 - 3√3.
  3. 4 - 2(3 - √5) = 4 - 6 + 2√5 = 2√5 - 2.
  4. 3(2√2 - 1) - 4√2 = 6√2 - 3 - 4√2 = 2√2 - 3.

Задание 5. Определите вид результата

Определите, является результат рациональным или иррациональным:

  1. √7 - √7;
  2. √11 + 4;
  3. 3√5;
  4. √6 · √6;
  5. √2 + √2.
Открыть решение
  1. √7 - √7 = 0 - рациональное число.
  2. √11 + 4 - иррациональное число.
  3. 3√5 - иррациональное число.
  4. √6 · √6 = 6 - рациональное число.
  5. √2 + √2 = 2√2 - иррациональное число.

Задание 6. Точные и приближённые значения

Найдите приближённые значения до сотых:

  1. 1 + √2;
  2. 2√3;
  3. 5 - √5;
  4. 2 + π.
Открыть подробное решение
  1. √2 ≈ 1,414. Тогда 1 + √2 ≈ 2,414 ≈ 2,41.
  2. √3 ≈ 1,732. Тогда 2√3 ≈ 3,464 ≈ 3,46.
  3. √5 ≈ 2,236. Тогда 5 - √5 ≈ 2,764 ≈ 2,76.
  4. π ≈ 3,142. Тогда 2 + π ≈ 5,142 ≈ 5,14.

Задание 7. Найдите и исправьте ошибку

  1. √2 + √3 = √5;
  2. 4√3 + 2√3 = 6√6;
  3. 3(2 + √5) = 6 + √5;
  4. 8 : 0 = 0;
  5. √2 · √2 является иррациональным числом.
Открыть исправленный вариант
  1. √2 и √3 не являются подобными слагаемыми. Выражение √2 + √3 не упрощается до √5.
  2. 4√3 + 2√3 = 6√3.
  3. 3(2 + √5) = 6 + 3√5.
  4. Деление 8 : 0 не определено.
  5. √2 · √2 = 2 - рациональное число.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Сформулируйте переместительное свойство сложения.
  2. Сформулируйте распределительное свойство умножения.
  3. Вычислите: -7 + 12.
  4. Вычислите: 5 - (-8).
  5. Упростите: 6√2 - 4√2 + √2.
  6. Упростите: 2(4 + √3).
  7. Упростите: 7 - 3(2 - √5).
  8. Определите вид числа √3 + 2.
  9. Определите вид числа √7 · √7.
  10. Найдите приближённое значение 2 + √2 до сотых.
Открыть ответы и критерии
  1. a + b = b + a.
  2. a(b + c) = ab + ac.
  3. -7 + 12 = 5.
  4. 5 - (-8) = 13.
  5. 6√2 - 4√2 + √2 = 3√2.
  6. 2(4 + √3) = 8 + 2√3.
  7. 7 - 3(2 - √5) = 7 - 6 + 3√5 = 1 + 3√5.
  8. √3 + 2 - иррациональное число.
  9. √7 · √7 = 7 - рациональное число.
  10. 2 + √2 ≈ 2 + 1,414 = 3,414 ≈ 3,41.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите раскрытие скобок и определение вида результата. 4-6 баллов - заново разберите свойства действий и подробные примеры. 0-3 балла - вернитесь к началу урока и пройдите материал повторно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube рассматривает действительные числа и выполнение действий с ними. Дополнительное видео YouTube помогает повторить операции и способы преобразования выражений.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на представление действительных чисел, действия с бесконечными десятичными дробями и сохранение точной формы результата.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует рациональные и иррациональные числа и рассматривает арифметические операции с действительными числами.

На что обратить внимание

  • состав множества действительных чисел;
  • четыре основные арифметические операции;
  • свойства сложения и умножения;
  • особенности действий с иррациональными числами;
  • сохранение точной формы результата.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивный тест содержит задания на действия с действительными числами, преобразование периодических дробей, умножение иррациональных чисел и сравнение результатов.

На что обратить внимание при выполнении

  • соблюдайте порядок действий;
  • проверяйте знаки чисел;
  • не делите на ноль;
  • сохраняйте точные значения до окончания вычислений;
  • после ошибки повторно выполните решение письменно.
Открыть интерактивный тест

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Какие четыре арифметические операции называют основными?

Ответ: сложение, вычитание, умножение и деление.

02 Что означает замкнутость множества относительно операции?

Ответ: результат операции над элементами множества снова принадлежит этому множеству.

03 Почему при делении требуется условие b ≠ 0?

Ответ: деление на ноль не определено и не имеет числового результата.

04 Что утверждает распределительное свойство умножения?

Ответ: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри скобок: a(b + c) = ab + ac.

05 Почему выражение √2 + √3 нельзя заменить выражением √5?

Ответ: числа √2 и √3 имеют разные иррациональные части и не являются подобными слагаемыми.

06 Может ли произведение двух иррациональных чисел быть рациональным?

Ответ: да. Например, √2 · √2 = 2.

07 Почему округление рекомендуется выполнять в конце решения?

Ответ: раннее округление создаёт дополнительную погрешность, которая может увеличиваться при последующих действиях.

08 В каком порядке выполняются действия в числовом выражении?

Ответ: сначала действия в скобках, затем степени и корни, после этого умножение и деление, затем сложение и вычитание.

Главное по уроку

Основные арифметические операции - сложение, вычитание, умножение и деление.

Множество действительных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.

Деление действительных чисел возможно только при ненулевом делителе.

Сложение и умножение обладают переместительным и сочетательным свойствами.

Умножение обладает распределительным свойством относительно сложения и вычитания.

Вычитание можно заменить сложением с противоположным числом.

Деление можно представить как умножение на обратное число, если делитель не равен нулю.

Сумма рационального и иррационального чисел является иррациональной.

Произведение ненулевого рационального и иррационального чисел является иррациональным.

Сумма или произведение двух иррациональных чисел может быть как рациональным, так и иррациональным.

Округление рекомендуется выполнять в конце решения.

Следующий урок - «Тождества и тождественные преобразования».

10 Урок 10 Тождества и тождественные преобразования Открыть урок Свернуть урок

Урок 10. Тождества и тождественные преобразования

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала вы повторите свойства арифметических действий, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Затем разберёте понятия тождества, тождественно равных выражений и тождественного преобразования, научитесь доказывать тождества и находить ошибки в преобразованиях.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете отличать тождество от уравнения, выполнять тождественные преобразования, доказывать тождества и учитывать допустимые значения переменных в дробных выражениях.

01

Основные понятия

Равенство, тождество, тождественно равные выражения и допустимые значения переменных.

02

Преобразования

Раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, разложение на множители и сокращение дробей.

03

Доказательство тождеств

Преобразование одной или обеих частей равенства и проверка допустимых значений.

Рекомендуемый порядок: повторите свойства действий, изучите определения, разберите подробные примеры, выполните практические задания и только после этого откройте решения.

Повторение: свойства арифметических действий

Тождественные преобразования основаны на свойствах, которые вы использовали при действиях с числами и буквенными выражениями.

Свойство Формула Объяснение Пример
Переместительное свойство сложения a + b = b + a Слагаемые можно менять местами. x + 5 = 5 + x
Сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c) Слагаемые можно объединять в группы. (x + 3) + 7 = x + (3 + 7)
Переместительное свойство умножения ab = ba Множители можно менять местами. 3x = x · 3
Сочетательное свойство умножения (ab)c = a(bc) Множители можно объединять в группы. (2x) · 5 = 2 · (5x)
Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac Множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое. 3(x + 2) = 3x + 6
Вычитание суммы a - (b + c) = a - b - c При раскрытии скобок после минуса знаки слагаемых изменяются. x - (2x + 3) = x - 2x - 3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Повторите: знак минус перед скобками означает умножение каждого слагаемого в скобках на число -1.

Повторение: подобные слагаемые

Одночлен

Одночлен - произведение чисел, переменных и их степеней. Например, 5x, -3a²b и 7 являются одночленами.

Коэффициент

Коэффициент - числовой множитель одночлена. В одночлене 5x коэффициент равен 5, а в одночлене -x коэффициент равен -1.

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Их коэффициенты можно складывать или вычитать.

5x + 3x = 8x Буквенная часть x одинакова, поэтому складываются коэффициенты 5 и 3.
7a² - 2a² = 5a² Буквенная часть a² сохраняется.
Слагаемые 3x и 3x² не являются подобными, потому что показатели степени переменной различаются.

Равенство и тождество

Равенство

Равенство - запись, в которой два выражения соединены знаком равенства. Выражение слева называется левой частью, выражение справа - правой частью.

2x + 3 = 7 Равенство верно только при x = 2. Поэтому это уравнение, а не тождество.
Тождество

Тождество - равенство, которое является верным при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

2(x + 3) = 2x + 6 После раскрытия скобок левая часть превращается в правую при любом действительном x.
Слово «тождественно» означает «одинаково при всех допустимых значениях переменных».

Чем тождество отличается от уравнения

Признак Тождество Уравнение Пример
Когда равенство верно При всех допустимых значениях переменной Только при некоторых значениях 3(x + 1) = 3x + 3 - тождество
Основная задача Доказать или использовать для преобразования Найти все корни 3x + 3 = 12 - уравнение
Результат преобразования Получается равное выражение Получается более простое равносильное уравнение 3x + 3 = 12 ⇔ x = 3
Проверка Сравниваются преобразованные части Корни подставляются в исходное уравнение Для x = 3: 3 · 3 + 3 = 12
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно допустимое значение переменной, при котором равенство неверно.

Допустимые значения переменных

Допустимое значение переменной

Допустимое значение - значение переменной, при котором все выражения имеют смысл и все указанные действия можно выполнить.

Область допустимых значений

Область допустимых значений, сокращённо ОДЗ, - множество всех допустимых значений переменной.

1 / (x - 2) Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 2.
(x² - 4) / (x - 2) = x + 2 Равенство является тождеством только при x ≠ 2.
При x = 2 левая часть не определена. Поэтому нельзя утверждать, что равенство верно при всех действительных x.

Тождественно равные выражения

Тождественно равные выражения

Два выражения называются тождественно равными, если при всех общих допустимых значениях переменных они принимают одинаковые значения.

3(x - 2) 3x - 6 Эти выражения тождественно равны, потому что распределительное свойство превращает первое выражение во второе.
(a + b)² a² + 2ab + b² Эти выражения тождественно равны по формуле квадрата суммы.

Тождественное преобразование

Тождественное преобразование

Тождественное преобразование - замена выражения тождественно равным ему выражением.

Цель преобразования - получить более простую, удобную или полезную форму выражения, не изменяя его значения при допустимых значениях переменных.

01

Раскрытие скобок

Используется распределительное свойство умножения.

02

Приведение подобных

Складываются или вычитаются коэффициенты подобных слагаемых.

03

Формулы сокращённого умножения

Позволяют раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители.

04

Разложение на множители

Сумма или разность заменяется произведением.

05

Приведение дробей

Дроби приводятся к общему знаменателю или сокращаются.

06

Замена порядка действий

Используются переместительное и сочетательное свойства.

Раскрытие скобок

a(b + c) = ab + ac Множитель a умножается на каждое слагаемое внутри скобок.
a(b - c) = ab - ac Знак между слагаемыми сохраняется.
-(a + b) = -a - b Минус перед скобками изменяет знаки всех слагаемых.
-(a - b) = -a + b Слагаемое -b после умножения на -1 превращается в +b.
При раскрытии скобок множитель перед скобками необходимо умножить на каждый член выражения.

Формулы сокращённого умножения

Формулы являются тождествами. Их можно применять как слева направо для раскрытия скобок, так и справа налево для разложения на множители.

Название Формула Как читается Пример
Квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b² Квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго (x + 3)² = x² + 6x + 9
Квадрат разности (a - b)² = a² - 2ab + b² Квадрат первого, минус удвоенное произведение, плюс квадрат второго (x - 4)² = x² - 8x + 16
Разность квадратов a² - b² = (a - b)(a + b) Разность квадратов равна произведению разности и суммы x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Куб суммы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Четыре слагаемых с последовательно изменяющимися степенями (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
Куб разности (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ Знаки слагаемых чередуются (x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Разложение на множители

Разложение на множители

Разложить выражение на множители - значит представить его в виде произведения двух или нескольких выражений.

6x + 12 = 6(x + 2) Общий множитель 6 вынесен за скобки.
x² - 16 = (x - 4)(x + 4) Использована формула разности квадратов.
x² + 6x + 9 = (x + 3)² Трёхчлен распознан как квадрат суммы.

Тождественные преобразования дробных выражений

Основное свойство дроби

Числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение. Значение дроби при этом не изменится.

a / b = ac / bc Условия: b ≠ 0 и c ≠ 0.
(x² - 9) / (x - 3) = x + 3 Сначала x² - 9 раскладывается: (x - 3)(x + 3), затем сокращается множитель x - 3. Условие x ≠ 3 сохраняется.
Сокращать можно только общие множители. Отдельные слагаемые числителя и знаменателя сокращать нельзя.

Алгоритм доказательства тождества

1

Найдите допустимые значения

Если в выражениях есть знаменатели, корни или другие ограничения, сначала запишите ОДЗ.

2

Выберите более сложную часть

Обычно преобразуют ту часть равенства, в которой больше скобок, дробей или слагаемых.

3

Выполняйте по одному преобразованию

Раскрывайте скобки, приводите подобные, раскладывайте на множители и сокращайте дроби последовательно.

4

Указывайте используемое свойство

Каждое действие должно опираться на известное тождество или свойство.

5

Получите другую часть равенства

Если одна часть после допустимых преобразований совпала с другой, тождество доказано.

6

Сформулируйте вывод

Укажите, что равенство верно при всех допустимых значениях переменных.

Можно преобразовать обе части равенства и получить одно и то же выражение. Но нельзя переходить от левой части к правой, используя само доказываемое равенство.

Подробно разобранные примеры

В каждом примере обращайте внимание не только на результат, но и на основание каждого преобразования.

Пример 1. Раскрытие скобок и приведение подобных

Упростите выражение: 3(2x - 5) - 2(x + 4).

Раскрываем первые скобки:

3(2x - 5) = 6x - 15

Перед вторыми скобками находится множитель -2:

-2(x + 4) = -2x - 8

Получаем:

6x - 15 - 2x - 8

Приводим подобные слагаемые:

6x - 2x = 4x

-15 - 8 = -23

Ответ: 4x - 23.

Пример 2. Доказательство тождества

Докажите: (a - b)² + 2ab = a² + b².

Преобразуем левую часть.

Раскрываем квадрат разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Подставляем:

a² - 2ab + b² + 2ab

Слагаемые -2ab и +2ab являются противоположными, поэтому их сумма равна нулю:

a² + b²

Получена правая часть.

Вывод: тождество доказано.

Пример 3. Разложение на множители

Разложите: 9x² - 25.

Представляем каждое слагаемое как квадрат:

9x² = (3x)²

25 = 5²

Используем формулу разности квадратов:

a² - b² = (a - b)(a + b)

Получаем:

9x² - 25 = (3x - 5)(3x + 5)

Ответ: (3x - 5)(3x + 5).

Пример 4. Сокращение дроби

Упростите: (x² - 9)/(x - 3).

Сначала записываем ограничение:

x - 3 ≠ 0

Следовательно:

x ≠ 3

Разлагаем числитель:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

Получаем:

(x - 3)(x + 3)/(x - 3)

При x ≠ 3 сокращаем общий множитель:

x + 3

Ответ: x + 3 при x ≠ 3.

Пример 5. Доказательство преобразованием обеих частей

Докажите: (x + 2)(x - 2) + 4 = x².

Преобразуем левую часть.

Произведение суммы и разности:

(x + 2)(x - 2) = x² - 4

Прибавляем 4:

x² - 4 + 4 = x²

Получена правая часть.

Вывод: равенство является тождеством при любом действительном x.

Пример 6. Как доказать, что равенство не является тождеством

Является ли равенство 2(x + 1) = 2x + 1 тождеством?

Раскрываем скобки в левой части:

2(x + 1) = 2x + 2

Получаем сравнение:

2x + 2 и 2x + 1

Эти выражения не равны. Можно также подставить x = 0:

Левая часть: 2(0 + 1) = 2.

Правая часть: 2 · 0 + 1 = 1.

Получено неверное равенство 2 = 1.

Вывод: равенство не является тождеством.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать тождество и уравнение

Уравнение верно только при его корнях, а тождество - при всех допустимых значениях.

Ошибка 2. Умножать только первое слагаемое

Правильно: 3(x + 2) = 3x + 6, а не 3x + 2.

Ошибка 3. Терять минус перед скобками

Правильно: -(x - 4) = -x + 4.

Ошибка 4. Считать неподобные слагаемые подобными

Выражение 3x + 2x² нельзя заменить выражением 5x³.

Ошибка 5. Неверно применять квадрат суммы

(a + b)² не равно a² + b². Необходимо добавить слагаемое 2ab.

Ошибка 6. Сокращать слагаемые

В дроби (x + 3)/x нельзя сократить x, потому что x не является множителем всего числителя.

Ошибка 7. Забывать ОДЗ

После сокращения дроби ограничения исходного знаменателя сохраняются.

Ошибка 8. Проверять тождество одним значением

Совпадение частей при одном значении не доказывает тождество.

Ошибка 9. Использовать доказываемое равенство

Нельзя доказывать тождество, ссылаясь на это же тождество.

Ошибка 10. Пропускать промежуточные действия

Каждый переход должен быть понятен и основан на известном свойстве.

Практические задания

Выполняйте задания письменно. Перед открытием решения укажите, какое свойство или формулу вы использовали.

Задание 1. Тождество или уравнение

Определите вид каждого равенства.

  1. 4(x - 1) = 4x - 4;
  2. 3x + 5 = 11;
  3. (a + b)² = a² + 2ab + b²;
  4. x² = 16;
  5. 2(x + 3) = 2x + 5.
Открыть решение
  1. Тождество: после раскрытия скобок получаем 4x - 4.
  2. Уравнение: верно только при x = 2.
  3. Тождество: формула квадрата суммы.
  4. Уравнение: верно при x = -4 и x = 4.
  5. Не является тождеством: левая часть равна 2x + 6, а правая - 2x + 5.

Задание 2. Раскройте скобки и упростите

  1. 5(x + 3) - 2x;
  2. 4(2a - 1) - 3(a + 2);
  3. 7 - 2(3x - 4);
  4. -(5y - 2) + 3y.
Открыть подробное решение
  1. 5x + 15 - 2x = 3x + 15.
  2. 8a - 4 - 3a - 6 = 5a - 10.
  3. 7 - 6x + 8 = 15 - 6x.
  4. -5y + 2 + 3y = 2 - 2y.

Задание 3. Используйте формулы сокращённого умножения

  1. (x + 5)²;
  2. (2a - 3)²;
  3. (y - 4)(y + 4);
  4. 25x² - 49.
Открыть решение
  1. (x + 5)² = x² + 10x + 25.
  2. (2a - 3)² = 4a² - 12a + 9.
  3. (y - 4)(y + 4) = y² - 16.
  4. 25x² - 49 = (5x - 7)(5x + 7).

Задание 4. Докажите тождества

  1. (x + 1)² - 2x = x² + 1;
  2. (a + b)(a - b) + b² = a²;
  3. 3(x - 2) + 2(x + 3) = 5x;
  4. (m - 2)² + 4m = m² + 4.
Открыть подробное доказательство
  1. (x + 1)² - 2x = x² + 2x + 1 - 2x = x² + 1.
  2. (a + b)(a - b) + b² = a² - b² + b² = a².
  3. 3x - 6 + 2x + 6 = 5x.
  4. (m - 2)² + 4m = m² - 4m + 4 + 4m = m² + 4.

Задание 5. Упростите дробные выражения

  1. (x² - 4)/(x - 2);
  2. (a² - 9)/(a + 3);
  3. (4y² - 1)/(2y - 1);
  4. (m² + 6m + 9)/(m + 3).
Открыть решение
  1. x ≠ 2.
    x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
    Ответ: x + 2 при x ≠ 2.
  2. a ≠ -3.
    a² - 9 = (a - 3)(a + 3).
    Ответ: a - 3 при a ≠ -3.
  3. y ≠ 1/2.
    4y² - 1 = (2y - 1)(2y + 1).
    Ответ: 2y + 1 при y ≠ 1/2.
  4. m ≠ -3.
    m² + 6m + 9 = (m + 3)².
    Ответ: m + 3 при m ≠ -3.

Задание 6. Найдите и исправьте ошибку

  1. 3(x + 4) = 3x + 4;
  2. (a + b)² = a² + b²;
  3. -(x - 5) = -x - 5;
  4. (x² - 9)/(x - 3) = x + 3 при всех действительных x;
  5. (x + 2)/x = 2.
Открыть исправления
  1. Правильно: 3(x + 4) = 3x + 12.
  2. Правильно: (a + b)² = a² + 2ab + b².
  3. Правильно: -(x - 5) = -x + 5.
  4. Правильно: (x² - 9)/(x - 3) = x + 3 только при x ≠ 3.
  5. Сокращать x в сумме x + 2 нельзя. Можно записать: (x + 2)/x = 1 + 2/x, x ≠ 0.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

  1. Дайте определение тождества.
  2. Объясните, что называется тождественным преобразованием.
  3. Упростите: 4(x + 2) - 3x.
  4. Упростите: 5 - 2(x - 3).
  5. Раскройте: (x - 4)².
  6. Разложите: 16a² - 25.
  7. Докажите: (x + 3)(x - 3) + 9 = x².
  8. Упростите: (x² - 1)/(x - 1).
  9. Укажите допустимые значения в предыдущем задании.
  10. Является ли равенство 2(x + 2) = 2x + 2 тождеством?
Открыть ответы и критерии
  1. Тождество - равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.
  2. Замена выражения тождественно равным ему выражением.
  3. 4x + 8 - 3x = x + 8.
  4. 5 - 2x + 6 = 11 - 2x.
  5. (x - 4)² = x² - 8x + 16.
  6. 16a² - 25 = (4a - 5)(4a + 5).
  7. (x + 3)(x - 3) + 9 = x² - 9 + 9 = x².
  8. (x² - 1)/(x - 1) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1) = x + 1.
  9. x ≠ 1.
  10. Нет. Левая часть равна 2x + 4, а правая - 2x + 2.

9-10 баллов - материал усвоен уверенно. 7-8 баллов - повторите доказательство тождеств и преобразование дробей. 4-6 баллов - повторите свойства действий и формулы сокращённого умножения. 0-3 балла - вернитесь к началу урока и повторно разберите примеры.

Видео по теме урока

Основное видео посвящено тождествам и тождественным преобразованиям. Дополнительное видео помогает повторить основные способы преобразования выражений.

Основное видео Rutube. Во время просмотра записывайте определения и останавливайте видео перед выполнением преобразований.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация помогает повторить определения, основные виды тождественных преобразований и последовательность доказательства тождества.

На что обратить внимание

  • определение тождества;
  • различие тождества и уравнения;
  • допустимые значения переменных;
  • раскрытие скобок;
  • приведение подобных слагаемых;
  • доказательство равенства преобразованием одной части.
Открыть презентацию

Интерактив

Упражнение помогает закрепить распознавание равных выражений и основные способы тождественных преобразований.

На что обратить внимание при выполнении

  • сначала определяйте вид преобразования;
  • проверяйте каждый знак;
  • не объединяйте неподобные слагаемые;
  • учитывайте формулы сокращённого умножения;
  • после ошибки выполняйте преобразование письменно;
  • пройдите упражнение повторно без подсказок.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно и только после этого раскройте готовый ответ.

01 Что называется тождеством?

Ответ: тождество - равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

02 Чем тождество отличается от уравнения?

Ответ: тождество верно при всех допустимых значениях, а уравнение - только при его корнях.

03 Какие выражения называются тождественно равными?

Ответ: выражения, принимающие одинаковые значения при всех общих допустимых значениях переменных.

04 Что называется тождественным преобразованием?

Ответ: замена выражения тождественно равным ему выражением.

05 Какие преобразования относятся к тождественным?

Ответ: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращённого умножения, разложение на множители, приведение дробей и сокращение общих множителей с учётом ОДЗ.

06 Почему при преобразовании дробей нужно учитывать ОДЗ?

Ответ: потому что значения, обращающие знаменатель в ноль, недопустимы и не могут использоваться при сравнении выражений.

07 Как доказать, что равенство не является тождеством?

Ответ: достаточно найти одно допустимое значение переменной, при котором равенство неверно.

08 Каков основной способ доказательства тождества?

Ответ: преобразовать одну часть равенства и получить другую либо преобразовать обе части и получить одно и то же выражение.

Главное по уроку

Тождество - равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

Уравнение верно только при определённых значениях, называемых корнями.

Тождественно равные выражения имеют одинаковые значения при всех общих допустимых значениях.

Тождественное преобразование заменяет выражение тождественно равным ему выражением.

К тождественным преобразованиям относятся раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращённого умножения, разложение на множители и преобразование дробей.

При дробных выражениях обязательно учитываются значения, обращающие знаменатели в ноль.

Для доказательства тождества одну часть преобразуют в другую или обе части приводят к одному выражению.

Чтобы опровергнуть тождество, достаточно найти одно допустимое значение, при котором равенство оказывается неверным.

Следующий урок - «Уравнение и его корни. Целые рациональные уравнения».

11 Урок 11 Уравнение и его корни. Целые рациональные уравнения Открыть урок Свернуть урок

Урок 11. Уравнение и его корни. Целые рациональные уравнения

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала вы повторите тождества и тождественные преобразования, затем разберёте понятия уравнения, корня, множества решений и равносильности. После этого научитесь распознавать и решать целые рациональные уравнения первой, второй и более высокой степени.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете объяснять основные понятия, проверять найденные корни, выполнять равносильные преобразования и решать целые рациональные уравнения разных видов.

01

Основные понятия

Уравнение, неизвестная, корень, решение и множество решений.

02

Равносильность

Преобразования, которые не теряют имеющиеся корни и не добавляют новые.

03

Способы решения

Линейные, квадратные и некоторые уравнения более высокой степени.

Рекомендуемый порядок: повторите материал прошлого урока, изучите определения, разберите примеры, выполните задания письменно и только после этого откройте готовые решения.

Повторение: тождества и преобразования

При решении уравнений используются те же преобразования, которые применялись при упрощении выражений и доказательстве тождеств.

Преобразование Правило Пример Результат
Раскрытие скобок Множитель умножается на каждый член выражения в скобках 3(x - 2) 3x - 6
Минус перед скобками Знаки всех членов в скобках изменяются -(x - 4) -x + 4
Приведение подобных Складываются коэффициенты при одинаковой буквенной части 5x - 2x 3x
Вынесение общего множителя Общий множитель выносится за скобки 4x + 8 4(x + 2)
Разность квадратов a² - b² = (a - b)(a + b) x² - 9 (x - 3)(x + 3)
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
При решении уравнения преобразуется не отдельное выражение, а равенство. Поэтому необходимо следить, чтобы преобразование сохраняло множество корней.

Повторение: свойства равенств

Свойство равенства

Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и то же число или выражение, получится верное равенство.

a = b a + c = b + c К обеим частям прибавлено одно выражение c.
Умножение частей равенства

Обе части равенства можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

a = b ac = bc Если выполняется деление, число c должно быть отлично от нуля.
Делить уравнение на выражение с переменной без проверки нельзя: при некоторых значениях это выражение может оказаться равным нулю.

Что называется уравнением

Уравнение

Уравнение - равенство, содержащее одну или несколько переменных, значения которых требуется найти.

3x - 5 = 7 Это уравнение с одной переменной x.
Неизвестная

Неизвестная - переменная, значение которой необходимо определить из условия уравнения.

Левая и правая части

Выражение, записанное слева от знака равенства, называется левой частью уравнения. Выражение справа называется правой частью.

Корень уравнения

Корень уравнения

Корень уравнения - значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Проверка числа 4

Является ли число 4 корнем уравнения 3x - 5 = 7?

Подставляем число 4 вместо переменной x:

3 · 4 - 5 = 7

Получено верное равенство 7 = 7.

Вывод: число 4 является корнем уравнения.

Проверка числа 5

Является ли число 5 корнем того же уравнения?

Подставляем x = 5:

3 · 5 - 5 = 10

Получено неверное равенство 10 = 7.

Вывод: число 5 не является корнем.

Множество решений

Множество решений уравнения

Множество решений - множество, содержащее все корни данного уравнения.

x² = 4 Корни: x = -2 и x = 2. Множество решений: {-2; 2}.
Пустое множество

Пустое множество не содержит ни одного элемента и обозначается символом ∅.

x² = -4 Среди действительных чисел корней нет. Множество решений равно ∅.
Действительные числа

Множество всех действительных чисел обозначается ℝ. Запись x ∈ ℝ читается: «x принадлежит множеству действительных чисел».

Сколько корней может иметь уравнение

Уравнение Решение Множество решений Количество корней
x + 3 = 7 x = 4 {4} Один
x² = 9 x = -3 или x = 3 {-3; 3} Два
x² + 1 = 0 Действительных решений нет ∅ Ни одного
2(x + 3) = 2x + 6 Обе части тождественно равны x ∈ ℝ Бесконечно много
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Равносильные уравнения

Равносильные уравнения

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

3x + 6 = 15 3x = 9 x = 3

Все три уравнения имеют один и тот же корень x = 3, поэтому они равносильны.

Равносильное преобразование

Равносильное преобразование не изменяет множество корней: не добавляет новые корни и не исключает имеющиеся.

Основные равносильные преобразования

1

Прибавление или вычитание

К обеим частям можно прибавить одно и то же выражение или вычесть его.

2

Перенос слагаемого

Слагаемое можно перенести в другую часть, изменив его знак на противоположный.

3

Умножение и деление

Обе части можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число.

4

Тождественные преобразования

В каждой части можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и применять известные тождества.

Умножение или деление на выражение, которое может быть равно нулю, требует отдельного рассмотрения и обязательной проверки.

Целые рациональные выражения

Рациональное выражение

Рациональное выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Целое рациональное выражение

Целое рациональное выражение не содержит переменную в знаменателе. После раскрытия скобок оно может быть представлено в виде многочлена.

3x² - 5x + 1 Целое рациональное выражение.
2 / (x - 1) Не является целым: переменная находится в знаменателе.

Целое рациональное уравнение

Целое рациональное уравнение

Целое рациональное уравнение - уравнение, обе части которого являются целыми рациональными выражениями.

x³ - 4x = 2x² + 5 Переменная отсутствует в знаменателях, поэтому уравнение является целым рациональным.
P(x) = 0 P(x) обозначает многочлен от переменной x.

Степень целого рационального уравнения

Степень уравнения

Степень целого рационального уравнения - наибольший показатель степени переменной после переноса всех членов в одну часть, раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Степень Общий вид Название Пример
Первая ax + b = 0 Линейное 3x - 9 = 0
Вторая ax² + bx + c = 0 Квадратное x² - 5x + 6 = 0
Третья ax³ + bx² + cx + d = 0 Кубическое x³ - 4x = 0
Четвёртая ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 Уравнение четвёртой степени x⁴ - 5x² + 4 = 0
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Степень определяют после упрощения. Например, x² + x = x² + 4 после сокращения одинаковых членов превращается в уравнение x = 4 первой степени.

Линейное и квадратное уравнения

Линейное уравнение

Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, где a ≠ 0. Его корень находится по формуле x = -b/a.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0.

D = b² - 4ac Дискриминант определяет количество действительных корней квадратного уравнения.
Дискриминант Количество корней Формула
D > 0 Два различных корня x₁,₂ = (-b ± √D)/(2a)
D = 0 Один корень x = -b/(2a)
D < 0 Действительных корней нет Множество решений ∅
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Свойство нулевого произведения

Свойство нулевого произведения

Если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

A · B = 0 A = 0 или B = 0
Свойство применяется только тогда, когда произведение равно нулю.

Уравнения более высокой степени

Способ решения выбирается по строению уравнения.

01

Общий множитель

Все члены содержат множитель, который можно вынести за скобки.

02

Группировка

Члены объединяются в группы с одинаковым множителем.

03

Замена переменной

Повторяющееся выражение обозначается новой переменной.

Биквадратное уравнение

Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0. Для его решения используется замена t = x² с условием t ≥ 0.

Общий алгоритм решения целого рационального уравнения

1

Раскройте скобки

Используйте распределительное свойство и формулы сокращённого умножения.

2

Перенесите все члены в одну часть

Обычно правая часть уравнения делается равной нулю.

3

Приведите подобные слагаемые

После упрощения определите степень уравнения.

4

Выберите способ решения

Используйте формулу, разложение на множители, группировку или замену переменной.

5

Найдите все возможные корни

Рассмотрите каждый множитель и каждый случай.

6

Выполните проверку

Подставьте найденные значения в исходное уравнение.

7

Запишите ответ

Перечислите все корни без повторений.

Подробные примеры, практика, вопросы и учебные материалы продолжаются во втором блоке.
12 Урок 12 Дробно-рациональные уравнения Открыть урок Свернуть урок

Урок 12. Дробно-рациональные уравнения

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала вы повторите рациональные выражения, алгебраические дроби, разложение многочленов на множители и приведение дробей к общему знаменателю. Затем изучите область допустимых значений, алгоритм решения дробно-рациональных уравнений, причины появления посторонних корней и способы проверки ответа.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете распознавать дробно-рациональные уравнения, находить ОДЗ, выбирать общий знаменатель, переходить к целому уравнению, исключать недопустимые значения и проверять найденные корни.

01

Основные понятия

Алгебраическая дробь, дробное рациональное выражение и дробно-рациональное уравнение.

02

Ограничения

Область допустимых значений и значения, обращающие знаменатели в ноль.

03

Алгоритм решения

Общий знаменатель, освобождение от дробей, решение и проверка.

Рекомендуемый порядок: повторите действия с алгебраическими дробями, изучите определения, перепишите алгоритм, разберите примеры и только после самостоятельного решения открывайте готовые ответы.

Повторение: рациональные выражения

Рациональное выражение

Рациональное выражение - выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Целое рациональное выражение

Целое рациональное выражение не содержит переменную в знаменателе. После раскрытия скобок оно может быть записано в виде многочлена.

3x² - 5x + 2 Переменная отсутствует в знаменателе, поэтому выражение является целым.
Дробное рациональное выражение

Дробное рациональное выражение содержит переменную в знаменателе хотя бы одной алгебраической дроби.

5 / (x - 3) Переменная x находится в знаменателе.

Повторение: алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь

Алгебраическая дробь - выражение вида A/B, где A и B являются алгебраическими выражениями, а знаменатель B не равен нулю.

A / B A - числитель, B - знаменатель, обязательное условие: B ≠ 0.
Деление на ноль не определено. Значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, не является допустимым.

Повторение: разложение на множители

Разложение знаменателей на множители помогает найти запрещённые значения и правильно выбрать общий знаменатель.

Способ Исходное выражение Разложение Пояснение
Общий множитель 3x² - 6x 3x(x - 2) За скобки вынесен общий множитель 3x
Разность квадратов x² - 9 (x - 3)(x + 3) Использована формула a² - b²
Квадрат суммы x² + 6x + 9 (x + 3)² Трёхчлен является квадратом суммы
Группировка ax + ay + bx + by (a + b)(x + y) Общий множитель получен после группировки
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Повторение: общий знаменатель

Общий знаменатель

Общий знаменатель - выражение, которое делится на каждый из знаменателей данных дробей.

Дополнительный множитель

Дополнительный множитель - выражение, на которое нужно умножить числитель и знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель.

Знаменатели Общий знаменатель Дополнительные множители Ограничения
x; x + 1 x(x + 1) Для первой дроби x + 1, для второй x x ≠ 0; x ≠ -1
x - 2; x² - 4 (x - 2)(x + 2) Второй знаменатель уже содержит первый множитель x ≠ 2; x ≠ -2
2x; 3x² 6x² Учитываются числовые множители и наибольшая степень x x ≠ 0
x - 1; (x - 1)(x + 3) (x - 1)(x + 3) Второй знаменатель содержит первый x ≠ 1; x ≠ -3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Перед выбором общего знаменателя раскладывайте знаменатели на множители. Простое перемножение всех знаменателей часто даёт излишне сложное выражение.

Что называется дробно-рациональным уравнением

Рациональное уравнение

Рациональное уравнение - уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями.

Дробно-рациональное уравнение

Дробно-рациональное уравнение - рациональное уравнение, в котором переменная находится в знаменателе хотя бы одной дроби.

1 / (x - 2) = 3 Переменная находится в знаменателе, поэтому уравнение дробно-рациональное.
(x + 1) / (x - 3) = 2 / x Дробные рациональные выражения находятся в обеих частях.
x² - 5x + 6 = 0 Переменной в знаменателе нет, поэтому это целое рациональное уравнение.

Область допустимых значений

Допустимое значение

Допустимое значение переменной - значение, при котором все выражения в уравнении имеют смысл и все указанные действия можно выполнить.

Область допустимых значений

Область допустимых значений, сокращённо ОДЗ, - множество всех допустимых значений переменной.

знаменатель ≠ 0 Для каждого знаменателя записывается отдельное условие, запрещающее ему обращаться в ноль.
Значение, не входящее в ОДЗ, нельзя включать в ответ, даже если оно получилось при решении преобразованного уравнения.

Как находить ОДЗ

Пример 1. Один линейный знаменатель

Найдите ОДЗ выражения 5/(x - 4).

Знаменатель не должен быть равен нулю:

x - 4 ≠ 0

Следовательно:

x ≠ 4

Допустимы все действительные числа, кроме числа 4.

Пример 2. Произведение в знаменателе

Найдите ОДЗ выражения 3/((x + 2)(x - 5)).

Каждый множитель знаменателя должен быть отличен от нуля:

x + 2 ≠ 0 и x - 5 ≠ 0

Следовательно:

x ≠ -2; x ≠ 5

Пример 3. Квадратный знаменатель

Найдите ОДЗ выражения 1/(x² - 9).

Разлагаем знаменатель:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3)

Исключаем значения:

x ≠ 3; x ≠ -3

Сокращение дроби и сохранение ограничений

Основное свойство дроби

Числитель и знаменатель дроби можно разделить на общий ненулевой множитель. При этом значение дроби не изменяется.

(x² - 4) / (x - 2) = (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = x + 2
Равенство выполняется только при x ≠ 2. После сокращения ограничение исходного знаменателя сохраняется.
Сокращать можно только общие множители. Отдельные слагаемые в сумме или разности сокращать нельзя.

Освобождение уравнения от знаменателей

Освободить уравнение от знаменателей

Освободить уравнение от знаменателей - значит умножить каждый член обеих частей уравнения на общий знаменатель и выполнить сокращение.

1/x + 2/(x + 1) = 3
x(x + 1) Общий знаменатель дробей.
x(x + 1) · 1/x + x(x + 1) · 2/(x + 1) = 3x(x + 1)
x + 1 + 2x = 3x(x + 1) Получено целое рациональное уравнение.
Общий знаменатель умножается на каждый член левой и правой частей уравнения.

Равносильность и посторонние корни

Равносильные уравнения

Равносильные уравнения имеют одинаковые множества корней.

Уравнение-следствие

Уравнение-следствие содержит все корни исходного уравнения, но может дополнительно иметь значения, не являющиеся корнями исходного уравнения.

Посторонний корень

Посторонний корень - значение, полученное при решении преобразованного уравнения, которое не удовлетворяет исходному уравнению или не входит в его ОДЗ.

Запись ОДЗ до начала преобразований помогает сразу увидеть значения, которые нельзя включать в ответ.

Когда алгебраическая дробь равна нулю

Условие равенства дроби нулю

Алгебраическая дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

A/B = 0 A = 0 B ≠ 0
Приравнивать знаменатель к нулю нельзя. Нулевой знаменатель делает дробь неопределённой.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения

1

Найдите все знаменатели

Выпишите выражения, находящиеся в знаменателях всех дробей.

2

Запишите ОДЗ

Найдите значения, обращающие каждый знаменатель в ноль, и исключите их.

3

Разложите знаменатели на множители

Используйте вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения.

4

Найдите общий знаменатель

Включите в него все необходимые множители в достаточных степенях.

5

Умножьте всё уравнение

Умножьте каждый член обеих частей на общий знаменатель.

6

Решите полученное целое уравнение

Раскройте скобки, приведите подобные и примените подходящий способ решения.

7

Сравните решения с ОДЗ

Исключите значения, обращающие исходные знаменатели в ноль.

8

Выполните проверку и запишите ответ

Подставьте оставшиеся значения в исходное уравнение.

Подробные примеры, практика, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив и вопросы продолжаются во втором блоке.
13 Урок 13 Рациональные неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 13. Рациональные неравенства

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала вы повторите числовые неравенства, свойства неравенств, числовые промежутки, линейные и квадратные неравенства. Затем изучите целые и дробно-рациональные неравенства, критические точки, метод интервалов, правила определения знаков и оформления ответа.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете приводить рациональное неравенство к стандартному виду, находить нули числителя и знаменателя, отмечать критические точки, определять знаки выражения на промежутках и правильно записывать ответ.

01

Виды неравенств

Целые и дробно-рациональные неравенства, строгие и нестрогие знаки.

02

Метод интервалов

Критические точки, промежутки постоянного знака и пробные точки.

03

Оформление ответа

Включение нулей числителя, исключение нулей знаменателя и запись объединения промежутков.

Рекомендуемый порядок: повторите свойства неравенств и числовые промежутки, изучите алгоритм метода интервалов, разберите примеры, выполните задания письменно и только затем откройте готовые решения.

Повторение: неравенство и его решение

Числовое неравенство

Числовое неравенство - запись, в которой два числа или числовых выражения сравниваются с помощью знаков >, <, ≥ или ≤.

Неравенство с переменной

Неравенство с переменной - неравенство, содержащее неизвестную переменную, допустимые значения которой требуется найти.

Решение неравенства

Решением неравенства называется значение переменной, при котором неравенство превращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство

Решить неравенство - значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет.

В отличие от уравнения, ответом неравенства обычно является числовой промежуток или объединение нескольких промежутков.

Строгие и нестрогие неравенства

Знак Как читается Вид неравенства Включается ли граница
> Больше Строгое Нет
< Меньше Строгое Нет
≥ Больше или равно Нестрогое Да, если выражение в точке определено
≤ Меньше или равно Нестрогое Да, если выражение в точке определено
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Нестрогий знак позволяет включить точку, в которой выражение равно нулю. Но ноль знаменателя не включается никогда, потому что дробь в этой точке не определена.

Повторение: числовые промежутки

Условие Запись промежутка Название Границы
a < x < b (a; b) Интервал Обе границы не входят
a ≤ x ≤ b [a; b] Отрезок Обе границы входят
a ≤ x < b [a; b) Полуинтервал a входит, b не входит
x > a (a; +∞) Луч a не входит
x ≤ b (-∞; b] Луч b входит
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Символы -∞ и +∞ всегда записываются с круглыми скобками: бесконечность не является числом и не может принадлежать промежутку.

Повторение: свойства неравенств

Действие Исходное условие Результат Что происходит со знаком
Прибавление одного выражения a > b a + c > b + c Знак сохраняется
Умножение на положительное число a > b, c > 0 ac > bc Знак сохраняется
Умножение на отрицательное число a > b, c < 0 ac < bc Знак меняется на противоположный
Деление на положительное число a > b, c > 0 a/c > b/c Знак сохраняется
Деление на отрицательное число a > b, c < 0 a/c < b/c Знак меняется на противоположный
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Нельзя без дополнительного исследования умножать или делить неравенство на выражение с переменной: знак этого выражения может изменяться.

Повторение: линейные неравенства

Линейное неравенство

Линейное неравенство с одной переменной после упрощения имеет вид ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0 или ax + b ≤ 0, где a ≠ 0.

Пример. Решите 3x - 6 > 0

Переносим число -6:

3x > 6

Делим на положительное число 3, поэтому знак не изменяется:

x > 2

Ответ: (2; +∞).

Пример. Решите -2x + 4 ≤ 0

Получаем:

-2x ≤ -4

Делим на отрицательное число -2, поэтому знак меняется:

x ≥ 2

Ответ: [2; +∞).

Повторение: квадратные неравенства

Квадратное неравенство

Квадратное неравенство после упрощения содержит квадратный трёхчлен ax² + bx + c, где a ≠ 0.

x² - 5x + 6 > 0 (x - 2)(x - 3) > 0

Нули выражения равны 2 и 3. Произведение положительно вне промежутка между корнями.

Поэтому решением является объединение: (-∞; 2) ∪ (3; +∞).

Квадратное неравенство является частным случаем целого рационального неравенства и также может решаться методом интервалов.

Что называется рациональным неравенством

Рациональное неравенство

Рациональное неравенство - неравенство, обе части которого являются рациональными выражениями.

Целое рациональное неравенство

Целое рациональное неравенство не содержит переменную в знаменателе. После преобразований его левая часть может быть записана в виде многочлена.

x³ - 4x ≥ 0 Это целое рациональное неравенство.
Дробно-рациональное неравенство

Дробно-рациональное неравенство содержит переменную в знаменателе хотя бы одной алгебраической дроби.

(x - 2)/(x + 3) < 0 Переменная находится в знаменателе, поэтому неравенство дробно-рациональное.

Целые и дробно-рациональные неравенства

Признак Целое рациональное Дробно-рациональное Особенность решения
Переменная в знаменателе Отсутствует Присутствует Для дробного обязательно учитывается ОДЗ
Стандартный вид P(x) > 0 P(x)/Q(x) > 0 Справа записывается ноль
Критические точки Нули многочлена Нули числителя и знаменателя Нули знаменателя всегда исключаются
Основной метод Метод интервалов Метод интервалов Исследуется знак выражения
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Стандартный вид рационального неравенства

Перед применением метода интервалов все члены переносят в одну часть, а другую часть делают равной нулю.

P(x) > 0 P(x) < 0 P(x) ≥ 0 P(x) ≤ 0
P(x)/Q(x) > 0 P(x)/Q(x) < 0 Для дробного выражения дополнительно требуется условие Q(x) ≠ 0.
Нельзя отдельно переносить числитель или знаменатель через знак неравенства. Сначала всё неравенство приводят к одной рациональной дроби.

Сущность метода интервалов

Метод интервалов

Метод интервалов - способ решения неравенства, основанный на определении знака рационального выражения на промежутках, границами которых служат его критические точки.

Промежуток постоянного знака

Промежуток постоянного знака - промежуток, внутри которого рациональное выражение сохраняет один знак: только положительный или только отрицательный.

Чтобы определить знак выражения на промежутке, достаточно выбрать одну пробную точку из этого промежутка и подставить её в выражение.

Критические точки

Критическая точка

Критической точкой называется значение переменной, при котором числитель или знаменатель рационального выражения равен нулю.

01

Ноль числителя

В этой точке дробь равна нулю, если знаменатель не равен нулю.

02

Ноль знаменателя

В этой точке выражение не определено, поэтому точка всегда исключается.

03

Граница интервала

Критические точки делят числовую прямую на промежутки постоянного знака.

(x - 2)/(x + 3) Критические точки: x = 2 - ноль числителя; x = -3 - ноль знаменателя.

Как определять знак произведения и дроби

Знаки множителей Знак произведения Знак частного Правило
+ и + + + Одинаковые знаки дают плюс
- и - + + Одинаковые знаки дают плюс
+ и - - - Разные знаки дают минус
- и + - - Разные знаки дают минус
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Кратность корня и изменение знака

Кратность корня

Кратность корня показывает, сколько раз соответствующий множитель входит в разложение выражения.

Множитель Кратность Вид кратности Изменение знака
x - a 1 Нечётная Знак изменяется
(x - a)² 2 Чётная Знак не изменяется
(x - a)³ 3 Нечётная Знак изменяется
(x - a)⁴ 4 Чётная Знак не изменяется
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
При прохождении через корень нечётной кратности знак выражения меняется. При прохождении через корень чётной кратности знак сохраняется.

Какие критические точки входят в ответ

Тип точки Строгое неравенство Нестрогое неравенство Причина
Ноль числителя Не входит Входит В точке выражение равно нулю
Ноль знаменателя Не входит Не входит В точке выражение не определено
Бесконечность Не входит Не входит Бесконечность не является числом
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Закрашенная точка на числовой прямой допустима только для нуля числителя при знаке ≥ или ≤. Ноль знаменателя всегда отмечается выколотой точкой.

Алгоритм решения целого рационального неравенства

1

Перенесите всё в одну часть

Правая часть должна стать равной нулю.

2

Упростите выражение

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

3

Разложите многочлен на множители

Используйте общий множитель, группировку и известные формулы.

4

Найдите нули выражения

Каждый множитель приравняйте к нулю.

5

Отметьте точки на числовой прямой

Расположите корни в порядке возрастания.

6

Определите знаки

Используйте пробные точки или правило изменения знака.

7

Выберите нужные промежутки

Для знака > или ≥ выбирайте плюс, для знака < или ≤ - минус.

8

Запишите ответ

Учтите строгий или нестрогий знак и объедините выбранные промежутки.

Алгоритм решения дробно-рационального неравенства

1

Перенесите все члены в одну часть

В другой части должен остаться ноль.

2

Приведите дроби к общему знаменателю

Получите одну рациональную дробь.

3

Разложите числитель и знаменатель

Представьте их в виде произведений множителей.

4

Найдите нули числителя

Эти точки могут входить в ответ при нестрогом знаке.

5

Найдите нули знаменателя

Эти точки не входят в ответ ни при каком знаке.

6

Отметьте все критические точки

Расположите их на числовой прямой в порядке возрастания.

7

Определите знак на каждом промежутке

Используйте пробные точки, таблицу знаков или правило кратности.

8

Выберите промежутки и оформите ответ

Учитывайте знак неравенства и обязательно исключайте нули знаменателя.

Дробно-рациональное неравенство обычно нельзя решать простым умножением на знаменатель: знак знаменателя зависит от переменной и может изменить знак неравенства.
Подробные примеры, типичные ошибки, практика, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив и вопросы продолжаются во втором блоке.
14 Урок 14 Применение рациональных уравнений и неравенств к решению задач Открыть урок Свернуть урок

Урок 14. Применение рациональных уравнений и неравенств к решению задач

Урок завершает тему о рациональных уравнениях и неравенствах. Вы повторите основные понятия, научитесь переводить условие практической задачи на математический язык, составлять уравнение или неравенство, учитывать смысловые ограничения, проверять полученные значения и формулировать содержательный ответ.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете строить математические модели задач на движение, совместную работу, смеси, геометрические величины и экономические ограничения.

01

Математическая модель

Выбор переменной, установление связей между величинами и составление условия.

02

Уравнение или неравенство

Выбор математической записи в зависимости от вопроса задачи.

03

Смысловая проверка

Исключение отрицательных скоростей, времени, объёмов и других недопустимых значений.

Рекомендуемый порядок: повторите материал уроков 11-13, изучите общий алгоритм моделирования, разберите примеры, выполните задания письменно и только затем открывайте готовые решения.

Повторение материала уроков 11-13

Материал Главное понятие Основной способ Что проверяется
Целые рациональные уравнения Уравнение вида P(x) = 0 Формулы, разложение на множители, замена переменной Все ли корни найдены
Дробно-рациональные уравнения Переменная находится в знаменателе ОДЗ, общий знаменатель, переход к целому уравнению Не обращается ли знаменатель в ноль
Рациональные неравенства Выражение сравнивается с нулём Метод интервалов Знаки на промежутках и включение границ
Прикладная задача Математическая модель ситуации Выбор переменной и составление уравнения или неравенства Соответствует ли ответ смыслу задачи
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Что называется математической моделью

Математическая модель

Математическая модель - описание реальной или предполагаемой ситуации с помощью чисел, переменных, формул, таблиц, уравнений, неравенств и других математических объектов.

Моделирование

Моделирование - процесс перехода от условия задачи к математической записи, решения полученной математической задачи и объяснения результата на языке исходной ситуации.

Уравнение или неравенство является не всей моделью, а её центральной частью. В модель также входят выбранная переменная, ограничения, единицы измерения и содержательная проверка ответа.

Три этапа решения прикладной задачи

01

Формализация

Выделяются величины, вводится переменная и составляется уравнение или неравенство.

02

Решение модели

Полученная математическая задача решается известными алгебраическими методами.

03

Интерпретация

Результат проверяется и переводится обратно на язык исходной задачи.

Как правильно выбрать переменную

Переменной удобно обозначать величину, через которую можно выразить остальные неизвестные величины задачи.

1

Определите, что требуется найти

Часто искомую величину удобно сразу обозначить переменной x.

2

Укажите единицу измерения

Например: x км/ч, x часов, x литров или x рублей.

3

Запишите смысловые ограничения

Скорость, время, длина, объём и производительность обычно положительны.

4

Выразите остальные величины

Используйте фразы «на столько больше», «во столько раз меньше», «на столько часов быстрее».

Запись «пусть x» без пояснения недостаточна. Нужно обязательно указать, какую величину и в каких единицах обозначает x.

Когда составляется уравнение, а когда неравенство

Формулировка условия Математическая связь Модель Пример
Равно, составило, получилось Точное равенство Уравнение Общее время равно 5 часам
Не больше, не превышает Меньше или равно Неравенство со знаком ≤ Расход не превышает 10 000 рублей
Не меньше, как минимум Больше или равно Неравенство со знаком ≥ Производительность не меньше 20 деталей
Меньше, быстрее чем Строгое сравнение Неравенство со знаком < Время должно быть меньше 4 часов
Больше, дороже чем Строгое сравнение Неравенство со знаком > Доход должен быть больше расходов
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Задачи на движение

Основная формула движения

Расстояние равно произведению скорости на время.

S = vt v = S/t t = S/v S - расстояние, v - скорость, t - время.
Ситуация Скорость Время Дополнительное условие
Движение по дороге Собственная скорость объекта S/v Сравниваются скорости или времена
По течению реки v + u S/(v + u) u - скорость течения
Против течения v - u S/(v - u) v > u
Движение навстречу v₁ + v₂ Расстояние делится на скорость сближения Скорости складываются
Движение в одном направлении |v₁ - v₂| Расстояние делится на скорость удаления или сближения Используется разность скоростей
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Все величины перед составлением уравнения должны быть выражены в согласованных единицах: например, расстояние - в километрах, скорость - в километрах в час, время - в часах.

Задачи на совместную работу

Производительность

Производительность показывает, какая часть всей работы выполняется за единицу времени.

A = pt p = A/t A - объём работы, p - производительность, t - время.
A = 1 p = 1/t Если вся работа принята за единицу, производительность равна обратной величине времени.
При совместной работе производительности складываются. Если один исполнитель выполняет работу за x часов, а второй - за y часов, их общая производительность равна 1/x + 1/y.

Задачи на смеси, растворы и концентрацию

Концентрация

Концентрация показывает, какую часть всей смеси составляет определённое вещество.

c = mв/mсм mв = c · mсм c - концентрация, mв - масса вещества, mсм - масса всей смеси.
Процент перед вычислениями переводится в десятичную дробь: 20% = 0,2; 12,5% = 0,125.
При добавлении воды количество растворённого вещества не изменяется, а общий объём раствора увеличивается.

Геометрические и экономические задачи

Вид задачи Основные величины Возможная модель Ограничения
Прямоугольник Длина, ширина, площадь ab = S a > 0; b > 0
Средняя стоимость Общие расходы и количество единиц Cср = Cобщ/x x > 0
Доход и прибыль Выручка и расходы P = R - C Количество товара обычно целое и неотрицательное
Ограничение времени Расстояние, скорость и время S/v ≤ T v > 0
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Общий алгоритм решения задачи

1

Прочитайте условие полностью

Определите, какие величины известны и что требуется найти.

2

Приведите единицы измерения

Переведите минуты в часы, проценты в дроби и согласуйте остальные единицы.

3

Введите переменную

Укажите величину и единицу измерения, которую обозначает x.

4

Запишите ограничения

Учтите положительность величин, ненулевые знаменатели и дополнительные условия задачи.

5

Составьте таблицу или схему

Выразите через x все необходимые скорости, времена, объёмы или стоимости.

6

Составьте уравнение или неравенство

Используйте основную связь, указанную в условии задачи.

7

Решите математическую модель

Примените алгоритмы решения рациональных уравнений или метод интервалов.

8

Выполните смысловую проверку

Исключите значения, противоречащие ограничениям и реальному смыслу задачи.

9

Запишите содержательный ответ

Укажите найденную величину вместе с единицей измерения.

Подробные примеры, типичные ошибки, практика, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив, вопросы и итоговое обобщение темы продолжаются во втором блоке.
Тема 2

Функции и графики. Степень с целым показателем

Функция и способы её задания, график функции, взаимно обратные функции, область определения и множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, чётные и нечётные функции. Степенная функция с натуральным и целым показателем, её свойства и график. Степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа и применение различных форм записи чисел при решении практических задач и представлении данных.

6 учебных часов
15 Урок 15 Функция и способы её задания Открыть урок Свернуть урок

Урок 15. Функция и способы её задания

На этом уроке вы повторите и систематизируете понятие функции, научитесь различать аргумент и значение функции, читать запись y = f(x), находить значения функции и представлять одну зависимость формулой, таблицей, словесным описанием и графиком.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете определять, является ли заданное соответствие функцией, правильно употреблять основные термины и переходить от одного способа задания функции к другому.

01

Понятие функции

Поймёте, какое соответствие между величинами называется функциональной зависимостью.

02

Основные обозначения

Научитесь читать записи y = f(x), f(2), x - аргумент, y - значение функции.

03

Способы задания

Разберёте аналитический, табличный, словесный и графический способы.

Рекомендуемый порядок: сначала прочитайте определения, затем разберите схемы и таблицы, самостоятельно выполните вычисления в примерах и только после этого переходите к заданиям во второй части урока.

Зависимости между величинами

В реальной жизни величины часто связаны друг с другом. Стоимость покупки зависит от количества товара, пройденное расстояние - от скорости и времени, площадь квадрата - от длины его стороны, температура воздуха - от момента наблюдения.

Если изменение одной величины определяет значение другой величины, говорят, что между величинами существует зависимость. В математике особое значение имеет зависимость, при которой каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой величины.

Функция

Функция - это соответствие, при котором каждому допустимому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

Ключевое условие: одному допустимому значению аргумента нельзя сопоставить два разных значения функции. При этом разные значения аргумента могут иметь одинаковые значения функции.

Как устроена функция

Функцию удобно представлять как правило, которое получает допустимое входное значение и выдаёт один определённый результат.

Соответствие аргументов и значений функции Значениям минус два, ноль, один и три соответствуют значения четыре, ноль, один и девять функции y равно x в квадрате. Аргументы x Значения y -2 0 1 3 4 0 1 9

Пример: y = x²

Входное значение x = -2 даёт единственный результат y = 4. Значение x = 0 даёт y = 0, значение x = 1 даёт y = 1, а значение x = 3 даёт y = 9.

Каждому выбранному значению x соответствует только одно значение y, поэтому данное правило задаёт функцию.

-2 → 4 0 → 0 1 → 1 3 → 9

Аргумент и значение функции

Аргумент

Аргумент - независимая переменная. Её значение выбирают из множества допустимых значений. Обычно аргумент обозначают буквой x.

Значение функции

Значение функции - результат, который получается по заданному правилу для выбранного аргумента. Обычно его обозначают буквой y или записью f(x).

y = f(x) Читается: «игрек равен эф от икс» или «y является функцией от x».
f(3) = 2 · 3 + 1 = 7 Если f(x) = 2x + 1, то для аргумента x = 3 значение функции равно 7.
Запись f(3) не означает произведение f на 3. Она обозначает значение функции f при аргументе, равном 3.

Основные обозначения

Запись Как читается Что означает Пример
y = f(x) «Игрек равен эф от икс» Значение y зависит от аргумента x по правилу f. y = 3x - 2
f(2) «Эф от двух» Значение функции при x = 2. Если f(x) = x², то f(2) = 4.
f(a) «Эф от а» Значение функции при аргументе a. Если f(x) = 2x + 5, то f(a) = 2a + 5.
y₀ = f(x₀) «Игрек нулевое равно эф от икс нулевого» Значению аргумента x₀ соответствует значение y₀. Точка (x₀; y₀) принадлежит графику функции.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Является ли соответствие функцией

Чтобы проверить соответствие, нужно рассмотреть каждое допустимое входное значение отдельно.

1

Определите входные значения

Найдите значения независимой переменной, для которых задано соответствие.

2

Проверьте каждый вход

Для каждого аргумента должно существовать значение результата.

3

Убедитесь в единственности

Один аргумент не должен иметь два или больше различных значений функции.

Функция

Каждому ученику поставлено в соответствие число его рождения. У одного ученика может быть только одно число рождения.

Не функция

Каждому ученику поставлены в соответствие все изучаемые им предметы. Одному ученику соответствуют несколько предметов.

Несколько аргументов могут иметь один общий результат. Например, для функции y = x² значения x = -3 и x = 3 дают одно и то же значение y = 9. Это не нарушает определение функции.

Способы задания функции

Задать функцию - значит указать правило, позволяющее для каждого допустимого аргумента определить единственное значение функции.

Способ Как задаётся Пример Когда удобен
Аналитический Формулой, содержащей аргумент. y = 2x + 3 Когда нужно вычислять значения и выполнять преобразования.
Табличный Таблицей соответствующих значений x и y. Результаты измерения температуры по часам. Когда известны отдельные наблюдения или экспериментальные данные.
Словесный Описанием правила словами. Каждому числу ставится в соответствие его квадрат. Когда правило проще сформулировать, чем записать формулой.
Графический Множеством точек на координатной плоскости. График изменения температуры в течение суток. Когда важно наглядно увидеть характер изменения величины.
Алгоритмический Последовательностью действий. Умножить число на 3 и вычесть 5. Когда правило удобно представить пошагово или реализовать в программе.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Одна и та же функция может быть представлена несколькими способами. Формулу можно использовать для составления таблицы, а по таблице построить точки графика.

Аналитический способ: функция задана формулой

При аналитическом способе значение функции получают вычислением по формуле.

f(x) = 3x - 4 Чтобы найти f(x), выбранное значение x умножают на 3 и вычитают 4.

Пример 1. Найдите f(5)

Функция задана формулой f(x) = 3x - 4.

Вместо x подставляем число 5:

f(5) = 3 · 5 - 4 = 15 - 4 = 11

Ответ: f(5) = 11.

Пример 2. Найдите f(-2)

Используем ту же функцию f(x) = 3x - 4.

Отрицательное число подставляем в скобках:

f(-2) = 3 · (-2) - 4 = -6 - 4 = -10

Ответ: f(-2) = -10.

При подстановке отрицательного числа используйте скобки. Например, в выражении x² при x = -3 нужно записать (-3)² = 9.

Табличный способ

В таблице в одной строке или столбце записывают аргументы, а рядом - соответствующие значения функции.

x -2 -1 0 1 2
y = x² - 1 3 0 -1 0 3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

По таблице видно: при x = -2 значение функции равно 3; при x = 0 значение функции равно -1; при x = 2 значение функции равно 3.

Таблица показывает только перечисленные значения. Если формула неизвестна, по такой таблице нельзя автоматически определить значение функции для любого другого аргумента.

Словесный и алгоритмический способы

Правило функции может быть сформулировано обычными словами или последовательностью действий.

С

Словесное описание

«Каждому действительному числу ставится в соответствие число, на 6 большее».

y = x + 6
А

Алгоритм

«Возвести аргумент в квадрат, результат умножить на 2, затем вычесть 1».

y = 2x² - 1
П

Практическая зависимость

«Стоимость покупки равна цене одной единицы товара, умноженной на количество единиц».

C = pn
При переводе словесного правила в формулу сначала определите независимую величину, затем запишите последовательность действий над ней.

Графический способ

График функции

График функции y = f(x) - множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принимает допустимые значения.

График функции y равно 2x плюс 1 Координатная плоскость с прямой, проходящей через точки минус один минус один, ноль один, один три и два пять. x y 0 1 2 1 3 4 y = 2x + 1

Как построен график

Для нескольких значений x вычислены соответствующие значения y. Полученные пары записаны как координаты точек: (-1; -1), (0; 1), (1; 3), (2; 5).

Все точки удовлетворяют формуле y = 2x + 1. Для линейной функции они лежат на одной прямой.

По графику можно приблизительно определить значение функции при выбранном аргументе и аргумент, которому соответствует заданное значение функции.

Как проверить график

На графике функции одной абсциссе x должна соответствовать не более чем одна точка графика.

Проверка вертикальной прямой

Если любая вертикальная прямая пересекает изображённую линию не более чем в одной точке, линия может быть графиком функции y = f(x). Если хотя бы одна вертикальная прямая имеет два или больше пересечений, изображение не задаёт функцию y от x.

Парабола y = x²

Каждая вертикальная прямая пересекает параболу не более чем в одной точке. Это график функции.

Окружность x² + y² = 9

Многие вертикальные прямые пересекают окружность в двух точках. Вся окружность не является графиком функции y от x.

Эта проверка относится к функции y от x. Та же геометрическая линия может описывать другую зависимость, если изменить выбор независимой переменной.

Переход от одного способа к другому

1

От формулы к таблице

Выберите несколько значений x и вычислите для каждого значение y.

2

От таблицы к графику

Каждую пару значений запишите как точку (x; y) и отметьте на координатной плоскости.

3

От словесного правила к формуле

Переведите последовательность действий над аргументом в математическую запись.

4

От графика к таблице

Выберите точки графика и запишите их абсциссы и ординаты в соответствующие строки.

Подробные примеры, типичные ошибки, практические задания, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив, вопросы и итог продолжаются во втором блоке.
16 Урок 16 График функции. Взаимно обратные функции Открыть урок Свернуть урок

Урок 16. График функции. Взаимно обратные функции

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Вы повторите, что называют графиком функции, научитесь строить и читать графики по точкам, проверять принадлежность точки графику, понимать смысл обратимой и обратной функции, находить формулу обратной функции и объяснять симметрию двух графиков относительно прямой y = x.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете переходить от формулы или таблицы функции к её графику, извлекать сведения из готового графика и находить функцию, обратную данной, когда такая функция существует.

01

График функции

Поймёте, почему график состоит из точек вида (x; f(x)) и как строить его по таблице значений.

02

Обратимая функция

Научитесь определять, можно ли однозначно восстановить аргумент по известному значению функции.

03

Обратная функция

Освоите алгоритм нахождения формулы и проверку взаимной обратности двух функций.

Рекомендуемый порядок: изучите определения, разберите графические схемы, выполните промежуточные задания и только затем переходите к примерам и самостоятельной работе во второй части.

Повторение: функция и координаты точки

Функция задаёт правило, по которому каждому допустимому значению аргумента x ставится в соответствие единственное значение y. Это значение записывают как y = f(x).

На координатной плоскости точка записывается парой чисел (x; y). Первое число - абсцисса, то есть координата по горизонтальной оси x. Второе число - ордината, то есть координата по вертикальной оси y.

Условие принадлежности точки графику

Точка M(a; b) принадлежит графику функции y = f(x), если после подстановки x = a получается f(a) = b.

M(a; b) ∈ графику y = f(x) тогда и только тогда, когда b = f(a).
В координатах точки порядок чисел важен. Точки (2; 5) и (5; 2) - разные точки.

Что называют графиком функции

График функции

График функции y = f(x) - множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принимает все значения из области определения функции.

Формула сообщает правило вычисления, а график показывает зависимость наглядно. По графику можно увидеть, как меняется значение функции при изменении аргумента, где график пересекает оси и какие значения принимает функция.

Абсцисса точки

Показывает значение аргумента x.

Ордината точки

Показывает соответствующее значение функции y = f(x).

Пересечение с осью x

В такой точке y = 0, поэтому соответствующий x является нулём функции.

Пересечение с осью y

В такой точке x = 0, если ноль входит в область определения.

Как построить график функции по формуле

Для знакомой элементарной функции можно использовать её свойства. Если функция изучается впервые, надёжный способ - составить таблицу значений и отметить соответствующие точки.

1

Выберите значения аргумента

Берите несколько удобных значений x из области определения, обычно по обе стороны от нуля.

2

Вычислите значения функции

Для каждого выбранного x найдите y = f(x). Все вычисления занесите в таблицу.

3

Отметьте точки

Каждая пара из таблицы задаёт точку (x; y) на координатной плоскости.

4

Соедините точки с учётом свойств

Нельзя автоматически соединять любые точки прямыми отрезками. Вид линии должен соответствовать формуле и области определения.

x -2 -1 0 1 2 Точки графика
y = 2x - 1 -5 -3 -1 1 3 (-2; -5), (-1; -3), (0; -1), (1; 1), (2; 3)
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Наглядный пример: график линейной функции

На рисунке показана функция y = 2x - 1. Каждая отмеченная точка удовлетворяет формуле.

График функции y равно 2x минус 1 Координатная плоскость, прямая y равно 2x минус 1 и отмеченные точки. x y y = 2x - 1 0

Как прочитать рисунок

При x = 0 получаем y = -1, поэтому график пересекает ось y в точке (0; -1).

При увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2. Поэтому график поднимается слева направо.

Например, точка (2; 3) принадлежит графику, потому что 2 · 2 - 1 = 3.

Как читать готовый график

Что требуется узнать Действие по графику Что считывается Возможная запись
Значение функции при x = a От точки a на оси x провести вертикаль до графика, затем горизонталь к оси y. Ордината найденной точки f(a) = b
Аргумент, при котором f(x) = b От точки b на оси y провести горизонталь до графика, затем вертикаль к оси x. Одна или несколько абсцисс f(x) = b
Нули функции Найти точки пересечения графика с осью x. Абсциссы точек, где y = 0 f(x) = 0
Знак функции Определить, где график расположен выше или ниже оси x. Промежутки положительных и отрицательных значений f(x) > 0 или f(x) < 0
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
При считывании координат по рисунку учитывайте масштаб осей. Один отрезок сетки не всегда равен одной единице.

Правило вертикальной прямой

Проверка линии

Линия является графиком некоторой функции y от x, если любая вертикальная прямая пересекает эту линию не более чем в одной точке.

Одно пересечение

Для выбранного x найдено одно значение y. Условие функции выполнено.

Нет пересечений

Выбранный x не входит в область определения. Это допустимо.

Два пересечения

Одному x соответствуют два значения y. Такая линия не задаёт функцию y от x.

Пример окружности

Большинство вертикальных прямых пересекают окружность в двух точках, поэтому вся окружность не является графиком y = f(x).

Зачем нужна обратная функция

Обычная функция по аргументу находит результат. Обратная функция выполняет противоположную задачу: по результату восстанавливает исходный аргумент.

Функция и обратная функция как два противоположных преобразования Функция переводит число 3 в число 7, а обратная функция возвращает число 7 в число 3. 3 7 f(x) = 2x + 1 f⁻¹(x) = (x - 1)/2

Прямое и обратное действие

Функция f(x) = 2x + 1 переводит 3 в 7: f(3) = 7.

Обратная функция возвращает 7 в 3: f⁻¹(7) = 3.

Верхний индекс -1 в записи f⁻¹ не означает возведение значения функции в степень -1.

Обратимая и обратная функции

Обратимая функция

Функция называется обратимой на рассматриваемой области, если разные значения аргумента дают разные значения функции. Тогда по значению функции можно однозначно восстановить аргумент.

Обратная функция

Функция g называется обратной к функции f, если она возвращает каждый результат функции f к исходному аргументу. Обратную функцию обозначают f⁻¹.

f⁻¹(f(x)) = x f(f⁻¹(x)) = x Равенства выполняются на соответствующих областях определения.
Не путайте записи: f⁻¹(x) - обратная функция, а 1/f(x) - обратное число к значению f(x). Это разные понятия.

Как определить, существует ли обратная функция

Основной вопрос: может ли одно и то же значение y получаться при двух разных значениях x?

01

По формуле или таблице

Проверьте, не повторяются ли значения функции при разных аргументах.

02

По графику

Любая горизонтальная прямая должна пересекать график не более чем в одной точке.

03

По монотонности

Функция, которая на всей рассматриваемой области только возрастает или только убывает, является обратимой.

Функция y = x² не обратима на всей числовой прямой, потому что, например, f(2) = f(-2) = 4. Но она обратима на промежутке x ≥ 0 или отдельно на промежутке x ≤ 0.

Область определения и множество значений

При переходе к обратной функции аргументы и значения меняются ролями.

Характеристика Функция f Обратная функция f⁻¹ Причина
Область определения D(f) D(f⁻¹) = E(f) Входными данными обратной функции являются результаты исходной функции.
Множество значений E(f) E(f⁻¹) = D(f) Результат обратной функции является исходным аргументом.
Соответствующие точки (a; b) (b; a) Координаты меняются местами.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Алгоритм нахождения обратной функции

Перед выполнением алгоритма убедитесь, что исходная функция обратима на указанной области.

1

Запишите функцию в виде y = f(x)

Например: y = 3x - 6.

2

Поменяйте x и y местами

Получаем: x = 3y - 6.

3

Выразите y через x

3y = x + 6, поэтому y = (x + 6)/3.

4

Запишите ответ и области

f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Для линейной функции с ненулевым коэффициентом обе области равны множеству действительных чисел.

5

Проверьте результат

Подставьте одну функцию в другую и убедитесь, что получается x.

Симметрия графиков относительно прямой y = x

Если точка (a; b) принадлежит графику функции f, то точка (b; a) принадлежит графику обратной функции f⁻¹. Такое переставление координат является отражением относительно прямой y = x.

Графики взаимно обратных линейных функций Графики y равно 2x плюс 1 и y равно x минус 1 делённое на 2, симметричные относительно прямой y равно x. y = x y = 2x + 1 y = (x - 1)/2 (1; 3) (3; 1)

Что показывает отражение

У исходной функции точка (1; 3) означает f(1) = 3.

У обратной функции появляется точка (3; 1), то есть f⁻¹(3) = 1.

Обе точки расположены симметрично относительно прямой y = x.

Промежуточная проверка

Задание 1. Принадлежность точки

Определите, принадлежит ли точка A(2; 5) графику функции y = 3x - 1.

Открыть решение

Подставим x = 2: 3 · 2 - 1 = 5. Полученное значение совпало с ординатой точки.

Ответ: точка A(2; 5) принадлежит графику.

Задание 2. Обратимость по таблице

Определите, является ли обратимой функция, заданная таблицей: x: 1, 2, 3, 4; y: 5, 7, 5, 9.

Открыть решение

Значение y = 5 получается при двух аргументах: x = 1 и x = 3. По результату 5 нельзя однозначно определить исходный аргумент.

Ответ: функция не является обратимой на данном множестве.

Задание 3. Координаты обратного графика

График функции f содержит точки (-2; 1), (0; 3), (4; 7). Запишите соответствующие точки графика f⁻¹.

Открыть решение

Для обратной функции координаты каждой точки меняются местами.

Ответ: (1; -2), (3; 0), (7; 4).

Подробные примеры, типичные ошибки, практические задания, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив, вопросы и итог продолжаются во втором блоке.
17 Урок 17 Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства Открыть урок Свернуть урок

Урок 17. Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Вы научитесь находить допустимые значения аргумента по формуле и графику, определять все возможные значения функции, находить нули функции и правильно записывать промежутки, на которых функция положительна или отрицательна.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете исследовать функцию по формуле и графику: определять, при каких значениях аргумента она существует, какие значения принимает, где пересекает ось абсцисс и на каких промежутках сохраняет положительный или отрицательный знак.

01

Область определения

Научитесь находить все значения аргумента x, при которых выражение f(x) имеет смысл.

02

Множество значений

Поймёте, какие значения y действительно принимает функция и как увидеть их на графике.

03

Нули и знаки функции

Научитесь находить точки пересечения с осью Ox и промежутки, где f(x) больше или меньше нуля.

Рекомендуемый порядок: сначала изучите определения и обозначения, затем разберите алгоритмы по формуле и графику. После этого выполните примеры и задания во второй части урока, не открывая решения заранее.

Повторение: аргумент и значение функции

В записи y = f(x) переменная x называется аргументом, или независимой переменной. Значение y = f(x) зависит от выбранного x и называется значением функции.

Не каждое число обязательно можно подставить вместо x. Например, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Кроме того, функция не обязана принимать все действительные значения y. Эти два ограничения описываются областью определения и множеством значений.

x ∈ D(f) x принадлежит области определения функции f.
y ∈ E(f) y принадлежит множеству значений функции f.

Область определения функции

Область определения функции

Область определения функции - множество всех значений аргумента x, при которых функция определена. Её обозначают D(f).

Если область определения не указана отдельно, нужно найти все действительные значения x, при которых формула имеет математический смысл.

При поиске области определения мы отвечаем на вопрос: «Какие значения разрешено подставлять вместо x?»

Вид выражения Ограничение Почему Пример
Многочлен x ∈ R Сложение, вычитание и умножение определены для любого действительного числа. f(x) = x² - 3x + 1
Дробь с переменной в знаменателе Знаменатель не равен нулю. Деление на ноль не определено. f(x) = 1/(x - 4), x ≠ 4
Квадратный корень Подкоренное выражение неотрицательно. В действительных числах квадратный корень из отрицательного числа не определён. f(x) = √(x + 2), x ≥ -2
Несколько ограничений Все условия выполняются одновременно. Каждая часть формулы должна иметь смысл. f(x) = √(x + 1)/(x - 2)
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Важно: ограничения нужно объединять не механически, а требовать их одновременного выполнения. Итоговая область определения является пересечением всех допустимых множеств.

Алгоритм нахождения области определения по формуле

1

Рассмотрите строение формулы

Найдите знаменатели, квадратные корни и другие выражения, для которых возможны ограничения.

2

Запишите каждое условие

Знаменатель приравняйте к условию «не равно нулю», а подкоренное выражение - к условию «больше или равно нулю».

3

Решите полученные условия

Найдите все значения x, удовлетворяющие каждому ограничению.

4

Пересеките допустимые множества

Оставьте только значения x, которые одновременно подходят для всех частей формулы.

5

Запишите ответ промежутками

Используйте круглые скобки для невключённых границ и квадратные скобки для включённых границ.

Запись числовых промежутков

Область определения и множество значений удобно записывать с помощью промежутков. Скобка показывает, входит ли граничное число в множество.

Запись Как читается Включение границ Неравенство
[a; b] Отрезок от a до b Обе границы включены a ≤ x ≤ b
(a; b) Интервал от a до b Обе границы не включены a < x < b
[a; b) Полуинтервал a включено, b не включено a ≤ x < b
(-∞; b) Все числа меньше b Бесконечность всегда записывается с круглой скобкой x < b
(a; +∞) Все числа больше a a не включено x > a
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Знак объединения множеств ∪ читается «объединение». Например, запись (-∞; 3) ∪ (3; +∞) означает все действительные числа, кроме 3.

Множество значений функции

Множество значений функции

Множество значений функции - множество всех чисел y, которые функция принимает хотя бы при одном допустимом значении аргумента x. Его обозначают E(f).

Область определения отвечает на вопрос «какие x допустимы?», а множество значений - на вопрос «какие y получаются?».

Для функции f(x) = x² допустим любой действительный x, поэтому D(f) = R. Но квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому E(f) = [0; +∞).

D

Смотрим по горизонтали

На графике область определения образуют все координаты x, до которых «дотягивается» график.

E

Смотрим по вертикали

Множество значений образуют все координаты y, которых достигают точки графика.

•

Проверяем крайние точки

Закрашенная точка означает включение значения, незакрашенная - исключение.

Как читать область определения и множество значений по графику

Рассмотрите график слева направо и снизу вверх. Горизонтальная проекция показывает область определения, вертикальная проекция - множество значений.

График функции для определения области, значений, нулей и знаков Ломаная линия определена на отрезке от минус пяти до пяти, имеет значения от минус двух до четырёх и пересекает ось абсцисс в точках минус четыре, ноль и три. x y 0 -5 -4 -2 1 3 5 4 3 1 -1 -2

Что видно по графику

График существует от x = -5 до x = 5, обе крайние точки принадлежат графику. Поэтому D(f) = [-5; 5].

Наименьшее значение функции равно -2, наибольшее равно 4. Поэтому E(f) = [-2; 4].

График пересекает ось Ox при x = -4, x = 0 и x = 3. Эти числа являются нулями функции.

Нули функции

Нуль функции

Нуль функции - значение аргумента x, при котором значение функции равно нулю: f(x) = 0.

По формуле нули находят решением уравнения f(x) = 0. По графику нули - абсциссы точек пересечения графика с осью Ox.

Если точка пересечения имеет координаты (3; 0), то нулём функции является число 3, а не сама точка (3; 0).

Не путайте: значение функции в нуле f(0) и нуль функции. f(0) - это значение y при x = 0. Нуль функции - такое x, при котором y = 0.

Промежутки знакопостоянства

Промежуток знакопостоянства

Промежуток знакопостоянства - промежуток области определения, на котором функция сохраняет один знак: принимает только положительные или только отрицательные значения.

+

Функция положительна

Если график находится выше оси Ox, то f(x) > 0.

0

Функция равна нулю

Если график лежит на оси Ox в отдельной точке, соответствующий x является нулём функции.

-

Функция отрицательна

Если график находится ниже оси Ox, то f(x) < 0.

f(x) > 0 при x ∈ (-4; 0) ∪ (3; 5]
f(x) < 0 при x ∈ [-5; -4) ∪ (0; 3)
Нули функции не включают в промежутки строгого знака, потому что в нуле значение функции равно 0, а не положительно и не отрицательно. Крайняя точка области определения включается, если её значение имеет нужный знак.

Единый алгоритм исследования графика

1

Найдите область определения

Просмотрите график слева направо и запишите все значения x, для которых на графике есть точки.

2

Найдите множество значений

Просмотрите график снизу вверх и запишите все достигнутые значения y.

3

Отметьте нули

Найдите точки пересечения с осью Ox и выпишите их абсциссы.

4

Определите положительные промежутки

Запишите значения x, при которых график расположен выше оси Ox.

5

Определите отрицательные промежутки

Запишите значения x, при которых график расположен ниже оси Ox.

6

Проверьте скобки

Убедитесь, что нули не включены в строгие промежутки знакопостоянства, а крайние точки области учтены правильно.

Подробные примеры, типичные ошибки, практические задания, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив и вопросы для самопроверки продолжаются во втором блоке урока.
18 Урок 18 Чётные и нечётные функции Открыть урок Свернуть урок

Урок 18. Чётные и нечётные функции

Урок предназначен для самостоятельного изучения, в том числе для обучающихся, которые давно не повторяли свойства функций. Сначала мы восстановим необходимые понятия, затем подробно разберём определения чётной и нечётной функции, научимся проверять область определения, вычислять f(-x), распознавать симметрию графика и отличать чётные и нечётные функции от функций общего вида.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После прохождения урока вы сможете исследовать функцию на чётность, объяснять полученный вывод по формуле и графику, а также достраивать график по известной части с помощью симметрии.

01

Симметричная область определения

Поймёте, почему вместе с каждым x в области определения должно находиться противоположное число -x.

02

Проверка по формуле

Научитесь правильно подставлять -x, раскрывать скобки и сравнивать f(-x) с f(x) и -f(x).

03

Симметрия графика

Будете узнавать чётную функцию по симметрии относительно оси Oy, а нечётную - относительно начала координат.

Рекомендуемый порядок: прочитайте повторение основных понятий, внимательно изучите оба определения, выполните промежуточную проверку и только после этого переходите к подробным примерам во второй части урока.

Что нужно вспомнить перед началом

Функция связывает значения аргумента x со значениями y. Запись y = f(x) читается: «игрек равен эф от икс». Буква f обозначает функцию, x - аргумент, а f(x) - значение функции при данном x.

Область определения D(f) - множество всех значений x, при которых функция имеет смысл. Перед исследованием чётности область определения проверяют обязательно.

Числа x и -x называются противоположными. Например, числа 5 и -5 противоположны; числа -2 и 2 тоже противоположны. Число 0 противоположно самому себе.

Подстановка x

В выражение функции вместо переменной подставляется выбранное число.

Подстановка -x

Каждое вхождение x заменяется выражением (-x), после чего скобки аккуратно раскрываются.

Важно: выражение f(-x) не означает «поставить минус перед всей функцией». Нужно именно заменить аргумент x на противоположный аргумент -x.

Симметричная область определения

Симметричное относительно нуля множество

Множество называется симметричным относительно нуля, если вместе с каждым числом x оно содержит противоположное число -x.

Множество Симметрично ли относительно нуля Проверка Вывод для чётности
(-∞; +∞) Да Если x принадлежит множеству, то -x также принадлежит ему. Функция может оказаться чётной, нечётной или ни той ни другой.
[-4; 4] Да Левая и правая границы противоположны и включены одинаково. Можно переходить к вычислению f(-x).
(-∞; -2) ∪ (2; +∞) Да Промежутки расположены зеркально относительно нуля. Можно переходить к вычислению f(-x).
[0; +∞) Нет Например, 3 входит в множество, а -3 не входит. Функция на такой области не является ни чётной, ни нечётной.
(-3; 5) Нет Число 4 входит, а -4 не входит. Дальнейшая проверка равенств не требуется.
[-5; 5) Нет -5 включено, а противоположное число 5 не включено. Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Симметричность области определения - необходимое, но недостаточное условие. Если область симметрична, функция ещё не обязательно чётная или нечётная: нужно проверить значения функции.

Чётная функция

Определение чётной функции

Функция y = f(x) называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).

f(-x) = f(x) В противоположных точках аргумента чётная функция принимает одинаковые значения.

Например, для функции f(x) = x² получаем: f(-x) = (-x)² = x² = f(x). Область определения - все действительные числа, она симметрична относительно нуля. Поэтому функция x² чётная.

Если известно, что f(6) = 10 и функция чётная, то автоматически f(-6) = 10. Формулу функции для этого знать не обязательно.

Название «чётная функция» не означает, что функция определена только на чётных числах. Речь идёт о специальном свойстве значений при противоположных аргументах.

График чётной функции

График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy. Если точка (a; b) лежит на графике, то точка (-a; b) также лежит на графике.

Симметрия графика чётной функции Парабола y равно x в квадрате и две точки с координатами минус два четыре и два четыре, симметричные относительно оси ординат. x y 0 (-2; 4) (2; 4) y = x²

Как увидеть симметрию

Точки (-2; 4) и (2; 4) имеют противоположные абсциссы и одинаковые ординаты. Они расположены на одинаковом расстоянии от оси Oy.

Если мысленно сложить координатную плоскость по оси Oy, левая и правая части графика совпадут.

Поэтому для построения чётной функции достаточно построить часть графика при x ≥ 0, а затем отразить её относительно оси Oy.

Нечётная функция

Определение нечётной функции

Функция y = f(x) называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для каждого x из области определения выполняется равенство f(-x) = -f(x).

f(-x) = -f(x) В противоположных точках аргумента значения нечётной функции противоположны.

Для функции f(x) = x³ получаем: f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x). Область определения - все действительные числа. Поэтому функция x³ нечётная.

Если известно, что f(4) = -7 и функция нечётная, то f(-4) = 7. Знак значения меняется на противоположный.

Если нечётная функция определена при x = 0, то обязательно f(0) = 0. Действительно, из f(-0) = -f(0) получается f(0) = -f(0), а это возможно только при f(0) = 0.

График нечётной функции

График нечётной функции симметричен относительно начала координат O(0; 0). Если точка (a; b) лежит на графике, то точка (-a; -b) также лежит на графике.

Симметрия графика нечётной функции График кубической функции и точки минус два минус четыре и два четыре, симметричные относительно начала координат. x y 0 (-2; -4) (2; 4) y = x³

Центральная симметрия

При переходе от точки (2; 4) к точке (-2; -4) изменяются знаки обеих координат.

График совмещается сам с собой после поворота на 180° вокруг начала координат.

Для построения нечётной функции можно построить часть графика при x ≥ 0 и повернуть её на 180° вокруг точки O(0; 0).

Функция общего вида

Ни чётная, ни нечётная

Если область определения несимметрична или при симметричной области не выполняется ни равенство f(-x) = f(x), ни равенство f(-x) = -f(x), функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим функцию f(x) = x² + x. Её область определения симметрична, но f(-x) = x² - x. Это выражение не равно ни f(x) = x² + x, ни -f(x) = -x² - x. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция f(x) = √x также не является ни чётной, ни нечётной, но по другой причине: её область определения [0; +∞) несимметрична относительно нуля.

Не нужно пытаться обязательно отнести каждую функцию к чётным или нечётным. Очень многие функции не обладают ни одним из этих свойств.

Алгоритм исследования функции на чётность

1

Найдите область определения D(f)

Проверьте ограничения знаменателя, квадратного корня и других выражений.

2

Проверьте симметричность области

Вместе с каждым допустимым x должно быть допустимо число -x. Если это неверно, функция ни чётная, ни нечётная.

3

Вычислите f(-x)

Замените каждое x выражением (-x). Скобки вокруг -x помогают не потерять знак.

4

Упростите полученное выражение

Используйте правила степеней: (-x)² = x², (-x)³ = -x³ и аналогичные равенства.

5

Сравните выражения

Если f(-x) = f(x), функция чётная. Если f(-x) = -f(x), функция нечётная.

6

Запишите полный вывод

Обязательно укажите симметричность области определения и равенство, на основании которого сделан вывод.

Краткая памятка: область - подстановка - упрощение - сравнение - вывод.

Как работают степени при замене x на -x

Степень Подстановка Результат Что происходит со знаком
Чётная степень (-x)² x² Минус исчезает, потому что произведение двух отрицательных множителей положительно.
Чётная степень (-x)⁴ x⁴ Знак не меняется.
Нечётная степень (-x)³ -x³ Остаётся один отрицательный знак.
Нечётная степень (-x)⁵ -x⁵ Знак меняется на противоположный.
Первая степень (-x) -x Первая степень является нечётной.
Нулевая степень (-x)⁰ 1 При x ≠ 0 значение равно 1; нулевая степень является чётной.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Скобки обязательны: запись -x² означает отрицательное число x², а запись (-x)² равна x².

Промежуточная проверка

Задание 1. Симметрична ли область

Определите, симметрично ли множество D = (-∞; -1) ∪ (1; +∞) относительно нуля.

Открыть решение

Если x > 1, то -x < -1. Если x < -1, то -x > 1. Оба противоположных числа входят в множество.

Ответ: да, область симметрична относительно нуля.

Задание 2. Значения чётной функции

Функция f чётная и f(7) = -3. Найдите f(-7).

Открыть решение

Для чётной функции f(-x) = f(x). Поэтому f(-7) = f(7) = -3.

Ответ: -3.

Задание 3. Значения нечётной функции

Функция g нечётная и g(-5) = 12. Найдите g(5).

Открыть решение

Значения нечётной функции при противоположных аргументах противоположны. Следовательно, g(5) = -12.

Ответ: -12.

Задание 4. Первая подстановка

Для функции f(x) = 3x² - 5 вычислите f(-x), не делая пока окончательного вывода.

Открыть решение

Заменяем x на (-x): f(-x) = 3(-x)² - 5 = 3x² - 5.

Ответ: f(-x) = 3x² - 5.

Подробные примеры, типичные ошибки, практические задания, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив и вопросы для самопроверки продолжаются во втором блоке урока.
19 Урок 19 Степенная функция с натуральным показателем. Степень с целым показателем Открыть урок Свернуть урок

Урок 19. Степенная функция с натуральным показателем. Степень с целым показателем

Урок рассчитан на самостоятельное изучение. Сначала мы восстановим смысл степени, затем расширим показатель до любого целого числа и разберём степенные функции. Все новые обозначения поясняются словами, свойства сравниваются в таблицах, а графики строятся по формулам и проверенным координатам точек.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете читать и вычислять степени с целым показателем, применять свойства степеней, распознавать основные виды степенных функций и объяснять их свойства по формуле и графику.

01

Восстановите смысл степени

Основание, показатель, положительная, нулевая и отрицательная целая степень.

02

Освоите свойства

Умножение, деление, возведение степени в степень и работа с отрицательным показателем.

03

Научитесь читать графики

Чётный и нечётный натуральный показатель, отрицательный чётный и отрицательный нечётный показатель.

Рекомендуемый порядок: изучайте определения последовательно, записывайте преобразования в тетради, затем сравните свойства по таблице. Перед просмотром решения каждого задания выполните собственную попытку.

Повторение: что означает степень

Степень с натуральным показателем

Для натурального числа n, где n = 1, 2, 3 и так далее, запись aⁿ означает произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a.

aⁿ = a · a · ... · a В произведении ровно n множителей. Число a называется основанием степени, число n - показателем степени.

2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Основание равно 2, показатель равен 4.

(-3)³ = (-3) · (-3) · (-3) = -27. При нечётном количестве отрицательных множителей результат отрицательный.

(-3)⁴ = 81. При чётном количестве отрицательных множителей результат положительный.

Следите за скобками: записи (-2)⁴ и -2⁴ имеют разные значения. В первом случае основанием является -2 и результат равен 16. Во втором случае сначала вычисляется 2⁴, затем ставится минус: -2⁴ = -16.

Как определяется степень с целым показателем

Целые числа включают положительные числа, ноль и отрицательные числа. Поэтому нужно рассмотреть три случая.

n > 0

Положительный показатель

Используется обычное определение произведения одинаковых множителей: aⁿ = a · ... · a.

0

Нулевая степень

Для любого ненулевого основания a принимают a⁰ = 1.

-n

Отрицательный показатель

Для a ≠ 0 и натурального n принимают a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Отрицательная целая степень

Отрицательный показатель не делает значение степени автоматически отрицательным. Он показывает, что нужно перейти к обратному числу: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

2⁻³ = 1/2³ = 1/8Показатель -3 означает переход к обратной величине степени 2³.
(-2)⁻⁴ = 1/(-2)⁴ = 1/16Знак результата определяется чётностью положительной степени в знаменателе.
Ограничение: основание отрицательной степени не может быть равно нулю. Выражения 0⁻¹, 0⁻² и другие отрицательные степени нуля не определены, потому что привели бы к делению на ноль.

Свойства степени с целым показателем

Формулы сохраняют тот же вид, что и для натуральных показателей. Перед применением проверяйте ограничения: знаменатели и основания отрицательных степеней должны быть ненулевыми.

СвойствоФормулаКак пониматьПример
Произведение степенейaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿПри одинаковых основаниях показатели складываются.2³ · 2⁻⁵ = 2⁻² = 1/4
Частное степенейaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿПри делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются.3² : 3⁵ = 3⁻³ = 1/27
Степень степени(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿПоказатели перемножаются.(5⁻²)³ = 5⁻⁶
Степень произведения(ab)ⁿ = aⁿbⁿКаждый множитель возводится в степень.(2x)³ = 8x³
Степень частного(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿВ степень возводятся числитель и знаменатель.(2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4
Нулевая степеньa⁰ = 1Формула верна только при a ≠ 0.(-7)⁰ = 1
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Проверка здравого смысла: если после преобразования получена отрицательная степень, ответ можно переписать без отрицательного показателя. Например, x⁻⁴ = 1/x⁴ при x ≠ 0.

Что называется степенной функцией

Степенная функция

Степенной функцией с целым показателем называют функцию вида y = xⁿ, где n - фиксированное целое число. Свойства и форма графика зависят от знака и чётности показателя n.

y = xⁿx - аргумент, y - значение функции, n - неизменный целый показатель.

n - положительное чётное

Примеры: y = x², y = x⁴, y = x⁶.

n - положительное нечётное

Примеры: y = x, y = x³, y = x⁵.

n = 0

Функция y = x⁰ = 1 при x ≠ 0. В рамках определения степени выражение 0⁰ не рассматривается.

n - отрицательное целое

y = x⁻ᵏ = 1/xᵏ, поэтому x = 0 исключается из области определения.

Натуральный чётный показатель

Рассмотрим y = xⁿ, где n - чётное натуральное число. Например, n = 2, 4, 6.

D

Область определения

Все действительные числа: D(y) = (-∞; +∞).

E

Множество значений

Только неотрицательные числа: E(y) = [0; +∞).

Oy

Симметрия

Функция чётная, график симметричен относительно оси Oy.

На промежутке (-∞; 0] функция убывает, а на [0; +∞) возрастает. Наименьшее значение равно 0 и достигается при x = 0.

При |x| < 1 более высокая чётная степень даёт меньшее значение: например, 0,5⁴ < 0,5². При |x| > 1 более высокая степень растёт быстрее.

Графики y = x² и y = x⁴ Обе кривые проходят через точки минус один один, ноль ноль и один один. Отмеченные точки вычислены по формулам функций. y x -1 0 1 1 2 3 4 y = x² y = x⁴ (-1; 1) (0; 0) (1; 1)

Точки проверены по формулам

Для x = -1, 0 и 1 значения x² и x⁴ совпадают. Поэтому точки (-1; 1), (0; 0), (1; 1) лежат сразу на обеих кривых.

Графики не проходят через другие отмеченные точки: каждая метка получена подстановкой координаты x в формулу.

Продолжение урока

Во второй части последовательно рассматриваются натуральный нечётный и отрицательный целый показатели, точные графики, общий алгоритм исследования, подробные примеры, практика и учебные ресурсы. Продолжение появится автоматически после этого блока.

20 Урок 20 Стандартная форма записи действительного числа. Применение степеней при решении практических задач Открыть урок Свернуть урок

Урок 20. Стандартная форма записи действительного числа. Применение степеней при решении практических задач

Урок рассчитан на полностью самостоятельное изучение. Мы начнём с повторения степеней числа 10, затем научимся компактно записывать очень большие и очень малые числа, определять порядок числа, выполнять арифметические действия и выбирать удобную форму записи при решении практических задач. Каждый алгоритм сопровождается пояснением и проверкой результата.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете переводить действительные числа в стандартную форму и обратно, определять порядок числа, сравнивать числа, выполнять с ними действия и применять степени десяти в задачах с реальными величинами.

01

Научитесь записывать числа

Большие, малые, положительные и отрицательные числа в виде a · 10ⁿ.

02

Освоите вычисления

Сравнение, умножение, деление, сложение и вычитание чисел в стандартной форме.

03

Примените запись на практике

Перевод единиц, оценка величин и компактное представление данных.

Рекомендуемый порядок: повторите таблицу степеней десяти, выполните каждый перевод числа письменно, затем переходите к действиям и практическим задачам. Решения заданий открывайте только после собственной попытки.

Повторение: степени числа 10

Стандартная форма основана на степенях десяти. Положительный показатель создаёт разряды слева от запятой, отрицательный - разряды справа от запятой.

Степень числа 10

При положительном натуральном n число 10ⁿ равно единице с n нулями. При отрицательном показателе 10⁻ⁿ = 1/10ⁿ, поэтому в десятичной записи после запятой перед единицей находится n - 1 нулей.

СтепеньДесятичная записьКак изменяется числоПример использования
10⁶1 000 000Умножение на миллион3 · 10⁶ = 3 000 000
10³1 000Умножение на тысячу4,2 · 10³ = 4 200
10¹10Запятая переносится на один разряд вправо6,7 · 10 = 67
10⁰1Число не изменяется8,4 · 10⁰ = 8,4
10⁻¹0,1Запятая переносится на один разряд влево5,2 · 10⁻¹ = 0,52
10⁻³0,001Деление на тысячу7 · 10⁻³ = 0,007
10⁻⁶0,000001Деление на миллион9,1 · 10⁻⁶ = 0,0000091
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Не считайте нули на глаз: проверяйте результат обратным действием. Например, 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴, потому что 7,2 : 10 000 = 0,00072.

Что называется стандартной формой числа

Стандартная форма ненулевого действительного числа

Ненулевое действительное число записано в стандартной форме, если оно представлено как a · 10ⁿ, где n - целое число, а коэффициент a удовлетворяет условию 1 ≤ |a| < 10. Запись |a| означает модуль числа a, то есть его расстояние от нуля.

x = a · 10ⁿ 1 ≤ |a| < 10 a - значащая часть, или коэффициент; n - порядок числа.

Положительное число

Коэффициент положителен: 5 800 000 = 5,8 · 10⁶.

Отрицательное число

Знак сохраняется: -0,0042 = -4,2 · 10⁻³. При этом |-4,2| = 4,2.

Число ноль

Ноль обычно записывают просто как 0. Условие 1 ≤ |a| < 10 для него выполнить нельзя.

Число от 1 до 10

Порядок равен нулю: 3,7 = 3,7 · 10⁰.

Проверка стандартной формы: в коэффициенте должна остаться ровно одна ненулевая цифра перед запятой. Например, 27 · 10⁴ не является стандартной формой, потому что |27| ≥ 10.

Коэффициент и порядок числа

a

Коэффициент

Показывает основные значащие цифры числа. Его модуль не меньше 1 и меньше 10.

n

Порядок

Показывает масштаб числа: насколько далеко исходная запятая находится от стандартного положения.

10ⁿ

Масштаб

Положительный n соответствует крупным разрядам, отрицательный n - малым долям единицы.

6,24 · 10⁸Коэффициент равен 6,24, порядок равен 8.
-3,1 · 10⁻⁵Коэффициент равен -3,1, порядок равен -5.
Порядок - это показатель степени, а не количество нулей в готовой записи во всех случаях. Например, 4,7 · 10⁻³ = 0,0047: после запятой перед цифрой 4 стоят два нуля, хотя порядок равен -3.

Как записать большое число в стандартной форме

Для числа, модуль которого не меньше 10, запятую переносим влево до положения после первой ненулевой цифры.

1

Найдите первую ненулевую цифру

В числе 52 000 000 это цифра 5.

2

Поставьте запятую после неё

Получаем коэффициент 5,2.

3

Посчитайте переносы запятой

Запятая перенесена влево на 7 разрядов.

4

Запишите положительный порядок

52 000 000 = 5,2 · 10⁷.

5

Выполните обратную проверку

Умножение 5,2 на 10⁷ возвращает запятую на 7 разрядов вправо и даёт 52 000 000.

7 350 000 000 = 7,35 · 10⁹Запятая перенесена влево на 9 разрядов.

Как записать малое число в стандартной форме

Для ненулевого числа, модуль которого меньше 1, запятую переносим вправо до положения после первой ненулевой цифры. Порядок будет отрицательным.

1

Найдите первую ненулевую цифру

В числе 0,000072 это цифра 7.

2

Получите коэффициент

Переносим запятую вправо и получаем 7,2.

3

Посчитайте переносы

Запятая перенесена вправо на 5 разрядов.

4

Поставьте отрицательный показатель

0,000072 = 7,2 · 10⁻⁵.

5

Проверьте делением

7,2 · 10⁻⁵ = 7,2 : 100 000 = 0,000072.

-0,0046 = -4,6 · 10⁻³Знак минус сохраняется, а модуль коэффициента равен 4,6.

Как привести запись к стандартной форме

Иногда число уже содержит степень десяти, но коэффициент не удовлетворяет условию 1 ≤ |a| < 10. Тогда коэффициент и показатель изменяют согласованно.

Исходная записьЧто делаем с коэффициентомЧто делаем с порядкомСтандартная форма
38 · 10⁴38 делим на 10: получаем 3,8Показатель увеличиваем на 13,8 · 10⁵
125,6 · 10⁻³125,6 делим на 100: получаем 1,256Показатель увеличиваем на 21,256 · 10⁻¹
0,62 · 10⁻³0,62 умножаем на 10: получаем 6,2Показатель уменьшаем на 16,2 · 10⁻⁴
-0,008 · 10⁷-0,008 умножаем на 1 000: получаем -8Показатель уменьшаем на 3-8 · 10⁴
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Правило равновесия: если коэффициент делят на 10, показатель увеличивают на 1. Если коэффициент умножают на 10, показатель уменьшают на 1. Значение всего произведения при этом не меняется.

Сравнение чисел в стандартной форме

Для положительных чисел сначала сравнивают порядки. Если порядки одинаковы, сравнивают коэффициенты.

1

Проверьте знаки

Любое положительное число больше отрицательного. При сравнении двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

2

Сравните порядки положительных чисел

Чем больше порядок, тем больше число: 8,1 · 10⁻⁶ < 7,9 · 10⁻⁵.

3

При равных порядках сравните коэффициенты

4,7 · 10⁸ > 3,9 · 10⁸, потому что 4,7 > 3,9.

4

При сомнении приведите к одному порядку

6,2 · 10⁴ = 0,62 · 10⁵, поэтому 6,2 · 10⁴ < 7,1 · 10⁵.

Умножение и деление чисел в стандартной форме

Коэффициенты умножают или делят обычным способом, а со степенями десяти применяют свойства степеней. В конце результат обязательно нормализуют.

(a · 10ᵐ)(b · 10ⁿ) = ab · 10ᵐ⁺ⁿПри умножении показатели складывают.
(a · 10ᵐ) : (b · 10ⁿ) = (a/b) · 10ᵐ⁻ⁿПри делении показатели вычитают; b ≠ 0.

Пример умножения

Вычислите (3,2 · 10⁵)(4 · 10⁻³).

1

Умножим коэффициенты

3,2 · 4 = 12,8.

2

Сложим показатели

5 + (-3) = 2, поэтому получаем 12,8 · 10².

3

Нормализуем ответ

12,8 · 10² = 1,28 · 10³.

Пример деления

Вычислите (6,3 · 10⁷) : (2,1 · 10³).

1

Разделим коэффициенты

6,3 : 2,1 = 3.

2

Вычтем показатели

7 - 3 = 4.

3

Запишем ответ

3 · 10⁴. Коэффициент уже находится в допустимом диапазоне.

Продолжение урока

Во второй части находятся сложение и вычитание, перевод единиц, практические примеры, типичные ошибки, задания, видео, презентация, интерактив и итоговая самопроверка.

Тема 3

Арифметический корень n-й степени. Иррациональные уравнения и неравенства

Арифметический корень натуральной степени, условия его существования и основные свойства. Действия с арифметическими корнями n-й степени, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня и преобразование иррациональных выражений. Свойства и график функции корня n-й степени. Основные способы решения иррациональных уравнений и неравенств, проверка найденных решений и применение иррациональных уравнений и неравенств при решении математических и практических задач.

18 учебных часов
21 Урок 21 Понятие корня n-й степени. Арифметический корень натуральной степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 21. Понятие корня n-й степени. Арифметический корень натуральной степени

Это первый урок третьей темы, рассчитанный на полностью самостоятельное изучение. Мы восстановим смысл возведения в степень, разберём операцию извлечения корня с самого начала, научимся читать знак корня и определять, когда корень существует в множестве действительных чисел. Особое внимание уделим различию между арифметическим корнем и корнями уравнения.

35 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете объяснить смысл корня n-й степени, правильно читать запись с радикалом, находить точные значения простейших корней и определять количество действительных корней уравнения xⁿ = a.

01

Поймёте новую операцию

Извлечение корня как действие, обратное возведению в натуральную степень.

02

Научитесь читать обозначения

Показатель корня, знак радикала, подкоренное число и значение корня.

03

Будете учитывать условия

Различия между чётным и нечётным показателем и знаком подкоренного числа.

Рекомендуемый порядок: повторите смысл степени, затем изучите определения и таблицу существования корней. Все вычисления выполняйте письменно и проверяйте обратным действием - возведением найденного числа в нужную степень.

Повторение: что означает возведение в степень

Чтобы понять извлечение корня, необходимо вспомнить действие, обратное ему. Возведение в натуральную степень означает умножение одинаковых множителей.

Степень с натуральным показателем

Если n - натуральное число, то aⁿ является произведением n одинаковых множителей, каждый из которых равен a.

aⁿ = a · a · ... · aВ произведении ровно n множителей a.
ЗаписьРазвёрнутое произведениеЗначениеОбратный вопрос
3²3 · 39Какое неотрицательное число в квадрате даёт 9?
2³2 · 2 · 28Какое число в кубе даёт 8?
3⁴3 · 3 · 3 · 381Какое неотрицательное число в четвёртой степени даёт 81?
(-2)⁵(-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)-32Какое число в пятой степени даёт -32?
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Обратная операция: если 3⁴ = 81, то извлечение корня четвёртой степени отвечает на вопрос: какое неотрицательное число нужно возвести в четвёртую степень, чтобы получить 81?

Корень n-й степени из числа

Корень n-й степени

Корнем n-й степени из действительного числа a называют такое действительное число b, n-я степень которого равна a. Здесь n - натуральное число, причём обычно n ≥ 2.

bⁿ = aТогда число b является корнем n-й степени из числа a.

Пример: корни четвёртой степени из 81

Числа 3 и -3 являются корнями четвёртой степени из 81.

3⁴ = 81 и (-3)⁴ = 81. Чётная степень положительного и отрицательного числа одинакового модуля имеет одно и то же положительное значение.

Пример: корень третьей степени из -125

Число -5 является единственным действительным корнем третьей степени из -125.

(-5)³ = -125. Нечётная степень сохраняет знак основания.

Слово «корень» имеет несколько значений: корень n-й степени - результат обратной операции, а корень уравнения - значение переменной, при котором уравнение становится верным. Эти понятия связаны, но не тождественны.

Арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень n-й степени

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют единственное неотрицательное число b, n-я степень которого равна a.

n√a = b a ≥ 0 b ≥ 0 bⁿ = a
Главное слово - «неотрицательное»: знак радикала обозначает одно определённое значение. Например, √16 = 4, а не ±4.

Как устроена запись корня

Обозначение корня n-й степени Схема записи корня n-й степени из a, равного b, с подписями показателя корня, знака радикала, подкоренного числа и значения. n √ a = b показатель корня n знак корня, или радикал подкоренное число a значение корня b

Как прочитать запись

4√81 = 3 читается: «арифметический корень четвёртой степени из восьмидесяти одного равен трём».

Проверка: 3⁴ = 81, причём 3 ≥ 0.

Для квадратного корня показатель 2 обычно не пишут: √25 = 5.

Показатель nПоказывает, в какую степень нужно возвести значение корня.
Подкоренное число aЧисло, из которого извлекают корень.
Значение bЧисло, которое после возведения в степень n даёт a.

Чётный и нечётный показатель корня

Количество действительных корней уравнения xⁿ = a зависит от двух признаков: чётности показателя n и знака числа a.

Показатель nЧисло aКорни уравнения xⁿ = aПримерАрифметический корень
Чётныйa > 0Два противоположных корняx⁴ = 81 → x = -3; 3⁴√81 = 3
Чётныйa = 0Один корень - нольx⁶ = 0 → x = 0⁶√0 = 0
Чётныйa < 0Действительных корней нетx⁴ = -16В действительных числах выражение не определено
НечётныйЛюбое действительное aОдин действительный кореньx³ = -125 → x = -5При a ≥ 0 значение неотрицательно; при a < 0 единственный корень отрицателен
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Работаем в множестве действительных чисел: корень чётной степени из отрицательного числа здесь не существует. В старших разделах математики такие выражения рассматривают в множестве комплексных чисел, но в данном уроке оно не используется.

Не путайте знак корня и решение уравнения

Значение выражения

√49 = 7. Знак √ обозначает единственный неотрицательный арифметический корень.

Решение уравнения

x² = 49 имеет два корня: x = -7 и x = 7.

Запись с ±

x = ±√49 = ±7 используется при решении уравнения, а не внутри самого знака корня.

Нечётная степень

x³ = -8 имеет единственный корень x = -2.

Неверно: √49 = ±7. Правильно: √49 = 7, а уравнение x² = 49 имеет решения x = ±7.

Как найти точное значение корня

Если подкоренное число является точной n-й степенью некоторого числа, корень можно найти подбором с обязательной проверкой.

1

Определите показатель корня

В записи ⁵√32 показатель равен 5. Нужно найти число, пятая степень которого равна 32.

2

Учитывайте знак и чётность

Пятая степень нечётная, поэтому корень может быть и положительным, и отрицательным - в зависимости от подкоренного числа.

3

Подберите основание

Поскольку 2⁵ = 32, предполагаем, что ⁵√32 = 2.

4

Выполните обратную проверку

Возводим найденное число в пятую степень: 2⁵ = 32. Значит, ответ верен.

ОснованиеКвадратКубЧетвёртая степеньПятая степеньШестая степень
000000
111111
248163264
392781243729
416642561 0244 096
5251256253 12515 625
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Промежуточная проверка

Выполните без калькулятора. Сначала запишите степень, которой проверяется ответ.

Задание 1. Прочитайте запись

Назовите показатель корня, подкоренное число и значение в равенстве ⁴√625 = 5.

Открыть решение

Показатель корня - 4, подкоренное число - 625, значение арифметического корня - 5. Проверка: 5⁴ = 625.

Задание 2. Вычислите

Найдите ³√64.

Открыть решение

Ищем число, куб которого равен 64. Так как 4³ = 64, то ³√64 = 4.

Задание 3. Проверьте существование

Имеет ли выражение ⁶√(-64) действительное значение?

Открыть решение

Нет. Показатель 6 чётный, а чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Получить -64 невозможно.

Подробные примеры, типичные ошибки, практические задания, самостоятельная работа, видео, презентация, интерактив и вопросы для самопроверки продолжаются во втором блоке урока.
22 Урок 22 Свойства арифметического корня n-й степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 22. Свойства арифметического корня n-й степени

Этот урок рассчитан на самостоятельное изучение. Сначала мы коротко восстановим определение арифметического корня, затем разберём каждое свойство отдельно, обязательно укажем условия его применения и научимся проверять преобразования обратным действием. Материал объясняется с нуля, поэтому его можно изучать и после длительного перерыва в занятиях математикой.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Работайте по порядку. Каждый следующий шаг использует предыдущий, поэтому не переходите к практике, пока не сможете своими словами объяснить условия формулы.

1

Проверять допустимость выражения

Определять, можно ли применять свойство при данных значениях переменных и не возникает ли деление на ноль.

2

Работать с произведением и частным

Разделять корень произведения на произведение корней и корень частного на частное корней.

3

Понимать роль модуля

Объяснять, почему при корне чётной степени из aⁿ может появляться |a|, а не просто a.

4

Преобразовывать вложенные корни

Объединять последовательное извлечение корней в один корень с произведением показателей.

Главное правило урока: формулу нельзя применять отдельно от её условий. Перед каждым преобразованием вслух или письменно укажите, какие выражения должны быть неотрицательными и какой знаменатель не должен равняться нулю.

Повторение перед изучением свойств

Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a - это единственное неотрицательное число, n-я степень которого равна a.

ⁿ√a = b a ≥ 0 b ≥ 0 bⁿ = a

Неотрицательное число

Это число, которое больше нуля или равно нулю. Запись a ≥ 0 включает и положительные числа, и ноль.

Модуль числа

|a| - расстояние от числа a до нуля. Поэтому |a| всегда неотрицателен: |5| = 5, |-5| = 5.

Произведение

Результат умножения. В записи ab множители - a и b, а всё выражение ab является произведением.

Частное

Результат деления. В дроби a/b число b не может быть равно нулю.

Не забывайте: для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательного числа, но в формулах этого урока сначала рассматриваются безопасные условия a ≥ 0 и b ≥ 0.

Свойство 1. Корень и степень как обратные действия

Возведение арифметического корня в показатель корня

Если a ≥ 0, то после извлечения корня n-й степени и последующего возведения результата в степень n получится исходное число a.

(ⁿ√a)ⁿ = a Условие: a ≥ 0, n - натуральное число, n ≥ 2.

Возведение найденного корня в степень

Вычислим (⁴√81)⁴.

По определению ⁴√81 = 3, потому что 3⁴ = 81. Поэтому (⁴√81)⁴ = 81.

Формула позволяет получить ответ сразу, но понимание определения помогает проверить её смысл.

Корень из степени и модуль

Сравним √(5²) и √((-5)²).

Оба подкоренных числа равны 25. Арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому √(5²) = 5 и √((-5)²) = 5.

Значит, для любого действительного a верно √(a²) = |a|.

Показатель nВыражениеРезультатПочемуПример
Чётныйⁿ√(aⁿ)|a|Арифметический корень должен быть неотрицательным⁴√((-3)⁴) = 3
Нечётныйⁿ√(aⁿ)aНечётная степень и нечётный корень сохраняют знак³√((-3)³) = -3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Частая ошибка: писать √(a²) = a без условий. При a = -7 получилось бы неверное равенство √49 = -7. Правильно: √(a²) = |a|.

Свойство 2. Корень из произведения

Корень из произведения

Корень n-й степени из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней n-й степени из этих чисел.

ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b Условия: a ≥ 0, b ≥ 0.
1

Проверьте условия

Убедитесь, что множители под корнем неотрицательны.

2

Выберите удобное направление

Можно разделить корень произведения на произведение корней или, наоборот, объединить произведение корней под одним знаком.

3

Извлеките точные корни

Представляйте подкоренное число как произведение, один из множителей которого является точной n-й степенью.

4

Проверьте результат

Возведите ответ в степень n или перемножьте найденные значения.

Вычисление корня из произведения

Вычислите ⁴√(16 · 81).

Оба множителя неотрицательны. Применяем свойство:

⁴√(16 · 81) = ⁴√16 · ⁴√81 = 2 · 3 = 6.

Проверка: 16 · 81 = 1296 и 6⁴ = 1296.

Выделение полного квадрата

Упростите √72.

Число 72 представим как 36 · 2. Тогда:

√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.

Корень √2 точно не извлекается, поэтому он остаётся в ответе.

Корень не распределяется по сумме: √(a + b) в общем случае не равно √a + √b. Например, √(9 + 16) = 5, а √9 + √16 = 7.

Свойство 3. Корень из частного

Корень из частного

Корень n-й степени из частного неотрицательного числа a и положительного числа b равен частному корней из этих чисел.

ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b Условия: a ≥ 0, b > 0.

Точное значение дробного корня

Вычислите ⁵√(32/243).

32 = 2⁵, 243 = 3⁵, знаменатель положителен. Поэтому:

⁵√(32/243) = ⁵√32 / ⁵√243 = 2/3.

Проверка: (2/3)⁵ = 32/243.

Упрощение квадратного корня из дроби

Упростите √(18/8).

Сначала можно сократить дробь: 18/8 = 9/4. Затем:

√(18/8) = √(9/4) = √9 / √4 = 3/2.

Сокращение до применения свойства уменьшает количество вычислений.

Почему b > 0, а не b ≥ 0: знаменатель не может быть равен нулю. При b = 0 исходная дробь a/b не определена.

Промежуточная проверка

Выполните письменно. Перед преобразованием укажите используемое свойство и его условия.

Задание 1. Корень из степени

Упростите √(x²) при произвольном действительном x.

Открыть решение

√(x²) = |x|. Модуль необходим, потому что арифметический квадратный корень неотрицателен.

Задание 2. Произведение

Вычислите ³√(8 · 125).

Открыть решение

³√(8 · 125) = ³√8 · ³√125 = 2 · 5 = 10. Проверка: 10³ = 1000 = 8 · 125.

Задание 3. Частное

Вычислите ⁴√(81/16).

Открыть решение

⁴√(81/16) = ⁴√81 / ⁴√16 = 3/2.

Свойства вложенного корня, подробные примеры, типичные ошибки, практика, самостоятельная работа и учебные ресурсы находятся во второй части урока.
23 Урок 23 Действия с арифметическими корнями n-й степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 23. Действия с арифметическими корнями n-й степени

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы начнём с повторения самых необходимых понятий, затем разберём каждое действие отдельно и научимся определять, какое преобразование допустимо. Все решения записаны пошагово, поэтому материал подходит школьникам и взрослым, которые давно не работали с корнями.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Изучайте пункты строго по порядку. Сначала разберитесь, какие корни являются подобными, и только затем переходите к действиям.

1

Распознавать подобные корни

Сравнивать показатели корней и подкоренные выражения после упрощения.

2

Складывать и вычитать

Собирать коэффициенты только у подобных корней, не складывая подкоренные числа.

3

Умножать и делить

Применять свойства корня из произведения и частного с обязательной проверкой условий.

4

Возводить корень в степень

Переносить натуральную степень под знак корня и упрощать результат.

5

Выполнять цепочку действий

Определять порядок преобразований, записывать промежуточные шаги и проверять ответ.

Основной принцип: знак корня не отменяет обычный порядок действий. Сначала упрощают отдельные корни, затем выполняют умножение и деление, после этого - сложение и вычитание.

Повторение: из чего состоит выражение с корнем

В записи k · ⁿ√a число k называется коэффициентом, n - показателем корня, a - подкоренным выражением.

k · ⁿ√a Пример: в выражении 5³√2 коэффициент равен 5, показатель корня равен 3, подкоренное число равно 2.

Коэффициент

Числовой множитель перед корнем. Если число не написано, коэффициент равен 1: √7 = 1 · √7.

Показатель корня

Число, показывающее степень корня. У квадратного корня показатель 2 обычно не пишут.

Подкоренное выражение

Число или выражение под знаком корня. Перед действием его полезно разложить на удобные множители.

Допустимые значения

Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Знаменатель всегда должен быть ненулевым.

Важное различие: коэффициент находится перед корнем и умножается на весь корень. Например, 3√5 означает 3 · √5, а не √15.

Алгоритм перед выполнением любого действия

Этот порядок снижает риск ошибок и подходит для большинства выражений с корнями.

1

Проверьте допустимость

Для корней чётной степени убедитесь, что подкоренное выражение неотрицательно. При делении проверьте знаменатель.

2

Упростите каждый корень

Извлеките точные корни и выделите полные n-е степени из подкоренного выражения, если это возможно.

3

Определите вид действия

Для сложения ищите подобные корни; для умножения и деления сравните показатели корней.

4

Примените формулу

Запишите формулу отдельно и только затем подставьте значения. Не выполняйте несколько новых преобразований в одной строке.

5

Проверьте результат

Оцените знак и приблизительную величину ответа или выполните обратное действие.

Подобные и неподобные корни

Подобные корни

Корни являются подобными, если после упрощения у них одинаковы показатель корня и подкоренное выражение. Коэффициенты при этом могут быть разными.

3√5 и 8√5 2³√7 и -5³√7 В каждой паре совпадают и показатель корня, и подкоренное число.
Пара выраженийПодобные?ОбъяснениеЧто сделать перед выводом
4√3 и 9√3ДаОдинаковые показатель 2 и подкоренное число 3Можно сразу сложить коэффициенты
√2 и √5НетПодкоренные числа различныПроверить, нельзя ли упростить корни
√12 и √27После упрощения√12 = 2√3, √27 = 3√3Сначала вынести полные квадраты
√7 и ³√7НетПоказатели корней различныПри сложении объединить нельзя
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Нельзя: считать корни подобными только потому, что у них одинаковый знак √. Например, √2 и √3 - разные числа, поэтому их сумма не превращается в один корень.

Сложение и вычитание подобных корней

Правило

При сложении или вычитании подобных корней складывают или вычитают только коэффициенты. Показатель корня и подкоренное выражение сохраняют.

kⁿ√a + mⁿ√a = (k + m)ⁿ√a kⁿ√a - mⁿ√a = (k - m)ⁿ√a

Пример 1. Подобные квадратные корни

Вычислим 3√5 + 7√5 - 2√5.

Шаг 1. Все корни имеют показатель 2 и подкоренное число 5, значит, они подобны.

Шаг 2. Собираем коэффициенты: (3 + 7 - 2)√5 = 8√5.

Ответ: 8√5.

Пример 2. Подобные кубические корни

Упростим 6³√2 - 9³√2 + 4³√2.

Шаг 1. Показатель 3 и подкоренное число 2 одинаковы.

Шаг 2. Выполняем действие с коэффициентами: (6 - 9 + 4)³√2 = 1³√2 = ³√2.

Ответ: ³√2.

Пример 3. Сначала нужно упростить корни

Упростим √12 + √27 - √3.

Шаг 1. √12 = √(4 · 3) = 2√3.

Шаг 2. √27 = √(9 · 3) = 3√3.

Шаг 3. Получаем 2√3 + 3√3 - √3 = (2 + 3 - 1)√3 = 4√3.

Ответ: 4√3.

Неверно: √2 + √3 = √5. Проверка приближёнными значениями показывает ошибку: √2 + √3 ≈ 3,146, а √5 ≈ 2,236.

Умножение корней с одинаковым показателем

Правило умножения

Корни одинаковой степени можно объединить под одним знаком корня. Коэффициенты перед корнями умножаются отдельно.

ⁿ√a · ⁿ√b = ⁿ√(ab) kⁿ√a · mⁿ√b = kmⁿ√(ab) Для корней чётной степени в рассматриваемых преобразованиях требуется a ≥ 0 и b ≥ 0.

Пример 4. Произведение квадратных корней

Вычислим √6 · √24.

Объединяем корни: √6 · √24 = √(6 · 24) = √144 = 12.

Проверка: √6 ≈ 2,449 и √24 ≈ 4,899; произведение приблизительно равно 12.

Пример 5. Коэффициенты перед корнями

Упростим 2√3 · 5√6.

Шаг 1. Умножаем коэффициенты: 2 · 5 = 10.

Шаг 2. Умножаем корни: √3 · √6 = √18 = 3√2.

Шаг 3. 10 · 3√2 = 30√2.

Ответ: 30√2.

Пример 6. Кубические корни

Вычислим ³√4 · ³√16.

³√4 · ³√16 = ³√64 = 4, потому что 4³ = 64.

Деление корней с одинаковым показателем

Правило деления

Частное корней одинаковой степени можно записать как один корень из частного. Делитель не должен равняться нулю.

ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a/b) Для корня чётной степени: a ≥ 0, b > 0. Строгое условие b > 0 исключает деление на ноль.

Пример 7. Деление квадратных корней

Вычислим √75 / √3.

√75 / √3 = √(75/3) = √25 = 5.

Проверка: √75 = 5√3, поэтому 5√3 / √3 = 5.

Пример 8. Деление кубических корней

Вычислим ³√250 / ³√2.

³√250 / ³√2 = ³√125 = 5.

Знаменатель ³√2 не равен нулю, поэтому деление допустимо.

Следите за коэффициентами: выражение 6√10 / 2√5 равно (6/2) · (√10/√5) = 3√2, а не √2.
24 Урок 24 Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня Открыть урок Свернуть урок

Урок 24. Вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы начнём с повторения степеней и свойств корня, затем пошагово разберём два взаимно обратных преобразования. Все условия и обозначения поясняются словами, поэтому материал подходит школьникам и взрослым, которые давно не работали с корнями.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Изучайте пункты строго по порядку. Сначала научитесь находить полную n-ю степень под знаком корня, затем переходите к обратному преобразованию.

1

Находить полную n-ю степень

Разлагать подкоренное выражение на множители и выделять часть, из которой корень извлекается точно.

2

Выносить множитель

Переносить полный n-й степенной множитель перед знаком корня с учётом чётности показателя и модуля.

3

Вносить множитель

Возводить внешний множитель в степень, равную показателю корня, и помещать результат под знак корня.

4

Упрощать выражения

Использовать вынесение множителя перед сложением и вычитанием корней.

5

Сравнивать иррациональные числа

Вносить положительные множители под знак корня и сравнивать подкоренные выражения.

6

Проверять преобразование

Выполнять обратное действие и контролировать знак результата.

Главная идея: вынесение и внесение множителя являются взаимно обратными действиями. Значение выражения при правильном преобразовании не меняется.

Повторение: что такое полная n-я степень

Полная n-я степень

Число или выражение является полной n-й степенью, если его можно представить в виде cⁿ. Именно из такой части корень n-й степени извлекается точно.

√(c²) = |c| ³√(c³) = c ⁴√(c⁴) = |c| При чётном показателе появляется модуль, потому что арифметический корень неотрицателен. При нечётном показателе знак числа сохраняется.
Число cc²c³c⁴Точные корни
24816√4 = 2; ³√8 = 2; ⁴√16 = 2
392781√9 = 3; ³√27 = 3; ⁴√81 = 3
41664256√16 = 4; ³√64 = 4; ⁴√256 = 4
525125625√25 = 5; ³√125 = 5; ⁴√625 = 5
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Необязательно извлекать корень из всего числа. Достаточно найти внутри подкоренного выражения множитель, являющийся полной степенью нужного показателя.

Вынесение множителя из-под знака корня

Вынести множитель

Вынести множитель из-под знака корня - значит представить подкоренное выражение как произведение полной n-й степени и оставшегося множителя, а затем извлечь точный корень из полной степени.

При нечётном n: ⁿ√(cⁿ · a) = c · ⁿ√a При чётном n: ⁿ√(cⁿ · a) = |c| · ⁿ√a Для чётного показателя подкоренное выражение должно быть допустимым, а результат арифметического корня остаётся неотрицательным.

Чётный показатель

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Из корня выходит неотрицательный множитель или модуль переменной.

Нечётный показатель

Подкоренное выражение может быть отрицательным. Знак вынесенного множителя сохраняется.

Числовой множитель

Ищите квадрат, куб, четвёртую степень и так далее, которые являются делителями подкоренного числа.

Переменная

Степень переменной делят на показатель корня: полные группы выходят наружу, остаток остаётся под корнем.

Алгоритм вынесения множителя

Не пытайтесь выполнить все преобразования мысленно. Записывайте каждое действие отдельной строкой.

1

Определите показатель корня

Для √a показатель равен 2, для ³√a - 3, для ⁴√a - 4.

2

Разложите радиканд

Представьте подкоренное выражение как произведение, один из множителей которого является полной n-й степенью.

3

Разделите корень произведения

Запишите корень из полной степени и корень из оставшегося множителя отдельно, если условия свойства выполнены.

4

Извлеките точный корень

Полную n-ю степень замените её корнем. При чётном n не забывайте модуль переменной.

5

Проверьте остаток

Убедитесь, что под корнем не осталось ещё одной полной n-й степени.

Подробные примеры с числами

Во всех примерах сначала ищем наибольшую удобную полную степень.

Пример 1. Квадратный корень

Упростим √72.

Шаг 1. Находим полный квадрат: 72 = 36 · 2.

Шаг 2. √72 = √(36 · 2) = √36 · √2.

Шаг 3. √36 = 6, поэтому √72 = 6√2.

Проверка: (6√2)² = 36 · 2 = 72.

Пример 2. Кубический корень

Упростим ³√54.

Шаг 1. 54 = 27 · 2, а 27 = 3³.

Шаг 2. ³√54 = ³√(27 · 2) = ³√27 · ³√2.

Шаг 3. ³√54 = 3³√2.

Проверка: (3³√2)³ = 27 · 2 = 54.

Пример 3. Корень четвёртой степени

Упростим ⁴√240.

Шаг 1. 240 = 16 · 15, а 16 = 2⁴.

Шаг 2. ⁴√240 = ⁴√(16 · 15) = ⁴√16 · ⁴√15.

Шаг 3. ⁴√240 = 2⁴√15.

Число 15 не содержит множителя, являющегося полной четвёртой степенью.

Пример 4. Отрицательный радиканд при нечётном показателе

Упростим ³√(-54).

Шаг 1. -54 = (-27) · 2.

Шаг 2. ³√(-54) = ³√((-27) · 2) = ³√(-27) · ³√2.

Шаг 3. ³√(-54) = -3³√2.

Нечётный корень из отрицательного числа существует и остаётся отрицательным.

Вынесение множителя в выражениях с переменными

Главное правило: при чётном показателе корня из чётной степени переменной выходит модуль. Запись √(x²) = x верна только при условии x ≥ 0.

Пример 5. Квадрат переменной

Упростим √(72x²).

√(72x²) = √(36 · 2 · x²).

Из-под корня выходят √36 = 6 и √(x²) = |x|.

Ответ: 6|x|√2.

Пример 6. Куб переменной

Упростим ³√(54a³).

³√(54a³) = ³√(27 · 2 · a³).

При нечётном показателе модуль не нужен: ³√(a³) = a.

Ответ: 3a³√2.

Пример 7. Четвёртая степень переменной

Упростим ⁴√(16a⁴b), где b ≥ 0.

⁴√(16a⁴b) = ⁴√(2⁴ · a⁴ · b).

Из-под корня выходят 2 и |a|.

Ответ: 2|a|⁴√b.

Пример 8. Степень больше показателя корня

Упростим √(18x⁵), где x ≥ 0.

Разделяем x⁵ = x⁴ · x и 18 = 9 · 2.

√(18x⁵) = √(9 · x⁴ · 2x) = 3x²√(2x).

Условие x ≥ 0 обеспечивает допустимость подкоренного выражения и позволяет записать √(x⁴) = x².

Как понять, что вынесено всё возможное

Разложите число

Проверьте, не делится ли оставшийся радиканд на 4, 9, 16, 25 для квадратного корня или на 8, 27, 64 для кубического.

Проверьте показатели

Степень переменной под корнем должна быть меньше показателя корня, иначе можно вынести ещё одну полную группу.

Сравните обратным действием

Внесите вынесенный множитель обратно под знак корня. Должно получиться исходное выражение.

Оцените знак

Арифметический корень чётной степени неотрицателен. Отрицательный результат указывает на ошибку, если перед корнем не было минуса.

25 Урок 25 Преобразование выражений, содержащих корни n-й степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 25. Преобразование выражений, содержащих корни n-й степени

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы соберём в одну систему все ранее изученные действия с корнями: проверку допустимости, вынесение и внесение множителя, приведение корней к общему показателю, работу со степенями, модулем и знаменателем. Каждый новый шаг будет объяснён с нуля и проверен обратным действием.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Все пункты расположены в последовательности, в которой удобно выполнять преобразование.

1

Проверять допустимость

Определять, при каких значениях переменных выражение с корнем имеет смысл в действительных числах.

2

Выбирать подходящее свойство

Распознавать произведение, частное, степень, вложенный корень и подобные радикалы.

3

Упрощать каждый корень отдельно

Выделять полные степени и получать корни в наиболее простом виде.

4

Приводить показатели корней

Находить наименьшее общее кратное показателей и переписывать корни с единым показателем.

5

Преобразовывать сложные выражения

Выполнять действия в правильном порядке и сохранять равенство на каждом этапе.

6

Проверять результат

Использовать обратное преобразование, числовую подстановку и оценку знака.

Главный принцип: преобразование меняет форму записи, но не значение выражения. Если после преобразования значение изменилось, значит, было нарушено условие свойства или допущена вычислительная ошибка.

Карта преобразований

Сначала определите, какой фрагмент выражения находится перед вами.

Произведение под корнем

Ищите полный n-й степенной множитель или разделяйте корень произведения на произведение корней при выполнении условий.

Частное под корнем

Разделяйте числитель и знаменатель только после проверки, что знаменатель положителен для чётного корня и не равен нулю.

Корни с разными показателями

Приводите их к общему показателю через наименьшее общее кратное.

Степень или вложенный корень

Используйте обратность корня и степени, правило модуля и перемножение показателей вложенных корней.

Сумма или разность

Сначала упрощайте каждый корень, затем складывайте только подобные радикалы.

Корень в знаменателе

Домножайте дробь на подходящий корень, чтобы знаменатель превратился в рациональное число или выражение.

Общий алгоритм преобразования

Записывайте каждый шаг отдельной строкой. Это помогает не потерять знак, показатель или модуль.

1

Найдите область допустимых значений

Для корня чётной степени радиканд должен быть неотрицательным. Знаменатель всегда должен быть отличен от нуля.

2

Укажите структуру выражения

Определите главную операцию: сумма, произведение, частное, степень или вложенный корень.

3

Упростите радиканды

Разложите числа на множители, выделите полные степени и сократите дроби, если это допустимо.

4

Примените одно свойство

Не выполняйте несколько преобразований мысленно. После каждого свойства записывайте новую равную форму.

5

Приведите подобные части

Сложите коэффициенты только у корней с одинаковым показателем и одинаковым радикандом.

6

Проверьте окончательный вид

Под корнем не должно оставаться полной n-й степени, которую ещё можно вынести.

7

Выполните контроль

Подставьте допустимое число, выполните обратное действие или приблизительно оцените обе формы.

Основные свойства, которые понадобятся

СвойствоУсловиеКак читатьПример
ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√bДля чётного n: a ≥ 0, b ≥ 0Корень произведения можно разделить на произведение корней√72 = √36 · √2
ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√bДля чётного n: a ≥ 0, b > 0Корень частного можно разделить на частное корней√(49/9) = 7/3
ⁿ√(aⁿ) = |a|n чётноеИз чётной степени выходит модуль√(x²) = |x|
ⁿ√(aⁿ) = an нечётноеНечётный корень сохраняет знак³√(x³) = x
ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√aПри чётных показателях: a ≥ 0Показатели вложенных корней перемножаются√(³√64) = ⁶√64 = 2
ⁿ√a = ᵏⁿ√(aᵏ)Для чётного корня: a ≥ 0Показатель корня и показатель радиканда умножают на одно число√3 = ⁶√27
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Запрещённое действие: в общем случае ⁿ√(a + b) не равно ⁿ√a + ⁿ√b. Свойства произведения и частного нельзя переносить на сумму и разность.

Упрощение одного корня

Простой вид радикала

Корень записан в простом виде, если из его радиканда нельзя вынести ненулевой множитель, являющийся полной степенью показателя корня.

Пример 1. Квадратный корень

Упростим √432.

Шаг 1. Выделяем наибольший удобный полный квадрат: 432 = 144 · 3.

√432 = √144 · √3 = 12√3.

Проверка: (12√3)² = 144 · 3 = 432.

Пример 2. Кубический корень

Упростим ³√(-686).

Число -686 = (-343) · 2, а -343 = (-7)³.

³√(-686) = ³√((-343) · 2) = -7³√2.

Нечётный корень существует для отрицательного радиканда и сохраняет знак.

Пример 3. Корень четвёртой степени

Упростим ⁴√2592.

Представим 2592 = 1296 · 2 = 6⁴ · 2.

⁴√2592 = 6⁴√2.

Под корнем осталось число 2, из которого корень четвёртой степени точно не извлекается.

Пример 4. Дробь под корнем

Вычислим √(196/225).

Числитель и знаменатель положительны, поэтому применяем свойство частного.

√(196/225) = √196 / √225 = 14/15.

Знаменатель 225 положителен, значит, все условия выполнены.

Сложение и вычитание после упрощения

Подобные радикалы

Подобными называются корни с одинаковым показателем и одинаковым подкоренным выражением. Складывать или вычитать можно только их коэффициенты.

Пример 5. Квадратные корни

Упростим √75 + 2√12 - √27.

√75 = 5√3, 2√12 = 4√3, √27 = 3√3.

Теперь радикалы подобны:

5√3 + 4√3 - 3√3 = 6√3.

Пример 6. Кубические корни

Упростим ³√250 - 2³√16 + ³√54.

³√250 = 5³√2.

2³√16 = 2 · 2³√2 = 4³√2.

³√54 = 3³√2.

Ответ: 5³√2 - 4³√2 + 3³√2 = 4³√2.

Пример 7. Неподобные корни

Можно ли сложить √2 и ³√2?

Показатели корней различны: у первого корня показатель 2, у второго - 3.

Это разные числа и разные радикалы. Запись √2 + ³√2 уже является результатом сложения; объединить слагаемые одним коэффициентом нельзя.

Приведение корней к общему показателю

Этот приём нужен прежде всего при умножении, делении и сравнении корней с разными показателями.

1

Запишите показатели

Например, для √a и ³√b показатели равны 2 и 3.

2

Найдите НОК

НОК - наименьшее общее кратное. Для 2 и 3 оно равно 6.

3

Определите дополнительные множители

Чтобы получить показатель 6, первый показатель умножают на 3, второй - на 2.

4

Умножьте показатель радиканда

Выполните то же умножение со степенью подкоренного выражения.

5

Выполните действие

После приведения показатели одинаковы, поэтому можно объединить произведение или частное под одним корнем.

√a = ⁶√(a³) ³√b = ⁶√(b²) Для действительных корней чётной степени необходимо дополнительно учитывать неотрицательность соответствующих радикандов.

Пример 8. Произведение квадратного и кубического корней

Упростим √2 · ³√4.

НОК(2, 3) = 6.

√2 = ⁶√(2³) = ⁶√8.

³√4 = ⁶√(4²) = ⁶√16.

⁶√8 · ⁶√16 = ⁶√128 = ⁶√(64 · 2) = 2⁶√2.

Пример 9. Частное корней с разными показателями

Упростим ³√4 / √2.

³√4 = ⁶√16, √2 = ⁶√8.

⁶√16 / ⁶√8 = ⁶√2.

Знаменатель √2 положителен, поэтому деление допустимо.

Пример 10. Сравнение

Сравним √3 и ³√5.

Оба числа положительны. Приводим к показателю 6:

√3 = ⁶√27, ³√5 = ⁶√25.

Поскольку 27 > 25, получаем √3 > ³√5.

Во второй части урока продолжаются выражения с переменными и модулем, освобождение знаменателя от корня, сложные примеры, практика, видео и самопроверка.
26 Урок 26 Функция корня n-й степени, её свойства и график Открыть урок Свернуть урок

Урок 26. Функция корня n-й степени, её свойства и график

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы начнём с повторения понятий функции, аргумента, значения и графика, затем разберём отдельно чётный и нечётный показатели корня. Каждое свойство будет связано с формулой, таблицей значений и точным графиком. Все отмеченные на графиках точки вычислены по той же функции, по которой построена кривая.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Пункты расположены в порядке самостоятельного изучения темы.

1

Читать формулу функции

Понимать запись y = ⁿ√x и различать аргумент x, значение y и показатель корня n.

2

Находить область определения

Учитывать, что чётный корень требует x ≥ 0, а нечётный корень существует при любом действительном x.

3

Строить таблицу значений

Выбирать такие значения x, из которых корень извлекается точно, и вычислять соответствующие значения y.

4

Строить график

Отмечать вычисленные точки в координатной плоскости и соединять их плавной кривой с учётом области определения.

5

Описывать свойства

Определять область значений, нули, знак, монотонность, чётность или нечётность функции.

6

Проверять принадлежность точки

Подставлять координаты точки в формулу и убеждаться, что её ордината действительно равна корню из абсциссы.

Повторение: функция, аргумент, значение и график

Функция

Функция - это правило, по которому каждому допустимому значению переменной x ставится в соответствие единственное значение переменной y. Переменную x называют аргументом, а y - значением функции.

y = ⁿ√x Запись читается: «игрек равен корню n-й степени из икс». Число n - натуральное число, n ≥ 2.

Аргумент x

Число, которое подставляют под знак корня. Не каждое x допустимо при чётном n.

Значение y

Результат извлечения корня. Для чётного n арифметический корень всегда неотрицателен.

График

Множество всех точек (x; y), координаты которых удовлетворяют формуле функции. Первая координата x называется абсциссой, вторая координата y - ординатой.

Принадлежность точки

Точка (a; b) лежит на графике тогда и только тогда, когда b = ⁿ√a.

Проверка точки: вместо x подставьте первую координату. Полученное значение должно точно совпасть со второй координатой.

Связь со степенной функцией

Извлечение корня n-й степени является действием, обратным возведению в n-ю степень.

Показатель nИсходная функцияОграничение для обратимостиОбратная функция
n чётноеy = xⁿx ≥ 0y = ⁿ√x, x ≥ 0
n нечётноеy = xⁿОграничение не требуетсяy = ⁿ√x, x ∈ ℝ
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 1. Взаимно обратные действия

Рассмотрим числа 2 и 8.

2³ = 8, поэтому ³√8 = 2.

Координаты меняются местами: точке (2; 8) графика y = x³ соответствует точка (8; 2) графика y = ³√x.

Пример 2. Почему для чётной степени нужен луч x ≥ 0

Функция y = x² на всей числовой прямой не является взаимно однозначной.

Числам 2 и -2 соответствует одно значение 4. Поэтому обратную функцию нельзя определить однозначно, пока не оставлен луч x ≥ 0.

На этом луче число 4 соответствует только числу 2, поэтому √4 = 2.

Функция корня чётной степени

Общий вид

Если n - чётное число, функция имеет вид y = ⁿ√x. В действительных числах подкоренное значение x не может быть отрицательным. Обозначение D(y) далее означает область определения, а E(y) - множество значений функции.

СвойствоЗаписьПояснение
Область определенияD(y) = [0; +∞)Под чётным корнем должно быть неотрицательное число
Множество значенийE(y) = [0; +∞)Арифметический корень неотрицателен
Нуль функцииx = 0ⁿ√0 = 0
Знакy ≥ 0График расположен на оси Ox и выше неё
МонотонностьВозрастает на [0; +∞)Большему x соответствует больший корень
ЧётностьНи чётная, ни нечётнаяОбласть определения не симметрична относительно нуля
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Точные графики y = √x и y = ⁴√x

Кривые построены по значениям функций. Отмеченные точки проверены возведением второй координаты в соответствующую степень.

Графики чётных корнейГрафики y равно квадратному корню из x и y равно корню четвёртой степени из x. Все отмеченные точки вычислены по формулам функций.0149161234xy(0; 0)(1; 1)(4; 2)(9; 3)(16; 4)(16; 2)
y = √xy = ⁴√x
Проверка точек: √9 = 3, поэтому (9; 3) лежит на первой кривой. ⁴√16 = 2, поэтому (16; 2) лежит на второй кривой. Точка (16; 4) относится к y = √x, так как √16 = 4.

Как построить график чётного корня самостоятельно

Выполняйте шаги сверху вниз. Не соединяйте точку с кривой, пока не проверили её подстановкой.

1

Запишите область определения

Для y = ⁿ√x при чётном n используйте только x ≥ 0.

2

Выберите удобные значения y

Например, y = 0, 1, 2, 3. Это уменьшает риск вычислительной ошибки.

3

Вычислите x = yⁿ

Для y = √x получаем x = y²: 0, 1, 4, 9.

4

Запишите точки

Получаются точки (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3).

5

Проверьте каждую точку

Например, √4 = 2. Следовательно, точка (4; 2) действительно принадлежит графику.

6

Проведите плавную кривую

Начните в точке (0; 0), не заходите в область x < 0 и не проводите график ниже оси Ox.

Функция корня нечётной степени

Общий вид

Если n - нечётное число, корень ⁿ√x существует при любом действительном x. Отрицательному аргументу соответствует отрицательное значение функции. Символ ℝ обозначает множество всех действительных чисел.

СвойствоЗаписьПояснение
Область определенияD(y) = ℝНечётный корень существует и для отрицательных чисел
Множество значенийE(y) = ℝФункция принимает отрицательные, нулевое и положительные значения
Нуль функцииx = 0График проходит через начало координат
ЗнакЗнак y совпадает со знаком xЗнак значения совпадает со знаком аргумента
МонотонностьВозрастает на ℝБольшему x соответствует больший корень
ЧётностьНечётнаяf(-x) = -f(x)
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Точные графики y = ³√x и y = ⁵√x

Обе функции определены на всей числовой прямой и симметричны относительно начала координат.

Графики нечётных корнейГрафики y равно кубическому корню из x и y равно корню пятой степени из x. Все отмеченные точки вычислены по формулам функций.-32-80832-3-2-1123xy(-32; -2)(-8; -2)(0; 0)(8; 2)(32; 2)
y = ³√xy = ⁵√x
Проверка точек: ³√(-8) = -2, поэтому (-8; -2) лежит на первой кривой. ⁵√32 = 2 и ⁵√(-32) = -2, поэтому точки (32; 2) и (-32; -2) лежат на второй кривой. Обе кривые также проходят через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).
Во второй части урока разберём принадлежность точек, чтение графика, сравнение корней, простые уравнения, типичные ошибки, практику и учебные ресурсы.
27 Урок 27 Иррациональные уравнения. Область допустимых значений и проверка корней Открыть урок Свернуть урок

Урок 27. Иррациональные уравнения. Область допустимых значений и проверка корней

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы начнём с повторения понятия уравнения и только затем введём новый термин. Вы научитесь находить область допустимых значений, отличать равносильное преобразование от преобразования, которое может дать посторонние корни, и обязательно проверять каждый полученный ответ в исходном уравнении.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Изучайте пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Распознавать иррациональное уравнение

Определять, содержится ли неизвестная переменная под знаком корня.

2

Находить область допустимых значений

Записывать ограничения для чётных корней, знаменателей и других частей выражения.

3

Учитывать знак обеих частей

Помнить, что арифметический корень чётной степени не может быть отрицательным.

4

Переходить к рациональному уравнению

Возводить обе части в нужную степень, понимая, когда такое действие равносильно исходному уравнению.

5

Отбрасывать посторонние корни

Проверять найденные значения непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

6

Оформлять полное решение

Последовательно записывать ограничения, преобразования, кандидаты, проверку и ответ.

Главное правило: решение иррационального уравнения не заканчивается после нахождения кандидатов. Каждый кандидат должен пройти проверку в исходном уравнении.

Повторение: что такое уравнение и его корень

Уравнение

Уравнение - это равенство с неизвестной переменной. Значение переменной, при котором равенство становится верным, называется корнем уравнения или решением уравнения.

Исходное уравнение

Уравнение, данное в условии задачи. Именно в него подставляют найденные значения при окончательной проверке.

Кандидат в корни

Значение, найденное после преобразований. Оно ещё не считается ответом, пока не проверено.

Корень уравнения

Кандидат, который принадлежит области допустимых значений и превращает исходное равенство в верное.

Посторонний корень

Значение, появившееся после неравносильного преобразования, но не удовлетворяющее исходному уравнению.

x + 4 = 9 При x = 5 получаем 5 + 4 = 9. Равенство верно, поэтому 5 - корень уравнения.

Что называется иррациональным уравнением

Иррациональное уравнение

В школьном курсе иррациональным называют уравнение, в котором переменная находится под знаком корня. Корень может быть квадратным, кубическим или иметь другой натуральный показатель.

УравнениеВидПочемуПервое действие
√(x + 1) = 3ИррациональноеПеременная x находится под квадратным корнемЗаписать x + 1 ≥ 0
³√(2x - 1) = 4ИррациональноеПеременная находится под кубическим корнемМожно возвести обе части в куб
x² - 5x + 6 = 0РациональноеПеременная не находится под знаком корняРешить квадратное уравнение
√5 · x = 10РациональноеПод корнем находится число 5, а не переменнаяРазделить обе части на √5
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Не путайте: наличие любого знака корня ещё не делает уравнение иррациональным. Неизвестная переменная должна входить именно в подкоренное выражение.

Область допустимых значений

ОДЗ

Область допустимых значений - это все значения переменной, при которых каждое выражение в исходном уравнении имеет смысл. Сокращение ОДЗ далее означает именно эту область.

Элемент уравненияУсловиеПричинаПример
Корень чётной степениA(x) ≥ 0В действительных числах чётный корень из отрицательного числа не существует√(x - 4): x ≥ 4
Корень нечётной степениОграничения от самого корня нетНечётный корень существует из любого действительного числа³√(x - 4): x ∈ ℝ
ЗнаменательB(x) ≠ 0На ноль делить нельзя1/(x - 2): x ≠ 2
Чётный корень в знаменателеA(x) > 0Радиканд должен быть неотрицательным, а сам знаменатель - ненулевым1/√(x + 3): x > -3
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 1. Один квадратный корень

Найдём ОДЗ уравнения √(2x - 6) = x.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

2x - 6 ≥ 0.

2x ≥ 6, поэтому x ≥ 3.

ОДЗ: [3; +∞).

Пример 2. Два квадратных корня

Найдём ОДЗ уравнения √(x + 2) = √(7 - x).

Одновременно должны выполняться два условия:

x + 2 ≥ 0 и 7 - x ≥ 0.

Получаем x ≥ -2 и x ≤ 7.

ОДЗ: [-2; 7].

Пример 3. Корень в знаменателе

Найдём ОДЗ выражения 1/√(3x - 9).

Знаменатель не должен быть нулём, поэтому недостаточно условия 3x - 9 ≥ 0.

Необходимо строгое неравенство 3x - 9 > 0.

ОДЗ: x > 3.

Почему появляются посторонние корни

Возведение обеих частей уравнения в чётную степень может превратить неверное равенство в верное.

2 ≠ -2 2² = (-2)² До возведения в квадрат числа различны, после возведения их квадраты равны. Поэтому обратный переход без проверки невозможен.

Нечётная степень

Функция y = xⁿ при нечётном n сохраняет знак и является взаимно однозначной. Возведение обеих частей в нечётную степень сохраняет равносильность.

Чётная степень

Числа a и -a имеют одинаковые чётные степени. Поэтому могут появиться дополнительные решения, которых не было в исходном уравнении.

Проверка по ОДЗ

Кандидат, не входящий в ОДЗ, сразу отбрасывается, но принадлежность ОДЗ ещё не гарантирует, что он является корнем.

Подстановка

Самая надёжная окончательная проверка - подставить кандидат в исходное, а не в преобразованное уравнение.

Опасная ошибка: проверять найденное число только в уравнении после возведения в квадрат. Оно уже может содержать посторонние корни.

Равносильность и следствие

Равносильные уравнения

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковые множества корней. Знак ⇔ читается «равносильно» или «тогда и только тогда».

ПереходХарактер переходаУсловиеЧто делать
³√A = B ⇔ A = B³РавносильныйДействительные A и BПроверка полезна, но посторонние корни из-за куба не появляются
√A = B ⇔ { A = B²; B ≥ 0 }Равносильный в виде системыПравая часть должна быть неотрицательнойРешить уравнение и учесть B ≥ 0
√A = B ⇒ A = B²Только следствиеЗнак B не учтёнОбязательно проверить все найденные значения
√A = √B ⇔ { A = B; A ≥ 0; B ≥ 0 }Равносильный в ОДЗОба радиканда неотрицательныСначала записать ОДЗ, затем приравнять радиканды
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Универсальный алгоритм решения

Записывайте каждый шаг отдельно. Такой порядок особенно важен при самостоятельной работе.

1

Найдите ОДЗ

Запишите все ограничения исходного уравнения и объедините их.

2

Упростите выражения

Раскройте допустимые скобки, приведите подобные слагаемые и сократите дроби, не нарушая ОДЗ.

3

Уедините один радикал

Перенесите остальные слагаемые так, чтобы один корень находился в одной части уравнения.

4

Проверьте знак второй части

Если слева чётный арифметический корень, правая часть должна быть неотрицательной.

5

Возведите обе части в степень

Используйте степень, равную показателю корня, и аккуратно раскройте полученные выражения.

6

Решите полученное уравнение

Найдите все кандидаты известными способами: как линейное, квадратное или другое рациональное уравнение.

7

Выполните проверку и запишите ответ

Подставьте каждый кандидат в исходное уравнение. В ответ включите только значения, дающие верное равенство.

Первые подробные примеры

Пример 4. Простейшее уравнение

Решим √(x + 1) = 3.

1. ОДЗ: x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ -1.

2. Знак: правая часть 3 неотрицательна.

3. Возводим в квадрат: x + 1 = 9.

4. Находим кандидат: x = 8.

5. Проверка: √(8 + 1) = √9 = 3.

Ответ: x = 8.

Пример 5. Отрицательная правая часть

Решим √(x - 1) = -2.

Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен: √(x - 1) ≥ 0.

Правая часть равна -2 и отрицательна.

Неотрицательное число не может равняться отрицательному.

Ответ: корней нет.

Важно: не нужно возводить обе части в квадрат. Это дало бы ложного кандидата x = 5.

Пример 6. Нечётный корень

Решим ³√(2x - 1) = 3.

Кубический корень определён при любом действительном x, поэтому ограничений от радикала нет.

Возводим обе части в куб:

2x - 1 = 27.

2x = 28, x = 14.

Проверка: ³√(2 · 14 - 1) = ³√27 = 3.

Ответ: x = 14.

28 Урок 28 Решение иррациональных уравнений возведением обеих частей в степень Открыть урок Свернуть урок

Урок 28. Решение иррациональных уравнений возведением обеих частей в степень

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Мы не будем считать, что вы хорошо помните свойства степеней и квадратных уравнений: каждое действие будет объяснено отдельно. Вы научитесь уединять корень, выбирать нужную степень, учитывать знак правой части, находить кандидатов и проверять их в исходном уравнении.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Изучайте пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Уединять радикал

Переносить остальные слагаемые так, чтобы корень находился один в одной части уравнения.

2

Выбирать степень

Возводить обе части в степень, равную показателю корня: квадрат, куб, четвёртую степень и так далее.

3

Контролировать условия

Для чётного корня учитывать область допустимых значений и неотрицательность второй части.

4

Решать полученное уравнение

После устранения корня применять известные способы решения линейных и квадратных уравнений.

5

Проверять кандидатов

Подставлять каждое найденное значение именно в исходное иррациональное уравнение.

6

Оформлять ответ

Записывать только те значения, при которых исходное равенство действительно верно.

Главная идея: возведение в степень устраняет знак корня, но при чётной степени может расширить множество решений. Поэтому проверка является частью метода, а не дополнительным действием.

Повторение: что происходит при возведении в степень

Квадрат

Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Противоположные числа имеют одинаковые квадраты: 3² = (-3)² = 9.

Куб

Куб сохраняет знак числа: 3³ = 27, а (-3)³ = -27. Поэтому равенство после возведения в куб можно обратить.

Чётная степень

Не различает числа a и -a. Из равенства A² = B² следует A = B или A = -B.

Нечётная степень

Каждому действительному числу соответствует единственное значение нечётной степени. Знак не теряется.

2 ≠ -2 2² = (-2)² Возведение в квадрат может превратить неверное равенство в верное. Именно так появляются посторонние корни.

Основные равносильные переходы

Формулы ниже показывают не только действие со степенью, но и обязательные условия.

Исходный видРавносильная записьЧто нужно помнитьПроверка
√A = BA = B² и B ≥ 0Левая часть всегда неотрицательнаПодставить ответ в √A = B
⁴√A = BA = B⁴ и B ≥ 0Для любого чётного показателя значение корня неотрицательноПроверить исходное равенство
³√A = BA = B³Кубический корень и куб взаимно обратны на всей числовой прямойПолезна вычислительная проверка
⁵√A = BA = B⁵Ограничения на знак B нетВозвести обе части в пятую степень
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Важно: запись √A = B равносильна не только равенству A = B². Необходимо также условие B ≥ 0. Без него могут появиться лишние решения.

Алгоритм: один корень в уравнении

Записывайте действия в указанном порядке. Нумерация идёт сверху вниз.

1

Найдите ограничения

Для корня чётной степени радиканд должен быть неотрицательным. Если корень равен выражению B(x), учтите B(x) ≥ 0.

2

Уедините корень

Оставьте радикал один в левой или правой части. Не возводите в степень сумму, если корень ещё не изолирован.

3

Заключите обе части в скобки

Это особенно важно, если справа находится двучлен: (x - 2)², а не x² - 2².

4

Возведите в нужную степень

Показатель степени должен совпадать с показателем корня.

5

Решите рациональное уравнение

Найдите все кандидаты, не отбрасывая их раньше времени без объяснения.

6

Выполните проверку и запишите ответ

Каждый кандидат подставьте в исходное уравнение. В ответ включите только прошедшие проверку значения.

Простейшие уравнения с одним радикалом

Пример 1. Квадратный корень равен числу

Решим √(3x + 4) = 5.

1. ОДЗ: 3x + 4 ≥ 0, то есть x ≥ -4/3.

2. Возводим обе части в квадрат: 3x + 4 = 25.

3x = 21, поэтому x = 7.

3. Проверка: √(3 · 7 + 4) = √25 = 5.

Ответ: 7.

Пример 2. Кубический корень

Решим ³√(2x - 5) = -3.

Кубический корень существует при любом действительном радиканде, поэтому ограничений нет.

Возводим обе части в куб: 2x - 5 = (-3)³.

2x - 5 = -27, 2x = -22, x = -11.

Проверка: ³√(2 · (-11) - 5) = ³√(-27) = -3.

Ответ: -11.

Пример 3. Корень четвёртой степени

Решим ⁴√(2x + 1) = 3.

Правая часть неотрицательна, поэтому противоречия по знаку нет.

Возводим обе части в четвёртую степень: 2x + 1 = 3⁴ = 81.

2x = 80, x = 40.

Проверка: ⁴√81 = 3.

Ответ: 40.

Когда правая часть содержит переменную

Условие знака

В уравнении √A(x) = B(x) необходимо B(x) ≥ 0, потому что арифметический квадратный корень не бывает отрицательным. Это условие часто сразу отбрасывает посторонний кандидат.

Пример 4. Появление постороннего кандидата

Решим √(x + 6) = x.

Левая часть неотрицательна, значит x ≥ 0.

Возводим в квадрат: x + 6 = x².

x² - x - 6 = 0.

(x - 3)(x + 2) = 0, поэтому кандидаты x = 3 и x = -2.

x = -2 не удовлетворяет условию x ≥ 0.

Проверка x = 3: √9 = 3.

Ответ: x = 3.

Пример 5. Сначала уединяем корень

Решим √(x + 4) + 2 = x.

Уединяем корень: √(x + 4) = x - 2.

Правая часть должна быть неотрицательной: x ≥ 2.

Возводим в квадрат: x + 4 = (x - 2)².

x + 4 = x² - 4x + 4, поэтому x² - 5x = 0.

x(x - 5) = 0, кандидаты x = 0 и x = 5.

Условию x ≥ 2 соответствует только x = 5.

Проверка: √9 + 2 = 3 + 2 = 5.

Ответ: x = 5.

Как не потерять скобки

ВыражениеПравильный квадратРаскрытие скобокЧастая ошибка
x - 2(x - 2)²x² - 4x + 4x² - 4
x + 3(x + 3)²x² + 6x + 9x² + 9
2x - 1(2x - 1)²4x² - 4x + 14x² - 1
a + b(a + b)²a² + 2ab + b²a² + b²
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Практическое правило: перед возведением в квадрат мысленно обведите всю левую часть и всю правую часть скобками. Степень относится ко всей части уравнения.
29 Урок 29 Иррациональные уравнения с несколькими радикалами Открыть урок Свернуть урок

Урок 29. Иррациональные уравнения с несколькими радикалами

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Материал объясняется с нуля: сначала вы повторите квадрат суммы и разности, затем научитесь работать с двумя и тремя радикалами, выполнять последовательные возведения в квадрат и проверять каждый найденный кандидат в исходном уравнении.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Находить общую ОДЗ

Учитывать условия существования каждого чётного корня, а не только первого радикала.

2

Выбирать радикал для уединения

Переносить выражения так, чтобы после возведения в квадрат вычисления были короче.

3

Правильно раскрывать квадрат

Использовать удвоенное произведение в формулах квадрата суммы и квадрата разности.

4

Уединять оставшийся корень

После первого квадрата собирать рациональные слагаемые отдельно от нового радикала.

5

Контролировать знак

Перед повторным возведением в квадрат проверять неотрицательность второй части.

6

Проверять кандидатов

Подставлять каждое значение в исходное уравнение до любых преобразований.

Главная идея: если после первого возведения в квадрат остался радикал, его снова уединяют. Возводить уравнение в квадрат второй раз можно только после проверки знака обеих частей.

Что означает «несколько радикалов»

Радикал

Радикалом называют знак корня вместе с подкоренным выражением. Например, в уравнении √(x + 1) + √(x - 2) = 3 находятся два радикала.

Два корня в разных частях

√A(x) = √B(x). После проверки ОДЗ можно сравнить радиканды: A(x) = B(x).

Сумма двух корней

√A(x) + √B(x) = C(x). После первого квадрата возникает произведение √(A(x)B(x)).

Разность двух корней

√A(x) - √B(x) = C(x). Удобно оставить один корень отдельно и только затем возводить в квадрат.

Три радикала

√A(x) + √B(x) = √C(x). Обычно сначала возводят в квадрат всю левую и правую части, затем уединяют оставшийся радикал.

Повторение: квадрат суммы и квадрат разности

Без этих формул невозможно правильно устранить несколько квадратных корней.

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b² Средний член 2ab нельзя пропускать. Если a = √A и b = √B, то ab = √(AB) при A ≥ 0 и B ≥ 0.
ВыражениеКвадратПосле упрощенияЧастая ошибка
√A + √B(√A + √B)²A + 2√(AB) + BA + B
√A - √B(√A - √B)²A - 2√(AB) + BA - B
C + √A(C + √A)²C² + 2C√A + AC² + A
C - √A(C - √A)²C² - 2C√A + AC² - A
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Универсальный алгоритм

Каждый этап записывайте отдельной строкой. Нумерация идёт сверху вниз.

1

Запишите ОДЗ

Для каждого квадратного корня составьте неравенство: его подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

2

Упростите уравнение до возведения

Сократите подобные слагаемые, перенесите свободные числа и по возможности уедините один радикал.

3

Проверьте знак второй части

Если уединённый квадратный корень равен выражению R(x), необходимо условие R(x) ≥ 0.

4

Возведите в квадрат первый раз

Заключите каждую часть в скобки и полностью раскройте квадрат суммы или разности.

5

Уедините новый радикал

После упрощения оставьте выражение с корнем в одной части, остальные слагаемые перенесите в другую.

6

Снова проверьте знак

Правая часть нового уравнения с квадратным корнем должна быть неотрицательной.

7

Возведите в квадрат второй раз

Решите полученное рациональное уравнение и найдите все кандидаты.

8

Выполните полную проверку

Подставьте каждый кандидат в исходное уравнение. Только после этого записывайте ответ.

Как выбрать первый шаг

Вид уравненияПервое действиеЧто получитсяЧто проверить
√A = √BЗаписать ОДЗ и возвести в квадратA = BКандидат входит в ОДЗ
√A + √B = cОценить знак c, затем возвести в квадратA + B + 2√(AB) = c²c ≥ 0
√A - √B = cУединить √A или √BОдин радикал справаЗнак новой правой части
√A + √B = √CВозвести обе части в квадратA + B + 2√(AB) = CОДЗ всех трёх радикалов
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Не спешите возводить в квадрат: иногда знак второй части или простая оценка сразу показывают, что решений нет либо возможен только один граничный случай.

Пример 1. Корни находятся в разных частях

Решим √(2x + 1) = √(7 - x)

Здесь обе части являются арифметическими квадратными корнями.

1. ОДЗ: 2x + 1 ≥ 0 и 7 - x ≥ 0. Значит, -1/2 ≤ x ≤ 7.

2. Возводим обе части в квадрат:

2x + 1 = 7 - x.

3x = 6, поэтому x = 2.

3. Проверка: √5 = √5. Значение входит в ОДЗ.

Ответ: 2.

Пример 2. Сумма двух радикалов

Решим √(x + 1) + √(x - 2) = 3

После первого возведения в квадрат останется один радикал.

1. ОДЗ: x + 1 ≥ 0 и x - 2 ≥ 0, поэтому x ≥ 2.

2. Возводим обе части в квадрат:

x + 1 + x - 2 + 2√((x + 1)(x - 2)) = 9.

2√((x + 1)(x - 2)) = 10 - 2x.

Делим на 2:

√((x + 1)(x - 2)) = 5 - x.

3. Условие знака: 5 - x ≥ 0, поэтому x ≤ 5. Вместе с ОДЗ: 2 ≤ x ≤ 5.

4. Возводим в квадрат второй раз:

(x + 1)(x - 2) = (5 - x)².

x² - x - 2 = x² - 10x + 25.

9x = 27, значит x = 3.

5. Проверка: √4 + √1 = 2 + 1 = 3.

Ответ: 3.

Пример 3. Знак позволяет избежать лишних вычислений

Решим √(x + 4) + √(x - 5) = 3

После первого квадрата сравним знаки обеих частей.

1. ОДЗ: x ≥ 5.

2. Возводим в квадрат:

2x - 1 + 2√((x + 4)(x - 5)) = 9.

Получаем √((x + 4)(x - 5)) = 5 - x.

При x ≥ 5 правая часть 5 - x неположительна, а квадратный корень неотрицателен. Равенство возможно только тогда, когда обе части равны нулю.

5 - x = 0, значит x = 5.

3. Проверка: √9 + √0 = 3.

Ответ: 5.

30 Урок 30 Решение иррациональных уравнений методом замены переменной Открыть урок Свернуть урок

Урок 30. Решение иррациональных уравнений методом замены переменной

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Даже если вы давно не решали уравнения, двигайтесь по шагам: сначала научитесь замечать повторяющееся выражение, затем вводить новую переменную, учитывать её допустимые значения, решать более простое уравнение и обязательно выполнять обратную замену и проверку.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Замечать повторяющееся выражение

Распознавать случаи, когда одно и то же выражение встречается как корень и как его степень.

2

Выбирать новую переменную

Обозначать наиболее простое повторяющееся выражение буквой t.

3

Записывать ограничение для t

Учитывать, что арифметический корень чётной степени неотрицателен.

4

Получать простое уравнение

Выражать остальные части через t и решать квадратное, дробно-рациональное или другое знакомое уравнение.

5

Выполнять обратную замену

Для каждого допустимого значения t возвращаться к исходной переменной x.

6

Проверять окончательные ответы

Подставлять найденные значения x в исходное иррациональное уравнение.

Главная идея: замена переменной не решает уравнение сама по себе. Она временно делает его проще. После решения уравнения относительно t необходимо вернуться к x.

Что такое замена переменной

Замена переменной

Это приём, при котором повторяющееся выражение временно обозначают новой буквой. Обычно используют букву t, но можно выбрать любую другую букву, не занятую в условии.

t = √F(x), тогда F(x) = t² Здесь F(x) - выражение, зависящее от x. Поскольку t является арифметическим квадратным корнем, обязательно t ≥ 0.

До замены

В уравнении одновременно присутствуют √F(x) и F(x). Запись выглядит громоздко.

После замены

√F(x) заменяется на t, а F(x) - на t². Получается знакомое квадратное уравнение.

После решения

Неподходящие значения t отбрасываются, затем решается уравнение √F(x) = t.

В конце

Каждое найденное x проверяется в исходном уравнении, а не только в уравнении после замены.

Ограничения для новой переменной

Ограничение записывают сразу в строке с заменой. Оно помогает вовремя отбросить невозможные значения.

ЗаменаЧто выражается через tОграничениеПочему
t = √F(x)F(x) = t²t ≥ 0Арифметический квадратный корень неотрицателен
t = ⁴√F(x)√F(x) = t², F(x) = t⁴t ≥ 0Корень четвёртой степени является чётным корнем
t = ³√F(x)F(x) = t³t ∈ ℝКубический корень может быть отрицательным, нулевым или положительным
t = √F(x), корень в знаменателеF(x) = t²t > 0Знаменатель не может быть равен нулю
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Важно: если после замены t = √F(x) квадратное уравнение даёт t = -3, это значение сразу отбрасывают. Арифметический квадратный корень не может быть равен отрицательному числу.

Универсальный алгоритм

Записывайте каждый этап отдельной строкой. Нумерация идёт сверху вниз.

1

Найдите ОДЗ исходного уравнения

Проверьте подкоренные выражения чётных корней и знаменатели.

2

Выделите повторяющееся выражение

Обычно это √F(x), ⁴√F(x), ³√F(x) или выражение, которое встречается в нескольких степенях.

3

Введите новую переменную

Запишите, например: t = √F(x), t ≥ 0.

4

Выразите все повторяющиеся части через t

Если t = √F(x), то F(x) = t²; если t = ⁴√F(x), то √F(x) = t².

5

Решите уравнение относительно t

Используйте разложение на множители, дискриминант, основное свойство пропорции или другой известный способ.

6

Отберите допустимые значения t

Сравните найденные значения с ограничением, записанным при замене.

7

Выполните обратную замену

Для каждого допустимого t решите уравнение, связывающее t и x.

8

Проверьте значения x

Подставьте их в исходное уравнение и только затем запишите ответ.

Как распознать подходящую замену

Фрагменты уравненияУдобная заменаЧто получитсяОграничение
F(x) и √F(x)t = √F(x)F(x) = t²t ≥ 0
√F(x) и ⁴√F(x)t = ⁴√F(x)√F(x) = t²t ≥ 0
³√F(x) и ³√(F(x))²t = ³√F(x)³√(F(x))² = t²t ∈ ℝ
√F(x) и 1/√F(x)t = √F(x)1/√F(x) = 1/tt > 0
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 1. Самая простая замена

Решим x + 3√x - 4 = 0

В уравнении одновременно присутствуют x и √x.

1. ОДЗ: x ≥ 0.

2. Замена: пусть t = √x, t ≥ 0. Тогда x = t².

3. Уравнение относительно t:

t² + 3t - 4 = 0.

(t + 4)(t - 1) = 0.

t = -4 или t = 1.

4. Отбор: t = -4 не подходит, поскольку t ≥ 0. Остаётся t = 1.

5. Обратная замена: √x = 1, значит x = 1.

6. Проверка: 1 + 3·1 - 4 = 0.

Ответ: 1.

Пример 2. Два допустимых значения новой переменной

Решим x - 5√x + 6 = 0

Оба корня квадратного уравнения относительно t окажутся допустимыми.

1. ОДЗ: x ≥ 0.

2. Замена: t = √x, t ≥ 0; тогда x = t².

3. Получаем:

t² - 5t + 6 = 0.

(t - 2)(t - 3) = 0.

t = 2 или t = 3. Оба значения неотрицательны.

4. Обратная замена:

√x = 2, поэтому x = 4.

√x = 3, поэтому x = 9.

5. Проверка: 4 - 10 + 6 = 0; 9 - 15 + 6 = 0.

Ответ: 4; 9.

Пример 3. Все значения t отбрасываются

Решим x + 5√x + 6 = 0

Уравнение относительно t имеет корни, но исходное уравнение решений не имеет.

1. ОДЗ: x ≥ 0.

2. Замена: t = √x, t ≥ 0; x = t².

3. Получаем:

t² + 5t + 6 = 0.

(t + 2)(t + 3) = 0.

t = -2 или t = -3.

4. Отбор: оба значения противоречат условию t ≥ 0.

Ответ: решений нет.

31 Урок 31 Метод оценки при решении иррациональных уравнений Открыть урок Свернуть урок

Урок 31. Метод оценки при решении иррациональных уравнений

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Даже если вы давно не решали уравнения, двигайтесь последовательно: сначала повторите смысл неравенств и квадратов, затем научитесь находить наибольшее или наименьшее возможное значение выражения, обязательно устанавливайте условия равенства и только после этого записывайте ответ.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Сначала разберите смысл метода, затем переходите к примерам. Основные умения перечислены без пропусков.

Находить ОДЗ

Определять, при каких значениях переменной все квадратные корни и знаменатели имеют смысл.

Оценивать выражения

Устанавливать верхнюю или нижнюю границу выражения без громоздких преобразований.

Сравнивать части

Замечать ситуацию, когда одна часть не меньше числа M, а другая не больше M.

Находить равенство

Определять, при каких значениях переменной достигается найденная граница.

Доказывать отсутствие решений

Показывать, что условия достижения равенства несовместимы.

Проверять ответ

Подставлять найденное значение в исходное уравнение, а не только в полученные оценки.

32 Урок 32 Иррациональные неравенства. Основные понятия и область допустимых значений Открыть урокСвернуть урок

Урок 32. Иррациональные неравенства. Основные понятия и область допустимых значений

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала восстановим смысл знаков неравенства и числовых промежутков, затем разберём, какие неравенства называют иррациональными, как находить область допустимых значений и почему ОДЗ является только первым этапом решения, а не готовым ответом.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Распознавать иррациональное неравенство

Отличать неравенство с переменной под знаком корня от рационального неравенства.

2

Читать знаки неравенства

Понимать различие между строгими знаками <, > и нестрогими знаками ≤, ≥.

3

Находить ОДЗ

Записывать условия существования чётных корней и ограничения, связанные со знаменателем.

4

Пересекать условия

Находить общую часть нескольких ограничений, а не рассматривать их отдельно.

5

Учитывать знак корня

Использовать факт, что арифметический корень чётной степени всегда неотрицателен.

6

Отличать ОДЗ от ответа

После нахождения допустимых значений продолжать решение самого неравенства.

Главная мысль: решение иррационального неравенства начинается с ОДЗ, но обычно не заканчивается на нём. ОДЗ показывает, где выражение имеет смысл, а само неравенство определяет, какие из этих значений подходят.

Вспоминаем язык неравенств

Неравенство

Это запись, в которой два выражения сравниваются с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Решением неравенства называют значение переменной, при котором сравнение становится верным.

ЗнакКак читаетсяГраничное значение входит?Пример
<меньшенетx < 3
>большенетx > -2
≤меньше или равнодаx ≤ 5
≥больше или равнодаx ≥ 0
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Строгое неравенство

В знаках < и > равенство не допускается. Граничная точка в ответ не входит.

Нестрогое неравенство

Знаки ≤ и ≥ допускают равенство. Граница может входить в ответ.

Пересечение

Одновременно выполняются все условия. Берут только их общую часть.

Объединение

Достаточно выполнения хотя бы одного условия. Собирают все подходящие промежутки.

Что называют иррациональным неравенством

Иррациональное неравенство

Это неравенство, в котором переменная находится под знаком корня или входит в выражение с дробной степенью. На этом уроке основной акцент сделан на корнях.

Иррациональное

√(x + 3) > 2

Переменная x находится под знаком квадратного корня.

Иррациональное

³√(2x - 1) ≤ 4

Переменная находится под знаком кубического корня.

Не является иррациональным

√7 · x > 5

Под корнем находится постоянное число 7, а не выражение с x.

Не является иррациональным

x² - 5x ≥ 0

Это рациональное квадратное неравенство.

Не путайте: наличие иррационального числа в записи ещё не делает неравенство иррациональным. Важно, находится ли переменная под знаком корня.

Область допустимых значений

ОДЗ - это множество значений x, при которых все выражения в неравенстве имеют смысл.

ВыражениеУсловиеПояснение
√F(x), ⁴√F(x), ⁶√F(x)F(x) ≥ 0Корень чётной степени существует в действительных числах только из неотрицательного числа
³√F(x), ⁵√F(x)x ∈ ℝКорень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного выражения
1 / √F(x)F(x) > 0Корень должен существовать и одновременно не быть равным нулю
√F(x) / G(x)F(x) ≥ 0, G(x) ≠ 0Учитываются и корень, и знаменатель
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
√F(x) всегда ≥ 0Это свойство арифметического квадратного корня. Оно помогает не только найти ОДЗ, но и сразу оценить, может ли неравенство быть верным.

Алгоритм нахождения ОДЗ

Записывайте каждый этап отдельной строкой. Нумерация идёт сверху вниз.

1

Найдите все ограничения

Отметьте чётные корни, знаменатели и другие выражения, которые могут быть неопределены.

2

Запишите условие для каждого выражения

Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным; для корня в знаменателе - положительным.

3

Решите полученные условия

Используйте знакомые способы решения линейных, квадратных или дробно-рациональных неравенств.

4

Найдите пересечение

Если условий несколько, оставьте значения, которые удовлетворяют всем условиям одновременно.

5

Запишите ОДЗ промежутками

Проверьте, входят ли граничные значения, и правильно расставьте круглые и квадратные скобки.

6

Только затем решайте неравенство

Ответом будет пересечение ОДЗ и множества значений, полученного из самого неравенства.

Первые примеры на нахождение ОДЗ

Пример 1. √(3x - 6)

Подкоренное выражение квадратного корня должно быть неотрицательным.

3x - 6 ≥ 0.

3x ≥ 6.

x ≥ 2.

ОДЗ: [2; +∞).

Пример 2. 1 / √(5 - 2x)

Корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным.

5 - 2x > 0.

-2x > -5.

При делении на -2 знак меняется: x < 5/2.

ОДЗ: (-∞; 5/2).

Пример 3. ³√(x² - 9)

Кубический корень является корнем нечётной степени.

Выражение x² - 9 может быть отрицательным, равным нулю или положительным.

ОДЗ: x ∈ ℝ.

Пример 4. Несколько ограничений одновременно

Найдём ОДЗ выражения √(x + 2) / (x - 4)

Нужно учесть и квадратный корень, и знаменатель.

Для корня: x + 2 ≥ 0, поэтому x ≥ -2.

Для знаменателя: x - 4 ≠ 0, поэтому x ≠ 4.

Пересекаем условия: x ≥ -2 и x ≠ 4.

ОДЗ: [-2; 4) ∪ (4; +∞).

Проверка границ: x = -2 разрешён, потому что √0 существует; x = 4 запрещён из-за деления на ноль.

Пример 5. Корень четвёртой степени из дроби

Найдём ОДЗ выражения ⁴√((x + 1) / (x - 3))

Подкоренная дробь должна быть неотрицательной, а её знаменатель не должен обращаться в ноль.

Решаем неравенство (x + 1) / (x - 3) ≥ 0.

Критические значения: x = -1 и x = 3.

На промежутке (-∞; -1] дробь неотрицательна.

На промежутке (-1; 3) дробь отрицательна.

На промежутке (3; +∞) дробь положительна.

x = -1 входит, потому что подкоренное выражение равно нулю. x = 3 не входит, потому что знаменатель равен нулю.

ОДЗ: (-∞; -1] ∪ (3; +∞).

ОДЗ и ответ - не одно и то же

ОДЗ

Показывает, при каких x исходное выражение существует.

Ответ неравенства

Показывает, при каких допустимых x само сравнение является верным.

Решим √(x - 1) < 3

Сначала находим ОДЗ, затем решаем неравенство.

1. ОДЗ: x - 1 ≥ 0, поэтому x ≥ 1.

2. Знаки: обе части неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат без изменения знака неравенства.

x - 1 < 9.

x < 10.

3. Пересечение: x ≥ 1 и x < 10.

Ответ: [1; 10).

Ошибка: записать [1; +∞) как ответ только потому, что это ОДЗ. Значения x ≥ 10 допустимы для корня, но не удовлетворяют исходному неравенству.

Как знак правой части меняет рассуждение

Квадратный корень всегда неотрицателен. Иногда этого достаточно, чтобы сразу получить ответ.

Пример 6. √(x + 4) < -1

Неотрицательное число не может быть меньше отрицательного.

ОДЗ: x ≥ -4.

При любом x из ОДЗ левая часть ≥ 0, а 0 > -1.

Ответ: решений нет.

Пример 7. √(x - 2) > -3

Любой квадратный корень неотрицателен и поэтому больше -3.

ОДЗ: x ≥ 2.

На всей ОДЗ √(x - 2) ≥ 0 > -3.

Ответ: [2; +∞).

Пример 8. √(2x + 3) ≥ 5

Обе части неотрицательны, поэтому выполняем равносильное возведение в квадрат.

ОДЗ: 2x + 3 ≥ 0, x ≥ -3/2.

2x + 3 ≥ 25.

2x ≥ 22.

x ≥ 11.

Это множество уже входит в ОДЗ.

Ответ: [11; +∞).

Четыре базовые формы с квадратным корнем

Эти схемы пока используйте как памятку. Подробное доказательство равносильных переходов будет разобрано на следующем уроке.

ФормаЧто обязательно проверитьОсновная идея
√F(x) < G(x)G(x) > 0После этого сравнивают F(x) и G²(x), учитывая F(x) ≥ 0
√F(x) ≤ G(x)G(x) ≥ 0Граница G(x) = 0 допустима
√F(x) > G(x)Если G(x) < 0, неравенство верно на всей ОДЗЕсли G(x) ≥ 0, сравнивают квадраты
√F(x) ≥ G(x)Если G(x) ≤ 0, неравенство верно на всей ОДЗЕсли G(x) > 0, сравнивают квадраты
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

1

ОДЗ не записана

После преобразований в ответ могут попасть значения, при которых исходный корень не существует.

2

Для корня в знаменателе записано ≥ 0

Нужно строгое условие > 0, потому что знаменатель не может быть равен нулю.

3

К кубическому корню применено ограничение

Корень нечётной степени определён и для отрицательных подкоренных значений.

4

Несколько условий объединены вместо пересечения

Если ограничения должны выполняться одновременно, берут их общую часть.

5

ОДЗ записана как окончательный ответ

После нахождения ОДЗ необходимо решить само неравенство.

6

Не учтён знак правой части

Перед возведением в квадрат нужно понимать, может ли правая часть быть отрицательной.

Практика с пошаговыми ответами

Сначала выполните задание самостоятельно, затем раскройте решение.

Задание 1. Найдите ОДЗ √(4x - 8)

Показать решение

4x - 8 ≥ 0, поэтому 4x ≥ 8 и x ≥ 2.

Ответ: [2; +∞).

Задание 2. Найдите ОДЗ 1 / √(7 - x)

Показать решение

Корень в знаменателе: 7 - x > 0.

-x > -7, поэтому x < 7.

Ответ: (-∞; 7).

Задание 3. Решите √(x + 2) ≤ 4

Показать решение

ОДЗ: x ≥ -2.

Обе части неотрицательны: x + 2 ≤ 16, поэтому x ≤ 14.

Пересечение условий: -2 ≤ x ≤ 14.

Ответ: [-2; 14].

Задание 4. Решите √(3x - 6) > 0

Показать решение

Квадратный корень строго положителен тогда и только тогда, когда его подкоренное выражение строго положительно.

3x - 6 > 0, поэтому x > 2.

Ответ: (2; +∞).

Задание 5. Решите √(2 - x) < 0

Показать решение

Квадратный корень не может быть отрицательным.

Ответ: решений нет.

Задание 6. Решите ³√(x - 1) > 0

Показать решение

Кубический корень определён для всех x и сохраняет порядок чисел.

x - 1 > 0, поэтому x > 1.

Ответ: (1; +∞).

Самостоятельная работа

Запишите ОДЗ и решение полностью. Ответы открывайте только после выполнения.

1. Найдите ОДЗ √(5 - x)

Проверить ответ

5 - x ≥ 0, поэтому x ≤ 5. Ответ: (-∞; 5].

2. Найдите ОДЗ √(x + 1) / (x - 2)

Проверить ответ

x ≥ -1 и x ≠ 2. Ответ: [-1; 2) ∪ (2; +∞).

3. Решите √(x - 3) ≤ 2

Проверить ответ

ОДЗ: x ≥ 3. После возведения в квадрат x - 3 ≤ 4, поэтому x ≤ 7. Ответ: [3; 7].

4. Решите √(x + 6) > -2

Проверить ответ

На всей ОДЗ левая часть ≥ 0 и поэтому больше -2. ОДЗ: x ≥ -6. Ответ: [-6; +∞).

Видео по теме урока

Основное видео Rutube даёт краткую теорию и алгоритм решения иррациональных неравенств. Дополнительное видео YouTube рассматривает другой набор примеров.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на ОДЗ, знак правой части и момент, когда допустимо возведение в квадрат.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует равносильные переходы и показывает разные типы иррациональных неравенств.

На что обратить внимание

  • с каких ограничений начинается решение;
  • как меняется система условий для знаков <, ≤, >, ≥;
  • где используется неотрицательность квадратного корня;
  • как пересекают найденные множества.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение LearningApps предлагает решить простейшие иррациональные неравенства и выбрать правильный ответ.

Как выполнять

  • сначала выпишите ОДЗ;
  • определите знак правой части;
  • выполните только допустимые преобразования;
  • пересеките результат с ОДЗ;
  • проверьте включение граничных точек.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте пояснение.

01Какое неравенство называют иррациональным?

Ответ: неравенство, в котором переменная находится под знаком корня или входит в выражение с дробной степенью.

02Какое условие нужно для √F(x)?

Ответ: F(x) ≥ 0.

03Почему для 1 / √F(x) требуется F(x) > 0?

Ответ: корень должен существовать, а знаменатель не может быть равен нулю.

04Нужно ли ограничивать подкоренное выражение кубического корня?

Ответ: нет, кубический корень определён для любого действительного числа.

05Почему ОДЗ не всегда является ответом?

Ответ: ОДЗ только гарантирует существование выражений. Значения должны ещё удовлетворять самому неравенству.

06Может ли квадратный корень быть отрицательным?

Ответ: нет. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.

07Что делают с несколькими условиями ОДЗ?

Ответ: находят их пересечение, потому что все условия должны выполняться одновременно.

08Когда граничное значение входит в ответ?

Ответ: когда оно допустимо для исходного выражения и удовлетворяет нестрогому неравенству.

Главное по уроку

Иррациональное неравенство содержит переменную под знаком корня или в дробной степени.

Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Если чётный корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Корень нечётной степени определён для любого действительного подкоренного выражения.

При нескольких ограничениях находят их пересечение.

Квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому знак другой части неравенства обязательно учитывают.

ОДЗ и ответ неравенства - разные множества.

Окончательный ответ получают пересечением ОДЗ и результата решения неравенства.

Следующий урок - «Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств».

33 Урок 33 Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств Открыть урокСвернуть урок

Урок 33. Равносильные переходы при решении иррациональных неравенств

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала восстановим смысл равносильности, затем разберём, когда неравенство с квадратным корнем можно возводить в квадрат, почему знак второй части нельзя игнорировать и как заменять исходное неравенство равносильной системой или совокупностью систем без потери и добавления решений.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Понимать равносильность

Отличать переход, сохраняющий множество решений, от перехода только в одном направлении.

2

Проверять знаки частей

Перед возведением в квадрат устанавливать, что обе части неравенства неотрицательны.

3

Выбирать правильную схему

Для знаков <, ≤, > и ≥ записывать разные системы или совокупности систем.

4

Сравнивать два корня

Использовать возрастание функции квадратного корня на неотрицательной полуоси.

5

Решать системы условий

Находить пересечение условий внутри системы и объединение ответов разных случаев.

6

Контролировать границы

Правильно учитывать строгие и нестрогие знаки и проверять включение граничных точек.

Главная мысль: неравенство нельзя безусловно возводить в квадрат. Равносильность сохраняется только после анализа ОДЗ и знаков обеих частей.

Что означает равносильный переход

Равносильные неравенства

Это неравенства, имеющие одно и то же множество решений. После равносильного перехода ни одно решение не теряется и ни одно постороннее значение не появляется.

Знак ⇔

Читается «равносильно». Переход верен в обе стороны.

Знак ⇒

Читается «следует». Обратный переход может быть неверным.

Система

Все записанные условия должны выполняться одновременно. Решения пересекают.

Совокупность

Достаточно выполнения одного из случаев. Решения случаев объединяют.

исходное неравенство ⇔ равносильная системаРешая систему, мы получаем ровно те же значения x, которые удовлетворяют исходному неравенству.

Почему нельзя просто возвести обе части в квадрат

Функция y = t² возрастает только при t ≥ 0. На отрицательной полуоси порядок чисел после возведения в квадрат меняется.

Обе части неотрицательны

2 < 3 ⇔ 2² < 3²

Порядок сохраняется.

Обе части отрицательны

-3 < -2, но 9 > 4

После возведения в квадрат знак сравнения фактически меняется.

Разные знаки

-1 < 2

Неравенство уже определяется знаками, а возведение в квадрат может дать ненужное условие.

Квадратный корень

√F(x) ≥ 0

Левая часть неотрицательна на всей своей ОДЗ, поэтому главным становится знак второй части.

Запомните: перед возведением неравенства в чётную степень нужно доказать неотрицательность обеих его частей.

Основное правило безопасного возведения в квадрат

Теорема

Если A ≥ 0 и B ≥ 0, то неравенства A < B и A² < B² равносильны. То же верно для знаков ≤, > и ≥.

1

Установите ОДЗ

Для √F(x) обязательно F(x) ≥ 0.

2

Определите знак второй части

Выражение G(x) может быть положительным, нулевым или отрицательным.

3

Выберите случай

Если G(x) неотрицательно, можно сравнивать квадраты. Если отрицательно, исходное сравнение часто решается сразу по знакам.

4

Решите систему или совокупность

Пересеките условия внутри каждого случая и объедините ответы разных случаев.

5

Проверьте границы

Для строгого знака точка равенства не входит; для нестрогого может входить, если допустима.

Четыре основные схемы

F(x) и G(x) обозначают выражения. Каждая строка таблицы является готовой равносильной заменой.

Исходное неравенствоРавносильная записьПочему
√F(x) < G(x)F ≥ 0, G > 0, F < G²Правая часть должна быть строго положительной
√F(x) ≤ G(x)F ≥ 0, G ≥ 0, F ≤ G²При равенстве G = 0 возможен корень, равный нулю
√F(x) > G(x){F ≥ 0, G < 0} или {G ≥ 0, F > G²}При G < 0 корень автоматически больше правой части
√F(x) ≥ G(x){F ≥ 0, G ≤ 0} или {G > 0, F ≥ G²}При G ≤ 0 любой существующий корень подходит
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Важно: в таблице запись «или» означает совокупность случаев. Сначала решают каждый случай отдельно, затем объединяют их решения.

Схема 1. Неравенства √F(x) < G(x) и √F(x) ≤ G(x)

Для знаков «меньше» правая часть обязана быть положительной или неотрицательной. Иначе неотрицательный корень не сможет быть меньше неё.

Пример 1. √(x + 1) < 3

Правая часть положительна, поэтому применяем одну систему.

x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ -1.

3 > 0.

x + 1 < 9, поэтому x < 8.

Пересечение: -1 ≤ x < 8.

Ответ: [-1; 8).

Пример 2. √(2x - 1) ≤ x

Для нестрогого знака правая часть должна быть неотрицательной.

2x - 1 ≥ 0, поэтому x ≥ 1/2.

x ≥ 0.

2x - 1 ≤ x² ⇔ (x - 1)² ≥ 0.

Последнее условие верно для любого x.

Ответ: [1/2; +∞).

Пример 3. √(x + 2) < x

Знак правой части нельзя пропускать.

x + 2 ≥ 0.

x > 0.

x + 2 < x² ⇔ x² - x - 2 > 0.

(x - 2)(x + 1) > 0, поэтому x < -1 или x > 2.

С учётом x > 0 остаётся x > 2.

Ответ: (2; +∞).

Схема 2. Неравенства √F(x) > G(x) и √F(x) ≥ G(x)

Здесь приходится рассматривать два случая: правая часть отрицательна или неотрицательна.

Пример 4. √(x + 1) > 2

Правая часть положительна, поэтому сравниваем квадраты.

x + 1 ≥ 0.

x + 1 > 4.

x > 3.

Ответ: (3; +∞).

Пример 5. √(x + 4) > x

Правая часть меняет знак, поэтому используем совокупность двух систем.

Случай 1: x + 4 ≥ 0 и x < 0. Получаем [-4; 0).

Случай 2: x ≥ 0 и x + 4 > x².

x² - x - 4 < 0. Корни: (1 - √17)/2 и (1 + √17)/2.

С учётом x ≥ 0 получаем [0; (1 + √17)/2).

Объединяем случаи.

Ответ: [-4; (1 + √17)/2).

Пример 6. √(x - 1) ≥ -2

Правая часть отрицательна.

На ОДЗ квадратный корень всегда ≥ 0, а значит автоматически ≥ -2.

ОДЗ: x - 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1.

Ответ: [1; +∞).

Сравнение двух корней одинаковой чётной степени

Функция y = √x возрастает на [0; +∞). Поэтому после проверки существования обоих корней можно сравнивать их подкоренные выражения.

Исходная записьРавносильная система
√F < √GF ≥ 0, G ≥ 0, F < G
√F ≤ √GF ≥ 0, G ≥ 0, F ≤ G
√F > √GF ≥ 0, G ≥ 0, F > G
√F ≥ √GF ≥ 0, G ≥ 0, F ≥ G
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 7. √(3x - 2) ≤ √(x + 4)

Сначала обеспечиваем существование обоих корней.

3x - 2 ≥ 0 и x + 4 ≥ 0.

Общее условие: x ≥ 2/3.

3x - 2 ≤ x + 4, поэтому 2x ≤ 6 и x ≤ 3.

Ответ: [2/3; 3].

Пример 8. ⁴√(2x + 1) > ⁴√(x - 2)

Для корней четвёртой степени действует то же правило.

2x + 1 ≥ 0 и x - 2 ≥ 0, поэтому x ≥ 2.

2x + 1 > x - 2, то есть x > -3.

На ОДЗ это условие выполняется автоматически.

Ответ: [2; +∞).

Как учитывать строгий и нестрогий знак

Строгое сравнение

Для < и > точка, в которой части равны, в ответ не входит.

Нестрогое сравнение

Для ≤ и ≥ точка равенства входит, если выражения в ней определены.

Граница ОДЗ

Точка, обращающая подкоренное выражение в ноль, допустима, если корень не находится в знаменателе.

Граница знаменателя

Если корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

Проверка: подставьте граничное значение в исходное неравенство. Это помогает одновременно проверить ОДЗ и знак сравнения.

Как выбрать нужную схему

1

Уедините корень

Оставьте один радикал в одной части, остальные выражения перенесите в другую.

2

Посмотрите на знак сравнения

Для «меньше» и «меньше или равно» правая часть должна иметь нужный неотрицательный знак.

3

Определите знак второй части

Если он может меняться, разделите решение на случаи.

4

Запишите равносильную систему

Не выполняйте возведение в квадрат до записи всех условий.

5

Решите рациональные неравенства

Используйте линейные преобразования, разложение на множители или метод интервалов.

6

Соберите ответ

В системе найдите пересечение, в совокупности - объединение.

Типичные ошибки

Карточки пронумерованы сверху вниз в первой колонке, затем сверху вниз во второй.

1

Сразу возвести в квадрат

Без проверки знаков переход может оказаться неравносильным.

2

Забыть условие G(x) > 0

В неравенстве √F < G правая часть обязана быть строго положительной.

3

Перепутать систему и совокупность

Внутри системы ответы пересекают, между случаями совокупности объединяют.

4

Потерять ОДЗ второго корня

При сравнении двух корней должны существовать оба подкоренных выражения.

5

Включить точку равенства при строгом знаке

Для < и > граничная точка не входит.

6

Считать ОДЗ готовым ответом

ОДЗ только ограничивает область поиска. Нужно решить и само неравенство.

Практика с пошаговыми ответами

Сначала решите самостоятельно. Затем раскройте решение и сравните каждый переход.

Задание 1. Решите √(x - 2) < 4

Показать решение

x - 2 ≥ 0, поэтому x ≥ 2.

4 > 0, и x - 2 < 16, поэтому x < 18.

Ответ: [2; 18).

Задание 2. Решите √(x + 5) ≤ x + 1

Показать решение

x + 5 ≥ 0 и x + 1 ≥ 0, значит x ≥ -1.

x + 5 ≤ (x + 1)² ⇔ x² + x - 4 ≥ 0.

Корни: (-1 - √17)/2 и (-1 + √17)/2.

С учётом x ≥ -1 остаётся x ≥ (-1 + √17)/2.

Ответ: [(-1 + √17)/2; +∞).

Задание 3. Решите √(2x + 3) > 1

Показать решение

2x + 3 ≥ 0.

2x + 3 > 1, поэтому 2x > -2 и x > -1.

Условие x > -1 уже сильнее ОДЗ x ≥ -3/2.

Ответ: (-1; +∞).

Задание 4. Решите √(x + 6) > x

Показать решение

Случай x < 0: вместе с x ≥ -6 получаем [-6; 0).

Случай x ≥ 0: x + 6 > x² ⇔ x² - x - 6 < 0.

(x - 3)(x + 2) < 0, поэтому -2 < x < 3. С учётом x ≥ 0: [0; 3).

Ответ: [-6; 3).

Задание 5. Решите √(4x - 3) ≥ √(x + 6)

Показать решение

ОДЗ: x ≥ 3/4.

4x - 3 ≥ x + 6, поэтому 3x ≥ 9 и x ≥ 3.

Ответ: [3; +∞).

Задание 6. Решите √(3 - x) < -1

Показать решение

Левая часть на ОДЗ неотрицательна, а правая часть отрицательна.

Неотрицательное число не может быть меньше -1.

Ответ: решений нет.

Самостоятельная работа

Записывайте не только ответ, но и равносильную систему. Проверку открывайте после выполнения.

1. Решите √(x + 3) ≤ 5

Проверить ответ

ОДЗ: x ≥ -3. После сравнения квадратов x + 3 ≤ 25, поэтому x ≤ 22. Ответ: [-3; 22].

2. Решите √(x - 1) < x - 1

Проверить ответ

Нужно x - 1 > 0. После возведения в квадрат: x - 1 < (x - 1)². Пусть t = x - 1 > 0. Тогда t < t², то есть t > 1. Ответ: (2; +∞).

3. Решите √(2x + 1) ≥ x

Проверить ответ

При x ≤ 0 и x ≥ -1/2 подходят все значения: [-1/2; 0]. При x > 0 решаем 2x + 1 ≥ x², то есть x² - 2x - 1 ≤ 0. Получаем 0 < x ≤ 1 + √2. Ответ: [-1/2; 1 + √2].

4. Решите √(5x - 4) > √(2x + 5)

Проверить ответ

ОДЗ: x ≥ 4/5. Сравниваем подкоренные выражения: 5x - 4 > 2x + 5, поэтому 3x > 9 и x > 3. Ответ: (3; +∞).

Видео по теме урока

Основное видео Rutube объясняет переход от иррационального неравенства к равносильной системе. Дополнительное видео YouTube отдельно разбирает сравнение двух корней.

Основное видео Rutube. Обратите внимание, какие дополнительные условия добавляются до возведения обеих частей в квадрат.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация показывает, как знак второй части определяет вид равносильной системы или совокупности систем.

На что обратить внимание

  • условия f(x) ≥ 0 и g(x) > 0 для строгого знака «меньше»;
  • разделение на случаи при знаках «больше» и «больше или равно»;
  • почему квадрат обеих частей сравнивают только после анализа знаков;
  • как объединяются решения двух систем.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение LearningApps закрепляет решение простейших иррациональных неравенств. Выполняйте каждое задание через равносильную систему.

Как выполнять

  • уедините корень;
  • запишите ОДЗ;
  • определите знак второй части;
  • выберите нужную схему перехода;
  • решите систему и проверьте границы.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте пояснение.

01Какие неравенства называют равносильными?

Ответ: неравенства с одинаковым множеством решений.

02Когда сравнение можно равносильно возвести в квадрат?

Ответ: когда обе сравниваемые части неотрицательны.

03Почему в √F < G требуется G > 0?

Ответ: квадратный корень неотрицателен и не может быть строго меньше неположительного числа.

04Что происходит в √F > G при G < 0?

Ответ: на ОДЗ неравенство выполняется автоматически, потому что √F ≥ 0 > G.

05Как сравнивают √F и √G?

Ответ: после условий F ≥ 0 и G ≥ 0 сравнивают F и G с тем же знаком.

06Чем система отличается от совокупности?

Ответ: в системе выполняются все условия и решения пересекают; в совокупности достаточно одного случая и решения объединяют.

07Входит ли точка равенства при строгом знаке?

Ответ: нет, если в этой точке обе части становятся равными.

08Почему одной ОДЗ недостаточно?

Ответ: ОДЗ показывает только существование выражений. Нужно ещё выполнить само сравнение.

Главное по уроку

Равносильные неравенства имеют одинаковое множество решений.

Возведение обеих частей в квадрат сохраняет знак только при неотрицательности обеих частей.

Для √F < G необходимо G > 0, а для √F ≤ G необходимо G ≥ 0.

Неравенства √F > G и √F ≥ G обычно требуют разделения на случаи по знаку G.

При сравнении двух корней одинаковой чётной степени сначала проверяют существование обоих корней, затем сравнивают подкоренные выражения.

В системе решения пересекают, в совокупности - объединяют.

Строгий знак исключает точку равенства; нестрогий может включать её при соблюдении ОДЗ.

Каждый переход нужно уметь обосновать знаком корня, ОДЗ и монотонностью соответствующей функции.

Следующий урок - «Решение иррациональных неравенств возведением обеих частей в степень».

34 Урок 34Решение иррациональных неравенств возведением обеих частей в степень Открыть урокСвернуть урок

Урок 34. Решение иррациональных неравенств возведением обеих частей в степень

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Здесь мы превращаем теоретические равносильные переходы прошлого урока в рабочий алгоритм: учимся уединять радикал, выбирать степень, контролировать знаки, решать полученное рациональное неравенство и проверять границы.

35минут

На этом уроке вы научитесь

Урок рассчитан на самостоятельное изучение. Все переходы ниже сопровождаются объяснением, почему они допустимы.

1

Восстановить смысл возведения в степень

Понимать, почему при нечётной степени порядок сохраняется для любых действительных чисел, а при чётной степени сначала нужно контролировать знаки частей.

2

Определять область допустимых значений

До любого возведения в степень находить ограничения, при которых все корни и знаменатели исходного неравенства существуют.

3

Уединять радикал

Переносить остальные выражения так, чтобы в одной части оставался один корень n-й степени.

4

Выбирать нужную степень

Возводить обе части именно в степень, равную показателю корня, и понимать, когда этот переход равносилен.

5

Решать полученное рациональное неравенство

После устранения корня аккуратно решать линейное, квадратное или другое рациональное неравенство и пересекать результат с условиями.

6

Проверять граничные точки

Контролировать строгий или нестрогий знак и возвращаться к исходному неравенству, если переходы выполнялись по случаям.

Что нужно вспомнить перед началом

Если эти понятия забылись, прочитайте блок полностью: на них строится весь алгоритм урока.

Иррациональное неравенство - неравенство, в котором переменная находится под знаком корня или в другой иррациональной операции. На этом уроке рассматриваем корни натуральной степени.

Запись ⁿ√A(x) означает корень n-й степени из выражения A(x). Число n называют показателем корня.

Нечётный показатель n

Корень существует при любом действительном A(x). Функция ⁿ√x возрастает на всей числовой прямой.

Чётный показатель n

Нужно A(x) ≥ 0. Значение арифметического корня всегда неотрицательно.

Главная идея: устранить корень возведением обеих частей в степень можно только после проверки условий, при которых такой переход сохраняет множество решений.

Почему чётность показателя степени принципиальна

Одна из самых частых ошибок - применять одно и то же правило к квадрату и кубу.

Возведение в степень ведёт себя по-разному в зависимости от чётности показателя.

СитуацияЧто происходитПример
Нечётная степеньФункция y = xⁿ возрастает на всей ℝ, поэтому знак неравенства сохраняется без дополнительных условий на знаки частей.-2 < 1 ⇔ (-2)³ < 1³
Чётная степень, обе части ≥ 0Порядок сохраняется.2 < 3 ⇔ 2⁴ < 3⁴
Чётная степень, обе части < 0Порядок после возведения может измениться.-3 < -2, но 81 > 16
Чётная степень, разные знакиСравнение часто решается сразу по знакам; механическое возведение в степень может дать неверный результат.-1 < 2, но 1 < 16
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Запомните: для нечётного n можно равносильно возвести обе части в n-ю степень. Для чётного n сначала нужно убедиться, что сравниваемые части неотрицательны, либо разделить задачу на случаи.

Универсальный алгоритм

Используйте эту последовательность как чек-лист при самостоятельном решении.

1

Найдите ОДЗ (область допустимых значений)

Для каждого корня чётной степени потребуйте неотрицательность подкоренного выражения. Если корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным.

2

Уедините один корень

Оставьте один радикал в одной части. Это позволяет явно увидеть знак второй части и выбрать корректный переход.

3

Определите чётность показателя

Для нечётного показателя переход проще. Для чётного проверьте неотрицательность второй части или разделите задачу на случаи.

4

Возведите обе части в нужную степень

Если корень квадратный - в квадрат, если кубический - в куб, если корень четвёртой степени - в четвёртую степень и т. д.

5

Решите рациональное неравенство

После устранения радикала решите полученное неравенство обычными методами.

6

Учтите все ограничения

Пересеките результат с ОДЗ и дополнительными условиями на знак второй части.

7

Проверьте границы

Подставьте спорные граничные значения в исходное неравенство и только затем запишите ответ.

Основные схемы для корня чётной степени

Таблица обобщает квадратный, четвёртый и любой другой корень чётной степени.

Исходное неравенствоРавносильные условияКомментарий
ⁿ√F(x) < G(x), n чётноеF ≥ 0; G > 0; F < GⁿСтрогое «меньше» требует строго положительной правой части.
ⁿ√F(x) ≤ G(x), n чётноеF ≥ 0; G ≥ 0; F ≤ GⁿПри G = 0 возможно равенство, если F = 0.
ⁿ√F(x) > G(x), n чётноеЕсли G < 0, достаточно F ≥ 0. Если G ≥ 0, дополнительно F > Gⁿ.Нужно разделить задачу на случаи по знаку G.
ⁿ√F(x) ≥ G(x), n чётноеЕсли G ≤ 0, достаточно F ≥ 0. Если G > 0, дополнительно F ≥ Gⁿ.Нестрогий знак включает случай G = 0.
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Почему появляются условия на G(x)? Арифметический корень чётной степени всегда ≥ 0. Поэтому сравнивать его с отрицательной правой частью нужно сначала по знакам, а не по степеням.

Неравенства с корнем нечётной степени

Здесь алгоритм значительно проще, но всё равно важно не менять знак неравенства.

Правило для нечётного показателя

Если n нечётное, то функция y = xⁿ строго возрастает на всей числовой прямой. Поэтому ⁿ√F(x) ◇ G(x) равносильно F(x) ◇ Gⁿ(x), где знак ◇ остаётся тем же. Символ ◇ - условное обозначение любого знака неравенства: <, >, ≤ или ≥.

Пример

∛(2x - 1) ≤ 3

Возводим в куб: 2x - 1 ≤ 27, поэтому x ≤ 14.

Почему нет ОДЗ?

Кубический корень существует при любом действительном подкоренном выражении. Дополнительное ограничение не требуется.

Первые примеры

Сначала отработаем случаи, где после возведения в степень получается простое линейное неравенство.

Пример 1. Решите √(x + 1) < 3

Сначала найдите ОДЗ, затем убедитесь, что правая часть положительна.

Показать решение

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, то есть x ≥ -1.

Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: x + 1 < 9.

x < 8.

Пересекаем с ОДЗ: [-1; 8).

Пример 2. Решите √(2x - 1) ≤ x

Здесь правая часть зависит от x, поэтому её знак нужно включить в систему условий.

Показать решение

Для неравенства √(2x - 1) ≤ x нужны условия 2x - 1 ≥ 0 и x ≥ 0. Первое даёт x ≥ 1/2 и уже обеспечивает второе.

Возводим в квадрат: 2x - 1 ≤ x².

x² - 2x + 1 ≥ 0, то есть (x - 1)² ≥ 0. Это верно для всех x.

Остаётся только исходное ограничение: [1/2; +∞).

Пример 3. Решите √(x + 4) > 2

Для знака «больше» и положительной правой части можно сравнить квадраты.

Показать решение

ОДЗ: x ≥ -4.

Правая часть 2 > 0, поэтому возводим в квадрат: x + 4 > 4.

x > 0.

Это автоматически удовлетворяет ОДЗ. Ответ: (0; +∞).

Пример 4. Решите ∜(x - 1) < 2

Показатель корня равен 4, поэтому после проверки знаков возводим обе части в четвёртую степень.

Показать решение

ОДЗ: x - 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1.

Правая часть положительна. Возводим обе части в четвёртую степень: x - 1 < 16.

x < 17.

Ответ: [1; 17).

Более сложные примеры

Здесь появляются квадратные неравенства, разбиение на случаи и сравнение двух радикалов.

Пример 5. Решите √(x + 5) < x - 1

Правая часть должна быть строго положительной.

Показать решение

Условия: x + 5 ≥ 0 и x - 1 > 0. Значит, x > 1.

Возводим в квадрат: x + 5 < (x - 1)².

x + 5 < x² - 2x + 1, то есть x² - 3x - 4 > 0.

(x - 4)(x + 1) > 0, поэтому x < -1 или x > 4.

Пересекаем с x > 1: (4; +∞).

Пример 6. Решите √(2x + 3) ≥ x + 1

Для знака «≥» нужно отдельно рассмотреть неположительную и положительную правую часть.

Показать решение

ОДЗ: 2x + 3 ≥ 0, то есть x ≥ -3/2.

Случай 1: x + 1 ≤ 0, то есть x ≤ -1. На ОДЗ корень ≥ 0, поэтому неравенство выполняется. Получаем [-3/2; -1].

Случай 2: x + 1 > 0, то есть x > -1. Возводим в квадрат: 2x + 3 ≥ (x + 1)².

2x + 3 ≥ x² + 2x + 1 ⇒ x² ≤ 2 ⇒ -√2 ≤ x ≤ √2. С учётом x > -1 получаем (-1; √2].

Объединяем случаи: [-3/2; √2].

Пример 7. Решите √(x + 6) ≤ √(2x + 1)

Обе части - квадратные корни, поэтому после ОДЗ сравниваем подкоренные выражения.

Показать решение

ОДЗ: x + 6 ≥ 0 и 2x + 1 ≥ 0. Отсюда x ≥ -1/2.

Обе части неотрицательны, поэтому x + 6 ≤ 2x + 1.

x ≥ 5.

Пересечение с ОДЗ не меняет результат. Ответ: [5; +∞).

Пример 8. Решите ∛(2x - 1) ≤ 3

Кубический корень и куб - возрастающие функции на всей ℝ.

Показать решение

ОДЗ отсутствует: кубический корень определён при любом x.

Возводим обе части в куб: 2x - 1 ≤ 27.

2x ≤ 28, поэтому x ≤ 14.

Ответ: (-∞; 14].

Если одного возведения в степень недостаточно

Сложные неравенства решаются тем же принципом, но каждый этап нужно обосновывать отдельно.

Если в неравенстве несколько радикалов, после первого возведения в степень корень может остаться. Тогда процедуру повторяют, но перед каждым новым возведением снова проверяют знаки частей.

Нельзя: автоматически возводить в квадрат выражение вида √A + √B < C, а затем сразу «убирать» оба корня. После раскрытия квадрата возникает член 2√(AB), и он требует отдельного анализа.
Ключевой контроль

Каждое новое возведение в чётную степень - это новый шаг, для которого заново проверяется неотрицательность обеих сравниваемых частей.

Типичные ошибки

В двух колонках порядок идёт сверху вниз: 1-2-3 в первой колонке, 4-5-6 во второй.

1

Забыли ОДЗ

Возвели в квадрат, не проверив существование корня.

2

Не проверили знак правой части

Для √F < G механически записали F < G² даже при G ≤ 0.

3

Перепутали систему и совокупность

В случае √F ≥ G пересекли два случая вместо их объединения.

4

Изменили знак без основания

При возведении в положительную степень сам знак неравенства не переворачивают. Вопрос только в равносильности перехода.

5

Потеряли границу

Для ≤ или ≥ не проверили, входит ли точка равенства.

6

Не вернулись к исходному неравенству

После нескольких преобразований приняли все найденные значения без проверки условий каждого шага.

Практика

Не открывайте решения до того, как самостоятельно запишете ОДЗ и выполните переход.

1. Решите √(x - 2) < 4

Решите самостоятельно, затем откройте проверку.

Показать решение

ОДЗ x ≥ 2. После квадрата x - 2 < 16 ⇒ x < 18.

Ответ: [2; 18).

2. Решите √(3x + 1) ≤ 2x

Решите самостоятельно, затем откройте проверку.

Показать решение

Нужно x ≥ 0 и 3x + 1 ≥ 0. После квадрата 3x + 1 ≤ 4x² ⇒ 4x² - 3x - 1 ≥ 0 ⇒ (4x + 1)(x - 1) ≥ 0. С x ≥ 0 остаётся x ≥ 1.

Ответ: [1; +∞).

3. Решите √(5 - x) > -2

Решите самостоятельно, затем откройте проверку.

Показать решение

На ОДЗ x ≤ 5 левая часть ≥ 0, а 0 > -2, поэтому неравенство выполняется автоматически.

Ответ: (-∞; 5].

4. Решите ∜(2x + 3) ≥ 1

Решите самостоятельно, затем откройте проверку.

Показать решение

ОДЗ x ≥ -3/2. При правой части 1 > 0 возводим в четвёртую степень: 2x + 3 ≥ 1 ⇒ x ≥ -1.

Ответ: [-1; +∞).

Самостоятельная работа

Запишите решение полностью. Особое внимание уделите условиям до возведения в чётную степень.

1. √(x + 7) ≤ 5

Проверить ответ

ОДЗ x ≥ -7; после квадрата x + 7 ≤ 25 ⇒ x ≤ 18. Ответ: [-7; 18].

2. √(2x + 5) > x

Проверить ответ

ОДЗ x ≥ -5/2. При x < 0 неравенство выполняется автоматически. При x ≥ 0: 2x + 5 > x² ⇒ x² - 2x - 5 < 0 ⇒ 1 - √6 < x < 1 + √6. С учётом x ≥ 0 это [0; 1 + √6). Объединяем с [-5/2; 0): [-5/2; 1 + √6).

3. √(x + 2) ≥ √(4 - x)

Проверить ответ

ОДЗ: -2 ≤ x ≤ 4. Сравниваем подкоренные выражения: x + 2 ≥ 4 - x ⇒ x ≥ 1. Ответ: [1; 4].

4. ∛(x - 4) > -2

Проверить ответ

Возводим в куб: x - 4 > -8 ⇒ x > -4. Ответ: (-4; +∞).

Видео по теме урока

Основное и дополнительное видео различаются по подаче и набору примеров.

Основное видео Rutube. Для этого урока особенно полезен фрагмент об иррациональных неравенствах и переходе к рациональному неравенству.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Материал систематизирует способы решения иррациональных неравенств и равносильные переходы.

На что обратить внимание

  • условия, при которых обе части можно возвести в квадрат;
  • почему для знаков «больше» и «больше или равно» приходится рассматривать разные случаи;
  • как после устранения корня переходят к рациональному неравенству;
  • как пересекают ОДЗ с найденными промежутками.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение закрепляет базовые схемы решения иррациональных неравенств.

Как выполнять

  • сначала определите ОДЗ;
  • установите знак правой части;
  • решите, можно ли возводить обе части в чётную степень;
  • после преобразования решите рациональное неравенство;
  • проверьте границы и пересечение условий.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте пояснение.

01Почему нельзя всегда возводить обе части неравенства в квадрат?

Ответ: Потому что функция x² не возрастает на всей числовой прямой. Для равносильного сравнения квадратов нужно контролировать знаки частей.

02Что нужно сделать до первого возведения в степень?

Ответ: Найти ОДЗ, уединить радикал и определить чётность показателя корня.

03Что происходит при нечётном показателе корня?

Ответ: Корень определён для любого действительного подкоренного выражения, а возведение в нечётную степень сохраняет порядок на всей ℝ.

04Почему в ⁿ√F < G при чётном n требуется G > 0?

Ответ: Левая часть неотрицательна и не может быть строго меньше неположительного числа.

05Когда в неравенстве ⁿ√F ≥ G можно не возводить в степень?

Ответ: Когда G ≤ 0: на ОДЗ левая часть ≥ 0, поэтому сравнение выполняется автоматически.

06Как сравнить √F и √G?

Ответ: Сначала потребовать F ≥ 0 и G ≥ 0, затем сравнить F и G с тем же знаком.

07Что делать после получения рационального неравенства?

Ответ: Решить его и пересечь результат со всеми ранее полученными условиями.

08Зачем проверять граничные точки?

Ответ: Чтобы правильно учесть строгий или нестрогий знак и убедиться, что граница принадлежит ОДЗ.

Главное по уроку

Возведение обеих частей иррационального неравенства в степень - не механическое действие, а преобразование, которое требует проверки условий равносильности.

Для нечётного показателя корня порядок сохраняется на всей числовой прямой.

Для чётного показателя необходимо учитывать ОДЗ и знак второй части.

Если правая часть в неравенстве с чётным корнем неположительна, сравнение часто решается сразу по знакам.

После устранения корня решают полученное рациональное неравенство и обязательно пересекают результат с исходными ограничениями.

При нескольких радикалах каждое новое возведение в чётную степень требует повторной проверки знаков.

Граничные точки включаются или исключаются в соответствии со знаком исходного неравенства и ОДЗ.

Следующий шаг в теме - применение других методов к более сложным иррациональным неравенствам.

35 Урок 35 Решение иррациональных неравенств методом замены переменной Открыть урокСвернуть урок

Урок 35. Решение иррациональных неравенств методом замены переменной

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Даже если вы давно не решали неравенства, двигайтесь по шагам: сначала найдите область допустимых значений, затем определите повторяющееся выражение, временно обозначьте его новой переменной, решите более простое неравенство и обязательно выполните обратную замену.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Находить область допустимых значений

Определять, при каких значениях переменной все корни и знаменатели исходного неравенства имеют смысл. Сокращённо область допустимых значений обозначают ОДЗ.

2

Замечать повторяющееся выражение

Видеть, что одно и то же выражение встречается под корнем, вне корня или в разных степенях.

3

Вводить новую переменную

Временно обозначать повторяющееся выражение буквой t. Буква t не имеет специального математического смысла - это просто удобное временное обозначение.

4

Учитывать ограничения для t

Например, если t = √F(x), то обязательно t ≥ 0, потому что арифметический квадратный корень неотрицателен.

5

Решать неравенство относительно t

После замены получить знакомое линейное, квадратное или дробно-рациональное неравенство и решить его.

6

Выполнять обратную замену

Возвращаться от условий для t к исходной переменной x и пересекать результат с областью допустимых значений.

Главная идея: замена переменной не меняет задачу, а временно делает её запись проще. Решение считается законченным только после возвращения к x.

Что означает «замена переменной»

Замена переменной

Это приём, при котором повторяющееся выражение временно обозначают новой буквой. В школьных решениях часто используют букву t. После решения неравенства относительно t выполняют обратную замену - снова записывают t через исходную переменную x.

t = √F(x) Здесь F(x) - некоторое выражение, зависящее от x. Так как t является арифметическим квадратным корнем, t ≥ 0.

До замены

Например, одновременно встречаются √(x + 1) и x + 1. Поскольку x + 1 = (√(x + 1))², оба выражения связаны.

После замены

Если t = √(x + 1), то x + 1 = t². Неравенство становится неравенством только с t.

Сначала восстановим запись промежутков

При обратной замене удобно записывать ответы промежутками. Если вы давно этого не делали, используйте памятку.

ЗаписьКак читатьЧто означает скобкаПример словесной записи
[a; b]от a до b включительноКвадратная скобка означает, что граница входит в решение.a ≤ x ≤ b
(a; b)между a и b, без границКруглая скобка означает, что граница не входит в решение.a < x < b
[a; +∞)от a включительно и дальше вправоУ символа бесконечности всегда ставят круглую скобку.x ≥ a
(-∞; b)все числа меньше bГраница b не входит.x < b
A ∪ Bобъединение двух множествСимвол ∪ читается «объединение» и означает: подходит либо значение из A, либо значение из B.x ≤ -2 или x ≥ 3
Проведите ползунок, чтобы просмотреть таблицу целиком

Когда замена особенно полезна

Не нужно вводить t в каждом иррациональном неравенстве. Метод полезен, когда после замены запись действительно становится проще.

1

Корень и его квадрат

Встречаются √F(x) и F(x). Тогда удобно положить t = √F(x), а F(x) заменить на t².

2

Корни разных степеней

Например, ⁴√F(x) и √F(x). Если t = ⁴√F(x), то √F(x) = t².

3

Выражение и обратное ему

Например, √F(x) и 1/√F(x). Тогда t = √F(x), причём t > 0, потому что t стоит в знаменателе.

Универсальный алгоритм

Записывайте каждый шаг отдельной строкой. Это особенно важно при самостоятельном изучении.

1

Найдите область допустимых значений (ОДЗ)

Проверьте чётные корни, знаменатели и другие ограничения исходного неравенства.

2

Выберите повторяющееся выражение

Оно должно позволить выразить через t все основные части неравенства.

3

Введите t и запишите его ограничения

Например: t = √F(x), поэтому t ≥ 0. Если этот корень находится в знаменателе, то t > 0.

4

Перепишите всё неравенство через t

После правильной замены в новой записи не должно одновременно оставаться и x, и t.

5

Решите полученное неравенство

При необходимости используйте разложение на множители или метод интервалов. Метод интервалов - способ определить знак произведения или дроби на промежутках между её нулями.

6

Сделайте обратную замену

Переведите каждый найденный промежуток для t в условие на x и учтите исходную область допустимых значений.

Пример 1. Корень и подкоренное выражение

Решим √(x + 1) + x + 1 ≤ 6

Здесь одновременно присутствуют √(x + 1) и x + 1.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ -1.

2. Замена: t = √(x + 1), поэтому t ≥ 0 и x + 1 = t².

3. Новое неравенство: t + t² ≤ 6, то есть t² + t - 6 ≤ 0.

4. Разложим: (t + 3)(t - 2) ≤ 0.

Квадратное неравенство - это неравенство, содержащее t². Произведение неположительно между корнями: -3 ≤ t ≤ 2.

Но по условию t ≥ 0, поэтому остаётся 0 ≤ t ≤ 2.

5. Обратная замена: 0 ≤ √(x + 1) ≤ 2. После возведения в квадрат получаем 0 ≤ x + 1 ≤ 4.

Ответ: -1 ≤ x ≤ 3, то есть [-1; 3].

Пример 2. Корни четвёртой и второй степени

Решим ⁴√(x + 1) + √(x + 1) > 6

Корень четвёртой степени удобно выбрать новой переменной.

1. ОДЗ - область допустимых значений: x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ -1.

2. Замена: t = ⁴√(x + 1), t ≥ 0.

Тогда √(x + 1) = t².

3. Получаем: t + t² > 6, то есть t² + t - 6 > 0.

(t + 3)(t - 2) > 0. Значит, t < -3 или t > 2.

Так как t ≥ 0, остаётся только t > 2.

4. Обратная замена: ⁴√(x + 1) > 2. Возводим обе части в четвёртую степень: x + 1 > 16.

Ответ: x > 15, то есть (15; +∞).

Пример 3. Корень и обратное выражение

Решим √(x + 1) + 1/√(x + 1) ≥ 2

Здесь корень находится в знаменателе, поэтому нулевое значение недопустимо.

1. Область допустимых значений: x + 1 > 0, то есть x > -1.

2. Замена: t = √(x + 1). Поскольку t находится в знаменателе, t > 0.

Получаем t + 1/t ≥ 2.

Перенесём 2 влево и приведём к общей дроби: (t² - 2t + 1)/t ≥ 0.

Числитель равен (t - 1)² и всегда неотрицателен, а знаменатель t положителен.

Поэтому неравенство выполняется при любом t > 0.

Обратная замена: любое значение x из исходной области допустимых значений подходит.

Ответ: x > -1, то есть (-1; +∞).

Пример 4. Квадратное неравенство после замены

Решим x + 4 - 5√(x + 4) + 6 < 0

Подкоренное выражение x + 4 уже присутствует вне корня.

1. ОДЗ: x ≥ -4.

2. Замена: t = √(x + 4), t ≥ 0. Тогда x + 4 = t².

3. Получаем: t² - 5t + 6 < 0.

Разложим: (t - 2)(t - 3) < 0.

Произведение отрицательно между корнями, поэтому 2 < t < 3.

4. Обратная замена: 2 < √(x + 4) < 3.

Возводим части в квадрат: 4 < x + 4 < 9.

Ответ: 0 < x < 5, то есть (0; 5).

Пример 5. Нечётный корень

Решим x - 1 - 4∛(x - 1) ≤ 0

Кубический корень определён при любом действительном x.

1. ОДЗ: ограничений нет, потому что кубический корень существует и для положительных, и для отрицательных подкоренных чисел.

2. Замена: t = ∛(x - 1). Тогда x - 1 = t³.

3. Получаем: t³ - 4t ≤ 0.

Вынесем t: t(t - 2)(t + 2) ≤ 0.

Методом интервалов получаем: t ≤ -2 или 0 ≤ t ≤ 2.

4. Обратная замена. Кубическая функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому:

t ≤ -2 даёт x - 1 ≤ -8, то есть x ≤ -7;

0 ≤ t ≤ 2 даёт 0 ≤ x - 1 ≤ 8, то есть 1 ≤ x ≤ 9.

Ответ: x ≤ -7 или 1 ≤ x ≤ 9. В интервальной записи: (-∞; -7] ∪ [1; 9]. Знак ∪ означает объединение: подходят значения из любого из двух указанных промежутков.

Пример 6. Замена с выражением 2x - 1

Решим 2x - 1 - 3√(2x - 1) + 2 ≥ 0

После замены получим квадратное неравенство.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): 2x - 1 ≥ 0, поэтому x ≥ 1/2.

2. Замена: t = √(2x - 1), t ≥ 0. Тогда 2x - 1 = t².

3. Получаем: t² - 3t + 2 ≥ 0.

(t - 1)(t - 2) ≥ 0, поэтому t ≤ 1 или t ≥ 2.

С учётом t ≥ 0: 0 ≤ t ≤ 1 или t ≥ 2.

4. Обратная замена:

0 ≤ √(2x - 1) ≤ 1 даёт 0 ≤ 2x - 1 ≤ 1, то есть 1/2 ≤ x ≤ 1;

√(2x - 1) ≥ 2 даёт 2x - 1 ≥ 4, то есть x ≥ 5/2.

Ответ: [1/2; 1] ∪ [5/2; +∞).

Как понять, что замена выбрана удачно

ПроверкаУдачная заменаНеудачная заменаЧто делать
После замены осталась одна переменная?Да, в записи есть только t.Одновременно остались x и t.Выберите другое повторяющееся выражение или выразите x через t полностью.
Стало ли неравенство проще?Получилось линейное, квадратное или знакомое дробное неравенство.Появились новые корни или более сложные степени.Вернитесь к исходной записи и попробуйте другой выбор t.
Записано ли ограничение для t?Например, t ≥ 0 или t > 0.Ограничение забыто.Восстановите смысл выражения, которое обозначили буквой t.
Можно ли выполнить обратную замену?Да, условие на t легко переводится в условие на x.Возврат к x становится сложнее исходной задачи.Выберите более естественную замену.
Проведите ползунок, чтобы просмотреть таблицу целиком

Типичные ошибки

На широком экране пункты 1-3 идут сверху вниз в левом столбце, затем 4-6 сверху вниз в правом.

1. Не найдено ОДЗ

Область допустимых значений исходного неравенства находят до замены. Новая переменная не отменяет исходные ограничения.

2. Обозначена только часть корня

Если t обозначает подкоренное выражение, но сам корень остаётся, упрощения может не произойти. Обычно удобнее обозначить весь корень.

3. Забыто условие t ≥ 0

Если t - арифметический корень чётной степени, отрицательные значения t невозможны.

4. После замены остались x и t

Правильная замена должна позволить переписать основное неравенство через одну новую переменную.

5. Обратная замена сделана слишком рано

Сначала полностью решите неравенство относительно t, затем возвращайтесь к x. Иначе легко потерять часть промежутка.

6. Ответ не пересечён с ОДЗ

После обратной замены ещё раз проверьте, что все найденные значения входят в исходную область допустимых значений.

Практика

Сначала решите самостоятельно. Ответ открывайте только после полного решения.

Задание 1

Решите √(x + 2) + x + 2 ≤ 12.

Проверить решение

ОДЗ: x ≥ -2. Пусть t = √(x + 2), t ≥ 0. Тогда t² + t ≤ 12, то есть (t + 4)(t - 3) ≤ 0. С учётом t ≥ 0 получаем 0 ≤ t ≤ 3. Значит, 0 ≤ x + 2 ≤ 9. Ответ: [-2; 7].

Задание 2

Решите ⁴√(x + 5) + √(x + 5) < 6.

Проверить решение

ОДЗ: x ≥ -5. Пусть t = ⁴√(x + 5), t ≥ 0. Тогда t² + t < 6, то есть (t + 3)(t - 2) < 0. С учётом t ≥ 0: 0 ≤ t < 2. Следовательно, 0 ≤ x + 5 < 16. Ответ: [-5; 11).

Задание 3

Решите x + 9 - 7√(x + 9) + 12 ≤ 0.

Проверить решение

ОДЗ: x ≥ -9. Пусть t = √(x + 9), t ≥ 0. Получаем t² - 7t + 12 ≤ 0, то есть (t - 3)(t - 4) ≤ 0. Значит, 3 ≤ t ≤ 4. Тогда 9 ≤ x + 9 ≤ 16. Ответ: [0; 7].

Задание 4

Решите x - 2 - 3∛(x - 2) ≥ 0.

Проверить решение

Пусть t = ∛(x - 2), тогда x - 2 = t³. Получаем t³ - 3t ≥ 0, то есть t(t² - 3) ≥ 0. Нули: -√3, 0, √3. Методом интервалов: -√3 ≤ t ≤ 0 или t ≥ √3. Так как кубирование сохраняет порядок, получаем 2 - 3√3 ≤ x ≤ 2 или x ≥ 2 + 3√3. Ответ: [2 - 3√3; 2] ∪ [2 + 3√3; +∞).

Самостоятельная работа

Выполните без подсказок. Цель - правильно выбрать замену и вернуть ответ к x.

1. Базовый уровень

Решите √(x + 5) + x + 5 > 20.

Открыть ответ

Пусть t = √(x + 5), t ≥ 0. Тогда t² + t - 20 > 0, то есть (t + 5)(t - 4) > 0. Получаем t > 4. Ответ: x > 11.

2. Средний уровень

Решите ⁴√(x + 4) + √(x + 4) ≤ 12.

Открыть ответ

t = ⁴√(x + 4), t ≥ 0. Получаем t² + t - 12 ≤ 0, то есть (t + 4)(t - 3) ≤ 0. Значит, 0 ≤ t ≤ 3. Тогда 0 ≤ x + 4 ≤ 81. Ответ: [-4; 77].

3. Повышенный уровень

Решите √(x + 2) + 4/√(x + 2) ≥ 4.

Открыть ответ

ОДЗ: x > -2. Пусть t = √(x + 2), t > 0. Получаем t + 4/t ≥ 4. Умножаем на положительное t: t² - 4t + 4 ≥ 0, то есть (t - 2)² ≥ 0. Неравенство верно при любом t > 0. Ответ: x > -2.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube повторяет методы решения иррациональных неравенств и помогает увидеть место замены переменной среди других приёмов. Дополнительное видео YouTube посвящено именно замене переменной в иррациональном неравенстве.

Основное видео Rutube. Сначала восстановите общий алгоритм решения иррационального неравенства, затем сравните его с алгоритмом замены переменной из этого урока.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует методы решения иррациональных неравенств и содержит отдельный раздел о введении новой переменной.

На что обратить внимание

  • какое выражение выбирают новой переменной;
  • как записывают ограничения для новой переменной;
  • чем явная замена отличается от других методов;
  • как возвращаются от условий для t к исходной переменной x.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение LearningApps закрепляет решение неравенств. Используйте его после примеров, чтобы ещё раз отработать переход от условия к множеству решений.

Как выполнять

  • прочитайте неравенство;
  • определите, какие значения допустимы;
  • выполните преобразования;
  • выберите правильное множество решений;
  • если ответ неверен, вернитесь к шагу, на котором изменился знак или потерялось ограничение.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте пояснение.

01Что означает сокращение ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений - множество значений переменной, при которых все выражения исходного неравенства имеют смысл.

02Что означает буква t в методе замены?

Ответ: это новая временная переменная, которой обозначают повторяющееся выражение. Специального фиксированного значения у буквы t нет.

03Почему при t = √F(x) обязательно t ≥ 0?

Ответ: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

04Когда требуется условие t > 0, а не t ≥ 0?

Ответ: например, когда выражение t находится в знаменателе: знаменатель не может быть равен нулю.

05Что называют обратной заменой?

Ответ: возвращение от найденных условий для новой переменной t к исходной переменной x.

06Что означает знак ∪ в ответе?

Ответ: это знак объединения. Он означает, что подходят значения из одного промежутка или из другого промежутка.

07Почему после замены желательно, чтобы x исчез из основного неравенства?

Ответ: цель замены - получить более простое неравенство с одной новой переменной. Одновременное присутствие x и t обычно означает, что замена выбрана неудачно или выполнена не полностью.

08Что делают после обратной замены?

Ответ: проверяют полученные промежутки с учётом исходной области допустимых значений и только после этого записывают окончательный ответ.

Главное по уроку

Метод замены переменной применяют, когда одно и то же выражение повторяется в разных формах и его можно временно обозначить новой буквой.

До замены находят область допустимых значений (ОДЗ) исходного неравенства.

Если t обозначает арифметический корень чётной степени, обязательно учитывают t ≥ 0; если этот корень стоит в знаменателе, t > 0.

После замены основное неравенство должно содержать только новую переменную t.

Сначала полностью решают неравенство относительно t и только затем выполняют обратную замену.

После возвращения к x результат сопоставляют с исходной областью допустимых значений.

Символ ∪ означает объединение множеств решений: подходят значения из любого из перечисленных промежутков.

Следующий шаг темы - решение более сложных иррациональных неравенств, в которых приходится сочетать несколько методов.

36 Урок 36 Системы иррациональных уравнений и неравенств Открыть урокСвернуть урок

Урок 36. Системы иррациональных уравнений и неравенств

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Если вы давно не решали системы, начните с главной мысли: в системе нужно найти такие значения переменных, которые одновременно удовлетворяют каждому входящему в неё уравнению или неравенству. В иррациональной системе дополнительно приходится следить за существованием корней, знаками и областью допустимых значений.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Проходите пункты по порядку. Нумерация идёт сверху вниз в одном столбце.

1

Понимать смысл системы

Отличать систему от отдельного уравнения: все условия системы должны выполняться одновременно.

2

Находить общую область допустимых значений

Определять область допустимых значений (ОДЗ) каждого выражения с корнем и оставлять только значения, допустимые одновременно для всей системы.

3

Выбирать способ решения

Использовать подстановку, исключение переменной, замену переменной или последовательное решение условий.

4

Учитывать знак арифметического корня

Если переменная равна квадратному корню, помнить, что она не может быть отрицательной.

5

Пересекать решения неравенств

Оставлять только те значения, которые принадлежат решениям каждого неравенства системы.

6

Проверять найденную пару или значение

Подставлять результат во все исходные условия системы, а не только в последнее полученное уравнение.

Сначала восстановим понятие системы

Определение

Система уравнений или неравенств - это несколько условий, которые должны выполняться одновременно. В учебниках условия системы часто объединяют фигурной скобкой слева. Фигурная скобка здесь не является знаком действия: она показывает, что строки рассматриваются вместе.

Например, если в системе записаны условия x ≥ 2 и x < 6, то подходят только числа, для которых верны обе строки сразу. Поэтому ответ: 2 ≤ x < 6.

Пересечение решений - это общая часть множеств решений нескольких условий. Слово «пересечение» важно: для системы мы не складываем ответы, а ищем их общую часть.

Не путайте: в системе действует логическое «и»: первое условие и второе условие должны быть верны одновременно.

Что делает систему иррациональной

Иррациональным называют уравнение или неравенство, в котором переменная находится под знаком корня. Если хотя бы одно существенное условие системы содержит такую переменную под корнем, при решении приходится применять правила для иррациональных выражений.

Квадратный корень

Для √F(x) необходимо F(x) ≥ 0. Здесь F(x) означает некоторое выражение, зависящее от x.

Корень чётной степени

Для ⁿ√F(x) при чётном n подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Корень нечётной степени

Кубический и любой другой корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного числа.

Корень в знаменателе

Если корень находится в знаменателе дроби, его значение не должно быть равно нулю, потому что деление на ноль невозможно.

Область допустимых значений всей системы

Область допустимых значений (ОДЗ) - это все значения переменных, при которых исходные выражения имеют смысл. В системе ограничений может быть несколько, поэтому их рассматривают одновременно.

Пример: пусть одна строка содержит √(x - 1), а другая - √(7 - x). Тогда первое выражение требует x ≥ 1, второе - x ≤ 7. Общая область допустимых значений: 1 ≤ x ≤ 7.

Важно: ОДЗ не является готовым ответом. Она только показывает, где система вообще может иметь решения.

Основные способы решения

СпособКогда удобенЧто делаемЧто обязательно проверяем
ПодстановкаОдну переменную легко выразить через другуюПодставляем выражение во вторую строку и получаем одно уравнениеОграничения исходной системы и обратную подстановку
Исключение переменнойСтроки удобно сложить, вычесть или преобразоватьУстраняем одну переменную и решаем уравнение относительно другойВсе исходные строки
Замена переменнойПовторяется одно и то же выражение с корнемВводим временную переменную и решаем более простую системуОграничения новой переменной и обратную замену
Последовательное решение неравенствКаждая строка содержит одну переменную xРешаем каждое неравенство отдельно, затем берём общую часть решенийОбласть допустимых значений и граничные точки
Перемещайте ползунок, чтобы увидеть все столбцы таблицы

Универсальный алгоритм

Алгоритм специально записан подробно, чтобы им можно было пользоваться как памяткой.

1

Прочитайте все строки системы

Определите, какие корни, знаменатели и другие ограничения встречаются в исходной записи.

2

Найдите общую область допустимых значений

Запишите ограничения каждой строки и оставьте их общую часть. Это область допустимых значений (ОДЗ) системы.

3

Выберите удобный метод

Подстановка удобна, когда одна переменная уже выражена; для системы неравенств часто проще решить строки отдельно.

4

Выполните преобразования

При возведении в чётную степень контролируйте знаки обеих частей, чтобы не получить лишние кандидаты.

5

Вернитесь ко второй переменной

Если сначала найдено только x или только y, восстановите вторую переменную из исходной или равносильной строки.

6

Проверьте весь результат

Пара значений считается решением только тогда, когда она удовлетворяет каждой исходной строке системы.

Пример 1. Подстановка и неотрицательность корня

Решим систему: √(x + 1) = y и x + y = 5

Первая строка сразу выражает y через x.

1. Область допустимых значений: x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ -1. Кроме того, y = √(x + 1), следовательно y ≥ 0.

2. Из второй строки: x = 5 - y.

3. Используем первую строку: поскольку y = √(x + 1), имеем y² = x + 1.

Подставим x = 5 - y: y² = 6 - y.

Получаем y² + y - 6 = 0, то есть (y + 3)(y - 2) = 0.

Кандидаты: y = -3 и y = 2. Значение y = -3 не подходит, потому что квадратный корень неотрицателен.

При y = 2 получаем x = 3.

Проверка: √(3 + 1) = 2 и 3 + 2 = 5.

Ответ: x = 3, y = 2.

Пример 2. Ещё одна система с квадратным корнем

Решим систему: √(x + 4) = y и x - y = 2

Снова удобно выразить x через y.

1. ОДЗ - область допустимых значений: x ≥ -4, а из первой строки y ≥ 0.

2. Из второй строки: x = y + 2.

3. Возводим первую строку в квадрат: x + 4 = y².

Подставляем x = y + 2: y + 6 = y².

y² - y - 6 = 0, поэтому (y - 3)(y + 2) = 0.

y = 3 или y = -2. Отрицательное значение отбрасываем, так как y обозначает арифметический квадратный корень.

Тогда x = 3 + 2 = 5.

Проверка: √9 = 3 и 5 - 3 = 2.

Ответ: (5; 3). Запись (5; 3) означает упорядоченную пару: первое число - значение x, второе - значение y.

Пример 3. Система с кубическим корнем

Решим систему: ³√(x - 1) = y и x + y = 3

Кубический корень существует для любого действительного числа, поэтому отдельного ограничения на x нет.

1. Из второй строки: x = 3 - y.

2. Кубируем первую строку: x - 1 = y³. Возведение в третью, то есть нечётную, степень сохраняет равносильность.

Подставляем x = 3 - y: 2 - y = y³.

Получаем y³ + y - 2 = 0.

Очевидный корень y = 1. Разложение: y³ + y - 2 = (y - 1)(y² + y + 2).

Квадратный трёхчлен y² + y + 2 не имеет действительных корней, потому что его дискриминант D = 1 - 8 = -7 < 0. Дискриминант - это число, по знаку которого определяют количество действительных корней квадратного уравнения.

Значит y = 1, x = 2.

Проверка: ³√1 = 1 и 2 + 1 = 3.

Ответ: (2; 1).

Пример 4. Система иррациональных неравенств

Решим одновременно √(x + 2) ≥ 2 и √(7 - x) > 1

Здесь одна переменная x, поэтому удобно решить каждую строку и найти общую часть решений.

1. Первая строка: область допустимых значений x ≥ -2. Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат: x + 2 ≥ 4, откуда x ≥ 2.

2. Вторая строка: область допустимых значений x ≤ 7. Возводим в квадрат: 7 - x > 1, откуда x < 6.

3. Общая часть: одновременно должны выполняться x ≥ 2 и x < 6.

Ответ: 2 ≤ x < 6.

Пример 5. Уравнение и дополнительное неравенство

Решим систему: √(x + 1) = 3 и x - 5 ≤ 0

Иногда одна строка даёт единственный кандидат, а другая сразу показывает, подходит ли он всей системе.

1. Решаем уравнение: x + 1 = 9, поэтому x = 8.

2. Проверяем вторую строку: 8 - 5 ≤ 0 превращается в 3 ≤ 0, что неверно.

Значит найденное значение решает первое уравнение, но не решает всю систему.

Ответ: решений нет.

Пример 6. Две области допустимых значений

Найдём значения x, для которых одновременно существуют √(x - 1) и √(7 - x), а также выполняется √(x - 1) ≤ 2

Этот пример показывает, как объединять ограничения и само неравенство.

1. Общая область допустимых значений: x - 1 ≥ 0 и 7 - x ≥ 0, поэтому 1 ≤ x ≤ 7.

2. Решаем неравенство: √(x - 1) ≤ 2. Обе части неотрицательны, поэтому x - 1 ≤ 4, то есть x ≤ 5.

3. Совмещаем условия: из 1 ≤ x ≤ 7 и x ≤ 5 получаем 1 ≤ x ≤ 5.

Ответ: 1 ≤ x ≤ 5.

Как читать ответ системы

ЗаписьЧто она означаетПример чтения
(3; 2)Упорядоченная пара значений двух переменныхx = 3, y = 2
2 ≤ x < 6Один промежуток значений x2 входит в ответ, 6 не входит
решений нетНе существует ни одного значения или пары, удовлетворяющих всем условиямОдна строка системы противоречит другой
общая часть решенийЗначения, которые подходят каждому условию одновременноДля x ≥ 2 и x < 6 получаем 2 ≤ x < 6
Перемещайте ползунок, чтобы увидеть все столбцы таблицы

Типичные ошибки

Номера расположены вертикально: 1-2-3 в первой колонке, затем 4-5-6 во второй.

1. Решать строки как альтернативы

В системе нельзя выбрать только удобную строку. Каждое найденное значение должно удовлетворять всем условиям.

2. Забывать общую область допустимых значений

ОДЗ одной строки недостаточно. Нужно учитывать ограничения всех корней и знаменателей системы.

3. Терять условие y ≥ 0

Если y = √F(x), то y неотрицателен. Отрицательный корень полученного квадратного уравнения может оказаться недопустимым.

4. Возводить в квадрат без контроля знака

При чётной степени нужно проверять условия равносильности, иначе могут появиться лишние кандидаты.

5. Не находить общую часть решений

Для системы неравенств окончательный ответ - не список отдельных ответов, а значения, подходящие всем строкам одновременно.

6. Проверять только последнюю строку

Пара (x; y) должна быть подставлена во всю исходную систему. Ошибка в одной строке исключает всю пару.

Практика с подробными решениями

Задание 1

Решите систему: √(x + 9) = y и x - y = 3.

Открыть решение

Из второй строки x = y + 3. Первая строка даёт y ≥ 0 и x + 9 = y². Подставляем: y + 12 = y², то есть y² - y - 12 = 0. Получаем y = 4 или y = -3. Отрицательное значение не подходит. Тогда x = 7.

Ответ: (7; 4).

Задание 2

Решите одновременно √(x - 2) < 3 и √(10 - x) ≥ 2.

Открыть решение

Первая строка: x ≥ 2 и x - 2 < 9, значит 2 ≤ x < 11. Вторая строка: x ≤ 10 и 10 - x ≥ 4, значит x ≤ 6. Общая часть: 2 ≤ x ≤ 6.

Ответ: 2 ≤ x ≤ 6.

Задание 3

Проверьте, является ли пара (3; 2) решением системы √(x + 1) = y и x + y = 6.

Открыть решение

Первая строка верна: √4 = 2. Вторая строка неверна: 3 + 2 = 5, а не 6. Поэтому пара не является решением системы.

Самостоятельная работа

Выполните без подсказок

  1. Объясните своими словами, чем система отличается от отдельного уравнения.
  2. Найдите общую область допустимых значений выражений √(x - 3) и √(9 - x).
  3. Решите систему √(x + 1) = y, x - y = 1.
  4. Решите одновременно √(x + 1) ≥ 2 и x < 8.
  5. Проверьте, является ли пара (5; 3) решением системы √(x + 4) = y, x - y = 2.
  6. Объясните, почему отрицательное y нельзя оставить, если y = √F(x).
  7. Объясните, что означает «общая часть решений» системы неравенств.
  8. Назовите последний обязательный шаг решения любой системы.
Открыть ответы и критерии
  1. В системе все записанные условия должны выполняться одновременно.
  2. 3 ≤ x ≤ 9.
  3. x = 3, y = 2.
  4. x ≥ 3 и x < 8, то есть 3 ≤ x < 8.
  5. Да: √9 = 3 и 5 - 3 = 2.
  6. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
  7. Это значения, которые принадлежат решениям каждого неравенства системы одновременно.
  8. Проверить результат во всех исходных строках системы.

7-8 верных ответов - материал усвоен уверенно. 5-6 - повторите общую ОДЗ и пересечение решений. 3-4 - ещё раз разберите примеры 1, 4 и 5. 0-2 - вернитесь к определению системы и универсальному алгоритму.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube систематизирует иррациональные уравнения, неравенства и системы. Дополнительное видео YouTube отдельно показывает системы иррациональных уравнений и способы подстановки, сложения и замены переменной. Материалы различаются по содержанию и дополняют друг друга.

Большое основное видео Rutube: вторая половина урока содержит системы уравнений и системы неравенств, а также повторяет ограничения и метод интервалов.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. Используйте её как повторение перед практической частью.

На что обратить внимание

  • как находят область допустимых значений;
  • когда применяют возведение в степень;
  • как используются замена и равносильные переходы;
  • почему нужна проверка результата.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение LearningApps закрепляет базовый навык решения иррациональных уравнений. Этот навык нужен внутри систем, поэтому сначала решите задания интерактива, а затем вернитесь к системам.

Как работать

  • сначала определите ограничения;
  • выберите подходящее преобразование;
  • отбрасывайте недопустимые значения;
  • после каждого задания объясняйте себе, почему выбранный ответ подходит.
Открыть интерактив LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает фигурная скобка у системы?

Ответ: она объединяет несколько условий, которые должны выполняться одновременно.

02Что такое область допустимых значений (ОДЗ) системы?

Ответ: это значения переменных, при которых имеют смысл все исходные выражения во всех строках системы.

03Почему из y = √F(x) следует y ≥ 0?

Ответ: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен.

04Когда особенно удобен метод подстановки?

Ответ: когда одна переменная уже выражена или легко выражается через другую.

05Как получают ответ системы неравенств?

Ответ: решают условия и оставляют их общую часть, то есть значения, удовлетворяющие каждому неравенству одновременно.

06Почему решение одной строки ещё не является решением системы?

Ответ: система требует выполнения всех строк одновременно.

07Что означает запись (5; 3) в системе с переменными x и y?

Ответ: это упорядоченная пара: x = 5, y = 3.

08Какой шаг завершает решение системы?

Ответ: проверка найденного значения или пары во всех исходных условиях.

Главное по уроку

Система требует одновременного выполнения всех записанных условий.

Область допустимых значений (ОДЗ) системы учитывает ограничения всех корней, знаменателей и других выражений сразу.

Если y равен арифметическому квадратному корню, обязательно y ≥ 0.

Для систем уравнений удобно использовать подстановку, исключение переменной и замену переменной.

Для систем неравенств с одной переменной часто достаточно решить каждую строку и найти общую часть решений.

Упорядоченная пара (x; y) должна удовлетворять каждой исходной строке системы.

Следующий урок будет посвящён применению иррациональных уравнений, неравенств и систем к математическим и практическим задачам.

37 Урок 37 Применение иррациональных уравнений, неравенств и систем к математическим и практическим задачам Открыть урокСвернуть урок

Урок 37. Применение иррациональных уравнений, неравенств и систем к математическим и практическим задачам

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Здесь мы не вводим новый способ решения, а учимся замечать уже знакомую математику внутри условия задачи. Если вы давно не решали текстовые задачи, двигайтесь медленно: сначала назовите неизвестную величину, затем переведите каждую фразу условия на математический язык, запишите ограничения и только после этого составляйте уравнение, неравенство или систему.

35минут основной работы

Что вы научитесь делать

Пункты расположены в рабочем порядке. Выполняйте их сверху вниз - так легче не потерять смысл задачи.

1

Выделять величины

Определять, что известно, что требуется найти и в каких единицах измеряются величины.

2

Выбирать переменную

Обозначать неизвестную величину буквой и сразу записывать её смысловые ограничения, например длина должна быть положительной.

3

Строить математическую модель

Переводить связи между величинами в формулы, уравнения, неравенства или системы.

4

Находить область допустимых значений

Проверять, при каких значениях переменной все корни и знаменатели имеют смысл. Сокращение ОДЗ означает «область допустимых значений».

5

Решать полученную модель

Использовать возведение в степень, равносильные переходы, замену переменной или решение системы - в зависимости от вида записи.

6

Проверять смысл ответа

Отбрасывать значения, которые математически получены, но не подходят условию: отрицательную длину, лишний корень или значение вне заданного диапазона.

Сначала восстановим базовые понятия

Математическая модель

Математическая модель - это запись реальной или геометрической ситуации с помощью чисел, переменных, формул, уравнений, неравенств или систем. Модель сохраняет те связи между величинами, которые нужны для ответа на вопрос задачи.

Переменная

Буква, которой обозначают неизвестную величину. Например, x может обозначать длину стороны прямоугольника в метрах.

Ограничение

Условие на значение переменной. Если x - длина, то обычно x > 0. Если x - количество целых предметов, то x должно быть целым неотрицательным числом.

ОДЗ

Область допустимых значений - все значения переменной, при которых исходные математические выражения существуют. Для √A требуется A ≥ 0.

Проверка по смыслу

После алгебраической проверки нужно вернуться к условию задачи и убедиться, что ответ имеет правильные единицы и допустимый физический или геометрический смысл.

Важно: ОДЗ и смысловые ограничения - не одно и то же. ОДЗ связано с существованием математических выражений, а смысловое ограничение возникает из текста задачи. Например, выражение √(x + 4) существует при x ≥ -4, но если x обозначает длину, дополнительно требуется x > 0.

Как понять, что в модели появится корень

Корень часто возникает, когда неизвестная величина входит в квадрат или другую степень, а затем эту величину нужно восстановить.

СитуацияСвязь величинПочему появляется кореньЧто обязательно проверить
Диагональ прямоугольникаd² = a² + b²Чтобы найти одну из длин, приходится извлекать квадратный кореньДлины положительны
Расстояние между точкамиd = √(Δx² + Δy²)Расстояние выражается через квадратный кореньРасстояние d ≥ 0
Сторона квадрата по площадиa = √SПлощадь равна квадрату стороныS ≥ 0, a ≥ 0
Ограничение длины кабеля√(a² + b²) ≤ LНеизвестная длина входит под знак корняОДЗ и смысловые ограничения
Две связанные неизвестныеУравнение с корнем и дополнительное условиеВозникает системаКаждая найденная пара должна выполнять все условия
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу
Обозначение Δ: греческая буква «дельта» здесь означает изменение или разность. Например, Δx - разность координат по горизонтали. Записи x₁ и x₂ читаются «икс один» и «икс два» и обозначают x-координаты первой и второй точек; тогда Δx = x₂ - x₁.

Универсальный алгоритм решения прикладной задачи

Этот алгоритм можно использовать как памятку. Слово «прикладная» означает, что математический аппарат применяется к ситуации из геометрии, физики, техники, экономики или повседневной жизни.

1

Прочитайте вопрос задачи

Сначала установите, что именно требуется найти: длину, площадь, расстояние, диапазон значений или пару величин.

2

Введите переменную

Напишите словами: «Пусть x - ...». Укажите единицу измерения и смысловое ограничение.

3

Запишите связи между величинами

Используйте формулу площади, теорему Пифагора, формулу расстояния или другую известную зависимость.

4

Составьте модель

Получите уравнение, неравенство или систему. Не начинайте преобразования, пока не ясно, что означает каждая часть записи.

5

Запишите ОДЗ

ОДЗ - область допустимых значений. Для чётного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

6

Решите модель

Выполняйте только допустимые преобразования и следите за возможным появлением посторонних корней.

7

Проверьте результат

Подставьте найденное значение в исходную математическую модель.

8

Вернитесь к условию

Проверьте смысл, единицы измерения и сформулируйте ответ словами.

Пример 1. Размеры прямоугольной площадки

Диагональ равна 13 м, а длина на 7 м больше ширины. Найдём стороны.

Это классическая задача, где геометрическая связь приводит к иррациональному уравнению.

1. Переменная: пусть x м - длина площадки. Тогда ширина равна x - 7 м. По смыслу x - 7 > 0, то есть x > 7.

2. Теорема Пифагора: это правило для прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. Гипотенуза - сторона напротив прямого угла; в прямоугольнике роль гипотенузы играет диагональ. Поэтому √(x² + (x - 7)²) = 13.

3. Область допустимых значений: выражение под квадратным корнем - сумма квадратов, поэтому оно неотрицательно при любом x. Но смысл задачи требует x > 7.

4. Возводим в квадрат: x² + (x - 7)² = 169.

Раскрываем скобки: 2x² - 14x + 49 = 169, откуда x² - 7x - 60 = 0.

5. Решаем квадратное уравнение: (x - 12)(x + 5) = 0. Получаем x = 12 или x = -5.

6. Отбор по смыслу: x = -5 не может быть длиной. Подходит x = 12, тогда ширина 12 - 7 = 5.

Проверка: √(12² + 5²) = √169 = 13.

Ответ: 12 м и 5 м.

Пример 2. Ограничение длины кабеля

Вертикальный подъём равен 4 м. Какое горизонтальное расстояние x допустимо, если кабель должен быть не длиннее 5 м?

Фраза «не длиннее 5 м» переводится знаком ≤.

1. Смысловое ограничение: горизонтальное расстояние неотрицательно, поэтому x ≥ 0.

2. Модель: гипотенуза - сторона прямоугольного треугольника напротив прямого угла. Здесь кабель является гипотенузой, поэтому его длина равна √(x² + 16) ≤ 5.

3. ОДЗ: x² + 16 > 0 при любом x, поэтому математических ограничений от корня нет.

4. Возводим в квадрат: обе части неотрицательны, поэтому получаем x² + 16 ≤ 25.

x² ≤ 9, следовательно -3 ≤ x ≤ 3.

5. Учитываем смысл: x ≥ 0. Пересечение условий даёт 0 ≤ x ≤ 3.

Ответ: горизонтальное расстояние может быть от 0 до 3 м включительно.

Пример 3. Система для двух размеров

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а длина на 2 см больше ширины.

Здесь удобно оставить две переменные, чтобы увидеть смысл системы.

1. Обозначения: x см - длина, y см - ширина. По смыслу x > 0 и y > 0.

2. Система: √(x² + y²) = 10 и x - y = 2.

3. Выражаем x: x = y + 2.

4. Подстановка: √((y + 2)² + y²) = 10.

После возведения в квадрат: (y + 2)² + y² = 100.

2y² + 4y - 96 = 0, или y² + 2y - 48 = 0.

5. Корни: y = 6 или y = -8. Отрицательная ширина не имеет смысла, поэтому y = 6.

Тогда x = 8.

Проверка: √(8² + 6²) = √100 = 10 и 8 - 6 = 2.

Ответ: 8 см и 6 см.

Пример 4. Площадь квадрата и обратная задача

Сторона квадратной плитки равна √S см, где S - её площадь. Найдём площадь, если сторона равна 7 см.

Даже простая формула полезна для тренировки перевода текста в уравнение.

1. Модель: √S = 7.

2. ОДЗ: область допустимых значений задаёт S ≥ 0, поскольку под знаком квадратного корня должно стоять неотрицательное число.

3. Возводим в квадрат: S = 49.

4. Единицы: если сторона измеряется в сантиметрах, площадь измеряется в квадратных сантиметрах. Запись «см²» читается «квадратные сантиметры».

Ответ: 49 см².

Пример 5. Диапазон положения точки

Расстояние от точки с координатами (x; 3) до точки (4; 0) не должно превышать 5 единиц.

«Не превышать» означает «быть меньше или равно».

1. Формула расстояния: √((x - 4)² + (3 - 0)²) ≤ 5.

После упрощения: √((x - 4)² + 9) ≤ 5.

2. ОДЗ: подкоренное выражение не меньше 9, поэтому корень существует при любом действительном x.

3. Возводим в квадрат: (x - 4)² + 9 ≤ 25.

(x - 4)² ≤ 16, поэтому |x - 4| ≤ 4.

Обозначение |a|: вертикальные черты обозначают модуль числа a - его расстояние от нуля. Неравенство |x - 4| ≤ 4 означает, что x находится не дальше четырёх единиц от числа 4.

Получаем 0 ≤ x ≤ 8.

Ответ: x принадлежит отрезку от 0 до 8 включительно.

Пример 6. Почему одного алгебраического ответа недостаточно

Длина детали x удовлетворяет условию √(x + 4) = x - 2. Найдём допустимую длину.

Здесь особенно важно различать математическую ОДЗ и смысл задачи.

1. Смысл: x - длина, поэтому x > 0.

2. ОДЗ: x + 4 ≥ 0, то есть x ≥ -4. Кроме того, левая часть неотрицательна, поэтому для равенства требуется x - 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2.

3. Квадрат: x + 4 = (x - 2)² = x² - 4x + 4.

x² - 5x = 0, поэтому x = 0 или x = 5.

4. Проверка: x = 0 не удовлетворяет условию x ≥ 2 и не подходит по смыслу длины. Для x = 5: √9 = 3 и 5 - 2 = 3.

Ответ: 5 единиц длины.

Как переводить слова условия в математические знаки

Эта таблица полезна, если текстовые задачи давно не решались.

ФразаМатематическая записьПояснениеПример
равно=Две величины имеют одинаковое значениедлина = 5 м
не больше, не превышает≤Меньше или равноL ≤ 5
не меньше≥Больше или равноx ≥ 2
больше на 3x + 3К величине прибавляют 3длина на 3 м больше ширины
меньше на 3x - 3Из величины вычитают 3ширина на 3 м меньше длины
одновременносистема или пересечение условийВсе условия должны выполняться вместеx ≥ 0 и x ≤ 5
Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

На широком экране ошибки расположены в двух столбцах: 1-2-3 сверху вниз в первом, затем 4-5-6 сверху вниз во втором.

Ошибка 1. Сразу писать уравнение

Без обозначения переменной легко потерять смысл величины и её единицу измерения. Сначала напишите: «Пусть x - ...».

Ошибка 2. Забывать смысловое ограничение

Отрицательный корень квадратного уравнения может быть математически верным, но не может обозначать длину или площадь.

Ошибка 3. Считать ОДЗ готовым ответом

Область допустимых значений показывает только, где исходные выражения существуют. После этого ещё нужно решить модель.

Ошибка 4. Возводить в квадрат без контроля знаков

Для неравенств и некоторых уравнений это может нарушить равносильность. Сначала проверьте неотрицательность нужных частей.

Ошибка 5. Не проверять исходную запись

После возведения в чётную степень могут появиться посторонние значения. Проверяйте результат в исходной модели.

Ошибка 6. Писать ответ без единиц

В прикладной задаче число без единицы часто неполно. Пишите «5 м», «49 см²», если это следует из условия.

Практика с пошаговой проверкой

Сначала решите задания самостоятельно на бумаге. Затем откройте решение и сравните не только ответ, но и последовательность действий.

Задание 1. Диагональ

Прямоугольник имеет ширину x м и длину x + 1 м. Диагональ равна 5 м. Найдите стороны.

Открыть решение

Составляем √(x² + (x + 1)²) = 5, x > 0. После квадрата: 2x² + 2x + 1 = 25, то есть x² + x - 12 = 0. Корни 3 и -4. По смыслу x = 3. Стороны 3 м и 4 м.

Задание 2. Максимальное расстояние

Высота равна 12 м. Наклонный отрезок не должен быть длиннее 13 м. Найдите допустимое горизонтальное расстояние x ≥ 0.

Открыть решение

√(x² + 144) ≤ 13. После квадрата x² ≤ 25. Математически -5 ≤ x ≤ 5, но по смыслу x ≥ 0. Ответ: 0 ≤ x ≤ 5 м.

Задание 3. Система

Диагональ прямоугольника равна 17 см, а длина на 7 см больше ширины. Найдите стороны.

Открыть решение

Пусть ширина y, длина y + 7. Тогда √((y + 7)² + y²) = 17. После квадрата: 2y² + 14y - 240 = 0, или y² + 7y - 120 = 0. Корни 8 и -15. Подходит y = 8, длина 15. Проверка: √(15² + 8²) = √289 = 17.

Самостоятельная работа

За каждый полностью правильный пункт начислите 1 балл. В задачах с величинами ответ без нужной единицы считайте неполным.

Итоговая проверка

  1. Объясните своими словами, что такое математическая модель.
  2. Расшифруйте ОДЗ и объясните, зачем её находят.
  3. Какое смысловое ограничение обычно имеет переменная, обозначающая длину?
  4. Решите √(x² + 9) = 5 при условии x ≥ 0.
  5. Решите √(x² + 16) ≤ 5 при условии x ≥ 0.
  6. Прямоугольник имеет стороны x и x + 2, диагональ √40. Найдите x, если x > 0.
  7. Почему отрицательный корень квадратного уравнения иногда нужно отбросить в практической задаче?
  8. Назовите последнюю проверку, которую нужно выполнить после решения математической модели.
Открыть ответы и критерии
  1. Это математическая запись существенных связей между величинами задачи.
  2. ОДЗ - область допустимых значений; она показывает, при каких значениях переменной исходные выражения существуют.
  3. Обычно x > 0.
  4. x² + 9 = 25, x² = 16. С учётом x ≥ 0: x = 4.
  5. x² + 16 ≤ 25, x² ≤ 9. С учётом x ≥ 0: 0 ≤ x ≤ 3.
  6. x² + (x + 2)² = 40; 2x² + 4x - 36 = 0; x² + 2x - 18 = 0. Положительный корень x = -1 + √19. Он положителен, поэтому подходит.
  7. Потому что длина, площадь, время и некоторые другие величины по смыслу не могут быть отрицательными.
  8. Нужно вернуться к исходному условию, проверить смысл, единицы и сформулировать содержательный ответ.

7-8 баллов - материал усвоен уверенно. 5-6 - повторите алгоритм моделирования и смысловые ограничения. 3-4 - ещё раз разберите примеры 1-3. 0-2 - вернитесь к базовым понятиям и выполняйте каждый шаг письменно.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube повторяет методы решения иррациональных уравнений и систем на последовательности задач. Дополнительное видео YouTube содержит другой набор более развёрнутых примеров. Перед просмотром сформулируйте для себя, какой метод выбирается в каждом примере и почему.

Основное видео Rutube: обращайте внимание не только на преобразования, но и на выбор метода, ограничения и проверку результата.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация систематизирует методы решения иррациональных уравнений и неравенств. Используйте её как справочник перед самостоятельными задачами.

На что обратить внимание

  • как выбирается способ решения;
  • где появляются условия на переменную;
  • почему проверка является частью решения, а не необязательным дополнением.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивное упражнение помогает закрепить решение иррациональных уравнений. Выполняйте его после письменной практики.

Как работать

  • сначала определите область допустимых значений;
  • решайте на бумаге, а затем выбирайте ответ;
  • при ошибке найдите шаг, на котором нарушилось условие или появилась лишняя кандидатура.
Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте без подсказки, затем раскройте пояснение.

01Что называют математической моделью задачи?

Ответ: математическую запись существенных связей между величинами задачи с помощью переменных, формул, уравнений, неравенств или систем.

02Что означает сокращение ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений - все значения переменной, при которых исходные выражения имеют смысл.

03Почему ОДЗ может не совпадать со смысловыми ограничениями?

Ответ: ОДЗ определяется математической записью, а смысловые ограничения следуют из реальной величины. Например, корень может существовать при отрицательном x, но длина x отрицательной быть не может.

04Как переводится фраза «не больше пяти»?

Ответ: знаком ≤: величина меньше пяти или равна пяти.

05Почему после решения уравнения нужно вернуться к исходной задаче?

Ответ: чтобы проверить смысл результата, единицы измерения и все ограничения исходной ситуации.

06Когда удобно составлять систему?

Ответ: когда несколько неизвестных величин связаны несколькими условиями, которые должны выполняться одновременно.

07Что означает символ |a|?

Ответ: модуль числа a - его расстояние от нуля на числовой прямой; поэтому |a| всегда неотрицателен.

08Какой шаг должен быть последним в прикладной задаче?

Ответ: содержательная проверка и запись ответа с правильной единицей измерения.

Главное по уроку

Прикладная задача начинается не с преобразования формулы, а с понимания величин и их связей.

Математическая модель переводит условие задачи на язык переменных, формул, уравнений, неравенств или систем.

ОДЗ - область допустимых значений - отвечает за существование исходных математических выражений.

Смысловые ограничения следуют из природы величины: длина, площадь и расстояние не могут быть отрицательными.

После возведения в чётную степень найденные значения обязательно проверяют в исходной модели.

Окончательный ответ должен учитывать условие задачи и содержать нужную единицу измерения.

Следующий урок завершит тему 3 и будет посвящён обобщению и практикуму по арифметическим корням, иррациональным уравнениям и неравенствам.

38 Урок 38 Обобщение и практикум по арифметическим корням, иррациональным уравнениям и неравенствам Открыть урокСвернуть урок

Урок 38. Обобщение и практикум по арифметическим корням, иррациональным уравнениям и неравенствам

Это завершающий урок темы 3. Его задача - не ввести новую формулу, а собрать изученное в единую систему. Если вы давно изучали эту тему, не пытайтесь вспомнить всё сразу. Сначала восстановите смысл обозначений, затем определите вид задания, выберите подходящий алгоритм и только после этого выполняйте вычисления.

35 минут основной работы

Что вы повторите и закрепите

К концу урока вы должны уметь не только выполнять отдельные действия, но и самостоятельно выбирать метод.

1

Работать с корнями

Вычислять и преобразовывать арифметические корни n-й степени, выносить и вносить множители.

2

Определять область допустимых значений

Понимать, при каких значениях переменной исходное выражение имеет смысл.

3

Решать иррациональные уравнения

Использовать возведение в степень, замену переменной, оценку и обязательную проверку.

4

Решать иррациональные неравенства

Учитывать знак обеих частей, ОДЗ и равносильность переходов.

5

Решать системы

Находить общие ограничения и проверять найденную пару значений в каждом условии системы.

6

Выбирать способ решения

Распознавать структуру задания и не применять возведение в квадрат механически.

Сначала восстановим обозначения

В математике короткая запись экономит место, но она полезна только тогда, когда понятен смысл каждого знака.

Запись Что означает Что нужно помнить
ⁿ√a n - показатель корня, a - подкоренное выражение. При чётном n в действительных числах требуется a ≥ 0. При нечётном n корень существует и для отрицательного a.
ОДЗ Область допустимых значений - все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. ОДЗ находят до опасных преобразований и учитывают при окончательном ответе.
⇔ Знак читается «равносильно». Он означает, что исходное и полученное условия имеют одинаковое множество решений. Возведение в чётную степень без контроля знаков не всегда является равносильным переходом.
|x| Модуль числа x - расстояние от точки x до нуля на числовой прямой. Модуль всегда неотрицателен. Например, √(x²) = |x|.
[a; b] Промежуток от a до b, причём обе границы входят в него. Квадратная скобка означает, что граничное значение включено.
(a; b) Промежуток от a до b без включения границ. Круглая скобка означает, что граничное значение не включено.
∞ Символ бесконечности. Он показывает, что промежуток не имеет конечной границы с этой стороны. Бесконечность не является числом, поэтому рядом с ∞ всегда ставят круглую скобку.
∪ Знак объединения. Он означает «берём значения из первого промежутка или из второго». Например, x < -2 или x > 3 записывают как (-∞; -2) ∪ (3; +∞).
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Карта темы: что делать в разных типах заданий

Главный навык итогового урока - по виду выражения понять, какой метод нужен.

1

Если нужно упростить выражение с корнями

Ищите полную n-ю степень под корнем, применяйте свойства произведения и частного, следите за модулем при чётном показателе.

2

Если дано иррациональное уравнение

Найдите область допустимых значений (ОДЗ), уедините радикал, проверьте знак второй части и только затем возводите обе части в нужную степень.

3

Если один и тот же корень повторяется

Рассмотрите замену переменной. Например, можно обозначить t = √F(x), где t - новая переменная и для квадратного корня t ≥ 0.

4

Если в уравнении несколько радикалов

Обычно один радикал уединяют, возводят обе части в степень, затем повторяют действие и обязательно проверяют полученные кандидаты.

5

Если дано иррациональное неравенство

Не начинайте с квадрата автоматически. Сначала найдите ОДЗ и определите знаки частей: только после этого выбирайте равносильный переход.

6

Если задача практическая

Сначала постройте математическую модель, затем решите её и в конце проверьте смысл ответа: длина, площадь, время и расстояние не могут иметь бессмысленные значения.

Мини-справочник по арифметическим корням

Формулы нельзя применять без условий. Особенно внимательно относитесь к корням чётной степени.

Свойство Запись Условие и пояснение
Корень из произведения ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b Для чётного n рассматривают неотрицательные подкоренные выражения.
Корень из частного ⁿ√(a/b) = ⁿ√a / ⁿ√b Знаменатель не должен быть равен нулю. Для чётного n дополнительно нужны условия существования корней.
Корень из n-й степени ⁿ√(aⁿ) При нечётном n получаем a. При чётном n получаем |a|, то есть модуль a.
Степень корня (ⁿ√a)ⁿ = a Выражение должно быть определено в действительных числах.
Корень из корня ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a Показатели корней перемножаются; одновременно учитываются условия существования исходных корней.
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Не путайте: √(a + b) обычно не равно √a + √b. Свойство распределения корня по сумме не существует.

Разбор 1. Упрощение выражения

Упростим √72.

Пример 1

Нужно вынести из-под корня полный квадрат.

Шаг 1. Разложим 72 на произведение: 72 = 36 · 2.

Шаг 2. Число 36 - полный квадрат, потому что 36 = 6².

Шаг 3. √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.

Ответ: 6√2.

Разбор 2. Иррациональное уравнение и посторонний корень

Решим уравнение √(x + 5) = x - 1.

Пример 2

Перед возведением в квадрат учитываем область допустимых значений и знак правой части.

Шаг 1. ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: x + 5 ≥ 0.

Шаг 2. Знак правой части. Левая часть - квадратный корень - неотрицательна. Поэтому необходимо x - 1 ≥ 0, то есть x ≥ 1.

Шаг 3. Возводим обе части в квадрат: x + 5 = (x - 1)².

Шаг 4. x + 5 = x² - 2x + 1, поэтому x² - 3x - 4 = 0.

Шаг 5. (x - 4)(x + 1) = 0. Кандидаты: x = 4 и x = -1.

Шаг 6. Условие x ≥ 1 выполняется только для x = 4.

Проверка: √(4 + 5) = 3, а 4 - 1 = 3.

Ответ: 4.

Разбор 3. Нечётный корень

Решим уравнение ∛(2x - 1) = 3.

Пример 3

Кубический корень имеет нечётный показатель 3 и существует для любого действительного подкоренного числа.

Шаг 1. Дополнительного ограничения вида «подкоренное выражение ≥ 0» здесь нет.

Шаг 2. Возводим обе части в третью степень: 2x - 1 = 27.

Шаг 3. 2x = 28, поэтому x = 14.

Проверка: ∛(2 · 14 - 1) = ∛27 = 3.

Ответ: 14.

Разбор 4. Иррациональное неравенство

Решим неравенство √(x + 2) ≤ 4.

Пример 4

Правая часть равна положительному числу, поэтому после нахождения ОДЗ можно безопасно сравнить квадраты.

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ). x + 2 ≥ 0, поэтому x ≥ -2.

Шаг 2. Обе части неотрицательны. Возводим их в квадрат: x + 2 ≤ 16.

Шаг 3. x ≤ 14.

Шаг 4. Одновременно должны выполняться x ≥ -2 и x ≤ 14.

Ответ: [-2; 14]. Квадратные скобки показывают, что обе границы входят в ответ.

Разбор 5. Простая система

Решим систему √(x + y) = 3 и x - y = 1.

Пример 5

Решением системы является пара значений, которая одновременно удовлетворяет обоим условиям.

Шаг 1. Из √(x + y) = 3 получаем x + y = 9.

Шаг 2. Вместе со вторым условием имеем систему x + y = 9 и x - y = 1.

Шаг 3. Складываем равенства: 2x = 10, поэтому x = 5.

Шаг 4. Тогда 5 + y = 9, поэтому y = 4.

Проверка: √(5 + 4) = 3 и 5 - 4 = 1.

Ответ: (5; 4).

Разбор 6. Практическая задача

Площадь квадрата равна 72 см². Найдите длину его стороны в точной форме.

Пример 6

Сначала строим математическую модель, затем упрощаем результат.

Шаг 1. Обозначим сторону квадрата через a. Площадь квадрата равна a².

Шаг 2. Получаем a² = 72.

Шаг 3. Длина не может быть отрицательной, поэтому a = √72.

Шаг 4. √72 = √(36 · 2) = 6√2.

Ответ: 6√2 см.

Типичные ошибки всей темы

Здесь важно не просто увидеть ошибку, а понять, какое правило было нарушено.

1. Забыли ОДЗ

Область допустимых значений проверяют до преобразований и снова учитывают при выборе окончательного ответа.

2. Потеряли модуль

При чётном показателе √(x²) = |x|, а не просто x.

3. «Разнесли» корень по сумме

Запись √(a + b) = √a + √b в общем случае неверна.

4. Возвели в квадрат без анализа знаков

Для неравенств и уравнений с квадратным корнем знак второй части принципиально важен.

5. Не проверили найденный корень

После возведения в чётную степень может появиться посторонний корень, не подходящий исходному уравнению.

6. Забыли смысл задачи

Даже математически допустимое отрицательное значение может быть невозможно, если речь идёт о длине, площади или времени.

Итоговый практикум

Сначала попробуйте выполнить задания самостоятельно. Решение открывайте только после своей попытки.

Задание 1. Упростите √75

Показать решение

75 = 25 · 3, поэтому √75 = √25 · √3 = 5√3.

Ответ: 5√3.

Задание 2. Вычислите ⁴√81

Показать решение

81 = 3⁴. Арифметический корень чётной степени неотрицателен.

Ответ: 3.

Задание 3. Решите √(x - 2) = 5

Показать решение

ОДЗ - область допустимых значений: x ≥ 2.

Возводим обе части в квадрат: x - 2 = 25, поэтому x = 27.

Проверка: √25 = 5.

Ответ: 27.

Задание 4. Решите √(x + 6) = x

Показать решение

Так как квадратный корень неотрицателен, необходимо x ≥ 0.

После возведения в квадрат получаем x + 6 = x², то есть x² - x - 6 = 0.

(x - 3)(x + 2) = 0. Кандидаты: 3 и -2.

Условие x ≥ 0 оставляет только x = 3.

Ответ: 3.

Задание 5. Решите √(2x + 1) ≤ 3

Показать решение

ОДЗ: 2x + 1 ≥ 0, поэтому x ≥ -1/2.

Обе части неотрицательны: 2x + 1 ≤ 9, откуда x ≤ 4.

Пересекаем условия: -1/2 ≤ x ≤ 4.

Ответ: [-1/2; 4].

Задание 6. Решите ∛(x + 1) > 2

Показать решение

Кубический корень возрастает на всей числовой прямой. Возводим обе части в третью степень.

x + 1 > 8, поэтому x > 7.

Ответ: (7; +∞). Символ +∞ показывает отсутствие конечной правой границы.

Задание 7. Освободите знаменатель от корня: 1/√3

Показать решение

Умножаем числитель и знаменатель на √3:

1/√3 = √3/(√3 · √3) = √3/3.

Ответ: √3/3.

Задание 8. Решите систему √(x + y) = 4 и x - y = 2

Показать решение

Из первого условия x + y = 16.

Вместе с x - y = 2 получаем 2x = 18, поэтому x = 9.

Тогда y = 7.

Проверка: √(9 + 7) = 4 и 9 - 7 = 2.

Ответ: (9; 7).

Как проверить себя перед завершением темы

Используйте этот список как алгоритм самоконтроля.

1

Я понимаю все обозначения

Могу своими словами объяснить, что такое показатель корня, подкоренное выражение и область допустимых значений.

2

Я умею находить ОДЗ

Особенно для корней чётной степени и выражений, содержащих знаменатели.

3

Я не возводю в квадрат автоматически

Сначала проверяю знаки частей и понимаю, будет ли переход равносильным.

4

Я проверяю ответы

После чётной степени подставляю найденные значения в исходное уравнение или условие.

5

Я могу выбрать метод

Различаю простое возведение в степень, повторное возведение, замену переменной, оценку и решение системы.

6

Я учитываю смысл

В практической задаче проверяю единицы измерения и реальный смысл найденного значения.

Видео

Сначала посмотрите основной обзор, затем используйте дополнительное видео как практическое закрепление.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на общий алгоритм решения уравнений, неравенств и систем.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • Сравните способ решения с алгоритмом из урока.
  • Следите, где вводятся ограничения.
  • Поставьте видео на паузу перед каждым ответом и попробуйте продолжить самостоятельно.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

Используйте презентацию как краткий конспект методов решения иррациональных уравнений и неравенств.

На что обратить внимание

  • как различаются методы решения иррациональных уравнений;
  • почему условия равносильности особенно важны для неравенств;
  • как проверка знаний по теме строится на выборе метода, а не на одной формуле.
Открыть презентацию

Интерактив

После практикума выполните интерактивное задание. Оно помогает проверить, насколько уверенно вы решаете иррациональные уравнения.

Как работать

  • сначала решите каждый пример на бумаге;
  • не угадывайте ответ по внешнему виду;
  • если ответ неверный, вернитесь к ОДЗ и проверке после возведения в чётную степень.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте своими словами. Затем откройте пояснение.

01Что такое область допустимых значений и зачем её находить?

Ответ: область допустимых значений (ОДЗ) - это все значения переменной, при которых исходные выражения имеют смысл. Она исключает значения, недопустимые уже в исходной записи.

02Почему √(x²) равно |x|, а не просто x?

Ответ: арифметический квадратный корень по определению неотрицателен. Модуль |x| тоже всегда неотрицателен и равен расстоянию от x до нуля.

03Когда после возведения в квадрат особенно нужна проверка?

Ответ: всегда, когда возведение в квадрат могло расширить множество решений. Проверка выполняется в исходном уравнении.

04Чем корень нечётной степени отличается от корня чётной степени?

Ответ: корень нечётной степени существует для любого действительного подкоренного числа. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

05Когда удобно использовать замену переменной?

Ответ: когда одно и то же сложное выражение или корень повторяется несколько раз и после замены уравнение или неравенство становится проще.

06Почему для иррационального неравенства нельзя всегда сразу возводить обе части в квадрат?

Ответ: сравнение квадратов сохраняет порядок только при соответствующих условиях на знаки. Поэтому сначала анализируют ОДЗ и знаки частей.

07Что означает знак ∪ в записи ответа?

Ответ: это знак объединения. Он означает, что подходят значения хотя бы из одного из указанных промежутков.

08Как понять, что тема действительно усвоена?

Ответ: вы можете без подсказки определить тип задания, назвать ограничения, выбрать метод, выполнить преобразования и объяснить, почему каждый шаг допустим.

Главное по теме 3

Арифметический корень n-й степени связан с возведением в n-ю степень как обратное действие при соответствующих условиях.

Для корней чётной степени особенно важны знак подкоренного выражения и модуль при извлечении корня из чётной степени.

ОДЗ - область допустимых значений - нужно понимать как часть решения, а не как формальную приписку.

Иррациональное уравнение можно решать возведением в степень, заменой переменной, оценкой и комбинацией методов.

После возведения в чётную степень найденные значения проверяют в исходном уравнении, потому что могут появиться посторонние корни.

В иррациональном неравенстве перед возведением в квадрат обязательно анализируют знаки обеих частей.

В системе решение должно удовлетворять всем её условиям одновременно.

В практической задаче математический ответ дополнительно проверяют по смыслу и записывают с нужной единицей измерения.

Тема 3 завершена. Перед переходом к следующей теме полезно ещё раз выполнить итоговый практикум без открытия решений.

Тема 4

ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Тригонометрическая окружность. Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус и арктангенс. Основные тригонометрические формулы, преобразование тригонометрических выражений и решение основных типов тригонометрических уравнений.

22 часа по программе
39-60 уроки темы
39 Урок 39 Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат Открыть урокСвернуть урок

Урок 39. Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат

Это первый урок темы 4 «Формулы тригонометрии. Тригонометрические уравнения». Урок рассчитан на самостоятельное изучение. Мы начнём с единичной окружности, направления поворота и двух способов измерять угол - в градусах и радианах. Все новые обозначения поясняются сразу.

35минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете переводить углы из градусов в радианы и обратно, определять направление поворота и находить положение точки на единичной окружности.

1

Единичная окружность

Поймёте, почему окружность радиуса 1 удобна для тригонометрии.

2

Поворот точки

Научитесь различать положительное и отрицательное направления поворота.

3

Градусная мера

Повторите, что означает знак ° и как градусы связаны с полным оборотом.

4

Радианная мера

Разберётесь, что такое один радиан и почему 180° соответствует π радианам.

5

Перевод единиц

Научитесь переводить градусы в радианы и радианы в градусы.

6

Четверти окружности

Будете определять, в какой четверти окажется точка после заданного поворота.

Новое слово: тригонометрия

Тригонометрия

Тригонометрия - раздел математики, в котором изучают углы и числовые зависимости, связанные с углами. В этой теме основным наглядным инструментом станет единичная окружность.

Сначала вспомним окружность и координатную плоскость

Окружность

Окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром окружности. Это одинаковое расстояние называется радиусом.

Единичная окружность

Единичной называется окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Начало координат обозначим буквой O. Запись O(0; 0) означает, что обе координаты точки O равны нулю.

Горизонтальная координатная ось обозначается Ox и называется осью абсцисс. Вертикальная ось обозначается Oy и называется осью ординат.

Положительная полуось Ox - часть оси Ox, расположенная справа от начала координат. Точка A(1; 0) лежит на этой полуоси. Запись A(1; 0) читается так: первая координата точки A равна 1, вторая равна 0. Эту точку будем считать начальным положением при повороте.

Почему радиус равен именно 1? При радиусе 1 длины дуг напрямую связаны с радианной мерой угла. Это сильно упрощает дальнейшие формулы.

Поворот точки вокруг начала координат

Представьте, что точка A(1; 0) движется по единичной окружности, а отрезок OA поворачивается вместе с ней.

Угол поворота

Угол поворота показывает, на сколько и в каком направлении повернулся луч, выходящий из точки O. Начальным лучом будем считать положительное направление оси Ox.

Положительный поворот

Поворот против часовой стрелки считают положительным.

Отрицательный поворот

Поворот по часовой стрелке считают отрицательным.

Полный оборот

После полного оборота точка возвращается в исходное положение. Один полный оборот равен 360°.

Несколько оборотов

Можно сделать больше одного полного оборота. Например, 450° = 360° + 90°.

Важно: знак «минус» перед углом не означает отрицательную длину. Он показывает направление поворота - по часовой стрелке.

Точная схема единичной окружности

На схеме точка M получена поворотом начальной точки A на 60° против часовой стрелки. Луч OM заканчивается точно на окружности.

O A M x y 60° поворот против часовой стрелки

Как читать схему

O - центр окружности и начало координат.

A - начальная точка A(1; 0).

M - конечная точка после поворота на 60°.

Буквы x и y у стрелок обозначают направления координатных осей Ox и Oy.

Дуга показывает направление положительного поворота.

Градусная мера угла

Градус

Градус - единица измерения угла. Знак ° после числа читается «градусов». Один полный оборот разделён на 360 равных частей, поэтому полный оборот равен 360°.

полный оборот = 360°половина оборота = 180°четверть оборота = 90°Например, угол 60° составляет шестую часть полного оборота.

Что такое радиан

В старших классах углы часто измеряют не только в градусах, но и в радианах.

Центральный угол

Центральным называется угол, вершина которого находится в центре окружности. Его стороны пересекают окружность и выделяют на ней дугу. Дуга окружности - часть окружности между двумя её точками.

Радианная мера

Радианная мера угла - способ измерения углов в радианах. Один радиан - это величина центрального угла, который опирается на дугу длиной, равной радиусу окружности. Сокращение рад означает «радиан».

Число π

Символ π читается «пи». Это математическая постоянная, то есть число с неизменным значением. π равно отношению длины любой окружности к её диаметру. Диаметр - отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две точки окружности. Приближённо π ≈ 3,14159. Знак ≈ читается «приблизительно равно».

Длина окружности радиуса 1 равна 2π. Поэтому полный оборот по единичной окружности соответствует 2π радианам, а половина оборота - π радианам.

360° = 2π рад180° = π рад90° = π/2 радЭто основные равенства, из которых выводятся все переводы между градусами и радианами.

Как переводить градусы в радианы

Используем равенство 180° = π рад. Число градусов умножаем на π и делим на 180.

Перевод из градусов в радианы: число градусов · π / 180Точка · означает умножение. После сокращения дроби получаем радианную меру. Слово «рад» в школьных формулах часто не пишут, например π/3 означает π/3 радиана.
1

Запишите число градусов

Например, нужно перевести 60°.

2

Умножьте на π/180

60° соответствует 60 · π/180 радиана.

3

Сократите дробь

60/180 = 1/3, поэтому 60° = π/3 рад.

Как переводить радианы в градусы

Действуем обратно: радианную меру умножаем на 180° и делим на π.

Перевод из радианов в градусы: радианная мера · 180° / πЕсли в радианной мере есть множитель π, он обычно сокращается.

Пример. Переведём π/4 рад в градусы

Используем обратный перевод.

π/4 · 180°/π = 180°/4 = 45°.

Ответ: π/4 рад = 45°.

Стандартные углы: таблица для запоминания

Не нужно запоминать два независимых ряда. Радианные значения всегда можно восстановить из формулы перевода.

ГрадусыРадианыДоля полного оборота
0°0начальное положение
30°π/61/12 оборота
45°π/41/8 оборота
60°π/31/6 оборота
90°π/21/4 оборота
120°2π/31/3 оборота
135°3π/43/8 оборота
150°5π/65/12 оборота
180°π1/2 оборота
270°3π/23/4 оборота
360°2π1 полный оборот
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Четверти координатной плоскости

Оси Ox и Oy делят плоскость на четыре части. Эти части называются координатными четвертями.

I четверть

Римская цифра I означает первую четверть. Для положительного поворота она расположена между 0° и 90°.

II четверть

Римская цифра II означает вторую четверть. Она расположена между 90° и 180°.

III четверть

Римская цифра III означает третью четверть. Она расположена между 180° и 270°.

IV четверть

Римская цифра IV означает четвёртую четверть. Она расположена между 270° и 360°.

Границы не относятся к четвертям. Точки, соответствующие 0°, 90°, 180°, 270° и 360°, лежат на координатных осях.

Несколько оборотов и отрицательные углы

Разные числовые значения угла могут приводить точку в одно и то же конечное положение.

Пример 1. Угол 450°

Определим конечное положение точки.

450° = 360° + 90°. После полного оборота точка вернулась в A, затем повернулась ещё на 90°.

Итог: конечное положение такое же, как у угла 90°.

Пример 2. Угол -90°

Минус показывает поворот по часовой стрелке.

От точки A поворачиваемся на четверть оборота по часовой стрелке. Точка окажется на отрицательной полуоси Oy.

-90° = -π/2 рад.

Пример 3. Угол 13π/6

Сравним его с полным оборотом 2π = 12π/6.

13π/6 = 12π/6 + π/6 = 2π + π/6.

После полного оборота остаётся π/6, то есть 30°.

Итог: конечное положение совпадает с положением для 30°.

Подробные примеры перевода

Пример 4. Переведите 180° в радианы

Это половина полного оборота.

180 · π/180 = π.

Ответ: 180° = π рад.

Пример 5. Переведите 45° в радианы

Применим формулу градусы · π/180.

45 · π/180 = π/4.

Ответ: 45° = π/4 рад.

Пример 6. Переведите 300° в радианы

Сокращаем дробь 300/180.

300 · π/180 = 5π/3.

Ответ: 300° = 5π/3 рад.

Пример 7. Переведите 2π/3 рад в градусы

Умножаем на 180°/π.

2π/3 · 180°/π = 2 · 60° = 120°.

Ответ: 120°.

Пример 8. Переведите -3π/4 рад в градусы

Отрицательный знак сохраняется.

-3π/4 · 180°/π = -3 · 45° = -135°.

Ответ: -135°.

Как определить четверть по углу

Если угол больше 360° или меньше 0°, сначала удобно убрать полные обороты.

1

Приведите угол к одному обороту

Прибавляйте или вычитайте 360° до тех пор, пока не получите угол от 0° до 360°. Для радианов аналогично прибавляют или вычитают 2π.

2

Сравните с границами

0°-90° - I четверть, 90°-180° - II, 180°-270° - III, 270°-360° - IV.

3

Проверьте, не попали ли на ось

Если угол равен одной из границ, точка лежит на оси, а не внутри четверти.

Пример 9. В какой четверти находится конечная точка для 760°?

Уберём два полных оборота.

760° - 720° = 40°.

40° находится между 0° и 90°, значит конечная точка лежит в I четверти.

Ответ: I четверть.

Типичные ошибки

1. Забыли множитель π

При переводе градусов в радианы нужно умножить число градусов на π/180, а не просто делить на 180.

2. Перепутали направление

Против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

3. Считают π обычной единицей измерения

π - число. Единица радианной меры называется радианом и сокращённо записывается «рад».

4. Пишут 90° как точку внутри I четверти

90° лежит на положительной полуоси Oy и не относится ни к I, ни ко II четверти.

5. Не убирают полный оборот

Угол 450° проще рассматривать как 360° + 90°: его конечное положение совпадает с 90°.

6. Смешивают градусы и радианы

Записи 60° и π/3 обозначают один и тот же угол, но используют разные единицы измерения.

Практика с подсказками

Сначала выполните задание самостоятельно, затем откройте решение.

Задание 1. Переведите 30° в радианы

Открыть решение

30 · π/180 = π/6.

Ответ: π/6 рад.

Задание 2. Переведите 225° в радианы

Открыть решение

225 · π/180 = 5π/4.

Ответ: 5π/4 рад.

Задание 3. Переведите π/6 рад в градусы

Открыть решение

π/6 · 180°/π = 30°.

Ответ: 30°.

Задание 4. Переведите 7π/6 рад в градусы

Открыть решение

7π/6 · 180°/π = 7 · 30° = 210°.

Ответ: 210°.

Задание 5. Определите четверть для 200°

Открыть решение

200° больше 180° и меньше 270°, поэтому точка находится в III четверти.

Ответ: III четверть.

Задание 6. Определите конечное положение для -450°

Открыть решение

-450° = -360° - 90°. После полного оборота по часовой стрелке остаётся ещё -90°.

Конечная точка лежит на отрицательной полуоси Oy.

Небольшая самостоятельная работа

Выполните без просмотра таблицы, затем сверяйтесь с ответами.

Итоговая проверка

  1. Переведите 120° в радианы.
  2. Переведите 315° в радианы.
  3. Переведите 5π/6 рад в градусы.
  4. В какой четверти находится конечная точка для 11π/6?
  5. Где окажется точка после поворота на 540°?
  6. Запишите -60° в радианах.
Открыть ответы и критерии
  1. 2π/3.
  2. 7π/4.
  3. 150°.
  4. IV четверть, потому что 11π/6 = 330°.
  5. 540° = 360° + 180°, поэтому точка окажется на отрицательной полуоси Ox.
  6. -π/3.

5-6 верных ответов - материал усвоен уверенно. 3-4 - повторите формулы перевода. 0-2 - вернитесь к определениям градуса, радиана и полному обороту.

Видео по теме урока

Основное видео Rutube подробно рассматривает радианную меру, тригонометрическую окружность, поворот точки и длину дуги окружности. Дополнительное видео YouTube сосредоточено на устройстве тригонометрического круга и работе с точками, поэтому материалы не дублируют друг друга полностью.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на смысл одного радиана, поворот точки и связь угла с дугой окружности.

Открыть основное видео на Rutube

Презентация

Презентация помогает ещё раз увидеть определение радиана и соответствие градусной и радианной мер.

На что обратить внимание

  • определение одного радиана через длину дуги;
  • равенство 180° = π рад;
  • примеры перевода стандартных углов;
  • связь радианной меры с единичной окружностью.
Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Упражнение LearningApps тренирует соответствие между градусной и радианной мерой угла.

Как работать

  • для каждого угла сначала самостоятельно выполните перевод;
  • соедините градусную и радианную записи;
  • при ошибке вернитесь к равенству 180° = π рад и пересчитайте.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

Ответьте своими словами, затем откройте пояснение.

01Что называется единичной окружностью?

Ответ: окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

02Какое направление поворота считается положительным?

Ответ: против часовой стрелки.

03Что означает знак °?

Ответ: это знак градуса, единицы измерения угла. Полный оборот равен 360°.

04Что такое один радиан?

Ответ: величина центрального угла, который опирается на дугу длиной, равной радиусу окружности.

05Что означает символ π?

Ответ: π - число «пи», равное отношению длины окружности к её диаметру. Приближённо π ≈ 3,14159.

06Сколько радиан содержит половина полного оборота?

Ответ: π радиан, поэтому 180° = π рад.

07Как перевести градусы в радианы?

Ответ: умножить число градусов на π и разделить на 180.

08Почему углы 30° и 390° имеют одинаковое конечное положение точки?

Ответ: 390° = 360° + 30°. Дополнительные 360° дают один полный оборот и возвращают точку в исходное положение.

Главное по уроку

Единичная окружность имеет центр O(0; 0) и радиус 1.

Начальным положением удобно считать точку A(1; 0) на положительной полуоси Ox.

Поворот против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке - отрицательным.

Полный оборот равен 360° или 2π радиан.

Один радиан - центральный угол, опирающийся на дугу длиной, равной радиусу.

π - число «пи»; основное соотношение между единицами: 180° = π рад.

Для перевода градусов в радианы число градусов умножают на π/180.

Для перевода радианов в градусы радианную меру умножают на 180°/π.

Углы, отличающиеся на один или несколько полных оборотов, могут иметь одно и то же конечное положение точки.

Следующий урок - «Определение синуса, косинуса и тангенса числового аргумента».

40 Урок 40 Определение синуса, косинуса и тангенса числового аргумента Открыть урокСвернуть урок

Урок 40. Определение синуса, косинуса и тангенса числового аргумента

На прошлом уроке мы научились задавать поворот точки на единичной окружности числом, измеренным в радианах. Теперь координаты полученной точки превратятся в три важные величины: косинус, синус и тангенс. Эти определения будут использоваться во всех следующих уроках по тригонометрии.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

Все цели урока связаны с одной единичной окружностью и координатами точки на ней.

1

Понимать новые обозначения

Читать записи sin t, cos t и tg t и объяснять, что означает каждая из них.

2

Находить синус и косинус

Определять их по координатам точки на единичной окружности.

3

Находить тангенс

Использовать отношение sin t к cos t и помнить условие cos t ≠ 0.

4

Определять знаки

По четверти окружности устанавливать знаки синуса, косинуса и тангенса.

5

Работать с осевыми точками

Знать значения функций для 0, π/2, π, 3π/2 и 2π.

6

Проверять результат

Использовать координаты точки и основное равенство x² + y² = 1.

Сначала вспомним единичную окружность

Единичная окружность - окружность с центром в начале координат O(0; 0) и радиусом 1. Начальная точка поворота находится в точке A(1; 0) на положительной полуоси Ox.

Буквой t будем обозначать число, задающее величину поворота в радианах. После поворота на число t получаем точку M на единичной окружности.

Запись M(x; y) означает, что x - первая координата точки M по горизонтальной оси Ox, а y - вторая координата по вертикальной оси Oy.

Важно

Поскольку радиус окружности равен 1, координаты любой её точки удовлетворяют равенству x² + y² = 1. Это следует из теоремы Пифагора.

Три новых обозначения

При первом знакомстве полезно запомнить не формулы отдельно, а их геометрический смысл.

sin t - синус числа t

Обозначение sin читается «синус». Синус равен второй координате y точки M: sin t = y.

cos t - косинус числа t

Обозначение cos читается «косинус». Косинус равен первой координате x точки M: cos t = x.

tg t - тангенс числа t

Обозначение tg читается «тангенс». В российской школьной записи используют tg, а в некоторых зарубежных источниках можно встретить tan.

≠ - знак «не равно»

Например, условие cos t ≠ 0 означает, что значение косинуса не должно быть равно нулю.

cos t = x sin t = y tg t = sin t / cos t = y / x для тангенса обязательно x ≠ 0, то есть cos t ≠ 0

Как увидеть синус и косинус на окружности

На рисунке взят угол 60°, то есть π/3 радиан. Точка M имеет точные координаты (1/2; √3/2).

Единичная окружность и точка для угла 60 градусов Точка M с координатами одна вторая и корень из трёх делённый на два лежит на единичной окружности. x y O M(1/2; √3/2) 60° cos t = 1/2 sin t = √3/2 1 1

Почему определения работают

Горизонтальная координата точки M равна 1/2. Поэтому cos(π/3) = 1/2.

Вертикальная координата точки M равна √3/2. Поэтому sin(π/3) = √3/2.

Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg(π/3) = (√3/2) / (1/2) = √3.

Здесь π/3 радиан - тот же поворот, что 60°. Число π было введено в предыдущем уроке: π ≈ 3,14159.

Почему синус - это y, а косинус - это x

В прямоугольном треугольнике вы раньше встречали синус как отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус - как отношение прилежащего катета к гипотенузе.

На единичной окружности гипотенуза имеет длину 1, потому что это радиус окружности. Поэтому деление на гипотенузу ничего не изменяет:

sin t = y / 1 = y cos t = x / 1 = x
Главная идея: единичная окружность позволяет определить синус и косинус не только для острых углов прямоугольного треугольника, но и для любого действительного числа t.

Когда тангенс не существует

Тангенс определяется формулой tg t = sin t / cos t. Делить на ноль нельзя. Поэтому тангенс существует только тогда, когда cos t ≠ 0.

На единичной окружности cos t - это x-координата. Она равна нулю в верхней и нижней точках окружности: при поворотах π/2 и 3π/2 радиан, а также после любого целого числа полных оборотов от этих точек.

Запомните: tg(π/2) и tg(3π/2) не существуют, потому что в этих точках cos t = 0.

Знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям

Четверть - одна из четырёх частей координатной плоскости, на которые её делят оси Ox и Oy.

Четверть Знак x = cos t Знак y = sin t Знак tg t = y/x Почему
I + + + Обе координаты положительны.
II - + - Положительное число делим на отрицательное.
III - - + Отрицательное число делим на отрицательное.
IV + - - Отрицательное число делим на положительное.
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Знак функции не нужно заучивать отдельно от геометрии. Достаточно помнить: cos t - это x, sin t - это y, tg t - это y/x.

Значения в основных точках окружности

Поворот Точка M(x; y) cos t sin t tg t
0 (1; 0) 1 0 0
π/2 (0; 1) 0 1 не существует
π (-1; 0) -1 0 0
3π/2 (0; -1) 0 -1 не существует
2π (1; 0) 1 0 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм: как найти sin t, cos t и tg t по точке

1

Запишите координаты точки

Если после поворота получили M(x; y), сначала выпишите отдельно x и y.

2

Найдите косинус

Косинус равен первой координате: cos t = x.

3

Найдите синус

Синус равен второй координате: sin t = y.

4

Проверьте косинус перед тангенсом

Если x = 0, то cos t = 0 и тангенс не существует.

5

Если x ≠ 0, найдите тангенс

Вычислите tg t = y/x.

6

Проверьте координаты

Для точки единичной окружности должно выполняться x² + y² = 1.

Подробные примеры

Пример 1. Точка M(3/5; 4/5)

Найдём синус, косинус и тангенс.

Косинус: cos t = x = 3/5.

Синус: sin t = y = 4/5.

Тангенс: tg t = (4/5)/(3/5) = 4/3.

Проверка точки: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.

Пример 2. Точка M(-3/5; 4/5)

Точка находится во II четверти.

cos t = -3/5, потому что x отрицателен.

sin t = 4/5, потому что y положителен.

tg t = (4/5)/(-3/5) = -4/3.

Вывод: во II четверти синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

Пример 3. Поворот t = π

Найдём функции без вычислений.

Повороту π соответствует левая точка окружности M(-1; 0).

Поэтому cos π = -1, sin π = 0.

tg π = 0/(-1) = 0.

Пример 4. Поворот t = π/2

Почему тангенс не определён?

Точка M имеет координаты (0; 1).

cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1.

Формула тангенса дала бы 1/0, а деление на ноль не определено.

Ответ: tg(π/2) не существует.

Пример 5. Известно sin t = -5/13 и cos t = 12/13

Найдём тангенс и определим четверть.

tg t = (-5/13)/(12/13) = -5/12.

Косинус положителен, а синус отрицателен. Значит точка находится в IV четверти.

Пример 6. Известно cos t = -8/17, sin t = -15/17

Проверим данные и найдём тангенс.

(-8/17)² + (-15/17)² = 64/289 + 225/289 = 1. Данные подходят точке единичной окружности.

tg t = (-15/17)/(-8/17) = 15/8.

Обе координаты отрицательны, поэтому точка находится в III четверти.

Типичные ошибки

Проверяйте не только вычисления, но и смысл определения.

1. Перепутали sin и cos

На единичной окружности cos t = x, а sin t = y. Косинус связан с горизонтальной координатой.

2. Посчитали tg t как x/y

Правильно: tg t = y/x = sin t / cos t.

3. Разделили на ноль

Если cos t = 0, тангенс не существует.

4. Определили знак по памяти и ошиблись

Лучше восстановить координаты: знак cos совпадает со знаком x, знак sin - со знаком y.

5. Решили, что sin или cos могут быть больше 1

Координаты точки единичной окружности лежат от -1 до 1, поэтому sin t и cos t тоже лежат от -1 до 1.

6. Забыли, что число t может быть отрицательным

Отрицательное t задаёт поворот по часовой стрелке. Определения sin, cos и tg при этом не меняются.

Практика с подсказками

Задание 1. Точка M(0; -1)

Найдите sin t, cos t и определите, существует ли tg t.

Показать решение

cos t = 0, sin t = -1. Так как cos t = 0, тангенс не существует.

Задание 2. Точка M(-5/13; 12/13)

Найдите три функции и укажите четверть.

Показать решение

cos t = -5/13, sin t = 12/13, tg t = -12/5. Точка находится во II четверти.

Задание 3. t = 3π/2

Найдите sin t, cos t и tg t.

Показать решение

Точка M(0; -1). Поэтому sin t = -1, cos t = 0, а tg t не существует.

Задание 4. sin t = 3/5, cos t = -4/5

Найдите tg t и четверть.

Показать решение

tg t = (3/5)/(-4/5) = -3/4. Синус положителен, косинус отрицателен, значит это II четверть.

Самостоятельная работа

Решите без подсказки, затем откройте ответы.

1. M(7/25; 24/25)

Найдите sin t, cos t и tg t.

Показать ответ

Ответ: sin t = 24/25, cos t = 7/25, tg t = 24/7.

2. M(-1; 0)

Найдите значения функций.

Показать ответ

Ответ: sin t = 0, cos t = -1, tg t = 0.

3. cos t > 0 и sin t < 0

В какой четверти находится точка?

Показать ответ

Ответ: IV четверть.

4. cos t = 0

Что можно сказать о tg t?

Показать ответ

Ответ: тангенс не существует, потому что его формула требует деления на cos t.

Видео

Основное видео разбирает тригонометрические функции числового аргумента, синус, косинус и тангенс. Дополнительное видео показывает те же определения непосредственно на единичной окружности.

Основное видео Rutube. Особенно внимательно посмотрите части о тригонометрических функциях числового аргумента, синусе, косинусе и тангенсе.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • найдите на окружности x-координату и y-координату точки;
  • свяжите x с косинусом, а y с синусом;
  • отдельно отметьте случаи, когда тангенс не существует.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

Презентация помогает ещё раз увидеть определения тригонометрических функций на единичной окружности.

На что обратить внимание

  • как координаты M(x; y) связаны с sin и cos;
  • как по четверти определить знаки функций;
  • почему тангенс зависит от отношения двух координат.
Открыть презентацию

Интерактив

После теории выполните упражнение по тригонометрическим функциям.

Как работать

  • сначала определяйте функцию самостоятельно;
  • если сомневаетесь, возвращайтесь к координатам точки;
  • ошибки используйте как подсказку, какое определение нужно повторить.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает запись cos t?

Ответ: это косинус числа t. На единичной окружности он равен x-координате точки, полученной после поворота на t радиан.

02Что означает запись sin t?

Ответ: это синус числа t. Он равен y-координате соответствующей точки единичной окружности.

03Как найти tg t?

Ответ: tg t = sin t / cos t = y/x, если cos t ≠ 0.

04Когда тангенс не существует?

Ответ: когда cos t = 0, потому что тогда в формуле тангенса пришлось бы делить на ноль.

05Какие значения могут принимать sin t и cos t?

Ответ: от -1 до 1 включительно, потому что это координаты точки единичной окружности.

06Каков знак тангенса в III четверти?

Ответ: положительный. В III четверти и x, и y отрицательны, а отношение двух отрицательных чисел положительно.

07Чему равны sin π и cos π?

Ответ: точка для поворота π имеет координаты (-1; 0), поэтому sin π = 0, cos π = -1.

08Как проверить, что числа x и y могут быть координатами точки единичной окружности?

Ответ: проверить равенство x² + y² = 1.

Главное по уроку

Если точка единичной окружности после поворота t имеет координаты M(x; y), то cos t = x и sin t = y.

tg t = sin t / cos t = y/x, но только при cos t ≠ 0.

Синус и косинус всегда находятся в промежутке от -1 до 1 включительно.

Знаки функций определяются знаками координат точки в соответствующей четверти.

Для любой точки единичной окружности выполняется x² + y² = 1.

Следующий урок: «Знаки синуса, косинуса и тангенса. Значения тригонометрических функций некоторых углов».

41 Урок 41 Знаки синуса, косинуса и тангенса. Значения тригонометрических функций некоторых углов Открыть урокСвернуть урок

Урок 41. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Значения тригонометрических функций некоторых углов

На прошлом уроке мы определили синус, косинус и тангенс через координаты точки единичной окружности. Теперь научимся быстро определять их знаки и находить точные значения для наиболее часто встречающихся углов. Главная цель - не заучить таблицу механически, а понимать, откуда каждое значение берётся.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Определять знаки

По четверти единичной окружности находить знак sin t, cos t и tg t.

2

Работать с основными углами

Знать значения для 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

3

Переходить к радианам

Связывать 30° с π/6, 45° с π/4, 60° с π/3 и 90° с π/2.

4

Восстанавливать таблицу

Получать значения синуса и косинуса по закономерности, а не только по памяти.

5

Использовать четверти

Переносить известное значение острого угла на другие четверти с правильным знаком.

6

Проверять себя

Использовать равенство sin²t + cos²t = 1 для контроля значений.

Повторяем обозначения

Буквой t обозначаем число, задающее поворот точки на единичной окружности. Если после поворота получена точка M(x; y), то cos t = x, а sin t = y.

Тангенс определяется формулой tg t = sin t / cos t, если cos t ≠ 0. Символ ≠ читается «не равно».

Знак π читается «пи». Число π приблизительно равно 3,14159. В радианной мере π соответствует 180°.

30° = π/6 45° = π/4 60° = π/3 90° = π/2

Почему знаки зависят от четверти

Четверть - одна из четырёх частей координатной плоскости, на которые её делят оси Ox и Oy. Поскольку cos t = x, sin t = y, а tg t = y/x, знаки функций следуют из знаков координат.

Четверть Диапазон углов cos t sin t tg t Объяснение
I от 0° до 90° + + + x > 0, y > 0
II от 90° до 180° - + - x < 0, y > 0
III от 180° до 270° - - + x < 0, y < 0
IV от 270° до 360° + - - x > 0, y < 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Не заучивайте знаки отдельно: вспомните координаты. Косинус имеет знак x, синус имеет знак y, тангенс имеет знак отношения y/x.

Как получить значения для 30° и 60°

Возьмём равносторонний треугольник со стороной 2. Все его углы равны 60°. Проведём высоту. Она разделит треугольник на два прямоугольных треугольника.

Гипотенуза каждого полученного треугольника равна 2, один катет равен 1, а второй катет по теореме Пифагора равен √3.

Символ √3 означает арифметический квадратный корень из 3. Это положительное число, квадрат которого равен 3.

sin 30° = 1/2 cos 30° = √3/2 tg 30° = 1/√3 = √3/3 sin 60° = √3/2 cos 60° = 1/2 tg 60° = √3
Углы 30° и 60° дополняют друг друга до 90°. Поэтому значения синуса и косинуса у них меняются местами.

Как получить значения для 45°

Возьмём прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами 1 и 1. Оба острых угла равны 45°.

По теореме Пифагора гипотенуза равна √2. Поэтому sin 45° = 1/√2 и cos 45° = 1/√2.

Освобождая знаменатель от корня, получаем 1/√2 = √2/2. Тангенс равен отношению одинаковых катетов, поэтому tg 45° = 1.

sin 45° = √2/2 cos 45° = √2/2 tg 45° = 1

Основная таблица значений

Эту таблицу нужно понимать и постепенно запомнить. Значения даны одновременно в градусах и радианах.

Угол 0° 30° 45° 60° 90°
Радианы 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin t 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cos t 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tg t 0 √3/3 1 √3 не существует
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Удобный способ восстановить синусы и косинусы

Для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° значения синуса можно восстановить по простой последовательности.

1

Запишите числа 0, 1, 2, 3, 4

Они соответствуют углам 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

2

Извлеките квадратный корень

Получаем √0, √1, √2, √3, √4.

3

Разделите каждое значение на 2

Получаем 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Это строка синусов.

4

Для косинусов прочитайте строку в обратном порядке

Получаем 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0.

5

Тангенс вычисляйте, а не заучивайте

Используйте tg t = sin t / cos t.

Как перенести значение в другую четверть

Значения для 30°, 45° и 60° служат опорными. В других четвертях модуль значения часто остаётся тем же, но знак определяется четвертью.

Опорный угол

Опорный угол - острый угол между конечной стороной поворота и ближайшей осью Ox. Он помогает определить модуль значения тригонометрической функции.

Пример 1. sin 150°

Угол 150° находится во II четверти.

Опорный угол равен 180° - 150° = 30°.

Во II четверти синус положителен.

Поэтому sin 150° = sin 30° = 1/2.

Пример 2. cos 150°

Опорный угол снова 30°.

Во II четверти косинус отрицателен.

Поэтому cos 150° = -cos 30° = -√3/2.

Пример 3. tg 225°

225° находится в III четверти.

Опорный угол равен 225° - 180° = 45°.

В III четверти тангенс положителен.

Поэтому tg 225° = tg 45° = 1.

Пример 4. sin 330°

330° находится в IV четверти.

Опорный угол равен 360° - 330° = 30°.

В IV четверти синус отрицателен.

Поэтому sin 330° = -sin 30° = -1/2.

Типичные ошибки

1. Перепутали строки sin и cos

Синус возрастает от 0 до 1 на промежутке 0°-90°, а косинус убывает от 1 до 0.

2. Забыли знак четверти

Даже если опорный угол равен 30°, знак функции определяется положением точки на окружности.

3. Считали tg 90°

tg 90° не существует, потому что cos 90° = 0 и пришлось бы делить на ноль.

4. Перепутали π/3 и π/6

π/6 = 30°, а π/3 = 60°. Помните: π = 180°.

5. Потеряли корень

sin 45° = √2/2, а не 2/2.

6. Поставили знак по значению угла

Знак зависит не от того, большое или маленькое число угла, а от четверти конечной точки.

Практика с подсказками

Задание 1. Найдите sin 60° и cos 60°

Показать решение

По основной таблице: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.

Задание 2. Найдите tg 45°

Показать решение

tg 45° = sin 45° / cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1.

Задание 3. Найдите cos 120°

Показать решение

120° находится во II четверти, опорный угол 60°. Косинус во II четверти отрицателен.

Ответ: cos 120° = -1/2.

Задание 4. Найдите sin 315°

Показать решение

315° находится в IV четверти, опорный угол 45°. Синус отрицателен.

Ответ: sin 315° = -√2/2.

Самостоятельная работа

1. Найдите sin 30°, cos 30°, tg 30°

Показать ответ

Ответ: 1/2; √3/2; √3/3.

2. Найдите cos 135°

Показать ответ

Ответ: -√2/2.

3. Найдите tg 240°

Показать ответ

Ответ: √3.

4. Найдите sin 300°

Показать ответ

Ответ: -√3/2.

Видео

Основное видео повторяет связь тригонометрических функций с единичной окружностью. Дополнительное видео отдельно выводит значения для 30°, 45° и 60°.

Основное видео Rutube. Следите, как по положению точки определяются знак и значение функции.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • разберите происхождение значений 1/2, √2/2 и √3/2;
  • не заучивайте таблицу до понимания вывода;
  • после видео восстановите таблицу самостоятельно.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как выводятся значения для 30°, 45° и 60°;
  • как устроена итоговая таблица;
  • как синус и косинус меняются местами для дополнительных углов.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала вспомните значение без подсказки;
  • если забыли, восстановите строку через корни 0, 1, 2, 3, 4;
  • после ошибки объясните себе, почему правильный ответ именно такой.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Почему во II четверти cos t отрицателен?

Ответ: cos t равен x-координате, а во II четверти x < 0.

02Почему в III четверти tg t положителен?

Ответ: и sin t, и cos t отрицательны, а отношение двух отрицательных чисел положительно.

03Чему равен sin 30°?

Ответ: 1/2.

04Чему равен cos 45°?

Ответ: √2/2.

05Почему tg 90° не существует?

Ответ: cos 90° = 0, а в формуле tg t = sin t / cos t нельзя делить на ноль.

06Как перевести 60° в радианы?

Ответ: 60° = 60π/180 = π/3.

07Как восстановить строку синусов для 0°, 30°, 45°, 60°, 90°?

Ответ: взять √0, √1, √2, √3, √4 и каждое значение разделить на 2.

08Чему равен sin 150° и почему?

Ответ: 1/2. Опорный угол равен 30°, а во II четверти синус положителен.

Главное по уроку

Знаки sin t, cos t и tg t определяются знаками координат точки на единичной окружности.

Основные углы, значения которых нужно знать: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2.

Синусы можно восстановить по последовательности √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2.

Косинусы для тех же углов идут в обратном порядке.

Тангенс удобнее вычислять по формуле tg t = sin t / cos t.

Следующий урок: «Основное тригонометрическое тождество. Связь между синусом, косинусом и тангенсом».

42 Урок 42 Основное тригонометрическое тождество. Связь между синусом, косинусом и тангенсом Открыть урокСвернуть урок

Урок 42. Основное тригонометрическое тождество. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

В предыдущих уроках мы определили синус и косинус как координаты точки единичной окружности, а тангенс - как отношение синуса к косинусу. Теперь эти определения объединим в несколько формул. Они позволяют находить одну тригонометрическую функцию через другую и упрощать выражения.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать тождество

Разберётесь, чем тождество отличается от уравнения.

2

Выводить основную формулу

Получите sin²t + cos²t = 1 из уравнения единичной окружности.

3

Находить неизвестную функцию

Определять синус по косинусу и косинус по синусу с учётом знака четверти.

4

Связывать функции с тангенсом

Использовать tg t = sin t / cos t и 1 + tg²t = 1/cos²t.

5

Преобразовывать выражения

Заменять sin²t на 1 - cos²t и наоборот.

6

Контролировать ограничения

Помнить, когда формулы с делением на cos t допустимы.

Новые слова и обозначения

Тождество

Тождество - равенство, которое верно при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Например, равенство a + 0 = a является тождеством.

Запись sin²t означает (sin t)², то есть квадрат значения синуса. Она не означает sin(t²).

Аналогично, cos²t = (cos t)², а tg²t = (tg t)².

Символ ≠ читается «не равно». Условие cos t ≠ 0 означает, что косинус не должен быть равен нулю.

Почему это важно: в тригонометрии степень обычно пишут между названием функции и аргументом: sin²t, cos²t, tg²t.

Откуда берётся основное тригонометрическое тождество

Пусть после поворота на число t точка единичной окружности имеет координаты M(x; y).

Для единичной окружности выполняется равенство x² + y² = 1, потому что расстояние от начала координат O до точки M равно 1.

По определению x = cos t, а y = sin t. Подставим эти значения вместо x и y.

x² + y² = 1 cos²t + sin²t = 1 sin²t + cos²t = 1
Основное тригонометрическое тождество

sin²t + cos²t = 1. Оно верно для любого действительного числа t.

Что можно получить из основного тождества

Из одного равенства легко выразить квадрат синуса или квадрат косинуса.

sin²t = 1 - cos²t cos²t = 1 - sin²t

Эти формулы говорят о квадратах функций. Если затем нужно найти сам sin t или cos t, возникает квадратный корень и нужно определить знак по четверти.

Не теряйте знак: если cos²t = 9/25, то cos t может быть 3/5 или -3/5. Какой знак нужен, определяют по четверти.

Алгоритм: как найти косинус по известному синусу

1

Запишите основное тождество

sin²t + cos²t = 1.

2

Выразите cos²t

cos²t = 1 - sin²t.

3

Подставьте известное значение

Сначала найдите квадрат синуса, затем выполните вычитание.

4

Извлеките квадратный корень

Получите два возможных знака: положительный и отрицательный.

5

Определите нужный знак

Используйте четверть: cos t положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.

Связь с тангенсом

По определению tg t = sin t / cos t. Эта формула имеет смысл только при cos t ≠ 0, потому что делить на ноль нельзя.

Из основного тригонометрического тождества можно получить ещё одну полезную формулу. Для этого разделим обе части равенства sin²t + cos²t = 1 на cos²t.

sin²t/cos²t + cos²t/cos²t = 1/cos²t tg²t + 1 = 1/cos²t 1 + tg²t = 1/cos²t
Условие применимости

Формула 1 + tg²t = 1/cos²t используется только при cos t ≠ 0. При cos t = 0 тангенс вообще не определён.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Проверка основного тождества

Пусть sin t = 3/5, cos t = 4/5.

sin²t + cos²t = (3/5)² + (4/5)².

= 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1.

Вывод: значения согласуются с основным тригонометрическим тождеством.

Пример 2. Найти cos t

Известно sin t = 3/5, точка находится в I четверти.

cos²t = 1 - sin²t = 1 - 9/25 = 16/25.

Отсюда cos t = 4/5 или cos t = -4/5.

В I четверти косинус положителен.

Ответ: cos t = 4/5.

Пример 3. Найти sin t и tg t

Известно cos t = -12/13, точка находится во II четверти.

sin²t = 1 - cos²t = 1 - 144/169 = 25/169.

Во II четверти синус положителен, поэтому sin t = 5/13.

tg t = (5/13)/(-12/13) = -5/12.

Ответ: sin t = 5/13, tg t = -5/12.

Пример 4. Найти sin t и cos t по тангенсу

Известно tg t = -2, точка находится в IV четверти.

Используем 1 + tg²t = 1/cos²t.

1 + 4 = 1/cos²t, значит cos²t = 1/5.

В IV четверти cos t > 0, поэтому cos t = 1/√5 = √5/5.

tg t = sin t / cos t, значит sin t = tg t · cos t.

sin t = -2 · √5/5 = -2√5/5.

Ответ: cos t = √5/5, sin t = -2√5/5.

Пример 5. Упростить выражение

(1 - sin²t)/cos t, если cos t ≠ 0.

По основному тождеству 1 - sin²t = cos²t.

Получаем cos²t/cos t.

Так как cos t ≠ 0, сокращаем на cos t.

Ответ: cos t.

Пример 6. Проверка табличных значений

Проверим t = π/6, то есть 30°.

sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2.

sin²(π/6) + cos²(π/6) = 1/4 + 3/4 = 1.

Вывод: основное тождество выполняется.

Справочная таблица

Формула Когда использовать Что обязательно проверить
sin²t + cos²t = 1 Для любого действительного t Дополнительных ограничений нет
sin²t = 1 - cos²t Когда известен cos t и нужен sin t Знак sin t по четверти
cos²t = 1 - sin²t Когда известен sin t и нужен cos t Знак cos t по четверти
tg t = sin t / cos t Для нахождения тангенса или связи трёх функций cos t ≠ 0
1 + tg²t = 1/cos²t Когда известен tg t и нужно найти cos t cos t ≠ 0 и знак cos t по четверти
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Неверно прочитали sin²t

sin²t = (sin t)². Это не sin(t²).

2. Потеряли второй знак корня

Из cos²t = 4/9 следует cos t = 2/3 или cos t = -2/3, пока не известна четверть.

3. Выбрали знак без четверти

Знак синуса и косинуса определяется положением точки на единичной окружности.

4. Перепутали формулу тангенса

Правильно: tg t = sin t / cos t, а не cos t / sin t.

5. Разделили на cos t = 0

Формулы с тангенсом требуют cos t ≠ 0.

6. Применили тождество как уравнение

Основное тождество не нужно «решать»: оно уже верно для любого действительного t.

Практика с подсказками

Задание 1. sin t = 8/17, t в I четверти

Найдите cos t и tg t.

Показать решение

cos²t = 1 - 64/289 = 225/289.

В I четверти cos t > 0, поэтому cos t = 15/17.

tg t = (8/17)/(15/17) = 8/15.

Ответ: cos t = 15/17, tg t = 8/15.

Задание 2. cos t = -3/5, t в III четверти

Найдите sin t и tg t.

Показать решение

sin²t = 1 - 9/25 = 16/25.

В III четверти sin t < 0, поэтому sin t = -4/5.

tg t = (-4/5)/(-3/5) = 4/3.

Ответ: sin t = -4/5, tg t = 4/3.

Задание 3. Упростите 1 - cos²t

Показать решение

Из sin²t + cos²t = 1 получаем 1 - cos²t = sin²t.

Ответ: sin²t.

Задание 4. tg t = 3, t в I четверти

Найдите cos²t.

Показать решение

1 + tg²t = 1/cos²t.

1 + 9 = 1/cos²t, поэтому cos²t = 1/10.

Ответ: 1/10.

Самостоятельная работа

1. sin t = 5/13, t во II четверти

Найдите cos t.

Показать ответ

Ответ: cos t = -12/13.

2. cos t = 7/25, t в IV четверти

Найдите sin t.

Показать ответ

Ответ: sin t = -24/25.

3. Упростите sin²t + cos²t + 3

Показать ответ

Ответ: 4.

4. Упростите (1 - cos²t)/sin t, если sin t ≠ 0

Показать ответ

1 - cos²t = sin²t, поэтому sin²t/sin t = sin t.

Ответ: sin t.

Видео

Основное видео подробно выводит основное тригонометрическое тождество и показывает его применение. Дополнительное видео даёт другой способ объяснения через тригонометрические функции.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на вывод формулы и на примеры упрощения выражений.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните вывод формулы с выводом в нашем уроке;
  • отдельно проследите связь sin, cos и tg;
  • после просмотра повторите вывод без подсказки.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как из координат точки получается sin²t + cos²t = 1;
  • как основное тождество используется для нахождения неизвестной функции;
  • как связаны синус, косинус и тангенс.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • перед каждым ответом сначала назовите нужную формулу;
  • не подбирайте ответ по внешнему виду;
  • после ошибки определите, где потерян знак или неправильно применено тождество.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что такое тождество?

Ответ: равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

02Что означает sin²t?

Ответ: (sin t)², то есть квадрат значения синуса.

03Как записывается основное тригонометрическое тождество?

Ответ: sin²t + cos²t = 1.

04Откуда получается это тождество?

Ответ: из уравнения единичной окружности x² + y² = 1 после подстановки x = cos t и y = sin t.

05Почему при нахождении cos t по cos²t нужно знать четверть?

Ответ: квадрат не сохраняет знак. Из cos²t = a² можно получить cos t = a или cos t = -a.

06Как связаны тангенс, синус и косинус?

Ответ: tg t = sin t / cos t при cos t ≠ 0.

07Как получить формулу 1 + tg²t = 1/cos²t?

Ответ: разделить обе части тождества sin²t + cos²t = 1 на cos²t, при условии cos t ≠ 0.

08Чему равно 1 - sin²t?

Ответ: cos²t.

Главное по уроку

Тождество - равенство, верное при всех допустимых значениях переменных.

Основное тригонометрическое тождество: sin²t + cos²t = 1.

Из него следуют sin²t = 1 - cos²t и cos²t = 1 - sin²t.

При извлечении квадратного корня знак функции выбирают по четверти.

Тангенс связан с синусом и косинусом формулой tg t = sin t / cos t при cos t ≠ 0.

При cos t ≠ 0 также выполняется 1 + tg²t = 1/cos²t.

Следующий урок: «Формулы приведения».

43 Урок 43 Формулы приведения Открыть урокСвернуть урок

Урок 43. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют заменить тригонометрическую функцию большого, отрицательного или неудобного угла функцией более простого угла. Вместо запоминания десятков отдельных формул мы выведем единый алгоритм: определить, меняется ли название функции, а затем выбрать правильный знак.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать формулы приведения

Разберётесь, зачем они нужны и какие углы с их помощью упрощают.

2

Определять замену функции

Понимать, когда sin меняется на cos, а tg на ctg.

3

Определять знак

Использовать четверть конечного угла, а не угадывать знак по памяти.

4

Работать с градусами

Упрощать функции углов 120°, 150°, 210°, 300°, 330° и других.

5

Работать с радианами

Применять формулы к углам вида π ± α, π/2 ± α, 2π ± α.

6

Вычислять точные значения

Сводить незнакомый угол к табличному углу 30°, 45° или 60°.

Новые слова и обозначения

Формулы приведения

Формулы приведения - формулы, которые позволяют выразить синус, косинус, тангенс или котангенс некоторого угла через функцию более простого угла.

Буквой α обозначают угол. Эта греческая буква читается «альфа». В этом уроке α обычно будет острым углом, то есть углом от 0° до 90°.

Аргумент тригонометрической функции - число или угол, стоящий после названия функции. Например, в записи sin(π - α) аргументом является π - α.

Знак π читается «пи», и π радиан соответствует 180°. Поэтому π/2 = 90°, 3π/2 = 270°, 2π = 360°.

Котангенс

ctg α читается «котангенс альфа» и определяется формулой ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0. Символ ≠ читается «не равно». Условие sin α ≠ 0 необходимо, потому что делить на ноль нельзя.

Тангенс и котангенс связаны как взаимно обратные величины: tg α · ctg α = 1, если обе функции существуют.

Главная идея: два вопроса вместо большой таблицы

Чтобы применить формулу приведения, каждый раз ответьте только на два вопроса.

1

Вопрос 1. Меняется ли название функции?

Если угол содержит π или 2π, то название функции не меняется. Если угол содержит π/2 или 3π/2, функция меняется на парную: sin ↔ cos, tg ↔ ctg.

2

Вопрос 2. Какой знак поставить?

Определите четверть исходного угла и вспомните знак исходной функции в этой четверти. Именно этот знак ставится перед полученной функцией α.

Очень важно: знак определяют по исходной функции, которая записана слева. Например, для cos(π - α) смотрим знак косинуса во II четверти. Он отрицательный, поэтому получаем -cos α.

Почему при π функция не меняется

Углы π - α и π + α отсчитываются от горизонтальной оси Ox. При переходе через точки, соответствующие 180° или 360°, горизонтальная и вертикальная координаты сохраняют свои роли: x остаётся связанным с косинусом, y - с синусом.

Поэтому при π и 2π название функции остаётся тем же. Меняется только знак в зависимости от четверти.

sin(π - α) = sin α cos(π - α) = -cos α tg(π - α) = -tg α sin(π + α) = -sin α cos(π + α) = -cos α tg(π + α) = tg α

Почему при π/2 функция меняется

Углы π/2 - α и π/2 + α отсчитываются от вертикальной оси Oy. При таком переходе роли горизонтальной и вертикальной координат меняются.

Поэтому sin переходит в cos, cos - в sin, tg - в ctg, ctg - в tg. После смены названия отдельно определяем знак.

sin(π/2 - α) = cos α cos(π/2 - α) = sin α tg(π/2 - α) = ctg α sin(π/2 + α) = cos α cos(π/2 + α) = -sin α tg(π/2 + α) = -ctg α
Для углов, связанных с 3π/2, действует то же правило смены названия: 3π/2 = 270°, то есть это снова вертикальная ось.

Знаки функций по четвертям

Эта таблица уже знакома, но теперь она становится частью алгоритма формул приведения.

Четверть sin cos tg ctg Пример угла
I + + + + 30°
II + - - - 150°
III - - + + 210°
IV - + - - 330°
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Справочник основных формул приведения

Таблицу полезно иметь под рукой, но сначала пытайтесь восстановить формулу по двум правилам.

Аргумент sin cos tg Что происходит
π/2 - α cos α sin α ctg α Название меняется, знак положительный
π/2 + α cos α -sin α -ctg α Название меняется, знак по II четверти
π - α sin α -cos α -tg α Название не меняется, знак по II четверти
π + α -sin α -cos α tg α Название не меняется, знак по III четверти
3π/2 - α -cos α -sin α ctg α Название меняется, знак по III четверти
3π/2 + α -cos α sin α -ctg α Название меняется, знак по IV четверти
2π - α -sin α cos α -tg α Название не меняется, знак по IV четверти
2π + α sin α cos α tg α После полного оборота значения повторяются
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм применения формул приведения

1

Представьте угол в удобном виде

Например, 150° = 180° - 30°, а 330° = 360° - 30°.

2

Определите четверть

150° лежит во II четверти, 330° - в IV.

3

Решите, меняется ли название функции

При 180° и 360° не меняется. При 90° и 270° меняется на парную.

4

Определите знак исходной функции

Используйте четверть и таблицу знаков.

5

Запишите приведённую функцию

Оставьте угол α, поставьте нужное название и знак.

6

Если α табличный, вычислите значение

Используйте значения для 30°, 45°, 60° или их радианных аналогов.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. sin 150°

Представим угол как 180° - 30°.

150° находится во II четверти, где синус положителен.

Угол записан через 180°, поэтому название функции не меняется.

sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2.

Ответ: 1/2.

Пример 2. cos 120°

120° = 180° - 60°.

Во II четверти косинус отрицателен.

При 180° название cos не меняется.

cos 120° = -cos 60° = -1/2.

Ответ: -1/2.

Пример 3. sin 210°

210° = 180° + 30°.

210° лежит в III четверти, где синус отрицателен.

При 180° функция остаётся синусом.

sin 210° = -sin 30° = -1/2.

Ответ: -1/2.

Пример 4. cos 330°

330° = 360° - 30°.

330° находится в IV четверти, где косинус положителен.

При 360° название функции не меняется.

cos 330° = cos 30° = √3/2.

Ответ: √3/2.

Пример 5. sin(π/2 + α)

Угол связан с π/2, поэтому название функции меняется.

π/2 + α лежит во II четверти, если α - острый угол.

Во II четверти синус положителен.

При π/2 sin меняется на cos.

Ответ: sin(π/2 + α) = cos α.

Пример 6. cos(π/2 + α)

Снова используем π/2.

Во II четверти косинус отрицателен.

При π/2 cos меняется на sin.

Ответ: cos(π/2 + α) = -sin α.

Пример 7. tg(3π/4)

3π/4 = π - π/4.

Угол 3π/4 соответствует 135° и находится во II четверти.

Во II четверти тангенс отрицателен.

При π название tg не меняется.

tg(3π/4) = -tg(π/4) = -1.

Ответ: -1.

Пример 8. sin(5π/6)

5π/6 = π - π/6.

5π/6 соответствует 150° и находится во II четверти.

Синус положителен, название при π не меняется.

sin(5π/6) = sin(π/6) = 1/2.

Ответ: 1/2.

Типичные ошибки

1. Меняют название функции при π

При π и 2π название не меняется: sin остаётся sin, cos остаётся cos.

2. Не меняют название при π/2

При π/2 и 3π/2 sin ↔ cos, tg ↔ ctg.

3. Определяют знак новой функции

Знак нужно брать по исходной функции в четверти исходного угла.

4. Неверно определяют четверть

Перед формулой всегда установите, где находится исходный угол.

5. Путают π/6 и π/3

π/6 = 30°, а π/3 = 60°.

6. Используют ctg без проверки

ctg α = cos α / sin α существует только при sin α ≠ 0.

Практика с подсказками

Задание 1. Найдите sin 135°

Показать решение

135° = 180° - 45°.

Во II четверти синус положителен, при 180° название не меняется.

sin 135° = sin 45° = √2/2.

Ответ: √2/2.

Задание 2. Найдите cos 225°

Показать решение

225° = 180° + 45°.

В III четверти косинус отрицателен.

cos 225° = -cos 45° = -√2/2.

Ответ: -√2/2.

Задание 3. Упростите sin(π/2 - α)

Показать решение

Аргумент связан с π/2, поэтому sin меняется на cos.

Угол находится в I четверти, где синус положителен.

Ответ: cos α.

Задание 4. Упростите tg(π/2 + α)

Показать решение

При π/2 tg меняется на ctg.

π/2 + α находится во II четверти, где тангенс отрицателен.

Ответ: -ctg α.

Самостоятельная работа

1. Найдите cos 150°

Показать ответ

Ответ: -√3/2.

2. Найдите sin 300°

Показать ответ

Ответ: -√3/2.

3. Найдите tg 315°

Показать ответ

Ответ: -1.

4. Упростите cos(3π/2 + α)

Показать ответ

Ответ: sin α.

Видео

Основное видео показывает применение формул приведения в задачах. Дополнительное видео объясняет сам принцип и помогает закрепить алгоритм.

Основное видео Rutube. Смотрите, как функция приводится к функции более простого угла и как выбирается знак.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните правило автора с нашим алгоритмом из двух вопросов;
  • следите, когда функция меняет название;
  • после каждого примера ставьте видео на паузу и определяйте знак самостоятельно.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • почему при отсчёте от оси Ox название функции не меняется;
  • почему при отсчёте от оси Oy функция меняется на парную;
  • как знак определяется по четверти.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите, меняется ли название функции;
  • затем назовите четверть и знак;
  • только после этого выбирайте ответ в интерактиве.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют формулами приведения?

Ответ: формулы, позволяющие выразить тригонометрическую функцию некоторого угла через функцию более простого угла.

02Когда название функции не меняется?

Ответ: когда аргумент записан через π или 2π, то есть через 180° или 360°.

03Когда название функции меняется?

Ответ: при аргументах, связанных с π/2 или 3π/2. Тогда sin ↔ cos, tg ↔ ctg.

04Как определить знак после приведения?

Ответ: определить четверть исходного угла и знак исходной тригонометрической функции в этой четверти.

05Чему равен sin(π - α)?

Ответ: sin α.

06Чему равен cos(π/2 + α)?

Ответ: -sin α.

07Что такое ctg α?

Ответ: котангенс: ctg α = cos α / sin α при sin α ≠ 0.

08Чему равен cos 330°?

Ответ: cos(360° - 30°) = cos 30° = √3/2.

Главное по уроку

Формулы приведения заменяют функцию сложного угла функцией более простого угла.

При π и 2π название функции не меняется.

При π/2 и 3π/2 функция меняется на парную: sin ↔ cos, tg ↔ ctg.

Знак определяют по четверти и по исходной функции.

ctg α = cos α / sin α при sin α ≠ 0.

Табличные углы 30°, 45° и 60° позволяют быстро получить точные значения после приведения.

Следующий урок: «Синус и косинус суммы и разности двух углов».

44 Урок 44 Синус и косинус суммы и разности двух углов Открыть урокСвернуть урок

Урок 44. Синус и косинус суммы и разности двух углов

На предыдущем уроке мы приводили сложные углы к более простым. Теперь научимся вычислять синус и косинус углов, которые представлены как сумма или разность двух других углов. Эти формулы называют формулами сложения. Они являются основой для многих следующих формул тригонометрии.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать формулы сложения

Разберётесь, что означают синус и косинус суммы и разности двух углов.

2

Читать новые записи

Правильно понимать sin(α + β), sin(α - β), cos(α + β), cos(α - β).

3

Понимать происхождение формул

Увидите вывод формулы косинуса разности и получение остальных формул.

4

Вычислять новые углы

Находить точные значения функций углов 15°, 75°, 105° и других.

5

Преобразовывать выражения

Раскрывать синус и косинус суммы или разности и упрощать результат.

6

Проверять знаки

Сопоставлять полученный ответ с четвертью исходного угла.

Новые обозначения

Буквы α и β - греческие буквы «альфа» и «бета». В этом уроке ими обозначают два угла или два числовых аргумента тригонометрических функций.

Запись sin(α + β) читается «синус суммы альфа и бета». Сначала складывают углы α и β, а затем находят синус полученной суммы.

Запись cos(α - β) читается «косинус разности альфа и бета». Сначала из α вычитают β, затем находят косинус полученного угла.

Точка · между выражениями означает умножение. Например, sin α · cos β означает произведение sin α и cos β.

Формулы сложения

Формулы сложения - формулы, выражающие тригонометрические функции суммы или разности двух углов через синусы и косинусы этих отдельных углов.

Важно: sin(α + β) не равен sin α + sin β, а cos(α + β) не равен cos α + cos β. Для суммы углов используются специальные формулы.

Четыре основные формулы

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos(α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Удобная закономерность: в формуле синуса знак между α и β сохраняется. Для суммы внутри синуса получается плюс между произведениями, для разности - минус. В формуле косинуса знак меняется на противоположный: у косинуса суммы стоит минус, у косинуса разности - плюс.

Почему формула косинуса разности верна

Этот вывод нужен для понимания происхождения формулы. Новые слова сразу поясняются.

Вектор

Вектор - направленный отрезок. На координатной плоскости вектор можно задавать парой координат. Например, вектор с координатами (a; b) показывает смещение на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали.

Скалярное произведение

Для двух векторов u = (x₁; y₁) и v = (x₂; y₂) скалярным произведением называют число x₁x₂ + y₁y₂. Его также можно вычислить как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Рассмотрим два единичных вектора, то есть два вектора длины 1. Первый образует с положительным направлением оси Ox угол α, второй - угол β.

Их координаты равны (cos α; sin α) и (cos β; sin β). Это следует из определения синуса и косинуса на единичной окружности.

Угол между этими векторами равен α - β, если первый угол больше второго. Так как длины обоих векторов равны 1, их скалярное произведение равно cos(α - β).

cos(α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
Мы получили формулу косинуса разности не как правило для заучивания, а из координат единичных векторов.

Как получить косинус суммы

Используем уже полученную формулу косинуса разности и вместо β подставим -β. Запись -β означает угол, противоположный по направлению углу β.

Из предыдущих свойств тригонометрических функций: cos(-β) = cos β, а sin(-β) = -sin β.

cos(α + β) = cos(α - (-β)) cos(α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

Как получить формулы синуса

Используем формулы приведения из предыдущего урока: sin x = cos(π/2 - x). Буква x здесь обозначает любой допустимый угол.

Для суммы α + β можно записать: sin(α + β) = cos(π/2 - α - β). Затем применяем формулу косинуса разности.

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin(α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β
Поэтому все четыре формулы связаны между собой. Достаточно понять происхождение одной из них, а остальные можно восстановить с помощью уже известных свойств.

Справочная таблица формул

Что нужно найти Формула Как запомнить знак
Синус суммы sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Синус сохраняет плюс
Синус разности sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β Синус сохраняет минус
Косинус суммы cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β Косинус меняет плюс на минус
Косинус разности cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β Косинус меняет минус на плюс
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм вычисления функции нового угла

1

Представьте угол как сумму или разность табличных углов

Например, 75° = 45° + 30°, а 15° = 45° - 30°.

2

Выберите нужную формулу

Сначала определите функцию: sin или cos. Затем определите, сумма это или разность.

3

Подставьте значения отдельных углов

Используйте таблицу для 30°, 45° и 60°.

4

Выполните умножение

Аккуратно перемножьте дроби и квадратные корни.

5

Сложите или вычтите результаты

Приведите дроби к общему знаменателю, если это необходимо.

6

Проверьте знак по четверти

Например, 105° лежит во II четверти, поэтому его косинус должен быть отрицательным.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Найти sin 75°

75° = 45° + 30°.

sin 75° = sin(45° + 30°).

= sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30°.

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2).

= √6/4 + √2/4.

Ответ: (√6 + √2)/4.

Пример 2. Найти cos 15°

15° = 45° - 30°.

cos 15° = cos(45° - 30°).

= cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30°.

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2).

Ответ: (√6 + √2)/4.

Пример 3. Найти cos 75°

75° = 45° + 30°.

cos 75° = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30°.

= √6/4 - √2/4.

Ответ: (√6 - √2)/4.

Пример 4. Найти sin 15°

15° = 45° - 30°.

sin 15° = sin 45° · cos 30° - cos 45° · sin 30°.

= √6/4 - √2/4.

Ответ: (√6 - √2)/4.

Пример 5. Найти cos 105°

105° = 60° + 45°.

cos 105° = cos 60° · cos 45° - sin 60° · sin 45°.

= √2/4 - √6/4.

Ответ: (√2 - √6)/4.

Проверка знака: 105° находится во II четверти, где косинус отрицателен. Ответ действительно отрицательный.

Пример 6. Упростить sin(α + β) + sin(α - β)

Раскроем обе формулы.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

При сложении противоположные слагаемые cos α sin β и -cos α sin β уничтожаются.

Ответ: 2 sin α cos β.

Пример 7. Даны функции двух углов

sin α = 3/5, cos α = 4/5, sin β = 5/13, cos β = 12/13.

sin(α + β) = (3/5)(12/13) + (4/5)(5/13).

= 36/65 + 20/65 = 56/65.

cos(α + β) = (4/5)(12/13) - (3/5)(5/13).

= 48/65 - 15/65 = 33/65.

Ответ: sin(α + β) = 56/65, cos(α + β) = 33/65.

Пример 8. Проверка результата

Проверим значения 56/65 и 33/65 основным тригонометрическим тождеством.

(56/65)² + (33/65)² = 3136/4225 + 1089/4225.

= 4225/4225 = 1.

Вывод: полученные значения согласуются с тождеством sin²t + cos²t = 1.

Типичные ошибки

1. Складывают значения функций напрямую

sin(α + β) не равен sin α + sin β. Нужна формула сложения.

2. Путают порядок произведений

Для синуса нужны два перекрёстных произведения: sin α cos β и cos α sin β.

3. Неверно ставят знак у косинуса

В cos(α + β) стоит минус, а в cos(α - β) стоит плюс.

4. Теряют знак разности в синусе

sin(α - β) содержит минус между двумя произведениями.

5. Ошибаются в табличных значениях

Перед подстановкой проверьте sin 30°, cos 30°, sin 45°, cos 45°, sin 60°, cos 60°.

6. Не проверяют знак итогового угла

Если угол во II четверти, его косинус должен быть отрицательным. Такая проверка помогает заметить ошибку.

Практика с подсказками

Задание 1. Найдите sin 105°

Показать решение

105° = 60° + 45°.

sin 105° = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°.

= √6/4 + √2/4.

Ответ: (√6 + √2)/4.

Задание 2. Найдите cos 15°

Показать решение

15° = 45° - 30°.

cos 15° = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°.

Ответ: (√6 + √2)/4.

Задание 3. Раскройте sin(α - β)

Показать решение

Ответ: sin α cos β - cos α sin β.

Задание 4. Раскройте cos(α + β)

Показать решение

Ответ: cos α cos β - sin α sin β.

Самостоятельная работа

1. Найдите sin 15°

Показать ответ

Ответ: (√6 - √2)/4.

2. Найдите cos 75°

Показать ответ

Ответ: (√6 - √2)/4.

3. Упростите cos(α - β) - cos(α + β)

Показать ответ

После раскрытия формул остаётся 2 sin α sin β.

Ответ: 2 sin α sin β.

4. Упростите cos(α - β) + cos(α + β)

Показать ответ

После раскрытия формул остаётся 2 cos α cos β.

Ответ: 2 cos α cos β.

Видео

Основное видео подробно показывает доказательство формул синуса и косинуса суммы и разности. Дополнительное видео 10 класса систематизирует четыре формулы и их применение.

Основное видео Rutube. В нём отдельно разбираются доказательства косинуса суммы и разности, а затем синуса суммы и разности.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сопоставьте четыре формулы с нашей справочной таблицей;
  • обратите внимание на знаки в формулах косинуса;
  • после примера попробуйте самостоятельно вычислить sin 75°.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • формулы синуса суммы и разности;
  • формулы косинуса суммы и разности;
  • применение формул к вычислению точных значений и преобразованию выражений.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала проговорите формулу самостоятельно;
  • затем сопоставьте левую и правую части;
  • если ошиблись, проверьте два момента: порядок произведений и знак между ними.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют формулами сложения?

Ответ: формулы, выражающие тригонометрические функции суммы или разности двух углов через функции отдельных углов.

02Как раскрывается sin(α + β)?

Ответ: sin α cos β + cos α sin β.

03Как раскрывается sin(α - β)?

Ответ: sin α cos β - cos α sin β.

04Как раскрывается cos(α + β)?

Ответ: cos α cos β - sin α sin β.

05Как раскрывается cos(α - β)?

Ответ: cos α cos β + sin α sin β.

06Почему sin 75° можно вычислить по табличным значениям?

Ответ: потому что 75° = 45° + 30°, а значения функций 45° и 30° известны.

07Чем отличается знак в формулах косинуса суммы и разности?

Ответ: cos(α + β) содержит минус, а cos(α - β) содержит плюс.

08Чему равен sin 15°?

Ответ: (√6 - √2)/4.

Главное по уроку

Формулы сложения связывают функции суммы и разности углов с функциями каждого угла отдельно.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β.

cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β.

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β.

Для синуса знак суммы или разности сохраняется, для косинуса он меняется на противоположный.

Формулы позволяют получать точные значения углов, которые можно представить через 30°, 45° и 60°.

Следующий урок: «Тангенс суммы и разности двух углов».

45 Урок 45 Тангенс суммы и разности двух углов Открыть урокСвернуть урок

Урок 45. Тангенс суммы и разности двух углов

На предыдущем уроке мы изучили формулы синуса и косинуса суммы и разности. Теперь из них выведем формулы для тангенса. Эти формулы позволяют находить точные значения, упрощать выражения и подготавливают нас к формулам двойного угла и тригонометрическим уравнениям.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Читать новые формулы

Понимать записи tg(α + β) и tg(α - β).

2

Выводить формулы

Получать формулы тангенса из формул синуса и косинуса суммы и разности.

3

Учитывать ограничения

Проверять, что все тангенсы существуют и знаменатель формулы не равен нулю.

4

Вычислять точные значения

Находить tg 15°, tg 75° и другие значения через табличные углы.

5

Упрощать выражения

Распознавать в дроби готовую формулу тангенса суммы или разности.

6

Проверять результат

Сопоставлять знак ответа с четвертью полученного угла.

Повторяем обозначения и вводим условия

Буквы α и β читаются «альфа» и «бета». Они обозначают два угла или два числовых аргумента.

tg α читается «тангенс альфа». По определению tg α = sin α / cos α, поэтому тангенс существует только при cos α ≠ 0.

Символ ≠ читается «не равно». Например, cos α ≠ 0 означает, что косинус α не равен нулю.

Знаменатель

Знаменатель дроби - выражение, расположенное под дробной чертой. Знаменатель никогда не должен быть равен нулю.

ОДЗ - область допустимых значений

Область допустимых значений (ОДЗ) - все значения переменных, при которых исходные выражения имеют смысл. В формулах тангенса особенно важно исключать значения, при которых какой-либо косинус или знаменатель равен нулю.

Две основные формулы

tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α · tg β) tg(α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α · tg β)
Условия обязательны. Для первой формулы должны существовать tg α, tg β и tg(α + β). Для второй формулы должны существовать tg α, tg β и tg(α - β). Иначе формулу применять нельзя.

Вывод формулы тангенса суммы

Начнём с определения тангенса: tg(α + β) = sin(α + β) / cos(α + β).

Подставим формулы сложения из предыдущего урока:

sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β cos(α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β

Получаем дробь: (sin α cos β + cos α sin β) / (cos α cos β - sin α sin β).

Теперь разделим числитель и знаменатель на cos α · cos β. Это допустимо только если cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.

tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α · tg β)
Почему в знаменателе минус: он приходит из формулы cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β.

Вывод формулы тангенса разности

Аналогично начинаем с определения: tg(α - β) = sin(α - β) / cos(α - β).

Используем: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β, а cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β.

После деления числителя и знаменателя на cos α cos β получаем:

tg(α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α · tg β)
Закономерность: у тангенса знак в числителе совпадает со знаком между углами, а в знаменателе стоит противоположный знак.

Когда формулы применять нельзя

Формула тангенса суммы содержит три потенциальных ограничения.

1

Должен существовать tg α

Требуется cos α ≠ 0.

2

Должен существовать tg β

Требуется cos β ≠ 0.

3

Должен существовать tg(α + β)

Требуется cos(α + β) ≠ 0.

Например, при α = 45° и β = 45° сумма равна 90°. tg 90° не существует. В формуле это видно по знаменателю: 1 - tg 45° · tg 45° = 1 - 1 = 0.

Справочная таблица

Формула Числитель Знаменатель Главное условие
tg(α + β) tg α + tg β 1 - tg α tg β Все тангенсы должны существовать, знаменатель ≠ 0
tg(α - β) tg α - tg β 1 + tg α tg β Все тангенсы должны существовать, знаменатель ≠ 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм вычисления тангенса нового угла

1

Представьте угол через табличные

Например, 75° = 45° + 30°, а 15° = 45° - 30°.

2

Проверьте существование тангенсов

Тангенсы отдельных углов и итогового угла должны быть определены.

3

Выберите формулу суммы или разности

Не путайте знаки числителя и знаменателя.

4

Подставьте табличные значения

tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3.

5

Упростите дробь

При необходимости избавьтесь от корня в знаменателе.

6

Проверьте знак

Сравните знак результата с четвертью итогового угла.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Найти tg 75°

75° = 45° + 30°.

tg 75° = (tg 45° + tg 30°) / (1 - tg 45° · tg 30°).

= (1 + √3/3) / (1 - √3/3).

После упрощения получаем 2 + √3.

Ответ: 2 + √3.

Проверка: 75° находится в I четверти, где тангенс положителен.

Пример 2. Найти tg 15°

15° = 45° - 30°.

tg 15° = (1 - √3/3) / (1 + √3/3).

После упрощения получаем 2 - √3.

Ответ: 2 - √3.

Пример 3. tg α = 1/2, tg β = 1/3

Найдём tg(α + β).

tg(α + β) = (1/2 + 1/3) / (1 - (1/2)(1/3)).

= (5/6) / (5/6) = 1.

Ответ: 1.

Пример 4. tg α = 1/2, tg β = 1/3

Найдём tg(α - β).

tg(α - β) = (1/2 - 1/3) / (1 + (1/2)(1/3)).

= (1/6) / (7/6) = 1/7.

Ответ: 1/7.

Пример 5. Найти tg(5π/12)

5π/12 = π/4 + π/6.

π/4 = 45°, π/6 = 30°, поэтому задача совпадает с вычислением tg 75°.

Ответ: 2 + √3.

Пример 6. Распознать формулу

Упростить (tg α + tg β)/(1 - tg α tg β).

Это правая часть формулы тангенса суммы.

При выполнении условий допустимости выражение равно tg(α + β).

Ответ: tg(α + β).

Пример 7. Когда знаменатель обращается в ноль

Пусть α = 45°, β = 45°.

1 - tg α tg β = 1 - 1 · 1 = 0.

Значит дробь не определена.

Это согласуется с исходной функцией: α + β = 90°, а tg 90° не существует.

Пример 8. Найти неизвестный тангенс

Известно tg(α + β) = 1, tg α = 1/3. Найдём tg β.

Обозначим tg β = u. Буква u - новая переменная.

1 = (1/3 + u)/(1 - u/3).

1 - u/3 = 1/3 + u.

Умножаем на 3: 3 - u = 1 + 3u.

2 = 4u, поэтому u = 1/2.

Ответ: tg β = 1/2.

Типичные ошибки

1. Одинаковый знак в числителе и знаменателе

Для суммы: плюс в числителе и минус в знаменателе. Для разности наоборот.

2. Забыли проверить знаменатель

Если знаменатель равен нулю, дробь не существует.

3. Использовали формулу при tg α, которого нет

Сначала убедитесь, что cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0.

4. Перепутали tg 30° и tg 60°

tg 30° = √3/3, а tg 60° = √3.

5. Не проверили знак результата

Например, tg 75° должен быть положительным, потому что 75° находится в I четверти.

6. Считали формулу верной без условий

Любое деление требует ненулевого знаменателя. Условия являются частью корректного решения.

Практика с подсказками

Задание 1. Найдите tg 105°

Показать решение

105° = 60° + 45°.

tg 105° = (√3 + 1)/(1 - √3).

После упрощения получаем -(2 + √3).

Ответ: -2 - √3.

Проверка: 105° находится во II четверти, где тангенс отрицателен.

Задание 2. Найдите tg 15°

Показать решение

15° = 45° - 30°.

Ответ: 2 - √3.

Задание 3. tg α = 2, tg β = 1/4

Найдите tg(α + β).

Показать решение

tg(α + β) = (2 + 1/4)/(1 - 2 · 1/4).

= (9/4)/(1/2) = 9/2.

Ответ: 9/2.

Задание 4. Упростите (tg α - tg β)/(1 + tg α tg β)

Показать решение

Это формула тангенса разности.

Ответ: tg(α - β), если все выражения определены.

Самостоятельная работа

1. Найдите tg 75°

Показать ответ

Ответ: 2 + √3.

2. Найдите tg(π/12)

Показать ответ

π/12 = π/4 - π/6, то есть 15°.

Ответ: 2 - √3.

3. tg α = 1/4, tg β = 1/5

Найдите tg(α - β).

Показать ответ

(1/4 - 1/5)/(1 + 1/20) = (1/20)/(21/20) = 1/21.

Ответ: 1/21.

4. Объясните, почему формула не применяется при α = β = 45°

Показать ответ

Для суммы знаменатель равен 1 - 1 · 1 = 0.

Кроме того, α + β = 90°, а tg 90° не существует.

Видео

Основное видео посвящено именно тангенсу суммы и разности двух углов. Дополнительное видео даёт другой разбор тех же формул и их применения.

Основное видео Rutube. В нём разбираются формулы, вычисление tg 15°, упрощение выражений и применение формул в уравнениях.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните вывод формул с выводом в уроке;
  • следите за противоположными знаками в числителе и знаменателе;
  • отдельно фиксируйте случаи, когда знаменатель равен нулю.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как формулы тангенса выводятся из формул синуса и косинуса;
  • какие знаки стоят в числителе и знаменателе;
  • как формулы применяются к вычислениям и преобразованиям.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите, какая тригонометрическая формула нужна;
  • перед выбором ответа проверьте знаки и знаменатель;
  • если ошиблись, восстановите формулу через sin и cos.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Как записывается формула tg(α + β)?

Ответ: (tg α + tg β)/(1 - tg α tg β), при выполнении условий допустимости.

02Как записывается формула tg(α - β)?

Ответ: (tg α - tg β)/(1 + tg α tg β), при выполнении условий допустимости.

03Почему в формулах нужно проверять знаменатель?

Ответ: деление на ноль не определено. Если знаменатель равен нулю, формула в такой точке не применяется.

04Что означает ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений, то есть все значения переменных, при которых исходные выражения имеют смысл.

05Чему равен tg 75°?

Ответ: 2 + √3.

06Чему равен tg 15°?

Ответ: 2 - √3.

07Почему нельзя использовать формулу суммы при α = β = 45°?

Ответ: знаменатель становится равным нулю, а tg(45° + 45°) = tg 90° не существует.

08Как можно восстановить формулу тангенса суммы, если вы её забыли?

Ответ: начать с tg(α + β) = sin(α + β)/cos(α + β), раскрыть sin и cos по формулам сложения и разделить числитель и знаменатель на cos α cos β.

Главное по уроку

tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 - tg α tg β).

tg(α - β) = (tg α - tg β)/(1 + tg α tg β).

Знак в числителе совпадает со знаком между углами, а знак в знаменателе противоположный.

Перед применением формулы проверяют ОДЗ - область допустимых значений.

Все входящие тангенсы и тангенс итогового угла должны существовать.

Формулы можно восстановить через определение tg x = sin x / cos x и формулы сложения для sin и cos.

Следующий урок: «Формулы двойного угла».

46 Урок 46 Формулы двойного угла Открыть урокСвернуть урок

Урок 46. Формулы двойного угла

Формулы двойного угла получаются из уже известных формул суммы, если оба угла сделать одинаковыми. Они позволяют заменить функции аргумента 2α выражениями через функции аргумента α, а иногда выполнить обратное преобразование и узнать в выражении готовый синус, косинус или тангенс двойного угла.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать запись 2α

Отличать удвоенный угол 2α от квадрата тригонометрической функции.

2

Выводить формулы

Получать sin 2α, cos 2α и tg 2α из формул суммы.

3

Использовать три формы cos 2α

Выбирать наиболее удобную запись в зависимости от условия задачи.

4

Вычислять значения

Находить функции удвоенного угла по известным sin α, cos α или tg α.

5

Распознавать готовые формулы

Видеть в выражении 2 sin α cos α готовый sin 2α и выполнять обратную замену.

6

Учитывать ограничения

Проверять ОДЗ для формулы тангенса двойного угла.

Новые обозначения: 2α и квадрат функции

Двойной угол

Двойной угол 2α - угол, величина которого в два раза больше угла α. Например, если α = 30°, то 2α = 60°. Если α = π/6, то 2α = π/3.

Запись sin 2α означает sin(2α), то есть синус удвоенного угла.

Запись sin²α означает (sin α)², то есть квадрат значения синуса.

Аналогично, cos 2α = cos(2α), а cos²α = (cos α)².

Не путайте: sin 2α и sin²α - разные выражения. Например, при α = 30° имеем sin 60° = √3/2, а sin²30° = (1/2)² = 1/4.

Формула синуса двойного угла

Используем формулу синуса суммы: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Для двойного угла берём β = α. Тогда α + β = α + α = 2α.

sin(α + α) = sin α · cos α + cos α · sin α sin 2α = 2 sin α · cos α
Формула синуса двойного угла

sin 2α = 2 sin α cos α.

Формула косинуса двойного угла

Теперь используем формулу косинуса суммы: cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β.

Снова полагаем β = α.

cos(α + α) = cos²α - sin²α cos 2α = cos²α - sin²α
Первая форма косинуса двойного угла

cos 2α = cos²α - sin²α.

Почему у cos 2α есть ещё две формы

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1.

Из него sin²α = 1 - cos²α. Подставим это в cos 2α = cos²α - sin²α.

cos 2α = cos²α - (1 - cos²α) cos 2α = 2cos²α - 1

Аналогично выразим cos²α = 1 - sin²α.

cos 2α = (1 - sin²α) - sin²α cos 2α = 1 - 2sin²α
Все три формулы равносильны. Выбирайте ту, где используется известная в задаче функция.

Тангенс двойного угла

Используем формулу тангенса суммы: tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 - tg α tg β).

При β = α получаем:

tg 2α = 2tg α / (1 - tg²α)
ОДЗ - область допустимых значений

Для этой формулы должны существовать tg α и tg 2α. Кроме того, знаменатель 1 - tg²α не должен быть равен нулю. Область допустимых значений (ОДЗ) - все значения α, при которых эти условия выполнены.

Например, при α = 45° имеем tg α = 1, поэтому 1 - tg²α = 0. Это не случайность: 2α = 90°, а tg 90° не существует.

Все формулы в одной таблице

Функция Формула двойного угла Когда удобно применять Ограничения
Синус sin 2α = 2 sin α cos α Когда известны sin α и cos α или встречается произведение 2 sin α cos α Дополнительных ограничений нет
Косинус cos 2α = cos²α - sin²α Когда известны и sin α, и cos α Дополнительных ограничений нет
Косинус cos 2α = 2cos²α - 1 Когда известен только cos α Дополнительных ограничений нет
Косинус cos 2α = 1 - 2sin²α Когда известен только sin α Дополнительных ограничений нет
Тангенс tg 2α = 2tg α/(1 - tg²α) Когда известен tg α tg α и tg 2α должны существовать, знаменатель ≠ 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Как выбрать нужную форму cos 2α

1

Известны sin α и cos α

Используйте cos 2α = cos²α - sin²α.

2

Известен только cos α

Используйте cos 2α = 2cos²α - 1.

3

Известен только sin α

Используйте cos 2α = 1 - 2sin²α.

4

Нужно упростить выражение

Выбирайте форму, которая позволяет сразу заменить несколько слагаемых одной функцией.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. sin α = 3/5, cos α = 4/5

Найдём sin 2α.

sin 2α = 2 sin α cos α.

= 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25.

Ответ: 24/25.

Пример 2. Те же данные

Найдём cos 2α.

cos 2α = cos²α - sin²α.

= 16/25 - 9/25 = 7/25.

Ответ: 7/25.

Пример 3. Известно cos α = 3/5

Найдём cos 2α без вычисления sin α.

Используем cos 2α = 2cos²α - 1.

= 2 · 9/25 - 1 = 18/25 - 25/25 = -7/25.

Ответ: -7/25.

Пример 4. Известно sin α = 5/13

Найдём cos 2α.

Используем cos 2α = 1 - 2sin²α.

= 1 - 2 · 25/169 = 169/169 - 50/169 = 119/169.

Ответ: 119/169.

Пример 5. Известно tg α = 1/2

Найдём tg 2α.

tg 2α = 2tg α/(1 - tg²α).

= 2 · (1/2)/(1 - 1/4).

= 1/(3/4) = 4/3.

Ответ: 4/3.

Пример 6. Упростить 2 sin 20° cos 20°

Распознаём формулу синуса двойного угла.

2 sin α cos α = sin 2α.

Здесь α = 20°, поэтому 2α = 40°.

Ответ: sin 40°.

Пример 7. Упростить 2cos²15° - 1

Распознаём одну из форм cos 2α.

2cos²α - 1 = cos 2α.

При α = 15° получаем cos 30°.

cos 30° = √3/2.

Ответ: √3/2.

Пример 8. Упростить 1 - 2sin²(π/8)

Используем третью форму косинуса двойного угла.

1 - 2sin²α = cos 2α.

При α = π/8 имеем 2α = π/4.

cos(π/4) = √2/2.

Ответ: √2/2.

Типичные ошибки

1. Путают sin 2α и sin²α

sin 2α = sin(2α), а sin²α = (sin α)².

2. Забывают коэффициент 2

Правильно: sin 2α = 2 sin α cos α.

3. Складывают квадраты в cos 2α

Правильно: cos 2α = cos²α - sin²α.

4. Путают две дополнительные формы

Через cos: 2cos²α - 1. Через sin: 1 - 2sin²α.

5. Не проверяют знаменатель в tg 2α

Если 1 - tg²α = 0, формула тангенса двойного угла не определена.

6. Не замечают формулу в обратную сторону

Выражение 2 sin α cos α можно сразу заменить на sin 2α.

Практика с подсказками

Задание 1. sin α = 8/17, cos α = 15/17

Найдите sin 2α.

Показать решение

sin 2α = 2 · 8/17 · 15/17 = 240/289.

Ответ: 240/289.

Задание 2. cos α = 4/5

Найдите cos 2α.

Показать решение

cos 2α = 2 · 16/25 - 1 = 32/25 - 25/25 = 7/25.

Ответ: 7/25.

Задание 3. Упростите 2 sin 35° cos 35°

Показать решение

По формуле sin 2α = 2 sin α cos α получаем sin 70°.

Ответ: sin 70°.

Задание 4. tg α = 2

Найдите tg 2α.

Показать решение

tg 2α = 2 · 2/(1 - 4) = 4/(-3).

Ответ: -4/3.

Самостоятельная работа

1. sin α = 5/13, cos α = 12/13

Найдите sin 2α.

Показать ответ

Ответ: 120/169.

2. sin α = 3/5

Найдите cos 2α.

Показать ответ

cos 2α = 1 - 2 · 9/25 = 7/25.

Ответ: 7/25.

3. Упростите cos²x - sin²x

Показать ответ

Ответ: cos 2x.

4. Упростите 1 - 2sin²20°

Показать ответ

Ответ: cos 40°.

Видео

Основное видео показывает применение формул синуса и косинуса двойного угла в задачах. Дополнительное видео отдельно объясняет формулы двойного и половинного угла на уровне 10 класса.

Основное видео Rutube. Обратите внимание, как формулы двойного угла распознаются внутри более сложных выражений.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните вывод формул с выводом в нашем уроке;
  • отдельно запишите три формы cos 2α;
  • перед каждым примером определите, какую форму удобнее использовать.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как двойной угол получается из α + α;
  • как выводятся sin 2α, cos 2α и tg 2α;
  • как формулы используются в прямом и обратном направлении.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • прочитайте левую часть формулы;
  • попробуйте назвать правую часть без подсказки;
  • если ошиблись, восстановите формулу из формулы суммы.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает запись 2α?

Ответ: угол, в два раза больший α.

02Чем sin 2α отличается от sin²α?

Ответ: sin 2α = sin(2α), а sin²α = (sin α)².

03Как записывается sin 2α?

Ответ: sin 2α = 2 sin α cos α.

04Назовите три формы cos 2α.

Ответ: cos²α - sin²α; 2cos²α - 1; 1 - 2sin²α.

05Как записывается tg 2α?

Ответ: tg 2α = 2tg α/(1 - tg²α), если все выражения определены.

06Что означает ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений, то есть значения, при которых исходные выражения имеют смысл.

07Как упростить 2 sin 25° cos 25°?

Ответ: sin 50°.

08Как упростить 2cos²20° - 1?

Ответ: cos 40°.

Главное по уроку

Двойной угол 2α в два раза больше угла α.

sin 2α = 2 sin α cos α.

cos 2α = cos²α - sin²α.

Также cos 2α = 2cos²α - 1 и cos 2α = 1 - 2sin²α.

tg 2α = 2tg α/(1 - tg²α), если выполняются условия допустимости.

Формулы двойного угла можно применять как слева направо, так и справа налево.

Не путайте sin 2α = sin(2α) и sin²α = (sin α)².

Следующий урок: «Формулы половинного угла и понижения степени».

47 Урок 47 Формулы половинного угла и понижения степени Открыть урокСвернуть урок

Урок 47. Формулы половинного угла и понижения степени

На прошлом уроке мы получили формулы двойного угла. Теперь используем их в обратном направлении. Сначала выразим квадраты синуса и косинуса через косинус двойного угла, а затем получим формулы для синуса и косинуса половинного угла. Эти преобразования часто применяются при упрощении выражений и решении тригонометрических уравнений.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать угол α/2

Разберетесь, что означает половина угла и как она связана с удвоением.

2

Понижать степень

Заменять sin²α и cos²α выражениями первой степени по тригонометрической функции.

3

Выводить формулы половинного угла

Получать sin(α/2) и cos(α/2) из формул двойного угла.

4

Правильно выбирать знак

Использовать знак ± только как промежуточную запись и определять итоговый знак по четверти.

5

Работать с тангенсом половинного угла

Применять две дробные формулы и учитывать ограничения на знаменатели.

6

Преобразовывать выражения

Распознавать формулы в прямом и обратном направлении.

Новые обозначения и слова

Половинный угол

Половинный угол α/2 - угол, величина которого в два раза меньше α. Например, если α = 60°, то α/2 = 30°. Если α = π/3, то α/2 = π/6.

Понижение степени

Понижение степени - преобразование, при котором квадрат тригонометрической функции, например sin²α или cos²α, заменяется выражением, где тригонометрическая функция стоит в первой степени.

Запись sin²α означает (sin α)², а cos²α означает (cos α)².

Символ ± читается «плюс-минус». Он означает, что после извлечения квадратного корня возможны два знака. В конкретной тригонометрической задаче нужный знак определяют по четверти угла.

Формула с ± не означает, что в окончательном ответе всегда нужно оставить оба знака. Если четверть угла α/2 известна, выбирают только тот знак, который соответствует знаку функции в этой четверти.

Формулы понижения степени

На прошлом уроке мы получили: cos 2α = 1 - 2sin²α и cos 2α = 2cos²α - 1.

Теперь выразим из них квадраты синуса и косинуса.

sin²α = (1 - cos 2α) / 2 cos²α = (1 + cos 2α) / 2
Почему степень понижается

Слева находится квадрат функции, например sin²α. Справа cos 2α стоит в первой степени. Поэтому преобразование называют понижением степени.

Вывод формулы для sin(α/2)

Возьмем формулу понижения степени: sin²x = (1 - cos 2x)/2.

Новая буква x здесь обозначает произвольный угол. Положим x = α/2. Тогда 2x = α.

sin²(α/2) = (1 - cos α) / 2 sin(α/2) = ±√((1 - cos α) / 2)

Знак перед квадратным корнем выбирается по четверти угла α/2. Если α/2 находится в I или II четверти, синус положителен. Если α/2 находится в III или IV четверти, синус отрицателен.

Вывод формулы для cos(α/2)

Аналогично начинаем с формулы: cos²x = (1 + cos 2x)/2.

Подставляем x = α/2, поэтому 2x = α.

cos²(α/2) = (1 + cos α) / 2 cos(α/2) = ±√((1 + cos α) / 2)

Знак выбирают по четверти угла α/2. Косинус положителен в I и IV четвертях, отрицателен во II и III.

Формулы тангенса половинного угла

Тангенс половинного угла можно выразить через sin α и cos α двумя удобными способами.

tg(α/2) = sin α / (1 + cos α) tg(α/2) = (1 - cos α) / sin α
ОДЗ - область допустимых значений

Область допустимых значений (ОДЗ) - значения, при которых исходные выражения имеют смысл. В первой дроби требуется 1 + cos α ≠ 0. Во второй дроби требуется sin α ≠ 0. Кроме того, сам tg(α/2) должен существовать.

Эти две формулы равносильны там, где обе части определены. В задаче выбирайте ту форму, в которой знаменатель удобнее.

Справочная таблица

Название Формула Что помнить
Понижение степени синуса sin²α = (1 - cos 2α)/2 Перед cos 2α стоит минус
Понижение степени косинуса cos²α = (1 + cos 2α)/2 Перед cos 2α стоит плюс
Синус половинного угла sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2) Знак по четверти α/2
Косинус половинного угла cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2) Знак по четверти α/2
Тангенс половинного угла tg(α/2) = sin α/(1 + cos α) 1 + cos α ≠ 0
Тангенс половинного угла tg(α/2) = (1 - cos α)/sin α sin α ≠ 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм применения формул половинного угла

1

Определите исходный угол α

Например, если нужно найти sin 15°, удобно считать α = 30°, потому что α/2 = 15°.

2

Найдите четверть угла α/2

Это нужно для выбора правильного знака после извлечения квадратного корня.

3

Выберите формулу

Для синуса используется 1 - cos α, для косинуса используется 1 + cos α.

4

Подставьте значение cos α

Аккуратно выполните действия внутри дроби.

5

Извлеките квадратный корень

Сначала получите модуль значения, затем выберите знак по четверти.

6

Проверьте знак и приблизительную величину

Например, sin 15° должен быть положительным и меньше sin 30° = 1/2.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Понизить степень sin²x

Используем формулу понижения степени.

Ответ: sin²x = (1 - cos 2x)/2.

Пример 2. Понизить степень cos²x

Используем вторую формулу понижения степени.

Ответ: cos²x = (1 + cos 2x)/2.

Пример 3. Найти sin 15°

15° = 30°/2.

Используем sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2), где α = 30°.

Угол 15° находится в I четверти, поэтому выбираем знак плюс.

sin 15° = √((1 - √3/2)/2).

= √((2 - √3)/4) = √(2 - √3)/2.

Эквивалентная точная запись: (√6 - √2)/4.

Ответ: (√6 - √2)/4.

Пример 4. Найти cos 15°

Снова берем α = 30°.

cos 15° = √((1 + cos 30°)/2), потому что в I четверти косинус положителен.

= √((1 + √3/2)/2).

Ответ: (√6 + √2)/4.

Пример 5. Найти sin 75° через половинный угол

75° = 150°/2.

Берем α = 150°, cos 150° = -√3/2.

75° находится в I четверти, поэтому синус положителен.

sin 75° = √((1 - (-√3/2))/2).

Ответ: (√6 + √2)/4.

Пример 6. Почему знак может быть отрицательным

Пусть α = 480°. Тогда α/2 = 240°.

Угол 240° находится в III четверти, где синус отрицателен.

Поэтому в формуле sin(α/2) выбирается знак минус.

cos 480° = cos 120° = -1/2.

sin 240° = -√((1 - (-1/2))/2) = -√3/2.

Ответ: -√3/2.

Пример 7. Найти tg 15°

Используем α = 30°.

tg 15° = sin 30°/(1 + cos 30°).

= (1/2)/(1 + √3/2) = 1/(2 + √3).

После освобождения знаменателя от корня получаем 2 - √3.

Ответ: 2 - √3.

Пример 8. Упростить sin²x + cos²x

Проверим формулы понижения степени.

sin²x + cos²x = (1 - cos 2x)/2 + (1 + cos 2x)/2.

Слагаемые -cos 2x и +cos 2x взаимно уничтожаются.

Получаем 2/2 = 1.

Ответ: 1.

Типичные ошибки

1. Путают знаки в формулах понижения степени

Для sin²α используется 1 - cos 2α, для cos²α используется 1 + cos 2α.

2. Всегда выбирают плюс

Знак в формуле половинного угла определяется четвертью угла α/2.

3. Определяют четверть угла α вместо α/2

Знак функции нужно определять именно для аргумента, который стоит внутри функции.

4. Забывают деление на 2

В формулах sin²α и cos²α вся сумма или разность делится на 2.

5. Не проверяют знаменатель в формуле tg(α/2)

Деление на ноль недопустимо, поэтому нужно учитывать ОДЗ.

6. Путают α/2 и α²

α/2 - половина угла. α² - квадрат числа α. Это разные операции.

Практика с подсказками

Задание 1. Понизьте степень cos²3x

Показать решение

В формуле cos²α = (1 + cos 2α)/2 берем α = 3x.

Ответ: (1 + cos 6x)/2.

Задание 2. Понизьте степень sin²4x

Показать решение

В формуле sin²α = (1 - cos 2α)/2 берем α = 4x.

Ответ: (1 - cos 8x)/2.

Задание 3. Найдите cos 30° через формулу половинного угла

Показать решение

30° = 60°/2. В I четверти косинус положителен.

cos 30° = √((1 + cos 60°)/2) = √((1 + 1/2)/2).

= √(3/4) = √3/2.

Ответ: √3/2.

Задание 4. Найдите tg 30° через формулу половинного угла

Показать решение

30° = 60°/2.

tg 30° = sin 60°/(1 + cos 60°).

= (√3/2)/(3/2) = √3/3.

Ответ: √3/3.

Самостоятельная работа

1. Понизьте степень sin²5x

Показать ответ

Ответ: (1 - cos 10x)/2.

2. Понизьте степень cos²2x

Показать ответ

Ответ: (1 + cos 4x)/2.

3. Найдите sin 30° через формулу половинного угла

Показать ответ

30° = 60°/2, угол находится в I четверти.

Ответ: 1/2.

4. Упростите 2sin²x - 1

Показать ответ

Из cos 2x = 1 - 2sin²x следует 2sin²x - 1 = -cos 2x.

Ответ: -cos 2x.

Видео

Основное видео посвящено именно формулам половинного аргумента и понижения степени. Дополнительное видео разбирает применение этих формул в примерах.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на связь формул половинного угла с формулами понижения степени.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните вывод формул с выводом в нашем уроке;
  • следите, как выбирается знак после извлечения корня;
  • после просмотра самостоятельно выведите формулу для cos(α/2).
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как из формул двойного угла получаются формулы понижения степени;
  • как записываются sin(α/2) и cos(α/2);
  • почему знак половинного угла определяется по четверти.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала назовите формулу без подсказки;
  • определите, относится ли она к двойному или половинному углу;
  • после ошибки вернитесь к связи между cos 2α и квадратами sin α, cos α.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает α/2?

Ответ: угол, величина которого в два раза меньше α.

02Что означает знак ±?

Ответ: «плюс-минус». После извлечения квадратного корня возможны два знака, но нужный знак тригонометрической функции выбирается по четверти.

03Как записывается формула понижения степени для sin²α?

Ответ: sin²α = (1 - cos 2α)/2.

04Как записывается формула понижения степени для cos²α?

Ответ: cos²α = (1 + cos 2α)/2.

05Как записывается sin(α/2)?

Ответ: sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2), а знак выбирают по четверти α/2.

06Как записывается cos(α/2)?

Ответ: cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2), а знак выбирают по четверти α/2.

07Что означает ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений, то есть значения, при которых исходные выражения определены.

08Почему в формуле sin(α/2) нельзя всегда брать знак плюс?

Ответ: синус может быть отрицательным в III и IV четвертях, поэтому знак зависит от положения угла α/2 на единичной окружности.

Главное по уроку

Понижение степени: sin²α = (1 - cos 2α)/2 и cos²α = (1 + cos 2α)/2.

Половинный угол α/2 в два раза меньше угла α.

sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2).

cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2).

Знак в формулах синуса и косинуса половинного угла выбирают по четверти угла α/2.

tg(α/2) можно вычислять через sin α и cos α, но необходимо учитывать ОДЗ - область допустимых значений.

Формулы понижения степени получают из формул двойного угла, примененных в обратном направлении.

Следующий урок: «Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение».

48 Урок 48 Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Открыть урокСвернуть урок

Урок 48. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

В этом уроке мы научимся превращать сумму или разность двух синусов и косинусов в произведение. Такое преобразование делает выражения компактнее, помогает вычислять точные значения и особенно важно при дальнейшем решении тригонометрических уравнений.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать полусумму и полуразность

Разберетесь, что означают (α + β)/2 и (α - β)/2.

2

Выводить формулы

Получать формулы суммы и разности синусов и косинусов из формул сложения.

3

Преобразовывать сумму синусов

Заменять sin α + sin β произведением.

4

Преобразовывать разность синусов

Заменять sin α - sin β произведением.

5

Работать с косинусами

Применять формулы суммы и разности косинусов.

6

Распознавать формулу в обратную сторону

Переходить от произведения к исходной сумме, если это удобно.

Новые понятия: полусумма и полуразность

Полусумма

Полусумма двух чисел или углов - половина их суммы. Для углов α и β полусумма записывается как (α + β)/2.

Полуразность

Полуразность двух чисел или углов - половина их разности. Для углов α и β полуразность записывается как (α - β)/2.

Например, если α = 70°, β = 30°, то:

(α + β)/2 = (70° + 30°)/2 = 50° (α - β)/2 = (70° - 30°)/2 = 20°
Во всех формулах этого урока одновременно встречаются полусумма и полуразность исходных аргументов.

Четыре основные формулы

sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) · cos((α - β)/2) sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) · sin((α - β)/2) cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) · cos((α - β)/2) cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) · sin((α - β)/2)
Особое внимание четвертой формуле: перед произведением в формуле cos α - cos β стоит знак минус.

Как вывести формулу суммы синусов

Введем две вспомогательные переменные: u = (α + β)/2 и v = (α - β)/2.

Буквы u и v здесь просто обозначают новые углы, чтобы запись стала короче. Из этих равенств получаем: α = u + v, β = u - v.

Тогда исходная сумма превращается в: sin α + sin β = sin(u + v) + sin(u - v).

sin(u + v) = sin u cos v + cos u sin v sin(u - v) = sin u cos v - cos u sin v

Складываем эти два равенства. Слагаемые cos u sin v и -cos u sin v взаимно уничтожаются. Остается 2 sin u cos v.

sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) · cos((α - β)/2)

Как вывести формулу разности синусов

Используем те же переменные u и v и теперь вычтем sin(u - v) из sin(u + v).

sin(u + v) - sin(u - v) = 2 cos u · sin v sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) · sin((α - β)/2)
В сумме синусов первым множителем после числа 2 является синус полусуммы. В разности синусов первым множителем является косинус полусуммы.

Как получить формулы для косинусов

Используем формулы: cos(u + v) = cos u cos v - sin u sin v и cos(u - v) = cos u cos v + sin u sin v.

Если их сложить, слагаемые с sin u sin v уничтожатся. Если из первой формулы вычесть вторую, появится отрицательное удвоенное произведение синусов.

cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) · cos((α - β)/2) cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) · sin((α - β)/2)

Справочная таблица

Исходное выражение Произведение Что запомнить
sin α + sin β 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2) Синус полусуммы, косинус полуразности
sin α - sin β 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2) Косинус полусуммы, синус полуразности
cos α + cos β 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2) Два косинуса
cos α - cos β -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2) Перед произведением минус, затем два синуса
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм преобразования суммы в произведение

1

Определите вид выражения

Это сумма синусов, разность синусов, сумма косинусов или разность косинусов?

2

Найдите полусумму аргументов

Вычислите (α + β)/2.

3

Найдите полуразность аргументов

Вычислите (α - β)/2, сохраняя порядок α - β.

4

Выберите правильную формулу

Особенно следите за функциями sin и cos в двух множителях.

5

Проверьте знак

У разности косинусов перед произведением обязательно стоит минус.

6

Упростите результат

Если появились табличные углы, вычислите соответствующие значения функций.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Преобразовать sin 70° + sin 30°

Полусумма: (70° + 30°)/2 = 50°.

Полуразность: (70° - 30°)/2 = 20°.

sin 70° + sin 30° = 2 sin 50° cos 20°.

Ответ: 2 sin 50° cos 20°.

Пример 2. Преобразовать sin 80° - sin 20°

Полусумма: 50°. Полуразность: 30°.

sin 80° - sin 20° = 2 cos 50° sin 30°.

sin 30° = 1/2, поэтому 2 · 1/2 = 1.

Ответ: cos 50°.

Пример 3. Преобразовать cos 75° + cos 15°

Полусумма: (75° + 15°)/2 = 45°.

Полуразность: (75° - 15°)/2 = 30°.

cos 75° + cos 15° = 2 cos 45° cos 30°.

= 2 · (√2/2) · (√3/2) = √6/2.

Ответ: √6/2.

Пример 4. Преобразовать cos 75° - cos 15°

Полусумма: 45°. Полуразность: 30°.

cos 75° - cos 15° = -2 sin 45° sin 30°.

= -2 · (√2/2) · (1/2) = -√2/2.

Ответ: -√2/2.

Пример 5. Преобразовать sin 5x + sin x

Полусумма: (5x + x)/2 = 3x.

Полуразность: (5x - x)/2 = 2x.

Ответ: 2 sin 3x cos 2x.

Пример 6. Преобразовать cos 7x - cos 3x

Полусумма: 5x. Полуразность: 2x.

cos 7x - cos 3x = -2 sin 5x sin 2x.

Ответ: -2 sin 5x sin 2x.

Пример 7. Распознать формулу в обратную сторону

Преобразовать 2 sin 4x cos x в сумму.

Сравниваем с 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2).

Получаем систему: (α + β)/2 = 4x, (α - β)/2 = x.

Отсюда α + β = 8x, α - β = 2x.

Складываем: 2α = 10x, значит α = 5x. Тогда β = 3x.

Ответ: sin 5x + sin 3x.

Пример 8. Вычислить sin 75° + sin 15°

Полусумма: 45°. Полуразность: 30°.

sin 75° + sin 15° = 2 sin 45° cos 30°.

= 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2.

Ответ: √6/2.

Типичные ошибки

1. Забывают делить сумму и разность на 2

В формулах используются именно полусумма и полуразность.

2. Меняют порядок в полуразности

Если исходное выражение sin α - sin β, полуразность записывают как (α - β)/2.

3. Путают формулы суммы и разности синусов

Сумма синусов начинается с sin полусуммы, разность синусов - с cos полусуммы.

4. Теряют минус в разности косинусов

cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2).

5. Путают множители у суммы косинусов

В сумме косинусов оба множителя являются косинусами.

6. Не упрощают табличные значения

После применения формулы проверьте, не появились ли 30°, 45° или 60°.

Практика с подсказками

Задание 1. Преобразуйте sin 9x + sin 3x

Показать решение

Полусумма: 6x. Полуразность: 3x.

Ответ: 2 sin 6x cos 3x.

Задание 2. Преобразуйте sin 7x - sin x

Показать решение

Полусумма: 4x. Полуразность: 3x.

Ответ: 2 cos 4x sin 3x.

Задание 3. Преобразуйте cos 10x + cos 2x

Показать решение

Полусумма: 6x. Полуразность: 4x.

Ответ: 2 cos 6x cos 4x.

Задание 4. Преобразуйте cos 8x - cos 2x

Показать решение

Полусумма: 5x. Полуразность: 3x.

Ответ: -2 sin 5x sin 3x.

Самостоятельная работа

1. Преобразуйте sin 11x + sin 5x

Показать ответ

Ответ: 2 sin 8x cos 3x.

2. Преобразуйте sin 6x - sin 2x

Показать ответ

Ответ: 2 cos 4x sin 2x.

3. Преобразуйте cos 9x + cos 3x

Показать ответ

Ответ: 2 cos 6x cos 3x.

4. Преобразуйте cos 12x - cos 4x

Показать ответ

Ответ: -2 sin 8x sin 4x.

Видео

Основное видео рассматривает сумму и произведение тригонометрических функций в рамках курса алгебры 10 класса. Дополнительное видео специально посвящено преобразованию суммы и разности функций в произведение.

Основное видео Rutube. Нужный фрагмент начинается примерно с 22:47, а вывод формул суммы и разности синусов и косинусов дан ближе к 31-й минуте.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните четыре формулы с нашей таблицей;
  • следите, как находятся полусумма и полуразность;
  • после каждого примера попробуйте записать формулу без подсказки.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • четыре формулы преобразования суммы и разности в произведение;
  • роль полусуммы и полуразности аргументов;
  • применение формул при преобразовании выражений и решении уравнений.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите вид исходного выражения;
  • отдельно вычислите полусумму и полуразность;
  • затем выберите подходящую тригонометрическую формулу.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют полусуммой α и β?

Ответ: выражение (α + β)/2.

02Что называют полуразностью α и β?

Ответ: выражение (α - β)/2.

03Как преобразуется sin α + sin β?

Ответ: 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2).

04Как преобразуется sin α - sin β?

Ответ: 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2).

05Как преобразуется cos α + cos β?

Ответ: 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2).

06Как преобразуется cos α - cos β?

Ответ: -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2).

07Какой знак чаще всего забывают в этих формулах?

Ответ: минус перед произведением в формуле разности косинусов.

08Во что преобразуется sin 5x + sin x?

Ответ: 2 sin 3x cos 2x.

Главное по уроку

Полусумма аргументов равна (α + β)/2, полуразность равна (α - β)/2.

sin α + sin β = 2 sin((α + β)/2) cos((α - β)/2).

sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) sin((α - β)/2).

cos α + cos β = 2 cos((α + β)/2) cos((α - β)/2).

cos α - cos β = -2 sin((α + β)/2) sin((α - β)/2).

Формулы выводятся из формул суммы и разности синуса и косинуса с помощью полусуммы и полуразности.

Эти преобразования особенно полезны при упрощении выражений и дальнейшем решении тригонометрических уравнений.

Следующий урок: «Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму».

49 Урок 49 Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму Открыть урокСвернуть урок

Урок 49. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

На прошлом уроке мы преобразовывали сумму и разность синусов и косинусов в произведение. Теперь выполним обратное преобразование: произведение двух тригонометрических функций заменим суммой или разностью функций. Эти формулы удобно применять при упрощении выражений, вычислении точных значений и дальнейшем решении тригонометрических уравнений.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать обратное преобразование

Разберетесь, как перейти от произведения функций к сумме или разности.

2

Преобразовывать sin α sin β

Выражать произведение двух синусов через два косинуса.

3

Преобразовывать cos α cos β

Выражать произведение двух косинусов через сумму косинусов.

4

Работать со смешанным произведением

Преобразовывать sin α cos β и cos α sin β.

5

Вычислять точные значения

Использовать новые формулы вместе с табличными значениями.

6

Выбирать направление преобразования

Понимать, когда удобнее сумма, а когда произведение.

Что такое обратное преобразование

Обратное преобразование

Обратное преобразование - переход в направлении, противоположном уже известному. В уроке 48 мы переходили от суммы к произведению. Теперь будем переходить от произведения к сумме или разности.

В формулах используются два аргумента α и β. Буквы α и β читаются «альфа» и «бета».

Запись sin α · cos β означает произведение sin α и cos β. Точка · обозначает умножение.

В правой части формул будут встречаться α + β и α - β, то есть сумма и разность исходных аргументов.

В отличие от урока 48 здесь нет полусуммы и полуразности. После преобразования появляются полные сумма α + β и разность α - β.

Четыре основные формулы

sin α · sin β = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2 cos α · cos β = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2 sin α · cos β = (sin(α + β) + sin(α - β)) / 2 cos α · sin β = (sin(α + β) - sin(α - β)) / 2
Самая частая путаница: sin α cos β дает сумму двух синусов, а cos α sin β дает их разность. Порядок α и β имеет значение.

Вывод формулы для cos α cos β

Начнем с двух известных формул косинуса суммы и разности:

cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Сложим равенства почленно, то есть левую часть с левой и правую часть с правой. Слагаемые +sin α sin β и -sin α sin β взаимно уничтожаются.

cos(α - β) + cos(α + β) = 2 cos α cos β cos α cos β = (cos(α - β) + cos(α + β)) / 2

Вывод формулы для sin α sin β

Используем те же две формулы, но теперь из cos(α - β) вычтем cos(α + β).

cos(α - β) - cos(α + β) = 2 sin α sin β sin α sin β = (cos(α - β) - cos(α + β)) / 2
Для произведения двух синусов в правой части стоят два косинуса: сначала косинус разности, затем минус косинус суммы.

Вывод формул для sin α cos β и cos α sin β

Теперь используем формулы синуса суммы и разности.

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Если эти равенства сложить, выражения cos α sin β уничтожатся. Если из первого вычесть второе, уничтожатся выражения sin α cos β.

sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α - β)) / 2 cos α sin β = (sin(α + β) - sin(α - β)) / 2

Справочная таблица

Произведение Результат Как запомнить
sin α sin β (cos(α - β) - cos(α + β))/2 Два косинуса, между ними минус
cos α cos β (cos(α - β) + cos(α + β))/2 Два косинуса, между ними плюс
sin α cos β (sin(α + β) + sin(α - β))/2 Два синуса, между ними плюс
cos α sin β (sin(α + β) - sin(α - β))/2 Два синуса, между ними минус
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм преобразования произведения в сумму

1

Определите вид произведения

sin · sin, cos · cos, sin · cos или cos · sin.

2

Найдите сумму аргументов

Вычислите α + β.

3

Найдите разность аргументов

Вычислите α - β, сохраняя порядок аргументов.

4

Выберите формулу

Особенно внимательно различайте sin α cos β и cos α sin β.

5

Не забудьте множитель 1/2

Во всех четырех формулах результат делится на 2.

6

Упростите табличные значения

Если появились углы 0°, 30°, 45°, 60°, 90° или другие известные углы, вычислите их функции.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Преобразовать sin 5x cos 3x

Это произведение вида sin α cos β.

α + β = 8x, α - β = 2x.

sin 5x cos 3x = (sin 8x + sin 2x)/2.

Ответ: (sin 8x + sin 2x)/2.

Пример 2. Преобразовать cos 4x cos 2x

Это произведение двух косинусов.

Разность аргументов: 2x. Сумма аргументов: 6x.

Ответ: (cos 2x + cos 6x)/2.

Пример 3. Преобразовать sin 4x sin 2x

Используем формулу произведения двух синусов.

α - β = 2x, α + β = 6x.

Ответ: (cos 2x - cos 6x)/2.

Пример 4. Преобразовать cos 4x sin 2x

Это вид cos α sin β.

α + β = 6x, α - β = 2x.

Ответ: (sin 6x - sin 2x)/2.

Пример 5. Вычислить sin 75° sin 15°

sin 75° sin 15° = (cos 60° - cos 90°)/2.

cos 60° = 1/2, cos 90° = 0.

Получаем (1/2 - 0)/2 = 1/4.

Ответ: 1/4.

Пример 6. Вычислить cos 75° cos 15°

cos 75° cos 15° = (cos 60° + cos 90°)/2.

= (1/2 + 0)/2.

Ответ: 1/4.

Пример 7. Вычислить sin 75° cos 15°

sin 75° cos 15° = (sin 90° + sin 60°)/2.

= (1 + √3/2)/2.

Ответ: (2 + √3)/4.

Пример 8. Проверить обратное преобразование

Начнем с (sin 8x + sin 2x)/2.

По формуле урока 48:

sin 8x + sin 2x = 2 sin 5x cos 3x.

После деления на 2 получаем sin 5x cos 3x.

Вывод: преобразования действительно взаимно обратны.

Типичные ошибки

1. Забывают деление на 2

Во всех четырех формулах справа стоит множитель 1/2.

2. Путают сумму и разность аргументов

Сначала отдельно вычислите α + β и α - β.

3. Путают sin α sin β и cos α cos β

Для двух синусов между косинусами стоит минус, для двух косинусов - плюс.

4. Путают sin α cos β и cos α sin β

В первом случае между синусами плюс, во втором - минус.

5. Меняют порядок α - β без учета знака

Для синуса sin(β - α) = -sin(α - β), поэтому порядок может изменить знак.

6. Не упрощают табличные функции

После преобразования проверьте, появились ли известные углы.

Практика с подсказками

Задание 1. Преобразуйте sin 7x cos 2x

Показать решение

Сумма аргументов 9x, разность 5x.

Ответ: (sin 9x + sin 5x)/2.

Задание 2. Преобразуйте cos 8x cos 3x

Показать решение

Разность 5x, сумма 11x.

Ответ: (cos 5x + cos 11x)/2.

Задание 3. Преобразуйте sin 9x sin 4x

Показать решение

Разность 5x, сумма 13x.

Ответ: (cos 5x - cos 13x)/2.

Задание 4. Преобразуйте cos 6x sin x

Показать решение

Используем формулу cos α sin β.

Ответ: (sin 7x - sin 5x)/2.

Самостоятельная работа

1. Преобразуйте sin 10x cos 4x

Показать ответ

Ответ: (sin 14x + sin 6x)/2.

2. Преобразуйте cos 9x cos x

Показать ответ

Ответ: (cos 8x + cos 10x)/2.

3. Преобразуйте sin 8x sin 2x

Показать ответ

Ответ: (cos 6x - cos 10x)/2.

4. Преобразуйте cos 5x sin 3x

Показать ответ

Ответ: (sin 8x - sin 2x)/2.

Видео

Основное видео содержит отдельный фрагмент о преобразовании суммы в произведение и обратном переходе. Дополнительное видео полностью посвящено формулам преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.

Основное видео Rutube. Нужный фрагмент начинается примерно с 22:48: там рассматриваются преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и обратно.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сопоставьте четыре формулы с нашей справочной таблицей;
  • следите за порядком α - β;
  • особенно сравните формулы sin α cos β и cos α sin β.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как формулы произведения в сумму выводятся из формул сложения;
  • чем отличаются произведения sin sin, cos cos и смешанные произведения;
  • как использовать преобразования в обе стороны.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите тип произведения;
  • восстановите формулу самостоятельно;
  • только после этого выбирайте ответ в упражнении.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют обратным преобразованием в этом уроке?

Ответ: переход от произведения тригонометрических функций к сумме или разности.

02Как преобразуется sin α sin β?

Ответ: (cos(α - β) - cos(α + β))/2.

03Как преобразуется cos α cos β?

Ответ: (cos(α - β) + cos(α + β))/2.

04Как преобразуется sin α cos β?

Ответ: (sin(α + β) + sin(α - β))/2.

05Как преобразуется cos α sin β?

Ответ: (sin(α + β) - sin(α - β))/2.

06Какой общий множитель присутствует во всех четырех формулах?

Ответ: 1/2.

07Во что преобразуется sin 5x cos 3x?

Ответ: (sin 8x + sin 2x)/2.

08Почему важно сохранять порядок α - β?

Ответ: для синуса перестановка аргументов в разности меняет знак: sin(β - α) = -sin(α - β).

Главное по уроку

Преобразование произведения в сумму является обратным к преобразованиям предыдущего урока.

sin α sin β = (cos(α - β) - cos(α + β))/2.

cos α cos β = (cos(α - β) + cos(α + β))/2.

sin α cos β = (sin(α + β) + sin(α - β))/2.

cos α sin β = (sin(α + β) - sin(α - β))/2.

Во всех формулах справа используется множитель 1/2.

При смешанных произведениях важно сохранять порядок функций и аргументов.

Следующий урок: «Тождественные преобразования тригонометрических выражений».

50 Урок 50 Тождественные преобразования тригонометрических выражений Открыть урокСвернуть урок

Урок 50. Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Мы уже изучили основное тригонометрическое тождество, формулы приведения, сложения, двойного и половинного угла, а также преобразования суммы и произведения. Теперь объединим эти формулы в единый инструмент. Главная задача урока - научиться видеть, какое преобразование следует выполнить первым и как проверить, что полученный результат равносилен исходному выражению.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать тождественное преобразование

Отличать преобразование выражения от решения уравнения.

2

Выбирать нужную формулу

Определять, что удобнее применить: основное тождество, двойной угол, формулы сложения или другие формулы.

3

Работать с дробями

Находить общий знаменатель, раскладывать на множители и сокращать только при допустимых значениях.

4

Учитывать ОДЗ

Сохранять ограничения исходного выражения после упрощения.

5

Доказывать тождества

Преобразовывать одну часть равенства до вида другой части.

6

Проверять результат

Использовать обратное преобразование, знаки и числовую проверку для контроля.

Что такое тождественное преобразование

Тождественное преобразование

Тождественное преобразование - замена выражения другим выражением, которое имеет то же значение при всех общих допустимых значениях переменной.

Например, выражение 1 - sin²x можно заменить на cos²x, потому что из основного тригонометрического тождества sin²x + cos²x = 1 следует 1 - sin²x = cos²x.

Здесь буква x обозначает переменную. Она может принимать разные действительные значения, если выражение при этих значениях определено.

Тождество и уравнение - не одно и то же

Тождество верно для всех допустимых значений переменной. Уравнение верно только для тех значений переменной, которые являются его решениями.

ОДЗ при преобразовании выражений

ОДЗ - область допустимых значений

Область допустимых значений (ОДЗ) - все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. Если в исходном выражении есть дробь, ее знаменатель не должен быть равен нулю. Если есть tg x, требуется cos x ≠ 0. Если есть ctg x, требуется sin x ≠ 0.

После сокращения дроби запрещенные значения не возвращаются. Например, выражение cos²x/cos x сокращается до cos x только при cos x ≠ 0, потому что исходная дробь при cos x = 0 не существует.

Карта выбора формулы

Что видно в выражении Что проверить или применить Пример
sin²x + cos²x Основное тождество sin²x + cos²x = 1
1 - sin²x или 1 - cos²x Основное тождество 1 - sin²x = cos²x
2 sin x cos x Синус двойного угла 2 sin x cos x = sin 2x
cos²x - sin²x Косинус двойного угла cos²x - sin²x = cos 2x
1 - cos 2x или 1 + cos 2x Понижение степени в обратную сторону 1 - cos 2x = 2sin²x
sin α ± sin β, cos α ± cos β Сумму или разность перевести в произведение sin α + sin β = 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)
sin α cos β, cos α cos β и похожие произведения Произведение перевести в сумму sin α cos β = (sin(α+β)+sin(α-β))/2
tg x или ctg x вместе с sin x, cos x Перейти к sin и cos tg x = sin x / cos x
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Универсальный алгоритм преобразования

1

Запишите ОДЗ

Проверьте знаменатели, tg, ctg и другие выражения, которые могут быть не определены.

2

Определите структуру выражения

Есть ли квадраты функций, двойные углы, сумма функций, произведение или дробь?

3

Выберите цель

Решите, к чему удобнее привести выражение: к одной функции, произведению, сумме или дроби с общим знаменателем.

4

Примените одну формулу за один шаг

Не меняйте сразу несколько частей выражения без промежуточной записи.

5

Выполните обычную алгебру

Раскройте скобки, вынесите общий множитель, приведите дроби к общему знаменателю или сократите допустимые множители.

6

Проверьте результат и ОДЗ

Убедитесь, что преобразование не изменило исходные ограничения.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Упростить (1 - cos 2x) / sin 2x

ОДЗ: sin 2x ≠ 0.

Используем 1 - cos 2x = 2sin²x и sin 2x = 2sin x cos x.

(1 - cos 2x)/sin 2x = 2sin²x/(2sin x cos x).

На ОДЗ sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0, поэтому сокращаем 2sin x.

Получаем sin x/cos x = tg x.

Ответ: tg x при sin 2x ≠ 0.

Пример 2. Упростить (1 + cos 2x) / sin 2x

ОДЗ: sin 2x ≠ 0.

1 + cos 2x = 2cos²x, sin 2x = 2sin x cos x.

Получаем cos x/sin x.

По определению это ctg x.

Ответ: ctg x при sin 2x ≠ 0.

Пример 3. Доказать (sin x + cos x)² = 1 + sin 2x

Преобразуем левую часть.

(sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x.

sin²x + cos²x = 1.

2sin x cos x = sin 2x.

Получаем 1 + sin 2x, то есть правую часть.

Тождество доказано.

Пример 4. Упростить (1 - sin²x) / cos x

ОДЗ: cos x ≠ 0.

1 - sin²x = cos²x.

Получаем cos²x/cos x = cos x.

Сокращение выполнено только при cos x ≠ 0.

Ответ: cos x при cos x ≠ 0.

Пример 5. Упростить tg x + ctg x

ОДЗ: sin x ≠ 0 и cos x ≠ 0.

tg x + ctg x = sin x/cos x + cos x/sin x.

Приводим к общему знаменателю sin x cos x.

Числитель: sin²x + cos²x = 1.

Получаем 1/(sin x cos x).

Так как sin 2x = 2sin x cos x, получаем 2/sin 2x.

Ответ: 2/sin 2x на исходной ОДЗ.

Пример 6. Упростить (sin α + sin β)/(cos α + cos β)

ОДЗ: cos α + cos β ≠ 0.

Преобразуем сумму синусов и сумму косинусов в произведения.

Числитель: 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2).

Знаменатель: 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2).

На исходной ОДЗ общий множитель в знаменателе не равен нулю, поэтому сокращение допустимо.

Ответ: tg((α + β)/2) на исходной ОДЗ.

Пример 7. Упростить cos²x - sin²x + 2sin x cos x

Первые два слагаемых образуют cos 2x.

Последнее слагаемое равно sin 2x.

Ответ: cos 2x + sin 2x.

Пример 8. Упростить (cos 2x - cos 4x)/(sin 4x + sin 2x)

ОДЗ: sin 4x + sin 2x ≠ 0.

Числитель по формуле разности косинусов:

cos 2x - cos 4x = 2sin 3x sin x.

Знаменатель по формуле суммы синусов:

sin 4x + sin 2x = 2sin 3x cos x.

На исходной ОДЗ сокращаем общий множитель 2sin 3x.

Получаем sin x/cos x = tg x.

Ответ: tg x на исходной ОДЗ.

Как доказывать тригонометрическое тождество

1

Не начинайте с утверждения «левая часть равна правой»

Это именно то, что нужно доказать.

2

Выберите более сложную часть

Чаще всего удобно преобразовывать только левую часть до вида правой.

3

Используйте известные тождества

Каждый переход должен опираться на конкретную формулу или обычное алгебраическое действие.

4

Дойдите до второй части

Когда преобразованная часть полностью совпала со второй, доказательство завершено.

Типичные ошибки

1. Применяют первую вспомнившуюся формулу

Сначала определите структуру выражения и цель преобразования.

2. Теряют ОДЗ после сокращения

Упрощенный результат рассматривается только на области допустимых значений исходного выражения.

3. Сокращают слагаемые

Сокращать можно общие множители числителя и знаменателя, но не отдельные слагаемые суммы.

4. Смешивают формулы разных типов

Например, 1 - cos 2x связано с sin²x, а 1 + cos 2x связано с cos²x.

5. Доказывают тождество кругом

Нельзя использовать само доказываемое равенство как основание одного из шагов.

6. Не проверяют конечный результат

После преобразования полезно выполнить обратную замену или числовую проверку на допустимом значении.

Практика с подсказками

Задание 1. Упростите (1 - cos 2x)/(2sin x)

Показать решение

ОДЗ: sin x ≠ 0.

1 - cos 2x = 2sin²x.

Получаем 2sin²x/(2sin x) = sin x.

Ответ: sin x при sin x ≠ 0.

Задание 2. Упростите (1 + cos 2x)/(2cos x)

Показать решение

ОДЗ: cos x ≠ 0.

1 + cos 2x = 2cos²x.

Ответ: cos x при cos x ≠ 0.

Задание 3. Упростите sin²x + cos²x + sin 2x

Показать решение

sin²x + cos²x = 1.

Ответ: 1 + sin 2x.

Задание 4. Упростите sin 5x + sin x

Показать решение

Используем преобразование суммы в произведение.

Ответ: 2sin 3x cos 2x.

Самостоятельная работа

1. Упростите (1 - sin²x)/cos x

Показать ответ

Ответ: cos x при cos x ≠ 0.

2. Упростите 2sin x cos x + cos²x - sin²x

Показать ответ

Ответ: sin 2x + cos 2x.

3. Упростите cos 6x - cos 2x

Показать ответ

Ответ: -2sin 4x sin 2x.

4. Докажите 1 - 2sin²x = cos 2x

Показать ответ

Из sin²x + cos²x = 1 имеем 1 - 2sin²x = cos²x - sin²x = cos 2x.

Тождество доказано.

Видео

Основное видео показывает применение основных тригонометрических тождеств при преобразовании выражений. Дополнительное видео содержит задачи на доказательство тождеств и упрощение выражений.

Основное видео Rutube. Следите, какую формулу выбирают для каждого выражения и как выполняются промежуточные преобразования.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сначала попробуйте выполнить каждый шаг самостоятельно;
  • сравнивайте выбор формулы с нашей картой преобразований;
  • особенно следите за ОДЗ в дробях и выражениях с тангенсом.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как формулы двойного угла используются при доказательстве тождеств;
  • как сокращать дробные тригонометрические выражения;
  • как организовать последовательность преобразований.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала назовите формулу, которую собираетесь применить;
  • выполняйте только один преобразовательный шаг за раз;
  • после ответа проверьте, не было ли потеряно ограничение исходного выражения.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют тождественным преобразованием?

Ответ: замену выражения другим выражением с тем же значением при всех общих допустимых значениях переменной.

02Чем тождество отличается от уравнения?

Ответ: тождество верно для всех допустимых значений, а уравнение только для его решений.

03Что означает ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений, то есть значения, при которых исходное выражение определено.

04Как преобразовать 1 - cos 2x?

Ответ: 1 - cos 2x = 2sin²x.

05Как преобразовать 1 + cos 2x?

Ответ: 1 + cos 2x = 2cos²x.

06Почему после сокращения нельзя забывать исходную ОДЗ?

Ответ: сокращенное выражение может быть определено там, где исходная дробь не существовала, но тождественное преобразование действует только на общей области допустимых значений.

07Во что превращается 2sin x cos x?

Ответ: в sin 2x.

08С чего лучше начинать доказательство тождества?

Ответ: с выбора более сложной части и последовательного преобразования ее по известным формулам до вида второй части.

Главное по уроку

Тождественное преобразование сохраняет значение выражения на общей области допустимых значений.

Перед преобразованием дробей, tg и ctg нужно записывать ОДЗ - область допустимых значений.

Выбор формулы зависит от структуры выражения и цели преобразования.

Квадраты функций удобно связывать с основным тождеством и формулами двойного угла.

Суммы и произведения функций можно преобразовывать друг в друга специальными формулами.

При доказательстве тождества каждый шаг должен опираться на известную формулу или обычное алгебраическое действие.

После сокращения исходные ограничения сохраняются.

Следующий урок: «Арксинус, арккосинус и арктангенс числа».

51 Урок 51 Арксинус, арккосинус и арктангенс числа Открыть урокСвернуть урок

Урок 51. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

До сих пор мы знали угол и находили его синус, косинус или тангенс. Теперь решим обратную задачу: по известному значению тригонометрической функции будем находить специальный, главный угол. Для этого используются арксинус, арккосинус и арктангенс.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать обратную задачу

По значению sin, cos или tg находить главный угол.

2

Читать новые обозначения

Понимать записи arcsin a, arccos a и arctg a.

3

Знать допустимые значения

Определять, когда arcsin a и arccos a существуют, а когда нет.

4

Знать главные промежутки

Понимать, из какого промежутка выбирается значение каждой аркфункции.

5

Вычислять табличные значения

Находить arcsin(1/2), arccos(-√2/2), arctg(√3) и другие значения.

6

Не путать аркфункции с обратной дробью

Понимать, что arcsin a не означает 1/sin a.

Зачем нужны арксинус, арккосинус и арктангенс

Если известен угол, например 30°, то легко найти sin 30° = 1/2. Но иногда задача поставлена наоборот: известно, что синус некоторого угла равен 1/2, и нужно назвать угол.

Проблема в том, что одинаковое значение синуса встречается у многих углов. Например, sin 30° = 1/2 и sin 150° = 1/2. Кроме того, после полного оборота значения повторяются.

Поэтому для обратной операции заранее выбирают один специальный промежуток углов. Угол из этого промежутка называют главным значением.

Главное значение

Главное значение аркфункции - единственный угол из заранее выбранного промежутка, для которого соответствующая тригонометрическая функция имеет заданное значение.

Очень важное предупреждение: arcsin не означает 1/sin

Запись arcsin a читается «арксинус числа a». Это угол, а не дробь.

Аналогично, arccos a - арккосинус числа a, arctg a - арктангенс числа a.

Не путайте: arcsin a не равно 1/sin a. Приставка arc указывает на обратную тригонометрическую операцию, то есть на поиск главного угла по известному значению функции.

Арксинус числа

Определение arcsin a

Арксинусом числа a, где -1 ≤ a ≤ 1, называется единственный угол α из промежутка [-π/2; π/2], синус которого равен a.

α = arcsin a ⇔ sin α = a и α ∈ [-π/2; π/2]

Символ ⇔ читается «тогда и только тогда». Он показывает, что условия слева и справа равносильны.

Символ ∈ читается «принадлежит». Запись α ∈ [-π/2; π/2] означает, что α находится в указанном промежутке, включая его концы.

Почему число a должно лежать от -1 до 1? Потому что синус любого действительного угла принимает значения только от -1 до 1.

arcsin 0 = 0 arcsin(1/2) = π/6 arcsin(√2/2) = π/4 arcsin(√3/2) = π/3 arcsin 1 = π/2

Почему arcsin(1/2) = π/6, а не 5π/6

И π/6, и 5π/6 имеют синус 1/2. Но по определению арксинус выбирает угол только из промежутка [-π/2; π/2].

Угол π/6 находится в этом промежутке, а 5π/6 не находится. Поэтому главным значением является π/6.

Арксинус не перечисляет все углы с данным синусом. Он возвращает только один главный угол. Все решения уравнения sin x = a мы будем находить на следующих уроках.

Арккосинус числа

Определение arccos a

Арккосинусом числа a, где -1 ≤ a ≤ 1, называется единственный угол α из промежутка [0; π], косинус которого равен a.

α = arccos a ⇔ cos α = a и α ∈ [0; π]
arccos 1 = 0 arccos(√3/2) = π/6 arccos(√2/2) = π/4 arccos(1/2) = π/3 arccos 0 = π/2 arccos(-1) = π
Для арккосинуса главный промежуток другой: от 0 до π. Поэтому значение arccos a никогда не бывает отрицательным.

Арктангенс числа

Определение arctg a

Арктангенсом числа a, где a - любое действительное число, называется единственный угол α из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен a.

α = arctg a ⇔ tg α = a и α ∈ (-π/2; π/2)

Круглые скобки в промежутке (-π/2; π/2) означают, что точки -π/2 и π/2 в промежуток не входят. Это естественно: tg(-π/2) и tg(π/2) не существуют.

В отличие от синуса и косинуса, тангенс принимает любые действительные значения. Поэтому arctg a существует для любого действительного a.

arctg 0 = 0 arctg(√3/3) = π/6 arctg 1 = π/4 arctg √3 = π/3

Сравним три определения

Аркфункция Какие a допустимы Главный промежуток угла Что должно выполняться
arcsin a -1 ≤ a ≤ 1 [-π/2; π/2] sin(arcsin a) = a
arccos a -1 ≤ a ≤ 1 [0; π] cos(arccos a) = a
arctg a любое действительное a (-π/2; π/2) tg(arctg a) = a
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Свойства, которые удобно помнить

sin(arcsin a) = a, если -1 ≤ a ≤ 1 cos(arccos a) = a, если -1 ≤ a ≤ 1 tg(arctg a) = a для любого действительного a arcsin(-a) = -arcsin a arctg(-a) = -arctg a arccos(-a) = π - arccos a
Обратная запись требует осторожности. Например, arcsin(sin x) = x только тогда, когда x находится в главном промежутке [-π/2; π/2].

Почему arcsin(sin x) не всегда равен x

Возьмем x = 5π/6. Тогда sin(5π/6) = 1/2.

Теперь вычислим arcsin(1/2). По определению это π/6, потому что π/6 находится в главном промежутке арксинуса [-π/2; π/2].

arcsin(sin(5π/6)) = arcsin(1/2) = π/6
Получили π/6, а не 5π/6. Поэтому аркфункция всегда возвращает главное значение, а не обязательно исходный угол.

Алгоритм вычисления аркфункции

1

Определите функцию

Нужно найти arcsin, arccos или arctg?

2

Проверьте допустимость числа

Для arcsin и arccos число должно лежать от -1 до 1. Для arctg подходит любое действительное число.

3

Вспомните табличный угол

Найдите угол, у которого нужная функция равна заданному числу.

4

Проверьте главный промежуток

Угол обязательно должен принадлежать промежутку соответствующей аркфункции.

5

Запишите единственное главное значение

Аркфункция возвращает один угол, а не все возможные углы.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. arcsin(1/2)

Ищем угол из [-π/2; π/2], синус которого равен 1/2.

sin(π/6) = 1/2.

Ответ: π/6.

Пример 2. arcsin(-√2/2)

sin(-π/4) = -√2/2, а -π/4 находится в главном промежутке.

Ответ: -π/4.

Пример 3. arccos(1/2)

Ищем угол из [0; π], косинус которого равен 1/2.

cos(π/3) = 1/2.

Ответ: π/3.

Пример 4. arccos(-√2/2)

В промежутке [0; π] косинус -√2/2 имеет угол 3π/4.

Ответ: 3π/4.

Пример 5. arctg 1

Ищем угол из (-π/2; π/2), тангенс которого равен 1.

tg(π/4) = 1.

Ответ: π/4.

Пример 6. arctg(-√3)

tg(-π/3) = -√3, а -π/3 принадлежит (-π/2; π/2).

Ответ: -π/3.

Пример 7. arcsin 2

Синус действительного угла не может быть равен 2.

Число 2 не принадлежит промежутку [-1; 1].

Ответ: arcsin 2 в действительных числах не определен.

Пример 8. arcsin(sin(2π/3))

sin(2π/3) = √3/2.

arcsin(√3/2) = π/3.

Ответ: π/3, а не 2π/3.

Типичные ошибки

1. Считают arcsin a дробью 1/sin a

Арксинус - это главный угол, синус которого равен a.

2. Не проверяют диапазон a

Для arcsin и arccos обязательно -1 ≤ a ≤ 1.

3. Выбирают любой подходящий угол

Нужно выбрать угол именно из главного промежутка аркфункции.

4. Используют один главный промежуток для всех аркфункций

У arcsin, arccos и arctg разные главные промежутки.

5. Считают arcsin(sin x) всегда равным x

Это верно только если x уже находится в главном промежутке arcsin.

6. Путают знак arccos отрицательного числа

Значение arccos всегда лежит от 0 до π и поэтому не бывает отрицательным.

Практика с подсказками

Задание 1. Найдите arcsin(√3/2)

Показать решение

sin(π/3) = √3/2, а π/3 принадлежит [-π/2; π/2].

Ответ: π/3.

Задание 2. Найдите arccos(-1/2)

Показать решение

В промежутке [0; π] косинус -1/2 имеет угол 2π/3.

Ответ: 2π/3.

Задание 3. Найдите arctg(√3/3)

Показать решение

tg(π/6) = √3/3.

Ответ: π/6.

Задание 4. Определен ли arccos 1,4?

Показать решение

Нет. Для arccos a требуется -1 ≤ a ≤ 1, а 1,4 > 1.

Ответ: в действительных числах не определен.

Самостоятельная работа

1. Найдите arcsin(-1/2)

Показать ответ

Ответ: -π/6.

2. Найдите arccos 0

Показать ответ

Ответ: π/2.

3. Найдите arctg(-1)

Показать ответ

Ответ: -π/4.

4. Найдите arcsin(sin(3π/4))

Показать ответ

sin(3π/4) = √2/2, поэтому arcsin(√2/2) = π/4.

Ответ: π/4.

Видео

Основное видео с нуля объясняет обратные тригонометрические функции, их главные промежутки и ограничения. Дополнительное видео предназначено для 10 класса и отдельно разбирает арксинус, арккосинус и арктангенс.

Основное видео Rutube. Обратите внимание на главные промежутки: для arccos материал начинается примерно с 08:53, для arcsin - с 16:14, для arctg - с 20:22.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните определения трех аркфункций;
  • отдельно выпишите главные промежутки;
  • после каждого примера сначала самостоятельно назовите главный угол.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • определения arcsin, arccos и arctg;
  • главные промежутки значений углов;
  • вычисление табличных значений аркфункций.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите, какая аркфункция дана;
  • вспомните ее главный промежуток;
  • только затем выбирайте главный угол с нужным значением функции.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает arcsin a?

Ответ: главный угол из [-π/2; π/2], синус которого равен a, при -1 ≤ a ≤ 1.

02Какой главный промежуток у arccos a?

Ответ: [0; π].

03Для каких a существует arctg a?

Ответ: для любого действительного числа a.

04Почему arcsin 2 не определен в действительных числах?

Ответ: синус действительного угла принимает значения только от -1 до 1.

05Чему равен arcsin(1/2)?

Ответ: π/6.

06Чему равен arccos(-1/2)?

Ответ: 2π/3.

07Чему равен arctg 1?

Ответ: π/4.

08Почему arcsin(sin x) не всегда равен x?

Ответ: arcsin всегда возвращает значение только из главного промежутка [-π/2; π/2].

Главное по уроку

Аркфункции решают обратную задачу: по значению тригонометрической функции находят главный угол.

arcsin a определен при -1 ≤ a ≤ 1 и принимает значения в [-π/2; π/2].

arccos a определен при -1 ≤ a ≤ 1 и принимает значения в [0; π].

arctg a определен для любого действительного a и принимает значения в (-π/2; π/2).

arcsin a, arccos a и arctg a являются углами, а не обратными дробями.

Аркфункция возвращает только одно главное значение, даже если исходная тригонометрическая функция принимает это значение при многих углах.

Следующий урок: «Простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a».

52 Урок 52 Простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a Открыть урокСвернуть урок

Урок 52. Простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a

На прошлом уроке мы научились по числу находить главное значение арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Теперь используем эти понятия для решения уравнений. В этом уроке особенно важно понять не только готовые формулы, но и причину появления бесконечного количества решений. Поэтому сначала восстановим смысл уравнения, корня, периода и целого параметра n, а затем пошагово выведем формулы.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать смысл решения

Разберетесь, что называют корнем тригонометрического уравнения и почему корней часто бесконечно много.

2

Понимать параметр n

Научитесь читать запись n ∈ Z и получать из общей формулы конкретные корни.

3

Решать sin x = a

Поймете, почему обычно возникают две серии решений.

4

Решать cos x = a

Используете симметрию единичной окружности и запись ±arccos a.

5

Решать tg x = a

Увидите, почему к arctg a прибавляют πn, а не 2πn.

6

Проверять ответ

Подставлять отдельные значения n и контролировать полученные корни по таблице и окружности.

Сначала вспомним: что значит решить уравнение

Уравнение

Уравнение - равенство, содержащее неизвестную переменную. В наших уравнениях неизвестная переменная обозначается буквой x.

Корень уравнения

Корень уравнения - такое значение x, при подстановке которого равенство становится верным. Например, x = π/6 является корнем уравнения sin x = 1/2, потому что sin(π/6) = 1/2.

Решить уравнение

Решить уравнение - найти все его корни или доказать, что корней нет. В тригонометрии слово «все» особенно важно: из-за периодичности одного найденного угла обычно недостаточно.

Почему решений обычно бесконечно много

Период функции

Период - такое положительное число T, после прибавления которого значение функции повторяется: f(x + T) = f(x). Буква T здесь обозначает длину одного полного повторения.

Для синуса и косинуса основной период равен 2π, то есть одному полному обороту 360°:

sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x

У тангенса период короче и равен π, то есть 180°:

tg(x + π) = tg x
Поэтому, если x = π/6 подходит к уравнению sin x = 1/2, то также подходят π/6 + 2π, π/6 - 2π, π/6 + 4π и так далее.

Что означает n ∈ Z

Чтобы не перечислять бесконечно много одинаково устроенных корней, используют целый параметр n.

Целые числа Z

Буквой Z в формулах будем обозначать множество всех целых чисел: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Запись n ∈ Z читается «n принадлежит множеству целых чисел». Символ ∈ читается «принадлежит».

Например, запись x = π/6 + 2πn, n ∈ Z означает целую серию:

n = 0 → x = π/6 n = 1 → x = π/6 + 2π = 13π/6 n = -1 → x = π/6 - 2π = -11π/6
Параметр n не является отдельной неизвестной задачи. Он нужен, чтобы одной короткой формулой записать бесконечное семейство корней.

Что означает число a в уравнении

Параметр a

В простейшем уравнении sin x = a, cos x = a или tg x = a буква a обозначает заданное число. Его значение известно из условия задачи.

Например, в уравнении sin x = 1/2 имеем a = 1/2. В уравнении cos x = -√3/2 имеем a = -√3/2.

Для синуса и косинуса сначала обязательно проверяем, допустимо ли значение a. Так как -1 ≤ sin x ≤ 1 и -1 ≤ cos x ≤ 1, уравнения sin x = a и cos x = a не имеют действительных решений при |a| > 1.

Модуль |a|

|a| читается «модуль a» и показывает расстояние числа a от нуля. Например, |3| = 3 и |-3| = 3. Условие |a| ≤ 1 означает -1 ≤ a ≤ 1.

Уравнение sin x = a: геометрический смысл

На единичной окружности sin x равен y-координате точки. Поэтому уравнение sin x = a означает: найти все точки окружности, у которых y-координата равна a.

Если -1 < a < 1 и a не равно 0 в общем случае горизонтальная линия y = a пересекает окружность в двух точках. Поэтому за один полный оборот обычно получаем два угла.

Первый главный угол

Обозначим α = arcsin a. Это главный угол из промежутка [-π/2; π/2], синус которого равен a.

Второй угол с тем же синусом симметричен первому относительно вертикальной оси Oy. Его можно записать как π - α.

x = arcsin a + 2πn или x = π - arcsin a + 2πn n ∈ Z, |a| ≤ 1
Эта запись с двумя сериями особенно удобна для понимания: сначала находим два угла за один оборот, затем к каждому прибавляем любое целое число полных оборотов 2π.

Короткая общая формула для sin x = a

Две серии решений можно объединить в одну компактную формулу:

x = (-1)ⁿ · arcsin a + πn, n ∈ Z
Что означает (-1)ⁿ

Запись (-1)ⁿ означает число -1, возведенное в целую степень n. Если n четное, (-1)ⁿ = 1. Если n нечетное, (-1)ⁿ = -1. Поэтому знак перед arcsin a поочередно меняется.

Если эта компактная формула пока кажется сложной, можно пользоваться двумя сериями из предыдущего блока. Они полностью равносильны и часто понятнее при первом изучении.

Пример: решим sin x = 1/2 очень подробно

1

Проверяем значение a

a = 1/2. Число 1/2 лежит между -1 и 1, значит решения существуют.

2

Находим arcsin a

arcsin(1/2) = π/6, потому что sin(π/6) = 1/2 и π/6 находится в главном промежутке арксинуса.

3

Записываем первый угол

x = π/6 + 2πn.

4

Находим второй угол

π - π/6 = 5π/6, поэтому x = 5π/6 + 2πn.

5

Записываем окончательный ответ

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Уравнение cos x = a

На единичной окружности cos x равен x-координате точки. Поэтому cos x = a означает: найти точки окружности с x-координатой a.

Если |a| ≤ 1, за один полный оборот обычно есть две симметричные точки. Главный угол равен arccos a и лежит в промежутке [0; π]. Второй угол можно записать как -arccos a.

x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z, |a| ≤ 1
Знак ±

Символ ± читается «плюс-минус». Здесь он означает две серии: x = arccos a + 2πn и x = -arccos a + 2πn.

Если |a| > 1, уравнение cos x = a не имеет действительных решений, потому что косинус не выходит за пределы от -1 до 1.

Пример: решим cos x = -1/2 подробно

1

Проверяем допустимость

|-1/2| = 1/2 ≤ 1, поэтому решения есть.

2

Находим arccos(-1/2)

В промежутке [0; π] косинус равен -1/2 при угле 2π/3.

3

Используем знак ±

x = ±2π/3 + 2πn.

4

Понимаем две серии

x = 2π/3 + 2πn или x = -2π/3 + 2πn.

5

Проверяем

cos(2π/3) = -1/2 и cos(-2π/3) = -1/2. Оба семейства верны.

Уравнение tg x = a

Тангенс принимает любое действительное значение, поэтому уравнение tg x = a имеет решения при любом действительном числе a.

Главный угол равен arctg a и находится в промежутке (-π/2; π/2).

Главное отличие от sin и cos: период тангенса равен π, а не 2π. Поэтому все остальные решения получаются прибавлением πn.

x = arctg a + πn, n ∈ Z
Здесь не нужно записывать две серии. Через половину оборота 180° тангенс уже повторяет свое значение.

Пример: решим tg x = √3

1

Находим главное значение

arctg √3 = π/3, потому что tg(π/3) = √3.

2

Учитываем период

Период тангенса равен π.

3

Записываем все решения

x = π/3 + πn, n ∈ Z.

4

Проверяем несколько n

При n = 0: x = π/3. При n = 1: x = 4π/3. Тангенс обоих углов равен √3.

Основные формулы в одной таблице

Уравнение Когда есть решения Общая формула Период
sin x = a |a| ≤ 1 x = arcsin a + 2πn или x = π - arcsin a + 2πn 2π
sin x = a |a| ≤ 1 x = (-1)ⁿarcsin a + πn компактная запись тех же решений
cos x = a |a| ≤ 1 x = ±arccos a + 2πn 2π
tg x = a любое действительное a x = arctg a + πn π
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Особые случаи, которые полезно узнавать сразу

Уравнение Решение Почему
sin x = 0 x = πn Синус равен нулю на оси Ox через каждые π
sin x = 1 x = π/2 + 2πn Верхняя точка окружности
sin x = -1 x = -π/2 + 2πn Нижняя точка окружности
cos x = 0 x = π/2 + πn Точки на оси Oy повторяются через π
cos x = 1 x = 2πn Правая точка единичной окружности
cos x = -1 x = π + 2πn Левая точка единичной окружности
tg x = 0 x = πn Тангенс равен нулю, когда sin x = 0 и cos x ≠ 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Еще несколько подробных примеров

Пример 1. sin x = √2/2

a = √2/2, поэтому |a| ≤ 1.

arcsin(√2/2) = π/4.

Первое семейство: x = π/4 + 2πn.

Второе: x = π - π/4 + 2πn = 3π/4 + 2πn.

Ответ: x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Пример 2. sin x = -1/2

arcsin(-1/2) = -π/6.

Первое семейство: x = -π/6 + 2πn.

Второе: x = π - (-π/6) + 2πn = 7π/6 + 2πn.

Ответ: x = -π/6 + 2πn или x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Пример 3. sin x = 2

|2| = 2 > 1.

Синус действительного угла не может быть равен 2.

Ответ: действительных решений нет.

Пример 4. cos x = √3/2

arccos(√3/2) = π/6.

x = ±π/6 + 2πn.

Ответ: x = ±π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Пример 5. cos x = 0

На единичной окружности x-координата равна нулю в верхней и нижней точках.

Эти точки соответствуют π/2 и 3π/2 и повторяются через π.

Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Пример 6. cos x = -2

|-2| = 2 > 1.

Косинус не может быть меньше -1.

Ответ: действительных решений нет.

Пример 7. tg x = -1

arctg(-1) = -π/4.

Период тангенса равен π.

Ответ: x = -π/4 + πn, n ∈ Z.

Пример 8. 2sin x = 1

Сначала это еще не форма sin x = a, потому что перед sin x стоит коэффициент 2.

Делим обе части уравнения на 2: sin x = 1/2.

Теперь используем уже разобранную формулу.

Ответ: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Типичные ошибки

1. Записывают только один угол

Например, для sin x = 1/2 написать только x = π/6 недостаточно. Нужно найти все корни.

2. Забывают параметр n

Без n ∈ Z записаны только отдельные корни, а не бесконечное множество решений.

3. Везде прибавляют 2πn

У тангенса период π, поэтому для tg x = a используется πn.

4. Не проверяют |a| для sin и cos

Если |a| > 1, действительных решений нет.

5. Путают arcsin a с полным ответом

arcsin a дает только главный угол, а уравнение sin x = a обычно имеет бесконечно много корней.

6. Не понимают знак ±

В формуле cos x = a знак ± означает две серии решений, а не один неопределенный знак.

Практика с подсказками

Задание 1. Решите sin x = √3/2

Показать решение

arcsin(√3/2) = π/3.

Второй угол: π - π/3 = 2π/3.

Ответ: x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите cos x = -√2/2

Показать решение

arccos(-√2/2) = 3π/4.

Ответ: x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите tg x = √3/3

Показать решение

arctg(√3/3) = π/6.

Ответ: x = π/6 + πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите 3cos x = 3

Показать решение

Делим обе части на 3: cos x = 1.

Это особый случай.

Ответ: x = 2πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите sin x = 0

Показать ответ

Ответ: x = πn, n ∈ Z.

2. Решите cos x = 1/2

Показать ответ

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите tg x = 1

Показать ответ

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z.

4. Есть ли решения уравнения sin x = -1,2?

Показать ответ

|-1,2| = 1,2 > 1, поэтому синус не может принять такое значение.

Ответ: действительных решений нет.

Видео

Основное видео коротко систематизирует основные формулы простейших тригонометрических уравнений. Дополнительное видео показывает вывод формул и решение нескольких примеров для 10 класса.

Основное видео Rutube. После просмотра обязательно вернитесь к нашим подробным примерам и самостоятельно объясните, почему у sin и cos появляется 2πn, а у tg - πn.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • следите, как из аркфункции получают главное значение;
  • отдельно отмечайте период каждой функции;
  • после каждого примера записывайте все решения самостоятельно.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • связь решения уравнений с arcsin, arccos и arctg;
  • формулы всех корней для sin x = a, cos x = a и tg x = a;
  • частные случаи sin x = 0, ±1 и cos x = 0, ±1.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите тип уравнения: sin, cos или tg;
  • назовите главный угол через соответствующую аркфункцию;
  • после этого обязательно добавьте периодическую часть с n ∈ Z.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют корнем уравнения?

Ответ: значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

02Что означает n ∈ Z?

Ответ: n может быть любым целым числом: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

03Почему у sin и cos в формулах появляется 2πn?

Ответ: потому что период синуса и косинуса равен 2π.

04Почему у tg x = a появляется πn?

Ответ: потому что период тангенса равен π.

05Когда sin x = a не имеет действительных решений?

Ответ: когда |a| > 1.

06Как записывается общее решение cos x = a?

Ответ: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z, если |a| ≤ 1.

07Как записывается общее решение tg x = a?

Ответ: x = arctg a + πn, n ∈ Z.

08Почему arcsin a еще не является полным решением sin x = a?

Ответ: arcsin a дает только одно главное значение, а из-за симметрии и периодичности уравнение обычно имеет бесконечно много корней.

Главное по уроку

Решить тригонометрическое уравнение - значит найти все значения x, при которых равенство верно.

Параметр n ∈ Z позволяет одной формулой записать бесконечно много корней.

Для sin x = a и cos x = a действительные решения существуют только при |a| ≤ 1.

sin x = a: x = arcsin a + 2πn или x = π - arcsin a + 2πn, n ∈ Z.

Та же формула синуса компактно записывается как x = (-1)ⁿarcsin a + πn.

cos x = a: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a: x = arctg a + πn, n ∈ Z.

Период sin и cos равен 2π, период tg равен π.

Следующий урок: «Решение простейших тригонометрических уравнений и отбор корней на заданном промежутке».

53 Урок 53 Решение простейших тригонометрических уравнений и отбор корней на заданном промежутке Открыть урокСвернуть урок

Урок 53. Решение простейших тригонометрических уравнений и отбор корней на заданном промежутке

На предыдущем уроке мы научились записывать все решения уравнений sin x = a, cos x = a и tg x = a. Теперь появляется дополнительное условие: из бесконечного множества корней нужно выбрать только те, которые лежат на заданном промежутке. Для человека, который давно не работал с такими задачами, особенно важно не пропускать этапы: сначала получить общее решение, затем понять границы промежутка, после этого определить допустимые целые значения параметра n и только в конце выписать выбранные корни.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Читать запись промежутка

Понимать квадратные и круглые скобки и видеть, входят ли границы в промежуток.

2

Отбирать корни

Из бесконечной серии решений оставлять только значения, удовлетворяющие дополнительному условию.

3

Работать с параметром n

Определять, какие целые значения n дают корни внутри заданных границ.

4

Использовать двойное неравенство

Переводить условие принадлежности промежутку в неравенство для n.

5

Решать уравнения с 2x и 3x

Сначала находить значение аргумента, затем делить и выполнять отбор уже для x.

6

Проверять полноту ответа

Убеждаться, что ни один допустимый корень не потерян и ни один лишний корень не записан.

Что значит «отобрать корни»

Отбор корней

Отбор корней - выбор из общего множества решений только тех значений x, которые удовлетворяют дополнительному условию задачи. Чаще всего таким условием является принадлежность заданному промежутку.

Например, уравнение sin x = 0 имеет бесконечно много решений: x = πn, n ∈ Z.

Но если дополнительно сказано x ∈ [0; 2π], нам нужны только корни от 0 до 2π включительно. Тогда из всей серии останутся 0, π и 2π.

Само уравнение и дополнительное условие выполняются одновременно. Поэтому правильный ответ должен удовлетворять и уравнению, и заданному промежутку.

Как читать промежутки

Отрезок [a; b]

Запись x ∈ [a; b] означает a ≤ x ≤ b. Квадратные скобки показывают, что обе границы a и b входят в промежуток.

Интервал (a; b)

Запись x ∈ (a; b) означает a < x < b. Круглые скобки показывают, что границы a и b не входят в промежуток.

Полуинтервал

В записи [a; b) левая граница входит, правая не входит: a ≤ x < b. В записи (a; b] левая граница не входит, правая входит: a < x ≤ b.

Запись Неравенство Левая граница Правая граница
[a; b] a ≤ x ≤ b входит входит
(a; b) a < x < b не входит не входит
[a; b) a ≤ x < b входит не входит
(a; b] a < x ≤ b не входит входит
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Главная схема решения

1

Решите уравнение без учета промежутка

Получите общее решение с параметром n ∈ Z.

2

Перепишите условие промежутка

Например, x ∈ [-π; π] означает -π ≤ x ≤ π.

3

Подставьте общую формулу вместо x

Так получаем двойное неравенство относительно целого параметра n.

4

Найдите допустимые целые n

После решения неравенства оставляем только целые значения, потому что n ∈ Z.

5

Вычислите соответствующие x

Каждое найденное n подставьте в общую формулу.

6

Проверьте границы и запишите ответ

Убедитесь, что каждый корень действительно принадлежит промежутку и удовлетворяет исходному уравнению.

Способ 1. Простой перебор значений n

Если заданный промежуток небольшой, удобно подставить несколько целых значений n: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Начинайте обычно с n = 0, затем проверяйте n = 1 и n = -1. Как только значения x выходят далеко за границы промежутка, дальнейший перебор в этом направлении можно прекратить.

Этот способ особенно понятен при первом изучении темы. Он медленнее аналитического метода, но хорошо показывает, откуда берутся выбранные корни.

Пример 1. sin x = 1/2, x ∈ [0; 2π]

Сначала решаем уравнение без ограничения:

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn n ∈ Z

Первая серия. x = π/6 + 2πn.

При n = 0 получаем x = π/6. Он находится в [0; 2π].

При n = 1 получаем 13π/6, а это больше 2π = 12π/6, поэтому корень не подходит.

При n = -1 получаем -11π/6, это меньше 0, поэтому корень не подходит.

Вторая серия. x = 5π/6 + 2πn.

При n = 0 получаем 5π/6. Он подходит.

При n = 1 значение больше 2π, при n = -1 меньше 0.

Ответ: x = π/6, 5π/6
Обратите внимание: параметр n в окончательном ответе исчез. Он был нужен только для отбора. После отбора мы получили конкретный конечный список корней.

Способ 2. Двойное неравенство

Двойное неравенство

Двойное неравенство одновременно ограничивает число слева и справа. Например, 0 ≤ x ≤ 2π означает, что x не меньше 0 и не больше 2π.

Если x = π/6 + 2πn должен лежать в [0; 2π], записываем:

0 ≤ π/6 + 2πn ≤ 2π

Вычтем π/6 из всех трех частей:

-π/6 ≤ 2πn ≤ 11π/6

Делим все части на положительное число 2π. При делении неравенства на положительное число знаки не меняются:

-1/12 ≤ n ≤ 11/12

Но n должно быть целым. Единственное целое число в этом промежутке - n = 0. Значит из этой серии подходит только x = π/6.

Почему после неравенства выбирают только целые n

Иногда после решения двойного неравенства получается, например: -1,4 ≤ n ≤ 2,2.

На обычной числовой прямой внутри этого промежутка бесконечно много чисел. Но условие n ∈ Z разрешает только целые числа.

n = -1, 0, 1, 2
Числа -1,4; 0,5; 2,1 и другие дробные значения для n брать нельзя, потому что они не являются целыми.

Пример 2. cos x = -√2/2, x ∈ [-π; π]

Общее решение уравнения:

x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z

Знак ± означает две серии: x = 3π/4 + 2πn и x = -3π/4 + 2πn.

При n = 0 получаем 3π/4 и -3π/4. Оба числа лежат между -π и π.

Если к 3π/4 прибавить 2π, получим 11π/4, что больше π. Если вычесть 2π, получим -5π/4, что меньше -π. Аналогично для второй серии.

Ответ: x = -3π/4, 3π/4

Пример 3. tg x = 1, x ∈ [0; 2π]

Общее решение: x = π/4 + πn, n ∈ Z.

Здесь период равен π, поэтому корни внутри одного промежутка длиной 2π встретятся два раза.

1

n = 0

x = π/4. Подходит.

2

n = 1

x = π/4 + π = 5π/4. Подходит.

3

n = 2

x = 9π/4, а 9π/4 > 2π = 8π/4. Не подходит.

4

n = -1

x = -3π/4 < 0. Не подходит.

Ответ: x = π/4, 5π/4

Если в уравнении стоит 2x, 3x или другое выражение

В записи sin 2x выражение 2x является аргументом синуса. Это не квадрат синуса и не sin²x.

Уравнение sin 2x = a сначала решают относительно всего аргумента 2x, а затем делят полученные равенства на 2.

Удобно мысленно ввести временную замену t = 2x. Тогда сначала решается привычное уравнение sin t = a, после чего вместо t возвращают 2x.

Пример 4. sin 2x = √3/2, x ∈ [-π/2; π/2]

Шаг 1. Решаем уравнение для аргумента 2x. Для sin t = √3/2 имеем t = π/3 + 2πn или t = 2π/3 + 2πn.

Поэтому:

2x = π/3 + 2πn или 2x = 2π/3 + 2πn

Шаг 2. Делим каждое равенство на 2:

x = π/6 + πn или x = π/3 + πn

Шаг 3. Отбираем корни из [-π/2; π/2].

Первая серия x = π/6 + πn: при n = 0 получаем π/6, при n = -1 получаем -5π/6, что меньше -π/2, при n = 1 получаем 7π/6, что больше π/2.

Вторая серия x = π/3 + πn: при n = 0 получаем π/3. При n = -1 получаем -2π/3, что меньше -π/2. При n = 1 получаем 4π/3, что больше π/2.

Ответ: x = π/6, π/3

Пример 5. cos 2x = 1/2, x ∈ [-π/2; 3π/2]

Сначала решаем cos 2x = 1/2:

2x = ±π/3 + 2πn x = ±π/6 + πn

Теперь отбираем корни из [-π/2; 3π/2].

Для x = π/6 + πn: n = 0 дает π/6, n = 1 дает 7π/6, n = -1 дает -5π/6, который меньше -π/2.

Для x = -π/6 + πn: n = 0 дает -π/6, n = 1 дает 5π/6, n = 2 дает 11π/6, который больше 3π/2 = 9π/6.

Ответ: x = -π/6, π/6, 5π/6, 7π/6

Что делать с открытой границей

Рассмотрим уравнение sin x = 0 при условии x ∈ (0; 2π].

Общее решение sin x = 0: x = πn, n ∈ Z.

Возможные значения на участке от 0 до 2π: 0, π, 2π. Но левая граница 0 записана круглой скобкой, поэтому 0 не входит в промежуток. Правая граница 2π записана квадратной скобкой, поэтому 2π входит.

Ответ: x = π, 2π
Всегда проверяйте вид скобок. Правильный числовой корень может не войти в ответ только потому, что соответствующая граница промежутка открыта.

Как сравнивать дроби с π

При отборе часто нужно понять, какое число больше: например 7π/6 или π, 5π/4 или 3π/2.

Удобно привести числа к общему знаменателю. Поскольку π является положительным числом, сравнивать коэффициенты при π можно как обычные положительные дроби.

π = 6π/6, поэтому 7π/6 > π 3π/2 = 6π/4, поэтому 5π/4 < 3π/2
Этот простой прием помогает избежать ошибок без перехода к десятичному приближению π ≈ 3,14.

Справочная таблица способов отбора

Способ Когда удобен Что делаем Главный риск
Перебор n Небольшой промежуток и простая серия Подставляем n = 0, ±1, ±2 и оставляем подходящие x Пропустить одно значение n
Двойное неравенство Нужно строго определить диапазон n Подставляем общую формулу x в границы промежутка и решаем неравенство Забыть, что n должен быть целым
Единичная окружность Углы легко отметить и период связан с 2π Отмечаем нужные точки и видим подходящие углы Неточно отметить несколько оборотов или открытые границы
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Еще 6 примеров с подробным пояснением

Пример 6. sin x = -1, x ∈ [-2π; 2π]

Общее решение: x = -π/2 + 2πn.

n = 0 дает -π/2.

n = 1 дает 3π/2.

n = -1 дает -5π/2, а это меньше -2π = -4π/2.

Ответ: -π/2, 3π/2.

Пример 7. cos x = 0, x ∈ [0; 3π]

Общее решение: x = π/2 + πn.

n = 0: π/2.

n = 1: 3π/2.

n = 2: 5π/2.

n = 3: 7π/2 > 3π = 6π/2.

Ответ: π/2, 3π/2, 5π/2.

Пример 8. tg x = 0, x ∈ [-π; π]

tg x = 0 при x = πn.

Для n = -1, 0, 1 получаем -π, 0, π.

Обе границы квадратные, поэтому -π и π входят.

Ответ: -π, 0, π.

Пример 9. sin x = √2/2, x ∈ [π; 2π]

Общие серии: x = π/4 + 2πn и x = 3π/4 + 2πn.

При n = 0 оба корня меньше π.

При n = 1 оба корня больше 2π.

На промежутке [π; 2π] синус неположителен в III и IV четвертях, поэтому положительного значения √2/2 там вообще нет.

Ответ: корней нет.

Пример 10. cos x = 1/2, x ∈ (0; 2π)

Общее решение: x = ±π/3 + 2πn.

Внутри одного оборота получаем π/3 и 2π - π/3 = 5π/3.

Ни один из этих корней не совпадает с открытыми границами 0 и 2π.

Ответ: π/3, 5π/3.

Пример 11. 2tg x = 2, x ∈ [-π/2; 3π/2)

Сначала делим обе части на 2: tg x = 1.

Общее решение: x = π/4 + πn.

n = -1 дает -3π/4, что меньше -π/2.

n = 0 дает π/4, подходит.

n = 1 дает 5π/4, подходит.

n = 2 дает 9π/4, это больше 3π/2.

Ответ: π/4, 5π/4.

Типичные ошибки

1. Сразу отбирают углы, не записав общее решение

Так легко потерять корни. Сначала получите все серии решений, затем выполняйте отбор.

2. Забывают проверить вид скобок

Круглая скобка исключает границу, квадратная включает ее.

3. Берут дробные значения n

Параметр n принадлежит Z, поэтому допустимы только целые числа.

4. Отбирают корни для 2x вместо x

После решения уравнения для 2x нужно сначала получить формулы для x и только потом сравнивать x с заданным промежутком.

5. Проверяют только n = 0

На длинном промежутке могут подходить n = ±1, ±2 и другие целые значения.

6. Не проверяют полноту ответа

После отбора полезно расположить найденные корни по возрастанию и еще раз сверить их с границами промежутка.

Практика с подсказками

Задание 1. Решите sin x = 1/2 и отберите корни из [-π; π]

Показать решение

Общие серии: x = π/6 + 2πn и x = 5π/6 + 2πn.

При n = 0 получаем π/6 и 5π/6, оба корня лежат в [-π; π].

Сдвиг на ±2π выводит их за границы.

Ответ: π/6, 5π/6.

Задание 2. Решите cos x = -1 и отберите корни из [0; 4π]

Показать решение

Общее решение: x = π + 2πn.

n = 0 дает π, n = 1 дает 3π.

n = -1 дает -π, n = 2 дает 5π. Они не подходят.

Ответ: π, 3π.

Задание 3. Решите tg x = -1 и отберите корни из (-π; π]

Показать решение

Общее решение: x = -π/4 + πn.

n = 0 дает -π/4.

n = 1 дает 3π/4.

n = -1 дает -5π/4 < -π.

Ответ: -π/4, 3π/4.

Задание 4. Решите cos 2x = 0 и отберите корни из [0; π]

Показать решение

cos t = 0 при t = π/2 + πn.

Поэтому 2x = π/2 + πn, откуда x = π/4 + πn/2.

n = 0 дает π/4, n = 1 дает 3π/4.

n = -1 дает -π/4, n = 2 дает 5π/4. Они не подходят.

Ответ: π/4, 3π/4.

Самостоятельная работа

1. sin x = 0, x ∈ [-2π; π]

Показать ответ

Ответ: -2π, -π, 0, π.

2. cos x = √2/2, x ∈ [0; 2π]

Показать ответ

Ответ: π/4, 7π/4.

3. tg x = √3, x ∈ [-π; π)

Показать ответ

Общее решение: x = π/3 + πn.

Ответ: -2π/3, π/3.

4. sin 2x = 1, x ∈ [0; 2π]

Показать ответ

2x = π/2 + 2πn, поэтому x = π/4 + πn.

Ответ: π/4, 5π/4.

Видео

Основное видео целиком посвящено тому, как находить заданное количество корней и как выбирать корни тригонометрического уравнения на заданном промежутке. Дополнительное видео показывает отбор корней на отрезке и связывает его с общей формулой решений.

Основное видео Rutube «Решение тригонометрических уравнений. Часть 3». Пример отбора корней на заданном промежутке начинается примерно с 05:31. Сначала попробуйте самостоятельно определить допустимые n, затем сравните со способом автора.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • обратите внимание, как сначала получают общее решение;
  • затем проследите отдельный этап отбора корней на отрезке;
  • сравните арифметический способ с работой на единичной окружности.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • обязательный минимум формул для sin x = a, cos x = a и tg x = a;
  • пример отбора корней для cos 2x = 1/2 на заданном промежутке;
  • различные способы отбора: окружность и аналитический расчет.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала решите уравнение на бумаге и получите общую формулу;
  • затем назовите возможные значения целого параметра n;
  • только после этого выполняйте интерактив и сравнивайте ответы.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает x ∈ [a; b]?

Ответ: a ≤ x ≤ b, обе границы входят в промежуток.

02Что означает x ∈ (a; b)?

Ответ: a < x < b, обе границы не входят в промежуток.

03Что значит «отобрать корни»?

Ответ: из всех решений уравнения выбрать только те, которые удовлетворяют дополнительному условию, например принадлежат заданному промежутку.

04Почему после решения неравенства для n берут только целые числа?

Ответ: потому что в общей формуле n ∈ Z, то есть n по определению может принимать только целые значения.

05Когда удобно использовать перебор n?

Ответ: когда промежуток небольшой и достаточно проверить несколько значений n около нуля.

06Что нужно сделать с уравнением sin 2x = a перед отбором корней для x?

Ответ: сначала решить уравнение относительно аргумента 2x, затем разделить полученные формулы на 2 и только после этого отбирать значения x.

07Какие корни sin x = 0 лежат в (0; 2π]?

Ответ: π и 2π. Корень 0 исключается круглой левой скобкой.

08Как проверить полноту ответа?

Ответ: проверить все допустимые целые n для каждой серии, расположить найденные корни по возрастанию и сверить каждый корень с границами промежутка и исходным уравнением.

Главное по уроку

Сначала всегда получают общее решение тригонометрического уравнения, а затем выполняют отбор.

Квадратная скобка включает границу промежутка, круглая скобка исключает ее.

При переборе параметра n проверяют только целые значения, потому что n ∈ Z.

Аналитический способ отбора основан на двойном неравенстве для общей формулы корней.

Если в функции стоит 2x, 3x или другое выражение, сначала решают уравнение относительно всего аргумента, затем получают x.

После отбора в ответ обычно записывают конкретный конечный список корней без параметра n.

Каждый найденный корень должен одновременно удовлетворять исходному уравнению и условию на промежуток.

Следующий урок: «Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим».

54 Урок 54 Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим Открыть урокСвернуть урок

Урок 54. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к простейшим

Простейшее тригонометрическое уравнение уже имеет вид sin x = a, cos x = a или tg x = a. Но в реальной задаче перед тригонометрической функцией может стоять коэффициент, к ней может быть прибавлено число, а внутри функции вместо x может находиться выражение 2x, 3x - π/4 и так далее. Наша задача - последовательно преобразовать такое уравнение к уже знакомому простейшему виду, решить его и затем вернуться к исходной переменной x.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Узнавать простейший вид

Понимать, к какой форме нужно привести исходное уравнение.

2

Выполнять равносильные преобразования

Переносить слагаемые и делить обе части на ненулевой коэффициент без изменения множества корней.

3

Работать с аргументом

Решать уравнения, где внутри sin, cos или tg стоит 2x, 3x или ax + b.

4

Использовать временную замену

Обозначать сложный аргумент новой буквой и затем возвращаться к x.

5

Проверять допустимость правой части

Сразу замечать случаи, когда sin или cos приравнивают к числу вне промежутка [-1; 1].

6

Записывать полный ответ

Не терять периодическую часть с n ∈ Z и корректно преобразовывать ее после деления.

Что значит «свести к простейшему уравнению»

Простейшее тригонометрическое уравнение

Простейшим будем называть уравнение вида sin t = a, cos t = a или tg t = a, где t - аргумент тригонометрической функции, а a - известное число.

Свести к простейшему виду

Свести уравнение к простейшему виду - выполнить допустимые преобразования так, чтобы осталась одна тригонометрическая функция, приравненная к числу.

Например, уравнение 2sin x - 1 = 0 пока не является простейшим, потому что перед sin x стоит коэффициент 2 и затем вычитается 1.

После двух обычных алгебраических действий получаем: 2sin x = 1, затем sin x = 1/2. Теперь это простейшее тригонометрическое уравнение.

Новые и повторяемые понятия

Коэффициент

Коэффициент - числовой множитель перед выражением. В записи 3cos x число 3 является коэффициентом.

Аргумент функции

Аргумент - выражение, стоящее внутри тригонометрической функции. В sin x аргумент равен x, в cos 2x аргумент равен 2x, а в tg(3x - π/4) аргумент равен 3x - π/4.

Линейное выражение

Выражение вида ax + b, где a и b - числа, называется линейным относительно x. Например, 2x + 1, 3x - π/4 и -x + 5 являются линейными выражениями.

Не путайте sin 2x и sin²x. sin 2x означает sin(2x), где 2x - аргумент. sin²x означает (sin x)², то есть квадрат значения синуса.

Что такое равносильные уравнения

Равносильные уравнения

Равносильные уравнения - уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Если каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот, такие уравнения равносильны.

Например:

2sin x - 1 = 0 2sin x = 1 sin x = 1/2

Эти уравнения имеют одинаковые корни. В первом переходе мы прибавили 1 к обеим частям. Во втором переходе разделили обе части на одно и то же ненулевое число 2.

Делить обе части уравнения на ненулевое число можно. Но деление на выражение, которое может обращаться в ноль, требует отдельного анализа, потому что при неосторожном делении можно потерять корни. Такие случаи разберем в следующих уроках.

Безопасные действия, которые понадобятся сегодня

Действие Пример Почему допустимо
Прибавить одно и то же число к обеим частям sin x - 2 = 0 → sin x = 2 Равенство сохраняется
Вычесть одно и то же число из обеих частей cos x + 1/2 = 1 → cos x = 1/2 Равенство сохраняется
Умножить обе части на одно и то же ненулевое число sin x/3 = 1/6 → sin x = 1/2 Множество корней не меняется
Разделить обе части на одно и то же ненулевое число 4cos x = 2 → cos x = 1/2 Ненулевой числовой коэффициент не создает и не удаляет корни
Раскрыть обычные числовые скобки 2(sin x - 1) = 0 → 2sin x - 2 = 0 Используется распределительный закон
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Алгоритм решения уравнений, сводящихся к простейшим

1

Определите тригонометрическую функцию

В уравнении используется sin, cos или tg?

2

Изолируйте функцию

Перенесите обычные числа и избавьтесь от ненулевого числового коэффициента.

3

Проверьте правую часть

Для sin и cos число справа должно лежать в [-1; 1]. Для tg допустимо любое действительное число.

4

Решите простейшее уравнение для всего аргумента

Если внутри функции стоит 2x или 3x - π/4, временно воспринимайте это выражение как единое целое.

5

Вернитесь к x

Решите получившееся обычное линейное уравнение относительно x.

6

Проверьте периодическую часть

После деления аргумента коэффициент при πn также делится. Не теряйте n ∈ Z.

Пример 1. 2sin x - 1 = 0

Шаг 1. Переносим -1 в правую часть. Это означает прибавить 1 к обеим частям:

2sin x = 1

Шаг 2. Делим обе части на ненулевой коэффициент 2:

sin x = 1/2

Получили простейшее уравнение. arcsin(1/2) = π/6. За один оборот синус равен 1/2 при π/6 и 5π/6.

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn n ∈ Z

Пример 2. 3cos x + 1 = 0

Переносим 1 вправо:

3cos x = -1

Делим обе части на 3:

cos x = -1/3

Число -1/3 лежит в [-1; 1], значит решения существуют. Это не табличное значение, поэтому оставляем arccos(-1/3) в ответе.

x = ±arccos(-1/3) + 2πn, n ∈ Z
Не требуется превращать arccos(-1/3) в десятичное число. Точная запись через арккосинус является полноценным математическим ответом.

Пример 3. 5sin x + 8 = 0

Переносим 8 вправо:

5sin x = -8 sin x = -8/5

Получили -8/5 = -1,6. Но синус действительного угла может принимать значения только от -1 до 1.

|-8/5| = 8/5 > 1 Ответ: действительных решений нет
После сведения к sin x = a или cos x = a всегда смотрите на число a. Эта проверка иногда завершает решение сразу.

Уравнения со сложным аргументом

Рассмотрим уравнение sin 2x = 1/2. Оно уже простейшее по функции: синус приравнен к числу. Но аргумент равен не x, а 2x.

Можно временно обозначить t = 2x. Такая запись называется заменой переменной.

Замена переменной

Замена переменной - временное обозначение повторяющегося или сложного выражения новой буквой, чтобы упростить запись и увидеть знакомый тип уравнения. После решения обязательно возвращаются к исходной переменной.

В простых задачах писать t необязательно. Но если вы давно не решали такие уравнения, замена помогает не запутаться: сначала решаем знакомое уравнение для t, потом возвращаемся к x.

Пример 4. sin 2x = 1/2

1

Временно обозначаем t = 2x

Получаем sin t = 1/2.

2

Решаем sin t = 1/2

t = π/6 + 2πn или t = 5π/6 + 2πn.

3

Возвращаем t = 2x

2x = π/6 + 2πn или 2x = 5π/6 + 2πn.

4

Делим обе части на 2

x = π/12 + πn или x = 5π/12 + πn.

Ответ: x = π/12 + πn или x = 5π/12 + πn, n ∈ Z
Обратите внимание: после деления на 2 величина 2πn превратилась в πn. Делится вся правая часть, включая периодическое слагаемое.

Пример 5. cos 3x = -1/2

Временно обозначим t = 3x. Тогда cos t = -1/2.

arccos(-1/2) = 2π/3, поэтому:

t = ±2π/3 + 2πn 3x = ±2π/3 + 2πn

Делим обе части на 3:

x = ±2π/9 + 2πn/3, n ∈ Z
Запись 2πn/3 означает, что соседние корни одной серии теперь отличаются на 2π/3, потому что аргумент 3x изменяется втрое быстрее, чем x.

Пример 6. tg(2x - π/4) = 1

Здесь аргументом тангенса является целое выражение 2x - π/4. Обозначим его t:

t = 2x - π/4 tg t = 1

arctg 1 = π/4, период тангенса равен π:

t = π/4 + πn 2x - π/4 = π/4 + πn

Прибавляем π/4 к обеим частям: 2x = π/2 + πn. Теперь делим на 2.

x = π/4 + πn/2, n ∈ Z

Если перед функцией есть дробь

Рассмотрим уравнение: sin x/2 = 1/4.

Здесь запись sin x/2 означает (sin x)/2. Чтобы убрать знаменатель 2, умножаем обе части на 2.

sin x / 2 = 1/4 sin x = 1/2
Сравните две записи: sin x / 2 означает половину значения sin x, а sin(x/2) означает синус половины угла x. Это разные выражения.

Пример 7. 4cos(2x + π/3) - 2 = 0

Сначала изолируем косинус.

4cos(2x + π/3) = 2 cos(2x + π/3) = 1/2

Вводим t = 2x + π/3. Тогда cos t = 1/2, поэтому t = ±π/3 + 2πn.

2x + π/3 = π/3 + 2πn или 2x + π/3 = -π/3 + 2πn

Первая серия: 2x = 2πn, значит x = πn.

Вторая серия: 2x = -2π/3 + 2πn, значит x = -π/3 + πn.

Ответ: x = πn или x = -π/3 + πn, n ∈ Z

Пример 8. 2tg(3x) + 2 = 0

Переносим 2 вправо и делим на 2:

2tg 3x = -2 tg 3x = -1

Для аргумента t = 3x: t = arctg(-1) + πn = -π/4 + πn.

3x = -π/4 + πn x = -π/12 + πn/3, n ∈ Z

Справочная карта: что делать первым

Вид уравнения Первое действие К чему стремимся
A sin x + B = 0 Перенести B, разделить на A ≠ 0 sin x = a
A cos x + B = C Перенести B, разделить на A ≠ 0 cos x = a
A tg x = B Разделить на A ≠ 0 tg x = a
sin(kx) = a Решить для всего аргумента kx Затем разделить на k ≠ 0
cos(kx + b) = a Временно принять kx + b за единый аргумент Решить линейное уравнение для x
tg(kx + b) = a Использовать период π для аргумента Вернуться от kx + b к x
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Сразу применяют аркфункцию к сложному уравнению

Сначала изолируйте sin, cos или tg и только потом решайте простейшее уравнение.

2. Делят только часть правой стороны

Если делим уравнение на число, делится вся левая и вся правая часть.

3. Забывают проверить |a| для sin и cos

Если после преобразования получилось sin t = 3/2 или cos t = -2, действительных решений нет.

4. После решения для 2x забывают разделить 2πn

При делении уравнения на 2 делится вся правая часть, включая периодическое слагаемое.

5. Путают sin 2x и sin²x

В sin 2x удваивается аргумент, в sin²x возводится в квадрат значение функции.

6. Теряют n ∈ Z

Без условия n ∈ Z периодическая формула ответа записана неполно.

Практика с подробными подсказками

Задание 1. Решите 4sin x + 2 = 0

Показать решение

Переносим 2: 4sin x = -2.

Делим на 4: sin x = -1/2.

arcsin(-1/2) = -π/6.

Ответ: x = -π/6 + 2πn или x = 7π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите 2cos 2x = √2

Показать решение

Делим на 2: cos 2x = √2/2.

2x = ±π/4 + 2πn.

Делим все на 2.

Ответ: x = ±π/8 + πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите tg(x - π/6) = 0

Показать решение

tg t = 0 при t = πn.

x - π/6 = πn.

Прибавляем π/6.

Ответ: x = π/6 + πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите 6cos x - 9 = 0

Показать решение

6cos x = 9, значит cos x = 3/2.

Но 3/2 > 1, а косинус не может быть больше 1.

Ответ: действительных решений нет.

Самостоятельная работа

1. Решите 3sin x = 3√3/2

Показать ответ

sin x = √3/2.

Ответ: x = π/3 + 2πn или x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите cos 3x = 0

Показать ответ

3x = π/2 + πn.

Ответ: x = π/6 + πn/3, n ∈ Z.

3. Решите 2tg(2x) = 2√3

Показать ответ

tg 2x = √3, поэтому 2x = π/3 + πn.

Ответ: x = π/6 + πn/2, n ∈ Z.

4. Решите 5sin(2x + π/2) = 0

Показать ответ

sin(2x + π/2) = 0.

2x + π/2 = πn.

2x = -π/2 + πn.

Ответ: x = -π/4 + πn/2, n ∈ Z.

Видео

Основное видео 2026 года показывает несколько способов решения тригонометрических уравнений базового уровня: от простейших до применения замены и формул. Дополнительное видео 10 класса отдельно рассматривает классические методы и разложение на множители, поэтому его полезно посмотреть как подготовку к следующим урокам.

Основное видео Rutube «Алгебра 10 класс. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства». Фрагмент о простейших уравнениях начинается с 00:12, метод замены - примерно с 08:07, применение тригонометрических формул - примерно с 11:59.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните обычные алгебраические преобразования с нашим алгоритмом;
  • обратите внимание, как автор определяет метод решения до вычислений;
  • фрагмент о разложении на множители используйте как предварительное знакомство со следующим методом.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • идея сведения любого тригонометрического уравнения к простейшему виду;
  • опасность потери корней при необоснованном делении на выражение с переменной;
  • классификация методов, которые будут изучаться дальше.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • перед выполнением задания назовите, к какому простейшему виду хотите привести уравнение;
  • каждое преобразование проговаривайте словами: «переношу», «делю на ненулевой коэффициент», «решаю для аргумента»;
  • после получения простейшего уравнения запишите полную периодическую формулу решения.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что значит свести уравнение к простейшему виду?

Ответ: преобразовать его к форме sin t = a, cos t = a или tg t = a, где a - известное число.

02Что называют коэффициентом?

Ответ: числовой множитель перед выражением, например 4 в записи 4cos x.

03Что является аргументом в sin(3x - π/4)?

Ответ: все выражение 3x - π/4.

04Почему можно разделить 6cos x = 3 на 6?

Ответ: 6 является ненулевым числовым коэффициентом, поэтому деление обеих частей на 6 сохраняет множество корней.

05Почему уравнение sin x = 1,4 не имеет действительных решений?

Ответ: синус действительного угла принимает значения только от -1 до 1.

06Что делать после решения уравнения для аргумента 2x?

Ответ: заменить аргумент обратно на 2x и разделить все полученное равенство на 2, включая периодическую часть.

07Чем sin x / 2 отличается от sin(x/2)?

Ответ: sin x / 2 означает половину значения sin x, а sin(x/2) означает синус аргумента x/2.

08Зачем используют замену t = 2x или t = 3x - π/4?

Ответ: чтобы временно рассматривать сложный аргумент как одну переменную, решить знакомое простейшее уравнение и затем вернуться к x.

Главное по уроку

Уравнение, сводящееся к простейшему, сначала преобразуют обычными алгебраическими действиями.

Цель - получить sin t = a, cos t = a или tg t = a.

Прибавление или вычитание одного и того же числа и деление на ненулевой числовой коэффициент дают равносильные уравнения.

Для sin и cos после сведения обязательно проверяют, что |a| ≤ 1.

Если аргумент имеет вид 2x, 3x или ax + b, сначала решают простейшее уравнение относительно всего аргумента.

Замена переменной помогает временно обозначить сложный аргумент одной буквой.

После возвращения к x делится вся правая часть, включая слагаемое с πn.

В полном ответе обязательно сохраняется условие n ∈ Z.

Следующий урок: «Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители».

55 Урок 55 Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители Открыть урокСвернуть урок

Урок 55. Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

В этом уроке мы используем знакомый из обычной алгебры метод: превращаем левую часть уравнения в произведение нескольких множителей и применяем правило нулевого произведения. Главное здесь не запомнить отдельные примеры, а научиться видеть общий множитель, правильно выносить его за скобки и не терять решения при делении на выражение с переменной.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать множители

Восстановите понятия произведения, множителя и общего множителя.

2

Использовать правило нулевого произведения

Понимать, почему произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

3

Выносить общий множитель

Преобразовывать выражения вида 2sin²x - sin x в произведение.

4

Применять тригонометрические формулы

Использовать sin 2x = 2sin x cos x и другие формулы, чтобы получить общий множитель.

5

Не терять корни

Понимать, почему нельзя без проверки делить уравнение на sin x, cos x или другой переменный множитель.

6

Объединять решения

Решать несколько простейших уравнений и записывать полный ответ.

Восстановим обычную алгебру: произведение и множитель

Произведение

Произведение - результат умножения нескольких выражений. Например, в записи (x - 2)(x + 3) перемножаются два выражения.

Множитель

Множитель - каждое из выражений, которые перемножаются. В произведении sin x · (2cos x - 1) первый множитель равен sin x, второй множитель равен 2cos x - 1.

Общий множитель

Общий множитель - выражение, которое входит в каждое слагаемое суммы или разности. Например, в 2sin²x - sin x оба слагаемых содержат sin x.

2sin²x - sin x = sin x(2sin x - 1)

Мы вынесли общий множитель sin x за скобки. Проверить преобразование можно обратным действием: раскрыть скобки.

Главное правило метода: нулевое произведение

Правило нулевого произведения

Если произведение нескольких существующих множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

A · B = 0 означает: A = 0 или B = 0

Здесь буквы A и B обозначают любые выражения. Слово «или» означает, что мы должны решить оба получившихся уравнения и объединить найденные корни.

Пример из обычных чисел: 0 · 7 = 0 и 5 · 0 = 0. Если оба множителя ненулевые, например 2 · 3, произведение нулем быть не может.

Почему нельзя просто делить на sin x или cos x

Рассмотрим уравнение:

sin x(2cos x - 1) = 0

Если без проверки разделить обе части на sin x, останется только 2cos x - 1 = 0. Но такое деление допустимо лишь при sin x ≠ 0.

Между тем все значения, при которых sin x = 0, являются настоящими корнями исходного уравнения. После деления они исчезнут.

Правило: если выражение с переменной может быть равно нулю, не делите на него уравнение. Сначала вынесите его как множитель и приравняйте каждый множитель к нулю.

ОДЗ и существование множителей

ОДЗ - область допустимых значений

Область допустимых значений (ОДЗ) - все значения x, при которых исходное уравнение имеет смысл. В уравнениях только с sin x и cos x обычно допустимы все действительные x. Если появляется tg x, знаменатель cos x не должен быть равен нулю.

Правило нулевого произведения применяем только к тем множителям, которые определены при рассматриваемом x.

Универсальный алгоритм

1

Перенесите все в одну часть

Добейтесь формы, в которой справа стоит 0.

2

Ищите общий множитель

Проверьте, повторяется ли sin x, cos x или другое выражение в нескольких слагаемых.

3

При необходимости примените формулу

Например, замените sin 2x на 2sin x cos x, чтобы появился общий множитель.

4

Разложите левую часть на множители

Получите произведение вида A(x) · B(x) = 0.

5

Приравняйте каждый множитель к нулю

Получите несколько более простых тригонометрических уравнений.

6

Решите все получившиеся уравнения

Не забудьте период и условие n ∈ Z.

7

Объедините ответы

Итоговый ответ состоит из корней всех ветвей, если они удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения.

Пример 1. 2sin²x - sin x = 0

Оба слагаемых содержат sin x. Выносим его за скобки:

sin x(2sin x - 1) = 0

Теперь произведение равно нулю. Значит рассматриваем два случая.

1

Первый множитель

sin x = 0, поэтому x = πn, n ∈ Z.

2

Второй множитель

2sin x - 1 = 0, значит sin x = 1/2.

3

Решаем sin x = 1/2

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z

Пример 2. 2sin x cos x - sin x = 0

В обоих слагаемых есть общий множитель sin x:

sin x(2cos x - 1) = 0

Получаем два уравнения:

sin x = 0 2cos x - 1 = 0

Первое дает x = πn. Из второго cos x = 1/2, поэтому x = ±π/3 + 2πn.

Ответ: x = πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Пример 3. sin 2x - sin x = 0

На первый взгляд общего множителя нет. Но используем формулу двойного угла: sin 2x = 2sin x cos x.

2sin x cos x - sin x = 0 sin x(2cos x - 1) = 0

Теперь задача полностью совпала по структуре с предыдущим примером.

sin x = 0 или cos x = 1/2 Ответ: x = πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
Здесь тригонометрическая формула нужна не ради вычисления значения, а чтобы изменить структуру выражения и увидеть общий множитель.

Пример 4. sin 2x + sin x = 0

Снова заменяем sin 2x на 2sin x cos x:

2sin x cos x + sin x = 0 sin x(2cos x + 1) = 0

Первый множитель: sin x = 0, значит x = πn.

Второй множитель: 2cos x + 1 = 0, значит cos x = -1/2. arccos(-1/2) = 2π/3.

Ответ: x = πn или x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z

Пример 5. sin²x - sin x cos x = 0

В обоих слагаемых есть sin x:

sin x(sin x - cos x) = 0

Первая ветвь: sin x = 0, поэтому x = πn.

Вторая ветвь: sin x - cos x = 0, то есть sin x = cos x.

На решениях sin x = cos x косинус не может быть равен нулю: если cos x = 0, то sin x = ±1, и равенство sin x = cos x невозможно. Поэтому во второй ветви безопасно разделить обе части на cos x.

sin x / cos x = 1 tg x = 1 x = π/4 + πn
Ответ: x = πn или x = π/4 + πn, n ∈ Z

Пример 6. cos x(2sin x + √2) = 0

Здесь выражение уже разложено на множители, поэтому ничего преобразовывать не нужно. Сразу применяем правило нулевого произведения.

cos x = 0 или 2sin x + √2 = 0

Из cos x = 0 получаем x = π/2 + πn.

Во второй ветви: 2sin x = -√2, поэтому sin x = -√2/2.

За один оборот это углы -π/4 и 5π/4.

Ответ: x = π/2 + πn; x = -π/4 + 2πn; x = 5π/4 + 2πn, n ∈ Z

Разложение с помощью группировки

Группировка

Группировка - способ объединить слагаемые так, чтобы внутри нескольких групп появился общий множитель, а затем вынести еще один общий множитель.

В тригонометрии на базовом уровне чаще встречается прямое вынесение общего множителя, но идея группировки та же, что и в обычной алгебре.

Пример 7. sin x + sin 2x + sin 3x = 0

Здесь простого общего множителя сразу не видно. Используем формулу суммы синусов для первого и третьего слагаемых:

sin x + sin 3x = 2sin 2x cos x

Тогда исходное уравнение принимает вид:

2sin 2x cos x + sin 2x = 0 sin 2x(2cos x + 1) = 0

Первая ветвь: sin 2x = 0, значит 2x = πn и x = πn/2.

Вторая ветвь: cos x = -1/2, значит x = ±2π/3 + 2πn.

Ответ: x = πn/2 или x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z

Пример 8. cos x - cos 3x = 0

Используем формулу разности косинусов:

cos α - cos β = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)

Берем α = x, β = 3x. Тогда (α + β)/2 = 2x, а (α - β)/2 = -x. Поскольку sin(-x) = -sin x, получаем:

cos x - cos 3x = 2sin 2x sin x 2sin 2x sin x = 0

Постоянный множитель 2 не равен нулю, поэтому нулем должен быть sin 2x или sin x.

sin 2x = 0 дает x = πn/2. Решения sin x = 0 уже входят в это семейство, потому что при четных n получаем x = πk.

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z
Иногда решения разных ветвей частично или полностью совпадают. В итоговом ответе повторять одинаковые семейства не нужно.

Как понять, что метод разложения подходит

Что видно в уравнении Что попробовать Пример результата
Одинаковая функция в нескольких слагаемых Вынести общий множитель 2sin²x - sin x = sin x(2sin x - 1)
Есть sin 2x и sin x Заменить sin 2x на 2sin x cos x sin x(2cos x ± 1)
Есть сумма синусов Использовать формулу суммы в произведение sin x + sin 3x = 2sin 2x cos x
Есть разность косинусов Использовать формулу разности в произведение cos x - cos 3x = 2sin 2x sin x
Уравнение уже имеет вид A(x)B(x)=0 Сразу применить правило нулевого произведения A(x)=0 или B(x)=0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Делят на sin x и теряют корни

Если sin x может быть равен нулю, деление на него исключает настоящую ветвь решений.

2. Приравнивают к нулю только один множитель

Нужно решить каждое уравнение, полученное из нулевого произведения.

3. Выносят множитель неверно

После разложения обязательно раскройте скобки мысленно и проверьте, восстанавливается ли исходное выражение.

4. Путают sin 2x и 2sin x

Правильная формула: sin 2x = 2sin x cos x. Множитель cos x терять нельзя.

5. Забывают решить линейную часть множителя

Из 2cos x - 1 = 0 сначала получаем cos x = 1/2, а затем решаем тригонометрическое уравнение.

6. Повторяют одинаковые семейства

Если решения одной ветви уже входят в другую, в итоговом ответе достаточно более общего семейства.

Практика с подробными подсказками

Задание 1. Решите 3sin²x - sin x = 0

Показать решение

Выносим sin x: sin x(3sin x - 1) = 0.

Первая ветвь: sin x = 0, поэтому x = πn.

Вторая ветвь: sin x = 1/3.

Ответ: x = πn; x = arcsin(1/3) + 2πn; x = π - arcsin(1/3) + 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите sin 2x + √2 sin x = 0

Показать решение

sin 2x = 2sin x cos x.

Получаем sin x(2cos x + √2) = 0.

Первая ветвь: x = πn.

Вторая: cos x = -√2/2, поэтому x = ±3π/4 + 2πn.

Ответ: x = πn или x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите cos x(2sin x - 1) = 0

Показать решение

Уравнение уже разложено на множители.

cos x = 0 дает x = π/2 + πn.

2sin x - 1 = 0 дает sin x = 1/2.

Ответ: x = π/2 + πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите sin 4x - sin 2x = 0

Показать решение

Используем sin 4x = 2sin 2x cos 2x.

Получаем sin 2x(2cos 2x - 1) = 0.

Первая ветвь: sin 2x = 0, поэтому x = πn/2.

Вторая: cos 2x = 1/2, поэтому 2x = ±π/3 + 2πn и x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = πn/2 или x = ±π/6 + πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите 2cos²x - cos x = 0

Показать ответ

cos x(2cos x - 1) = 0.

Ответ: x = π/2 + πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите sin 2x - √2 sin x = 0

Показать ответ

sin x(2cos x - √2) = 0.

Ответ: x = πn или x = ±π/4 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите sin x(sin x + 1) = 0

Показать ответ

sin x = 0 или sin x = -1.

Ответ: x = πn или x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

4. Решите sin 3x + sin x = 0

Показать ответ

sin 3x + sin x = 2sin 2x cos x.

Получаем sin 2x = 0 или cos x = 0.

Решения cos x = 0 уже входят в x = πn/2.

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z.

Видео

Основное видео показывает классические методы решения тригонометрических уравнений, включая разложение на множители. Дополнительное видео целиком посвящено именно этому методу и рассчитано на уровень 10 класса.

Основное видео Rutube. Метод разложения на множители рассматривается примерно с 06:43. Перед просмотром попробуйте самостоятельно сформулировать правило нулевого произведения.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • следите, как уравнение сначала приводят к виду «произведение равно нулю»;
  • отмечайте, какие множители приравниваются к нулю;
  • сравните полный ответ автора с решениями всех ветвей.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • как выражение приводят к произведению нескольких множителей;
  • как правило нулевого произведения превращает одно уравнение в несколько простейших;
  • как объединяются решения всех получившихся ветвей.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите, можно ли получить произведение равное нулю;
  • выпишите все получившиеся простейшие уравнения на бумаге;
  • после решения каждой ветви проверьте, что ни один множитель не был потерян.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что называют множителем?

Ответ: каждое выражение, участвующее в умножении.

02Когда произведение A · B равно нулю?

Ответ: когда A = 0 или B = 0, при условии что оба множителя определены.

03Почему нельзя делить sin x(2cos x - 1) = 0 на sin x?

Ответ: sin x может быть равен нулю. Деление исключит все корни ветви sin x = 0.

04Как разложить 2sin²x - sin x?

Ответ: sin x(2sin x - 1).

05Какую формулу полезно применить к sin 2x - sin x = 0?

Ответ: sin 2x = 2sin x cos x.

06Что означает слово «или» после разложения?

Ответ: нужно решить каждое получившееся уравнение и объединить все корни.

07Что делать, если уравнение уже имеет вид A(x)B(x)=0?

Ответ: сразу приравнять каждый определенный множитель к нулю и решить получившиеся уравнения.

08Как проверить, правильно ли вынесен общий множитель?

Ответ: раскрыть скобки и убедиться, что получилось исходное выражение.

Главное по уроку

Метод разложения на множители применяется после приведения уравнения к форме, где одна часть равна нулю.

Если A · B = 0, то A = 0 или B = 0, при условии существования множителей.

Общий множитель нужно вынести за скобки, а не сокращать или делить на него уравнение.

Деление на выражение с переменной может привести к потере корней, если это выражение может быть равно нулю.

Формулы sin 2x, суммы и разности функций часто помогают получить нужное произведение.

После разложения решают каждую ветвь отдельно и объединяют все решения.

Если одно семейство корней полностью входит в другое, повторять его в окончательном ответе не нужно.

Следующий урок: «Тригонометрические уравнения, решаемые методом замены переменной».

56 Урок 56 Тригонометрические уравнения, решаемые методом замены переменной Открыть урокСвернуть урок

Урок 56. Тригонометрические уравнения, решаемые методом замены переменной

Некоторые тригонометрические уравнения внешне выглядят сложными, но внутри них несколько раз повторяется одно и то же выражение: sin x, cos x или tg x. Тогда это выражение удобно временно обозначить новой буквой. После замены тригонометрическое уравнение превращается в обычное алгебраическое, чаще всего квадратное. Мы решаем его, проверяем допустимые значения новой переменной, возвращаемся к sin x, cos x или tg x и только затем решаем простейшие тригонометрические уравнения.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать смысл замены

Разберетесь, зачем сложное повторяющееся выражение временно обозначают буквой t.

2

Учитывать ограничения для t

При t = sin x или t = cos x будете сразу записывать -1 ≤ t ≤ 1.

3

Повторить квадратные уравнения

Решать полученное уравнение разложением на множители или через дискриминант.

4

Выполнять обратную замену

После нахождения t возвращаться к исходной тригонометрической функции.

5

Отбрасывать невозможные значения

Понимать, почему t = 2 невозможно при t = sin x, но допустимо при t = tg x.

6

Доводить решение до x

После обратной замены решать все получившиеся простейшие тригонометрические уравнения.

Что такое замена переменной

Замена переменной

Замена переменной - прием, при котором повторяющееся выражение временно обозначают новой буквой, чтобы получить более знакомое и простое уравнение.

Например, в уравнении 2sin²x - 5sin x + 2 = 0 выражение sin x встречается и в первой степени, и в квадрате.

Если обозначить t = sin x, то sin²x = t², и получим обычное квадратное уравнение:

2t² - 5t + 2 = 0
Новая буква t не заменяет x навсегда. Это временное обозначение. После решения алгебраического уравнения обязательно выполняется обратная замена.

Что такое обратная замена

Обратная замена

Обратная замена - возвращение от новой переменной t к исходному выражению. Если в начале было t = sin x, то после нахождения, например, t = 1/2 мы записываем sin x = 1/2.

t = sin x t = 1/2 обратная замена: sin x = 1/2

После обратной замены задача еще не закончена. Теперь нужно решить простейшее тригонометрическое уравнение относительно x.

Очень важное ограничение: какие значения может принимать t

Синус и косинус любого действительного угла принимают только значения от -1 до 1. Поэтому при замене t = sin x или t = cos x новая переменная t тоже не может выходить за эти границы.

t = sin x → -1 ≤ t ≤ 1 t = cos x → -1 ≤ t ≤ 1

Для тангенса ситуация другая: tg x может принимать любое действительное значение, поэтому при t = tg x дополнительных ограничений вида -1 ≤ t ≤ 1 нет.

t = tg x → t может быть любым действительным числом
Если после решения алгебраического уравнения при t = sin x получилось t = 2, это значение нужно отбросить сразу: уравнение sin x = 2 в действительных числах решений не имеет.

Повторяем квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид at² + bt + c = 0, где a, b, c - числа и a ≠ 0. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного уравнения.

Дискриминант

Дискриминант - число, вычисляемое по формуле D = b² - 4ac. Буква D читается «дэ».

Значение D Сколько действительных корней Формула
D > 0 два различных корня t₁ = (-b + √D)/(2a), t₂ = (-b - √D)/(2a)
D = 0 один корень t = -b/(2a)
D < 0 действительных корней нет обратная замена не выполняется
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Когда дискриминант не нужен

Некоторые квадратные уравнения легко разложить на множители. Например:

t² - 3t + 2 = 0 (t - 1)(t - 2) = 0 t = 1 или t = 2
Если разложение видно сразу, им можно пользоваться. Если нет - применяйте дискриминант. Оба способа являются обычными методами решения квадратного уравнения.

Полный алгоритм метода замены

1

Приведите уравнение к одной функции

Если нужно, используйте тождество sin²x + cos²x = 1, чтобы оставить только sin x или только cos x.

2

Введите замену

Напишите, например, t = sin x или t = cos x.

3

Сразу запишите ограничение для t

При t = sin x или t = cos x имеем -1 ≤ t ≤ 1.

4

Решите алгебраическое уравнение

Чаще всего это квадратное уравнение относительно t.

5

Проверьте найденные значения t

Отбросьте значения, которые нарушают ограничение новой переменной.

6

Выполните обратную замену

Вернитесь от t к sin x, cos x или tg x.

7

Решите простейшие тригонометрические уравнения

Запишите все серии корней с n ∈ Z.

Пример 1. 2sin²x - 5sin x + 2 = 0

Выражение sin x повторяется. Вводим замену: t = sin x. Так как это синус, сразу записываем -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - 5t + 2 = 0

Найдем дискриминант: D = (-5)² - 4 · 2 · 2 = 25 - 16 = 9.

√9 = 3. Тогда:

t₁ = (5 + 3)/4 = 2 t₂ = (5 - 3)/4 = 1/2

Проверяем ограничение -1 ≤ t ≤ 1. Значение t = 2 не подходит. Остается только t = 1/2.

Выполняем обратную замену: sin x = 1/2.

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
Именно ограничение t ∈ [-1; 1] позволило отбросить лишний алгебраический корень t = 2 еще до решения тригонометрического уравнения.

Пример 2. 2cos²x + cos x - 1 = 0

Вводим t = cos x, где -1 ≤ t ≤ 1.

2t² + t - 1 = 0 (2t - 1)(t + 1) = 0

Получаем t = 1/2 или t = -1. Оба значения входят в [-1; 1], поэтому оба сохраняем.

cos x = 1/2 или cos x = -1

Из cos x = 1/2 получаем x = ±π/3 + 2πn. Из cos x = -1 получаем x = π + 2πn.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn или x = π + 2πn, n ∈ Z

Пример 3. 3sin²x + 2sin x - 1 = 0

Пусть t = sin x, -1 ≤ t ≤ 1.

3t² + 2t - 1 = 0 (3t - 1)(t + 1) = 0

Поэтому t = 1/3 или t = -1. Оба значения допустимы.

После обратной замены получаем sin x = 1/3 или sin x = -1.

x = arcsin(1/3) + 2πn или x = π - arcsin(1/3) + 2πn или x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z
Число 1/3 не является табличным значением синуса. Поэтому точный ответ через arcsin(1/3) оставляем без десятичного приближения.

Если в уравнении одновременно есть sin²x и cos x

Нельзя сразу сделать одну замену, потому что присутствуют две разные функции. Сначала нужно выразить одну через другую с помощью основного тригонометрического тождества:

sin²x + cos²x = 1 sin²x = 1 - cos²x cos²x = 1 - sin²x
Цель перед заменой - получить уравнение только относительно одной функции: либо sin x, либо cos x, либо tg x.

Пример 4. 2sin²x + 3cos x = 0

В уравнении есть sin²x и cos x. Поскольку cos x уже стоит в первой степени, удобно выразить sin²x через cos x:

sin²x = 1 - cos²x

Подставляем:

2(1 - cos²x) + 3cos x = 0 2 - 2cos²x + 3cos x = 0 2cos²x - 3cos x - 2 = 0

Последнее равенство получили, умножив обе части на -1. Теперь вводим t = cos x, -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - 3t - 2 = 0 (2t + 1)(t - 2) = 0 t = -1/2 или t = 2

t = 2 не входит в [-1; 1], поэтому отбрасываем его. Остается cos x = -1/2.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z

Пример 5. 2cos²x + 3sin x - 2 = 0

Здесь sin x уже присутствует в первой степени, поэтому выразим cos²x через sin x: cos²x = 1 - sin²x.

2(1 - sin²x) + 3sin x - 2 = 0 -2sin²x + 3sin x = 0

Можно сразу вынести sin x за скобки, но для отработки метода замены обозначим t = sin x.

-2t² + 3t = 0 t(-2t + 3) = 0 t = 0 или t = 3/2

При t = sin x значение 3/2 невозможно. Поэтому остается sin x = 0.

Ответ: x = πn, n ∈ Z
Одно уравнение иногда можно решить несколькими методами. Хороший навык - уметь увидеть и замену переменной, и возможное разложение на множители.

Замена t = tg x

Если в уравнении встречаются только tg x и его степени, можно положить t = tg x. Тангенс принимает любые действительные значения, поэтому t не ограничивается промежутком [-1; 1].

При этом исходное уравнение с tg x определено только там, где cos x ≠ 0. Это часть ОДЗ - области допустимых значений.

ОДЗ - область допустимых значений

ОДЗ - все значения x, при которых исходное выражение имеет смысл. Для tg x требуется cos x ≠ 0.

Пример 6. tg²x - 3tg x + 2 = 0

Вводим t = tg x. Для t дополнительных ограничений нет.

t² - 3t + 2 = 0 (t - 1)(t - 2) = 0 t = 1 или t = 2

Оба значения допустимы для тангенса. Выполняем обратную замену:

tg x = 1 или tg x = 2

tg x = 1 дает x = π/4 + πn. Для tg x = 2 главное значение равно arctg 2.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn, n ∈ Z

Пример 7. 3cos²x - 4cos x + 1 = 0

Пусть t = cos x, -1 ≤ t ≤ 1.

3t² - 4t + 1 = 0 (3t - 1)(t - 1) = 0 t = 1/3 или t = 1

Оба значения допустимы. Возвращаемся к косинусу: cos x = 1/3 или cos x = 1.

x = ±arccos(1/3) + 2πn или x = 2πn, n ∈ Z

Пример 8. sin⁴x - 5sin²x + 4 = 0

Здесь повторяется не sin x, а sin²x. Поэтому удобно сделать замену t = sin²x.

Так как 0 ≤ sin²x ≤ 1, новая переменная удовлетворяет условию 0 ≤ t ≤ 1.

t² - 5t + 4 = 0 (t - 1)(t - 4) = 0 t = 1 или t = 4

Значение t = 4 невозможно, потому что sin²x не может быть больше 1. Остается sin²x = 1.

Из sin²x = 1 следует sin x = 1 или sin x = -1. Это можно объединить в одно семейство:

Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z
При замене t = sin²x диапазон уже не [-1; 1], а [0; 1], потому что квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Как выбрать правильную замену

Что повторяется Удобная замена Ограничение новой переменной
sin x и sin²x t = sin x -1 ≤ t ≤ 1
cos x и cos²x t = cos x -1 ≤ t ≤ 1
tg x и tg²x t = tg x t - любое действительное число
sin²x и sin⁴x t = sin²x 0 ≤ t ≤ 1
cos²x и cos⁴x t = cos²x 0 ≤ t ≤ 1
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Не записывают ограничение для t

При t = sin x или t = cos x сразу фиксируйте -1 ≤ t ≤ 1.

2. Сохраняют невозможный корень t = 2

Алгебраический корень может не соответствовать ни одному значению синуса или косинуса.

3. Забывают обратную замену

Ответ t = 1/2 не является ответом исходной задачи. Нужно вернуться к x.

4. Пытаются заменить одновременно sin x и cos x разными буквами

Сначала лучше выразить одну функцию через другую, чтобы получить уравнение относительно одной новой переменной.

5. Путают t = sin x и t = sin²x

У этих замен разные ограничения: [-1; 1] и [0; 1].

6. После обратной замены записывают только один угол

Нужно решить каждое простейшее тригонометрическое уравнение полностью с учетом периода.

Практика с подробными подсказками

Задание 1. Решите 2sin²x + sin x - 1 = 0

Показать решение

Пусть t = sin x, -1 ≤ t ≤ 1.

2t² + t - 1 = 0.

(2t - 1)(t + 1) = 0, поэтому t = 1/2 или t = -1.

Оба значения допустимы.

Ответ: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите 2cos²x - 5cos x + 2 = 0

Показать решение

Пусть t = cos x, -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - 5t + 2 = 0, поэтому t = 2 или t = 1/2.

t = 2 отбрасываем.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите tg²x + tg x - 2 = 0

Показать решение

Пусть t = tg x.

t² + t - 2 = 0 = (t - 1)(t + 2).

t = 1 или t = -2.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-2) + πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите cos⁴x - 5cos²x + 4 = 0

Показать решение

Пусть t = cos²x, 0 ≤ t ≤ 1.

t² - 5t + 4 = 0, поэтому t = 1 или t = 4.

t = 4 невозможно.

cos²x = 1, значит cos x = ±1.

Ответ: x = πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите 3cos²x + 2cos x - 1 = 0

Показать ответ

t = cos x: 3t² + 2t - 1 = 0, t = 1/3 или t = -1.

Ответ: x = ±arccos(1/3) + 2πn или x = π + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите 4sin²x - 4sin x + 1 = 0

Показать ответ

(2t - 1)² = 0, t = 1/2.

Ответ: x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите 2sin²x + cos x - 1 = 0

Показать ответ

sin²x = 1 - cos²x.

2(1 - cos²x) + cos x - 1 = 0.

2cos²x - cos x - 1 = 0.

t = cos x: t = 1 или t = -1/2.

Ответ: x = 2πn или x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

4. Решите sin⁴x - sin²x = 0

Показать ответ

Пусть t = sin²x, 0 ≤ t ≤ 1.

t² - t = 0, поэтому t = 0 или t = 1.

sin²x = 0 или sin²x = 1.

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z.

Видео

Основное видео 2026 года содержит отдельный фрагмент по методу замены в тригонометрических уравнениях. Дополнительное видео полностью посвящено решению тригонометрических уравнений методом замены переменной.

Основное видео Rutube «Алгебра 10 класс. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства». Метод замены начинается примерно с 08:07. Перед просмотром еще раз повторите алгоритм из этого урока, затем сравните последовательность действий.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • следите, какое выражение обозначается новой переменной;
  • проверьте, записывает ли автор ограничения для новой переменной;
  • после решения алгебраического уравнения обязательно выполните обратную замену самостоятельно.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • схема: привести к одной функции → ввести t → решить алгебраическое уравнение → выполнить обратную замену;
  • ограничение t ∈ [-1; 1] при t = sin x или t = cos x;
  • пример, где один корень квадратного уравнения отбрасывается как невозможное значение тригонометрической функции.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • перед каждым заданием назовите, какую замену вы бы сделали;
  • если это sin или cos, сразу запишите диапазон новой переменной;
  • после получения t проверьте его допустимость и только затем возвращайтесь к x.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Зачем вводят новую переменную t?

Ответ: чтобы заменить повторяющееся тригонометрическое выражение одной буквой и получить обычное алгебраическое уравнение.

02Какое ограничение нужно записать при t = sin x?

Ответ: -1 ≤ t ≤ 1.

03Какое ограничение нужно записать при t = sin²x?

Ответ: 0 ≤ t ≤ 1.

04Почему t = 2 отбрасывают при t = cos x?

Ответ: косинус действительного угла принимает значения только от -1 до 1.

05Что называют обратной заменой?

Ответ: возвращение от найденного значения t к исходному тригонометрическому выражению, например от t = 1/2 к sin x = 1/2.

06Что делать, если в уравнении есть sin²x и cos x?

Ответ: сначала выразить sin²x через cos x по формуле sin²x = 1 - cos²x и получить уравнение относительно одной функции.

07Есть ли ограничение -1 ≤ t ≤ 1 при t = tg x?

Ответ: нет. Тангенс может принимать любое действительное значение, но исходное выражение tg x существует только при cos x ≠ 0.

08Когда решение методом замены считается завершенным?

Ответ: после решения алгебраического уравнения, проверки t, обратной замены и полного решения всех получившихся простейших тригонометрических уравнений относительно x.

Главное по уроку

Метод замены используется, когда в уравнении повторяется одна и та же тригонометрическая функция или ее степень.

При t = sin x и t = cos x обязательно учитывается -1 ≤ t ≤ 1.

При t = sin²x или t = cos²x имеем 0 ≤ t ≤ 1.

После замены тригонометрическое уравнение превращается в алгебраическое, часто квадратное.

Не каждый алгебраический корень t обязательно допустим для исходной тригонометрической функции.

После проверки t выполняют обратную замену и решают простейшие тригонометрические уравнения.

Если в исходном уравнении присутствуют sin²x и cos x или cos²x и sin x, сначала используют основное тригонометрическое тождество.

Ответ обязательно записывается относительно x с учетом периода и условия n ∈ Z.

Следующий урок: «Однородные тригонометрические уравнения».

57 Урок 57 Однородные тригонометрические уравнения Открыть урокСвернуть урок

Урок 57. Однородные тригонометрические уравнения

Однородное тригонометрическое уравнение устроено так, что во всех его слагаемых одинаковая общая степень синуса и косинуса. Это позволяет разделить уравнение на подходящую степень cos x и перейти к уравнению относительно tg x. Однако такое деление нельзя выполнять автоматически: сначала обязательно проверяют, не являются ли решениями значения, при которых cos x = 0.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Распознавать однородное уравнение

Определять общую степень sin x и cos x в каждом слагаемом.

2

Проверять cos x = 0

Не терять возможные корни перед делением на cos x или cos²x.

3

Решать уравнения первой степени

Переходить от a sin x + b cos x = 0 к уравнению относительно tg x.

4

Решать уравнения второй степени

После деления на cos²x получать квадратное уравнение относительно tg x.

5

Приводить уравнение к однородному виду

Использовать sin²x + cos²x = 1 и формулы двойного угла.

6

Контролировать каждое преобразование

Понимать, на каком множестве значений выполняется деление и почему ответ остается полным.

Что означает слово «однородное»

Однородное тригонометрическое уравнение

Однородным называют уравнение, в котором все слагаемые имеют одинаковую общую степень относительно sin x и cos x.

В записи sin²x показатель степени 2 относится ко всему значению sin x: sin²x = (sin x)².

В произведении sin x cos x синус имеет степень 1 и косинус имеет степень 1. Общая степень этого произведения равна 1 + 1 = 2.

sin²x → общая степень 2 sin x cos x → общая степень 1 + 1 = 2 cos²x → общая степень 2
Поэтому выражение a sin²x + b sin x cos x + c cos²x является однородным второй степени: все три слагаемых имеют общую степень 2.

Однородное уравнение первой степени

Общий вид

Однородное тригонометрическое уравнение первой степени имеет вид a sin x + b cos x = 0, где a и b - заданные числа и они не равны нулю одновременно.

Каждый член имеет общую степень 1: sin x имеет степень 1, cos x тоже имеет степень 1.

a sin x + b cos x = 0

Почему нельзя сразу делить на cos x

Чтобы получить tg x, хочется разделить все уравнение на cos x. Но деление на ноль запрещено, поэтому сначала нужно проверить случай cos x = 0.

Проверка перед делением

Подставляем условие cos x = 0 в исходное уравнение. Если при этом равенство выполняется, такие значения x нужно сохранить как отдельную ветвь решений. Если не выполняется, на множестве оставшихся решений cos x ≠ 0 и деление на cos x допустимо.

Нельзя писать «делим на cos x» без проверки. Если cos x = 0 действительно дает корни исходного уравнения, автоматическое деление уничтожит эту ветвь решений.

Как решается уравнение первой степени

Пусть после проверки установлено, что cos x = 0 не дает корней. Тогда cos x ≠ 0 на всех решениях и можно разделить уравнение a sin x + b cos x = 0 на cos x:

a · sin x/cos x + b = 0 a tg x + b = 0 tg x = -b/a, если a ≠ 0

После этого получаем простейшее уравнение относительно тангенса:

x = arctg(-b/a) + πn, n ∈ Z

Пример 1. sin x - cos x = 0

1

Проверяем cos x = 0

Если cos x = 0, то sin x = ±1. Тогда sin x - cos x = ±1, а не 0. Значит таких корней нет.

2

Делим на cos x

На решениях cos x ≠ 0, поэтому tg x - 1 = 0.

3

Решаем простейшее уравнение

tg x = 1, поэтому x = π/4 + πn.

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z

Пример 2. √3 sin x + cos x = 0

Символ √3 означает арифметический квадратный корень из 3, то есть положительное число, квадрат которого равен 3.

Проверяем cos x = 0. Тогда sin x = ±1 и левая часть равна ±√3, а не нулю. Значит cos x = 0 не дает корней.

√3 tg x + 1 = 0 tg x = -1/√3 = -√3/3

arctg(-√3/3) = -π/6.

Ответ: x = -π/6 + πn, n ∈ Z

Однородное уравнение второй степени

Общий вид

Однородное тригонометрическое уравнение второй степени имеет вид:

a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0

Здесь a, b и c - заданные числовые коэффициенты. Все три слагаемых имеют общую степень 2.

Основная идея решения - после обязательной проверки cos x = 0 разделить уравнение на cos²x и получить квадратное уравнение относительно tg x.

Почему после деления появляется квадратное уравнение

Если cos x ≠ 0, делим каждый член на cos²x:

a · sin²x/cos²x + b · sin x cos x/cos²x + c = 0

Используем: sin²x/cos²x = tg²x, а sin x cos x/cos²x = sin x/cos x = tg x.

a tg²x + b tg x + c = 0

Теперь вводим временную замену t = tg x и получаем обычное квадратное уравнение:

a t² + b t + c = 0

Полный алгоритм уравнения второй степени

1

Проверьте однородность

Убедитесь, что каждое слагаемое имеет общую степень 2 по sin x и cos x.

2

Проверьте cos x = 0

Подставьте этот случай в исходное уравнение. Если равенство верно, сохраните найденную ветвь.

3

Для оставшихся решений используйте cos x ≠ 0

Теперь деление на cos²x допустимо.

4

Перейдите к тангенсу

Получите квадратное уравнение a tg²x + b tg x + c = 0.

5

Сделайте замену t = tg x

Решите обычное квадратное уравнение относительно t.

6

Вернитесь к x

Для каждого допустимого t решите tg x = t.

7

Объедините все ветви

Добавьте отдельно сохраненные решения cos x = 0, если они были.

Пример 3. 2sin²x - sin x cos x - cos²x = 0

Все слагаемые имеют общую степень 2, значит уравнение однородное второй степени.

Проверяем cos x = 0. Тогда sin²x = 1, sin x cos x = 0, cos²x = 0. Левая часть равна 2, поэтому cos x = 0 не дает корней.

Значит на всех решениях cos x ≠ 0. Делим на cos²x.

2tg²x - tg x - 1 = 0 (2tg x + 1)(tg x - 1) = 0

Получаем tg x = -1/2 или tg x = 1.

x = arctg(-1/2) + πn или x = π/4 + πn, n ∈ Z

Пример 4. 3sin²x - 2sin x cos x - cos²x = 0

Проверяем cos x = 0. Левая часть становится 3, значит таких корней нет.

Делим на cos²x:

3tg²x - 2tg x - 1 = 0 (3tg x + 1)(tg x - 1) = 0

tg x = -1/3 или tg x = 1.

Ответ: x = arctg(-1/3) + πn или x = π/4 + πn, n ∈ Z

Особый случай: cos x = 0 действительно является решением

Рассмотрим уравнение:

2sin x cos x - cos²x = 0

Оно однородное второй степени. Проверяем cos x = 0: оба слагаемых становятся равными нулю. Значит cos x = 0 действительно дает корни.

cos x = 0 → x = π/2 + πn

Для остальных решений cos x ≠ 0. Тогда можно разделить исходное уравнение на cos²x:

2tg x - 1 = 0 tg x = 1/2 x = arctg(1/2) + πn
Ответ: x = π/2 + πn или x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z
Этот пример показывает, зачем проверка cos x = 0 выполняется до деления. Если бы мы сразу разделили на cos²x, вся первая серия корней была бы потеряна.

Можно ли сначала вынести cos x?

Да. В предыдущем примере еще проще заметить общий множитель:

2sin x cos x - cos²x = cos x(2sin x - cos x)

По правилу нулевого произведения: cos x = 0 или 2sin x - cos x = 0.

Во второй ветви cos x = 0 уже невозможно, потому что тогда 2sin x - cos x = ±2 ≠ 0. Значит там деление на cos x безопасно.

Если общий множитель хорошо виден, разложение на множители часто оказывается понятнее прямого деления. Оба способа должны приводить к одному и тому же полному ответу.

Как неодноородное уравнение становится однородным

Иногда справа или слева присутствует число 1. Его можно заменить по основному тригонометрическому тождеству:

1 = sin²x + cos²x

После такой замены все слагаемые могут получить одинаковую степень 2.

Пример 5. sin²x + 2sin x cos x = 1

Заменяем 1 на sin²x + cos²x:

sin²x + 2sin x cos x = sin²x + cos²x

Вычитаем sin²x из обеих частей:

2sin x cos x - cos²x = 0 cos x(2sin x - cos x) = 0

Получили тот же тип, что в предыдущем примере.

Ответ: x = π/2 + πn или x = arctg(1/2) + πn, n ∈ Z

Формулы двойного угла тоже могут привести к однородности

Напомним:

sin 2x = 2sin x cos x cos 2x = cos²x - sin²x

После раскрытия двойного угла уравнение может стать однородным второй степени относительно sin x и cos x.

Пример 6. cos 2x + sin 2x = 0

Раскрываем формулы двойного угла:

cos²x - sin²x + 2sin x cos x = 0

Получили однородное уравнение второй степени. Проверяем cos x = 0: левая часть равна -1, значит таких корней нет.

Делим на cos²x:

1 - tg²x + 2tg x = 0 tg²x - 2tg x - 1 = 0

Пусть t = tg x. Тогда t² - 2t - 1 = 0. Дискриминант D = 4 + 4 = 8. √8 = 2√2.

Получаем t = 1 + √2 или t = 1 - √2.

x = arctg(1 + √2) + πn или x = arctg(1 - √2) + πn, n ∈ Z

Пример 7. 2sin²x + 3sin x cos x + cos²x = 0

Проверяем cos x = 0. Левая часть равна 2, поэтому таких корней нет.

Делим на cos²x:

2tg²x + 3tg x + 1 = 0 (2tg x + 1)(tg x + 1) = 0

tg x = -1/2 или tg x = -1.

Ответ: x = arctg(-1/2) + πn или x = -π/4 + πn, n ∈ Z

Пример 8. 2sin 3x - √3 cos 3x = 0

Это однородное уравнение первой степени, но аргументом функций является 3x. Обозначать новую переменную необязательно: весь аргумент 3x рассматриваем как единое целое.

Проверяем cos 3x = 0. Тогда sin 3x = ±1 и левая часть равна ±2, поэтому таких корней нет.

Делим на cos 3x:

2tg 3x - √3 = 0 tg 3x = √3/2

Значение √3/2 не является табличным значением тангенса, поэтому оставляем arctg(√3/2).

3x = arctg(√3/2) + πn x = (1/3)arctg(√3/2) + πn/3, n ∈ Z

Как быстро распознать метод

Вид уравнения Степень Основной переход
a sin x + b cos x = 0 1 Проверить cos x = 0, затем разделить на cos x
a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 2 Проверить cos x = 0, затем разделить на cos²x
Есть число 1 вместе с квадратами sin и cos можно получить 2 Заменить 1 на sin²x + cos²x
Есть sin 2x или cos 2x можно получить 2 Раскрыть формулы двойного угла
У всех слагаемых есть общий cos x любая подходящая Часто удобнее сначала вынести cos x как множитель
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Делят на cos x без проверки

Перед делением нужно отдельно проверить, дает ли cos x = 0 корни исходного уравнения.

2. Неверно определяют степень

В sin x cos x общая степень равна 2, потому что 1 + 1 = 2.

3. После деления забывают квадрат тангенса

sin²x/cos²x = tg²x, а не tg x.

4. Не замечают возможность заменить 1

Число 1 можно представить как sin²x + cos²x и иногда получить однородное уравнение.

5. Теряют ветвь cos x = 0

Если эта ветвь была допустима, она должна присутствовать в окончательном ответе.

6. Останавливаются на tg x = t

Нужно решить простейшее уравнение и записать x = arctg t + πn, n ∈ Z.

Практика с подробными подсказками

Задание 1. Решите 2sin x + cos x = 0

Показать решение

При cos x = 0 левая часть равна ±2, поэтому таких корней нет.

Делим на cos x: 2tg x + 1 = 0.

tg x = -1/2.

Ответ: x = arctg(-1/2) + πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите sin²x - 3sin x cos x + 2cos²x = 0

Показать решение

При cos x = 0 левая часть равна 1, поэтому таких корней нет.

Делим на cos²x: tg²x - 3tg x + 2 = 0.

(tg x - 1)(tg x - 2) = 0.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите sin²x + sin x cos x = 0

Показать решение

Удобнее вынести sin x: sin x(sin x + cos x) = 0.

Первая ветвь: sin x = 0, x = πn.

Во второй ветви sin x + cos x = 0. Здесь cos x = 0 не подходит, поэтому tg x = -1.

Ответ: x = πn или x = -π/4 + πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите sin²x - sin x cos x = cos²x

Показать решение

Переносим все влево: sin²x - sin x cos x - cos²x = 0.

При cos x = 0 левая часть равна 1, поэтому таких корней нет.

Делим на cos²x: tg²x - tg x - 1 = 0.

t = tg x. Тогда t = (1 + √5)/2 или t = (1 - √5)/2.

Ответ: x = arctg((1 + √5)/2) + πn или x = arctg((1 - √5)/2) + πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите sin x + √3 cos x = 0

Показать ответ

tg x = -√3.

Ответ: x = -π/3 + πn, n ∈ Z.

2. Решите sin²x + 2sin x cos x - 3cos²x = 0

Показать ответ

tg²x + 2tg x - 3 = 0.

tg x = 1 или tg x = -3.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.

3. Решите 3sin x cos x - cos²x = 0

Показать ответ

cos x(3sin x - cos x) = 0.

Ответ: x = π/2 + πn или x = arctg(1/3) + πn, n ∈ Z.

4. Решите cos 2x - sin 2x = 0

Показать ответ

cos²x - sin²x - 2sin x cos x = 0.

После деления на cos²x: 1 - tg²x - 2tg x = 0.

tg²x + 2tg x - 1 = 0.

tg x = -1 + √2 или tg x = -1 - √2.

Ответ: x = arctg(-1 + √2) + πn или x = arctg(-1 - √2) + πn, n ∈ Z.

Видео

Основное видео полностью посвящено однородным тригонометрическим уравнениям и отдельно показывает уравнения второй степени. Дополнительное видео подробно объясняет общий алгоритм, проверку cos x = 0 и переход к тангенсу.

Основное видео Rutube «Однородные тригонометрические уравнения». Перед просмотром сформулируйте своими словами, зачем проверять cos x = 0 до деления.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сравните определение однородности с нашим объяснением степеней;
  • проследите отдельный этап проверки cos x = 0;
  • после деления самостоятельно запишите квадратное уравнение относительно tg x.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • определения однородных уравнений первой и второй степени;
  • переход от второй степени к квадратному уравнению относительно tg x;
  • примеры решения однородных тригонометрических уравнений в 10 классе.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала определите степень каждого слагаемого;
  • до любых делений отдельно проверьте случай cos x = 0;
  • после перехода к tg x решите полученное алгебраическое уравнение и вернитесь к x.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Что означает «однородное» тригонометрическое уравнение?

Ответ: все его слагаемые имеют одинаковую общую степень относительно sin x и cos x.

02Какова общая степень выражения sin x cos x?

Ответ: 2, потому что степень sin x равна 1 и степень cos x равна 1, а 1 + 1 = 2.

03Почему перед делением на cos x нужно проверить cos x = 0?

Ответ: делить на ноль нельзя, а значения cos x = 0 могут быть настоящими корнями исходного уравнения.

04Во что превращается sin²x/cos²x?

Ответ: в tg²x.

05Во что превращается sin x cos x/cos²x?

Ответ: в sin x/cos x = tg x.

06Как число 1 помогает получить однородное уравнение второй степени?

Ответ: его можно заменить по тождеству 1 = sin²x + cos²x.

07Что делать после получения квадратного уравнения относительно tg x?

Ответ: решить его, затем для каждого найденного значения t решить tg x = t и записать x = arctg t + πn.

08Когда вместо деления удобнее вынести cos x за скобки?

Ответ: когда cos x является общим множителем всех слагаемых. Тогда ветвь cos x = 0 сохраняется автоматически.

Главное по уроку

В однородном тригонометрическом уравнении все слагаемые имеют одинаковую общую степень по sin x и cos x.

Уравнение первой степени имеет вид a sin x + b cos x = 0.

Уравнение второй степени имеет вид a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0.

Перед делением на cos x или cos²x обязательно проверяется случай cos x = 0.

После деления уравнение первой степени становится линейным относительно tg x, а второй степени - квадратным относительно tg x.

Число 1 можно заменить на sin²x + cos²x, чтобы иногда получить однородное уравнение.

Формулы sin 2x и cos 2x также могут привести уравнение к однородному виду второй степени.

Если общий множитель cos x хорошо виден, безопаснее и понятнее сначала вынести его за скобки.

Следующий урок: «Тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул».

58 Урок 58 Тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул Открыть урокСвернуть урок

Урок 58. Тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул

В предыдущих уроках мы решали уравнения разложением на множители, заменой переменной и методом однородных уравнений. Теперь основным инструментом станут уже изученные тригонометрические формулы. Их задача в уравнении не просто заменить одно выражение другим, а сделать структуру задачи проще: уменьшить число разных аргументов, перейти к одной функции, получить произведение или квадратное уравнение.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Распознавать нужную формулу

По структуре уравнения выбирать основное тождество, двойной угол, формулы сложения или сумму в произведение.

2

Выбирать направление преобразования

Понимать, какую из нескольких равносильных формул выгоднее применить именно в данном уравнении.

3

Сводить к одной функции

Заменять sin²x через cos²x или наоборот, если это уменьшает число разных функций.

4

Работать с двойным углом

Преобразовывать sin 2x и cos 2x так, чтобы получить разложение на множители или квадратное уравнение.

5

Использовать суммы и разности

Преобразовывать sin α ± sin β и cos α ± cos β в произведение.

6

Проверять результат

Следить за равносильностью переходов, периодом и полнотой окончательного ответа.

Что значит «применить формулу при решении уравнения»

Тригонометрическое тождество

Тригонометрическое тождество - равенство, которое верно для всех допустимых значений переменной. Поэтому одну часть такого тождества можно заменять другой частью внутри уравнения.

Например, тождество sin 2x = 2sin x cos x позволяет заменить функцию двойного аргумента произведением функций аргумента x.

Но сама по себе замена еще не является целью. Мы применяем ее тогда, когда после преобразования появляется знакомый метод решения.

Правильный вопрос перед применением формулы: «Что станет проще после этой замены?» Если ответ не очевиден, не спешите преобразовывать выражение.

Памятка по обозначениям

n ∈ Z означает, что n может быть любым целым числом: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

∈ читается «принадлежит».

≠ читается «не равно».

± читается «плюс-минус» и обычно обозначает две серии решений.

sin²x означает (sin x)², а sin 2x означает sin(2x). Это разные записи.

Главная карта формул

Что видно в уравнении Полезная формула Что можно получить
sin²x и cos²x sin²x + cos²x = 1 Оставить одну функцию
sin 2x sin 2x = 2sin x cos x Произведение, общий множитель
cos 2x вместе с cos x cos 2x = 2cos²x - 1 Квадратное уравнение относительно cos x
cos 2x вместе с sin x cos 2x = 1 - 2sin²x Квадратное уравнение относительно sin x
sin(x + α), cos(x + α) Формулы сложения Выражение через sin x и cos x
sin α + sin β 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) Произведение равно нулю
cos α - cos β -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2) Произведение равно нулю
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Как выбрать одну из трех формул для cos 2x

cos 2x = cos²x - sin²x cos 2x = 2cos²x - 1 cos 2x = 1 - 2sin²x

Все три формулы верны, но в разных задачах удобны разные варианты.

Если в уравнении кроме cos 2x уже есть cos x, обычно выгодно выбрать cos 2x = 2cos²x - 1.

Если рядом есть sin x, обычно удобнее cos 2x = 1 - 2sin²x.

Если встречаются одновременно sin x cos x или нужно получить однородное выражение второй степени, может быть полезна форма cos²x - sin²x.

Цель - уменьшить количество разных функций и аргументов. Хорошая формула обычно превращает задачу в уже знакомый тип.

Универсальный алгоритм

1

Посмотрите на аргументы

Есть ли одновременно x, 2x, 3x или суммы углов?

2

Посмотрите на функции

Сколько разных функций присутствует: sin, cos, tg?

3

Выберите цель преобразования

Нужно получить одну функцию, произведение или квадратное уравнение?

4

Примените одну формулу

После каждого шага перепишите уравнение полностью и оцените, стало ли оно проще.

5

Определите новый метод

После преобразования это может быть разложение на множители, замена переменной или простейшее уравнение.

6

Решите и проверьте ответ

Сохраните все серии корней и условие n ∈ Z.

Пример 1. sin 2x = sin x

В уравнении есть аргументы 2x и x. Удобно раскрыть sin 2x:

2sin x cos x = sin x 2sin x cos x - sin x = 0 sin x(2cos x - 1) = 0

Теперь получили произведение, равное нулю. Значит:

sin x = 0 или cos x = 1/2

Из sin x = 0 получаем x = πn. Из cos x = 1/2 получаем x = ±π/3 + 2πn.

Ответ: x = πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z

Пример 2. cos 2x = cos x

В уравнении уже есть cos x, поэтому выбираем форму cos 2x = 2cos²x - 1.

2cos²x - 1 = cos x 2cos²x - cos x - 1 = 0

Пусть t = cos x, где -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - t - 1 = 0 (2t + 1)(t - 1) = 0 t = -1/2 или t = 1

Возвращаемся к косинусу: cos x = -1/2 или cos x = 1.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn или x = 2πn, n ∈ Z

Пример 3. cos 2x + cos x = 0

Снова выгодно выразить cos 2x через cos x:

2cos²x - 1 + cos x = 0 2cos²x + cos x - 1 = 0

Замена t = cos x дает:

2t² + t - 1 = 0 (2t - 1)(t + 1) = 0 t = 1/2 или t = -1
Ответ: x = ±π/3 + 2πn или x = π + 2πn, n ∈ Z

Пример 4. sin 2x = cos x

Раскрываем sin 2x:

2sin x cos x = cos x 2sin x cos x - cos x = 0 cos x(2sin x - 1) = 0

Получаем две ветви: cos x = 0 или sin x = 1/2.

cos x = 0 → x = π/2 + πn sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn
Ответ: x = π/2 + πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z

Основное тождество помогает оставить одну функцию

sin²x + cos²x = 1 sin²x = 1 - cos²x cos²x = 1 - sin²x

Если в уравнении есть sin²x и cos x, удобно заменить sin²x на 1 - cos²x. Если есть cos²x и sin x, удобнее заменить cos²x на 1 - sin²x.

Пример 5. sin²x + cos x = 1

Здесь рядом находятся sin²x и cos x. Выражаем sin²x через cos x:

1 - cos²x + cos x = 1

Вычитаем 1 из обеих частей:

-cos²x + cos x = 0 cos x(1 - cos x) = 0

Поэтому cos x = 0 или cos x = 1.

Ответ: x = π/2 + πn или x = 2πn, n ∈ Z

Формулы сложения

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Буквы α и β читаются «альфа» и «бета» и обозначают углы. Эти формулы можно использовать в двух направлениях: раскрывать функцию суммы или, наоборот, узнавать в длинном выражении готовую функцию суммы.

Пример 6. sin(x + π/3) + sin(x - π/3) = 1

Здесь можно раскрыть обе формулы сложения, но быстрее использовать формулу суммы синусов:

sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2)

Берем α = x + π/3 и β = x - π/3.

Полусумма: ((x + π/3) + (x - π/3))/2 = 2x/2 = x.

Полуразность: ((x + π/3) - (x - π/3))/2 = (2π/3)/2 = π/3.

2sin x cos(π/3) = 1 2sin x · 1/2 = 1 sin x = 1
Ответ: x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

Сумма и разность функций превращаются в произведение

sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2) sin α - sin β = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2) cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2) cos α - cos β = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)
Эти формулы особенно полезны, когда справа стоит 0: после преобразования получается произведение, равное нулю, и можно применить правило нулевого произведения.

Пример 7. sin x + sin 3x = 0

Преобразуем сумму синусов:

sin x + sin 3x = 2sin 2x cos x 2sin 2x cos x = 0

Постоянный множитель 2 не равен нулю. Значит sin 2x = 0 или cos x = 0.

sin 2x = 0 → 2x = πn → x = πn/2 cos x = 0 → x = π/2 + πn

Все решения второй ветви уже входят в x = πn/2: при нечетных n получаем π/2, 3π/2 и так далее.

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z

Пример 8. cos x - cos 3x = 0

Применяем формулу разности косинусов:

cos x - cos 3x = -2sin 2x sin(-x)

sin(-x) = -sin x, поэтому два знака минус дают плюс:

cos x - cos 3x = 2sin 2x sin x 2sin 2x sin x = 0

sin 2x = 0 дает x = πn/2. sin x = 0 дает x = πn, но эта серия уже содержится в x = πn/2.

Ответ: x = πn/2, n ∈ Z

Пример 9. 1 - cos 2x = sin x

Справа уже есть sin x, поэтому выбираем формулу:

1 - cos 2x = 2sin²x

Получаем:

2sin²x = sin x 2sin²x - sin x = 0 sin x(2sin x - 1) = 0
Ответ: x = πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z

Пример 10. 1 + cos 2x = 2cos x

Справа есть cos x. Используем 1 + cos 2x = 2cos²x.

2cos²x = 2cos x 2cos²x - 2cos x = 0 2cos x(cos x - 1) = 0

cos x = 0 или cos x = 1.

Ответ: x = π/2 + πn или x = 2πn, n ∈ Z

Как проверить, что выбранная формула действительно помогла

До преобразования После хорошего преобразования
Есть x и 2x Остается только x
Есть sin²x и cos x Остается только cos x
Сумма нескольких функций равна 0 Получается произведение равно 0
Есть cos 2x и cos x Получается квадратное уравнение относительно cos x
Сложный аргумент скрывает знакомую формулу Появляется простейшее тригонометрическое уравнение
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Применяют формулу без цели

После каждого преобразования задайте вопрос: стало ли меньше разных функций или аргументов?

2. Пишут sin 2x = 2sin x

Правильно: sin 2x = 2sin x cos x.

3. Выбирают неудобную форму cos 2x

Если рядом cos x, обычно выбирают 2cos²x - 1; если sin x - форму 1 - 2sin²x.

4. Теряют знак в разности косинусов

cos α - cos β = -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2).

5. Не объединяют совпадающие серии

Если одна серия полностью входит в другую, повторять ее в ответе не нужно.

6. Останавливаются после преобразования

Формула только меняет вид уравнения. После этого нужно определить метод и довести решение до x.

Практика с подробными подсказками

Задание 1. Решите sin 2x + sin x = 0

Показать решение

sin 2x = 2sin x cos x.

Получаем sin x(2cos x + 1) = 0.

Первая ветвь: x = πn.

Вторая ветвь: cos x = -1/2, поэтому x = ±2π/3 + 2πn.

Ответ: x = πn или x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите cos 2x = -cos x

Показать решение

Используем cos 2x = 2cos²x - 1.

2cos²x + cos x - 1 = 0.

(2cos x - 1)(cos x + 1) = 0.

cos x = 1/2 или cos x = -1.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn или x = π + 2πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите sin²x = cos²x

Показать решение

Переносим: sin²x - cos²x = 0.

Так как cos 2x = cos²x - sin²x, получаем cos 2x = 0.

2x = π/2 + πn.

Ответ: x = π/4 + πn/2, n ∈ Z.

Задание 4. Решите cos x + cos 3x = 0

Показать решение

cos x + cos 3x = 2cos 2x cos x.

cos 2x = 0 или cos x = 0.

cos 2x = 0 дает x = π/4 + πn/2.

cos x = 0 дает x = π/2 + πn. Эта серия не входит в первую, поэтому сохраняем обе.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите sin 2x - √2 cos x = 0

Показать ответ

√2 - арифметический квадратный корень из 2.

cos x(2sin x - √2) = 0.

Ответ: x = π/2 + πn; x = π/4 + 2πn; x = 3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите 1 - cos 2x = √3 sin x

Показать ответ

√3 - арифметический квадратный корень из 3.

2sin²x = √3 sin x.

sin x(2sin x - √3) = 0.

Ответ: x = πn; x = π/3 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите sin x - sin 3x = 0

Показать ответ

sin x - sin 3x = 2cos 2x sin(-x) = -2cos 2x sin x.

cos 2x = 0 или sin x = 0.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = πn, n ∈ Z.

4. Решите cos²x + sin x = 1

Показать ответ

cos²x = 1 - sin²x.

1 - sin²x + sin x = 1.

sin x(1 - sin x) = 0.

Ответ: x = πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Видео

Основное видео 2026 года содержит отдельный блок «Применение формул при решении тригонометрических уравнений». Дополнительное видео рассматривает формулы двойного угла именно в задачах на тригонометрические уравнения.

Основное видео Rutube «Алгебра 10 класс. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства». Нужный фрагмент «Применение формул при решении тригонометрических уравнений» начинается примерно с 11:59.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • следите, какую форму двойного угла выбирает автор;
  • после преобразования сами определяйте новый тип уравнения;
  • не переписывайте решение механически - объясняйте назначение каждого шага.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • использование основных тригонометрических тождеств и формул приведения;
  • связь применения формул с другими методами решения: заменой, разложением и однородными уравнениями;
  • выбор метода после преобразования исходного выражения.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • до ответа определите, какая формула уменьшит число разных аргументов или функций;
  • после применения формулы назовите новый метод решения;
  • проверьте, что получили полный периодический ответ с n ∈ Z.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Зачем применять тригонометрическую формулу в уравнении?

Ответ: чтобы получить более простую структуру: одну функцию, один аргумент, произведение или алгебраическое уравнение.

02Как раскрывается sin 2x?

Ответ: sin 2x = 2sin x cos x.

03Какую форму cos 2x обычно удобно использовать, если в уравнении есть cos x?

Ответ: cos 2x = 2cos²x - 1.

04Какую форму cos 2x удобно использовать, если в уравнении есть sin x?

Ответ: cos 2x = 1 - 2sin²x.

05Как преобразовать sin α + sin β в произведение?

Ответ: 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2).

06Почему преобразование суммы в произведение особенно удобно, когда справа стоит 0?

Ответ: получается произведение, равное нулю, и каждый множитель можно приравнять к нулю.

07Что делать, если после формулы получилось квадратное уравнение относительно cos x?

Ответ: сделать замену t = cos x, учитывать -1 ≤ t ≤ 1, решить квадратное уравнение, выполнить обратную замену и найти x.

08Как понять, что формула выбрана удачно?

Ответ: после преобразования становится меньше разных функций или аргументов и появляется знакомый метод решения.

Главное по уроку

Тригонометрическая формула используется как инструмент для упрощения структуры уравнения.

sin 2x = 2sin x cos x часто помогает получить общий множитель.

Для cos 2x выбирают ту форму, которая оставляет одну нужную функцию: cos или sin.

Основное тождество sin²x + cos²x = 1 помогает перейти к одной функции.

Формулы сложения позволяют раскрывать или, наоборот, узнавать функцию суммы и разности углов.

Формулы суммы и разности функций особенно полезны для перехода к произведению.

После применения формулы нужно определить новый метод решения и довести задачу до полного ответа.

Совпадающие серии корней в окончательном ответе не дублируются.

Следующий урок: «Смешанные тригонометрические уравнения. Выбор метода решения».

59 Урок 59 Смешанные тригонометрические уравнения. Выбор метода решения Открыть урокСвернуть урок

Урок 59. Смешанные тригонометрические уравнения. Выбор метода решения

К этому уроку мы уже знаем несколько методов решения тригонометрических уравнений: сведение к простейшему виду, разложение на множители, замену переменной, решение однородных уравнений и применение тригонометрических формул. Теперь главная задача - научиться выбирать метод самостоятельно. В смешанном уравнении часто приходится использовать не один, а два последовательных приема.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Определять структуру уравнения

Замечать повторяющуюся функцию, общий множитель, одинаковую степень или разные аргументы.

2

Выбирать первый шаг

Понимать, что нужно сделать раньше: применить формулу, перенести слагаемые, вынести множитель или ввести замену.

3

Сочетать методы

Использовать два приема последовательно, если одного преобразования недостаточно.

4

Избегать потери корней

Не делить на выражение с переменной до проверки возможности его равенства нулю.

5

Сравнивать способы

Понимать, почему одно и то же уравнение иногда можно решить несколькими способами и какой из них короче.

6

Проверять полный ответ

Следить за допустимостью значений, периодом и тем, не совпадают ли отдельные серии корней.

Что называют смешанным тригонометрическим уравнением

Смешанное уравнение

В этом уроке смешанным будем называть уравнение, для решения которого нужно распознать один из нескольких изученных методов или последовательно применить два и более приема.

Например, в уравнении sin 2x - sin x = 0 сначала применяется формула sin 2x = 2sin x cos x, а затем разложение на множители.

В уравнении 2sin²x + 3cos x = 0 сначала используется тождество sin²x = 1 - cos²x, затем вводится замена t = cos x.

Короткое повторение обозначений

n ∈ Z означает, что n - любое целое число.

∈ читается «принадлежит».

≠ читается «не равно».

± читается «плюс-минус» и обозначает две серии значений.

√a обозначает арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a.

ОДЗ - область допустимых значений, то есть значения переменной, при которых исходное выражение определено.

Главная схема выбора метода

1

Проверьте, не является ли уравнение простейшим

Если уже получено sin x = a, cos x = a или tg x = a, никаких дополнительных методов не требуется.

2

Посмотрите, повторяется ли одна функция

Если встречаются sin²x и sin x или cos²x и cos x, вероятна замена переменной.

3

Ищите общий множитель

Если несколько слагаемых содержат sin x или cos x, попробуйте разложение на множители.

4

Сравните степени sin x и cos x

Если они одинаковы во всех слагаемых, возможно однородное уравнение.

5

Посмотрите на аргументы

Если есть x и 2x или сумма функций разных аргументов, вероятно понадобится тригонометрическая формула.

6

После каждого преобразования пересмотрите уравнение

Первый метод может только подготовить уравнение ко второму методу.

Таблица распознавания метода

Признак Что попробовать Пример
Одна функция и ее квадрат Замена t = sin x или t = cos x 2sin²x - 3sin x + 1 = 0
Общий sin x или cos x Вынести общий множитель sin x(2cos x - 1) = 0
Одинаковая общая степень sin и cos Однородный метод sin²x - 3sin x cos x + 2cos²x = 0
Есть x и 2x Формулы двойного угла sin 2x - sin x = 0
Сумма или разность функций разных аргументов Преобразование в произведение cos x + cos 3x = 0
Есть sin²x и cos x Сначала основное тождество, затем замена 2sin²x + 3cos x = 0
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Пример 1. 2sin²x - 3sin x + 1 = 0

Видим только sin x и sin²x. Это главный признак замены переменной.

Пусть t = sin x. Так как синус принимает значения от -1 до 1, записываем -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - 3t + 1 = 0 (2t - 1)(t - 1) = 0 t = 1/2 или t = 1

Оба значения допустимы. Выполняем обратную замену: sin x = 1/2 или sin x = 1.

Ответ: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = π/2 + 2πn, n ∈ Z
Выбор метода: замена переменной, потому что одна и та же функция встречается в первой и второй степени.

Пример 2. sin 2x - sin x = 0

Здесь разные аргументы: 2x и x. Первый шаг - формула двойного угла:

sin 2x = 2sin x cos x 2sin x cos x - sin x = 0

После первого метода появилась новая структура: общий множитель sin x. Теперь используем второй метод - разложение на множители.

sin x(2cos x - 1) = 0 sin x = 0 или cos x = 1/2
Ответ: x = πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
Сочетание методов: формула двойного угла → разложение на множители.

Пример 3. sin²x - 3sin x cos x + 2cos²x = 0

Проверяем степени: sin²x имеет степень 2, sin x cos x имеет общую степень 2, cos²x имеет степень 2. Значит уравнение однородное второй степени.

Сначала проверяем cos x = 0. Тогда левая часть равна 1, поэтому такие значения не являются корнями. Значит на решениях cos x ≠ 0 и можно делить на cos²x.

tg²x - 3tg x + 2 = 0 (tg x - 1)(tg x - 2) = 0

tg x = 1 или tg x = 2.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn, n ∈ Z
Выбор метода: однородное уравнение, потому что общая степень каждого слагаемого одинакова.

Пример 4. 1 - cos 2x = sin x

Справа уже есть sin x. Поэтому выгодно выбрать формулу, которая тоже содержит только sin x:

1 - cos 2x = 2sin²x 2sin²x = sin x sin x(2sin x - 1) = 0

Получили sin x = 0 или sin x = 1/2.

Ответ: x = πn; x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
Сочетание методов: формула двойного угла в удобной форме → разложение на множители.

Пример 5. cos x + cos 3x = 0

Здесь сумма косинусов с разными аргументами. Используем формулу:

cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2)

Для α = x и β = 3x получаем:

cos x + cos 3x = 2cos 2x cos(-x) cos(-x) = cos x 2cos 2x cos x = 0

Значит cos 2x = 0 или cos x = 0.

Из cos 2x = 0: 2x = π/2 + πn, поэтому x = π/4 + πn/2.

Из cos x = 0: x = π/2 + πn. Эта серия не входит в первую, поэтому сохраняем обе.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z

Пример 6. 2sin²x + 3cos x = 0

Здесь одновременно sin²x и cos x. Сразу сделать замену t = sin x неудобно, потому что останется cos x. Поэтому сначала оставляем только косинус:

sin²x = 1 - cos²x 2(1 - cos²x) + 3cos x = 0 2cos²x - 3cos x - 2 = 0

Теперь делаем замену t = cos x, где -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - 3t - 2 = 0 (2t + 1)(t - 2) = 0 t = -1/2 или t = 2

t = 2 невозможно для косинуса. Остается cos x = -1/2.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z
Сочетание методов: основное тождество → замена переменной → проверка допустимости t.

Пример 7. sin x(2cos x - 1) = 0

Здесь уравнение уже имеет вид произведения, равного нулю. Дополнительные формулы не нужны.

sin x = 0 или 2cos x - 1 = 0

Получаем x = πn или cos x = 1/2.

Ответ: x = πn или x = ±π/3 + 2πn, n ∈ Z
Выбор метода: сразу правило нулевого произведения. Не нужно усложнять уравнение дополнительными преобразованиями.

Пример 8. 2cos 2x + 5cos x + 2 = 0

В уравнении есть cos 2x и cos x. Выбираем форму cos 2x = 2cos²x - 1.

2(2cos²x - 1) + 5cos x + 2 = 0 4cos²x + 5cos x = 0 cos x(4cos x + 5) = 0

Первая ветвь: cos x = 0.

Вторая ветвь: cos x = -5/4. Число -5/4 меньше -1, поэтому косинус такого значения принимать не может.

Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z
Сочетание методов: формула двойного угла → разложение на множители → проверка диапазона косинуса.

Пример 9. 2sin x + √3 cos x = 0

√3 - арифметический квадратный корень из 3. Уравнение однородное первой степени.

Проверяем cos x = 0. Тогда sin x = ±1, а левая часть равна ±2, поэтому таких корней нет. Значит cos x ≠ 0 на всех решениях и можно разделить на cos x.

2tg x + √3 = 0 tg x = -√3/2

Значение -√3/2 не является стандартным табличным значением тангенса, поэтому используем арктангенс.

Ответ: x = arctg(-√3/2) + πn, n ∈ Z

Пример 10. cos²x + sin x = 1

В уравнении есть cos²x и sin x. Выражаем cos²x через sin x:

cos²x = 1 - sin²x 1 - sin²x + sin x = 1 -sin²x + sin x = 0 sin x(1 - sin x) = 0

Получаем sin x = 0 или sin x = 1.

Ответ: x = πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

Когда возможны несколько способов

Одно и то же уравнение иногда можно решить разными способами. Это нормально. Важно выбрать способ, который:

1

Не теряет корни

Не требует необоснованного деления на выражение, которое может быть нулем.

2

Уменьшает сложность

После первого шага становится меньше функций, аргументов или слагаемых.

3

Использует знакомый метод

Приводит задачу к простейшему уравнению, произведению, квадратному или однородному уравнению.

4

Легко проверяется

Каждый переход можно объяснить известной формулой или обычным алгебраическим действием.

Мини-диагностика перед решением

Вопрос Если ответ «да»
Одна функция встречается в первой и второй степени? Рассмотрите замену переменной
Есть общий множитель? Вынесите его за скобки
Все слагаемые одинаковой общей степени по sin и cos? Проверьте однородный метод
Есть x и 2x? Проверьте формулы двойного угла
Есть сумма или разность функций разных аргументов? Проверьте преобразование в произведение
Есть и sin²x, и cos x? Выразите sin²x через cos²x
Есть и cos²x, и sin x? Выразите cos²x через sin²x
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки при выборе метода

1. Сразу выбирают самый сложный метод

Сначала проверьте, нет ли общего множителя или уже готового простейшего уравнения.

2. Делают замену слишком рано

Если в уравнении одновременно sin и cos, сначала постарайтесь оставить одну функцию.

3. Применяют формулу, после которой выражение становится длиннее

Формула должна упрощать структуру, а не увеличивать количество разных функций.

4. Делят на sin x или cos x без проверки

Если делитель может быть нулем, сначала рассмотрите этот случай отдельно.

5. После первого приема не пересматривают уравнение

После формулы или тождества может появиться совершенно другой метод решения.

6. Не проверяют допустимость найденной функции

Уравнение cos x = -5/4 или sin x = 2 действительных корней не имеет.

Практика: сначала назовите метод, потом решайте

Задание 1. Решите 3cos²x - 4cos x + 1 = 0

Показать решение

Метод: замена t = cos x, -1 ≤ t ≤ 1.

3t² - 4t + 1 = 0.

(3t - 1)(t - 1) = 0.

t = 1/3 или t = 1.

Ответ: x = ±arccos(1/3) + 2πn или x = 2πn, n ∈ Z.

Задание 2. Решите sin 2x + √2 sin x = 0

Показать решение

Методы: формула двойного угла → разложение на множители.

2sin x cos x + √2 sin x = 0.

sin x(2cos x + √2) = 0.

sin x = 0 или cos x = -√2/2.

Ответ: x = πn или x = ±3π/4 + 2πn, n ∈ Z.

Задание 3. Решите sin²x + 2sin x cos x - 3cos²x = 0

Показать решение

Метод: однородное уравнение второй степени.

При cos x = 0 левая часть равна 1, поэтому таких корней нет.

Делим на cos²x: tg²x + 2tg x - 3 = 0.

(tg x - 1)(tg x + 3) = 0.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.

Задание 4. Решите sin x - sin 3x = 0

Показать решение

Методы: разность синусов → произведение равно нулю.

sin x - sin 3x = 2cos 2x sin(-x) = -2cos 2x sin x.

cos 2x = 0 или sin x = 0.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = πn, n ∈ Z.

Самостоятельная работа

1. Решите 2sin²x + sin x - 1 = 0

Показать ответ

Метод: замена t = sin x.

sin x = 1/2 или sin x = -1.

Ответ: x = π/6 + 2πn; x = 5π/6 + 2πn; x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите sin 2x - √3 cos x = 0

Показать ответ

Методы: формула двойного угла → разложение на множители.

cos x(2sin x - √3) = 0.

Ответ: x = π/2 + πn; x = π/3 + 2πn; x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите 2sin²x - sin x cos x - cos²x = 0

Показать ответ

Метод: однородное уравнение второй степени.

2tg²x - tg x - 1 = 0.

tg x = 1 или tg x = -1/2.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-1/2) + πn, n ∈ Z.

4. Решите cos²x + sin x = 1

Показать ответ

Методы: основное тождество → разложение на множители.

1 - sin²x + sin x = 1.

sin x(1 - sin x) = 0.

Ответ: x = πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Видео

Основное видео 2026 года полезно именно для этого урока, потому что в нем последовательно используются разные способы решения: простейшие уравнения, замена переменной и применение формул. Дополнительное видео содержит серию смешанных примеров для 10 класса.

Основное видео Rutube «Алгебра 10 класс. Практика. Тригонометрические уравнения и неравенства». В нем рассматриваются разные методы: простейшие уравнения с 00:12, метод замены с 08:07, применение формул с 11:59.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • перед каждым примером поставьте видео на паузу и назовите предполагаемый метод;
  • после первого преобразования снова определите тип уравнения;
  • сравните свой выбор метода с решением автора.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • классификация основных методов решения тригонометрических уравнений;
  • примеры замены переменной, разложения на множители и однородных уравнений;
  • связь между видом исходного уравнения и выбором метода.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • до выполнения задания определите, какой метод подойдет;
  • если после первого шага вид уравнения изменился, назовите второй метод;
  • после получения ответа проверьте период и допустимость значений функции.
Открыть LearningApps

Вопросы для самопроверки

01Какой признак подсказывает замену t = sin x?

Ответ: наличие в уравнении только sin x и его степеней, например sin²x и sin x.

02Какой признак подсказывает разложение на множители?

Ответ: наличие общего множителя или возможность получить произведение, равное нулю.

03Как распознать однородное уравнение второй степени?

Ответ: все слагаемые имеют общую степень 2 по sin x и cos x.

04Что обычно делать, если в уравнении есть x и 2x?

Ответ: проверить, можно ли применить формулы двойного угла и перейти к одному аргументу.

05Почему после первого преобразования нужно снова анализировать уравнение?

Ответ: первый прием может только подготовить уравнение к другому методу, например к разложению или замене.

06Почему нельзя без проверки делить на sin x или cos x?

Ответ: делитель может быть равен нулю, и тогда при делении можно потерять настоящие корни.

07Когда используют основное тождество перед заменой переменной?

Ответ: когда в уравнении присутствуют две разные функции, например sin²x и cos x, и нужно оставить только одну.

08Каким должен быть хороший первый шаг?

Ответ: он должен уменьшать сложность уравнения и приводить к знакомому типу задачи без потери корней.

Главное по уроку

Перед вычислениями сначала анализируют структуру тригонометрического уравнения.

Повторение одной функции в разных степенях часто указывает на замену переменной.

Общий множитель или произведение, равное нулю, указывает на разложение на множители.

Одинаковая общая степень sin x и cos x указывает на однородный метод.

Разные аргументы x и 2x часто требуют формул двойного угла.

Основное тождество помогает оставить одну функцию перед заменой переменной.

Один метод может подготовить уравнение к применению другого метода.

Выбранный способ должен упрощать задачу и не приводить к потере корней.

Следующий урок: «Обобщение и практикум по формулам тригонометрии и тригонометрическим уравнениям».

60 Урок 60 Обобщение и практикум по формулам тригонометрии и тригонометрическим уравнениям Открыть урокСвернуть урок

Урок 60. Обобщение и практикум по формулам тригонометрии и тригонометрическим уравнениям

Это завершающий урок темы. Его задача - собрать изученный материал в единую систему: значения тригонометрических функций, основные формулы, аркфункции, простейшие тригонометрические уравнения и основные методы решения более сложных уравнений. Работайте не на скорость. После каждого задания сначала назовите метод словами, затем выполняйте вычисления и только в конце сравнивайте решение.

35 минут основной работы

Что вы должны уметь после завершения темы

1

Работать с тригонометрическими значениями

Определять знак sin, cos и tg и вспоминать основные табличные значения.

2

Применять основные формулы

Использовать основное тождество, формулы сложения, двойного и половинного угла, преобразования суммы и произведения.

3

Понимать аркфункции

Находить главное значение arcsin, arccos и arctg и учитывать их главные промежутки.

4

Решать простейшие уравнения

Записывать все решения sin x = a, cos x = a и tg x = a.

5

Выбирать метод решения

Распознавать замену переменной, разложение на множители, однородность и необходимость применения формул.

6

Проверять ответ

Не терять корни, учитывать ОДЗ, период и ограничения значений sin и cos.

Как работать с этим уроком самостоятельно

Самодиагностика

Самодиагностика - самостоятельная проверка того, какие элементы темы уже понятны, а какие требуют повторения. Здесь это означает: сначала решить или хотя бы наметить решение без подсказки, затем открыть разбор и отметить, на каком шаге возникло затруднение.

1

Прочитайте условие

Не начинайте преобразования сразу. Определите, какие функции и аргументы присутствуют.

2

Назовите метод

Скажите словами: «простое уравнение», «замена», «множители», «однородное», «нужна формула».

3

Сделайте один шаг

После первого преобразования снова посмотрите на структуру уравнения.

4

Проверьте ограничения

Учитывайте ОДЗ и диапазон значений sin и cos от -1 до 1.

5

Запишите полный ответ

Для периодических решений обязательно сохраняйте n ∈ Z.

6

Только теперь откройте разбор

Сравните не только ответ, но и выбор метода и последовательность действий.

Повторяем обозначения

π - число «пи». В радианной мере π радиан соответствует 180°.

n ∈ Z - n является любым целым числом: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

∈ читается «принадлежит».

≠ читается «не равно».

≤ читается «меньше или равно».

≥ читается «больше или равно».

± читается «плюс-минус».

√a - арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a.

ОДЗ - область допустимых значений, то есть значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл.

Итоговая таблица основных значений

Угол 0 π/6 π/4 π/3 π/2
sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tg 0 √3/3 1 √3 не определен
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Если угол не является табличным, это не означает, что задачу нельзя решить. В точном ответе можно использовать arcsin, arccos или arctg.

Итоговая карта основных формул

sin²x + cos²x = 1 tg x = sin x / cos x, если cos x ≠ 0 sin 2x = 2sin x cos x cos 2x = cos²x - sin²x cos 2x = 2cos²x - 1 cos 2x = 1 - 2sin²x sin²x = (1 - cos 2x)/2 cos²x = (1 + cos 2x)/2

Формулы сложения и преобразования суммы в произведение

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β sin α + sin β = 2sin((α + β)/2)cos((α - β)/2) sin α - sin β = 2cos((α + β)/2)sin((α - β)/2) cos α + cos β = 2cos((α + β)/2)cos((α - β)/2) cos α - cos β = -2sin((α + β)/2)sin((α - β)/2)

Буквы α и β читаются «альфа» и «бета» и обозначают углы. При выборе формулы всегда спрашивайте: после преобразования станет ли меньше разных аргументов или функций?

Арксинус, арккосинус и арктангенс: что нужно помнить

Функция Допустимые a Главный промежуток Пример
arcsin a -1 ≤ a ≤ 1 [-π/2; π/2] arcsin(1/2) = π/6
arccos a -1 ≤ a ≤ 1 [0; π] arccos(-1/2) = 2π/3
arctg a любое действительное a (-π/2; π/2) arctg 1 = π/4
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
arcsin a, arccos a и arctg a дают главное значение угла. Они не являются полным решением соответствующего тригонометрического уравнения.

Формулы простейших тригонометрических уравнений

sin x = a: x = arcsin a + 2πn или x = π - arcsin a + 2πn cos x = a: x = ±arccos a + 2πn tg x = a: x = arctg a + πn n ∈ Z

Для sin x = a и cos x = a действительные решения существуют только при |a| ≤ 1. Символ |a| обозначает модуль числа a.

Итоговая карта выбора метода

Что вы видите Первый метод Что проверить
sin x = a, cos x = a, tg x = a Простейшее уравнение Диапазон a, период
sin²x и sin x или cos²x и cos x Замена переменной Для sin и cos: -1 ≤ t ≤ 1
Общий множитель Разложение на множители Решить каждую ветвь
Одинаковая степень sin и cos Однородный метод До деления проверить cos x = 0
x и 2x Формулы двойного угла Какой вариант формулы уменьшит число функций
Сумма функций разных аргументов Сумма в произведение Полусумму и полуразность
sin²x и cos x Основное тождество После преобразования возможна замена
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Практикум 1. Простое уравнение: sin x = -√2/2

√2 - арифметический квадратный корень из 2. Значение -√2/2 лежит в [-1; 1], поэтому решения существуют.

arcsin(-√2/2) = -π/4. Второй угол с тем же синусом: π - (-π/4) = 5π/4.

Ответ: x = -π/4 + 2πn или x = 5π/4 + 2πn, n ∈ Z
Метод: простейшее тригонометрическое уравнение.

Практикум 2. 2cos²x - cos x - 1 = 0

В уравнении только cos x и cos²x. Вводим t = cos x, где -1 ≤ t ≤ 1.

2t² - t - 1 = 0 (2t + 1)(t - 1) = 0 t = -1/2 или t = 1

Оба значения допустимы. Поэтому cos x = -1/2 или cos x = 1.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn или x = 2πn, n ∈ Z
Метод: замена переменной.

Практикум 3. sin 2x - √3 sin x = 0

Видим x и 2x. Раскрываем двойной угол: sin 2x = 2sin x cos x.

2sin x cos x - √3 sin x = 0 sin x(2cos x - √3) = 0

Первая ветвь: sin x = 0, поэтому x = πn.

Вторая ветвь: cos x = √3/2, поэтому x = ±π/6 + 2πn.

Ответ: x = πn или x = ±π/6 + 2πn, n ∈ Z
Методы: формула двойного угла → разложение на множители.

Практикум 4. sin²x - 3sin x cos x + 2cos²x = 0

Все слагаемые имеют общую степень 2. Это однородное уравнение второй степени.

Проверяем cos x = 0. Тогда левая часть равна 1, поэтому таких корней нет. Значит на решениях cos x ≠ 0.

tg²x - 3tg x + 2 = 0 (tg x - 1)(tg x - 2) = 0 tg x = 1 или tg x = 2
Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn, n ∈ Z
Метод: однородное уравнение второй степени.

Практикум 5. 2sin²x + 3cos x = 0

В уравнении есть sin²x и cos x. Выражаем sin²x через cos x:

sin²x = 1 - cos²x 2(1 - cos²x) + 3cos x = 0 2cos²x - 3cos x - 2 = 0

В последнем переходе обе части умножены на -1. Теперь t = cos x, -1 ≤ t ≤ 1.

(2t + 1)(t - 2) = 0 t = -1/2 или t = 2

t = 2 невозможно для косинуса. Остается cos x = -1/2.

Ответ: x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z
Методы: основное тождество → замена переменной.

Практикум 6. cos x + cos 3x = 0

Сумма косинусов разных аргументов преобразуется в произведение:

cos x + cos 3x = 2cos 2x cos x 2cos 2x cos x = 0

Значит cos 2x = 0 или cos x = 0.

cos 2x = 0: 2x = π/2 + πn, x = π/4 + πn/2.

cos x = 0: x = π/2 + πn. Эта серия не содержится в первой, поэтому сохраняем обе.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = π/2 + πn, n ∈ Z
Методы: сумма в произведение → правило нулевого произведения.

Практикум 7. 1 - cos 2x = √2 sin x

Справа уже есть sin x. Поэтому используем 1 - cos 2x = 2sin²x.

2sin²x = √2 sin x sin x(2sin x - √2) = 0

Первая ветвь: sin x = 0, поэтому x = πn.

Вторая ветвь: sin x = √2/2, поэтому x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn.

Ответ: x = πn; x = π/4 + 2πn; x = 3π/4 + 2πn, n ∈ Z

Практикум 8. tg²x - 3tg x + 2 = 0

Здесь только tg x и tg²x. Можно сразу сделать замену t = tg x. Тангенс может принимать любое действительное значение.

t² - 3t + 2 = 0 (t - 1)(t - 2) = 0 t = 1 или t = 2
Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg 2 + πn, n ∈ Z

Практикум 9. Отбор корней: sin x = 1/2, x ∈ [0; 2π]

Сначала записываем все решения:

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn

При n = 0 получаем π/6 и 5π/6. При n = 1 оба значения больше 2π. При n = -1 оба меньше 0.

Ответ на [0; 2π]: x = π/6, 5π/6
После отбора из заданного конечного промежутка параметр n в ответе обычно уже не нужен.

Практикум 10. 2cos 2x + 5cos x + 2 = 0

Видим cos 2x и cos x. Выбираем cos 2x = 2cos²x - 1.

2(2cos²x - 1) + 5cos x + 2 = 0 4cos²x + 5cos x = 0 cos x(4cos x + 5) = 0

cos x = 0 или cos x = -5/4. Второе значение невозможно, потому что -5/4 < -1.

Ответ: x = π/2 + πn, n ∈ Z

Итоговый список типичных ошибок

1. Записывают только главный угол

arcsin, arccos или arctg дают главное значение, но уравнение обычно имеет бесконечно много корней.

2. Забывают n ∈ Z

Без указания целого параметра периодическая формула решения неполна.

3. Не проверяют |a| для sin и cos

Если |a| > 1, действительных решений нет.

4. Делят на sin x или cos x без проверки

Если делитель может быть нулем, при делении можно потерять корни.

5. Путают sin 2x и sin²x

sin 2x = sin(2x), а sin²x = (sin x)².

6. Делают замену без ограничения t

При t = sin x или t = cos x обязательно -1 ≤ t ≤ 1.

7. Применяют формулу, не упрощая задачу

Формула должна уменьшать число функций, аргументов или приводить к знакомому методу.

8. Не проверяют совпадение серий

Если одно семейство полностью входит в другое, его не нужно повторять в итоговом ответе.

Итоговая самостоятельная работа

Сначала решите все задания без открытия ответов. Для каждого задания рядом на бумаге напишите название выбранного метода.

1. Решите cos x = -√3/2

Показать решение

Метод: простейшее уравнение.

arccos(-√3/2) = 5π/6.

Ответ: x = ±5π/6 + 2πn, n ∈ Z.

2. Решите 3sin²x + 2sin x - 1 = 0

Показать решение

Метод: замена t = sin x.

(3t - 1)(t + 1) = 0.

sin x = 1/3 или sin x = -1.

Ответ: x = arcsin(1/3) + 2πn; x = π - arcsin(1/3) + 2πn; x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z.

3. Решите sin 2x + sin x = 0

Показать решение

Методы: двойной угол → разложение на множители.

sin x(2cos x + 1) = 0.

Ответ: x = πn или x = ±2π/3 + 2πn, n ∈ Z.

4. Решите sin²x + 2sin x cos x - 3cos²x = 0

Показать решение

Метод: однородное уравнение.

При cos x = 0 корней нет.

tg²x + 2tg x - 3 = 0.

tg x = 1 или tg x = -3.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-3) + πn, n ∈ Z.

5. Решите cos²x + sin x = 1

Показать решение

Методы: основное тождество → разложение.

1 - sin²x + sin x = 1.

sin x(1 - sin x) = 0.

Ответ: x = πn или x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

6. Решите sin x - sin 3x = 0

Показать решение

Методы: разность синусов → произведение.

sin x - sin 3x = -2cos 2x sin x.

cos 2x = 0 или sin x = 0.

Ответ: x = π/4 + πn/2 или x = πn, n ∈ Z.

7. Решите tg²x + tg x - 2 = 0

Показать решение

Метод: замена t = tg x.

(t - 1)(t + 2) = 0.

Ответ: x = π/4 + πn или x = arctg(-2) + πn, n ∈ Z.

8. Решите sin x = 0 на промежутке (-π; 2π]

Показать решение

Все решения: x = πn.

В промежутке (-π; 2π] подходят 0, π и 2π.

Значение -π не входит из-за круглой левой скобки.

Ответ: x = 0, π, 2π.

Шкала самопроверки

Результат Что это означает Что повторить
7-8 заданий без подсказки Основные методы усвоены Повторить только допущенные ошибки
5-6 заданий Основа понятна, но выбор метода еще не всегда устойчив Уроки 55-59 и карту выбора метода
3-4 задания Нужна дополнительная тренировка базовых алгоритмов Уроки 52-58 по отдельным методам
0-2 задания Лучше восстановить фундамент темы по порядку Уроки 39-58, начиная с определений и основных формул
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Видео

Основное видео повторяет решение тригонометрических уравнений с использованием формул, тригонометрической окружности и отбора корней. Дополнительное видео построено именно как повторение тригонометрических уравнений и неравенств для 10 класса.

Основное видео Rutube для 10 класса. В нем показаны применение тригонометрических формул, работа с окружностью и отбор корней на заданном отрезке.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • до каждого примера самостоятельно назовите формулу или метод;
  • отмечайте, где используется периодичность функций;
  • после просмотра повторите итоговую самостоятельную работу без подсказок.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • повторение формул простейших тригонометрических уравнений;
  • различие основных типов уравнений и способов их решения;
  • типичные проблемы: потеря корней, посторонние корни и отбор корней.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • используйте интерактив после самостоятельной работы, а не вместо нее;
  • перед выбором ответа проговорите формулу или метод решения;
  • если допущена ошибка, найдите соответствующий блок в этом уроке и повторите алгоритм.
Открыть LearningApps

Вопросы для итоговой самопроверки

01Какое основное тригонометрическое тождество нужно помнить?

Ответ: sin²x + cos²x = 1.

02Как решить cos x = a?

Ответ: при |a| ≤ 1: x = ±arccos a + 2πn, n ∈ Z.

03Что подсказывает замену переменной?

Ответ: повторение одной тригонометрической функции в нескольких степенях, например sin²x и sin x.

04Что нужно сделать перед делением однородного уравнения на cos x или cos²x?

Ответ: отдельно проверить случай cos x = 0.

05Какую формулу удобно применять при наличии x и 2x?

Ответ: формулы двойного угла, например sin 2x = 2sin x cos x.

06Почему нельзя делить уравнение на sin x без проверки?

Ответ: sin x может быть равен нулю, и при делении можно потерять настоящие корни.

07Когда корень t квадратного уравнения нужно отбросить после замены t = cos x?

Ответ: если t не принадлежит промежутку [-1; 1].

08Как понять, что тема усвоена не механически?

Ответ: вы можете до вычислений объяснить, почему выбираете конкретную формулу или метод, и можете проверить, не потеряны ли корни.

Итог темы

Тригонометрические формулы нужно не просто помнить, а использовать для упрощения структуры выражения или уравнения.

Простейшие уравнения являются базой: к ним в конечном итоге сводятся более сложные задачи.

Замена переменной применяется, когда повторяется одна функция или ее степень.

Разложение на множители удобно, когда можно получить произведение, равное нулю.

Однородные уравнения сводятся к уравнениям относительно тангенса, но перед делением нужно проверять случай cos x = 0.

Основное тождество и формулы двойного угла помогают перейти к одной функции или одному аргументу.

Сумма и разность тригонометрических функций могут быть преобразованы в произведение.

Полный ответ должен учитывать период, допустимые значения и все ветви решения.

Тема 4 «Формулы тригонометрии. Тригонометрические уравнения» завершена.

Тема 5

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ

Последовательности и способы их задания. Монотонные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма такой прогрессии и формула сложных процентов.

5 часа по программе
61-65 уроки темы
61 Урок 61 Последовательности. Способы задания последовательностей. Монотонные последовательности Открыть урокСвернуть урок

Урок 61. Последовательности. Способы задания последовательностей. Монотонные последовательности

Последовательность - это не просто несколько чисел, записанных подряд. У каждого ее члена есть определенный номер, а правило последовательности должно позволять понять, какое число соответствует каждому допустимому номеру. В этом уроке мы начнем с самых базовых понятий, научимся читать обозначения, находить члены последовательности разными способами и определять, возрастает последовательность, убывает или не является монотонной.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Понимать понятие последовательности

Отличать последовательность от обычного неупорядоченного набора чисел.

2

Читать обозначения

Понимать записи a₁, a₂, aₙ, n ∈ ℕ и правильно называть номер и значение члена.

3

Задавать последовательность разными способами

Использовать перечисление, словесное описание, формулу n-го члена, рекуррентную формулу, таблицу и график.

4

Находить член по его номеру

Подставлять нужное натуральное значение n в формулу общего члена.

5

Находить номер заданного члена

Составлять обычное уравнение относительно n и проверять, является ли найденный номер натуральным.

6

Определять монотонность

Распознавать возрастающие, убывающие, неубывающие и невозрастающие последовательности.

Сначала разберемся: что такое последовательность

Числовая последовательность

Числовая последовательность - это числа, расположенные в определенном порядке, причем каждому допустимому номеру соответствует ровно одно число.

Например: 2, 4, 6, 8, 10, ... - последовательность положительных четных чисел.

Первому месту соответствует число 2, второму - 4, третьему - 6 и так далее. Если поменять порядок чисел, получится уже другая последовательность.

В последовательности важны сразу две вещи: значение члена и его номер. Число 8 в нашем примере является четвертым членом, а не просто одним из элементов набора.

Что означает множество ℕ

Натуральные числа и символ ℕ

ℕ - обозначение множества натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ... . В этом курсе нумерацию членов последовательности начинаем с 1.

Запись n ∈ ℕ читается: «n принадлежит множеству натуральных чисел». Символ ∈ читается «принадлежит».

Поэтому n может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее, но не может быть, например, 2,5 или -3, если отдельно не оговорено другое.

Как обозначают члены последовательности

a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...

Буква a - название последовательности. Маленькое число справа внизу называется индексом. Индекс показывает номер члена.

a₁ - первый член последовательности.

a₂ - второй член.

a₁₀ - десятый член.

aₙ читается «а с индексом эн» и означает член последовательности с номером n.

n-й член

n-й член последовательности - член с произвольным натуральным номером n. Формула, позволяющая по номеру n сразу вычислить aₙ, называется формулой n-го члена.

Последовательность как функция натурального аргумента

Последовательность можно рассматривать как особую функцию. Аргументом такой функции является натуральный номер n, а значением функции - соответствующий член aₙ.

n → aₙ, где n ∈ ℕ

Стрелка → здесь означает «этому номеру ставится в соответствие». Например, если aₙ = 2n, то номеру 1 соответствует 2, номеру 2 соответствует 4, номеру 3 соответствует 6.

Обычная функция может быть задана на непрерывном промежутке чисел, а у последовательности аргумент n принимает отдельные натуральные значения. Поэтому на графике последовательности получаются отдельные точки.

Конечные и бесконечные последовательности

Конечная последовательность

Конечная последовательность содержит конечное число членов. Например, оценки ученика за пять контрольных: 4, 5, 4, 3, 5.

Бесконечная последовательность

Бесконечная последовательность может быть продолжена без последнего номера. Например: 1, 2, 3, 4, 5, ... . Три точки означают, что последовательность продолжается.

Способ 1. Перечисление первых членов

Самый наглядный способ - выписать несколько членов:

3, 6, 9, 12, 15, ...

По записи можно предположить правило: каждое следующее число на 3 больше предыдущего. Но перечисление нескольких членов не всегда однозначно задает продолжение.

Например, по первым трем числам 1, 2, 4 нельзя с полной уверенностью определить следующий член: разные правила могут начинаться одинаково.

Несколько первых членов помогают увидеть закономерность, но надежнее иметь точное правило, позволяющее найти член с любым нужным номером.

Способ 2. Словесное описание

Правило можно сформулировать словами.

«Последовательность положительных нечетных чисел»

Тогда получаем: 1, 3, 5, 7, 9, ...

Словесный способ удобен, когда правило легко и однозначно сформулировать. Например: «последовательность квадратов натуральных чисел» задает 1, 4, 9, 16, 25, ...

Способ 3. Формула n-го члена

Аналитический способ

Если член последовательности aₙ выражен непосредственно через его номер n, говорят, что последовательность задана формулой n-го члена или аналитически.

aₙ = 2n + 1, n ∈ ℕ

Чтобы найти конкретный член, вместо n подставляем его номер.

a₁ = 2 · 1 + 1 = 3.

a₅ = 2 · 5 + 1 = 11.

a₁₀₀ = 2 · 100 + 1 = 201.

Главный плюс формулы n-го члена: можно сразу найти, например, сотый член, не вычисляя предыдущие 99 членов.

Пример 1. Найдите первые пять членов по формуле aₙ = n² - 1

Запись n² означает квадрат числа n, то есть n · n. Подставляем n = 1, 2, 3, 4, 5.

a₁ = 1² - 1 = 0 a₂ = 2² - 1 = 3 a₃ = 3² - 1 = 8 a₄ = 4² - 1 = 15 a₅ = 5² - 1 = 24
Последовательность начинается: 0, 3, 8, 15, 24, ...

Пример 2. Найдите номер члена, равного 29

Пусть последовательность задана формулой: aₙ = 3n - 1.

Нужно узнать, при каком натуральном n значение aₙ равно 29. Поэтому приравниваем формулу к 29:

3n - 1 = 29 3n = 30 n = 10

Число 10 натуральное, поэтому ответ допустим: 29 является десятым членом последовательности.

Если бы при решении получилось n = 4,5 или n = -2, такое значение не было бы номером члена при n ∈ ℕ.

Способ 4. Рекуррентное задание

Рекуррентная формула

Рекуррентная формула задает новый член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Слово «рекуррентный» связано с идеей возвращения к уже найденным значениям.

Например:

a₁ = 2 aₙ₊₁ = aₙ + 3

Запись aₙ₊₁ означает следующий член после aₙ. Индекс n + 1 на единицу больше индекса n.

a₂ = a₁ + 3 = 2 + 3 = 5.

a₃ = a₂ + 3 = 5 + 3 = 8.

a₄ = a₃ + 3 = 8 + 3 = 11.

Получаем: 2, 5, 8, 11, 14, ...
Одной формулы aₙ₊₁ = aₙ + 3 недостаточно. Нужно обязательно знать начальный член, например a₁ = 2. Иначе неизвестно, с какого числа начинать построение последовательности.

Пример 3. Последовательность задана рекуррентно

b₁ = 1 bₙ₊₁ = 2bₙ

В последовательности используется буква b, но смысл обозначений тот же.

b₂ = 2b₁ = 2 · 1 = 2.

b₃ = 2b₂ = 2 · 2 = 4.

b₄ = 2b₃ = 2 · 4 = 8.

b₅ = 2b₄ = 2 · 8 = 16.

Ответ: 1, 2, 4, 8, 16, ...

Способ 5. Таблица

В таблице в первой строке удобно указывать номера n, а во второй - соответствующие значения aₙ.

n 1 2 3 4 5
aₙ 2 4 6 8 10
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Табличный способ особенно удобен для конечных последовательностей или для данных, полученных из наблюдений и измерений.

Способ 6. Графическое задание

Для последовательности aₙ = 2n можно отметить точки с координатами (n; aₙ): (1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8), (5; 10).

Первая координата точки - номер n, вторая - значение aₙ.

График последовательности aₙ = 2n Отдельные точки с координатами 1 и 2, 2 и 4, 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10. n aₙ 1 2 3 4 5 2 4 6 8 10 (1; 2) (2; 4) (3; 6) (4; 8) (5; 10)
Точки графика последовательности не нужно автоматически соединять сплошной линией. Между n = 2 и n = 3 нет члена с номером 2,5, потому что номер n натуральный.

Какой способ задания выбрать

Способ Главная идея Когда удобен
Перечисление Выписываются первые члены Для наглядного знакомства с закономерностью
Словесный Правило описывается словами Когда правило легко сформулировать
Формула n-го члена aₙ сразу выражается через n Когда нужно быстро найти член с большим номером
Рекуррентный Новый член вычисляется через предыдущий Когда естественно описывать пошаговое изменение
Таблица Номера и значения записаны парами Для конечных и экспериментальных данных
График Отмечаются точки (n; aₙ) Чтобы визуально увидеть изменение членов
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Что такое монотонная последовательность

Монотонная последовательность

Монотонной называют последовательность, которая на всем рассматриваемом наборе номеров изменяется в одном направлении: только возрастает или только убывает, либо в более общем смысле не убывает или не возрастает.

Чтобы определить направление изменения, сравнивают соседние члены aₙ и aₙ₊₁.

Возрастающая и убывающая последовательности

Возрастающая последовательность

Последовательность возрастает, если каждый следующий член строго больше предыдущего: aₙ₊₁ > aₙ для всех допустимых n. Символ > читается «больше».

Убывающая последовательность

Последовательность убывает, если каждый следующий член строго меньше предыдущего: aₙ₊₁ < aₙ для всех допустимых n. Символ < читается «меньше».

2, 5, 8, 11, ... - возрастающая 10, 7, 4, 1, ... - убывающая

Неубывающая и невозрастающая последовательности

Неубывающая последовательность

Если aₙ₊₁ ≥ aₙ, последовательность называют неубывающей. Символ ≥ читается «больше или равно». Равные соседние члены разрешены.

Невозрастающая последовательность

Если aₙ₊₁ ≤ aₙ, последовательность называют невозрастающей. Символ ≤ читается «меньше или равно».

Например, последовательность 1, 1, 2, 2, 3, 3, ... неубывает, но не является строго возрастающей, потому что некоторые соседние члены равны.

Как проверить монотонность по формуле

Часто удобно сравнить aₙ₊₁ и aₙ через их разность:

aₙ₊₁ - aₙ

Если эта разность положительна для всех натуральных n, то aₙ₊₁ > aₙ и последовательность возрастает.

Если разность отрицательна для всех n, то aₙ₊₁ < aₙ и последовательность убывает.

Если знак разности меняется, строгой монотонности обычно нет.

Пример 4. Исследуйте aₙ = 3n - 2 на монотонность

Сначала находим следующий член, заменяя n на n + 1:

aₙ₊₁ = 3(n + 1) - 2 = 3n + 1

Теперь вычитаем aₙ:

aₙ₊₁ - aₙ = (3n + 1) - (3n - 2) = 3

Число 3 положительно, то есть 3 > 0. Значит aₙ₊₁ > aₙ при любом натуральном n.

Ответ: последовательность возрастающая

Пример 5. Исследуйте aₙ = 10 - 2n

aₙ₊₁ = 10 - 2(n + 1) = 8 - 2n aₙ₊₁ - aₙ = (8 - 2n) - (10 - 2n) = -2

-2 < 0, поэтому каждый следующий член меньше предыдущего.

Ответ: последовательность убывающая

Пример 6. Последовательность aₙ = (-1)ⁿ

Запись (-1)ⁿ означает число -1, возведенное в натуральную степень n.

Если n нечетное, (-1)ⁿ = -1. Если n четное, (-1)ⁿ = 1.

-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...

Значения то увеличиваются, то уменьшаются. Поэтому последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей, ни неубывающей, ни невозрастающей.

Ответ: последовательность немонотонная

Типичные ошибки

1. Путают номер и значение

В a₅ число 5 является номером, а не значением члена.

2. Подставляют вместо n ненатуральное число

При n ∈ ℕ номера 2,5 или -1 не рассматриваются.

3. Считают несколько первых чисел полным правилом

Начало 1, 2, 4 может продолжаться по разным законам. Нужен однозначный способ задания.

4. В рекуррентной формуле забывают начальный член

Без a₁ или нескольких первых значений вычислять дальнейшие члены невозможно.

5. Соединяют график последовательности сплошной линией

Номера n дискретны, поэтому график состоит из отдельных точек.

6. Делают вывод о монотонности по двум членам

Нужно убедиться, что нужное неравенство выполняется для всех допустимых n.

7. Путают возрастающую и неубывающую

В возрастающей последовательности каждый следующий член строго больше, а в неубывающей равенство разрешено.

8. Не проверяют найденный номер

Если из уравнения получилось ненатуральное n, заданное число не является членом последовательности с таким номером.

Практика с подробными решениями

Задание 1. Для aₙ = 4n - 3 найдите a₁, a₄ и a₂₀

Показать решение

a₁ = 4 · 1 - 3 = 1.

a₄ = 4 · 4 - 3 = 13.

a₂₀ = 4 · 20 - 3 = 77.

Ответ: 1, 13, 77.

Задание 2. Является ли число 41 членом aₙ = 5n + 1?

Показать решение

Решаем 5n + 1 = 41.

5n = 40, поэтому n = 8.

8 ∈ ℕ, значит число 41 действительно является членом последовательности.

Ответ: да, это a₈.

Задание 3. Найдите первые четыре члена: a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ - 2

Показать решение

a₁ = 3.

a₂ = 3 - 2 = 1.

a₃ = 1 - 2 = -1.

a₄ = -1 - 2 = -3.

Ответ: 3, 1, -1, -3.

Задание 4. Исследуйте aₙ = 7n + 4 на монотонность

Показать решение

aₙ₊₁ = 7(n + 1) + 4 = 7n + 11.

aₙ₊₁ - aₙ = 7.

7 > 0 для любого n.

Ответ: последовательность возрастающая.

Самостоятельная работа

1. Найдите первые пять членов aₙ = 2n - 4

Показать ответ

Ответ: -2, 0, 2, 4, 6.

2. Является ли число 50 членом aₙ = 3n + 2?

Показать ответ

3n + 2 = 50, поэтому n = 16.

Ответ: да, 50 = a₁₆.

3. Найдите первые пять членов: b₁ = 2, bₙ₊₁ = 3bₙ

Показать ответ

Ответ: 2, 6, 18, 54, 162.

4. Определите монотонность aₙ = 12 - 5n

Показать ответ

aₙ₊₁ - aₙ = -5 < 0.

Ответ: последовательность убывающая.

5. Определите, монотонна ли последовательность 1, -1, 1, -1, 1, ...

Показать ответ

Значения попеременно уменьшаются и увеличиваются.

Ответ: последовательность немонотонная.

Видео

Основное видео подробно рассматривает способы задания числовой последовательности и показывает, как находить член по формуле. Дополнительное видео посвящено самому понятию последовательности, ее компонентам и записи, поэтому материалы не дублируют друг друга.

Основное видео Rutube «Способы задания числовой последовательности». Особенно внимательно посмотрите фрагменты о таблице, графическом задании, формуле последовательности и поиске члена по его номеру.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сосредоточьтесь на определении последовательности;
  • повторите различие между номером члена и его значением;
  • после просмотра самостоятельно запишите обозначения первых пяти членов произвольной последовательности.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • обозначение a₁, a₂, ..., aₙ и роль номера n;
  • словесный, аналитический, рекуррентный и табличный способы задания;
  • примеры конечных, бесконечных, возрастающих и убывающих последовательностей.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • сначала попробуйте самостоятельно определить закономерность каждой числовой последовательности;
  • проговорите, каким способом можно точнее задать найденное правило;
  • после ответа проверьте, действительно ли правило подходит ко всем показанным членам.
Открыть LearningApps «Числовые последовательности 1»

Вопросы для самопроверки

01Что называют числовой последовательностью?

Ответ: числа, расположенные в определенном порядке, причем каждому допустимому номеру соответствует ровно одно число.

02Что означает a₇?

Ответ: седьмой член последовательности a.

03Что означает n ∈ ℕ?

Ответ: n является натуральным числом: 1, 2, 3, 4 и так далее.

04Чем формула n-го члена отличается от рекуррентной формулы?

Ответ: формула n-го члена позволяет сразу вычислить aₙ по номеру n, а рекуррентная формула вычисляет новый член через предыдущие и требует начального значения.

05Почему график последовательности состоит из отдельных точек?

Ответ: номер n принимает отдельные натуральные значения, поэтому между соседними натуральными номерами нет промежуточных членов.

06Когда последовательность называют возрастающей?

Ответ: если aₙ₊₁ > aₙ для каждого допустимого n.

07Чем неубывающая последовательность отличается от возрастающей?

Ответ: в неубывающей последовательности соседние члены могут быть равны, а в возрастающей каждый следующий член строго больше.

08Как по формуле aₙ проверить монотонность?

Ответ: найти aₙ₊₁, вычислить разность aₙ₊₁ - aₙ и определить ее знак для всех допустимых натуральных n.

Главное по уроку

Последовательность - упорядоченный набор чисел, каждому члену которого соответствует свой номер.

aₙ обозначает член с номером n, а n ∈ ℕ означает натуральный номер.

Последовательность можно задавать перечислением, словесно, формулой n-го члена, рекуррентно, таблицей и графически.

Формула n-го члена позволяет сразу вычислить член с нужным номером.

Рекуррентная формула задает новый член через предыдущие и требует начального значения.

График последовательности состоит из отдельных точек (n; aₙ).

Возрастающая последовательность удовлетворяет aₙ₊₁ > aₙ, убывающая - aₙ₊₁ < aₙ.

Для исследования монотонности часто удобно изучить знак разности aₙ₊₁ - aₙ.

Следующий урок: «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов».

62 Урок 62 Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов Открыть урокСвернуть урок

Урок 62. Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов

Арифметическая прогрессия - один из самых важных видов последовательностей. Ее отличительная особенность очень проста: от одного члена к следующему каждый раз прибавляется одно и то же число. В этом уроке мы подробно разберем, что такое разность прогрессии, как по первому члену и разности найти любой член, как восстановить неизвестные элементы прогрессии и как быстро находить сумму большого числа первых членов.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Распознавать арифметическую прогрессию

Проверять, остается ли разность соседних членов постоянной.

2

Находить разность d

Вычислять d = aₙ₊₁ - aₙ и понимать знак разности.

3

Использовать формулу n-го члена

Находить любой член по a₁, d и его номеру n.

4

Решать обратные задачи

Находить номер члена, первый член или разность по другим известным данным.

5

Понимать формулу суммы

Не просто применять, а понимать, почему Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

6

Решать практические задачи

Распознавать арифметическую прогрессию в задачах про ряды, ступени, накопление и равномерное изменение.

Что означает слово «прогрессия»

В математике прогрессией называют специальную последовательность, члены которой связаны определенным законом.

В арифметической прогрессии закон связан не с умножением, а с постоянным прибавлением одного и того же числа.

3, 7, 11, 15, 19, ...

Здесь каждый следующий член получается прибавлением 4: 3 + 4 = 7, 7 + 4 = 11, 11 + 4 = 15.

Определение арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия - числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа.

aₙ₊₁ = aₙ + d

Здесь d - одно и то же число, которое прибавляют при переходе к следующему члену. Буква d читается «дэ».

Разность арифметической прогрессии

Разность прогрессии d

Разностью арифметической прогрессии называют разность следующего и предыдущего членов.

d = aₙ₊₁ - aₙ

В арифметической прогрессии эта разность одинакова для всех соседних пар.

Для последовательности 5, 8, 11, 14, ...:

8 - 5 = 3 11 - 8 = 3 14 - 11 = 3 d = 3

Что показывает знак d

Разность Что происходит Пример
d > 0 Каждый следующий член больше 2, 5, 8, 11, ...
d < 0 Каждый следующий член меньше 10, 7, 4, 1, ...
d = 0 Все члены равны 6, 6, 6, 6, ...
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Арифметическая прогрессия с d > 0 является возрастающей, с d < 0 - убывающей, а при d = 0 все ее члены одинаковы.

Как проверить, является ли последовательность арифметической прогрессией

1

Возьмите соседние члены

Например, a₂ и a₁, затем a₃ и a₂.

2

Найдите разности

Вычислите a₂ - a₁, a₃ - a₂, a₄ - a₃ и так далее.

3

Сравните результаты

Если одна и та же разность сохраняется для всех соседних членов, это арифметическая прогрессия.

Пример 1. Какая последовательность является арифметической прогрессией?

А: 1, 4, 7, 10, 13, ...

Б: 1, 2, 4, 8, 16, ...

Для А: 4 - 1 = 3, 7 - 4 = 3, 10 - 7 = 3 Для Б: 2 - 1 = 1, 4 - 2 = 2, 8 - 4 = 4

В последовательности А разность постоянна и равна 3. В последовательности Б разности меняются.

Ответ: А - арифметическая прогрессия, d = 3

Как вывести формулу n-го члена

Пусть первый член равен a₁, а разность равна d. Тогда каждый новый член получается прибавлением d.

a₂ = a₁ + d a₃ = a₂ + d = a₁ + 2d a₄ = a₁ + 3d a₅ = a₁ + 4d

Видно закономерность: чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно выполнить n - 1 переход, и на каждом переходе прибавляется d.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

aₙ = a₁ + (n - 1)d

Почему в формуле стоит n - 1, а не n

Для первого члена еще не было ни одного перехода:

a₁ = a₁ + (1 - 1)d = a₁

До второго члена выполняется один переход, до третьего - два, до десятого - девять. Поэтому число прибавлений d всегда на единицу меньше номера.

Типичная ошибка - писать aₙ = a₁ + nd. Правильно: aₙ = a₁ + (n - 1)d.

Пример 2. Найдите a₁₅, если a₁ = 4 и d = 3

Используем формулу n-го члена:

aₙ = a₁ + (n - 1)d a₁₅ = 4 + (15 - 1) · 3 a₁₅ = 4 + 14 · 3 = 46
Ответ: a₁₅ = 46

Пример 3. Найдите номер члена, равного 53

Дано: a₁ = 5, d = 4. Нужно узнать, при каком n получим aₙ = 53.

53 = 5 + (n - 1) · 4 48 = 4(n - 1) 12 = n - 1 n = 13

Получили натуральное число 13, поэтому 53 действительно является членом прогрессии.

Ответ: a₁₃ = 53

Пример 4. Найдите d по двум известным членам

Пусть a₄ = 11, a₉ = 31. От четвертого члена до девятого выполняется 9 - 4 = 5 одинаковых переходов.

a₉ = a₄ + (9 - 4)d 31 = 11 + 5d 20 = 5d d = 4
Между членами с номерами k и n выполняется n - k переходов. Поэтому можно использовать формулу aₙ = aₖ + (n - k)d.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Среднее арифметическое соседних членов

Каждый член арифметической прогрессии, кроме крайних в конечной прогрессии, равен среднему арифметическому предыдущего и следующего членов.

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2

Запись aₙ₋₁ означает предыдущий член, а aₙ₊₁ - следующий член.

Пример 5. Найдите пропущенный член

..., 12, x, 26, ...

Если это арифметическая прогрессия, средний член равен среднему арифметическому соседних:

x = (12 + 26)/2 = 38/2 = 19
Ответ: x = 19

Что означает Sₙ

Сумма первых n членов

Sₙ обозначает сумму первых n членов последовательности. Буква S происходит от слова «сумма».

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ

Например, S₄ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄.

Как понять формулу суммы: идея попарного сложения

Запишем сумму в обычном порядке и затем в обратном:

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ... + aₙ₋₁ + aₙ Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + aₙ₋₂ + ... + a₂ + a₁

Складываем строки по столбцам. В каждой паре сумма одинакова и равна a₁ + aₙ.

2Sₙ = n(a₁ + aₙ)

Делим обе части на 2:

Формула суммы первых n членов

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Почему формула суммы выглядит как «среднее × количество»

Число (a₁ + aₙ)/2 - среднее арифметическое первого и последнего членов. В арифметической прогрессии оно одновременно является средним уровнем всей равномерно изменяющейся последовательности.

Sₙ = n · (a₁ + aₙ)/2
Удобно запомнить словами: сумма = число членов × полусумма первого и последнего.

Вторая формула суммы, если aₙ еще неизвестен

Подставим aₙ = a₁ + (n - 1)d в формулу суммы:

Sₙ = n(a₁ + a₁ + (n - 1)d)/2 Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2
Вторая форма формулы суммы

Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2

Эту форму удобно использовать, когда известны a₁, d и n, но последний член aₙ еще не вычислен.

Пример 6. Найдите сумму первых 20 членов: 3, 7, 11, ...

a₁ = 3, d = 4, n = 20. Сначала найдем последний из складываемых членов:

a₂₀ = 3 + (20 - 1) · 4 a₂₀ = 3 + 76 = 79

Теперь применяем формулу суммы:

S₂₀ = 20(3 + 79)/2 S₂₀ = 10 · 82 = 820
Ответ: 820

Пример 7. Найдите S₁₅, если a₁ = 8 и d = -2

Здесь прогрессия убывающая, потому что d = -2. Отрицательная разность не мешает использовать те же формулы.

a₁₅ = 8 + (15 - 1) · (-2) a₁₅ = 8 - 28 = -20 S₁₅ = 15(8 + (-20))/2 S₁₅ = 15 · (-12)/2 = -90
Ответ: S₁₅ = -90

Практическая задача. Ряды в зрительном зале

В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в первых 12 рядах?

Количество мест по рядам образует арифметическую прогрессию: 20, 22, 24, 26, ...

a₁ = 20, d = 2, n = 12 a₁₂ = 20 + 11 · 2 = 42 S₁₂ = 12(20 + 42)/2 S₁₂ = 6 · 62 = 372
Ответ: 372 места

Карта формул арифметической прогрессии

Что нужно найти Формула Что должно быть известно
Разность d = aₙ₊₁ - aₙ Два соседних члена
n-й член aₙ = a₁ + (n - 1)d a₁, d, n
Переход между двумя известными номерами aₙ = aₖ + (n - k)d aₖ, d, k, n
Средний из трех соседних aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 Соседние члены
Сумма через первый и последний Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 a₁, aₙ, n
Сумма через первый член и разность Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2 a₁, d, n
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Вычисляют d в обратном порядке

Правильно: следующий член минус предыдущий, d = aₙ₊₁ - aₙ.

2. Используют aₙ = a₁ + nd

До n-го члена от первого выполняется n - 1 переход, поэтому правильно aₙ = a₁ + (n - 1)d.

3. Теряют знак отрицательной разности

Если d = -3, в формуле нужно подставлять именно (-3), лучше в скобках.

4. Путают aₙ и Sₙ

aₙ - один конкретный член, Sₙ - сумма первых n членов.

5. В формуле суммы забывают деление на 2

Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, а не n(a₁ + aₙ).

6. Для суммы используют не тот последний член

Если складываются первые 20 членов, последним является a₂₀.

7. Считают любую равномерно выглядящую последовательность прогрессией

Нужно проверить постоянство разности соседних членов.

8. Не проверяют натуральность найденного номера

Номер члена n должен быть натуральным числом.

Практика с подробными решениями

Задание 1. Найдите d и a₁₀: 7, 12, 17, 22, ...

Показать решение

d = 12 - 7 = 5.

a₁₀ = 7 + (10 - 1) · 5 = 7 + 45 = 52.

Ответ: d = 5, a₁₀ = 52.

Задание 2. Найдите a₁, если a₈ = 31 и d = 4

Показать решение

a₈ = a₁ + 7d.

31 = a₁ + 7 · 4.

31 = a₁ + 28, поэтому a₁ = 3.

Ответ: a₁ = 3.

Задание 3. Найдите S₁₀ для прогрессии 2, 5, 8, ...

Показать решение

a₁ = 2, d = 3.

a₁₀ = 2 + 9 · 3 = 29.

S₁₀ = 10(2 + 29)/2 = 5 · 31 = 155.

Ответ: S₁₀ = 155.

Задание 4. Между числами 10 и 30 вставьте одно число так, чтобы получилась арифметическая прогрессия

Показать решение

Искомое число является средним членом трех соседних членов.

x = (10 + 30)/2 = 20.

Проверка: 20 - 10 = 10 и 30 - 20 = 10.

Ответ: 20.

Самостоятельная работа

1. Найдите a₁₂, если a₁ = -5, d = 3

Показать ответ

Ответ: a₁₂ = -5 + 11 · 3 = 28.

2. Найдите номер члена 62 в прогрессии 2, 7, 12, ...

Показать ответ

62 = 2 + (n - 1) · 5.

60 = 5(n - 1), n - 1 = 12, n = 13.

Ответ: 62 = a₁₃.

3. Найдите S₂₅, если a₁ = 1, d = 2

Показать ответ

a₂₅ = 1 + 24 · 2 = 49.

S₂₅ = 25(1 + 49)/2 = 625.

Ответ: 625.

4. Найдите d, если a₃ = 8, a₁₁ = 40

Показать ответ

40 = 8 + (11 - 3)d.

32 = 8d.

Ответ: d = 4.

5. В первом ряду 15 стульев, в каждом следующем на 3 больше. Сколько стульев в первых 10 рядах?

Показать ответ

a₁₀ = 15 + 9 · 3 = 42.

S₁₀ = 10(15 + 42)/2 = 285.

Ответ: 285 стульев.

Видео

Основное видео полностью посвящено арифметической прогрессии: определению, разности, формуле n-го члена и сумме. Дополнительное видео 10 класса показывает арифметическую прогрессию в общем контексте последовательностей и помогает еще раз увидеть связь между формулой члена, свойством и суммой.

Основное видео Rutube «ПОЛНОЕ РУКОВОДСТВО - Арифметическая прогрессия». В нем разбираются определение арифметической прогрессии, разность, формула n-го члена и формула суммы.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • с 1:52 обратите внимание на определение арифметической прогрессии;
  • с 3:17 повторите формулу n-го члена;
  • с 5:13 сравните объяснение формулы суммы с выводом в нашем уроке.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • определение арифметической прогрессии и роль постоянной разности d;
  • формула aₙ = a₁ + (n - 1)d и характеристическое свойство;
  • две формы формулы суммы первых n членов и задачи на их применение.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • перед выбором ответа самостоятельно выпишите a₁ и d;
  • для поиска aₙ сначала проговорите, почему в формуле используется n - 1;
  • после выполнения упражнения проверьте, можете ли восстановить формулу без подсказки.
Открыть LearningApps «Арифметическая прогрессия. Формула n-го члена»

Вопросы для самопроверки

01Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

Ответ: последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа.

02Что обозначает d?

Ответ: разность арифметической прогрессии, d = aₙ₊₁ - aₙ.

03Как записывается формула n-го члена?

Ответ: aₙ = a₁ + (n - 1)d.

04Почему в формуле n-го члена стоит n - 1?

Ответ: от первого члена до n-го выполняется n - 1 переход, и на каждом прибавляется d.

05Какое свойство связывает три соседних члена арифметической прогрессии?

Ответ: средний член равен среднему арифметическому соседних: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2.

06Что означает Sₙ?

Ответ: сумму первых n членов прогрессии.

07Как найти сумму через первый и последний члены?

Ответ: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

08Как найти сумму, если известны a₁, d и n?

Ответ: Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2.

Главное по уроку

Арифметическая прогрессия получается постоянным прибавлением одного и того же числа d.

Разность прогрессии вычисляется по формуле d = aₙ₊₁ - aₙ.

Если d > 0, прогрессия возрастает; если d < 0, убывает; если d = 0, все члены равны.

Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n - 1)d.

Между членами aₖ и aₙ выполняется aₙ = aₖ + (n - k)d.

Средний из трех соседних членов равен среднему арифметическому двух соседних.

Sₙ обозначает сумму первых n членов.

Формула суммы: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.

Если aₙ неизвестен, можно использовать Sₙ = n(2a₁ + (n - 1)d)/2.

Следующий урок: «Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов».

63 Урок 63 Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов Открыть урокСвернуть урок

Урок 63. Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена и сумма первых n членов

В арифметической прогрессии мы каждый раз прибавляли одно и то же число. В геометрической прогрессии действие другое: каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Из-за этого члены могут расти очень быстро, уменьшаться по модулю или менять знак. В этом уроке мы подробно разберем знаменатель прогрессии q, формулу n-го члена, характеристическое свойство и сумму первых n членов.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Распознавать геометрическую прогрессию

Проверять, остается ли отношение следующего члена к предыдущему постоянным.

2

Находить знаменатель q

Вычислять q = bₙ₊₁ / bₙ и понимать, что показывает его знак и модуль.

3

Использовать формулу n-го члена

Находить любой член по b₁, q и номеру n без вычисления всех предыдущих членов.

4

Решать обратные задачи

Находить номер, первый член или знаменатель по другим известным элементам прогрессии.

5

Понимать формулу суммы

Вывести формулу Sₙ через умножение суммы на q и почленное вычитание.

6

Различать случаи q ≠ 1 и q = 1

Не подставлять q = 1 в формулу с делением на q - 1.

Сравним арифметическую и геометрическую прогрессии

Прогрессия Как получают следующий член Постоянная величина Пример
Арифметическая Прибавляют одно и то же число d = aₙ₊₁ - aₙ 3, 7, 11, 15, ...
Геометрическая Умножают на одно и то же число q = bₙ₊₁ / bₙ 3, 6, 12, 24, ...
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Главное различие: арифметическая прогрессия связана с постоянной разностью, геометрическая - с постоянным отношением.

Определение геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия - последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число.

bₙ₊₁ = bₙq

Здесь буква b используется для обозначения членов геометрической прогрессии, а q - ее знаменатель. Буква q читается «ку».

В школьном определении этой темы члены прогрессии и q считаются ненулевыми. Это позволяет находить q делением соседних членов.

Знаменатель геометрической прогрессии q

Знаменатель прогрессии

Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное отношение следующего члена к предыдущему.

q = bₙ₊₁ / bₙ

Косая черта / здесь означает деление. Например, для 2, 6, 18, 54, ...:

6 / 2 = 3 18 / 6 = 3 54 / 18 = 3 q = 3

Как проверить, является ли последовательность геометрической прогрессией

1

Возьмите соседние ненулевые члены

Например, b₂ и b₁, затем b₃ и b₂.

2

Найдите отношения

Вычислите b₂/b₁, b₃/b₂, b₄/b₃.

3

Сравните результаты

Если отношение одинаково для всех соседних пар, последовательность является геометрической прогрессией.

Пример 1. Определите, где геометрическая прогрессия

А: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Б: 3, 6, 10, 15, 21, ...

А: 6/3 = 2, 12/6 = 2, 24/12 = 2 Б: 6/3 = 2, 10/6 = 5/3, 15/10 = 3/2

В последовательности А отношение постоянно и равно 2. В последовательности Б отношения меняются.

Ответ: А - геометрическая прогрессия, q = 2

Что происходит при разных значениях q

Значение q Что обычно происходит при b₁ > 0 Пример
q > 1 Положительные члены увеличиваются 2, 6, 18, 54, ...
q = 1 Все члены одинаковы 5, 5, 5, 5, ...
0 < q < 1 Положительные члены уменьшаются к нулю 8, 4, 2, 1, ...
q < 0 Знаки соседних членов чередуются 2, -4, 8, -16, ...
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок
Модуль числа

|q| обозначает модуль числа q, то есть расстояние от q до нуля. Например, |-2| = 2, |1/2| = 1/2. В следующем уроке условие |q| < 1 будет особенно важно.

Как вывести формулу n-го члена

Пусть известны первый член b₁ и знаменатель q. Каждый следующий член получается умножением на q:

b₂ = b₁q b₃ = b₂q = b₁q² b₄ = b₁q³ b₅ = b₁q⁴

Чтобы перейти от первого члена к n-му, нужно выполнить n - 1 умножений на q. Поэтому показатель степени равен n - 1.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bₙ = b₁qⁿ⁻¹

Что означает qⁿ⁻¹

Запись qⁿ⁻¹ означает степень q с показателем n - 1. Например, если n = 5, то qⁿ⁻¹ = q⁴.

b₁ = b₁q⁰ = b₁ b₂ = b₁q¹ b₃ = b₁q²

При q ≠ 0 выполняется q⁰ = 1. Поэтому формула правильно работает и для первого члена.

Типичная ошибка - писать bₙ = b₁qⁿ. Правильно: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Пример 2. Найдите b₈, если b₁ = 3 и q = 2

bₙ = b₁qⁿ⁻¹ b₈ = 3 · 2⁷ 2⁷ = 128 b₈ = 3 · 128 = 384
Ответ: b₈ = 384

Пример 3. Отрицательный знаменатель

Пусть b₁ = 2, q = -3. Найдем b₅.

b₅ = 2 · (-3)⁴ (-3)⁴ = 81 b₅ = 162

Скобки вокруг -3 обязательны: в степень возводится все отрицательное число. При четной степени результат положительный, при нечетной - отрицательный.

Последовательность: 2, -6, 18, -54, 162, ...

Формула между любыми двумя членами

От члена bₖ до bₙ выполняется n - k умножений на q. Поэтому:

Связь двух членов

bₙ = bₖqⁿ⁻ᵏ

Индекс k - номер известного члена. Например, от b₄ до b₉ выполняется 9 - 4 = 5 переходов.

Пример 4. Найдите q, если b₃ = 5 и b₆ = 135

Между третьим и шестым членами три перехода:

b₆ = b₃q⁶⁻³ 135 = 5q³ q³ = 27 q = 3

Здесь q³ = 27 имеет единственный действительный корень q = 3.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Свойство трех соседних членов

В геометрической прогрессии квадрат любого внутреннего члена равен произведению соседних с ним членов.

bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁

Почему это верно? Если bₙ = bₙ₋₁q, то bₙ₊₁ = bₙq. Поэтому:

bₙ₋₁bₙ₊₁ = bₙ₋₁ · bₙq bₙ₋₁q = bₙ значит bₙ₋₁bₙ₊₁ = bₙ²

Пример 5. Найдите положительный средний член

..., 4, x, 36, ...

Если эти три числа - соседние члены геометрической прогрессии, то x² = 4 · 36 = 144.

Уравнение x² = 144 имеет два решения: x = 12 и x = -12. Но в условии требуется положительный средний член.

Ответ: x = 12
Без слова «положительный» нужно было бы проверить оба значения. Для 4, -12, 36 знаменатель q = -3, и это тоже геометрическая прогрессия.

Что означает Sₙ

Сумма первых n членов

Sₙ - сумма первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁ + b₂ + b₃ + ... + bₙ

Вывод формулы суммы: шаг 1

Запишем сумму через b₁ и q:

Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ⁻¹

Теперь умножим всю сумму на q:

qSₙ = b₁q + b₁q² + b₁q³ + ... + b₁qⁿ

Вывод формулы суммы: шаг 2

Вычтем первую строку из второй. Все промежуточные слагаемые сокращаются:

qSₙ - Sₙ = b₁qⁿ - b₁ Sₙ(q - 1) = b₁(qⁿ - 1)

Если q ≠ 1, можно разделить обе части на q - 1:

Формула суммы первых n членов при q ≠ 1

Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1)

Равносильная форма формулы суммы

Если одновременно поменять знаки в числителе и знаменателе, значение дроби не изменится:

Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q), q ≠ 1

Обе формы правильные. Часто при 0 < q < 1 удобнее вторая, потому что 1 - q и 1 - qⁿ положительны.

Особый случай q = 1

Если q = 1, каждый следующий член равен предыдущему:

b₁, b₁, b₁, b₁, ...

В формулу Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) подставлять q = 1 нельзя, потому что знаменатель q - 1 станет равен нулю.

Но сумму найти легко: складываются n одинаковых чисел b₁.

Сумма при q = 1

Sₙ = nb₁

Пример 6. Найдите сумму первых 8 членов: 2, 6, 18, ...

b₁ = 2, q = 3, n = 8. Так как q ≠ 1, применяем формулу суммы.

S₈ = 2(3⁸ - 1)/(3 - 1) 3⁸ = 6561 S₈ = 2(6561 - 1)/2 S₈ = 6560
Ответ: S₈ = 6560

Пример 7. Сумма при дробном q

Найдем сумму первых 5 членов прогрессии: 16, 8, 4, 2, 1, ...

b₁ = 16, q = 1/2, n = 5. Удобно использовать форму с 1 - q:

S₅ = 16(1 - (1/2)⁵)/(1 - 1/2) (1/2)⁵ = 1/32 S₅ = 16 · (31/32)/(1/2) S₅ = 31

Проверка прямым сложением: 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31.

Пример 8. Геометрическая прогрессия с q = -2

Пусть b₁ = 3, q = -2. Найдем S₄.

Последовательность: 3, -6, 12, -24, ... S₄ = 3 + (-6) + 12 + (-24) = -15

Проверим формулой:

S₄ = 3((−2)⁴ - 1)/((-2) - 1) S₄ = 3(16 - 1)/(-3) = -15
При отрицательном q обязательно заключайте q в скобки при возведении в степень.

Практическая задача. Размножение клеток

В начале наблюдения имеется 5 клеток. После каждого этапа их количество утраивается. Сколько клеток будет после 6-го наблюдаемого состояния, если первое состояние содержит 5 клеток?

b₁ = 5, q = 3, n = 6 b₆ = 5 · 3⁵ 3⁵ = 243 b₆ = 1215
Здесь важно различать 6-е состояние и шесть умножений. От первого состояния до шестого происходит 5 переходов, поэтому степень равна 6 - 1 = 5.

Карта формул геометрической прогрессии

Что нужно найти Формула Условия и пояснение
Знаменатель q = bₙ₊₁ / bₙ bₙ ≠ 0
Следующий член bₙ₊₁ = bₙq Умножить предыдущий на q
n-й член bₙ = b₁qⁿ⁻¹ b₁, q, n известны
Связь bₖ и bₙ bₙ = bₖqⁿ⁻ᵏ n - k переходов
Свойство трех членов bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁ Для внутренних членов прогрессии
Сумма при q ≠ 1 Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) Нельзя применять при q = 1
Сумма при q = 1 Sₙ = nb₁ Все n членов одинаковы
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Ищут q вычитанием

Для геометрической прогрессии q находят делением: следующий член делят на предыдущий.

2. Пишут bₙ = b₁qⁿ

От первого до n-го члена выполняется n - 1 умножений. Правильно bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

3. Забывают скобки при отрицательном q

Нужно писать (-2)⁴, если в степень возводится отрицательное число -2.

4. Путают bₙ и Sₙ

bₙ - один член, Sₙ - сумма первых n членов.

5. Подставляют q = 1 в формулу с q - 1

Это приводит к делению на ноль. При q = 1 используется Sₙ = nb₁.

6. Считают q обязательно положительным

q может быть отрицательным. Тогда знаки членов обычно чередуются.

7. Путают число переходов и номер

От b₃ до b₈ выполняется 8 - 3 = 5 умножений на q.

8. Используют свойство bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁ и забывают два знака корня

Из x² = 144 следует x = 12 или x = -12, если условие не ограничивает знак.

Практика с подробными решениями

Задание 1. Найдите q и b₇: 4, 12, 36, ...

Показать решение

q = 12/4 = 3.

b₇ = 4 · 3⁶.

3⁶ = 729, поэтому b₇ = 2916.

Ответ: q = 3, b₇ = 2916.

Задание 2. Найдите b₁, если b₅ = 162 и q = 3

Показать решение

b₅ = b₁q⁴.

162 = b₁ · 3⁴ = 81b₁.

b₁ = 2.

Ответ: b₁ = 2.

Задание 3. Найдите S₆ для 1, 2, 4, 8, ...

Показать решение

b₁ = 1, q = 2, n = 6.

S₆ = (2⁶ - 1)/(2 - 1) = 64 - 1 = 63.

Ответ: S₆ = 63.

Задание 4. Между 9 и 81 вставьте положительный член геометрической прогрессии

Показать решение

Пусть 9, x, 81 - соседние члены.

x² = 9 · 81 = 729.

Так как x положительный, x = 27.

Проверка: 27/9 = 3 и 81/27 = 3.

Ответ: 27.

Самостоятельная работа

1. Найдите b₆, если b₁ = 5, q = 2

Показать ответ

b₆ = 5 · 2⁵ = 160.

Ответ: 160.

2. Найдите q: 81, 27, 9, 3, ...

Показать ответ

q = 27/81 = 1/3.

Ответ: q = 1/3.

3. Найдите S₅ для 3, 6, 12, ...

Показать ответ

b₁ = 3, q = 2.

S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3 · 31 = 93.

Ответ: 93.

4. Найдите S₄, если b₁ = 7, q = 1

Показать ответ

Все четыре члена равны 7.

S₄ = 4 · 7 = 28.

Ответ: 28.

5. Найдите положительный x, если 8, x, 18 - соседние члены геометрической прогрессии

Показать ответ

x² = 8 · 18 = 144.

Положительный x равен 12.

Ответ: 12.

Видео

Основное видео дает полный обзор геометрической прогрессии: определение, знаменатель, формулу n-го члена и сумму. Дополнительное видео сосредоточено именно на выводе и применении формулы суммы первых n членов, поэтому эти материалы дополняют друг друга.

Основное видео Rutube 2026 года «Как за 10 минут понять СЛОЖНЕЙШУЮ ТЕМУ в Алгебре? Геометрическая прогрессия». Во время просмотра отдельно выпишите определение q, формулу bₙ и формулу Sₙ.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сосредоточьтесь на сумме первых n членов;
  • сравните вывод формулы с нашим методом умножения суммы на q;
  • после просмотра самостоятельно выведите формулу еще раз на бумаге.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • определение геометрической прогрессии и знаменателя q;
  • формула n-го члена и характеристическое свойство трех соседних членов;
  • формула суммы первых n членов и примеры ее применения.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • перед каждым ответом самостоятельно определите b₁ и q;
  • проговорите, почему показатель степени в bₙ равен n - 1;
  • после выполнения упражнения запишите формулу n-го члена по памяти.
Открыть LearningApps «Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Вопросы для самопроверки

01Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

Ответ: последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же ненулевое число.

02Как найти знаменатель q?

Ответ: q = bₙ₊₁ / bₙ.

03Как записывается формула n-го члена?

Ответ: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

04Почему показатель степени равен n - 1?

Ответ: от первого до n-го члена выполняется n - 1 переход, и на каждом происходит умножение на q.

05Какое свойство связывает три соседних члена?

Ответ: bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁.

06Как найти сумму первых n членов при q ≠ 1?

Ответ: Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1), или равносильно Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q).

07Почему нельзя подставлять q = 1 в формулу с q - 1?

Ответ: знаменатель станет равен нулю. При q = 1 все члены равны и Sₙ = nb₁.

08Что происходит со знаками членов при q < 0?

Ответ: при ненулевом первом члене знаки соседних членов чередуются.

Главное по уроку

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q.

Знаменатель прогрессии: q = bₙ₊₁ / bₙ.

Формула n-го члена: bₙ = b₁qⁿ⁻¹.

Между двумя членами выполняется bₙ = bₖqⁿ⁻ᵏ.

Для трех соседних членов: bₙ² = bₙ₋₁bₙ₊₁.

Sₙ обозначает сумму первых n членов.

При q ≠ 1: Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1).

При q = 1: Sₙ = nb₁.

Если q < 0, знаки членов чередуются; если 0 < q < 1 и b₁ > 0, положительные члены уменьшаются.

Следующий урок: «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма».

64 Урок 64 Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и её сумма Открыть урокСвернуть урок

Урок 64. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и её сумма

В прошлом уроке мы находили сумму конечного числа членов геометрической прогрессии. Теперь число членов будет неограниченно расти. На первый взгляд кажется, что складывать бесконечно много чисел невозможно. Но если члены прогрессии становятся всё меньше по модулю достаточно быстро, частичные суммы приближаются к определённому конечному числу. В этом уроке мы подробно разберём, почему это происходит и откуда берётся формула бесконечной суммы.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Распознавать бесконечно убывающую прогрессию

Проверять условие |q| < 1 и понимать смысл модуля знаменателя.

2

Понимать поведение членов

Объяснять, почему при |q| < 1 числа qⁿ становятся всё ближе к нулю.

3

Работать с частичными суммами

Различать S₁, S₂, ..., Sₙ и бесконечную сумму S.

4

Понимать вывод формулы

Получить S = b₁/(1 - q) из формулы конечной суммы.

5

Решать обратные задачи

Находить b₁, q или неизвестный параметр по известной бесконечной сумме.

6

Применять сумму в задачах

Использовать бесконечную геометрическую прогрессию в числовых, геометрических и практических моделях.

Повторяем геометрическую прогрессию

bₙ₊₁ = bₙq q = bₙ₊₁ / bₙ bₙ = b₁qⁿ⁻¹

b₁ - первый член геометрической прогрессии.

q - знаменатель прогрессии, то есть постоянное число, на которое умножается предыдущий член для получения следующего.

n - натуральный номер члена.

Что означает |q|

Модуль числа

|q| - модуль числа q, то есть расстояние от числа q до нуля. Модуль всегда неотрицателен.

|1/2| = 1/2 |-1/2| = 1/2 |3| = 3

Условие |q| < 1 читается: «модуль q меньше единицы». Символ < читается «меньше».

Это означает, что q находится между -1 и 1: -1 < q < 1.

Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы: |q| < 1.

8, 4, 2, 1, 1/2, ... → q = 1/2 6, -3, 3/2, -3/4, ... → q = -1/2
Слово «убывающая» здесь не всегда означает обычную монотонность. Если q < 0, знаки членов чередуются, поэтому сама последовательность может то увеличиваться, то уменьшаться. Главное условие школьного определения - |q| < 1, то есть модули членов становятся всё меньше и приближаются к нулю.

Почему qⁿ стремится к нулю при |q| < 1

Рассмотрим q = 1/2:

(1/2)¹ = 1/2 (1/2)² = 1/4 (1/2)³ = 1/8 (1/2)⁴ = 1/16 (1/2)¹⁰ = 1/1024

Чем больше показатель степени, тем меньше положительное число (1/2)ⁿ. Оно не становится равным нулю при конечном n, но может стать сколь угодно близким к нулю.

Стремится к нулю

Фраза «qⁿ стремится к нулю» означает: при достаточно больших натуральных n значение qⁿ можно сделать по модулю меньше любого заранее выбранного положительного числа.

Что происходит при отрицательном q

Пусть q = -1/2. Тогда:

(-1/2)¹ = -1/2 (-1/2)² = 1/4 (-1/2)³ = -1/8 (-1/2)⁴ = 1/16

Знак чередуется, но модуль: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... становится всё меньше.

Поэтому и при отрицательном q, если |q| < 1, величина qⁿ стремится к нулю.

Когда геометрическая прогрессия бесконечно убывающая

q |q| |q| < 1? Бесконечно убывающая?
1/3 1/3 да да
-2/5 2/5 да да
1 1 нет нет
-1 1 нет нет
3/2 3/2 нет нет
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Что такое частичная сумма

Частичная сумма Sₙ

Частичная сумма Sₙ - сумма первых n членов бесконечной последовательности.

S₁ = b₁ S₂ = b₁ + b₂ S₃ = b₁ + b₂ + b₃ Sₙ = b₁ + b₂ + ... + bₙ

Каждая частичная сумма конечна. Мы будем смотреть, к какому числу приближаются S₁, S₂, S₃, ... при увеличении n.

Наглядный пример: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Здесь b₁ = 1/2, q = 1/2. Найдём несколько частичных сумм:

S₁ = 1/2 S₂ = 1/2 + 1/4 = 3/4 S₃ = 3/4 + 1/8 = 7/8 S₄ = 7/8 + 1/16 = 15/16
Частичные суммы приближаются к единице На числовой прямой отмечены одна вторая, три четверти, семь восьмых, пятнадцать шестнадцатых и единица. 0 S₁ = 1/2 S₂ = 3/4 S₃ = 7/8 S₄ = 15/16 1

Частичные суммы всё ближе к 1. Их разность с единицей равна соответственно: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...

Поэтому бесконечная сумма 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... равна 1.

Что означает сумма бесконечной прогрессии

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число S, к которому приближаются её частичные суммы Sₙ при неограниченном увеличении n.

Смысл важнее символики: мы не выполняем «бесконечное количество сложений за один раз». Мы рассматриваем всё более длинные конечные суммы и смотрим, к какому числу они приближаются.

Вывод формулы бесконечной суммы

В прошлом уроке мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q), q ≠ 1

Для бесконечно убывающей прогрессии |q| < 1. Поэтому при увеличении n величина qⁿ становится всё ближе к нулю. Значит выражение 1 - qⁿ становится всё ближе к 1.

Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q) qⁿ → 0 1 - qⁿ → 1

Символ → здесь читается «стремится к». В результате частичные суммы приближаются к числу:

Формула бесконечной суммы

S = b₁/(1 - q), если |q| < 1

Когда формулу S = b₁/(1 - q) применять нельзя

Формула требует условия |q| < 1. Если |q| ≥ 1, члены прогрессии не уменьшаются по модулю к нулю так, как требуется для этой формулы.

Символ ≥ читается «больше или равно».

Прогрессия q |q| < 1? Формула S = b₁/(1-q)?
3, 1, 1/3, ... 1/3 да применяется
4, -2, 1, ... -1/2 да применяется
2, 4, 8, ... 2 нет не применяется
5, 5, 5, ... 1 нет не применяется
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Пример 1. Найдите сумму 6 + 3 + 3/2 + 3/4 + ...

Сначала определяем первый член и знаменатель:

b₁ = 6 q = 3/6 = 1/2

|q| = 1/2 < 1, поэтому прогрессия бесконечно убывающая и формула бесконечной суммы применима.

S = 6/(1 - 1/2) S = 6/(1/2) = 12
Ответ: S = 12

Пример 2. Отрицательный знаменатель

Найдите сумму: 8 - 4 + 2 - 1 + 1/2 - ...

b₁ = 8 q = -4/8 = -1/2 |q| = 1/2 < 1

Несмотря на чередование знаков, условие |q| < 1 выполнено.

S = 8/(1 - (-1/2)) S = 8/(3/2) S = 16/3
Ответ: S = 16/3

Пример 3. Найдите первый член по сумме

Пусть S = 20, q = 1/5. Найдём b₁.

20 = b₁/(1 - 1/5) 20 = b₁/(4/5)

Умножаем обе части на 4/5:

b₁ = 20 · 4/5 = 16
Ответ: b₁ = 16

Пример 4. Найдите q по b₁ и S

Пусть b₁ = 6, S = 9. Используем формулу:

9 = 6/(1 - q)

Умножаем обе части на 1 - q:

9(1 - q) = 6 1 - q = 6/9 = 2/3 q = 1/3

Проверяем обязательное условие: |1/3| < 1. Всё верно.

Пример 5. Является ли сумма конечной?

Рассмотрим 2 + 4 + 8 + 16 + ...

q = 4/2 = 2 |q| = 2 > 1

Символ > читается «больше». Условие |q| < 1 не выполнено. Члены не стремятся к нулю, а быстро растут.

Формула S = b₁/(1 - q) здесь не применяется
Нельзя получить «ответ» 2/(1 - 2) = -2. Такое механическое подставление нарушает главное условие формулы.

Пример 6. Периодическая десятичная дробь как прогрессия

Число 0,333... означает:

0,333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...

Получилась геометрическая прогрессия: b₁ = 3/10, q = 1/10. Условие |q| < 1 выполнено.

S = (3/10)/(1 - 1/10) S = (3/10)/(9/10) = 1/3
0,333... = 1/3
Это один из способов объяснить, почему бесконечная периодическая десятичная дробь может точно равняться обыкновенной дроби.

Пример 7. Геометрическая модель

Отрезок длиной 12 см делят так: сначала берут половину всей длины, затем половину оставшегося, затем половину нового остатка и так далее. Длины последовательно взятых частей:

6, 3, 3/2, 3/4, ...

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с b₁ = 6 и q = 1/2. Сумма всех частей:

S = 6/(1 - 1/2) = 12

Получили исходную длину отрезка 12 см. Это наглядно показывает смысл бесконечной суммы.

Пример 8. Найдите параметр x

Пусть последовательность 12, 4x, ... является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и её сумма равна 18.

Сначала выразим q через x:

q = 4x/12 = x/3

По формуле суммы:

18 = 12/(1 - x/3) 18(1 - x/3) = 12 1 - x/3 = 2/3 x/3 = 1/3 x = 1

Проверка: q = 1/3, поэтому |q| < 1.

Полный алгоритм решения задач на бесконечную сумму

1

Найдите b₁

Определите первый член прогрессии.

2

Найдите q

Разделите следующий член на предыдущий.

3

Проверьте |q| < 1

Это обязательное условие применения формулы бесконечной суммы.

4

Подставьте в формулу

Используйте S = b₁/(1 - q).

5

Аккуратно работайте со знаками

Если q отрицателен, выражение 1 - q превращается в 1 плюс положительное число.

6

Проверьте смысл результата

Особенно в практической задаче убедитесь, что знак и величина ответа разумны.

Типичные ошибки

1. Не проверяют |q| < 1

Формула бесконечной суммы действует только при модуле знаменателя меньше единицы.

2. Путают q < 1 и |q| < 1

Например, q = -2 действительно меньше 1, но |-2| = 2, поэтому условие не выполнено.

3. Считают отрицательный q недопустимым

Отрицательный знаменатель допустим, если его модуль меньше 1.

4. Путают Sₙ и S

Sₙ - сумма первых n членов, S - число, к которому приближаются частичные суммы.

5. Думают, что qⁿ становится равным нулю

При конечном n и q ≠ 0 значение qⁿ не равно нулю. Оно лишь становится всё ближе к нулю.

6. Теряют знак в 1 - q

Если q = -1/2, то 1 - q = 1 - (-1/2) = 3/2.

7. Механически используют формулу при q = 2

Условие |q| < 1 нарушено, поэтому конечной суммы по этой формуле нет.

8. Считают термин «убывающая» обычной монотонностью

При q < 0 члены чередуют знаки. Условие связано с уменьшением модулей членов.

Практика с подробными решениями

Задание 1. Найдите сумму 9 + 3 + 1 + 1/3 + ...

Показать решение

b₁ = 9, q = 3/9 = 1/3.

|q| = 1/3 < 1.

S = 9/(1 - 1/3) = 9/(2/3) = 27/2.

Ответ: 27/2.

Задание 2. Найдите сумму 5 - 1 + 1/5 - 1/25 + ...

Показать решение

b₁ = 5, q = -1/5.

|q| = 1/5 < 1.

S = 5/(1 - (-1/5)) = 5/(6/5) = 25/6.

Ответ: 25/6.

Задание 3. Найдите b₁, если S = 15 и q = 2/5

Показать решение

15 = b₁/(1 - 2/5) = b₁/(3/5).

b₁ = 15 · 3/5 = 9.

Ответ: b₁ = 9.

Задание 4. Можно ли найти конечную сумму 4 + 8 + 16 + ... по формуле бесконечной суммы?

Показать решение

q = 8/4 = 2.

|q| = 2, а 2 не меньше 1.

Ответ: нет, условие |q| < 1 не выполнено.

Самостоятельная работа

1. Найдите сумму 12 + 6 + 3 + 3/2 + ...

Показать ответ

b₁ = 12, q = 1/2.

Ответ: S = 24.

2. Найдите сумму 7 - 7/3 + 7/9 - 7/27 + ...

Показать ответ

b₁ = 7, q = -1/3.

S = 7/(1 + 1/3) = 21/4.

Ответ: 21/4.

3. Найдите q, если b₁ = 8 и S = 10

Показать ответ

10 = 8/(1 - q).

1 - q = 4/5, поэтому q = 1/5.

Ответ: q = 1/5.

4. Представьте 0,777... в виде обыкновенной дроби

Показать ответ

0,777... = 7/10 + 7/100 + 7/1000 + ...

b₁ = 7/10, q = 1/10.

S = (7/10)/(9/10) = 7/9.

Ответ: 7/9.

5. Является ли прогрессия 3, -6/5, 12/25, ... бесконечно убывающей?

Показать ответ

q = (-6/5)/3 = -2/5.

|q| = 2/5 < 1.

Ответ: да.

Видео

Основное видео целиком посвящено бесконечно убывающей геометрической прогрессии и вычислению её суммы. Дополнительное видео для 10 класса отдельно объясняет определение, вывод формулы суммы и примеры, поэтому удобно использовать его как второй способ объяснения.

Основное видео Rutube «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии». Во время просмотра обязательно отслеживайте условие |q| < 1.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • повторите определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
  • обратите внимание на связь конечной суммы Sₙ и бесконечной суммы S;
  • после просмотра самостоятельно выведите S = b₁/(1 - q).
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • определение через условие |q| < 1;
  • поведение qⁿ при увеличении n и переход от Sₙ к бесконечной сумме;
  • формулу S = b₁/(1 - q) и обязательную проверку знаменателя.
Открыть презентацию

Интерактив

Как работать

  • повторите на упражнении формулу n-го члена геометрической прогрессии;
  • для каждого примера дополнительно самостоятельно определите q и проверьте, выполняется ли |q| < 1;
  • после интерактива вернитесь к заданиям этого урока и вычислите бесконечные суммы без подсказок.
Открыть LearningApps по геометрической прогрессии

Вопросы для самопроверки

01Какое условие определяет бесконечно убывающую геометрическую прогрессию?

Ответ: |q| < 1.

02Что означает |q|?

Ответ: модуль q, то есть расстояние от числа q до нуля.

03Почему q = -1/2 подходит, хотя прогрессия меняет знаки?

Ответ: потому что |-1/2| = 1/2 < 1. Модули членов уменьшаются и стремятся к нулю.

04Что такое частичная сумма Sₙ?

Ответ: сумма первых n членов бесконечной последовательности.

05Что происходит с qⁿ при |q| < 1 и увеличении n?

Ответ: qⁿ стремится к нулю, то есть становится по модулю сколь угодно малым.

06Как записывается формула бесконечной суммы?

Ответ: S = b₁/(1 - q), если |q| < 1.

07Можно ли применять эту формулу при q = 2?

Ответ: нет, потому что |2| = 2 и условие |q| < 1 нарушено.

08Чем S отличается от Sₙ?

Ответ: Sₙ - конечная сумма первых n членов, а S - число, к которому эти частичные суммы приближаются при неограниченном увеличении n.

Главное по уроку

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия определяется условием |q| < 1.

При |q| < 1 величина qⁿ стремится к нулю при увеличении n.

При q < 0 знаки членов чередуются, но их модули уменьшаются.

Sₙ - частичная сумма первых n членов.

Бесконечная сумма S - число, к которому приближаются частичные суммы Sₙ.

Формула бесконечной суммы: S = b₁/(1 - q), если |q| < 1.

Перед применением формулы обязательно находят q и проверяют его модуль.

Формула позволяет решать прямые и обратные задачи, а также объяснять некоторые бесконечные десятичные дроби.

Следующий урок: «Формула сложных процентов. Применение прогрессий в практических задачах».

65 Урок 65 Формула сложных процентов. Применение прогрессий в практических задачах Открыть урокСвернуть урок

Урок 65. Формула сложных процентов. Применение прогрессий в практических задачах

Этот урок завершает тему «Последовательности и прогрессии». Мы свяжем изученные формулы с задачами из реальной жизни: ростом и уменьшением величин, банковскими вкладами, изменением цен, количеством продукции, населением и другими процессами. Главная идея сложных процентов состоит в том, что каждый новый процент начисляется уже на изменившуюся величину. Именно поэтому такие задачи естественно связаны с геометрической прогрессией.

35 минут основной работы

Что вы научитесь делать

1

Восстанавливать смысл процента

Понимать, что p% означает p сотых от рассматриваемой величины.

2

Переходить к коэффициенту изменения

Для роста использовать 1 + p/100, для уменьшения - 1 - p/100.

3

Понимать сложные проценты

Отличать начисление на исходную сумму от начисления на уже изменившуюся сумму.

4

Использовать формулу сложных процентов

Применять Aₙ = A₀(1 + p/100)ⁿ и формулу процентного уменьшения.

5

Распознавать прогрессию

Определять, относится практическая задача к арифметической или геометрической прогрессии.

6

Решать обратные задачи

Находить первоначальную величину, процент, число периодов или итоговую сумму.

Что такое процент

Процент

1% - одна сотая часть величины: 1% = 1/100 = 0,01.

5% = 5/100 = 0,05 12% = 12/100 = 0,12 25% = 25/100 = 0,25

Чтобы найти p% от числа A, умножают A на p/100.

p% от A = A · p/100
Перед сложными процентами нужно уверенно понимать обычный процент: процент всегда относится к некоторой базе, то есть к величине, от которой он вычисляется.

Как увеличить число на p%

Пусть исходная величина равна A. Увеличение на p% означает, что к A прибавляют p% от A:

A + A · p/100 A(1 + p/100)
Коэффициент роста

1 + p/100 - коэффициент, на который нужно умножить величину, чтобы увеличить её на p%.

рост на 10% → умножить на 1,10 рост на 25% → умножить на 1,25 рост на 3% → умножить на 1,03

Как уменьшить число на p%

Уменьшение на p% означает, что из исходной величины A вычитают p% от A:

A - A · p/100 A(1 - p/100)
Коэффициент уменьшения

1 - p/100 - коэффициент, на который нужно умножить величину, чтобы уменьшить её на p%.

снижение на 20% → умножить на 0,80 снижение на 5% → умножить на 0,95
Увеличить на 20% и уменьшить на 20% - не обратные действия. Сначала умножение на 1,2, затем на 0,8 даёт общий коэффициент 0,96, а не 1.

Пример 1. Увеличение и уменьшение

Цена товара была 2000 рублей. Сначала её увеличили на 10%, затем новую цену уменьшили на 10%.

после роста: 2000 · 1,10 = 2200 после снижения: 2200 · 0,90 = 1980
Ответ: 1980 рублей

Почему не получилось 2000? Вторые 10% вычислялись уже от 2200, а не от первоначальных 2000.

Простые и сложные проценты: главное различие

Простые проценты

При простых процентах каждый раз процент вычисляется от одной и той же первоначальной суммы.

Сложные проценты

При сложных процентах процент каждого нового периода вычисляется от уже увеличенной суммы, то есть начисленный ранее процент становится частью новой базы.

Капитализация процентов

Капитализация - присоединение начисленных процентов к основной сумме, после чего следующий процент начисляется уже на увеличенную сумму.

Почему сложные проценты образуют геометрическую прогрессию

Пусть первоначальная сумма равна A₀. Индекс 0 означает начальный момент, до первого начисления процентов. Пусть за каждый период сумма увеличивается на p%.

A₁ = A₀(1 + p/100) A₂ = A₁(1 + p/100) A₃ = A₂(1 + p/100)

Каждый следующий член получается умножением предыдущего на один и тот же коэффициент 1 + p/100. Значит суммы A₀, A₁, A₂, ... образуют геометрическую прогрессию.

q = 1 + p/100

Вывод формулы сложных процентов

После первого периода:

A₁ = A₀(1 + p/100)

После второго периода тот же коэффициент применяется ещё раз:

A₂ = A₀(1 + p/100)²

После трёх периодов:

A₃ = A₀(1 + p/100)³
Формула сложных процентов

Aₙ = A₀(1 + p/100)ⁿ

Здесь: A₀ - первоначальная величина, Aₙ - величина после n периодов, p - процент изменения за один период, n - число одинаковых периодов.

Почему степень равна n

В формуле геометрической прогрессии bₙ = b₁qⁿ⁻¹ показатель был n - 1, потому что b₁ уже являлся первым состоянием последовательности.

В формуле сложных процентов A₀ - состояние до первого изменения. После одного периода коэффициент применяется один раз, после двух - два раза, после n - n раз.

Не смешивайте номера состояний: A₀ - исходная величина, A₁ - после одного периода, A₂ - после двух периодов.

Пример 2. Банковский вклад

На вклад внесли 100 000 рублей под 8% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет через 3 года, если дополнительных операций нет?

A₀ = 100000 p = 8 n = 3 q = 1 + 8/100 = 1,08
A₃ = 100000 · 1,08³ 1,08³ = 1,259712 A₃ = 125971,2
Ответ: 125 971,20 рубля
Это учебная математическая модель. Реальные банковские продукты могут иметь налоги, комиссии, иной порядок капитализации, пополнения, снятия и другие условия.

Сравнение простых и сложных процентов на одном примере

Возьмём 100 000 рублей, 10% в год, 3 года.

Год Простые проценты Сложные проценты
0 100 000 100 000
1 110 000 110 000
2 120 000 121 000
3 130 000 133 100
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

При простых процентах ежегодно добавляется одна и та же сумма 10 000 рублей, поэтому получаем арифметическую прогрессию.

При сложных процентах ежегодно сумма умножается на 1,10, поэтому получаем геометрическую прогрессию.

Формула многократного уменьшения на процент

Если величина каждый период уменьшается на p%, коэффициент каждого периода равен 1 - p/100.

Повторное процентное уменьшение

Aₙ = A₀(1 - p/100)ⁿ

Эта формула имеет ту же геометрическую структуру: каждый период величина умножается на один и тот же коэффициент.

Пример 3. Уменьшение стоимости

Оборудование условно оценивается в 500 000 рублей. В учебной модели его стоимость ежегодно уменьшается на 12%. Найдите модельную стоимость через 4 года.

коэффициент = 1 - 12/100 = 0,88 A₄ = 500000 · 0,88⁴ 0,88⁴ = 0,59969536 A₄ = 299847,68
Ответ: 299 847,68 рубля

Пример 4. Рост количества

Число зарегистрированных пользователей учебного сервиса условно увеличивается на 5% каждый месяц. В начальный момент их 8000. Сколько будет по этой модели через 6 месяцев?

A₀ = 8000 q = 1,05 A₆ = 8000 · 1,05⁶ 1,05⁶ ≈ 1,34009564 A₆ ≈ 10720,77

Символ ≈ читается «приблизительно равно». Если речь идёт о числе людей, итог модели обычно интерпретируют как приблизительно 10 721 человек.

Обратная задача. Найдите первоначальную сумму

После 2 лет роста на 10% в год величина стала равна 121 000. Чему она была равна первоначально?

121000 = A₀ · 1,1² 1,1² = 1,21 A₀ = 121000 / 1,21 A₀ = 100000
Ответ: 100 000

Обратная задача. Найдите процент роста

За один период величина выросла с 20 000 до 23 000. На сколько процентов она увеличилась?

коэффициент роста = 23000 / 20000 = 1,15 1 + p/100 = 1,15 p/100 = 0,15 p = 15
Ответ: рост на 15%

Если известны начальное и конечное значения за несколько периодов

Если Aₙ, A₀ и n известны, сначала можно найти коэффициент q:

Aₙ = A₀qⁿ qⁿ = Aₙ/A₀

Затем из q = 1 + p/100 находят p. В простых учебных задачах значения обычно подбираются так, чтобы q находился точно.

Пример 5. Найдите ежегодный процент

Величина увеличилась с 50 000 до 60 500 за 2 одинаковых периода. Найдите процент роста за один период.

60500 = 50000q² q² = 60500/50000 = 1,21 q = 1,1

Коэффициент роста положительный, поэтому берём q = 1,1.

1 + p/100 = 1,1 p = 10
Ответ: 10% за период

Как понять, какая прогрессия скрыта в практической задаче

Фраза в условии Что происходит каждый период Модель
«на 500 рублей больше» прибавляется одно и то же число арифметическая прогрессия
«на 3 единицы меньше» вычитается одно и то же число арифметическая прогрессия
«увеличивается на 5%» умножается на 1,05 геометрическая прогрессия
«уменьшается на 12%» умножается на 0,88 геометрическая прогрессия
«удваивается» умножается на 2 геометрическая прогрессия
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Пример 6. Арифметическая или геометрическая?

Предприятие условно увеличивает выпуск продукции каждый месяц на 200 единиц. В первый месяц выпущено 1500 единиц.

Здесь прибавляется постоянное число 200, поэтому это арифметическая прогрессия:

a₁ = 1500 d = 200 aₙ = 1500 + (n - 1) · 200

Пример 7. Процентное уменьшение как геометрическая прогрессия

Количество вещества в модели каждый час уменьшается на 25%. В начале наблюдения имеется 640 условных единиц.

После каждого часа остаётся 75% предыдущего количества:

q = 1 - 25/100 = 0,75 Aₙ = 640 · 0,75ⁿ

Например, через 2 часа:

A₂ = 640 · 0,75² = 640 · 0,5625 = 360

Пример 8. Последовательные скидки

Товар стоит 10 000 рублей. Сначала действует скидка 20%, затем ещё 10% от новой цены. Найдём итоговую цену.

после первой скидки: 10000 · 0,80 = 8000 после второй скидки: 8000 · 0,90 = 7200

Общий коэффициент: 0,80 · 0,90 = 0,72. Значит итоговая цена составляет 72% первоначальной. Общее снижение равно 28%, а не 30%.

Ответ: 7200 рублей

Пример 9. Суммарный результат нескольких разных процентов

Величина последовательно выросла на 10%, затем ещё на 20%. Общий коэффициент равен:

1,10 · 1,20 = 1,32

Значит итоговый рост составляет 32%. Нельзя просто складывать проценты 10 + 20, потому что второй рост применяется к уже увеличенной величине.

Пример 10. Практическая задача на сумму арифметической прогрессии

В первый день ученик решает 8 тренировочных задач, а каждый следующий день - на 2 задачи больше. Сколько задач будет решено за первые 10 дней?

a₁ = 8, d = 2, n = 10 a₁₀ = 8 + 9 · 2 = 26 S₁₀ = 10(8 + 26)/2 S₁₀ = 170
Ответ: 170 задач

Итоговая карта формул темы

Ситуация Формула Ключевой признак
Арифметическая прогрессия aₙ = a₁ + (n - 1)d постоянная разность d
Сумма арифметической прогрессии Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 складываются первые n членов
Геометрическая прогрессия bₙ = b₁qⁿ⁻¹ постоянный знаменатель q
Сумма первых n членов геометрической прогрессии Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1) q ≠ 1
Бесконечная сумма S = b₁/(1 - q) |q| < 1
Сложный процентный рост Aₙ = A₀(1 + p/100)ⁿ одинаковый процент роста каждый период
Повторное процентное снижение Aₙ = A₀(1 - p/100)ⁿ одинаковый процент снижения каждый период
Прокрутите таблицу пальцем или используйте ползунок

Типичные ошибки

1. Прибавляют p вместо p%

Рост на 8% означает умножение на 1,08, а не прибавление числа 8.

2. Пишут 1 + p вместо 1 + p/100

Процент сначала переводят в долю единицы.

3. Складывают последовательные проценты

Обычно нужно перемножать коэффициенты изменений.

4. Путают A₀ и A₁

A₀ - исходная величина до первого изменения, A₁ - после одного периода.

5. Используют сложные проценты там, где прибавляется постоянное число

Постоянная прибавка соответствует арифметической прогрессии.

6. Уменьшение записывают через 1 + p/100

Для уменьшения используется 1 - p/100.

7. Не проверяют единицу периода

Годовая ставка требует считать годы, месячная - месяцы, если условием не задан иной порядок.

8. Считают математическую модель банковским расчётом «до копейки»

Реальные финансовые продукты могут иметь дополнительные условия, которых нет в учебной задаче.

Практика с подробными решениями

Задание 1. Величина 40 000 увеличивается на 6% ежегодно. Найдите её значение через 2 года

Показать решение

Коэффициент роста: 1 + 6/100 = 1,06.

A₂ = 40000 · 1,06².

1,06² = 1,1236.

A₂ = 44 944.

Ответ: 44 944.

Задание 2. Стоимость 80 000 ежегодно уменьшается на 15%. Найдите модельное значение через 3 года

Показать решение

Коэффициент уменьшения: 1 - 15/100 = 0,85.

A₃ = 80000 · 0,85³.

0,85³ = 0,614125.

A₃ = 49 130.

Ответ: 49 130.

Задание 3. После роста на 20% величина стала равна 72 000. Найдите исходную величину

Показать решение

Коэффициент роста равен 1,20.

72000 = A₀ · 1,20.

A₀ = 72000/1,20 = 60000.

Ответ: 60 000.

Задание 4. В первом месяце выпустили 1200 изделий, затем каждый месяц на 150 больше. Сколько выпустят за первые 6 месяцев?

Показать решение

Здесь постоянная прибавка 150, значит это арифметическая прогрессия.

a₁ = 1200, d = 150, n = 6.

a₆ = 1200 + 5 · 150 = 1950.

S₆ = 6(1200 + 1950)/2 = 9450.

Ответ: 9450 изделий.

Самостоятельная работа

1. Величина 30 000 растёт на 4% в год. Найдите значение через 3 года

Показать ответ

A₃ = 30000 · 1,04³.

Ответ: 33 745,92.

2. Величина 50 000 уменьшается на 10% каждый период. Найдите значение после 2 периодов

Показать ответ

A₂ = 50000 · 0,9².

Ответ: 40 500.

3. После одного роста на 12% величина стала равна 56 000. Найдите исходную величину

Показать ответ

A₀ = 56000/1,12.

Ответ: 50 000.

4. Цена выросла на 20%, затем снизилась на 20%. Во сколько раз итоговая цена отличается от первоначальной?

Показать ответ

Общий коэффициент: 1,20 · 0,80 = 0,96.

Ответ: итоговая цена равна 0,96 первоначальной, то есть на 4% меньше.

5. Число удваивается каждый период. Какую прогрессию образуют значения 7, 14, 28, 56, ...?

Показать ответ

Каждый следующий член получается умножением на 2.

Ответ: геометрическая прогрессия, q = 2.

Видео

Основное видео непосредственно связывает прогрессии с простыми и сложными процентами. Дополнительное видео 10 класса подробно объясняет процент, формулы простых и сложных процентов и вывод формулы сложного процентного роста.

Основное видео Rutube «Алгебра 10 класс. Прогрессии и сложные проценты». Обратите внимание на различие: простые проценты связаны с постоянной прибавкой, а сложные - с постоянным коэффициентом роста.

Смотреть основное видео в новой вкладке

Дополнительное видео YouTube

  • сначала повторите смысл процента;
  • с 8:15 обратите особое внимание на формулу сложных процентов;
  • после просмотра самостоятельно объясните, почему появляется степень n.
Смотреть дополнительное видео в новой вкладке

Презентация

На что обратить внимание

  • понятие капитализации и отличие сложных процентов от простых;
  • переход от процентной ставки к коэффициенту 1 + p/100;
  • вывод наращенной суммы через повторное умножение на один коэффициент.
Открыть презентацию «Основы финансовых вычислений. Сложные проценты»

Интерактив

Как работать

  • сначала повторите базовые правила вычисления процентов;
  • для каждой задачи переводите процент в коэффициент изменения;
  • после интерактива вернитесь к задачам урока и самостоятельно отличите арифметическую модель от геометрической.
Открыть LearningApps «Проценты в повседневной жизни»

Вопросы для самопроверки

01Что означает 1%?

Ответ: одну сотую часть величины: 1% = 1/100 = 0,01.

02На какой коэффициент умножают число при росте на p%?

Ответ: на 1 + p/100.

03На какой коэффициент умножают число при снижении на p%?

Ответ: на 1 - p/100.

04Чем сложные проценты отличаются от простых?

Ответ: при сложных процентах следующий процент начисляется на уже изменившуюся сумму, при простых - на исходную базу.

05Как записывается формула сложных процентов?

Ответ: Aₙ = A₀(1 + p/100)ⁿ.

06Почему сложный процент связан с геометрической прогрессией?

Ответ: каждый новый член получается умножением предыдущего на один и тот же коэффициент 1 + p/100.

07Если величина каждый период увеличивается на постоянные 500 единиц, какая это модель?

Ответ: арифметическая прогрессия, потому что прибавляется одно и то же число.

08Почему рост на 10%, а затем снижение на 10% не возвращают исходное значение?

Ответ: второй процент вычисляется уже от изменившейся величины. Общий коэффициент 1,1 · 0,9 = 0,99.

Главное по уроку

1% равен одной сотой части величины.

Рост на p% соответствует умножению на 1 + p/100.

Снижение на p% соответствует умножению на 1 - p/100.

При простых процентах процент начисляется на одну и ту же исходную базу.

При сложных процентах новый процент начисляется на уже изменившуюся величину.

Формула сложных процентов: Aₙ = A₀(1 + p/100)ⁿ.

Повторное процентное снижение: Aₙ = A₀(1 - p/100)ⁿ.

Постоянная прибавка соответствует арифметической прогрессии, постоянный коэффициент - геометрической.

Последовательные процентные изменения объединяются умножением коэффициентов, а не простым сложением процентов.

Тема 5 «Последовательности и прогрессии» завершена.

Итоговый тренировочный тест

Выполните все задания и нажмите «Завершить тест». После проверки вы увидите общий результат, оценку, результаты по пяти крупным темам курса, подробную диагностику по девяти блокам и разбор ошибок. Это тренировочная работа: её можно проходить повторно.

36 заданий 9 диагностических блоков Базовый уровень
При каждом новом открытии или перезагрузке страницы формируется новый вариант: могут измениться сами задания, числовые данные, правильные ответы и порядок вариантов ответа.
Прогресс выполнения 0 из 36