Геометрия математика - 10 класс

Точку можно мысленно представить как положение очень маленькой отметки. Но геометрическая точка не является маленьким кружком: кружок на рисунке нужен только для того, чтобы мы могли увидеть положение точки.

Точки принято обозначать заглавными латинскими буквами: A, B, C, D.

При изучении геометрии очень важно не отождествлять математический объект с реальным предметом.

Например, поверхность стола помогает представить плоскость, но настоящий стол не является геометрической плоскостью. У него есть края и конечные размеры.

Натянутая нить может напоминать прямую, но нить имеет толщину и конечную длину. Геометрическая прямая толщины не имеет и продолжается бесконечно.

След от карандаша помогает увидеть точку, но настоящий след имеет размер. Геометрическая точка размеров не имеет.

Геометрия включает планиметрию и стереометрию.

Планиметрия изучает фигуры в плоскости, а стереометрия - фигуры в пространстве.

Пространство можно представить как трёхмерную геометрическую среду, в которой расположены геометрические объекты.

Основные фигуры стереометрии - точка, прямая и плоскость.

Точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C.

Прямые обычно обозначают строчными латинскими буквами: a, b, c.

Плоскости часто обозначают строчными греческими буквами: α, β, γ.

Знак ∈ читается «принадлежит», а знак ∉ - «не принадлежит».

Геометрические точка, прямая и плоскость отличаются от своих реальных наглядных моделей: точка не имеет размеров, прямая бесконечна в обе стороны, плоскость неограниченна.

Следующий урок - «Изображение плоскостей, прямых и отрезков в пространстве».

Пространственные объекты приходится изображать на плоской поверхности условно.

Плоскость бесконечна, поэтому на рисунке показывают только её часть.

Прямая бесконечна в обе стороны, а отрезок ограничен двумя концами.

Если точка принадлежит прямой, отрезку или плоскости, её положение на чертеже должно соответствовать этому условию.

Проекция - изображение пространственного объекта на плоскости.

При параллельном проектировании проектирующие прямые проводят параллельно друг другу.

Запись A′ читается «A штрих» и может обозначать проекцию точки A.

Сплошными линиями обычно показывают видимые элементы, а пунктирными - скрытые.

Следующий урок - «Пересекающиеся плоскости. Пересечение прямой и плоскости».

Пересечение геометрических объектов связано с их общими точками.

Знак ∩ обозначает пересечение.

Две различные пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.

Запись α ∩ β = k означает, что плоскости α и β пересекаются по прямой k.

Каждая точка линии пересечения принадлежит обеим плоскостям.

Если прямая пересекает плоскость и не лежит в ней, у них имеется одна общая точка.

Запись a ∩ α = M означает, что M является точкой пересечения прямой a и плоскости α.

Поэтому обязательно выполняются условия M ∈ a и M ∈ α.

На пространственном рисунке взаимное расположение объектов должно точно соответствовать условию: общая точка должна находиться на обоих объектах, а общая прямая двух плоскостей должна принадлежать обеим плоскостям.

Следующий урок - «Многогранники. Изображение пространственных фигур».

Пространственный объект трёхмерный, а рисунок двумерный. Поэтому невозможно одновременно сохранить на обычном плоском изображении все реальные длины и углы.

Например, грань куба в пространстве является квадратом, но на рисунке некоторые его грани выглядят как параллелограммы.

Это не означает, что форма настоящей грани изменилась. Изменился только её вид на плоской проекции.

Многогранник - пространственное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.

Многоугольники поверхности называются гранями многогранника.

Общая сторона двух соседних граней называется ребром.

Конец ребра называется вершиной.

Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами.

Ребро обозначают по двум его вершинам, например AB.

На плоском чертеже пространственная фигура изображается условно, поэтому реальные углы и длины могут выглядеть искажёнными.

Пунктирная линия обычно показывает скрытое ребро.

Если точка заявлена как лежащая на ребре, на чертеже она должна действительно находиться непосредственно на этом ребре.

Следующий урок - «Куб и пирамида. Развёртки и пространственные модели».

Модель может быть изготовлена из бумаги, картона, пластика, проволоки или создана в компьютерной программе.

Бумажная модель особенно полезна в начале изучения стереометрии, потому что её можно поворачивать и рассматривать с разных сторон.

При этом необходимо помнить: физическая модель имеет толщину материала, массу и конечные размеры. Геометрическая фигура является идеализированным математическим объектом.

Куб - многогранник с шестью равными квадратными гранями.

Куб имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Пирамида имеет многоугольное основание и треугольные боковые грани с общей вершиной.

Рёбра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.

Пространственная модель помогает увидеть взаимное расположение элементов объёмной фигуры.

Развёртка показывает поверхность многогранника в одной плоскости.

Развёртка куба должна содержать 6 одинаковых квадратов.

Развёртка четырёхугольной пирамиды состоит из основания и четырёх треугольных боковых граней.

Не всякое расположение граней является правильной развёрткой: после сгибания грани не должны накладываться и должны полностью замыкать поверхность многогранника.

Следующий урок - «Первоначальное представление о сечениях многогранников».

Рассмотрим сторону MN предыдущего сечения.

Точки M и N находятся на двух рёбрах одной верхней грани куба. Одновременно обе точки принадлежат секущей плоскости.

Значит, отрезок MN является частью линии пересечения секущей плоскости с плоскостью верхней грани.

Аналогично возникают остальные стороны NP, PQ и QM.

Секущая плоскость проходит через многогранник и отделяет его точки, расположенные по разные стороны от этой плоскости.

Сечение многогранника - плоская фигура из всех общих точек многогранника и секущей плоскости.

В школьных задачах сечение многогранника обычно является многоугольником.

Вершины сечения находятся на рёбрах многогранника или совпадают с его вершинами.

Каждая сторона сечения лежит в определённой грани многогранника.

Все вершины и стороны сечения должны образовывать один замкнутый многоугольник.

Пространственный рисунок условен, поэтому принадлежность точек и линий нужно проверять геометрически, а не только визуально.

Следующий урок - «Аксиомы стереометрии».

Точки обозначаем заглавными латинскими буквами: A, B, C.

Прямые можно обозначать строчными латинскими буквами, например a или k.

Плоскости обычно обозначают греческими буквами, например α - «альфа» и β - «бета».

Символ ∈ читается «принадлежит».

Символ ∩ обозначает пересечение.

Аксиома - исходное положение, принимаемое без доказательства.

Теорема - утверждение, которое необходимо доказать.

А1: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.

А3: если две плоскости имеют общую точку, они имеют общую прямую, на которой находятся все их общие точки.

В каждой аксиоме необходимо учитывать все условия. Нельзя сокращать формулировку так, чтобы исчезало существенное условие.

Рисунок помогает понять аксиому, но не заменяет её точную словесную формулировку.

Следующий урок - «Следствия из аксиом стереометрии».

В доказательствах иногда удобно использовать знак ⊂.

Запись a ⊂ α означает: «прямая a лежит в плоскости α».

Знак ∉ читается «не принадлежит».

Поэтому запись A ∉ a означает: «точка A не лежит на прямой a».

Следствие - утверждение, получаемое из уже известных математических положений.

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.

Условие «точка не лежит на прямой» является обязательным.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

При доказательстве единственности нужно показать не только существование объекта, но и невозможность существования второго такого объекта.

Единственную плоскость можно задать тремя точками, не лежащими на одной прямой.

Единственную плоскость можно задать прямой и точкой вне этой прямой.

Единственную плоскость можно задать двумя пересекающимися прямыми.

На геометрическом рисунке точки, заявленные как принадлежащие прямой, должны находиться точно на ней, а точка, заявленная как не принадлежащая прямой, должна быть изображена вне этой прямой.

Следующий урок - «Применение аксиом и следствий при решении задач».

При решении задачи сначала определите, какие точки, прямые и плоскости даны.

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей удобно найти две различные общие точки.

Если две точки одной прямой принадлежат плоскости, по аксиоме А2 вся прямая принадлежит этой плоскости.

Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

Через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Три точки, не лежащие на одной прямой, также задают единственную плоскость.

В доказательстве каждый вывод должен иметь математическое основание.

Рисунок помогает увидеть решение, но сам по себе доказательством не является.

Если точка по условию лежит на ребре или прямой, на рисунке она должна быть расположена точно на этом объекте.

Следующий урок - «Обобщение и практикум по введению в стереометрию».

Стереометрия изучает геометрические фигуры и отношения между объектами в пространстве.

Основными объектами являются точка, прямая и плоскость.

Многогранник имеет грани, рёбра и вершины.

Куб имеет 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Пирамида имеет одно многоугольное основание и треугольные боковые грани, сходящиеся в общей вершине.

Развёртка показывает поверхность многогранника в одной плоскости.

Сечение - плоская фигура, полученная при пересечении многогранника секущей плоскостью.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую.

Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Геометрический рисунок помогает рассуждать, но каждый вывод должен иметь математическое обоснование.

Для двух различных прямых в пространстве возможны три случая: они пересекаются, параллельны или скрещиваются.

Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Символ ∥ обозначает параллельность.

Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

Параллельные и скрещивающиеся прямые не имеют общих точек, но только параллельные прямые являются компланарными.

Поэтому утверждение «две прямые не пересекаются» само по себе не доказывает их параллельность.

При анализе пространственного чертежа нужно опираться на принадлежность точек, прямых и плоскостей, а не только на внешний вид изображения.

Следующий урок - урок 12 «Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трёх прямых».

Например, если AB ∥ CD, то это означает, что прямая AB параллельна прямой CD.

Аналогично определяют параллельность лучей, луча и прямой, а также отрезка и прямой.

Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность обозначают знаком ∥.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит одна и только одна прямая, параллельная данной.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

При доказательстве леммы важно рассматривать плоскость β, содержащую обе параллельные прямые, и линию l = α ∩ β.

Лемма - вспомогательная теорема.

Если a ∥ c и b ∥ c, то a ∥ b.

Три попарно параллельные прямые не обязаны находиться в одной общей плоскости.

Следующий урок - урок 13 «Параллельность прямой и плоскости».

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость в одной точке или быть параллельной ей.

Если прямая лежит в плоскости, у них бесконечно много общих точек.

Если прямая пересекает плоскость, у них одна общая точка.

Если прямая параллельна плоскости, общих точек нет.

Запись a ∥ α означает, что прямая a параллельна плоскости α.

Признак: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то исходная прямая параллельна плоскости.

При использовании признака необходимо проверить три факта: подходящая прямая лежит в плоскости; исходная прямая ей параллельна; исходная прямая сама не лежит в этой плоскости.

Если плоскость содержит прямую a, параллельную другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна a.

Если a ∥ b и a ∥ α, то b либо параллельна α, либо лежит в α.

Следующий урок - урок 14 «Углы с сонаправленными сторонами».

Луч имеет начало и бесконечно продолжается в одном направлении.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости.

Два параллельных луча, не лежащие на одной прямой, являются сонаправленными, если находятся в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала.

Лучи на одной прямой сонаправлены, если совпадают или один содержит другой.

Параллельность прямых сама по себе ещё не гарантирует сонаправленность лучей: необходимо учитывать направление.

У двух углов нужно правильно установить две пары соответствующих сторон.

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Следующий урок - урок 15 «Угол между прямыми в пространстве».

Можно выбрать другую точку O и провести через неё новые прямые a2 и b2 так, чтобы a2 ∥ a и b2 ∥ b.

Тогда стороны полученных углов будут соответственно сонаправлены со сторонами первого построенного угла.

По теореме прошлого урока углы с соответственно сонаправленными сторонами равны.

Поэтому величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от того, в какой удобной точке мы провели их параллельные представители.