Научитесь читать таблицы
Будете понимать, какую информацию содержит каждая строка, каждый столбец и отдельная ячейка таблицы.
Математика - Вероятность и статистика - 10 класс
Вероятность и статистика математика - 10 класс
Теория вероятностей и основы статистики, случайные события, способы представления и анализа данных, таблицы, диаграммы, графики, примеры решения задач, презентации, упражнения и дополнительные материалы для самостоятельного изучения.
Раздел 1
Представление данных и описательная статистика
Представление и анализ числовых данных с помощью таблиц и диаграмм; среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах числового набора; дисперсия и стандартное отклонение; применение характеристик описательной статистики для сравнения, анализа и интерпретации данных.
4
учебных часа
01 Урок 1 Представление данных с помощью таблиц и диаграмм Открыть урок Свернуть урок
Урок 1. Представление данных с помощью таблиц и диаграмм
На первом уроке курса «Вероятность и статистика» мы разберёмся, что называют данными, зачем их упорядочивать, как правильно читать таблицы и как по одним и тем же данным строить наглядные диаграммы. Материал рассчитан на самостоятельное изучение: все новые термины будут поясняться при первом появлении, а примеры будут разобраны пошагово.
35
минут основной работы
Что вы изучите
После урока вы сможете читать данные из таблицы, понимать назначение строк, столбцов и заголовков, выбирать подходящий способ представления информации и извлекать сведения из столбчатых, круговых и линейных диаграмм.
Разберётесь в диаграммах
Поймёте, когда удобно использовать столбчатую, круговую или линейную диаграмму.
Научитесь анализировать данные
Сможете сравнивать значения, находить наибольшие и наименьшие показатели и делать простые выводы.
Рекомендуемый порядок:
сначала изучите понятия и примеры. Затем попробуйте самостоятельно прочитать таблицу и диаграмму, выполните практические задания и только после этого раскройте решения.
Что такое данные
Каждый день мы сталкиваемся с большим количеством сведений: температура воздуха, оценки за контрольную работу, время поездки, цены товаров, количество посетителей сайта, результаты спортивных соревнований.
Пока таких сведений мало, их можно просто перечислить. Но если значений десятки, сотни или тысячи, простой список становится неудобным. Информацию приходится упорядочивать.
Данные
Данные - это сведения, полученные в результате наблюдений, измерений, подсчётов, опросов или других способов получения информации.
Статистика
В школьном курсе под статистикой мы будем понимать методы сбора, представления, обработки и анализа данных. Слово «статистика» также может употребляться для обозначения самих числовых сведений о каком-либо явлении.
Например, результаты опроса 100 человек - это данные. Таблица с результатами опроса - способ представить эти данные, а выводы, сделанные после их обработки, относятся к анализу данных.
Представление данных в таблице
Таблица позволяет расположить сведения по определённым правилам так, чтобы их было удобно находить, сравнивать и использовать для вычислений.
Таблица
Таблица - способ упорядоченного представления данных в строках и столбцах.
Строка
Горизонтальная последовательность ячеек таблицы. Обычно одна строка содержит сведения об одном объекте или одном наблюдении.
Столбец
Вертикальная последовательность ячеек. Обычно столбец содержит значения одного признака.
Ячейка
Место пересечения строки и столбца, в котором находится отдельное значение или запись.
Пример
Проведён небольшой опрос 40 обучающихся. Их спросили, какой вид учебного материала они чаще выбирают для самостоятельной работы.
| Вид учебного материала | Количество обучающихся | Доля от всех опрошенных | Что показывает строка |
|---|---|---|---|
| Видео | 16 | 40 % | 16 из 40 обучающихся выбрали видео. |
| Текстовый материал | 10 | 25 % | 10 из 40 обучающихся предпочитают текст. |
| Интерактивные задания | 8 | 20 % | Интерактив выбрали 8 обучающихся. |
| Презентации | 6 | 15 % | Презентации выбрали 6 обучающихся. |
| Всего | 40 | 100 % | Сумма всех ответов. |
Проверим таблицу: 16 + 10 + 8 + 6 = 40. Значит, число ответов совпадает с общим количеством опрошенных.
Как правильно читать таблицу
Не начинайте сразу с отдельных чисел. Сначала разберитесь, что показывает таблица в целом.
Алгоритм чтения таблицы
Используйте четыре последовательных шага.
1
Прочитайте название или описание
Определите, какие данные представлены и к какой ситуации они относятся.
2
Прочитайте заголовки столбцов
Выясните, что означает каждый столбец и в каких единицах записаны величины.
3
Найдите нужную строку
Определите объект или категорию, о которой задан вопрос.
4
Найдите пересечение строки и столбца
Именно в этой ячейке находится искомое значение.
Всегда проверяйте единицы измерения.
Число 15 может означать 15 человек, 15 процентов, 15 тысяч рублей, 15 минут и множество других величин. Без заголовка столбца число может быть понято неправильно.
Что такое диаграмма
Диаграмма
Диаграмма - наглядный способ графического представления данных, который помогает увидеть соотношение, структуру или изменение величин.
Таблица обычно удобнее, когда нужно узнать точное значение. Диаграмма особенно полезна, когда нужно быстро сравнить несколько величин или увидеть общую картину.
Столбчатая диаграмма
Значения изображаются столбцами. Чем больше значение, тем выше или длиннее соответствующий столбец.
Круговая диаграмма
Круг разделяется на части. Такой вид особенно удобен, когда показывается, из каких долей состоит одно целое.
Линейная диаграмма
Последовательные значения соединяются линией. Так удобно показывать изменение величины во времени.
Один и тот же набор данных иногда можно представить несколькими способами. Выбор диаграммы зависит от того, какой вопрос мы хотим исследовать.
От таблицы к столбчатой диаграмме
Построим диаграмму по тем же данным опроса 40 обучающихся. Каждому виду учебного материала соответствует один столбец.
Что видно на диаграмме
Самый высокий столбец соответствует видео. Его высота показывает значение 16.
Второй по высоте столбец соответствует текстовым материалам - 10 человек.
Интерактивные задания выбрали 8 человек, а презентации - 6.
Все значения диаграммы точно совпадают с исходной таблицей: 16, 10, 8 и 6.
По диаграмме быстрее заметить, какой вариант наиболее популярен. По таблице удобнее точно прочитать каждое число и долю в процентах.
Очень важно: диаграмма не создаёт новые данные. Она лишь представляет уже имеющиеся значения в более наглядной форме.
Как выбрать вид диаграммы
Перед построением диаграммы сформулируйте вопрос, на который она должна помочь ответить.
Нужно сравнить категории
Часто удобно использовать столбчатую диаграмму. Например, сравнить количество книг, прочитанных четырьмя учениками.
Нужно показать части целого
Подходит круговая диаграмма. Например, показать, какую долю бюджета составляют разные статьи расходов.
Нужно показать изменение
Часто используют линейную диаграмму. Например, показать изменение температуры по дням недели.
Не выбирайте диаграмму только потому, что она выглядит красивее. Главное - чтобы выбранный способ помогал правильно увидеть смысл данных.
Подробно разобранные примеры
Пример 1. Читаем таблицу
По данным опроса определите, на сколько больше обучающихся выбрали видео, чем презентации.
1
Найдём первое значение
Видео выбрали 16 обучающихся.
2
Найдём второе значение
Презентации выбрали 6 обучающихся.
3
Найдём разницу
16 - 6 = 10.
4
Запишем ответ словами
Видео выбрали на 10 обучающихся больше, чем презентации.
Пример 2. Какую диаграмму выбрать?
Известна температура воздуха в 8:00 каждый день в течение недели. Как лучше показать её изменение?
1
Определим характер данных
Значения записаны последовательно по дням, то есть связаны со временем.
2
Определим цель
Нужно увидеть, как температура менялась от одного дня к другому.
3
Выберем способ представления
Подойдёт линейная диаграмма, потому что она хорошо показывает изменение величины во времени.
Пример 3. Проверяем данные
В круговой диаграмме четыре категории имеют доли 35 %, 25 %, 20 % и 15 %. Всё ли в порядке?
1
Сложим доли
35 + 25 + 20 + 15 = 95 %.
2
Сравним с целым
Если четыре категории составляют всё целое, сумма должна быть равна 100 %.
3
Сделаем вывод
Не хватает 5 %. Значит, либо одна категория пропущена, либо в исходных данных или процентах есть ошибка.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Читать число без заголовка
Нельзя делать вывод только по числу. Сначала нужно определить, что оно означает и в каких единицах измеряется.
Ошибка 2. Путать строку и столбец
Строка идёт горизонтально, столбец - вертикально. Искомое значение находится на их пересечении.
Ошибка 3. Сравнивать только внешний вид столбцов
Нужно учитывать шкалу диаграммы. Один и тот же визуальный перепад может соответствовать совершенно разным числам.
Ошибка 4. Использовать круговую диаграмму для несвязанных долей
Круговая диаграмма наиболее понятна тогда, когда категории являются частями одного целого.
Ошибка 5. Считать диаграмму отдельным источником данных
Диаграмма представляет исходные данные графически. Значения должны согласовываться с таблицей или другим источником.
Ошибка 6. Делать вывод без проверки
Полезно проверять суммы, проценты и единицы измерения. Такая проверка помогает заметить ошибки в исходных сведениях.
Практические задания
Сначала выполните задания самостоятельно. После этого раскройте решение и сравните ход рассуждений.
Задание 1. Прочитайте таблицу
Используйте таблицу опроса 40 обучающихся и ответьте:
- какой вид материала выбрало больше всего человек;
- какой вид материала выбрало меньше всего человек;
- сколько человек выбрали текстовый материал и интерактив вместе;
- на сколько человек больше выбрали текст, чем презентации.
Открыть решение
- Видео - 16 человек.
- Презентации - 6 человек.
- 10 + 8 = 18 человек.
- 10 - 6 = 4 человека.
Задание 2. Выберите способ представления
Какой вид диаграммы вы выбрали бы в каждой ситуации?
- изменение курса валюты по месяцам;
- распределение семейного бюджета по основным статьям расходов;
- сравнение количества учащихся в четырёх классах.
Открыть ответ
- Линейная диаграмма - нужно показать изменение во времени.
- Круговая диаграмма - нужно показать доли одного целого.
- Столбчатая диаграмма - нужно сравнить несколько категорий.
Задание 3. Проверьте проценты
В опросе получили доли 28 %, 32 %, 25 % и 15 %. Могут ли эти четыре категории составлять все ответы?
Открыть решение
Складываем: 28 + 32 + 25 + 15 = 100 %.
Да. Если категории не пересекаются и каждый участник относится ровно к одной категории, эти доли могут составлять все ответы.
Задание 4. Найдите ошибку в выводе
На столбчатой диаграмме один столбец выше другого. Ученик сказал: «Первое значение ровно в два раза больше второго». Можно ли сделать такой вывод только по внешнему виду?
Открыть решение
Нет. Сначала нужно посмотреть на числовую шкалу и точные значения. Высота столбцов позволяет сравнивать величины, но соотношение «в два раза» необходимо подтверждать числами.
Задание 5. Создайте свою таблицу
Запишите количество минут, которые вы потратили на самостоятельное обучение в течение пяти последних учебных дней. Составьте таблицу из двух столбцов: «День» и «Время, минут».
Открыть пример оформления
Ваши значения будут индивидуальными. Например:
- понедельник - 35 минут;
- вторник - 45 минут;
- среда - 30 минут;
- четверг - 50 минут;
- пятница - 40 минут.
Для показа изменения времени по дням удобно использовать линейную или столбчатую диаграмму.
Небольшая самостоятельная работа
Выполните без возвращения к теории. За каждый полностью правильный ответ начислите себе один балл.
Итоговая проверка
- Что называют данными?
- Для чего используют таблицу?
- Что называют строкой таблицы?
- Что называют столбцом таблицы?
- Для чего используется диаграмма?
- Какую диаграмму удобно использовать для сравнения нескольких категорий?
- Какой вид диаграммы часто используют для отображения изменения величины во времени?
- Что необходимо проверить перед тем, как делать вывод по числу из таблицы?
Открыть ответы и критерии
- Сведения, полученные в результате наблюдений, измерений, подсчётов, опросов и других способов получения информации.
- Для упорядоченного представления данных, их поиска, сравнения и анализа.
- Горизонтальную последовательность ячеек.
- Вертикальную последовательность ячеек.
- Для наглядного графического представления данных.
- Столбчатую.
- Линейную.
- Нужно определить смысл показателя и единицы измерения.
8 баллов - материал усвоен уверенно. 6-7 баллов - повторите выбор вида диаграммы и устройство таблицы. 4-5 баллов - ещё раз разберите теоретическую часть и примеры. 0-3 балла - рекомендуется пройти урок повторно.
Видео по теме урока
Основное видео знакомит с описательной статистикой и способами представления данных. Для первого урока особенно важно обратить внимание на таблицы, столбчатые и круговые диаграммы. Дополнительное видео отдельно посвящено представлению данных в таблицах.
Основное видео Rutube - материал по описательной статистике. В нём рассматриваются способы описания данных, в том числе таблицы и диаграммы. Часть материала относится к последующим урокам.
Открыть видео на Rutube
Основное видео рассматривает описательную статистику шире первого урока. Среднее арифметическое, медиану, размах, дисперсию и стандартное отклонение подробно изучать сейчас не нужно: им посвящены следующие уроки раздела.
Презентация
Презентация для 10 класса посвящена именно теме «Представление данных с помощью таблиц и диаграмм» и помогает дополнительно потренироваться в чтении и анализе данных.
На что обратить внимание
- зачем большие массивы данных представляют в таблицах;
- как по таблице находить нужные значения;
- как сравнивать несколько показателей;
- как таблица преобразуется в наглядную диаграмму;
- какие выводы можно сделать по представленным данным.
Интерактив
После изучения основных видов диаграмм выполните интерактивное упражнение и потренируйтесь узнавать диаграммы по их внешнему виду.
Как выполнять
- внимательно рассмотрите форму представления данных;
- определите, какие элементы используются - столбцы, круговые секторы или линии;
- сопоставьте изображение с названием диаграммы;
- после ошибки вернитесь к разделу «Что такое диаграмма»;
- выполните упражнение повторно без подсказок.
Вопросы для самопроверки
Сначала сформулируйте ответ самостоятельно. После этого раскройте правильный ответ.
01 Что называют данными?
Ответ: данные - это сведения, полученные в результате наблюдений, измерений, подсчётов, опросов или других способов получения информации.
02 Зачем данные представляют в таблицах?
Ответ: таблица помогает упорядочить сведения, быстро находить нужные значения, сравнивать их и выполнять дальнейший анализ.
03 Чем строка таблицы отличается от столбца?
Ответ: строка располагается горизонтально, а столбец - вертикально.
04 Что называют диаграммой?
Ответ: диаграмма - наглядный способ графического представления данных, позволяющий увидеть их соотношение, структуру или изменение.
05 Когда удобно использовать столбчатую диаграмму?
Ответ: когда нужно наглядно сравнить значения нескольких категорий или объектов.
06 Когда особенно удобна круговая диаграмма?
Ответ: когда нужно показать, из каких долей или частей состоит одно целое.
07 Почему перед анализом диаграммы важно посмотреть на её шкалу?
Ответ: шкала показывает, каким числовым значениям соответствует положение или высота элементов диаграммы. Без неё можно неверно оценить различие между величинами.
Главное по уроку
Данные - это сведения, полученные в результате наблюдений, измерений, подсчётов, опросов и других способов получения информации.
Таблица представляет данные в строках и столбцах и позволяет быстро находить, сравнивать и анализировать значения.
Строка таблицы располагается горизонтально, столбец - вертикально, а отдельное значение находится в ячейке.
При чтении таблицы обязательно учитывают заголовки и единицы измерения.
Диаграмма представляет данные графически и помогает увидеть их соотношение или изменение.
Столбчатая диаграмма удобна для сравнения категорий.
Круговая диаграмма удобна для показа частей одного целого.
Линейная диаграмма часто используется для отображения изменения величины во времени.
Диаграмма должна точно соответствовать исходным данным, а её выбор зависит от задачи анализа.
Следующий урок - «Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах».
02 Урок 2 Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах Открыть урок Свернуть урок
Урок 2. Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах
На прошлом уроке мы научились представлять данные в таблицах и диаграммах. Теперь научимся описывать целый числовой набор несколькими важными характеристиками. Разберём среднее арифметическое, медиану, наибольшее и наименьшее значения и размах. Эти характеристики позволяют быстро понять, около каких значений сосредоточены данные и насколько широко они разбросаны.
35
минут основной работы
Что вы изучите
После урока вы сможете находить основные числовые характеристики набора данных и объяснять, что каждая из них показывает.
Среднее арифметическое
Научитесь вычислять среднее значение числового набора и понимать его смысл.
Медиана
Научитесь находить центральное значение в упорядоченном ряду при нечётном и чётном количестве данных.
Размах
Научитесь находить наименьшее и наибольшее значения и определять расстояние между ними.
Важно:
эти характеристики отвечают на разные вопросы. Среднее и медиана помогают описывать центральную часть данных, а наименьшее, наибольшее значения и размах характеризуют границы и разброс набора.
Что такое числовой набор
Числовой набор
Числовой набор - совокупность числовых значений, которые рассматриваются вместе как данные некоторого наблюдения, измерения или исследования.
Например, результаты семи небольших тестов могут быть такими:
4, 6, 7, 7, 8, 10, 14
Это числовой набор из семи значений.
В этом наборе числа уже расположены по возрастанию: каждое следующее значение не меньше предыдущего.
Упорядоченный ряд
Упорядоченный ряд - числовой набор, значения которого записаны в определённом порядке, обычно по возрастанию или по убыванию.
Для вычисления среднего арифметического порядок чисел не имеет значения. Для правильного нахождения медианы числа сначала обязательно нужно упорядочить.
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое
Среднее арифметическое числового набора - это сумма всех его значений, делённая на количество этих значений.
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
x̄ читается «икс с чертой» и обозначает среднее арифметическое; x₁, x₂, ..., xₙ - отдельные значения набора; n - количество значений.
Символ
x̄
является обозначением среднего значения. Черта над буквой x показывает, что речь идёт не об одном отдельном значении x, а о среднем значении всего рассматриваемого набора.
Пример. Находим среднее арифметическое
Найдём среднее арифметическое набора 4, 6, 7, 7, 8, 10, 14.
1
Складываем все значения
4 + 6 + 7 + 7 + 8 + 10 + 14 = 56.
2
Считаем количество значений
В наборе семь чисел, поэтому n = 7.
3
Делим сумму на количество
56 / 7 = 8.
4
Записываем ответ
Среднее арифметическое данного набора равно 8.
Среднее арифметическое не обязано совпадать с одним из исходных значений. Например, среднее чисел 4 и 7 равно 5,5, хотя числа 5,5 в исходном наборе нет.
Как понимать среднее арифметическое
Среднее арифметическое можно представить как результат «выравнивания» всех значений.
Например, три ученика прочитали за неделю 2, 4 и 6 глав книги. Всего прочитано:
2 + 4 + 6 = 12
Если мысленно распределить 12 прочитанных глав между тремя учениками поровну, получится:
12 / 3 = 4
Среднее число прочитанных глав равно 4.
Такое объяснение удобно для понимания смысла среднего, но в реальных задачах среднее не означает, что каждый объект действительно имеет именно это значение.
Медиана числового набора
Медиана
Медиана - характеристика центрального положения данных. Чтобы найти медиану, сначала нужно расположить значения по возрастанию.
Главное правило:
нельзя искать медиану в неупорядоченной последовательности. Сначала расположите числа от меньшего к большему.
Если количество значений нечётное
Возьмём уже знакомый набор:
4, 6, 7, 7, 8, 10, 14
Здесь семь чисел. Центральным является четвёртое число:
Me = 7
Me - принятое сокращённое обозначение медианы. Читаем: «медиана равна семи».
Почему медиана равна 7
Всего в наборе семь значений. После упорядочивания центральное место занимает четвёртое значение.
Перед ним находятся три значения: 4, 6, 7.
После него находятся три значения: 8, 10, 14.
Поэтому медиана этого набора равна 7.
Медиана при чётном количестве значений
Если количество значений чётное, одного центрального числа нет. Тогда используют два центральных значения.
Пример
Найдём медиану набора 3, 5, 8, 10.
1
Проверяем порядок
Числа уже расположены по возрастанию: 3, 5, 8, 10.
2
Находим два центральных значения
Это числа 5 и 8.
3
Находим их среднее арифметическое
(5 + 8) / 2 = 6,5.
4
Записываем медиану
Me = 6,5.
Итак: если количество значений нечётное, медиана - одно центральное значение. Если количество значений чётное, медиана находится как среднее арифметическое двух центральных значений.
Наименьшее и наибольшее значения
Наименьшее значение
Самое маленькое число в рассматриваемом наборе данных.
Наибольшее значение
Самое большое число в рассматриваемом наборе данных.
Размах
Разность между наибольшим и наименьшим значениями набора.
Для набора 4, 6, 7, 7, 8, 10, 14 наименьшее значение равно 4, а наибольшее - 14.
Встречающиеся в математике сокращения
min
и
max
происходят от английских слов minimum - «минимум» и maximum - «максимум». Они обозначают соответственно наименьшее и наибольшее значения.
Размах числового набора
Размах
Размах - разность между наибольшим и наименьшим значениями числового набора.
R = max - min
R - обозначение размаха; max - наибольшее значение; min - наименьшее значение.
Пример. Находим размах
Рассмотрим набор 4, 6, 7, 7, 8, 10, 14.
1
Находим наименьшее значение
min = 4.
2
Находим наибольшее значение
max = 14.
3
Вычитаем
R = 14 - 4 = 10.
4
Формулируем вывод
Размах набора равен 10.
Размах показывает общую ширину интервала, в котором находятся значения, но ничего не говорит о том, как данные распределены между минимумом и максимумом.
Сравним все характеристики на одном наборе
Используем один и тот же набор: 4, 6, 7, 7, 8, 10, 14.
| Характеристика | Как находится | Значение | Что показывает |
|---|---|---|---|
| Среднее арифметическое | Сумма всех значений делится на их количество | 8 | Усреднённый уровень значений набора |
| Медиана | Центральное значение упорядоченного ряда | 7 | Центр упорядоченного набора |
| Наименьшее значение | Самое маленькое число | 4 | Нижняя граница фактических данных |
| Наибольшее значение | Самое большое число | 14 | Верхняя граница фактических данных |
| Размах | Наибольшее минус наименьшее | 10 | Расстояние между крайними значениями |
Почему среднее и медиана могут отличаться
Рассмотрим набор:
5, 6, 6, 7, 30
Медиана равна 6, потому что число 6 находится посередине упорядоченного ряда.
Среднее арифметическое:
(5 + 6 + 6 + 7 + 30) / 5 = 54 / 5 = 10,8
Среднее получилось значительно больше медианы из-за одного большого значения 30.
Выброс
Выброс - значение, которое заметно отличается от большинства остальных значений набора. В школьных задачах этот термин помогает описать необычно большое или необычно маленькое наблюдение.
Среднее арифметическое чувствительно к очень большим или очень маленьким значениям. Медиана обычно изменяется меньше, если одно крайнее значение сильно отличается от остальных.
Универсальный алгоритм
Если в задаче требуется найти сразу все изученные сегодня характеристики, удобно действовать в одном порядке.
Порядок действий
1
Упорядочьте числа
Запишите значения по возрастанию.
2
Найдите минимум и максимум
После упорядочивания это первое и последнее значения.
3
Найдите размах
Вычтите минимум из максимума.
4
Найдите медиану
Определите центральное значение или среднее двух центральных значений.
5
Найдите среднее арифметическое
Сложите все значения и разделите сумму на их количество.
6
Проверьте результат
Среднее арифметическое должно находиться между наименьшим и наибольшим значениями набора.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Делить сумму не на то количество
При вычислении среднего нужно делить сумму на количество всех значений, включая повторяющиеся.
Ошибка 2. Искать медиану до упорядочивания
Центральное место имеет смысл только после расположения данных по возрастанию или убыванию.
Ошибка 3. При чётном количестве выбирать одно число
Если центральных значений два, находят их среднее арифметическое.
Ошибка 4. Вычитать минимум из максимума наоборот
Размах вычисляют как максимальное значение минус минимальное, поэтому размах не бывает отрицательным.
Ошибка 5. Считать медиану обязательно существующим уникальным числом
При чётном количестве данных медиана может не совпадать ни с одним исходным значением.
Ошибка 6. Считать среднее «типичным» во всех ситуациях
Очень большое или очень маленькое значение может заметно изменить среднее. Поэтому полезно сравнивать среднее с медианой и другими характеристиками.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно. Решение открывайте только после завершения собственных вычислений.
Задание 1. Среднее арифметическое
Найдите среднее арифметическое чисел 5, 7, 8, 10, 15.
Открыть решение
Сумма: 5 + 7 + 8 + 10 + 15 = 45.
Количество значений - 5.
Среднее: 45 / 5 = 9.
Ответ: 9.
Задание 2. Медиана при нечётном количестве
Найдите медиану набора: 12, 5, 8, 7, 10.
Открыть решение
Сначала упорядочим: 5, 7, 8, 10, 12.
Центральное, третье значение - 8.
Ответ: Me = 8.
Задание 3. Медиана при чётном количестве
Найдите медиану набора: 2, 11, 6, 8, 5, 9.
Открыть решение
Упорядочим: 2, 5, 6, 8, 9, 11.
Два центральных значения - 6 и 8.
Me = (6 + 8) / 2 = 7.
Ответ: 7.
Задание 4. Минимум, максимум и размах
Для набора 18, 11, 25, 16, 14, 20 найдите наименьшее значение, наибольшее значение и размах.
Открыть решение
Упорядочим: 11, 14, 16, 18, 20, 25.
min = 11.
max = 25.
R = 25 - 11 = 14.
Задание 5. Все характеристики
Для набора 3, 5, 5, 8, 9 найдите среднее арифметическое, медиану, минимум, максимум и размах.
Открыть подробное решение
Набор уже упорядочен: 3, 5, 5, 8, 9.
Сумма: 3 + 5 + 5 + 8 + 9 = 30.
Среднее: 30 / 5 = 6.
Медиана - центральное третье значение: Me = 5.
min = 3.
max = 9.
R = 9 - 3 = 6.
Небольшая самостоятельная работа
Для набора 2, 4, 5, 7, 7, 9, 15 найдите все изученные характеристики.
Итоговая задача
- Найдите сумму значений.
- Найдите среднее арифметическое.
- Найдите медиану.
- Укажите наименьшее значение.
- Укажите наибольшее значение.
- Найдите размах.
Открыть ответы и критерии
- 2 + 4 + 5 + 7 + 7 + 9 + 15 = 49.
- Среднее арифметическое: 49 / 7 = 7.
- Медиана: Me = 7.
- min = 2.
- max = 15.
- R = 15 - 2 = 13.
6 правильных пунктов - материал усвоен уверенно. 5 правильных - повторите один из алгоритмов. 3-4 правильных - ещё раз разберите медиану и среднее. 0-2 правильных - рекомендуется повторно пройти теоретическую часть.
Видео по теме урока
Основное видео последовательно разбирает среднее арифметическое, размах и медиану. Дополнительное видео помогает ещё раз понять смысл среднего арифметического и медианы.
Основное видео Rutube - «Мода, размах, медиана, среднее арифметическое». Для этого урока особенно внимательно изучите части о среднем арифметическом, размахе и медиане.
Открыть видео на Rutube
В видео может дополнительно встречаться понятие «мода». Оно не является основной темой этого урока. Сейчас сосредоточьтесь на среднем арифметическом, медиане, минимальном и максимальном значениях и размахе.
Презентация
Презентация для 10 класса полностью соответствует теме урока и содержит определения и примеры вычисления основных статистических характеристик.
На что обратить внимание
- правило вычисления среднего арифметического;
- необходимость упорядочивать набор перед поиском медианы;
- два случая нахождения медианы - нечётное и чётное количество значений;
- определение наибольшего и наименьшего значений;
- вычисление размаха как разности максимума и минимума.
Интерактив
Интерактивное упражнение поможет проверить, насколько уверенно вы находите среднее арифметическое, медиану и размах числового набора.
Как выполнять
- внимательно определите, какую характеристику требуется найти;
- для медианы сначала упорядочивайте числа;
- для среднего проверяйте количество значений;
- для размаха найдите максимум и минимум;
- после ошибки вернитесь к соответствующему алгоритму в уроке.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно. После этого раскройте ответ и сравните формулировки.
01 Что называют средним арифметическим числового набора?
Ответ: сумму всех значений набора, делённую на количество этих значений.
02 Что необходимо сделать с данными перед нахождением медианы?
Ответ: расположить значения в порядке возрастания или убывания.
03 Как найти медиану при нечётном количестве значений?
Ответ: после упорядочивания нужно выбрать одно значение, находящееся посередине ряда.
04 Как найти медиану при чётном количестве значений?
Ответ: найти два центральных значения упорядоченного ряда и вычислить их среднее арифметическое.
05 Что называют размахом?
Ответ: разность между наибольшим и наименьшим значениями набора.
06 Может ли среднее арифметическое не совпадать ни с одним значением набора?
Ответ: да. Например, среднее чисел 4 и 7 равно 5,5, хотя значения 5,5 в исходном наборе нет.
07 Почему среднее арифметическое и медиана одного набора могут заметно различаться?
Ответ: одно очень большое или очень маленькое значение может заметно изменить среднее арифметическое, тогда как положение медианы в упорядоченном ряду может измениться значительно меньше.
Главное по уроку
Среднее арифметическое находят так: складывают все значения и делят сумму на количество значений.
Среднее арифметическое может не совпадать ни с одним исходным значением.
Медиану находят только после упорядочивания числового набора.
При нечётном количестве значений медиана является центральным значением ряда.
При чётном количестве значений медиану находят как среднее арифметическое двух центральных значений.
Наименьшее значение - самое маленькое число набора.
Наибольшее значение - самое большое число набора.
Размах равен разности между наибольшим и наименьшим значениями.
Среднее и медиана описывают центральное положение данных, но могут отличаться друг от друга, особенно если в наборе есть очень большое или очень маленькое значение.
Следующий урок - «Дисперсия и стандартное отклонение числового набора».
03 Урок 3 Дисперсия и стандартное отклонение числового набора Открыть урок Свернуть урок
Урок 3. Дисперсия и стандартное отклонение числового набора
Этот урок посвящён измерению разброса данных. Мы не будем начинать сразу со сложной формулы. Сначала вспомним среднее арифметическое, затем разберём, что такое отклонение каждого числа от среднего, зачем отклонения возводят в квадрат, и только после этого введём понятия дисперсии и стандартного отклонения. Все новые буквы и математические знаки будут поясняться отдельно.
35
минут основной работы
Что вы изучите
После урока вы сможете объяснить смысл отклонения от среднего, вычислять дисперсию и стандартное отклонение простого числового набора и использовать их для сравнения разброса данных.
Отклонение
Поймёте, как измерить расстояние конкретного значения от среднего арифметического.
Дисперсия
Научитесь вычислять среднее арифметическое квадратов отклонений.
Стандартное отклонение
Разберётесь, зачем из дисперсии извлекают квадратный корень.
Рекомендуемый порядок:
не переходите сразу к формуле дисперсии. Сначала убедитесь, что понимаете среднее арифметическое, отрицательные числа, возведение в квадрат и квадратный корень. Все эти понятия ниже кратко повторяются.
Сначала вспомним среднее арифметическое
Среднее арифметическое мы изучали на предыдущем уроке. Оно потребуется почти в каждом вычислении этого урока.
Напоминание: среднее арифметическое
Чтобы найти среднее арифметическое числового набора, нужно сложить все значения и разделить полученную сумму на количество значений.
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
Напоминаем обозначения: x̄ читается «икс с чертой» и обозначает среднее арифметическое; x₁, x₂, ..., xₙ - отдельные значения; n - количество значений.
Нижние маленькие цифры в записях
x₁,
x₂
и так далее называются индексами. Индекс показывает порядковый номер значения: x₁ - первое значение, x₂ - второе.
Быстрое повторение
Найдём среднее арифметическое чисел 2, 2, 6, 6.
1
Складываем значения
2 + 2 + 6 + 6 = 16.
2
Считаем количество
Значений четыре, поэтому n = 4.
3
Делим
x̄ = 16 / 4 = 4.
Зачем нужны новые характеристики
Среднего арифметического не всегда достаточно для описания данных.
Рассмотрим два набора:
A: 4, 4, 4, 4
B: 2, 2, 6, 6
Среднее арифметическое обоих наборов равно 4.
Но сами наборы устроены совершенно по-разному. В наборе A все числа равны 4. В наборе B каждое число находится на расстоянии 2 от среднего значения 4.
Разброс данных
Разброс данных показывает, насколько значения числового набора удалены друг от друга или от некоторого центрального значения, например от среднего арифметического.
Именно для более точного измерения разброса вводятся дисперсия и стандартное отклонение.
Отклонение от среднего арифметического
Отклонение
Отклонение отдельного значения от среднего арифметического - это разность между этим значением и средним арифметическим всего набора.
xᵢ - x̄
xᵢ обозначает некоторое значение набора. Буква i читается «и» и здесь означает номер рассматриваемого значения. x̄ - среднее арифметическое.
Если значение меньше среднего, отклонение получается отрицательным. Если больше среднего - положительным. Если значение совпадает со средним, отклонение равно нулю.
Напоминание об отрицательных числах: знак «-» перед числом показывает, что число меньше нуля. Например,
-2
читается «минус два».
Пример
Для набора 2, 2, 6, 6 среднее равно 4. Найдём отклонения.
1
Первое значение
2 - 4 = -2.
2
Второе значение
2 - 4 = -2.
3
Третье значение
6 - 4 = 2.
4
Четвёртое значение
6 - 4 = 2.
Получили набор отклонений:
-2, -2, 2, 2
.
Их сумма равна нулю:
-2 - 2 + 2 + 2 = 0
.
Почему нельзя просто усреднить отклонения
Может показаться, что для измерения разброса достаточно найти среднее арифметическое отклонений.
Но положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируются. Для нашего примера:
(-2 - 2 + 2 + 2) / 4 = 0
Ноль создаёт ложное впечатление, будто разброса нет, хотя значения 2 и 6 заметно отличаются от среднего 4.
Поэтому отклонения возводят в квадрат.
Квадрат числа
Возвести число в квадрат означает умножить его само на себя. Например, 3² = 3 · 3 = 9.
Маленькая цифра
²
справа сверху называется показателем степени и в данном случае читается «в квадрате».
(-2)² = (-2) · (-2) = 4
2² = 2 · 2 = 4
Обратите внимание: квадрат отрицательного числа положителен. Поэтому после возведения отклонений в квадрат отрицательные и положительные отклонения уже не уничтожают друг друга.
Дисперсия числового набора
Дисперсия
Дисперсия числового набора - среднее арифметическое квадратов отклонений значений от среднего арифметического.
Проще запомнить так: дисперсия - это средний квадрат отклонений от среднего значения.
S² = ((x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²) / n
Разберём каждый символ
- S² - дисперсия числового набора. Читается «эс в квадрате».
- x₁, x₂, ..., xₙ - отдельные значения числового набора.
- x̄ - среднее арифметическое набора.
- (xᵢ - x̄) - отклонение конкретного значения от среднего.
- ² - возведение полученного отклонения в квадрат.
- n - общее количество значений.
Не нужно пытаться запомнить длинную формулу как набор символов. Гораздо важнее запомнить алгоритм: среднее → отклонения → квадраты отклонений → среднее этих квадратов.
Вычисляем дисперсию пошагово
Возьмём уже знакомый набор: 2, 2, 6, 6. Его среднее арифметическое равно 4.
| Значение xᵢ | Среднее x̄ | Отклонение xᵢ - x̄ | Квадрат отклонения (xᵢ - x̄)² |
|---|---|---|---|
| 2 | 4 | -2 | 4 |
| 2 | 4 | -2 | 4 |
| 6 | 4 | 2 | 4 |
| 6 | 4 | 2 | 4 |
| Итого | - | 0 | 16 |
Последний шаг
Теперь найдём среднее арифметическое квадратов отклонений.
1
Складываем квадраты отклонений
4 + 4 + 4 + 4 = 16.
2
Делим на количество значений
Значений четыре, поэтому 16 / 4 = 4.
3
Записываем дисперсию
S² = 4.
Стандартное отклонение
У дисперсии есть одна особенность. Мы вычисляли её с помощью квадратов отклонений, поэтому единицы измерения тоже оказались возведены в квадрат.
Например, если исходные данные измеряются в сантиметрах, дисперсия формально получается в квадратных сантиметрах.
Чтобы вернуться к исходной размерности, из дисперсии извлекают квадратный корень.
Квадратный корень
Квадратный корень из неотрицательного числа a - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.
Символ
√
называется знаком квадратного корня, или радикалом. Запись
√16
читается «квадратный корень из шестнадцати».
Стандартное отклонение
Стандартное отклонение числового набора - квадратный корень из его дисперсии.
S = √(S²)
S - стандартное отклонение; S² - дисперсия.
Продолжаем наш пример
Для набора 2, 2, 6, 6 мы получили дисперсию S² = 4.
1
Извлекаем квадратный корень
S = √4.
2
Находим значение
√4 = 2, потому что 2² = 4.
3
Записываем результат
Стандартное отклонение S = 2.
Что делать, если квадратный корень не является целым числом
Не из каждого числа квадратный корень выражается целым числом.
Например:
√2 ≈ 1,41
Знак ≈
Знак ≈ читается «приблизительно равно». Его используют, когда число записано не точно, а с округлением.
Например,
√2 ≈ 1,41
означает, что значение квадратного корня из 2 приблизительно равно 1,41.
Как понимать дисперсию и стандартное отклонение
Разброса нет
Если все значения одинаковы, все отклонения равны нулю. Дисперсия и стандартное отклонение тоже равны нулю.
Небольшое отклонение
Чем ближе значения к среднему, тем меньше обычно дисперсия и стандартное отклонение.
Большой разброс
Чем дальше значения находятся от среднего, тем больше становятся квадраты отклонений и характеристики разброса.
Что показывает рисунок
У обоих наборов среднее арифметическое равно 4.
В наборе A все четыре значения совпадают со средним, поэтому стандартное отклонение равно 0.
В наборе B значения расположены по обе стороны от среднего на расстоянии 2, поэтому стандартное отклонение равно 2.
Следовательно, одного среднего значения недостаточно для описания разброса данных.
Алгоритм вычисления дисперсии и стандартного отклонения
Пользуйтесь этим порядком действий в каждой задаче.
Шесть последовательных шагов
1
Найдите среднее арифметическое
Сложите все значения и разделите сумму на их количество.
2
Найдите отклонение каждого значения
Из каждого значения вычтите среднее арифметическое.
3
Возведите каждое отклонение в квадрат
Умножьте каждое отклонение само на себя.
4
Сложите квадраты отклонений
Получите одну общую сумму.
5
Найдите дисперсию
Разделите сумму квадратов отклонений на количество значений.
6
Найдите стандартное отклонение
Извлеките квадратный корень из дисперсии.
Ещё один полностью разобранный пример
Найдём дисперсию и стандартное отклонение набора: 3, 3, 2, 4.
1
Среднее арифметическое
(3 + 3 + 2 + 4) / 4 = 12 / 4 = 3.
2
Отклонения
3 - 3 = 0; 3 - 3 = 0; 2 - 3 = -1; 4 - 3 = 1.
3
Квадраты отклонений
0² = 0; 0² = 0; (-1)² = 1; 1² = 1.
4
Дисперсия
S² = (0 + 0 + 1 + 1) / 4 = 2 / 4 = 0,5.
5
Стандартное отклонение
S = √0,5 ≈ 0,71.
Здесь использован знак
≈,
потому что квадратный корень из 0,5 записан с округлением до сотых.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Не найти среднее первым
Отклонения вычисляются именно от среднего арифметического, поэтому сначала обязательно находят x̄.
Ошибка 2. Вычитать в обратном порядке
Отклонение записывают как значение минус среднее: xᵢ - x̄.
Ошибка 3. Потерять знак минус
Если значение меньше среднего, отклонение отрицательно. Знак нужно сохранить до возведения в квадрат.
Ошибка 4. Неправильно возвести отрицательное число в квадрат
Например, (-3)² = 9, а не -9.
Ошибка 5. Перепутать дисперсию и стандартное отклонение
S² - дисперсия. S - стандартное отклонение, то есть квадратный корень из дисперсии.
Ошибка 6. Забыть разделить на количество значений
Сумма квадратов отклонений ещё не является дисперсией. Нужно разделить её на n.
Практические задания
Выполняйте вычисления по шагам. Если тема новая или давно забыта, удобно выписывать четыре строки: значения, среднее, отклонения, квадраты отклонений.
Задание 1. Найдите отклонения
Дан набор 2, 4, 6. Найдите среднее арифметическое и отклонение каждого значения от среднего.
Открыть решение
Среднее: (2 + 4 + 6) / 3 = 4.
Отклонения: 2 - 4 = -2; 4 - 4 = 0; 6 - 4 = 2.
Ответ: -2, 0, 2.
Задание 2. Возведите отклонения в квадрат
Для отклонений -3, -1, 1, 3 найдите квадраты.
Открыть решение
(-3)² = 9; (-1)² = 1; 1² = 1; 3² = 9.
Ответ: 9, 1, 1, 9.
Задание 3. Найдите дисперсию
Дан набор 1, 1, 5, 5.
Открыть подробное решение
Среднее: (1 + 1 + 5 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.
Отклонения: -2, -2, 2, 2.
Квадраты: 4, 4, 4, 4.
Дисперсия: S² = 16 / 4 = 4.
Ответ: S² = 4.
Задание 4. Найдите стандартное отклонение
Дисперсия некоторого числового набора равна 9. Найдите стандартное отклонение.
Открыть решение
S = √9 = 3.
Ответ: S = 3.
Задание 5. Сравните два набора
Набор A имеет стандартное отклонение 1,2, а набор B - 4,5. В каком наборе значения в целом сильнее разбросаны относительно среднего?
Открыть ответ
В наборе B стандартное отклонение больше: 4,5 > 1,2.
Значит, значения набора B в целом сильнее разбросаны относительно своего среднего.
Небольшая самостоятельная работа
Найдите дисперсию и стандартное отклонение набора: 2, 4, 4, 6.
Итоговая задача
- Найдите среднее арифметическое.
- Найдите четыре отклонения от среднего.
- Возведите отклонения в квадрат.
- Найдите сумму квадратов отклонений.
- Найдите дисперсию.
- Найдите стандартное отклонение и округлите до сотых.
Открыть ответы и критерии
- x̄ = (2 + 4 + 4 + 6) / 4 = 16 / 4 = 4.
- Отклонения: -2, 0, 0, 2.
- Квадраты: 4, 0, 0, 4.
- Сумма квадратов: 4 + 0 + 0 + 4 = 8.
- S² = 8 / 4 = 2.
- S = √2 ≈ 1,41.
6 правильных пунктов - тема усвоена уверенно. 4-5 - повторите формулу и алгоритм. 2-3 - ещё раз разберите таблицу вычисления. 0-1 - рекомендуется повторить урок начиная с понятия отклонения.
Видео по теме урока
Основное видео последовательно объясняет дисперсию и стандартное отклонение и показывает применение формул. Дополнительное видео рассматривает отклонение, дисперсию и стандартное отклонение другим способом.
Основное видео Rutube - «Элементы статистики. Дисперсия. Стандартное отклонение».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса рассматривает отклонения, их основное свойство, дисперсию и стандартное отклонение числовых наборов.
На что обратить внимание
- как находится отклонение значения от среднего;
- почему сумма обычных отклонений равна нулю;
- почему в дисперсии используются квадраты отклонений;
- как записывается S²;
- как из дисперсии получить стандартное отклонение S.
Интерактив и дополнительная тренировка
Для этой темы используем учебный материал с заданиями по дисперсии числового набора. Выполняйте его после самостоятельного решения примеров урока.
Как работать
- сначала самостоятельно найдите среднее;
- выпишите отклонения;
- проверьте знаки отрицательных отклонений;
- только затем вычисляйте квадраты;
- после ошибки вернитесь к соответствующему шагу алгоритма.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте своими словами. После этого раскройте ответ.
01 Что называют отклонением значения от среднего арифметического?
Ответ: разность между конкретным значением и средним арифметическим набора: xᵢ - x̄.
02 Почему обычные отклонения нельзя просто усреднить для измерения разброса?
Ответ: положительные и отрицательные отклонения взаимно компенсируются, поэтому их сумма равна нулю.
03 Что называют дисперсией числового набора?
Ответ: среднее арифметическое квадратов отклонений значений от их среднего арифметического.
04 Что означает запись S²?
Ответ: в этом уроке S² обозначает дисперсию числового набора. Запись читается «эс в квадрате».
05 Что называют стандартным отклонением?
Ответ: квадратный корень из дисперсии числового набора.
06 Как читается знак √?
Ответ: это знак квадратного корня. Например, √9 читается «квадратный корень из девяти».
07 Что означает знак ≈?
Ответ: знак ≈ читается «приблизительно равно» и используется при округлённой записи значения.
Главное по уроку
Перед вычислением дисперсии сначала находят среднее арифметическое x̄.
Отклонение отдельного значения записывают как xᵢ - x̄.
Отклонения могут быть отрицательными, положительными или равными нулю.
Сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю, поэтому для измерения разброса используют квадраты отклонений.
Дисперсия S² - среднее арифметическое квадратов отклонений.
Стандартное отклонение S - квадратный корень из дисперсии.
Чем меньше стандартное отклонение, тем ближе значения в целом расположены к своему среднему. Чем оно больше, тем сильнее разброс.
Если все значения набора одинаковы, дисперсия и стандартное отклонение равны нулю.
Знак √ обозначает квадратный корень, ² - возведение в квадрат, а ≈ - приближённое равенство.
Следующий урок - «Описательная статистика. Решение задач и анализ данных».
04 Урок 4 Описательная статистика. Решение задач и анализ данных Открыть урок Свернуть урок
Урок 4. Описательная статистика. Решение задач и анализ данных
Это завершающий урок первого раздела. Новые формулы почти не понадобятся: наша задача - научиться осмысленно пользоваться уже изученными инструментами. Мы повторим таблицы и диаграммы, среднее арифметическое, медиану, наименьшее и наибольшее значения, размах, дисперсию и стандартное отклонение. Все обозначения будут ещё раз пояснены, поэтому урок можно изучать самостоятельно даже после большого перерыва в занятиях математикой.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Главная цель урока - не просто уметь подставлять числа в формулы, а понимать, какую характеристику выбрать и какой вывод можно сделать по полученному результату.
Выбирать характеристику
Определять, когда требуется среднее, медиана, размах или стандартное отклонение.
Выполнять полный анализ
Последовательно вычислять несколько характеристик одного набора данных.
Делать вывод
Объяснять полученные числа обычными словами применительно к конкретной задаче.
Памятка по обозначениям раздела
Если вы забыли какую-либо букву или знак, не возвращайтесь к предыдущим урокам. Все основные обозначения собраны здесь.
| Обозначение | Как читается | Что означает | Как находится |
|---|---|---|---|
| x̄ | «икс с чертой» | Среднее арифметическое | Сумма всех значений делится на их количество |
| Me | «медиана» | Центральная характеристика упорядоченного ряда | Центральное значение или среднее двух центральных значений |
| min | «минимум» | Наименьшее значение | Самое маленькое число набора |
| max | «максимум» | Наибольшее значение | Самое большое число набора |
| R | «эр» | Размах | R = max - min |
| S² | «эс в квадрате» | Дисперсия | Среднее квадратов отклонений от среднего |
| S | «эс» | Стандартное отклонение | Квадратный корень из дисперсии |
| √ | «квадратный корень» | Знак извлечения квадратного корня | Например, √9 = 3, потому что 3² = 9 |
| ≈ | «приблизительно равно» | Приближённое равенство | Используется при округлении, например √2 ≈ 1,41 |
Напоминание:
x₁,
x₂,
x₃
и так далее обозначают отдельные значения числового набора. Маленькая цифра снизу называется индексом и показывает порядковый номер значения.
Что мы называем описательной статистикой
Описательная статистика
Описательная статистика - совокупность способов представления и числового описания данных. Она помогает кратко показать основные особенности набора: центральные значения, границы и степень разброса.
В этом разделе мы использовали два больших типа инструментов.
Наглядное представление
Таблицы, столбчатые, круговые и линейные диаграммы помогают увидеть данные и сравнить их визуально.
Центральные характеристики
Среднее арифметическое и медиана помогают описать центральную область данных.
Характеристики разброса
Минимум, максимум, размах, дисперсия и стандартное отклонение показывают, насколько данные отличаются друг от друга.
Как выбрать нужную характеристику
Перед вычислениями сначала спросите себя: «Что именно я хочу узнать о данных?»
| Что нужно узнать | Что использовать | Почему |
|---|---|---|
| Каков усреднённый уровень значений? | Среднее арифметическое | Учитывает каждое число набора |
| Где находится середина упорядоченных данных? | Медиана | Делит упорядоченный ряд примерно на две равные части |
| Каковы крайние фактические значения? | Минимум и максимум | Показывают нижнюю и верхнюю границы наблюдаемых данных |
| Насколько далеко друг от друга находятся крайние значения? | Размах | Вычисляется как max - min |
| Насколько значения в целом разбросаны относительно среднего? | Дисперсия и стандартное отклонение | Учитывают отклонение каждого значения от среднего |
| Нужно быстро сравнить категории или увидеть изменение? | Таблица или диаграмма | Наглядное представление помогает увидеть структуру данных |
В реальном анализе обычно используют не одну характеристику, а несколько. Например, среднее удобно рассматривать вместе с медианой и стандартным отклонением.
Полный анализ одного числового набора
Восемь обучающихся выполнили за тренировку следующее количество задач:
4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 10
Числа уже расположены по возрастанию. Поэтому минимум, максимум и медиану можно находить сразу.
Шаг 1. Находим среднее арифметическое
1
Складываем все значения
4 + 6 + 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 10 = 56.
2
Делим на количество значений
Значений восемь, поэтому x̄ = 56 / 8 = 7.
Шаг 2. Находим медиану
1
Количество значений чётное
В наборе восемь чисел, поэтому центральных значений два.
2
Находим два центральных числа
Четвёртое и пятое значения равны 7 и 7.
3
Находим их среднее
Me = (7 + 7) / 2 = 7.
Шаг 3. Минимум, максимум и размах
1
Минимум
min = 4.
2
Максимум
max = 10.
3
Размах
R = 10 - 4 = 6.
Продолжаем анализ: дисперсия и стандартное отклонение
Напомним: среднее арифметическое набора равно 7. Теперь сравним каждое число со средним.
| xᵢ | xᵢ - x̄ | (xᵢ - x̄)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 6 | -1 | 1 |
| 6 | -1 | 1 |
| 7 | 0 | 0 |
| 7 | 0 | 0 |
| 8 | 1 | 1 |
| 8 | 1 | 1 |
| 10 | 3 | 9 |
| Сумма | 0 | 22 |
S² = 22 / 8 = 2,75
Дисперсия равна 2,75.
S = √2,75 ≈ 1,66
Стандартное отклонение приблизительно равно 1,66 задачи.
Здесь используется школьное определение дисперсии числового набора: сумму квадратов отклонений делим на количество значений. В более продвинутых курсах статистики могут встречаться другие варианты формул, но в рамках этого курса используем именно изученный нами алгоритм.
Как сформулировать итоговый вывод
Получить числа недостаточно. Нужно объяснить их смысл словами.
| Характеристика | Значение | Интерпретация |
|---|---|---|
| Среднее арифметическое | 7 | В среднем обучающийся выполнил 7 задач |
| Медиана | 7 | Центральный уровень упорядоченных результатов также равен 7 |
| Минимум | 4 | Наименьший результат - 4 задачи |
| Максимум | 10 | Наибольший результат - 10 задач |
| Размах | 6 | Крайние результаты отличаются на 6 задач |
| Дисперсия | 2,75 | Характеризует разброс квадратов отклонений от среднего |
| Стандартное отклонение | ≈ 1,66 | Значения в целом находятся примерно в пределах нескольких задач от среднего уровня |
Правильный статистический вывод всегда связывает вычисленную характеристику с исходной ситуацией. Не пишите только «x̄ = 7». Лучше: «Среднее количество выполненных задач равно 7».
Как необычное значение влияет на среднее и медиану
Напомним термин, который уже встречался на уроке 2.
Выброс - напоминание
Выброс - значение, которое заметно отличается от большинства остальных значений набора. Само наличие необычного значения ещё не означает ошибку: причину такого результата нужно анализировать отдельно.
Изменим последний результат предыдущего набора:
4, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 30
Теперь сумма значений равна 76, поэтому:
x̄ = 76 / 8 = 9,5
Центральные значения по-прежнему 7 и 7:
Me = 7
Одно большое значение 30 заметно увеличило среднее с 7 до 9,5, но медиана осталась равной 7. Поэтому при наличии необычно больших или маленьких значений полезно рассматривать среднее и медиану вместе.
Не удаляйте необычное значение автоматически.
Сначала нужно выяснить, является ли оно ошибкой измерения или реальным наблюдением.
Почему одинакового среднего недостаточно
Сравним два набора:
A: 7, 7, 7, 7
B: 5, 5, 9, 9
У обоих наборов среднее арифметическое равно 7.
Но в наборе A все значения совпадают со средним, поэтому стандартное отклонение равно 0.
В наборе B каждое значение находится на расстоянии 2 от среднего, поэтому стандартное отклонение равно 2.
Следовательно, среднее арифметическое показывает центральный уровень, но не показывает разброс. Для сравнения устойчивости или однородности результатов необходимо учитывать характеристики разброса.
Универсальный алгоритм анализа данных
Семь последовательных действий
1
Поймите смысл данных
Что измерялось или подсчитывалось? В каких единицах записаны значения?
2
Упорядочьте значения
Это облегчает поиск минимума, максимума и медианы.
3
Найдите центральные характеристики
Вычислите среднее арифметическое и при необходимости медиану.
4
Найдите крайние значения
Определите минимум, максимум и размах.
5
Оцените разброс
Если требуется более подробный анализ, вычислите дисперсию и стандартное отклонение.
6
Проверьте необычные значения
Посмотрите, нет ли результата, который сильно отличается от остальных.
7
Сформулируйте вывод словами
Объясните, что полученные характеристики означают именно в данной задаче.
Типичные ошибки при анализе данных
Ошибка 1. Вычислять всё подряд
Сначала определите вопрос задачи. Иногда достаточно одной или двух характеристик.
Ошибка 2. Искать медиану в неупорядоченном наборе
Перед поиском медианы значения необходимо расположить по возрастанию или убыванию.
Ошибка 3. Путать размах и стандартное отклонение
Размах использует только минимум и максимум. Стандартное отклонение учитывает все значения.
Ошибка 4. Считать среднее всегда лучшим показателем
При необычно больших или маленьких значениях среднее может заметно смещаться. Полезно сравнивать его с медианой.
Ошибка 5. Забыть единицы измерения
Итоговый ответ должен сохранять смысл исходной величины: минуты, задачи, рубли, баллы и так далее.
Ошибка 6. Не объяснять результат
Запись числа без словесного вывода ещё не является полноценным анализом данных.
Практические задания
Сначала решите задачу самостоятельно, затем раскройте решение. Обязательно проговаривайте, что означает каждый полученный результат.
Задание 1. Выберите характеристику
- Нужно узнать среднее количество страниц, прочитанных за день.
- Нужно определить центральное значение стоимости квартир, если несколько квартир стоят значительно дороже остальных.
- Нужно определить разницу между самым высоким и самым низким результатом.
- Нужно сравнить разброс результатов двух групп относительно их средних.
Открыть ответ
- Среднее арифметическое.
- Медиана особенно полезна при наличии очень больших значений.
- Размах.
- Стандартное отклонение или дисперсия.
Задание 2. Полный анализ
Дан набор: 2, 4, 4, 6. Найдите среднее, медиану, минимум, максимум, размах, дисперсию и стандартное отклонение.
Открыть подробное решение
Среднее: (2 + 4 + 4 + 6) / 4 = 4.
Медиана: (4 + 4) / 2 = 4.
min = 2, max = 6.
R = 6 - 2 = 4.
Отклонения: -2, 0, 0, 2.
Квадраты: 4, 0, 0, 4.
Дисперсия: S² = 8 / 4 = 2.
Стандартное отклонение: S = √2 ≈ 1,41.
Задание 3. Сравните среднее и медиану
Дан набор: 4, 5, 5, 6, 30. Найдите среднее арифметическое и медиану. Какое значение лучше показывает центральную часть большинства данных?
Открыть решение
Среднее: (4 + 5 + 5 + 6 + 30) / 5 = 50 / 5 = 10.
Медиана - центральное третье число: Me = 5.
Значение 30 значительно больше остальных и увеличивает среднее. В данной ситуации медиана 5 лучше отражает центральную область большинства значений.
Задание 4. Сравните разброс
У группы A стандартное отклонение равно 1,1 балла, а у группы B - 3,8 балла. Средние результаты групп одинаковы. В какой группе результаты более однородны?
Открыть ответ
Более однородны результаты группы A, потому что стандартное отклонение 1,1 меньше 3,8.
Это означает, что результаты группы A в целом расположены ближе к своему среднему значению.
Задание 5. Сделайте вывод по данным
Для некоторого набора известно: среднее = 12, медиана = 12, минимум = 9, максимум = 15, стандартное отклонение = 1,5. Сформулируйте краткий словесный вывод.
Открыть пример ответа
Центральный уровень данных находится около 12: и среднее, и медиана равны 12.
Наблюдаемые значения находятся от 9 до 15.
Стандартное отклонение 1,5 показывает, что значения в целом не очень сильно удалены от среднего уровня 12.
Итоговая самостоятельная работа по разделу
Дан числовой набор: 3, 5, 5, 7, 10. Выполните анализ без подсказок.
Анализ набора
- Найдите среднее арифметическое.
- Найдите медиану.
- Найдите минимум и максимум.
- Найдите размах.
- Найдите отклонения от среднего.
- Найдите дисперсию.
- Найдите стандартное отклонение с округлением до сотых.
- Сформулируйте краткий вывод.
Открыть решение и критерии
Сумма: 3 + 5 + 5 + 7 + 10 = 30.
Среднее: x̄ = 30 / 5 = 6.
Медиана: Me = 5.
min = 3, max = 10.
Размах: R = 10 - 3 = 7.
Отклонения: -3, -1, -1, 1, 4.
Квадраты отклонений: 9, 1, 1, 1, 16.
Сумма квадратов: 28.
Дисперсия: S² = 28 / 5 = 5,6.
Стандартное отклонение: S = √5,6 ≈ 2,37.
Возможный вывод: средний уровень равен 6, медиана - 5, значения изменяются от 3 до 10, а стандартное отклонение около 2,37 показывает заметный разброс относительно среднего.
8 правильных пунктов - раздел усвоен уверенно. 6-7 - повторите характеристику, в которой допустили ошибку. 4-5 - повторите уроки 2 и 3. 0-3 - рекомендуется ещё раз пройти весь раздел 1.
Видео для повторения и закрепления
Основное видео повторяет среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение. Дополнительное видео рассматривает описательную статистику как единый набор инструментов анализа данных.
Основное видео Rutube - «25 урок. Среднее значение. Дисперсия. Стандартное отклонение».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса базового уровня систематизирует представление данных и основные статистические характеристики.
На что обратить внимание
- способы представления данных;
- среднее арифметическое и медиану;
- минимальное и максимальное значения;
- характеристики разброса;
- связь вычислений с анализом исходных данных.
Интерактив
Интерактивное упражнение позволяет ещё раз проверить среднее арифметическое, медиану и размах. Дисперсию и стандартное отклонение закрепите с помощью практических задач этого урока.
Как выполнять
- сначала определите, какая характеристика требуется;
- перед поиском медианы упорядочивайте значения;
- для среднего учитывайте все значения, включая повторяющиеся;
- для размаха используйте только максимум и минимум;
- после ошибки объясните себе правильный алгоритм словами.
Вопросы для самопроверки
Ответьте без таблицы-памятки. Если какое-либо обозначение забыто, после ответа вернитесь к началу урока и повторите его.
01 Что изучает описательная статистика?
Ответ: способы представления и числового описания данных, позволяющие увидеть их центральные характеристики, границы и разброс.
02 Что означает обозначение x̄?
Ответ: среднее арифметическое числового набора. Обозначение читается «икс с чертой».
03 Когда медиана может быть полезнее среднего арифметического?
Ответ: например, когда в наборе есть очень большое или очень маленькое значение, сильно влияющее на среднее.
04 Чем размах отличается от стандартного отклонения?
Ответ: размах использует только максимальное и минимальное значения, а стандартное отклонение учитывает отклонения всех значений от среднего.
05 Что означает S²?
Ответ: в нашем курсе S² обозначает дисперсию числового набора.
06 Что означает S?
Ответ: стандартное отклонение, то есть квадратный корень из дисперсии.
07 Почему после вычислений важно сформулировать словесный вывод?
Ответ: потому что статистическая характеристика имеет смысл только в связи с исходными данными и исследуемой ситуацией.
Главное по уроку и разделу
Таблицы и диаграммы помогают представить данные в удобной и наглядной форме.
Среднее арифметическое x̄ учитывает все значения и показывает их усреднённый уровень.
Медиана Me показывает центральное положение в упорядоченном ряду и может быть менее чувствительна к необычно большим или маленьким значениям.
min и max обозначают наименьшее и наибольшее значения.
Размах R показывает расстояние между максимальным и минимальным значениями.
Дисперсия S² учитывает квадраты отклонений всех значений от среднего.
Стандартное отклонение S равно квадратному корню из дисперсии и помогает оценивать разброс значений относительно среднего.
Чем больше стандартное отклонение, тем сильнее значения в целом разбросаны относительно своего среднего.
Для полноценного анализа часто нужно использовать несколько характеристик одновременно.
Главное в статистической задаче - не только выполнить вычисления, но и объяснить, что полученные числа означают в исходной ситуации.
Раздел 1 «Представление данных и описательная статистика» завершён.
Следующий урок относится к разделу 2 и имеет сквозной номер 5 - «Случайные эксперименты и случайные события. Элементарные события (исходы)».
Раздел 2
Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами
Случайные эксперименты и случайные события; элементарные события и множество элементарных исходов; невозможные и достоверные события; вероятность события; опыты с равновозможными элементарными исходами; вычисление вероятности как отношения числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов; решение практических задач и анализ результатов случайных опытов.
3
учебных часа
05 Урок 5 Случайные эксперименты и случайные события. Элементарные события (исходы) Открыть урок Свернуть урок
Урок 5. Случайные эксперименты и случайные события. Элементарные события (исходы)
Начинаем изучение теории вероятностей. В этом уроке главное - освоить её язык. Мы подробно разберём, что называют случайным экспериментом, исходом и событием, чем событие отличается от отдельного исхода и как записывают множество всех возможных исходов. Все новые обозначения - Ω, ω, A и фигурные скобки { } - будут объяснены сразу при первом появлении.
35
минут основной работы
Что вы изучите
После урока вы сможете описывать простые случайные опыты, перечислять их возможные исходы и различать отдельный исход и событие.
Случайный эксперимент
Поймёте, почему результат некоторых опытов нельзя заранее предсказать однозначно.
Элементарный исход
Научитесь перечислять отдельные возможные результаты случайного опыта.
Событие
Научитесь понимать событие как условие, которое выполняется при одном или нескольких исходах опыта.
Важно:
на этом уроке мы прежде всего учимся правильно описывать случайный опыт. Формулу вероятности подробно введём на следующем уроке.
Что называют экспериментом или опытом
В обычной речи слово «эксперимент» часто связывают с лабораторией. В теории вероятностей смысл шире.
Экспериментом может быть бросок монеты, бросок игральной кости, извлечение карточки из перемешанной колоды, выбор случайного числа и многие другие действия.
Эксперимент, или опыт
Экспериментом называют действие или наблюдение, после выполнения которого получается определённый результат.
Случайный эксперимент
Случайный эксперимент - опыт, конкретный результат которого нельзя однозначно предсказать заранее, хотя возможные результаты опыта можно описывать и изучать.
Слова «случайный эксперимент» и «случайный опыт» в школьном курсе используются как близкие по смыслу выражения.
Примеры случайных экспериментов
Бросок монеты
Заранее неизвестно, какой стороной вверх упадёт монета.
Бросок игральной кости
До броска неизвестно, сколько точек окажется на верхней грани.
Выбор карточки
Если карточки перемешаны и одна выбирается не глядя, заранее неизвестно, какая именно карточка будет извлечена.
Не любое действие является случайным экспериментом. Например, вычисление 5 + 7 не является случайным опытом: результат заранее однозначно известен и всегда равен 12.
Что называют исходом
Исход
Исход - результат, которым закончился конкретный случайный эксперимент.
Если бросили монету и выпал орёл, «орёл» - исход этого конкретного броска.
Если бросили обычную игральную кость и выпало 5 точек, число 5 - исход этого броска.
Элементарный исход
Элементарный исход - отдельный возможный результат случайного эксперимента, который в выбранном описании опыта рассматривается как один неделимый результат.
В школьных материалах также используется выражение «элементарное событие». В простых конечных опытах под ним понимают событие, состоящее ровно из одного элементарного исхода.
Исходы зависят от того, как сформулирован опыт
Это важный момент, который часто вызывает затруднение.
Пример
Рассмотрим два разных описания броска игральной кости.
1
Опыт: записать число выпавших точек
Возможные элементарные исходы: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2
Другой опыт: записать только «чётное» или «нечётное»
При таком более грубом описании фиксируются уже два результата: «чётное» и «нечётное».
Поэтому перед перечислением исходов всегда сначала внимательно читайте, что именно фиксируется в эксперименте.
Множество всех элементарных исходов
Множество
Множество - совокупность объектов, рассматриваемых вместе. В нашем случае объектами будут возможные элементарные исходы опыта.
Для записи множества его элементы часто помещают в фигурные скобки:
{ }.
Например,
{1, 2, 3}
означает множество, состоящее из чисел 1, 2 и 3.
Пространство элементарных исходов
Множество всех возможных элементарных исходов данного случайного эксперимента называют пространством элементарных исходов.
Ω
Ω - заглавная греческая буква «омега». В теории вероятностей ею часто обозначают множество всех возможных элементарных исходов опыта.
Буква Ω относится к греческому алфавиту. Это не латинская буква O и не цифра 0. Читается она «омега».
Пример 1. Один бросок монеты
Будем считать, что после броска обычная монета падает одной из двух сторон вверх: орлом или решкой.
Для краткой записи обозначим: О - орёл, Р - решка.
Ω = {О, Р}
Читаем: «омега равна множеству, состоящему из исходов орёл и решка».
Знак
=
читается «равно». Здесь он означает, что множество Ω состоит именно из перечисленных в фигурных скобках исходов.
ω₁ = О
ω₂ = Р
Маленькая греческая буква ω читается «омега» и может использоваться для обозначения одного элементарного исхода. Нижние цифры 1 и 2 - индексы, то есть номера исходов.
Не обязательно в каждой задаче записывать отдельные исходы буквами ω₁, ω₂. Мы вводим эту запись, чтобы вы понимали её, если она встретится в учебнике или задаче.
Пример 2. Бросок игральной кости
Обычная игральная кость имеет шесть граней с числами от 1 до 6.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
В этом эксперименте шесть элементарных исходов.
| Элементарный исход | Что произошло | Является ли результат отдельным исходом? |
|---|---|---|
| 1 | Выпала грань с одной точкой | Да |
| 2 | Выпала грань с двумя точками | Да |
| 3 | Выпала грань с тремя точками | Да |
| 4 | Выпала грань с четырьмя точками | Да |
| 5 | Выпала грань с пятью точками | Да |
| 6 | Выпала грань с шестью точками | Да |
Что называют событием
Событие
Событие - условие, связанное со случайным экспериментом, которое в результате опыта либо выполняется, либо не выполняется.
Событие может соответствовать одному элементарному исходу или сразу нескольким исходам.
События обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C и так далее.
Буква
A
читается «а» и здесь является просто названием события. В другой задаче событие можно обозначить буквой B или другой заглавной буквой.
Пример. Событие при броске кости
Пусть событие A означает: «выпало чётное число».
1
Вспоминаем все исходы
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2
Выбираем исходы, при которых событие происходит
Чётные числа среди возможных результатов - 2, 4 и 6.
3
Записываем событие
A = {2, 4, 6}.
Обратите внимание: событие A «выпало чётное число» - это не один исход. Оно происходит при трёх разных элементарных исходах: 2, 4 или 6.
Исход и событие - не одно и то же
| Понятие | Смысл | Пример для кости |
|---|---|---|
| Элементарный исход | Один конкретный возможный результат | Выпало число 4 |
| Событие | Условие, которое может выполняться при одном или нескольких исходах | Выпало чётное число: 2, 4 или 6 |
| Пространство исходов Ω | Все возможные элементарные исходы данного опыта | {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
Случайное, достоверное и невозможное события
Эти определения пригодятся уже на следующем уроке, поэтому введём их сейчас.
Случайное событие
При данном опыте может произойти, а может и не произойти.
Достоверное событие
Обязательно происходит при каждом возможном исходе данного опыта.
Невозможное событие
Не может произойти ни при одном возможном исходе данного опыта.
Бросаем обычную шестигранную кость
1
«Выпало число 5»
Это случайное событие: пятёрка может выпасть, а может не выпасть.
2
«Выпало число от 1 до 6»
Это достоверное событие, потому что другого числа на обычной кости нет.
3
«Выпало число 8»
Это невозможное событие: такого элементарного исхода в данном опыте нет.
Пример 3. Два последовательных броска монеты
Здесь особенно важно правильно перечислить все элементарные исходы.
Используем обозначения: О - орёл, Р - решка.
В записи из двух букв первая буква относится к первому броску, вторая - ко второму.
Ω = {ОО, ОР, РО, РР}
Исходы ОР и РО различаются. ОР означает «сначала орёл, затем решка», а РО - «сначала решка, затем орёл».
Событие A: «ровно один раз выпал орёл»
1
Проверяем ОО
Орёл выпал два раза. Исход не подходит.
2
Проверяем ОР
Орёл выпал один раз. Исход подходит.
3
Проверяем РО
Орёл выпал один раз. Исход подходит.
4
Проверяем РР
Орёл не выпал ни разу. Исход не подходит.
A = {ОР, РО}
Событие A происходит при двух элементарных исходах.
Как описывать случайный эксперимент
Универсальный алгоритм
1
Определите, что делается
Например, бросается монета, кость или выбирается карточка.
2
Определите, что фиксируется
Например, сторона монеты или число точек на кости.
3
Перечислите все элементарные исходы
Запишите пространство Ω и убедитесь, что ничего не пропущено.
4
Прочитайте условие события
Определите, при каких исходах оно выполняется.
5
Запишите исходы события
Например, A = {2, 4, 6}.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Путать опыт и исход
«Бросаем кость» - это опыт. «Выпало 4» - исход этого опыта.
Ошибка 2. Путать исход и событие
«Выпало 4» - один исход. «Выпало чётное число» - событие, включающее исходы 2, 4 и 6.
Ошибка 3. Не перечислить все исходы
При двух бросках монеты нужно учитывать ОО, ОР, РО и РР.
Ошибка 4. Считать ОР и РО одним исходом
При последовательных бросках порядок важен: эти результаты отличаются порядком появления сторон.
Ошибка 5. Не учитывать формулировку опыта
Сначала нужно понять, какой именно результат фиксируется в эксперименте.
Ошибка 6. Пытаться сразу считать вероятность
Сначала необходимо правильно определить исходы и событие. Вычисление вероятности будет следующим шагом.
Практические задания
Выполните каждое задание самостоятельно. Решение раскрывайте только после того, как составили собственный ответ.
Задание 1. Монета
Монету бросают один раз. Запишите пространство элементарных исходов Ω.
Открыть ответ
Обозначим орёл буквой О, решку буквой Р.
Ответ: Ω = {О, Р}.
Задание 2. Игральная кость
Кость бросают один раз. Запишите все элементарные исходы.
Открыть ответ
Ответ: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Задание 3. Событие при броске кости
Пусть A - событие «выпало число больше 4». Какие элементарные исходы входят в A?
Открыть решение
Возможные результаты больше 4 - это 5 и 6.
Ответ: A = {5, 6}.
Задание 4. Два броска монеты
Запишите все элементарные исходы двух последовательных бросков монеты.
Открыть ответ
Ответ: Ω = {ОО, ОР, РО, РР}.
Первая буква показывает результат первого броска, вторая - второго.
Задание 5. Определите вид события
Бросают обычную шестигранную кость. Определите вид каждого события.
- Выпало число 2.
- Выпало число меньше 7.
- Выпало число 10.
Открыть ответ
- «Выпало 2» - случайное событие.
- «Выпало число меньше 7» - достоверное событие.
- «Выпало 10» - невозможное событие.
Задание 6. Найдите ошибку
Ученик написал: «При двух бросках монеты возможны три исхода: ОО, ОР и РР». Что он пропустил?
Открыть ответ
Пропущен исход РО - сначала решка, затем орёл.
Полное пространство: Ω = {ОО, ОР, РО, РР}.
Небольшая самостоятельная работа
Из коробки, содержащей карточки с числами 1, 2, 3, 4 и 5, случайным образом выбирают одну карточку.
Выполните четыре пункта
- Запишите пространство элементарных исходов Ω.
- Запишите событие A: «выбрано нечётное число».
- Запишите событие B: «выбрано число больше 3».
- Определите вид события C: «выбрано число 7».
Открыть решение
- Ω = {1, 2, 3, 4, 5}.
- A = {1, 3, 5}.
- B = {4, 5}.
- Событие C невозможно, потому что карточки с числом 7 в коробке нет.
4 правильных пункта - материал усвоен уверенно. 3 - повторите различие между событием и исходом. 2 - ещё раз разберите пространство Ω. 0-1 - рекомендуется повторно пройти теоретическую часть урока.
Видео по теме урока
Основное видео повторяет определения случайного опыта, исхода и события на классических примерах с монетой и игральной костью. В нём также может встречаться вычисление вероятности - эту часть подробно разберём на следующем уроке.
Основное видео Rutube - базовое повторение случайного опыта, элементарного события, исхода, случайного, достоверного и невозможного события.
Открыть видео на Rutube
Если в видео появляется формула вероятности, достаточно пока понять общий смысл. Обозначение вероятности и формулу будем вводить пошагово на уроке 6.
Презентация
Презентация предназначена для 10 класса и непосредственно посвящена случайным экспериментам, случайным событиям и элементарным исходам.
На что обратить внимание
- определение случайного эксперимента;
- различие между опытом и его исходом;
- определение случайного события;
- понятие элементарного исхода;
- примеры случайных, достоверных и невозможных событий.
Интерактив и дополнительная тренировка
Задания ЯКласс для 10 класса посвящены именно случайным опытам, случайным событиям и элементарным исходам.
Как работать
- сначала определите сам эксперимент;
- перечислите все возможные исходы;
- отделяйте один исход от события;
- проверяйте, какие исходы приводят к наступлению события;
- если встречается вероятность, используйте материал как предварительное знакомство - формулу изучим следующим уроком.
Вопросы для самопроверки
Сначала сформулируйте ответ самостоятельно. Затем раскройте пояснение.
01 Что называют случайным экспериментом?
Ответ: опыт, конкретный результат которого нельзя заранее однозначно предсказать, хотя возможные результаты можно описывать.
02 Что называют элементарным исходом?
Ответ: отдельный возможный результат случайного эксперимента, рассматриваемый как один результат.
03 Что обозначает заглавная греческая буква Ω?
Ответ: пространство элементарных исходов - множество всех возможных элементарных исходов данного опыта.
04 Для чего используются фигурные скобки { }?
Ответ: в этом уроке с их помощью записываются элементы множества, например Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
05 Чем событие отличается от элементарного исхода?
Ответ: элементарный исход - один конкретный возможный результат, а событие может происходить при одном или нескольких элементарных исходах.
06 Какие исходы возможны при двух последовательных бросках монеты?
Ответ: Ω = {ОО, ОР, РО, РР}.
07 Чем отличаются случайное, достоверное и невозможное события?
Ответ: случайное событие может произойти или не произойти; достоверное обязательно происходит; невозможное не может произойти ни при одном возможном исходе.
Главное по уроку
Случайный эксперимент - опыт, конкретный результат которого заранее нельзя однозначно предсказать.
Исход - результат конкретного опыта.
Элементарный исход - один отдельный возможный результат случайного эксперимента.
Множество всех элементарных исходов называют пространством элементарных исходов и часто обозначают заглавной греческой буквой Ω - «омега».
Фигурные скобки { } используются для перечисления элементов множества.
Отдельный элементарный исход иногда обозначают маленькой греческой буквой ω - «омега».
Событие - условие, которое в результате опыта либо выполняется, либо нет.
Событие может соответствовать одному или нескольким элементарным исходам.
Случайное событие может произойти или не произойти, достоверное происходит обязательно, а невозможное не происходит ни при одном исходе.
Следующий урок - «Вероятность случайного события. Равновозможные элементарные исходы».
06 Урок 6 Вероятность случайного события. Равновозможные элементарные исходы Открыть урок Свернуть урок
Урок 6. Вероятность случайного события. Равновозможные элементарные исходы
На прошлом уроке мы научились описывать случайный эксперимент, его элементарные исходы и события. Теперь сделаем следующий шаг - научимся численно оценивать возможность наступления события. Мы введём понятие вероятности, разберём, что означает запись P(A), выясним, какие исходы называют равновозможными и благоприятными, а затем пошагово выведем и применим формулу P(A) = m / n.
35
минут основной работы
Что вы изучите
После урока вы сможете находить вероятность события в простых опытах с конечным числом равновозможных исходов и объяснять смысл полученного числа.
Вероятность
Поймёте, что показывает вероятность события и как она обозначается.
Равновозможные исходы
Научитесь определять, когда исходы можно считать имеющими одинаковые шансы.
Классическая формула
Научитесь считать благоприятные и все возможные исходы и находить их отношение.
Главное условие:
формулу отношения числа благоприятных исходов к общему числу исходов можно непосредственно применять тогда, когда рассматриваемые элементарные исходы равновозможны.
Сначала вспомним язык предыдущего урока
Эти понятия понадобятся во всех формулах вероятности.
Пространство исходов
Ω - заглавная греческая буква «омега». Ею обозначают множество всех возможных элементарных исходов опыта.
Событие
Событие обычно обозначают заглавной латинской буквой A, B, C и так далее.
Фигурные скобки
В фигурных скобках перечисляют элементы множества, например Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Напоминание: элементарный исход
Элементарный исход - один отдельный возможный результат случайного эксперимента.
Напоминание: событие
Событие - условие, связанное со случайным опытом, которое после проведения опыта либо выполняется, либо не выполняется.
Например, при броске игральной кости
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
.
Событие A «выпало чётное число» можно записать как
A = {2, 4, 6}
.
Что такое вероятность
События могут иметь разные шансы на наступление.
Например, при броске обычной игральной кости событие «выпало число от 1 до 6» обязательно произойдёт, а событие «выпало число 8» произойти не может.
Между этими крайними случаями находятся случайные события, которые могут произойти, а могут не произойти.
Вероятность события
Вероятность события - число, характеризующее степень возможности наступления этого события в рассматриваемом случайном опыте.
P(A)
P(A) обозначает вероятность события A.
Как читать обозначение P(A)
- P - латинская буква P. В школьной математике её обычно читают «пэ».
- A - название рассматриваемого события.
- ( ) - круглые скобки. Внутри них записывают событие, вероятность которого рассматривают.
Запись P(A) можно читать: «вероятность события A».
Не путайте:
A
- само событие,
а
P(A)
- число, показывающее вероятность этого события.
Какие значения может принимать вероятность
0 ≤ P(A) ≤ 1
Вероятность любого события находится от 0 до 1 включительно.
Знак ≤
Знак ≤ читается «меньше или равно». Например, запись P(A) ≤ 1 означает, что вероятность события A не может быть больше 1.
P = 0
невозможное событие
P = 0,5
промежуточный случай
P = 1
достоверное событие
Вероятность 0
Для невозможного события вероятность равна 0.
Между 0 и 1
Случайное событие имеет вероятность между 0 и 1.
Вероятность 1
Для достоверного события вероятность равна 1.
Дробь, десятичная дробь и проценты
Одну и ту же вероятность можно записать разными способами.
1/2 = 0,5 = 50 %
Обыкновенная дробь
Запись 1/2 означает одну часть из двух равных частей. Число над дробной чертой или перед знаком «/» называют числителем, а число под чертой или после «/» - знаменателем.
Процент
Один процент - одна сотая часть целого. Обозначается знаком %. Поэтому 50 % = 50/100 = 0,5.
В задачах вероятность часто оставляют в виде обыкновенной дроби или записывают десятичной дробью. Например:
1/6
или приблизительно
0,167.
Что значит «равновозможные исходы»
Равновозможные элементарные исходы
Элементарные исходы называют равновозможными, если в рассматриваемой модели опыта у них одинаковые шансы на наступление.
Пример 1. Симметричная монета
1
Возможные исходы
Ω = {О, Р}, где О - орёл, Р - решка.
2
Модель
Для обычной симметричной монеты в школьной модели считаем исходы О и Р равновозможными.
Пример 2. Правильная игральная кость
1
Возможные исходы
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2
Равновозможность
Для правильной симметричной кости считаем выпадение каждой из шести граней равновозможным.
Нельзя автоматически считать любые перечисленные исходы равновозможными. Их одинаковые шансы должны следовать из условий или принятой модели опыта.
Пример неравновозможных результатов
Представьте круговой барабан, у которого один сектор занимает половину круга, а два других сектора значительно меньше.
Если стрелка останавливается случайно, попадание в большой сектор и попадание в маленький сектор нельзя считать равновозможными только потому, что это два разных названия исходов.
Количество названных вариантов само по себе ещё не определяет их вероятности.
Поэтому перед использованием формулы
P(A) = m/n
обязательно проверьте условие равновозможности элементарных исходов.
Что такое благоприятный исход
Благоприятный исход
Благоприятным для события A называют элементарный исход, при котором событие A происходит.
Слово «благоприятный» здесь не означает «хороший» в обычном жизненном смысле. Оно означает только «приводящий к наступлению рассматриваемого события».
Пример
Бросаем игральную кость. Событие A: «выпало число больше 4».
1
Все возможные исходы
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2
Проверяем условие события
Больше 4 - числа 5 и 6.
3
Благоприятные исходы
Для события A благоприятны два исхода: 5 и 6.
Формула вероятности в опыте с равновозможными исходами
Теперь объединим все введённые понятия.
P(A) = m / n
Разбираем формулу по символам
- P(A) - вероятность события A.
- m - число элементарных исходов, благоприятных для события A.
- n - общее число всех равновозможных элементарных исходов опыта.
- / - знак деления, используемый здесь для записи дроби.
Формулу можно прочитать словами:
вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.
Очень важно не перепутать m и n:
m - подходящие исходы, n - все возможные равновозможные исходы.
Алгоритм решения задачи
Пять обязательных шагов
1
Опишите случайный опыт
Определите, что происходит и какой результат фиксируется.
2
Найдите все элементарные исходы
При необходимости запишите пространство Ω.
3
Проверьте равновозможность
Убедитесь, что рассматриваемые элементарные исходы имеют одинаковые шансы в принятой модели.
4
Посчитайте n и m
n - число всех исходов, m - число исходов, благоприятных событию.
5
Подставьте в формулу
Вычислите P(A) = m/n и при необходимости сократите дробь или переведите её в десятичную форму.
Пример 1. Чётное число на игральной кости
Правильную игральную кость бросают один раз. Найдём вероятность события A: «выпало чётное число».
1
Записываем пространство исходов
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2
Находим n
Всего шесть равновозможных исходов, поэтому n = 6.
3
Находим благоприятные исходы
Чётные результаты: 2, 4, 6.
4
Находим m
Благоприятных исходов три, поэтому m = 3.
5
Вычисляем вероятность
P(A) = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Ответ можно записать как
1/2,
0,5
или
50 %.
Пример 2. Бросок симметричной монеты
Монету бросают один раз. Событие A: «выпал орёл».
Ω = {О, Р}
Для симметричной монеты два исхода считаются равновозможными.
Всего исходов: n = 2.
Благоприятный исход один - О: m = 1.
P(A) = 1/2 = 0,5
Вероятность выпадения орла в принятой модели симметричной монеты равна 0,5, то есть 50 %.
Пример 3. Карточки с числами
В коробке лежат одинаковые по размеру карточки с числами от 1 до 10. Карточки перемешаны. Одну карточку выбирают наугад. Найдём вероятность события A: «выбрано число, кратное 3».
Напоминание: кратное число
Число называют кратным 3, если оно делится на 3 без остатка. Среди чисел от 1 до 10 это 3, 6 и 9.
1
Все возможные результаты
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
2
Общее число исходов
n = 10.
3
Благоприятные исходы
A = {3, 6, 9}.
4
Число благоприятных исходов
m = 3.
5
Вероятность
P(A) = 3/10 = 0,3 = 30 %.
Проверяем формулу на достоверном и невозможном событиях
Снова бросаем обычную игральную кость.
Достоверное событие
A: «выпало число меньше 7».
1
Все исходы подходят
Благоприятны 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
2
Вычисляем
m = 6, n = 6, поэтому P(A) = 6/6 = 1.
Невозможное событие
B: «выпало число 8».
1
Благоприятных исходов нет
Числа 8 среди исходов обычной шестигранной кости нет.
2
Вычисляем
m = 0, n = 6, поэтому P(B) = 0/6 = 0.
Сводная таблица
| Обозначение или термин | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| Ω | Множество всех элементарных исходов | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| A | Рассматриваемое событие | A = {2, 4, 6} |
| P(A) | Вероятность события A | P(A) = 0,5 |
| n | Общее число равновозможных исходов | Для кости n = 6 |
| m | Число благоприятных исходов | Для чётного результата m = 3 |
| P(A) = m/n | Формула вероятности при равновозможных исходах | 3/6 = 1/2 = 0,5 |
Типичные ошибки
Ошибка 1. Перепутать m и n
m - только благоприятные исходы, n - все равновозможные исходы опыта.
Ошибка 2. Не перечислить все исходы
Если хотя бы один возможный исход пропущен, значение n будет неверным.
Ошибка 3. Неверно определить благоприятные исходы
Проверяйте условие события отдельно для каждого возможного исхода.
Ошибка 4. Применить формулу к неравновозможным исходам
Простое отношение m/n требует равновозможности рассматриваемых элементарных исходов.
Ошибка 5. Получить вероятность больше 1
Если получилось число больше 1 или меньше 0, значит в вычислениях есть ошибка.
Ошибка 6. Путать событие и вероятность
A - событие, P(A) - числовая вероятность этого события.
Практические задания
В каждом задании сначала отдельно выпишите n и m, и только затем используйте формулу.
Задание 1. Игральная кость
Правильную игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность события A: «выпало число 5».
Открыть решение
Всего равновозможных исходов: n = 6.
Благоприятный исход один: 5.
Поэтому m = 1.
P(A) = 1/6.
Ответ: 1/6.
Задание 2. Число больше 3
Игральную кость бросают один раз. Найдите вероятность события B: «выпало число больше 3».
Открыть решение
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
n = 6.
Числа больше 3: 4, 5, 6.
m = 3.
P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Задание 3. Карточки
Из десяти одинаковых карточек с числами от 1 до 10 случайно выбирают одну. Найдите вероятность того, что выбрано число меньше 4.
Открыть решение
Всего карточек: n = 10.
Числа меньше 4: 1, 2, 3.
m = 3.
P(A) = 3/10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Задание 4. Буквы
В непрозрачном пакете лежат одинаковые карточки с буквами А, Б, В, Г, Д. Одну карточку выбирают случайно. Найдите вероятность получить гласную букву.
Открыть решение
Всего карточек: n = 5.
Среди перечисленных букв гласная только А.
m = 1.
P(A) = 1/5 = 0,2.
Задание 5. Найдите ошибку
При броске кости ученик ищет вероятность события «выпало число меньше 5» и пишет: m = 4, n = 5, поэтому P(A) = 4/5. В чём ошибка?
Открыть ответ
Ошибка в значении n.
Всего у кости шесть возможных равновозможных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Поэтому n = 6.
Благоприятные исходы: 1, 2, 3, 4, поэтому m = 4.
P(A) = 4/6 = 2/3.
Задание 6. Проверка диапазона
Ученик получил вероятность 1,4. Может ли это быть правильным результатом?
Открыть ответ
Нет.
Вероятность любого события удовлетворяет условию: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Число 1,4 больше 1, следовательно, в решении допущена ошибка.
Небольшая самостоятельная работа
В коробке лежат одинаковые карточки с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Одну карточку случайно извлекают.
Найдите вероятности
- A: «выпало чётное число».
- B: «выпало число больше 6».
- C: «выпало число меньше 9».
- D: «выпало число 10».
- Для каждого события укажите m, n и P.
Открыть решение
Во всех случаях: n = 8.
A: благоприятные исходы 2, 4, 6, 8. m = 4. P(A) = 4/8 = 1/2 = 0,5.
B: благоприятные исходы 7, 8. m = 2. P(B) = 2/8 = 1/4 = 0,25.
C: подходят все восемь исходов. m = 8. P(C) = 8/8 = 1.
D: благоприятных исходов нет. m = 0. P(D) = 0/8 = 0.
Если все четыре вероятности найдены правильно и вы можете объяснить значения m и n, основная тема урока усвоена.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено именно вероятности события в опытах с равновозможными исходами. Обратите внимание на запись P(A) = m/n и на подсчёт всех и благоприятных исходов.
Основное видео Rutube - «Вероятность события в опытах с равновозможными исходами».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация предназначена для 10 класса и посвящена вероятности случайного события и опытам с равновозможными элементарными исходами.
На что обратить внимание
- обозначение вероятности P(A);
- диапазон значений вероятности от 0 до 1;
- понятие равновозможных исходов;
- число всех исходов;
- число исходов, благоприятных событию;
- применение классической формулы вероятности.
Интерактив и дополнительная тренировка
Раздел ЯКласс для 10 класса содержит теорию и задания по вероятности случайного события и вычислению вероятности в опытах с равновозможными исходами.
Как выполнять
- сначала выписывайте пространство исходов;
- проверяйте, являются ли исходы равновозможными;
- отдельно записывайте n - число всех исходов;
- отдельно записывайте m - число благоприятных исходов;
- только после этого вычисляйте P(A) = m/n.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте своими словами, не подглядывая в теорию.
01 Что показывает вероятность случайного события?
Ответ: вероятность - число, характеризующее степень возможности наступления рассматриваемого события.
02 Что означает запись P(A)?
Ответ: вероятность события A.
03 Какие исходы называют равновозможными?
Ответ: исходы, которые в принятой модели опыта имеют одинаковые шансы на наступление.
04 Что называют благоприятным исходом?
Ответ: элементарный исход, при котором рассматриваемое событие происходит.
05 Что означают буквы m и n в формуле P(A) = m/n?
Ответ: m - число благоприятных исходов, n - общее число равновозможных элементарных исходов.
06 В каких пределах находится вероятность?
Ответ: от 0 до 1 включительно: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
07 Почему нельзя всегда просто делить число подходящих вариантов на число всех названных вариантов?
Ответ: классическая формула m/n непосредственно применима к конечному набору равновозможных элементарных исходов. Если исходы имеют разные шансы, простой подсчёт их количества может дать неверную вероятность.
Главное по уроку
Вероятность события - число, характеризующее возможность его наступления.
Вероятность события A обозначают P(A).
Вероятность находится от 0 до 1 включительно: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Для невозможного события вероятность равна 0, для достоверного - 1.
Равновозможные исходы - элементарные исходы, имеющие одинаковые шансы в рассматриваемой модели опыта.
Благоприятный исход - исход, при котором рассматриваемое событие происходит.
В опыте с конечным числом равновозможных исходов вероятность события вычисляют по формуле P(A) = m/n.
В этой формуле m - число благоприятных исходов, n - число всех равновозможных элементарных исходов.
Перед применением формулы нужно сначала правильно определить пространство исходов и проверить условие равновозможности.
Одну вероятность можно записывать обыкновенной дробью, десятичной дробью или процентами, например 1/2 = 0,5 = 50 %.
Следующий урок - «Вероятности событий в опытах с равновозможными исходами. Практическая работа».
07 Урок 7 Вероятности событий в опытах с равновозможными исходами. Практическая работа Открыть урок Свернуть урок
Урок 7. Вероятности событий в опытах с равновозможными исходами. Практическая работа
Это завершающий урок раздела 2. Новых формул почти не будет. Главная задача - научиться самостоятельно проходить весь путь решения: понять случайный опыт, перечислить элементарные исходы, проверить их равновозможность, определить благоприятные исходы, вычислить вероятность и объяснить полученный ответ. Все основные обозначения предыдущих двух уроков сначала кратко повторим.
35
минут основной работы
Что вы закрепите
После практической работы вы должны уметь решать основные задачи на классическую вероятность без пошаговой подсказки.
Описывать опыт
Перечислять все элементарные исходы и проверять, ничего ли не пропущено.
Вычислять вероятность
Правильно определять числа m и n и применять формулу P(A) = m/n.
Проверять ответ
Следить, чтобы вероятность находилась от 0 до 1, и объяснять её смысл.
Памятка перед практической работой
Если вы давно не занимались математикой, сначала спокойно повторите обозначения. Их не нужно угадывать по памяти.
| Обозначение или термин | Как читать | Что означает |
|---|---|---|
| Ω | «омега» | Множество всех элементарных исходов случайного опыта |
| A | «а» | Название рассматриваемого события |
| P(A) | «вероятность события А» | Числовая вероятность наступления события A |
| n | «эн» | Общее количество равновозможных элементарных исходов |
| m | «эм» | Количество исходов, благоприятных событию A |
| P(A) = m/n | «вероятность события А равна эм, делённому на эн» | Формула вероятности для конечного опыта с равновозможными исходами |
| 0 ≤ P(A) ≤ 1 | «вероятность А больше или равна нулю и меньше или равна единице» | Допустимый диапазон вероятности |
Напоминание:
благоприятный исход
- не обязательно «хороший» результат. Это просто исход, при котором произошло именно то событие, вероятность которого мы сейчас ищем.
Алгоритм, который используем во всех задачах
Семь шагов решения
1
Прочитайте, какой опыт проводится
Определите, что выбирают, бросают или случайно определяют.
2
Определите элементарные исходы
При необходимости выпишите пространство Ω.
3
Проверьте равновозможность
Формула P(A) = m/n требует равновозможных элементарных исходов.
4
Найдите n
n - количество всех равновозможных исходов.
5
Найдите m
m - количество исходов, при которых происходит нужное событие.
6
Вычислите вероятность
Подставьте m и n в формулу P(A) = m/n.
7
Проверьте результат
Ответ не может быть меньше 0 или больше 1.
Разминка. Одна игральная кость
Правильную шестигранную игральную кость бросают один раз. Все шесть граней считаем равновозможными.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Всего n = 6 равновозможных исходов.
1. Выпало число 6
Найдите вероятность события A: «выпало 6».
Открыть решение
Благоприятен только один исход - 6.
m = 1, n = 6.
P(A) = 1/6.
2. Выпало нечётное число
Найдите вероятность события B: «выпало нечётное число».
Открыть решение
Нечётные результаты: 1, 3, 5.
m = 3, n = 6.
P(B) = 3/6 = 1/2 = 0,5.
3. Выпало число не меньше 5
Слова «не меньше 5» означают «больше или равно 5».
Открыть решение
Подходящие исходы: 5 и 6.
m = 2, n = 6.
P = 2/6 = 1/3.
Практическая задача 1. Карточки с числами
В непрозрачном пакете лежат 20 одинаковых карточек с числами от 1 до 20. Одну карточку случайно извлекают.
Событие A: «число кратно 4»
Найдите P(A).
Открыть подробное решение
Напоминание: число кратно 4, если оно делится на 4 без остатка.
Среди чисел от 1 до 20 это: 4, 8, 12, 16, 20.
Всего карточек: n = 20.
Благоприятных исходов: m = 5.
P(A) = 5/20 = 1/4 = 0,25.
В процентах: 0,25 = 25 %.
Ответ: 1/4, или 0,25, или 25 %.
Напоминание о процентах: чтобы перевести десятичную дробь в проценты, умножаем её на 100 %. Например, 0,25 · 100 % = 25 %.
Практическая задача 2. Экзаменационные билеты
На экзамене имеется 25 одинаково вероятных для выбора билетов. Обучающийся хорошо подготовил 20 из них. Билет выбирается случайно.
Найдите вероятность получить подготовленный билет
Открыть решение
Событие A: «выбран подготовленный билет».
Всего равновозможных билетов: n = 25.
Подготовленных билетов: m = 20.
P(A) = 20/25.
Сократим дробь на 5: 20/25 = 4/5.
4/5 = 0,8 = 80 %.
Ответ: 0,8.
Практическая задача 3. Два броска монеты
Симметричную монету бросают два раза. Напомним обозначения: О - орёл, Р - решка.
Ω = {ОО, ОР, РО, РР}
Здесь четыре равновозможных исхода.
ОР и РО - разные исходы. В записи ОР сначала выпал орёл, потом решка. В записи РО сначала выпала решка, потом орёл.
Событие A: «орёл выпал ровно один раз»
Открыть решение
Всего: n = 4.
Подходят исходы: ОР и РО.
Поэтому m = 2.
P(A) = 2/4 = 1/2 = 0,5.
Событие B: «орёл выпал два раза»
Открыть решение
Подходит только исход ОО.
m = 1, n = 4.
P(B) = 1/4 = 0,25.
Практическая задача 4. Две игральные кости
Две правильные игральные кости бросают одновременно. Найдём вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.
Новая запись: упорядоченная пара
Результат броска двух костей удобно записывать в виде пары чисел (a; b). Первое число показывает результат первой кости, второе - второй. Например, (2; 5) означает: на первой кости выпало 2, на второй - 5.
Точка с запятой
;
внутри пары просто разделяет первое и второе значения.
1
Сколько всех исходов
На первой кости 6 возможных результатов. Для каждого из них на второй кости также 6 результатов. Поэтому всего 6 · 6 = 36 равновозможных пар.
2
Какие пары дают сумму 7
(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).
3
Считаем m и n
m = 6, n = 36.
4
Вычисляем
P(A) = 6/36 = 1/6.
Очень частая ошибка - считать возможными исходами только суммы 2, 3, 4, ..., 12 и объявлять их равновозможными. Это неверно: разные суммы могут получаться разным количеством пар. Например, сумма 2 получается только как (1; 1), а сумма 7 - шестью разными парами.
Как не потерять исходы при броске двух костей
Для сложного опыта удобно систематически перебирать результаты первой и второй кости.
| Первая кость | Каким должен быть результат второй | Полученная пара | Сумма |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | (1; 6) | 7 |
| 2 | 5 | (2; 5) | 7 |
| 3 | 4 | (3; 4) | 7 |
| 4 | 3 | (4; 3) | 7 |
| 5 | 2 | (5; 2) | 7 |
| 6 | 1 | (6; 1) | 7 |
Практическая задача 5. Можно ли применять формулу?
В реальной задаче недостаточно увидеть несколько вариантов. Нужно проверить, равновозможны ли элементарные исходы.
Ситуация 1
Из непрозрачной коробки случайно выбирают один из десяти одинаковых по форме и размеру жетонов с номерами от 1 до 10. Можно ли считать десять номеров равновозможными?
Открыть ответ
Да, в стандартной школьной модели случайного выбора одинаковых перемешанных жетонов каждый из десяти жетонов имеет одинаковый шанс быть выбранным.
Поэтому можно использовать формулу P(A) = m/n.
Ситуация 2
Круг разделён на два сектора: первый занимает 90 % площади круга, второй - 10 %. Стрелка останавливается случайно. Можно ли считать события «стрелка попала в первый сектор» и «стрелка попала во второй сектор» равновозможными?
Открыть ответ
Нет.
Секторы имеют разные размеры, поэтому два названных результата нельзя считать равновозможными.
Простое рассуждение «два сектора, значит вероятность каждого 1/2» было бы ошибочным.
Типичные ошибки в практической работе
Ошибка 1. Считать только благоприятные исходы
Для формулы нужны два числа: m - благоприятные исходы и n - все исходы.
Ошибка 2. Перепутать числитель и знаменатель
В формуле P(A) = m/n число m находится в числителе, n - в знаменателе.
Ошибка 3. Потерять возможный исход
При составных опытах перечисляйте результаты систематически, а не по памяти.
Ошибка 4. Считать неравновозможные варианты одинаковыми
Само количество названий исходов не означает, что у них одинаковые вероятности.
Ошибка 5. Не проверить диапазон ответа
Если P получилось больше 1 или меньше 0, решение точно содержит ошибку.
Ошибка 6. Считать суммы двух костей равновозможными
Равновозможны упорядоченные пары результатов двух правильных костей, а не сами суммы.
Основная практическая работа
Теперь решите пять задач без пошаговых подсказок. После каждой задачи можно открыть подробное решение.
Задача 1
В коробке находятся 12 одинаковых шаров с номерами от 1 до 12. Один шар выбирают случайно. Найдите вероятность того, что его номер делится на 3.
Проверить решение
Всего исходов: n = 12.
На 3 делятся числа: 3, 6, 9, 12.
m = 4.
P(A) = 4/12 = 1/3.
Ответ: 1/3.
Задача 2
В группе 15 обучающихся, из них 9 девушек и 6 юношей. Для ответа у доски случайным образом выбирают одного человека. Найдите вероятность того, что выберут юношу.
Проверить решение
n = 15.
Благоприятных исходов: m = 6.
P(A) = 6/15 = 2/5 = 0,4.
Ответ: 0,4, или 40 %.
Задача 3
Симметричную монету бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет одна и та же сторона.
Проверить решение
Ω = {ОО, ОР, РО, РР}.
Всего: n = 4.
Одинаковые стороны выпадают в случаях: ОО и РР.
m = 2.
P(A) = 2/4 = 1/2 = 0,5.
Задача 4
Две правильные игральные кости бросают одновременно. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 12.
Проверить решение
Всего упорядоченных пар: n = 6 · 6 = 36.
Сумму 12 даёт только пара: (6; 6).
Поэтому m = 1.
P(A) = 1/36.
Ответ: 1/36.
Задача 5
Из чисел 1, 2, 3, ..., 30 случайным образом выбирают одно. Найдите вероятность того, что выбранное число является кратным 5.
Проверить решение
Всего чисел: n = 30.
Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
m = 6.
P(A) = 6/30 = 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2, или 20 %.
Итоговая самостоятельная работа по разделу 2
Выполните задания без подсказок. Можно пользоваться только формулой P(A) = m/n.
Часть 1
Правильную игральную кость бросают один раз.
- Запишите пространство Ω.
- Найдите вероятность выпадения числа меньше 3.
- Найдите вероятность выпадения числа, кратного 2.
- Найдите вероятность выпадения числа больше 6.
Открыть ответы
- Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Подходят 1 и 2: P = 2/6 = 1/3.
- Подходят 2, 4, 6: P = 3/6 = 1/2.
- Благоприятных исходов нет: P = 0.
Часть 2
В мешке лежат 5 красных, 3 синих и 2 зелёных одинаковых по форме шара. Один шар выбирают случайно.
- Сколько всего шаров?
- Найдите вероятность выбрать синий шар.
- Найдите вероятность выбрать зелёный шар.
- Какая из этих двух вероятностей больше?
Открыть ответы
- 5 + 3 + 2 = 10 шаров.
- P(синий) = 3/10 = 0,3.
- P(зелёный) = 2/10 = 1/5 = 0,2.
- 0,3 > 0,2, поэтому вероятность выбрать синий шар больше.
Если вы смогли самостоятельно определить все исходы, благоприятные исходы и правильно применить формулу, раздел 2 усвоен. Если ошибки связаны с m и n - повторите урок 6. Если трудно перечислять исходы - повторите урок 5.
Видео: решение задач
В этом уроке видео используется не для введения новой формулы, а для наблюдения за ходом решения задач по теории вероятностей.
Дополнительный ролик создан для более раннего класса, но рассматривает именно базовый алгоритм вероятности равновозможных событий, который в 10 классе используется как уже знакомая основа.
Презентация
Материал для 10 класса повторяет классическое определение вероятности и содержит задачи на события в опытах с равновозможными элементарными исходами.
На что обратить внимание
- как определяется число всех исходов n;
- как выбираются благоприятные исходы m;
- как применяется P(A) = m/n;
- как сокращается полученная дробь;
- как вероятность переводится в десятичную форму.
Интерактив
Упражнение LearningApps «Классическая вероятность события» позволяет вычислять вероятность в процентах и размещать результат на шкале.
Как выполнять
- сначала найдите число всех равновозможных исходов;
- затем определите благоприятные исходы;
- найдите вероятность;
- переведите её в проценты;
- только после собственного вычисления выбирайте положение на шкале.
Дополнительная практическая работа
Если хотите дополнительно закрепить тему, можно использовать готовую практическую работу для 10 класса по вероятностям событий в опытах с равновозможными исходами.
Перед выполнением
- решайте задачи самостоятельно на бумаге;
- в каждой задаче подписывайте n и m;
- проверяйте равновозможность;
- проверяйте условие 0 ≤ P ≤ 1.
Вопросы для самопроверки
Ответьте сначала самостоятельно. После этого раскройте ответ.
01 Что нужно проверить перед применением формулы P(A) = m/n?
Ответ: что рассматривается конечное число элементарных исходов и эти исходы равновозможны.
02 Что означает n?
Ответ: общее количество всех рассматриваемых равновозможных элементарных исходов.
03 Что означает m?
Ответ: количество элементарных исходов, при которых рассматриваемое событие происходит.
04 Почему вероятность не может быть равна 1,4?
Ответ: вероятность любого события находится от 0 до 1 включительно. Поэтому 1,4 является признаком ошибки в решении.
05 Почему при броске двух костей суммы от 2 до 12 нельзя считать равновозможными исходами?
Ответ: разные суммы получаются разным количеством равновозможных пар результатов. Например, сумма 2 получается только как (1; 1), а сумма 7 - шестью парами.
06 Что означает вероятность 0,25 в процентах?
Ответ: 0,25 = 25 %.
07 Каков полный порядок решения простой задачи на классическую вероятность?
Ответ: описать опыт, определить все исходы, проверить равновозможность, найти n, определить благоприятные исходы и m, вычислить P(A) = m/n и проверить полученный ответ.
Главное по уроку и разделу 2
Случайный эксперимент может завершиться одним из нескольких возможных элементарных исходов.
Множество всех элементарных исходов обозначают Ω - «омега».
Событие A происходит при определённых элементарных исходах.
Исход, при котором событие происходит, называют благоприятным для этого события.
Вероятность события A обозначают P(A).
Для конечного опыта с равновозможными элементарными исходами применяется формула P(A) = m/n.
В формуле m - число благоприятных исходов, n - общее число равновозможных исходов.
Вероятность всегда находится в пределах от 0 до 1 включительно.
Результат можно записывать обыкновенной дробью, десятичной дробью или процентами.
В составном опыте важно правильно выбрать элементарные исходы. Например, при броске двух костей удобно рассматривать 36 упорядоченных пар результатов.
Перед использованием формулы всегда проверяйте равновозможность исходов.
Раздел 2 «Случайные опыты и случайные события, опыты с равновозможными элементарными исходами» завершён.
Следующий урок имеет сквозной номер 8 - «Пересечение и объединение событий. Противоположные события».
Раздел 3
Операции над событиями, сложение вероятностей
Пересечение и объединение событий; противоположные события; наглядное представление операций над событиями с помощью диаграмм Эйлера; совместные и несовместные события; связь между событиями и множествами элементарных исходов; формула сложения вероятностей; решение задач на нахождение вероятности объединения событий.
3
учебных часа
08 Урок 8 Пересечение и объединение событий. Противоположные события Открыть урок Свернуть урок
Урок 8. Пересечение и объединение событий. Противоположные события
В предыдущем разделе мы рассматривали отдельные события и находили их вероятности. Теперь будем строить новые события из уже известных. Для этого используются логические слова «И», «ИЛИ» и «НЕ». Мы введём обозначения пересечения A ∩ B, объединения A ∪ B и события, противоположного A, подробно разберём каждый знак и научимся переводить обычную словесную формулировку на язык событий.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Пересечение
Научитесь описывать событие, при котором одновременно происходят A и B.
Объединение
Научитесь описывать событие, при котором происходит хотя бы одно из событий A или B.
Противоположное событие
Научитесь формулировать событие «A не произошло» и находить его вероятность.
Что нужно помнить из предыдущего раздела
Пространство исходов
Ω - «омега» - множество всех элементарных исходов данного случайного опыта.
Событие
Событие можно рассматривать как множество тех исходов, при которых оно происходит.
Вероятность
P(A) - вероятность события A. Она находится от 0 до 1 включительно.
В этом уроке особенно важно помнить:
событие можно записывать как множество элементарных исходов.
Благодаря этому операции над событиями становятся понятными и наглядными.
Что означает «операция над событиями»
Операция над событиями
Операция над событиями - правило, с помощью которого из одного или нескольких заданных событий получают новое событие.
В этом разделе основными будут три смысловых действия:
| Слово | Математическая операция | Обозначение | Смысл |
|---|---|---|---|
| И | Пересечение | A ∩ B | Произошли одновременно A и B |
| ИЛИ | Объединение | A ∪ B | Произошло хотя бы одно из событий A или B |
| НЕ | Противоположное событие | Ā | Событие A не произошло |
Один пример для всех трёх операций
Бросаем правильную шестигранную игральную кость один раз.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Пусть событие A означает: «выпало чётное число».
A = {2, 4, 6}
Пусть событие B означает: «выпало число больше 3».
B = {4, 5, 6}
На этом одном опыте мы сейчас найдём пересечение A и B, объединение A и B и событие, противоположное A.
Пересечение событий
Пересечение событий A и B
Пересечением событий A и B называют событие, состоящее в том, что произошли одновременно и событие A, и событие B.
A ∩ B
Читается: «пересечение событий A и B».
Знак ∩
Символ ∩ называется знаком пересечения. При чтении события его удобно мысленно заменять словом «И».
Возвращаемся к игральной кости
A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}.
1
Что требует событие A
Выпавшее число должно быть чётным.
2
Что требует событие B
Выпавшее число должно быть больше 3.
3
Выполняем оба условия одновременно
Чётными и одновременно большими 3 являются числа 4 и 6.
A ∩ B = {4, 6}
Словесно:
A ∩ B означает «выпало чётное число И одновременно число больше 3».
Объединение событий
Объединение событий A и B
Объединением событий A и B называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий A или B.
A ∪ B
Читается: «объединение событий A и B».
Знак ∪
Символ ∪ называется знаком объединения. При чтении его удобно связывать со словом «ИЛИ».
Очень важно:
математическое «ИЛИ» в данном случае означает «произошло A, или B, или сразу оба события». То есть одновременное наступление A и B не исключается.
Снова используем события A и B
1
Выписываем A
A = {2, 4, 6}.
2
Выписываем B
B = {4, 5, 6}.
3
Собираем все исходы из A или B
Получаем 2, 4, 5, 6.
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}
Числа 4 и 6 не нужно записывать дважды. В множестве каждый элемент перечисляют один раз.
Пересечение и объединение: не перепутайте
| Операция | Обозначение | Ключевое слово | Что выбираем | Для нашего примера |
|---|---|---|---|---|
| Пересечение | A ∩ B | И | Только исходы, которые удовлетворяют обоим условиям | {4, 6} |
| Объединение | A ∪ B | ИЛИ | Все исходы, принадлежащие хотя бы одному событию | {2, 4, 5, 6} |
Противоположное событие
Событие, противоположное событию A
Противоположным событию A называют событие, состоящее в том, что событие A не произошло.
Ā
Читается: «событие, противоположное A», или кратко «не A». Черта над буквой A показывает отрицание события.
В нашем примере:
A = {2, 4, 6}
A - выпало чётное число.
Тогда противоположное событие означает: «чётное число не выпало».
Среди исходов Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} это означает выпадение нечётного числа.
Ā = {1, 3, 5}
Событие A и противоположное ему Ā вместе охватывают все возможные исходы: либо A произошло, либо A не произошло.
Что происходит с противоположными событиями
A ∩ Ā = ∅
A ∪ Ā = Ω
Символ ∅
Символ ∅ обозначает пустое множество - множество, в котором нет ни одного элемента. В теории вероятностей ему соответствует невозможное событие.
Почему A ∩ Ā = ∅
Событие не может одновременно произойти и не произойти. Поэтому общих исходов у A и Ā нет.
Почему A ∪ Ā = Ω
Любой возможный исход обязательно относится либо к A, либо к противоположному событию Ā. Поэтому вместе они дают всё пространство исходов Ω.
Вероятность противоположного события
Поскольку событие A и противоположное ему Ā вместе охватывают все возможные варианты, сумма их вероятностей равна 1.
P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 - P(A)
Запись P(Ā) читается:
«вероятность события, противоположного A».
Пример
Вероятность события A равна 0,7. Найдите вероятность противоположного события.
1
Записываем формулу
P(Ā) = 1 - P(A).
2
Подставляем вероятность A
P(Ā) = 1 - 0,7.
3
Вычисляем
P(Ā) = 0,3.
Совместные и несовместные события
Эти слова понадобятся при изучении формулы сложения вероятностей.
Совместные события
События A и B называют совместными, если они могут произойти одновременно, то есть их пересечение содержит хотя бы один элементарный исход.
A ∩ B ≠ ∅
Несовместные события
События A и B называют несовместными, если они не могут произойти одновременно.
A ∩ B = ∅
Символ ≠
Знак ≠ читается «не равно». Поэтому запись A ∩ B ≠ ∅ означает: пересечение событий A и B не является пустым.
Любые два противоположных события A и Ā являются несовместными, потому что A ∩ Ā = ∅.
Как выполнять операции над событиями
Универсальный алгоритм
1
Запишите Ω
Определите все возможные элементарные исходы.
2
Запишите событие A
Перечислите исходы, при которых происходит A.
3
Запишите событие B
Перечислите исходы, при которых происходит B.
4
Найдите пересечение
Для A ∩ B оставьте только исходы, принадлежащие одновременно A и B.
5
Найдите объединение
Для A ∪ B соберите все исходы из A и B без повторений.
6
Найдите противоположное событие
Для Ā возьмите из Ω те исходы, которые не входят в A.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Перепутать ∩ и ∪
∩ связано со словом «И», а ∪ - со словом «ИЛИ».
Ошибка 2. Понять «ИЛИ» как «только одно из двух»
В объединение входят исходы A, исходы B и исходы, принадлежащие сразу обоим событиям.
Ошибка 3. Повторять элементы
При объединении каждый элементарный исход записывается один раз.
Ошибка 4. Неверно найти противоположное событие
В Ā должны входить все исходы Ω, которые не входят в A.
Ошибка 5. Путать ∅ и 0
∅ - пустое множество, а 0 - число. Это разные математические объекты.
Ошибка 6. Забыть про пространство Ω
Противоположное событие всегда определяется относительно всех возможных исходов данного опыта.
Практические задания
Сначала выполните каждое задание самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Пересечение
Бросают игральную кость. Пусть A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 4}. Найдите A ∩ B.
Открыть решение
Ищем исходы, которые одновременно находятся и в A, и в B.
Такими исходами являются 2 и 4.
Ответ: A ∩ B = {2, 4}.
Задание 2. Объединение
Для тех же событий A = {2, 4, 6} и B = {1, 2, 3, 4} найдите A ∪ B.
Открыть решение
Собираем все исходы, входящие хотя бы в одно событие.
Получаем 1, 2, 3, 4 и 6.
Ответ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}.
Задание 3. Противоположное событие
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}. Найдите Ā.
Открыть решение
Из Ω исключаем все исходы, входящие в A.
Остаются 3, 4, 5, 6.
Ответ: Ā = {3, 4, 5, 6}.
Задание 4. Переведите слова в обозначение
- Произошло A и B.
- Произошло хотя бы одно из событий A или B.
- Событие A не произошло.
Открыть ответ
- A ∩ B.
- A ∪ B.
- Ā.
Задание 5. Вероятность противоположного события
Известно, что P(A) = 0,28. Найдите P(Ā).
Открыть решение
Используем: P(Ā) = 1 - P(A).
P(Ā) = 1 - 0,28 = 0,72.
Ответ: 0,72.
Задание 6. Совместность
При броске кости событие A означает «выпало чётное число», а B - «выпало число 5». Совместны ли эти события?
Открыть решение
A = {2, 4, 6}.
B = {5}.
Общих исходов нет: A ∩ B = ∅.
Следовательно, события несовместны.
Самостоятельная работа
Из коробки случайно выбирают одну карточку с числом от 1 до 10.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Выполните все пункты
Пусть A - «выбрано чётное число», B - «выбрано число больше 6».
- Запишите A.
- Запишите B.
- Найдите A ∩ B.
- Найдите A ∪ B.
- Найдите Ā.
- Найдите P(Ā).
Открыть решение
1. A = {2, 4, 6, 8, 10}.
2. B = {7, 8, 9, 10}.
3. A ∩ B = {8, 10}.
4. A ∪ B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10}.
5. Ā = {1, 3, 5, 7, 9}.
6. В Ā пять исходов из десяти равновозможных: P(Ā) = 5/10 = 1/2 = 0,5.
Видео по теме
Основное видео помогает закрепить противоположные события. Дополнительное видео отдельно рассматривает действия над событиями - объединение и пересечение.
Основное видео Rutube - «Теория вероятностей #2: формула P=m/n, противоположные события».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса посвящена операциям над событиями: пересечению и объединению. В ней также используются диаграммы Эйлера, которые подробно разберём на следующем уроке.
На что обратить внимание
- обозначение A ∩ B;
- смысл слова «И»;
- обозначение A ∪ B;
- смысл математического «ИЛИ»;
- примеры операций над событиями;
- связь событий с множествами элементарных исходов.
Интерактив и дополнительная тренировка
Дополнительно используйте официальный учебный материал ЕДСОО для 10 класса по этой же теме.
Как работать
- повторите определения операций;
- следите за обозначениями ∩ и ∪;
- проговаривайте «И», «ИЛИ», «НЕ»;
- сначала определяйте исходы события словами;
- только затем переходите к символической записи.
Вопросы для самопроверки
01 Что называют пересечением событий A и B?
Ответ: событие, состоящее в одновременном наступлении A и B. Обозначается A ∩ B.
02 Что означает знак ∩?
Ответ: знак пересечения. По смыслу связан со словом «И».
03 Что называют объединением событий?
Ответ: событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A или B. Обозначается A ∪ B.
04 Что означает математическое «ИЛИ»?
Ответ: произошло A, или B, или оба события одновременно.
05 Что означает событие Ā?
Ответ: событие, противоположное A, то есть событие «A не произошло».
06 Чему равна вероятность противоположного события?
Ответ: P(Ā) = 1 - P(A).
07 Когда два события называют несовместными?
Ответ: когда они не могут произойти одновременно, то есть A ∩ B = ∅.
Главное по уроку
Операции над событиями позволяют получать новые события из уже заданных.
Пересечение событий A ∩ B означает одновременное наступление A и B. Ключевое слово - «И».
Объединение событий A ∪ B означает наступление хотя бы одного из событий A или B. Ключевое слово - «ИЛИ».
При математическом «ИЛИ» допускается ситуация, когда произошли сразу оба события.
Событие Ā противоположно событию A и означает «A не произошло».
Для противоположных событий: A ∩ Ā = ∅.
Также: A ∪ Ā = Ω.
Символ ∅ обозначает пустое множество. В теории вероятностей ему соответствует невозможное событие.
Вероятность противоположного события находится по формуле: P(Ā) = 1 - P(A).
Совместные события могут произойти одновременно. Несовместные события одновременно произойти не могут.
Следующий урок - «Операции над событиями. Диаграммы Эйлера».
09 Урок 9 Операции над событиями. Диаграммы Эйлера Открыть урок Свернуть урок
Урок 9. Операции над событиями. Диаграммы Эйлера
На прошлом уроке мы изучили пересечение, объединение и противоположные события. Теперь научимся изображать эти операции наглядно. Для этого используются диаграммы Эйлера. На рисунке всё пространство возможных исходов обозначается областью Ω, а события A и B - отдельными областями внутри неё. По положению и закрашиванию областей можно увидеть, какие исходы относятся к пересечению, объединению или противоположному событию.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
- понимать, что показывает диаграмма Эйлера;
- находить на диаграмме области событий A и B;
- изображать пересечение A ∩ B;
- изображать объединение A ∪ B;
- изображать противоположное событие Ā;
- узнавать совместные и несовместные события по рисунку;
- определять принадлежность элементарных исходов различным областям диаграммы.
Кратко повторим обозначения
| Запись | Как читается | Смысл |
|---|---|---|
| A ∩ B | Пересечение A и B | Произошли A и B одновременно |
| A ∪ B | Объединение A и B | Произошло хотя бы одно из событий A или B |
| Ā | Событие, противоположное A | Событие A не произошло |
| ∅ | Пустое множество | Не содержит ни одного элементарного исхода |
Что такое диаграмма Эйлера
Диаграмма Эйлера
Диаграмма Эйлера - наглядная схема, на которой множества или события изображаются областями, ограниченными замкнутыми линиями. В теории вероятностей с её помощью удобно показывать отношения между событиями.
Область
Область на такой схеме - часть плоскости внутри определённой границы. Например, внутренность круга A показывает все исходы, при которых происходит событие A.
Замкнутая линия
Замкнутая линия - линия, которая возвращается в свою начальную точку и отделяет внутреннюю область от внешней. На школьных диаграммах для удобства обычно используют окружности или овалы.
Прямоугольник изображает пространство всех исходов Ω. Круг A содержит исходы события A, круг B - исходы события B. Перекрывающаяся часть кругов принадлежит одновременно обоим событиям.
Как читать диаграмму
Сначала не смотрите на формулы - смотрите на положение точки
1
Точка находится только внутри A
Событие A произошло, а B не произошло.
2
Точка находится только внутри B
Событие B произошло, а A не произошло.
3
Точка находится в общей части A и B
Произошли одновременно события A и B.
4
Точка находится вне обоих кругов, но внутри Ω
Не произошло ни A, ни B.
Пересечение A ∩ B на диаграмме
Напоминание: знак ∩ означает пересечение. Это событие «A И B».
Закрашена только общая часть A и B. Именно эта область соответствует пересечению A ∩ B.
Проверка рисунка словами:
если исход должен удовлетворять одновременно условию A и условию B, он должен лежать в общей части двух областей.
Объединение A ∪ B на диаграмме
Знак ∪ означает объединение. Это событие «A ИЛИ B», то есть произошло хотя бы одно из двух событий.
Закрашены обе области A и B целиком, включая их общую часть. Это и есть объединение A ∪ B.
Не оставляйте общую часть незакрашенной. Исход, принадлежащий одновременно A и B, тоже принадлежит объединению A ∪ B.
Противоположное событие Ā на диаграмме
Ā означает «событие A не произошло». Поэтому нужны все исходы пространства Ω, кроме исходов, принадлежащих A.
Круг A оставлен незакрашенным. Закрашена вся оставшаяся часть пространства Ω. Эта область соответствует противоположному событию Ā.
A ∪ Ā = Ω
A ∩ Ā = ∅
Несовместные события на диаграмме
Напоминание
Несовместные события - события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.
Области A и B не пересекаются. Общей части нет, поэтому A ∩ B = ∅. Такие события несовместны.
Диаграмма с реальными исходами: бросок кости
Бросаем правильную игральную кость. Пусть A - событие «выпало чётное число», а B - событие «выпало число больше 3».
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {2, 4, 6}
B = {4, 5, 6}
Размещение всех шести исходов соответствует определениям: 2 лежит только в A; 5 - только в B; 4 и 6 - в пересечении A ∩ B; 1 и 3 - вне A и B, но внутри Ω.
| Область | Исходы | Почему |
|---|---|---|
| Только A | {2} | 2 - чётное, но не больше 3 |
| A ∩ B | {4, 6} | 4 и 6 одновременно чётные и больше 3 |
| Только B | {5} | 5 больше 3, но не является чётным |
| Вне A и B | {1, 3} | 1 и 3 не являются чётными и не больше 3 |
Как построить диаграмму самостоятельно
Пошаговый алгоритм
1
Определите пространство Ω
Сначала выясните, какие исходы вообще возможны.
2
Определите событие A
Запишите исходы, входящие в A.
3
Определите событие B
Запишите исходы, входящие в B.
4
Найдите общие исходы
Если общие исходы есть, области A и B должны пересекаться.
5
Разместите остальные исходы
Отдельно разместите исходы только A, только B и исходы вне обоих событий.
6
Проверьте рисунок по определениям
Каждая точка должна находиться именно в той области, которой соответствует её исход.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Для пересечения закрасить оба круга
Для A ∩ B закрашивается только общая часть A и B.
Ошибка 2. Для объединения не закрасить общую часть
В A ∪ B входят обе области полностью, включая их пересечение.
Ошибка 3. Для Ā закрасить только другой круг
Ā - это вся область Ω вне A, а не только какое-либо другое событие B.
Ошибка 4. Пересечь несовместные события
Если A ∩ B = ∅, области A и B не должны иметь общей части.
Ошибка 5. Поместить точку в неверную область
Перед размещением исхода отдельно проверьте условие A и условие B.
Ошибка 6. Забыть Ω
Пространство Ω показывает все возможные исходы, включая те, которые не относятся ни к A, ни к B.
Практические задания
Задание 1
На диаграмме закрашена только общая часть кругов A и B. Какое событие изображено?
Открыть ответ
Это пересечение событий.
Ответ: A ∩ B.
Задание 2
Закрашены оба круга A и B вместе с общей частью. Какое событие изображено?
Открыть ответ
Это объединение.
Ответ: A ∪ B.
Задание 3
Закрашена вся область Ω, кроме круга A. Какое событие изображено?
Открыть ответ
Это событие «A не произошло».
Ответ: Ā.
Задание 4
На диаграмме круги A и B не пересекаются. Что можно сказать об этих событиях?
Открыть ответ
У событий нет общих исходов.
A ∩ B = ∅.
Следовательно, A и B несовместны.
Задание 5
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5}. Какие исходы должны находиться в общей части кругов?
Открыть решение
Общая часть - это A ∩ B.
В обоих событиях одновременно находятся числа 3 и 4.
Ответ: {3, 4}.
Самостоятельная работа
В случайном опыте Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Событие A = {2, 4, 6, 8}, событие B = {5, 6, 7, 8}.
Распределите исходы по областям диаграммы
- Какие исходы находятся только в A?
- Какие исходы находятся в A ∩ B?
- Какие исходы находятся только в B?
- Какие исходы находятся вне A и B?
- Запишите A ∪ B.
- Запишите Ā.
Открыть решение
1. Только A: {2, 4}.
2. A ∩ B: {6, 8}.
3. Только B: {5, 7}.
4. Вне A и B: {1, 3}.
5. A ∪ B: {2, 4, 5, 6, 7, 8}.
6. Ā: {1, 3, 5, 7}.
Видео по теме урока
Основное видео показывает использование диаграммы Эйлера-Венна в теории вероятностей и отдельно разбирает противоположные события, пересечение, объединение, совместные и несовместные события.
Презентация
Презентация предназначена для 10 класса и непосредственно посвящена пересечению, объединению событий и диаграммам Эйлера.
На что обратить внимание
- как события изображаются областями;
- какая область соответствует A ∩ B;
- какая область соответствует A ∪ B;
- как на рисунке определяется общая часть событий;
- как переводить словесное описание в графическую схему.
Интерактив и дополнительная тренировка
Используйте официальный учебный материал ЕДСОО для 10 класса по операциям над событиями. При работе сопоставляйте каждое словесное описание с соответствующей областью диаграммы.
Как работать
- сначала определите пространство Ω;
- найдите область A;
- найдите область B;
- для слова «И» ищите общую часть;
- для слова «ИЛИ» объединяйте обе области;
- для «НЕ A» рассматривайте всё пространство вне A.
Вопросы для самопроверки
01 Что показывает прямоугольная область Ω на диаграмме?
Ответ: всё пространство элементарных исходов случайного опыта.
02 Какая область соответствует A ∩ B?
Ответ: общая, перекрывающаяся часть областей A и B.
03 Какая область соответствует A ∪ B?
Ответ: вся область A вместе со всей областью B, включая их пересечение.
04 Как на диаграмме изображается Ā?
Ответ: всей частью Ω, расположенной вне области A.
05 Как по диаграмме определить, что события несовместны?
Ответ: их области не имеют общей части, то есть A ∩ B = ∅.
06 Что означает точка, лежащая одновременно внутри A и B?
Ответ: соответствующий элементарный исход приводит к одновременному наступлению событий A и B.
07 Что означает точка внутри Ω, но вне A и B?
Ответ: произошёл возможный исход опыта, при котором не произошло ни событие A, ни событие B.
Главное по уроку
Диаграмма Эйлера позволяет изображать события как области внутри пространства элементарных исходов Ω.
Область A содержит все исходы, при которых происходит событие A.
Область B содержит все исходы, при которых происходит событие B.
Пересечение A ∩ B изображается общей частью областей A и B.
Объединение A ∪ B изображается обеими областями A и B целиком, включая общую часть.
Противоположное событие Ā изображается всей частью Ω, расположенной вне области A.
Если области A и B не пересекаются, события несовместны и A ∩ B = ∅.
Если на диаграмме показаны элементарные исходы точками, положение каждой точки должно точно соответствовать тому, какие события происходят при этом исходе.
Следующий урок - «Формула сложения вероятностей. Решение задач».
10 Урок 10 Формула сложения вероятностей. Решение задач Открыть урок Свернуть урок
Урок 10. Формула сложения вероятностей. Решение задач
В предыдущих уроках мы научились находить пересечение A ∩ B и объединение A ∪ B и изображать их на диаграммах Эйлера. Теперь выясним, как по известным вероятностям событий A и B вычислить вероятность их объединения. Главное в этом уроке - понять, почему при совместных событиях нельзя просто сложить P(A) и P(B): общая область A ∩ B при таком сложении будет посчитана два раза.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Вероятность объединения
Научитесь находить вероятность события «произошло A или B».
Почему нужно вычитать
Поймёте, почему вероятность пересечения A ∩ B вычитается один раз.
Несовместные события
Увидите, как общая формула упрощается, если события не могут произойти одновременно.
Что нужно вспомнить
| Запись | Как читается | Что означает |
|---|---|---|
| A ∩ B | Пересечение A и B | Одновременно произошли A и B |
| A ∪ B | Объединение A и B | Произошло хотя бы одно из событий A или B |
| P(A) | Вероятность события A | Число от 0 до 1 |
| ∅ | Пустое множество | Нет ни одного исхода |
Напоминание:
математическое «ИЛИ» означает «A, или B, или оба события одновременно».
Поэтому объединение включает и пересечение A ∩ B.
Формула сложения вероятностей
Формула сложения вероятностей
Вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Разбираем запись по частям
- P(A ∪ B) - вероятность того, что произошло хотя бы одно из событий A или B;
- P(A) - вероятность события A;
- P(B) - вероятность события B;
- P(A ∩ B) - вероятность того, что A и B произошли одновременно;
- знак - читается «минус» и означает вычитание.
Почему пересечение нужно вычесть
Это центральная идея урока. Если её понять, формулу не придётся заучивать механически.
Общая область A ∩ B принадлежит одновременно событию A и событию B.
Что произойдёт при простом сложении P(A) + P(B)
1
Сначала учитываем P(A)
В P(A) уже входит общая область A ∩ B.
2
Затем прибавляем P(B)
В P(B) та же общая область A ∩ B содержится ещё раз.
3
Получается двойной подсчёт
Пересечение A ∩ B было посчитано два раза.
4
Исправляем
Один лишний экземпляр пересечения вычитаем: - P(A ∩ B).
Именно поэтому в общей формуле присутствует вычитание:
- P(A ∩ B)
.
Пример 1. Игральная кость
Правильную игральную кость бросают один раз.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Пусть A - «выпало чётное число»:
A = {2, 4, 6}
Пусть B - «выпало число больше 3»:
B = {4, 5, 6}
1
Находим P(A)
У A три исхода из шести: P(A) = 3/6 = 1/2.
2
Находим P(B)
У B тоже три исхода: P(B) = 3/6 = 1/2.
3
Находим пересечение
A ∩ B = {4, 6}. Поэтому P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.
4
Применяем формулу
P(A ∪ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3.
5
Вычисляем
1/2 + 1/2 = 1. Поэтому P(A ∪ B) = 1 - 1/3 = 2/3.
Проверим напрямую:
A ∪ B = {2, 4, 5, 6}.
Это 4 исхода из 6, поэтому
4/6 = 2/3.
Получили тот же результат.
Частный случай: несовместные события
Напоминание
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
A ∩ B = ∅
P(A ∩ B) = 0
Подставим ноль в общую формулу:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Это формула сложения вероятностей для
несовместных событий.
Пример 2. Несовместные события
Игральную кость бросают один раз.
Пусть A - «выпало число меньше 3»:
A = {1, 2}
Пусть B - «выпало число больше 4»:
B = {5, 6}
1
Проверяем пересечение
Общих исходов нет: A ∩ B = ∅.
2
Значит, события несовместны
Используем упрощённую формулу.
3
Вычисляем
P(A) = 2/6 = 1/3, P(B) = 2/6 = 1/3.
4
Складываем
P(A ∪ B) = 1/3 + 1/3 = 2/3.
Противоположные события как особый случай
Событие A и противоположное ему Ā несовместны и вместе охватывают всё пространство исходов.
A ∩ Ā = ∅
A ∪ Ā = Ω
P(A) + P(Ā) = 1
P(Ā) = 1 - P(A)
Это уже знакомая формула из урока 8. Теперь видно, что она согласуется с правилом сложения вероятностей несовместных событий.
Пример 3. Найдём вероятность пересечения
Известно: P(A) = 0,5, P(B) = 0,6, P(A ∪ B) = 0,8. Найдём P(A ∩ B).
1
Записываем основную формулу
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
2
Подставляем числа
0,8 = 0,5 + 0,6 - P(A ∩ B).
3
Складываем
0,8 = 1,1 - P(A ∩ B).
4
Находим пересечение
P(A ∩ B) = 1,1 - 0,8 = 0,3.
Ответ:
P(A ∩ B) = 0,3.
Пример 4. Переводим условие задачи на язык событий
Вероятность того, что обучающийся выполнит задание A, равна 0,55. Вероятность выполнить задание B равна 0,40. Вероятность выполнить оба задания равна 0,20. Найдите вероятность того, что будет выполнено хотя бы одно из двух заданий.
Фраза «хотя бы одно» означает объединение A ∪ B.
1
Выписываем известные вероятности
P(A) = 0,55; P(B) = 0,40; P(A ∩ B) = 0,20.
2
Используем формулу
P(A ∪ B) = 0,55 + 0,40 - 0,20.
3
Получаем
P(A ∪ B) = 0,75.
Алгоритм решения задач
Действуйте в таком порядке
1
Определите события A и B
Переведите условие задачи на язык событий.
2
Поймите, что требуется найти
Слово «или», «хотя бы одно» обычно указывает на объединение A ∪ B.
3
Проверьте совместность
Могут ли A и B произойти одновременно?
4
Если события совместны
Используйте P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
5
Если события несовместны
P(A ∩ B) = 0, поэтому P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
6
Проверьте ответ
Вероятность должна находиться от 0 до 1 включительно.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Всегда складывать P(A) и P(B)
Для совместных событий нужно вычесть P(A ∩ B).
Ошибка 2. Вычитать пересечение дважды
При сложении P(A) + P(B) пересечение учтено два раза, поэтому достаточно вычесть его один раз.
Ошибка 3. Путать A ∩ B и A ∪ B
∩ - «И», ∪ - «ИЛИ».
Ошибка 4. Считать события несовместными без проверки
Нужно убедиться, что A и B действительно не могут наступить одновременно.
Ошибка 5. Получить вероятность больше 1
Например, ответ 1,2 невозможен и говорит об ошибке в вычислении или выборе формулы.
Ошибка 6. Не увидеть слова «хотя бы одно»
Обычно они означают объединение событий.
Практические задания
Решите самостоятельно и только после этого откройте решение.
Задание 1
P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,1. Найдите P(A ∪ B).
Открыть решение
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
P(A ∪ B) = 0,4 + 0,3 - 0,1 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задание 2
События A и B несовместны. P(A) = 0,25, P(B) = 0,45. Найдите P(A ∪ B).
Открыть решение
Для несовместных событий P(A ∩ B) = 0.
P(A ∪ B) = 0,25 + 0,45 = 0,70.
Ответ: 0,7.
Задание 3
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(A ∪ B) = 0,8. Найдите P(A ∩ B).
Открыть решение
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B).
P(A ∩ B) = 0,6 + 0,5 - 0,8 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Задание 4
Известно, что P(A) = 0,72. Найдите вероятность противоположного события Ā.
Открыть решение
A и Ā несовместны и образуют всё пространство исходов.
P(Ā) = 1 - P(A).
P(Ā) = 1 - 0,72 = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задание 5
Вероятность того, что завтра будет дождь, равна 0,35. Вероятность сильного ветра - 0,25. Вероятность того, что будут одновременно дождь и сильный ветер, - 0,10. Найдите вероятность того, что будет дождь или сильный ветер.
Открыть решение
Обозначим: A - дождь, B - сильный ветер.
P(A ∪ B) = 0,35 + 0,25 - 0,10.
P(A ∪ B) = 0,50.
Ответ: 0,5.
Задание 6. Найдите ошибку
Ученик написал: P(A) = 0,7, P(B) = 0,6, поэтому P(A ∪ B) = 1,3. Что он не учёл?
Открыть ответ
Вероятность не может быть больше 1.
Если события совместны, ученик должен был вычесть вероятность их пересечения.
Нужна формула: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Самостоятельная работа
Выполните четыре пункта
- P(A) = 0,45, P(B) = 0,30, P(A ∩ B) = 0,15. Найдите P(A ∪ B).
- События C и D несовместны: P(C) = 0,20, P(D) = 0,35. Найдите P(C ∪ D).
- P(E) = 0,64. Найдите P(Ē).
- P(K) = 0,50, P(L) = 0,40, P(K ∪ L) = 0,70. Найдите P(K ∩ L).
Открыть ответы
1. 0,45 + 0,30 - 0,15 = 0,60.
2. 0,20 + 0,35 = 0,55.
3. 1 - 0,64 = 0,36.
4. 0,50 + 0,40 - 0,70 = 0,20.
Видео по теме
Основное видео посвящено непосредственно правилу сложения вероятностей. Во время просмотра сопоставляйте объяснение с диаграммой Эйлера из урока.
Презентация
Презентация предназначена для 10 класса и посвящена формуле сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.
На что обратить внимание
- почему для несовместных событий P(A ∩ B) = 0;
- формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) для несовместных событий;
- что меняется для совместных событий;
- почему общую часть нужно вычесть;
- общая формула P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B);
- применение формулы в задачах.
Интерактив и дополнительная тренировка
В разделе ЯКласс для 10 класса представлены теория и задания по диаграммам Эйлера и формуле сложения вероятностей.
Как выполнять задания
- определите события A и B;
- выясните, совместны ли они;
- найдите P(A ∩ B), если события совместны;
- подставляйте вероятности в формулу только после определения пересечения;
- обязательно проверяйте, что ответ находится от 0 до 1.
Вопросы для самопроверки
01 Как записывается общая формула сложения вероятностей?
Ответ: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
02 Почему из P(A) + P(B) нужно вычесть P(A ∩ B)?
Ответ: потому что при сложении P(A) и P(B) общая часть A ∩ B учитывается два раза. Один лишний подсчёт нужно убрать.
03 Как упрощается формула для несовместных событий?
Ответ: поскольку P(A ∩ B) = 0, получаем P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
04 Что означает P(A ∩ B)?
Ответ: вероятность одновременного наступления событий A и B.
05 Что означает P(A ∪ B)?
Ответ: вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий A или B.
06 Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
Ответ: P(A) + P(Ā) = 1.
07 Что нужно проверить перед использованием упрощённой формулы P(A ∪ B) = P(A) + P(B)?
Ответ: нужно убедиться, что события A и B несовместны, то есть не могут произойти одновременно и A ∩ B = ∅.
Главное по уроку и разделу 3
Пересечение A ∩ B означает одновременное наступление A и B.
Объединение A ∪ B означает наступление хотя бы одного из событий A или B.
Для любых двух событий используется общая формула: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Вероятность пересечения вычитается потому, что при сложении P(A) и P(B) общая область была учтена два раза.
Если события несовместны, их пересечение невозможно: A ∩ B = ∅ и P(A ∩ B) = 0.
Для несовместных событий: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Противоположные события являются несовместными и вместе образуют всё пространство исходов: P(A) + P(Ā) = 1.
Перед применением формулы нужно определить, могут ли события произойти одновременно.
Раздел 3 «Операции над событиями, сложение вероятностей» завершён.
Следующий урок имеет сквозной номер 11 - «Условная вероятность».
Раздел 4
Условная вероятность, дерево случайного опыта, формула полной вероятности и независимость событий
Условная вероятность события; вероятность события при известном дополнительном условии; умножение вероятностей; дерево случайного эксперимента и последовательное описание его этапов; решение задач с помощью дерева вероятностей; формула полной вероятности и её применение; независимые события; умножение вероятностей независимых событий; анализ многоэтапных случайных опытов.
6
учебных часов
11 Урок 11 Условная вероятность Открыть урок Свернуть урок
Урок 11. Условная вероятность
До сих пор мы находили вероятность события, рассматривая все возможные исходы случайного опыта. Но иногда до вычисления вероятности мы уже получаем дополнительную информацию. Тогда часть исходов становится невозможной и пространство рассматриваемых вариантов уменьшается. Такая вероятность называется условной. В этом уроке разберём обозначение P(A|B), смысл вертикальной черты |, формулу условной вероятности и несколько способов решения задач.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Обычная вероятность
Вспомним вероятность события без дополнительной информации.
Условная вероятность
Научимся находить вероятность A при условии, что событие B уже произошло.
Связь с пересечением
Увидим, почему в формуле условной вероятности появляется пересечение A ∩ B.
Главная идея: появилась новая информация
Представьте, что правильную игральную кость уже бросили, но результат вам полностью не сообщили.
Изначально возможны шесть результатов:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Теперь вам сообщили: «выпало чётное число».
После получения этой информации исходы 1, 3 и 5 уже не рассматриваются. Остались только:
{2, 4, 6}
Условие не изменяет уже случившийся результат. Оно изменяет
нашу информацию
о результате и тем самым сокращает набор исходов, среди которых мы ищем нужное событие.
Безусловная вероятность
Безусловная вероятность
Безусловной вероятностью называют вероятность события, вычисляемую без дополнительного условия о наступлении другого события.
Это та вероятность, с которой мы уже работали раньше. Например,
P(A)
- обычная вероятность события A.
Слово «безусловная» используется главным образом для сравнения с новым понятием - условной вероятностью.
Что такое условная вероятность
Условная вероятность
Условной вероятностью события A при условии B называют вероятность события A, вычисляемую при дополнительном условии, что событие B уже произошло.
P(A|B)
Читается: «вероятность A при условии B».
Что означает вертикальная черта |
Символ | - вертикальная черта. В записи условной вероятности она читается словами «при условии». Всё, что записано справа от черты, является условием.
В записи
P(A|B)
событие A - то, вероятность чего мы ищем, а событие B - уже известное условие.
Порядок событий имеет значение:
P(A|B)
и
P(B|A)
вообще говоря, не одно и то же.
Что происходит с пространством исходов
Условие B означает, что теперь мы рассматриваем только исходы внутри события B.
После условия B новой рассматриваемой областью становится всё событие B. Благоприятной частью внутри него является A ∩ B - исходы, при которых произошло и A, и B.
Поэтому условную вероятность можно понимать как
долю события B, которая одновременно принадлежит событию A.
Формула условной вероятности
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
Что означает каждый элемент
- P(A|B) - вероятность события A при условии, что B произошло;
- A ∩ B - пересечение событий, то есть одновременное наступление A и B;
- P(A ∩ B) - вероятность одновременного наступления A и B;
- P(B) - вероятность события, которое принято как условие;
- знак / означает деление.
P(B) > 0
Формула применяется, если вероятность условия B положительна.
Что означает знак >
Знак > читается «больше». Запись P(B) > 0 означает, что вероятность события B должна быть больше нуля.
Если
P(B) = 0,
то в этой формуле пришлось бы делить на ноль. Деление на ноль в математике не определено, поэтому данная формула в таком случае неприменима.
Пример 1. Игральная кость
Правильную игральную кость бросили один раз. Известно, что выпало чётное число. Найдём вероятность того, что выпавшее число не меньше 4.
Выражение «не меньше 4»
«Не меньше 4» означает «больше или равно 4». Для кости это результаты 4, 5 и 6.
Обозначим:
A = {4, 5, 6}
A - выпало число не меньше 4.
B = {2, 4, 6}
B - выпало чётное число.
Способ 1. Сокращаем пространство исходов
1
Условие уже известно
Известно, что результат чётный. Поэтому остаются только исходы 2, 4 и 6.
2
Новое пространство содержит 3 исхода
Рассматриваем B = {2, 4, 6}.
3
Выбираем исходы события A
Среди 2, 4, 6 условию «не меньше 4» удовлетворяют 4 и 6.
4
Вычисляем
Благоприятны 2 исхода из 3, поэтому P(A|B) = 2/3.
Тот же пример по формуле
Проверим результат через P(A ∩ B) и P(B).
1
Находим пересечение
A ∩ B = {4, 6}.
2
Находим P(A ∩ B)
Два исхода из шести: P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3.
3
Находим P(B)
Чётных результатов три: P(B) = 3/6 = 1/2.
4
Подставляем
P(A|B) = (1/3) / (1/2).
5
Делим дроби
Чтобы разделить на дробь 1/2, умножаем на обратную дробь 2/1: (1/3) · 2 = 2/3.
P(A|B) = 2/3
Сравним обычную и условную вероятность
Для события A = «выпало число не меньше 4» без дополнительной информации имеем:
P(A) = 3/6 = 1/2
Если известно, что результат чётный:
P(A|B) = 2/3
Полученная информация изменила вероятность:
1/2
превратилась в
2/3.
Это и есть смысл условной вероятности.
Пример 2. Карточки с числами
Из десяти одинаковых карточек с числами от 1 до 10 случайно выбрали одну. Известно, что число больше 5. Какова вероятность, что оно чётное?
Обозначим:
A = {2, 4, 6, 8, 10}
A - выбрано чётное число.
B = {6, 7, 8, 9, 10}
B - число больше 5.
1
Учитываем условие
Теперь возможны только 6, 7, 8, 9 и 10.
2
Ищем чётные
Среди этих пяти чисел чётные 6, 8 и 10.
3
Вычисляем
Благоприятных исходов 3 из 5, поэтому P(A|B) = 3/5 = 0,6.
Как меняется пространство исходов
| Что рассматриваем | Пространство исходов | Благоприятные исходы | Вероятность |
|---|---|---|---|
| Чётное число без дополнительного условия | {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} | {2,4,6,8,10} | 5/10 = 1/2 |
| Чётное число при условии, что оно больше 5 | {6,7,8,9,10} | {6,8,10} | 3/5 |
Почему P(A|B) и P(B|A) могут различаться
Вернёмся к карточкам от 1 до 10.
Пусть:
A - «число чётное»; B - «число больше 5».
P(A|B) = 3/5
Теперь поменяем условие и вопрос местами.
Найдём вероятность того, что число больше 5, при условии, что оно чётное.
Чётные числа: {2, 4, 6, 8, 10}. Среди них больше 5 числа 6, 8 и 10.
P(B|A) = 3/5
В данном конкретном примере значения случайно совпали. Но это
не общее правило.
В других задачах P(A|B) и P(B|A) могут быть совершенно разными.
Пример 3. Увидим различие P(A|B) и P(B|A)
Из чисел от 1 до 12 выбирают одно число случайно.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
A - число чётное.
B = {3, 6, 9, 12}
B - число кратно 3.
Напоминание: число кратно 3
Это означает, что число делится на 3 без остатка.
Найдём P(A|B)
При условии B остаются числа 3, 6, 9, 12. Из них чётные 6 и 12.
P(A|B) = 2/4 = 1/2
Теперь найдём P(B|A)
При условии A остаются числа 2, 4, 6, 8, 10, 12. Из них кратны 3 числа 6 и 12.
P(B|A) = 2/6 = 1/3
Получили:
P(A|B) = 1/2,
а
P(B|A) = 1/3.
Значит, менять события местами нельзя.
Алгоритм решения задач
Если требуется найти P(A|B)
1
Найдите событие B
Определите, какая информация уже известна из условия.
2
Ограничьте пространство исходов
Оставьте только исходы, принадлежащие B.
3
Найдите A внутри B
Это исходы пересечения A ∩ B.
4
Вычислите вероятность
Для равновозможных исходов можно найти долю благоприятных исходов внутри B.
5
Или используйте формулу
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
6
Проверьте результат
Как любая вероятность, P(A|B) должна находиться от 0 до 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Игнорировать условие B
После того как известно, что B произошло, нельзя продолжать считать все исходы пространства Ω.
Ошибка 2. Перепутать P(A|B) и P(B|A)
Справа от вертикальной черты записано именно условие.
Ошибка 3. В числителе использовать P(A)
В формуле числитель равен P(A ∩ B), а не просто P(A).
Ошибка 4. В знаменателе поставить P(A)
Для P(A|B) знаменатель - вероятность условия B.
Ошибка 5. Забыть условие P(B) > 0
Нельзя использовать формулу с нулём в знаменателе.
Ошибка 6. Считать, что условная вероятность всегда меньше
Дополнительная информация может увеличить вероятность, уменьшить её или оставить неизменной.
Практические задания
Задание 1. Игральная кость
Известно, что при броске кости выпало число больше 3. Найдите вероятность того, что это число чётное.
Открыть решение
Условие B: выпало число больше 3.
B = {4, 5, 6}.
Среди этих результатов чётные 4 и 6.
Благоприятны 2 исхода из 3.
Ответ: P(A|B) = 2/3.
Задание 2. Карточки
Из чисел от 1 до 20 выбрали одно. Известно, что оно кратно 5. Найдите вероятность того, что число больше 10.
Открыть решение
Кратные 5: 5, 10, 15, 20.
После условия остаются 4 равновозможных исхода.
Больше 10: 15 и 20.
Поэтому P = 2/4 = 1/2.
Задание 3. По формуле
Известно: P(A ∩ B) = 0,18, P(B) = 0,30. Найдите P(A|B).
Открыть решение
Используем: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
P(A|B) = 0,18 / 0,30 = 0,6.
Ответ: 0,6.
Задание 4. Найдите пересечение
Известно: P(A|B) = 0,4, P(B) = 0,5. Найдите P(A ∩ B).
Открыть решение
Из формулы: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B).
Умножим обе части на P(B).
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).
P(A ∩ B) = 0,5 · 0,4 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Задание 5. Порядок событий
Что означает запись P(B|A)?
Открыть ответ
Это вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.
Событие справа от вертикальной черты - A - является условием.
Задание 6. Проверка
Ученик получил P(A|B) = 1,25. Может ли ответ быть правильным?
Открыть ответ
Нет.
Условная вероятность также является вероятностью и должна находиться от 0 до 1 включительно.
Самостоятельная работа
Из чисел от 1 до 18 случайно выбирают одно.
Выполните четыре пункта
- Известно, что число чётное. Найдите вероятность того, что оно больше 10.
- Известно, что число кратно 3. Найдите вероятность того, что оно чётное.
- Известно, что число больше 12. Найдите вероятность того, что оно нечётное.
- Если P(A ∩ B) = 0,24 и P(B) = 0,40, найдите P(A|B).
Открыть решения
1. Чётные числа от 1 до 18: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Их 9.
Больше 10: 12, 14, 16, 18. Благоприятных 4.
Ответ: 4/9.
2. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Чётные среди них: 6, 12, 18.
Ответ: 3/6 = 1/2.
3. Больше 12: 13, 14, 15, 16, 17, 18.
Нечётные: 13, 15, 17.
Ответ: 3/6 = 1/2.
4. P(A|B) = 0,24 / 0,40 = 0,6.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено условной вероятности и правилу умножения вероятностей для 10 класса. В этом уроке сосредоточьтесь прежде всего на определении P(A|B) и формуле условной вероятности; правило умножения подробно разберём на следующем уроке.
Основное видео Rutube - «Условная вероятность. Правило умножения вероятностей».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация по учебному курсу «Вероятность и статистика» предназначена для 10 класса и посвящена условной вероятности.
На что обратить внимание
- смысл дополнительного условия;
- обозначение P(A|B);
- различие P(A|B) и P(B|A);
- пересечение A ∩ B;
- формулу условной вероятности;
- решение задач с изменившимся пространством исходов.
Интерактив и дополнительная тренировка
Раздел ЯКласс «Условная вероятность» для 10 класса содержит теорию и тренировочные задания по понятию и формуле условной вероятности.
Как выполнять задания
- первым делом определяйте событие-условие;
- смотрите, какое событие стоит справа от вертикальной черты;
- сокращайте пространство исходов до условия B;
- находите внутри B исходы пересечения A ∩ B;
- проверяйте результат по формуле;
- следите, чтобы вероятность была от 0 до 1.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте ответ.
01 Что называют условной вероятностью?
Ответ: вероятность события, вычисляемую при дополнительном условии, что некоторое другое событие уже произошло.
02 Как читается P(A|B)?
Ответ: «вероятность события A при условии B».
03 Что означает вертикальная черта |?
Ответ: в записи условной вероятности она читается «при условии». Справа от неё находится событие-условие.
04 Как записывается формула условной вероятности?
Ответ: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), если P(B) > 0.
05 Почему в числителе стоит A ∩ B?
Ответ: поскольку при уже произошедшем B нас интересуют только те исходы B, при которых одновременно происходит A. Это и есть пересечение A ∩ B.
06 Почему требуется P(B) > 0?
Ответ: P(B) находится в знаменателе. При P(B) = 0 возникло бы деление на ноль, которое не определено.
07 Обязательно ли P(A|B) равно P(B|A)?
Ответ: нет. В этих двух вероятностях используются разные условия, поэтому их значения могут различаться.
Главное по уроку
Условная вероятность возникает тогда, когда при вычислении вероятности уже известна дополнительная информация о результате опыта.
Вероятность события A при условии, что B произошло, обозначается P(A|B).
Вертикальная черта | читается «при условии».
Событие справа от вертикальной черты является условием.
После наступления B пространство рассматриваемых исходов фактически сокращается до исходов события B.
Благоприятными для A при условии B являются исходы пересечения A ∩ B.
Формула условной вероятности: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), если P(B) > 0.
P(A|B) и P(B|A) в общем случае различны.
Как и любая вероятность, условная вероятность находится от 0 до 1 включительно.
Следующий урок - «Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента».
12 Урок 12 Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента Открыть урок Свернуть урок
Урок 12. Умножение вероятностей. Дерево случайного эксперимента
В прошлом уроке мы ввели условную вероятность P(A|B). Теперь из этой формулы получим правило умножения вероятностей и научимся изображать последовательный случайный опыт в виде дерева. Дерево особенно удобно тогда, когда опыт состоит из нескольких этапов и вероятность следующего результата зависит от того, что произошло раньше.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Умножение вероятностей
Научитесь находить вероятность последовательного наступления двух событий.
Условная вероятность
Увидите, как условная вероятность используется на втором и следующих этапах случайного опыта.
Дерево опыта
Научитесь читать корень, узлы, ветви, пути и конечные исходы дерева.
Повторим условную вероятность
В уроке 11 мы получили формулу:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
Запись P(B|A) читается «вероятность события B при условии A».
Здесь A считается уже произошедшим событием, а A ∩ B означает, что произошли и A, и B.
Вертикальная черта
|
по-прежнему читается «при условии».
Получаем правило умножения вероятностей
Начнём с формулы условной вероятности:
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
Чтобы выразить вероятность пересечения P(A ∩ B), умножим обе части равенства на P(A).
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Символ ·
Точка · между числами или выражениями означает умножение. Например, 0,6 · 0,5 означает «0,6 умножить на 0,5».
Правило умножения вероятностей
Вероятность одновременного наступления событий A и B можно найти, умножив вероятность первого события A на условную вероятность второго события B при условии, что A уже произошло.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)
Обе записи верны. Можно начать с A и затем рассматривать B при условии A или начать с B и рассматривать A при условии B.
Пример 1. Вероятность последовательности событий
Известно, что P(A) = 0,6, а вероятность события B при условии A равна 0,5. Найдём вероятность того, что произошли оба события.
1
Выписываем данные
P(A) = 0,6 и P(B|A) = 0,5.
2
Используем правило умножения
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
3
Подставляем значения
P(A ∩ B) = 0,6 · 0,5.
4
Вычисляем
P(A ∩ B) = 0,30.
Ответ:
вероятность последовательного наступления A, а затем B при условии A равна 0,3.
Что такое дерево случайного эксперимента
Дерево случайного эксперимента
Дерево случайного эксперимента - схема, которая показывает все возможные последовательности исходов многоэтапного случайного опыта и вероятности переходов от одного этапа к следующему.
| Элемент | Что это такое | Что означает в задаче |
|---|---|---|
| Корень | Начальная точка дерева | Начало случайного эксперимента |
| Ветвь | Линия от одного узла к следующему | Один возможный результат очередного этапа |
| Узел | Точка, в которой дерево может снова разветвляться | Уже известная последовательность предыдущих результатов |
| Путь | Последовательность ветвей от корня | Один конкретный последовательный результат всего опыта |
| Конечный узел | Последняя точка пути | Полностью завершённый исход многоэтапного опыта |
Два главных правила дерева
Сумма ветвей из одного узла
Вероятности всех возможных продолжений из одного узла в сумме дают 1.
Вероятность пути
Чтобы найти вероятность конкретного пути, вероятности на его ветвях перемножают.
Последующие ветви
Вероятность следующей ветви может быть условной и зависеть от уже пройденного пути.
Именно поэтому дерево удобно для задач, где после первого этапа условия второго этапа меняются.
Пример 2. Два шара без возвращения
В мешке находятся 3 красных и 2 синих шара. Все шары одинаковы по форме и размеру. Случайно выбирают один шар, не возвращают его в мешок, затем выбирают второй.
Выбор без возвращения
Выбор без возвращения означает, что первый выбранный предмет не кладут обратно. Поэтому перед вторым выбором предметов становится меньше, а состав оставшихся предметов зависит от результата первого выбора.
3 красных + 2 синих = 5 шаров
Первый выбор
Вероятность сначала получить красный шар:
P(красный) = 3/5
Вероятность сначала получить синий шар:
P(синий) = 2/5
Проверка:
3/5 + 2/5 = 1.
Из начального узла перечислены все возможные варианты первого выбора.
Вероятности второго выбора зависят от первого
Если первым выбран красный шар
В мешке остаются 2 красных и 2 синих шара, всего 4.
P(красный вторым | красный первым) = 2/4
P(синий вторым | красный первым) = 2/4
Если первым выбран синий шар
В мешке остаются 3 красных и 1 синий шар, всего 4.
P(красный вторым | синий первым) = 3/4
P(синий вторым | синий первым) = 1/4
Это условные вероятности: вероятность второго выбора рассчитывается с учётом уже известного результата первого выбора.
Строим дерево случайного эксперимента
К - красный шар, С - синий шар. На первом уровне указаны вероятности первого выбора. На втором уровне вероятности уже зависят от того, какой шар был выбран первым. Вероятность каждого полного пути находится умножением вероятностей его ветвей.
Проверяем второй уровень: после красного
2/4 + 2/4 = 1,
после синего
3/4 + 1/4 = 1.
Как найти вероятность пути
Найдём вероятность события: «первым выбран красный шар, вторым - синий».
1
Первая ветвь
Вероятность первого красного шара равна 3/5.
2
Вторая ветвь
После красного осталось 2 красных и 2 синих шара. Вероятность выбрать синий вторым равна 2/4.
3
Умножаем вероятности вдоль пути
P(К → С) = 3/5 · 2/4.
4
Перемножаем дроби
При умножении дробей числитель умножается на числитель, знаменатель - на знаменатель: (3 · 2)/(5 · 4) = 6/20.
5
Сокращаем дробь
6/20 = 3/10 = 0,3.
P(К → С) = 3/5 · 2/4 = 3/10
Проверим все конечные пути
| Путь | Первая вероятность | Условная вероятность второго выбора | Вероятность полного пути |
|---|---|---|---|
| К → К | 3/5 | 2/4 | 3/10 |
| К → С | 3/5 | 2/4 | 3/10 |
| С → К | 2/5 | 3/4 | 3/10 |
| С → С | 2/5 | 1/4 | 1/10 |
3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 10/10 = 1
Сумма вероятностей всех конечных путей равна 1, потому что дерево перечисляет все возможные завершения этого опыта.
Пример 3. Последовательная проверка изделий
Вероятность того, что первое условие A выполнено, равна 0,8. Если A выполнено, вероятность выполнения следующего условия B равна 0,7. Найдите вероятность того, что выполнены оба условия.
1
Определяем вероятности
P(A) = 0,8, P(B|A) = 0,7.
2
Требуется A ∩ B
Нужно, чтобы произошли оба события.
3
Умножаем
P(A ∩ B) = 0,8 · 0,7 = 0,56.
Ответ:
0,56, то есть 56 %.
Алгоритм построения дерева
Действуйте по шагам
1
Определите этапы опыта
Выясните, что происходит сначала, что затем.
2
Постройте ветви первого этапа
Из корня проведите ветви для всех возможных исходов первого действия.
3
Подпишите вероятности
Вероятности ветвей, выходящих из одного узла, должны в сумме давать 1.
4
Постройте следующий уровень
Для каждого предыдущего исхода отдельно определите возможные продолжения.
5
Учитывайте условие пути
Вероятность новой ветви вычисляется с учётом того, что по предыдущим ветвям уже произошло.
6
Для вероятности пути умножайте
Перемножьте все вероятности ветвей, входящих в нужный путь.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Находить вероятность пути сложением
Вдоль одного последовательного пути вероятности перемножаются.
Ошибка 2. Не изменить вероятности после выбора
При выборе без возвращения состав предметов меняется, поэтому вероятности второго этапа нужно пересчитать.
Ошибка 3. Забыть одну ветвь
Из каждого узла должны выходить все возможные продолжения данного состояния.
Ошибка 4. Сумма ветвей из узла не равна 1
Это обычно означает, что пропущен исход или неверно найдена вероятность.
Ошибка 5. Использовать безусловную вероятность на втором этапе
Второй этап может зависеть от первого. Тогда нужна условная вероятность.
Ошибка 6. Перепутать путь и отдельную ветвь
Ветвь описывает один шаг, а полный путь - последовательность нескольких шагов.
Практические задания
Задание 1. Правило умножения
P(A) = 0,75, P(B|A) = 0,4. Найдите P(A ∩ B).
Открыть решение
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
P(A ∩ B) = 0,75 · 0,4 = 0,30.
Ответ: 0,3.
Задание 2. Найдите условную вероятность
P(A ∩ B) = 0,24, P(A) = 0,6. Найдите P(B|A).
Открыть решение
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).
P(B|A) = 0,24 / 0,6 = 0,4.
Ответ: 0,4.
Задание 3. Проверка ветвей
Из одного узла дерева выходят три ветви с вероятностями 0,2; 0,5 и x. Найдите x.
Открыть решение
Сумма вероятностей ветвей должна быть равна 1.
0,2 + 0,5 + x = 1.
0,7 + x = 1.
x = 0,3.
Задание 4. Путь дерева
Первый участок пути имеет вероятность 0,7, второй при условии прохождения первого - 0,6. Найдите вероятность полного пути.
Открыть решение
Вероятности вдоль пути перемножаются.
0,7 · 0,6 = 0,42.
Ответ: 0,42.
Задание 5. Шары без возвращения
В мешке 4 белых и 1 чёрный шар. Выбирают два шара без возвращения. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми.
Открыть решение
Вероятность первого белого: 4/5.
После него остаются 3 белых шара из 4.
Вероятность второго белого при первом белом: 3/4.
P = 4/5 · 3/4 = 12/20 = 3/5.
Ответ: 3/5 = 0,6.
Задание 6. Найдите ошибку
В мешке 3 красных и 2 синих шара. После выбора красного шара без возвращения ученик записал вероятность второго красного как 3/5. В чём ошибка?
Открыть ответ
После первого красного шара в мешке уже не 5 шаров.
Остаются 2 красных и 2 синих, всего 4.
Поэтому вероятность второго красного равна 2/4 = 1/2.
Самостоятельная работа
В коробке лежат 2 зелёных и 3 жёлтых шара. Два шара выбирают последовательно без возвращения.
Выполните задания
- Найдите вероятность выбрать зелёный шар первым.
- Если первым выбран зелёный, найдите вероятность выбрать зелёный вторым.
- Найдите вероятность пути «зелёный → зелёный».
- Если первым выбран жёлтый, найдите вероятность выбрать зелёный вторым.
- Найдите вероятность пути «жёлтый → зелёный».
Открыть решение
1. Всего 5 шаров, зелёных 2: P(З) = 2/5.
2. После первого зелёного остаётся 1 зелёный из 4 шаров: 1/4.
3. P(З → З) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10.
4. После первого жёлтого остаются 2 зелёных из 4 шаров: 2/4 = 1/2.
5. Вероятность первого жёлтого 3/5.
P(Ж → З) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
Видео по теме урока
Основное видео показывает устройство дерева случайного опыта и решение задачи по такой схеме. Дополнительное видео отдельно связывает дерево с условной вероятностью.
Основное видео Rutube - разбор понятия «дерево случайного опыта» и задачи по дереву.
Открыть видео на Rutube
Основной ролик создан в контексте экзаменационной подготовки более раннего класса, но непосредственно объясняет само дерево случайного опыта. Теоретическая часть урока выше соответствует программе курса вероятности и статистики 10 класса.
Презентация
Презентация для 10 класса объединяет три непосредственно связанные темы: условную вероятность, умножение вероятностей и дерево случайного эксперимента.
На что обратить внимание
- связь P(A ∩ B) с условной вероятностью;
- правило умножения вероятностей;
- этапы построения дерева;
- вероятности на ветвях;
- изменение вероятностей после уже произошедшего исхода;
- вычисление вероятности полного пути.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс есть отдельный раздел курса «Вероятность и статистика», 10 класс, посвящённый дереву случайного эксперимента.
Как выполнять задания
- определите все ветви каждого этапа;
- проверяйте сумму вероятностей из каждого узла;
- не переносите автоматически вероятность первого уровня на второй;
- учитывайте предыдущий исход;
- для вероятности одного пути перемножайте ветви;
- после решения проверяйте итоговую вероятность.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте ответ.
01 Как записывается правило умножения вероятностей через условную вероятность?
Ответ: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
02 Что показывает ветвь дерева?
Ответ: один возможный результат очередного этапа случайного эксперимента и вероятность этого перехода.
03 Что называют путём дерева?
Ответ: последовательность ветвей от начального узла, описывающую конкретную последовательность исходов.
04 Как находится вероятность одного полного пути?
Ответ: вероятности всех ветвей данного пути перемножаются.
05 Чему должна быть равна сумма вероятностей ветвей, выходящих из одного узла?
Ответ: 1, если перечислены все возможные продолжения данного узла.
06 Почему при выборе без возвращения вероятности второго этапа меняются?
Ответ: первый выбранный предмет удаляется, поэтому общее число предметов и их состав перед вторым выбором уже другие.
07 В мешке 3 красных и 2 синих шара. Какова вероятность второго синего, если первым уже выбран красный?
Ответ: после красного остаются 2 красных и 2 синих шара, всего 4. Поэтому вероятность равна 2/4 = 1/2.
Главное по уроку
Правило умножения вероятностей следует из определения условной вероятности.
Вероятность одновременного наступления A и B: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
Можно также использовать запись: P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B).
Дерево случайного эксперимента показывает последовательные этапы случайного опыта.
Начальная точка дерева называется корнем, линии - ветвями, точки разветвления - узлами.
Последовательность ветвей от корня называется путём.
Вероятности всех ветвей, выходящих из одного узла и описывающих все возможные продолжения, в сумме дают 1.
Вероятность полного пути находится умножением вероятностей вдоль его ветвей.
На втором и последующих этапах вероятность ветви может быть условной и зависеть от того, какой путь уже пройден.
При выборе без возвращения вероятности последующих выборов обычно меняются, потому что состав оставшихся объектов меняется.
Следующий урок - «Дерево случайного эксперимента. Решение задач на условную вероятность».
13 Урок 13 Дерево случайного эксперимента. Решение задач на условную вероятность Открыть урок Свернуть урок
Урок 13. Дерево случайного эксперимента. Решение задач на условную вероятность
В уроке 12 мы научились строить дерево случайного эксперимента и находить вероятность отдельного пути умножением вероятностей его ветвей. Теперь будем использовать дерево для решения более сложных задач: находить события, состоящие из нескольких путей, складывать вероятности несовместимых путей и решать условные задачи, когда после завершения опыта нам сообщают часть результата.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Один путь
Находить вероятность одного полного пути умножением вероятностей ветвей.
Несколько путей
Складывать вероятности разных несовместимых путей, если все они подходят условию задачи.
Новое условие
Находить условную вероятность по уже построенному дереву.
Три правила, которые понадобятся
Правило 1. Вдоль пути - умножаем
Вероятность конкретной последовательности результатов находится умножением вероятностей всех ветвей этого пути.
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Правило 2. Разные несовместимые пути - складываем
Если нужное событие может произойти несколькими различными полными путями и в одном опыте может реализоваться только один из них, вероятности этих путей складывают.
Несовместимые пути
Несовместимые пути - разные полные последовательности исходов, которые не могут одновременно реализоваться в одном и том же запуске эксперимента.
Правило 3. При новом условии оставляем только подходящие пути
Если после опыта появилась дополнительная информация B, то при вычислении P(A|B) рассматриваются только те конечные пути, которые удовлетворяют условию B.
Основной пример: два шара без возвращения
В коробке находятся 4 белых и 2 чёрных шара. Два шара выбирают последовательно без возвращения.
Напоминание: без возвращения
Первый выбранный шар обратно в коробку не кладут. Поэтому перед вторым выбором остаётся 5 шаров, а их цветовой состав зависит от результата первого выбора.
4 белых + 2 чёрных = 6 шаров
Обозначим:
- Б - выбран белый шар;
- Ч - выбран чёрный шар.
Строим точное дерево
Первый уровень дерева описывает цвет первого шара. Второй уровень - цвет второго шара с учётом результата первого выбора. Каждый конечный путь описывает один полный исход опыта.
Сначала проверяем дерево
Из начального узла
4/6 + 2/6 = 6/6 = 1
После первого белого шара
3/5 + 2/5 = 1
После первого чёрного шара
4/5 + 1/5 = 1
Если из каждого узла перечислены все возможные продолжения, сумма вероятностей выходящих ветвей должна равняться 1.
Вероятности всех конечных путей
| Путь | Вероятность первого шага | Вероятность второго шага | Вероятность пути |
|---|---|---|---|
| Б → Б | 4/6 | 3/5 | 2/5 |
| Б → Ч | 4/6 | 2/5 | 4/15 |
| Ч → Б | 2/6 | 4/5 | 4/15 |
| Ч → Ч | 2/6 | 1/5 | 1/15 |
2/5 + 4/15 + 4/15 + 1/15
6/15 + 4/15 + 4/15 + 1/15 = 15/15 = 1
Сумма вероятностей всех четырёх конечных путей равна 1. Значит, все возможные завершения опыта учтены.
Задача 1. Оба шара белые
Найдём вероятность того, что оба выбранных шара окажутся белыми.
1
Находим нужный путь
Условию соответствует только путь Б → Б.
2
Вероятность первого белого
4/6.
3
Вероятность второго белого после первого белого
3/5.
4
Умножаем вдоль пути
4/6 · 3/5 = 12/30 = 2/5.
P(Б → Б) = 2/5
Задача 2. Шары разных цветов
Теперь найдём вероятность того, что два выбранных шара будут разных цветов.
Разные цвета можно получить двумя способами:
- сначала белый, затем чёрный - Б → Ч;
- сначала чёрный, затем белый - Ч → Б.
Почему вероятности можно сложить
Пути Б → Ч и Ч → Б несовместимы: в одном конкретном опыте первый шар не может одновременно быть и белым, и чёрным. Поэтому вероятности этих двух путей складываются.
P(Б → Ч) = 4/15
P(Ч → Б) = 4/15
P(разные цвета) = 4/15 + 4/15 = 8/15
Обратите внимание на два действия:
вдоль каждого пути мы умножали, а между подходящими несовместимыми путями - складывали.
Задача 3. Хотя бы один чёрный шар
Выражение «хотя бы один»
«Хотя бы один чёрный» означает один чёрный или два чёрных. Не требуется, чтобы чёрным был только один шар.
Подходят три пути:
- Б → Ч;
- Ч → Б;
- Ч → Ч.
4/15 + 4/15 + 1/15 = 9/15
P(хотя бы один чёрный) = 3/5
Проверить ответ можно через противоположное событие: «ни одного чёрного», то есть «оба белые». Его вероятность 2/5. Поэтому 1 - 2/5 = 3/5.
Задача 4. Известно, что второй шар белый
После завершения опыта нам сообщили: второй выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что первый шар был чёрным?
Теперь нельзя рассматривать все четыре конечных пути. Появилось дополнительное условие:
второй шар белый.
Шаг 1. Оставляем только пути, где второй шар белый
Таких путей два:
- Б → Б;
- Ч → Б.
P(Б → Б) = 2/5 = 6/15
P(Ч → Б) = 4/15
Шаг 2. Находим вероятность условия «второй белый» до нормировки
6/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3
Шаг 3. Среди оставшихся путей нужен Ч → Б
Именно этот путь означает: первый шар чёрный, а второй белый.
P(первый Ч | второй Б)
=
(4/15) / (10/15)
(4/15) / (10/15)
=
4/10
=
2/5
P(первый Ч | второй Б) = 2/5
Что произошло в условной задаче
Нормировка вероятностей
После появления дополнительного условия мы отбрасываем неподходящие исходы и рассматриваем оставшиеся исходы как новое пространство возможностей. Их прежние вероятности нужно пересчитать так, чтобы внутри нового пространства их сумма снова стала равна 1.
Слово «нормировка» здесь означает
пересчёт вероятностей относительно нового, уменьшенного пространства исходов.
| Путь | Исходная вероятность | Отношение к общей вероятности условия 10/15 | Условная вероятность |
|---|---|---|---|
| Б → Б | 6/15 | (6/15)/(10/15) | 3/5 |
| Ч → Б | 4/15 | (4/15)/(10/15) | 2/5 |
3/5 + 2/5 = 1
После учёта условия «второй белый» остаются два возможных пути, а их новые условные вероятности в сумме снова равны 1.
Универсальный алгоритм решения задач по дереву
Выполняйте действия в таком порядке
1
Выделите этапы эксперимента
Определите, что происходит на первом, втором и, если есть, последующих этапах.
2
Постройте все ветви
Не пропускайте возможные продолжения ни одного узла.
3
Подпишите вероятности
На последующих уровнях учитывайте всё, что уже произошло по данному пути.
4
Найдите вероятности конечных путей
Вдоль каждого пути вероятности перемножаются.
5
Выберите пути, подходящие условию
Одному событию могут соответствовать один, два или несколько конечных путей.
6
Если путей несколько - сложите
Для несовместимых полных путей вероятности складываются.
7
Если дано дополнительное условие - сократите пространство
Оставьте только пути, удовлетворяющие условию, и вычислите условную вероятность внутри них.
8
Проверьте ответ
Итоговая вероятность должна находиться от 0 до 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Складывать вероятности вдоль пути
Вдоль одного пути вероятности перемножаются.
Ошибка 2. Перемножать разные подходящие пути
Если событие получается несколькими несовместимыми конечными путями, их вероятности складываются.
Ошибка 3. Не пересчитать второй уровень
При выборе без возвращения после первого выбора меняются и число объектов, и их состав.
Ошибка 4. Не учесть порядок
Б → Ч и Ч → Б - разные пути, хотя оба дают два шара разных цветов.
Ошибка 5. В условной задаче оставить все пути
После получения дополнительной информации нужно исключить пути, противоречащие условию.
Ошибка 6. После отбора путей забыть разделить
Для условной вероятности вероятность нужного подмножества делят на общую вероятность нового условия.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Один путь
На первом этапе вероятность события A равна 0,7. После A условная вероятность события B равна 0,4. Найдите вероятность пути A → B.
Открыть решение
Вдоль пути вероятности перемножаются.
0,7 · 0,4 = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задание 2. Два подходящих пути
Событию C соответствуют два несовместимых пути с вероятностями 0,18 и 0,27. Найдите P(C).
Открыть решение
Пути несовместимы, поэтому вероятности складываем.
0,18 + 0,27 = 0,45.
Ответ: 0,45.
Задание 3. Проверка дерева
Из одного узла выходят три ветви с вероятностями 0,25; 0,35 и x. Найдите x.
Открыть решение
0,25 + 0,35 + x = 1.
0,60 + x = 1.
x = 0,40.
Задание 4. Выбор без возвращения
В коробке 3 белых и 2 чёрных шара. Два шара выбирают без возвращения. Найдите вероятность пути «чёрный → белый».
Открыть решение
Первый чёрный: 2/5.
После первого чёрного остаются 3 белых и 1 чёрный, всего 4.
Второй белый при первом чёрном: 3/4.
P(Ч → Б) = 2/5 · 3/4 = 6/20 = 3/10.
Ответ: 3/10.
Задание 5. Разные цвета
Для той же коробки с 3 белыми и 2 чёрными шарами найдите вероятность получить два шара разных цветов.
Открыть решение
Возможны два пути: Б → Ч и Ч → Б.
P(Б → Ч) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
P(Ч → Б) = 2/5 · 3/4 = 6/20 = 3/10.
Складываем: 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5.
Ответ: 3/5.
Задание 6. Условная вероятность по путям
После некоторого эксперимента условию B соответствуют два конечных пути с вероятностями 0,12 и 0,28. Событию A одновременно с B соответствует только путь с вероятностью 0,12. Найдите P(A|B).
Открыть решение
Общая вероятность условия B:
0,12 + 0,28 = 0,40.
P(A|B) = 0,12 / 0,40 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Самостоятельная работа
В мешке находятся 3 красных и 2 синих шара. Два шара выбирают последовательно без возвращения.
Выполните задания
- Найдите вероятность пути «красный → красный».
- Найдите вероятность пути «красный → синий».
- Найдите вероятность пути «синий → красный».
- Найдите вероятность получить шары разных цветов.
- Найдите вероятность получить хотя бы один синий шар.
Открыть решения
1. P(К → К) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10.
2. P(К → С) = 3/5 · 2/4 = 3/10.
3. P(С → К) = 2/5 · 3/4 = 3/10.
4. Разные цвета: К → С или С → К.
3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5.
5. Хотя бы один синий: К → С, С → К или С → С.
P(С → С) = 2/5 · 1/4 = 1/10.
3/10 + 3/10 + 1/10 = 7/10.
Видео по теме урока
Основное видео показывает задачу, в которой условная вероятность определяется непосредственно по дереву случайного эксперимента. Дополнительное видео также посвящено решению задачи на условную вероятность с использованием дерева.
Основное видео Rutube - задача на нахождение условной вероятности P(A|B) по дереву случайного эксперимента.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация по вероятности и статистике предназначена для 10 класса и посвящена дереву случайного эксперимента.
На что обратить внимание
- устройство дерева случайного эксперимента;
- вероятности на ветвях;
- умножение вероятностей вдоль пути;
- определение подходящих конечных путей;
- связь дерева с условной вероятностью;
- решение задач по готовому дереву.
Интерактив и дополнительная тренировка
ЯКласс предлагает отдельную тренировку для 10 класса по теме «Дерево случайного эксперимента».
Как выполнять задания
- сначала прочитайте все ветви дерева;
- проверяйте вероятности, выходящие из каждого узла;
- для одного пути используйте умножение;
- для нескольких несовместимых подходящих путей используйте сложение;
- если дано условие, исключайте неподходящие пути;
- в условной задаче пересчитывайте вероятность внутри нового пространства.
Вопросы для самопроверки
01 Как найти вероятность одного полного пути дерева?
Ответ: перемножить вероятности всех ветвей, входящих в этот путь.
02 Что делать, если одному событию соответствуют два несовместимых пути?
Ответ: найти вероятность каждого пути и сложить эти вероятности.
03 Почему при выборе без возвращения вероятности второго уровня меняются?
Ответ: первый выбранный объект удаляется, поэтому перед вторым выбором меняются количество и состав оставшихся объектов.
04 Что нужно сделать с деревом после появления дополнительного условия?
Ответ: оставить только те конечные пути, которые удовлетворяют новому условию.
05 Что означает нормировка вероятностей в условной задаче?
Ответ: пересчёт вероятностей относительно нового пространства исходов, определяемого условием, так чтобы сумма новых вероятностей снова равнялась 1.
06 Чему равна вероятность пути Б → Ч в основном примере?
Ответ: 4/6 · 2/5 = 8/30 = 4/15.
07 Какова вероятность двух шаров разных цветов в основном примере?
Ответ: 4/15 + 4/15 = 8/15.
Главное по уроку
Дерево случайного эксперимента позволяет увидеть все возможные последовательные исходы опыта.
Вероятность одного полного пути находится умножением вероятностей его ветвей.
Если событию соответствуют несколько несовместимых конечных путей, вероятности этих путей складываются.
При выборе без возвращения вероятность следующего результата обычно зависит от предыдущего выбора.
Поэтому вероятности на втором и последующих уровнях дерева часто являются условными.
При появлении дополнительного условия нужно оставить только пути, совместимые с этим условием.
Условная вероятность находится внутри нового пространства, образованного оставшимися путями.
После нормировки вероятности всех оставшихся вариантов в сумме снова дают 1.
Для проверки полного дерева сумма вероятностей всех конечных путей должна равняться 1.
Следующий урок - «Формула полной вероятности».
14 Урок 14 Формула полной вероятности Открыть урок Свернуть урок
Урок 14. Формула полной вероятности
В предыдущих уроках мы научились находить вероятность отдельного пути дерева и складывать вероятности нескольких подходящих путей. Формула полной вероятности обобщает именно этот способ рассуждения. Если событие A может произойти после одного из нескольких взаимоисключающих начальных вариантов, мы находим вероятность A по каждому варианту, а затем складываем вероятности соответствующих путей.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Гипотезы
Научитесь разбивать случайный опыт на несколько возможных начальных случаев.
Полная группа
Поймёте, какие условия должны выполнять события, чтобы образовывать полную группу.
Полная вероятность
Научитесь складывать вероятности всех путей, приводящих к одному событию A.
Главная идея
Пусть нас интересует некоторое событие A.
Но перед событием A может произойти один из нескольких различных начальных вариантов.
Например, изделие может быть изготовлено на первой, второй или третьей производственной линии.
Вероятность события A может быть различной в зависимости от того, какая линия была выбрана.
Поэтому общая вероятность A складывается из вероятностей
всех возможных путей, которые заканчиваются событием A.
Гипотезы H₁, H₂, ..., Hₙ
Гипотеза
В задачах на формулу полной вероятности гипотезой называют один из возможных начальных случаев, после которого может произойти интересующее нас событие A.
H₁
H₂
...
Hₙ
Что означает буква H
Латинская буква H используется для обозначения гипотез. Индексы 1, 2, ..., n показывают номер гипотезы.
Что означает индекс
Маленькая цифра или буква, записанная справа внизу у обозначения, называется нижним индексом. Например, H₁ читается «аш один», H₂ - «аш два».
Что означает n
Буква n обозначает общее количество гипотез. Например, если гипотез три, то n = 3.
Что такое полная группа событий
Полная группа событий
События H₁, H₂, ..., Hₙ образуют полную группу, если они попарно несовместны и вместе охватывают все возможные исходы случайного опыта.
Попарно несовместны
Это означает, что никакие две разные гипотезы не могут произойти одновременно.
H₁ ∩ H₂ = ∅
Например, первая и вторая гипотезы не могут произойти одновременно.
H₁ ∪ H₂ ∪ ... ∪ Hₙ = Ω
Эта запись означает, что объединение всех гипотез даёт всё пространство исходов Ω.
P(H₁) + P(H₂) + ... + P(Hₙ) = 1
Если гипотезы образуют полную группу, одна из них обязательно происходит.
Формула полной вероятности
Пусть H₁, H₂, ..., Hₙ образуют полную группу событий, а событие A может наступить после каждой из этих гипотез.
P(A) =
P(H₁) · P(A|H₁)
+
P(H₂) · P(A|H₂)
+
...
+
P(Hₙ) · P(A|Hₙ)
Что означает P(A|H₁)
Это условная вероятность события A при условии, что произошла гипотеза H₁.
Почему в формуле есть умножение
Вероятность пути H₁ → A равна:
P(H₁) · P(A|H₁)
Точно так же находятся вероятности путей H₂ → A, H₃ → A и остальных.
Почему результаты складываются
Гипотезы несовместны. Поэтому разные пути H₁ → A, H₂ → A и так далее тоже несовместны. Событие A может реализоваться по одному из этих путей, значит, вероятности путей складываются.
Компактная запись формулы
P(A) = Σ P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ)
Символ Σ
Заглавная греческая буква Σ называется «сигма» и в математике означает суммирование, то есть сложение нескольких однотипных выражений.
Индекс i
Буква i используется как номер текущей гипотезы. Запись Hᵢ означает «гипотеза с номером i».
Для решения школьных задач можно пользоваться развёрнутой записью без символа Σ. Она обычно понятнее и позволяет не пропустить ни одну гипотезу.
Пример 1. Три производственные линии
Изделия поступают с трёх производственных линий. Первая линия выпускает 20 % продукции, вторая - 30 %, третья - 50 %. Доля изделий с дефектом составляет соответственно 4 %, 2 % и 1 %. Найдём вероятность того, что случайно выбранное изделие окажется с дефектом.
Событие A
Пусть A - событие «выбранное изделие имеет дефект».
Гипотезы
H₁ - изделие произведено первой линией; H₂ - второй линией; H₃ - третьей линией.
P(H₁) = 0,20
P(H₂) = 0,30
P(H₃) = 0,50
Проверка полной группы:
0,20 + 0,30 + 0,50 = 1
.
P(A|H₁) = 0,04
P(A|H₂) = 0,02
P(A|H₃) = 0,01
Та же задача на дереве
A - изделие с дефектом, Ā - изделие без дефекта. Событие A может произойти после любой из трёх гипотез. Поэтому нужно найти три пути, заканчивающиеся A, и сложить их вероятности.
Решаем пример пошагово
1
Первая линия и дефект
0,20 · 0,04 = 0,008.
2
Вторая линия и дефект
0,30 · 0,02 = 0,006.
3
Третья линия и дефект
0,50 · 0,01 = 0,005.
4
Складываем три несовместимых пути
P(A) = 0,008 + 0,006 + 0,005.
5
Получаем ответ
P(A) = 0,019.
6
Переводим в проценты
0,019 = 1,9 %.
P(A) = 0,019 = 1,9 %
Структура формулы на примере
| Гипотеза | P(Hᵢ) | P(A|Hᵢ) | Вероятность пути |
|---|---|---|---|
| H₁ - первая линия | 0,20 | 0,04 | 0,008 |
| H₂ - вторая линия | 0,30 | 0,02 | 0,006 |
| H₃ - третья линия | 0,50 | 0,01 | 0,005 |
Пример 2. Выбор одной из двух коробок
Сначала случайным способом выбирают одну из двух коробок. Вероятность выбора первой коробки равна 0,4, второй - 0,6. Если выбрана первая коробка, вероятность достать красный шар равна 0,75. Если выбрана вторая - 0,20. Найдём вероятность достать красный шар.
P(H₁) = 0,4
P(H₂) = 0,6
P(A|H₁) = 0,75
P(A|H₂) = 0,20
P(A)
=
0,4 · 0,75
+
0,6 · 0,20
P(A) = 0,30 + 0,12 = 0,42
Ответ:
вероятность достать красный шар равна 0,42, то есть 42 %.
Пример 3. Найдём неизвестную условную вероятность
Гипотезы H₁ и H₂ образуют полную группу. Известно: P(H₁) = 0,4, P(H₂) = 0,6, P(A|H₁) = 0,25, P(A) = 0,34. Найдём P(A|H₂).
1
Обозначаем неизвестную вероятность
Пусть P(A|H₂) = x.
2
Записываем формулу
0,34 = 0,4 · 0,25 + 0,6 · x.
3
Выполняем первое умножение
0,4 · 0,25 = 0,10.
4
Получаем уравнение
0,34 = 0,10 + 0,6x.
5
Переносим 0,10
0,34 - 0,10 = 0,6x.
6
Находим x
0,24 = 0,6x, поэтому x = 0,24 / 0,6 = 0,4.
P(A|H₂) = 0,4
Алгоритм применения формулы полной вероятности
1
Определите событие A
Чётко сформулируйте, вероятность чего требуется найти.
2
Выделите гипотезы
Найдите все возможные начальные варианты H₁, H₂, ..., Hₙ.
3
Проверьте полную группу
Гипотезы должны быть несовместимыми и вместе охватывать все варианты.
4
Выпишите P(Hᵢ)
Проверьте, что сумма вероятностей гипотез равна 1.
5
Выпишите P(A|Hᵢ)
Для каждой гипотезы найдите условную вероятность события A.
6
Найдите вероятность каждого пути
Умножьте P(Hᵢ) на P(A|Hᵢ).
7
Сложите пути
Полученная сумма и есть P(A).
8
Проверьте результат
Вероятность должна быть от 0 до 1 включительно.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Гипотезы не охватывают все варианты
Тогда группа не является полной и формула будет неполной.
Ошибка 2. Гипотезы пересекаются
Гипотезы полной группы должны быть попарно несовместны.
Ошибка 3. Сумма P(Hᵢ) не равна 1
Это признак того, что гипотезы или вероятности определены неверно.
Ошибка 4. Просто сложить условные вероятности
Нельзя складывать P(A|H₁), P(A|H₂) и так далее без учёта вероятностей самих гипотез.
Ошибка 5. Забыть умножение вдоль пути
Каждый путь имеет вероятность P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ).
Ошибка 6. Перепутать P(A|Hᵢ) и P(Hᵢ|A)
Это разные условные вероятности. В формуле полной вероятности используется P(A|Hᵢ).
Практические задания
Задание 1
P(H₁) = 0,6, P(H₂) = 0,4, P(A|H₁) = 0,7, P(A|H₂) = 0,2. Найдите P(A).
Открыть решение
P(A) = 0,6 · 0,7 + 0,4 · 0,2.
P(A) = 0,42 + 0,08 = 0,50.
Ответ: 0,5.
Задание 2
Три маршрута выбираются с вероятностями 0,25; 0,35 и 0,40. Вероятность опоздания на каждом маршруте равна соответственно 0,10; 0,05 и 0,02. Найдите общую вероятность опоздания.
Открыть решение
P(A) = 0,25 · 0,10 + 0,35 · 0,05 + 0,40 · 0,02.
P(A) = 0,025 + 0,0175 + 0,008.
P(A) = 0,0505.
Ответ: 0,0505, или 5,05 %.
Задание 3
Составляют ли полную группу три попарно несовместных события с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3?
Открыть ответ
События по условию попарно несовместны.
Проверяем сумму: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1.
Да, при этих условиях они образуют полную группу.
Задание 4
P(H₁) = 0,4, P(H₂) = 0,6, P(A|H₁) = 0,25, P(A) = 0,34. Найдите P(A|H₂).
Открыть решение
Пусть P(A|H₂) = x.
0,34 = 0,4 · 0,25 + 0,6x.
0,34 = 0,10 + 0,6x.
0,24 = 0,6x.
x = 0,4.
Задание 5. Найдите ошибку
Ученик записал P(A) = P(A|H₁) + P(A|H₂). Почему это неверно?
Открыть ответ
Условные вероятности относятся к разным гипотезам, которые сами могут иметь разные вероятности.
Нужно учитывать вероятность каждой гипотезы:
P(A) = P(H₁) · P(A|H₁) + P(H₂) · P(A|H₂).
Задание 6
Может ли полная группа состоять из событий с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,4?
Открыть ответ
0,2 + 0,3 + 0,4 = 0,9.
Сумма не равна 1.
Значит, перечислены не все возможные гипотезы либо одна из вероятностей указана неверно.
Самостоятельная работа
Товар поступает в магазин от трёх поставщиков. Первый поставляет 30 % товара, второй - 40 %, третий - 30 %. Вероятность повреждения товара при доставке составляет соответственно 2 %, 3 % и 1 %.
Выполните задания
- Запишите гипотезы H₁, H₂ и H₃.
- Проверьте, что вероятности гипотез дают 1.
- Запишите условные вероятности повреждения.
- Найдите вероятность пути H₁ → A.
- Найдите общую вероятность повреждения товара.
Открыть решение
H₁ - товар первого поставщика.
H₂ - товар второго поставщика.
H₃ - товар третьего поставщика.
P(H₁) = 0,30, P(H₂) = 0,40, P(H₃) = 0,30.
Проверка: 0,30 + 0,40 + 0,30 = 1.
P(A|H₁) = 0,02, P(A|H₂) = 0,03, P(A|H₃) = 0,01.
P(H₁ → A) = 0,30 · 0,02 = 0,006.
P(A) = 0,30 · 0,02 + 0,40 · 0,03 + 0,30 · 0,01.
P(A) = 0,006 + 0,012 + 0,003 = 0,021.
Ответ: 0,021, или 2,1 %.
Видео по теме урока
Основное видео разбирает формулу полной вероятности. В нём также затрагивается формула Байеса, но в этом уроке достаточно изучить часть, относящуюся к полной вероятности.
Презентация
Презентация создана специально для урока вероятности и статистики в 10 классе по теме «Формула полной вероятности».
На что обратить внимание
- определение полной группы событий;
- попарную несовместность гипотез;
- сумму вероятностей гипотез, равную 1;
- условные вероятности P(A|Hᵢ);
- умножение вероятностей вдоль каждого пути;
- сложение вероятностей всех путей к событию A.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс тема «Формула полной вероятности» входит в раздел курса «Вероятность и статистика» для 10 класса.
Как выполнять задания
- сначала выделите полную группу гипотез;
- проверьте сумму P(Hᵢ);
- для каждой гипотезы найдите P(A|Hᵢ);
- вычислите вероятность каждого пути;
- сложите все пути, ведущие к A;
- проверьте, что итог не превышает 1.
Вопросы для самопроверки
01 Что называют полной группой событий?
Ответ: группу попарно несовместных событий, объединение которых охватывает всё пространство исходов Ω.
02 Чему равна сумма вероятностей гипотез полной группы?
Ответ: 1.
03 Как записывается формула полной вероятности для двух гипотез?
Ответ: P(A) = P(H₁) · P(A|H₁) + P(H₂) · P(A|H₂).
04 Почему внутри каждого слагаемого вероятности перемножаются?
Ответ: потому что каждое слагаемое является вероятностью последовательного пути Hᵢ → A.
05 Почему вероятности разных путей затем складываются?
Ответ: гипотезы несовместны, поэтому разные полные пути к A также несовместимы.
06 Что означает P(A|H₂)?
Ответ: вероятность события A при условии, что произошла гипотеза H₂.
07 Что означает символ Σ?
Ответ: это греческая буква «сигма», которая используется как знак суммирования нескольких однотипных выражений.
Главное по уроку
Формула полной вероятности применяется, когда событие A может произойти после одного из нескольких возможных начальных случаев.
Эти начальные случаи обозначают H₁, H₂, ..., Hₙ и называют гипотезами.
Гипотезы должны образовывать полную группу: быть попарно несовместными и вместе охватывать все исходы.
Поэтому сумма P(H₁) + P(H₂) + ... + P(Hₙ) равна 1.
Вероятность пути Hᵢ → A равна P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ).
Полная вероятность события A получается сложением вероятностей всех таких путей.
Формула: P(A) = P(H₁) · P(A|H₁) + P(H₂) · P(A|H₂) + ... + P(Hₙ) · P(A|Hₙ).
Символ Σ используется для краткой записи суммы.
Дерево случайного эксперимента помогает увидеть смысл формулы: вдоль каждого пути вероятности умножаются, а вероятности разных подходящих путей складываются.
Следующий урок - «Формула полной вероятности. Решение задач».
15 Урок 15 Формула полной вероятности. Решение задач Открыть урок Свернуть урок
Урок 15. Формула полной вероятности. Решение задач
В предыдущем уроке мы вывели формулу полной вероятности. Теперь основная задача - научиться узнавать ситуации, в которых эта формула нужна, правильно выбирать полную группу гипотез, переводить проценты в вероятности, строить расчёт по нескольким путям и решать обратные задачи, когда одна из вероятностей неизвестна.
35
минут основной работы
Что вы отработаете
Выбор гипотез
Научитесь самостоятельно определять полную группу событий по условию задачи.
Вероятность пути
Будете умножать вероятность гипотезы на условную вероятность нужного события.
Общая вероятность
Будете складывать вероятности всех несовместимых путей, приводящих к событию A.
Короткая памятка перед решением задач
P(A) =
P(H₁) · P(A|H₁)
+
P(H₂) · P(A|H₂)
+
...
+
P(Hₙ) · P(A|Hₙ)
- H₁, H₂, ..., Hₙ - гипотезы, то есть возможные начальные случаи;
- гипотезы должны быть попарно несовместны;
- вместе они должны охватывать все возможные случаи;
- P(H₁) + P(H₂) + ... + P(Hₙ) = 1;
- P(A|Hᵢ) - вероятность события A при условии гипотезы Hᵢ;
- P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ) - вероятность одного пути к событию A.
Практическое правило:
сначала определяем все возможные причины или источники, затем для каждого источника находим вероятность нужного результата.
Как узнать задачу на полную вероятность
Формула полной вероятности особенно полезна, если в условии встречается несколько источников, групп, маршрутов, коробок, производственных линий или других взаимоисключающих вариантов.
Несколько источников
Товар поступает от нескольких поставщиков.
Несколько групп
Случайно выбирается человек из разных групп с разными характеристиками.
Несколько маршрутов
Сначала выбирается способ движения, затем возникает вероятность опоздания.
Несколько коробок
Сначала выбирается коробка, потом предмет из неё.
Несколько линий
Изделие могло быть изготовлено на разных производственных линиях.
Разные условия
Вероятность события A различается в зависимости от выбранного начального случая.
Универсальный алгоритм
1
Определите событие A
Что именно требуется найти: дефект, успех, опоздание, красный шар и так далее.
2
Найдите гипотезы
Выделите все взаимоисключающие начальные случаи H₁, H₂, ..., Hₙ.
3
Проверьте полноту
Сумма вероятностей гипотез должна равняться 1.
4
Найдите условные вероятности
Для каждой гипотезы определите P(A|Hᵢ).
5
Найдите вероятности путей
Для каждого i вычислите P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ).
6
Сложите результаты
Сумма вероятностей всех путей к A даст P(A).
7
Проверьте смысл ответа
Вероятность должна находиться от 0 до 1 включительно.
Задача 1. Поставщики товара
Магазин получает 25 % товара от первого поставщика, 45 % - от второго и 30 % - от третьего. Вероятность повреждения товара составляет соответственно 2 %, 3 % и 1 %. Найдём вероятность того, что случайно выбранный товар повреждён.
Событие A
A - выбранный товар повреждён.
Гипотезы:
- H₁ - товар поступил от первого поставщика;
- H₂ - от второго;
- H₃ - от третьего.
P(H₁) = 0,25
P(H₂) = 0,45
P(H₃) = 0,30
Проценты переводим в десятичные дроби делением на 100:
25 % = 0,25;
45 % = 0,45;
30 % = 0,30.
P(A|H₁) = 0,02
P(A|H₂) = 0,03
P(A|H₃) = 0,01
1
Проверяем полную группу
0,25 + 0,45 + 0,30 = 1.
2
Первый путь
0,25 · 0,02 = 0,005.
3
Второй путь
0,45 · 0,03 = 0,0135.
4
Третий путь
0,30 · 0,01 = 0,003.
5
Складываем
0,005 + 0,0135 + 0,003 = 0,0215.
P(A) = 0,0215 = 2,15 %
Та же задача в таблице
| Гипотеза | P(Hᵢ) | P(A|Hᵢ) | P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ) |
|---|---|---|---|
| H₁ - первый поставщик | 0,25 | 0,02 | 0,005 |
| H₂ - второй поставщик | 0,45 | 0,03 | 0,0135 |
| H₃ - третий поставщик | 0,30 | 0,01 | 0,003 |
| Итого | 1 | - | 0,0215 |
Полезная проверка результата
Взвешенное среднее
Полная вероятность является своеобразным средним из условных вероятностей P(A|Hᵢ), но каждая условная вероятность учитывается с весом P(Hᵢ). Поэтому такое среднее называют взвешенным.
Если все P(Hᵢ) положительны и в сумме равны 1, то P(A) не может быть меньше наименьшей из условных вероятностей и больше наибольшей.
0,01 ≤ 0,0215 ≤ 0,03
Знак ≤
Знак ≤ читается «меньше или равно». Проверка показывает, что найденная вероятность 0,0215 действительно расположена между 0,01 и 0,03.
Задача 2. Способ поездки и опоздание
Человек выбирает автобус с вероятностью 0,5, поезд - с вероятностью 0,3, автомобиль - с вероятностью 0,2. Вероятность опоздания составляет соответственно 0,12; 0,04 и 0,08. Какова общая вероятность опоздания?
Пусть A - событие «человек опоздал».
Гипотезы: H₁ - автобус, H₂ - поезд, H₃ - автомобиль.
P(A)
=
0,5 · 0,12
+
0,3 · 0,04
+
0,2 · 0,08
P(A)
=
0,06
+
0,012
+
0,016
P(A) = 0,088 = 8,8 %
Проверка: условные вероятности равны 0,04; 0,08 и 0,12. Полученное значение 0,088 находится между 0,04 и 0,12.
Задача 3. Выбор коробки
Первую коробку выбирают с вероятностью 0,6, вторую - с вероятностью 0,4. Вероятность достать красный шар из первой коробки равна 3/5, а из второй - 1/4. Найдите общую вероятность получить красный шар.
3/5 = 0,6
1/4 = 0,25
1
Путь через первую коробку
0,6 · 0,6 = 0,36.
2
Путь через вторую коробку
0,4 · 0,25 = 0,10.
3
Складываем
0,36 + 0,10 = 0,46.
P(A) = 0,46
Задача 4. Найдём неизвестную условную вероятность
Три гипотезы образуют полную группу: P(H₁) = 0,40, P(H₂) = 0,35, P(H₃) = 0,25. Известно: P(A|H₁) = 0,20, P(A|H₂) = 0,40, а P(A) = 0,31. Найдите P(A|H₃).
1
Вводим неизвестное
Пусть P(A|H₃) = x.
2
Записываем формулу
0,31 = 0,40 · 0,20 + 0,35 · 0,40 + 0,25x.
3
Вычисляем известные части
0,40 · 0,20 = 0,08; 0,35 · 0,40 = 0,14.
4
Получаем уравнение
0,31 = 0,22 + 0,25x.
5
Находим неизвестную часть
0,31 - 0,22 = 0,09.
6
Делим на 0,25
x = 0,09 / 0,25 = 0,36.
P(A|H₃) = 0,36
Проверка подстановкой:
0,08 + 0,14 + 0,25 · 0,36 =
0,08 + 0,14 + 0,09 =
0,31.
Задача 5. Найдём неизвестную вероятность гипотезы
Есть две гипотезы H₁ и H₂. Известно: P(H₁) = x, P(H₂) = 1 - x, P(A|H₁) = 0,8, P(A|H₂) = 0,3, P(A) = 0,5. Найдите x.
Почему P(H₂) = 1 - x
Гипотез всего две и они образуют полную группу. Поэтому P(H₁) + P(H₂) = 1. Если P(H₁) = x, то P(H₂) = 1 - x.
1
Подставляем в формулу
0,5 = 0,8x + 0,3(1 - x).
2
Раскрываем скобки
0,3(1 - x) = 0,3 - 0,3x.
3
Приводим подобные
0,5 = 0,5x + 0,3.
4
Вычитаем 0,3
0,2 = 0,5x.
5
Находим x
x = 0,2 / 0,5 = 0,4.
P(H₁) = 0,4
P(H₂) = 0,6
Формула или дерево?
| Ситуация | Удобнее формула | Удобнее дерево |
|---|---|---|
| Все P(Hᵢ) и P(A|Hᵢ) уже даны числами | Да | Можно |
| Нужно увидеть последовательность этапов | Можно | Да |
| Есть много гипотез | Часто удобно | Дерево может стать большим |
| Нужно понять, откуда берётся формула | После построения | Очень удобно |
Формула полной вероятности и дерево - не два разных метода по смыслу. Формула является компактной записью сложения вероятностей всех нужных путей дерева.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Проценты не переведены в вероятность
Например, 25 % нужно записать как 0,25, а не как 25.
Ошибка 2. Сумма гипотез не равна 1
Значит, какая-то гипотеза пропущена или данные переписаны неверно.
Ошибка 3. Складываются только условные вероятности
Нужно учитывать вес каждой гипотезы P(Hᵢ).
Ошибка 4. P(A|Hᵢ) перепутано с P(Hᵢ|A)
В формуле полной вероятности используется вероятность A при условии Hᵢ.
Ошибка 5. Потеря одного пути
Если событие A может возникнуть при трёх гипотезах, в формуле должны присутствовать все три соответствующих слагаемых.
Ошибка 6. Ответ вне разумного диапазона
Итоговая вероятность не может быть меньше 0 или больше 1.
Практические задания
Решайте сначала самостоятельно.
Задание 1
P(H₁) = 0,7, P(H₂) = 0,3, P(A|H₁) = 0,4, P(A|H₂) = 0,6. Найдите P(A).
Открыть решение
P(A) = 0,7 · 0,4 + 0,3 · 0,6.
P(A) = 0,28 + 0,18 = 0,46.
Ответ: 0,46.
Задание 2
Три группы выбираются с вероятностями 0,2; 0,5 и 0,3. Вероятности успеха в группах равны 0,9; 0,6 и 0,4. Найдите общую вероятность успеха.
Открыть решение
P(A) = 0,2 · 0,9 + 0,5 · 0,6 + 0,3 · 0,4.
P(A) = 0,18 + 0,30 + 0,12 = 0,60.
Ответ: 0,6.
Задание 3
Гипотезы H₁, H₂ и H₃ имеют вероятности 0,15; 0,45 и x. Найдите x.
Открыть решение
Сумма вероятностей полной группы равна 1:
0,15 + 0,45 + x = 1.
0,60 + x = 1.
x = 0,40.
Задание 4
P(H₁) = 0,5, P(H₂) = 0,5, P(A|H₁) = 0,2, P(A) = 0,35. Найдите P(A|H₂).
Открыть решение
Пусть P(A|H₂) = x.
0,35 = 0,5 · 0,2 + 0,5x.
0,35 = 0,10 + 0,5x.
0,25 = 0,5x.
x = 0,5.
Задание 5
Условные вероятности A равны 0,1; 0,3 и 0,8. Ученик получил P(A) = 0,92. Можно ли сразу увидеть ошибку?
Открыть ответ
Да.
Полная вероятность является взвешенным средним условных вероятностей.
Если вероятности гипотез положительны и образуют полную группу, результат должен находиться между 0,1 и 0,8.
Значение 0,92 больше 0,8, значит, расчёт неверен.
Задание 6
Два цеха производят соответственно 60 % и 40 % изделий. Вероятность брака в первом цехе 0,02, во втором - 0,05. Найдите вероятность брака случайно выбранного изделия.
Открыть решение
P(A) = 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05.
P(A) = 0,012 + 0,020 = 0,032.
Ответ: 0,032, или 3,2 %.
Самостоятельная работа
Интернет-магазин отправляет заказы через три службы доставки. Первой передаётся 50 % заказов, второй - 30 %, третьей - 20 %. Вероятность доставки позже срока составляет соответственно 4 %, 6 % и 10 %.
Выполните задания
- Обозначьте гипотезы H₁, H₂ и H₃.
- Проверьте, образуют ли они полную группу.
- Запишите P(A|H₁), P(A|H₂), P(A|H₃), где A - доставка позже срока.
- Найдите вероятность каждого из трёх путей к событию A.
- Найдите P(A).
- Переведите результат в проценты.
Открыть решение
H₁ - первая служба, H₂ - вторая, H₃ - третья.
P(H₁) = 0,50; P(H₂) = 0,30; P(H₃) = 0,20.
Проверка: 0,50 + 0,30 + 0,20 = 1.
P(A|H₁) = 0,04; P(A|H₂) = 0,06; P(A|H₃) = 0,10.
Первый путь: 0,50 · 0,04 = 0,020.
Второй путь: 0,30 · 0,06 = 0,018.
Третий путь: 0,20 · 0,10 = 0,020.
P(A) = 0,020 + 0,018 + 0,020 = 0,058.
Ответ: 0,058 = 5,8 %.
Видео по теме урока
Основной материал посвящён именно практическому решению задач на формулу полной вероятности. Дополнительное видео показывает применение формулы на конкретной задаче о продукции трёх заводов.
Основное видео Rutube - практическое занятие с разбором нескольких задач на формулу полной вероятности.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса посвящена именно решению задач с применением формулы полной вероятности.
На что обратить внимание
- как из текста задачи выделяются гипотезы;
- как проверяется полная группа;
- как записываются условные вероятности;
- почему каждый путь вычисляется умножением;
- почему затем вероятности путей складываются;
- как оформляется полное решение задачи.
Интерактив и тренировка
После разбора примеров выполните задания ЯКласс, а затем при необходимости используйте дополнительный тренажёр для 10 класса.
При выполнении
- выписывайте гипотезы отдельно;
- всегда проверяйте их сумму;
- не путайте P(A|Hᵢ) и P(Hᵢ|A);
- считайте каждое произведение отдельно;
- только затем складывайте;
- проверяйте диапазон итоговой вероятности.
Дополнительный тренажёр
- типовые задачи на несколько источников;
- производственные линии;
- транспортные варианты;
- различные вероятности события при разных гипотезах;
- самостоятельная отработка алгоритма.
Вопросы для самопроверки
01 Какие два свойства должны выполнять гипотезы полной группы?
Ответ: гипотезы должны быть попарно несовместными и вместе охватывать все возможные исходы рассматриваемого первого этапа.
02 Чему должна равняться сумма P(H₁) + ... + P(Hₙ)?
Ответ: 1.
03 Что означает произведение P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ)?
Ответ: вероятность полного пути, при котором сначала реализуется гипотеза Hᵢ, а затем происходит событие A.
04 Почему вероятности путей к A складываются?
Ответ: пути начинаются с несовместимых гипотез и поэтому сами являются несовместимыми способами наступления A.
05 Как перевести 7 % в десятичную вероятность?
Ответ: разделить 7 на 100: 7 % = 0,07.
06 Можно ли получить P(A) = 0,9, если все P(A|Hᵢ) находятся от 0,2 до 0,6?
Ответ: нет. При полной группе с положительными вероятностями гипотез полная вероятность является взвешенным средним условных вероятностей и должна находиться между их минимальным и максимальным значениями.
07 Что делать, если в задаче неизвестна одна из условных вероятностей P(A|Hᵢ)?
Ответ: обозначить её неизвестной, например x, подставить все остальные данные в формулу полной вероятности и решить полученное уравнение.
Главное по уроку
Формула полной вероятности используется, когда событие A может наступить после одного из нескольких взаимоисключающих начальных случаев.
Эти начальные случаи обозначаются H₁, H₂, ..., Hₙ и называются гипотезами.
Перед вычислениями необходимо проверить, что гипотезы образуют полную группу.
Их вероятности должны в сумме давать 1.
Для каждого пути вычисляется произведение P(Hᵢ) · P(A|Hᵢ).
Затем вероятности всех путей, приводящих к A, складываются.
Проценты перед вычислениями переводятся в десятичные дроби.
Формула полной вероятности позволяет решать и обратные задачи, если неизвестна одна из вероятностей.
Полезная проверка: полная вероятность обычно находится между наименьшей и наибольшей условными вероятностями P(A|Hᵢ).
Дерево и формула полной вероятности описывают один и тот же вероятностный механизм: вдоль пути - умножение, между несовместимыми путями - сложение.
Следующий урок - «Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий».
16 Урок 16 Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий Открыть урок Свернуть урок
Урок 16. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий
В уроках 11-15 мы использовали условную вероятность и общее правило умножения вероятностей. Теперь рассмотрим особый случай: наступление одного события не изменяет вероятность другого. Такие события называют независимыми. Для них правило умножения становится проще и принимает вид P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
35
минут основной работы
Что вы изучите
Независимость
Поймёте смысл независимости событий и научитесь отличать её от несовместности.
Связь с условной вероятностью
Увидите, что для независимых событий наступление B не меняет вероятность A.
Умножение
Научитесь находить вероятность совместного наступления независимых событий.
С чего начинается правило
В уроке 12 мы получили общее правило умножения вероятностей:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Здесь P(B|A) - условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.
Эта формула работает и для зависимых, и для независимых событий.
Главный вопрос сегодняшнего урока:
что произойдёт с формулой, если событие A вообще не изменяет вероятность события B?
Независимые события
Независимые события
События A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Если известно, что A произошло, но вероятность B осталась такой же, как и до получения этой информации, то:
P(B|A) = P(B)
Аналогично:
P(A|B) = P(A)
Смысл очень простой: дополнительная информация о наступлении одного события
не даёт преимуществ при прогнозировании другого события.
Формула умножения для независимых событий
Начнём с общего правила:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)
Если A и B независимы, то:
P(B|A) = P(B)
Поэтому получаем:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Критерий независимости
Два события A и B независимы, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей этих событий: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Пример 1. Два броска монеты
Правильную монету бросают два раза.
Пусть:
- A - при первом броске выпал орёл;
- B - при втором броске выпал орёл.
Результат первого броска не изменяет вероятность результата второго броска.
P(A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(A ∩ B)
=
1/2 · 1/2
=
1/4
Событие A ∩ B означает: орёл выпал и при первом, и при втором броске.
Проверим независимость через условную вероятность
Если первый бросок уже дал орла, изменится ли вероятность орла при втором броске?
P(B|A) = 1/2
P(B) = 1/2
P(B|A) = P(B)
Получение информации о первом броске ничего не изменило для второго. Это и есть независимость.
Пример 2. События могут быть зависимыми
Правильную игральную кость бросают один раз.
Пусть:
- A - выпало чётное число, A = {2, 4, 6};
- B - выпало число больше 3, B = {4, 5, 6}.
P(A) = 3/6 = 1/2
P(B) = 3/6 = 1/2
Пересечение:
A ∩ B = {4, 6}
P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
Если бы события были независимыми, должно было бы выполняться:
P(A) · P(B)
=
1/2 · 1/2
=
1/4
Но
1/3 ≠ 1/4.
Поэтому события A и B зависимы.
Знак ≠
Знак ≠ читается «не равно». Запись 1/3 ≠ 1/4 означает, что эти числа различны.
Независимые и несовместные события - это не одно и то же
| Понятие | Смысл | Основная формула | Пример |
|---|---|---|---|
| Независимые события | Наступление одного не изменяет вероятность другого | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | Орёл в первом и орёл во втором независимых бросках монеты |
| Несовместные события | Не могут произойти одновременно | P(A ∩ B) = 0 | На одной кости выпало 2 и одновременно выпало 5 |
Если A и B несовместны и при этом
P(A) > 0
и
P(B) > 0,
то они не могут быть независимыми.
Почему?
Для несовместных событий:
P(A ∩ B) = 0
Но если обе вероятности положительны, то:
P(A) · P(B) > 0
Значит, равенство P(A ∩ B) = P(A) · P(B) не выполняется.
Пример 3. Проверяем независимость по вероятностям
Известно: P(A) = 0,4, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,2. Независимы ли A и B?
1
Вычисляем произведение P(A) · P(B)
0,4 · 0,5 = 0,20.
2
Сравниваем с P(A ∩ B)
По условию P(A ∩ B) = 0,20.
3
Делаем вывод
P(A ∩ B) = P(A) · P(B), поэтому события независимы.
Пример 4. Монета и игральная кость
Одновременно бросают правильную монету и правильную игральную кость. Найдём вероятность того, что на монете выпадет орёл, а на кости - число 6.
P(A) = 1/2
P(B) = 1/6
Результат броска монеты не влияет на результат броска кости, поэтому события независимы.
P(A ∩ B)
=
1/2 · 1/6
=
1/12
Несколько независимых событий
Если несколько событий независимы в совместном смысле, вероятность того, что произойдут все эти события, находится умножением их вероятностей.
P(A ∩ B ∩ C)
=
P(A) · P(B) · P(C)
Что означает A ∩ B ∩ C
Это событие, при котором одновременно произошли A, B и C.
Для трёх и более событий существует более тонкое различие между попарной независимостью и совместной независимостью. В задачах этого курса, если прямо сказано, что несколько событий независимы, используется правило умножения их вероятностей.
Пример 5. Три независимо работающих устройства
Вероятности исправной работы трёх независимых устройств в течение заданного времени равны 0,8; 0,9 и 0,95. Найдём вероятность того, что все три устройства проработают исправно.
P(A) = 0,8
P(B) = 0,9
P(C) = 0,95
P(A ∩ B ∩ C)
=
0,8 · 0,9 · 0,95
1
Первое умножение
0,8 · 0,9 = 0,72.
2
Умножаем на третью вероятность
0,72 · 0,95 = 0,684.
P = 0,684 = 68,4 %
Пример 6. Хотя бы одно устройство работает
Два устройства выходят из строя независимо друг от друга. Вероятность отказа первого равна 0,1, второго - 0,2. Найдём вероятность того, что хотя бы одно устройство останется исправным.
Удобное противоположное событие
Событию «хотя бы одно устройство исправно» противоположно событие «оба устройства отказали».
Отказы независимы, поэтому:
P(оба отказали)
=
0,1 · 0,2
=
0,02
Вероятность противоположного события:
1 - 0,02 = 0,98
Ответ:
вероятность того, что хотя бы одно устройство останется исправным, равна 0,98, или 98 %.
Алгоритм решения задач
1
Определите события
Чётко запишите, что означают A, B и другие события.
2
Установите независимость
Она может быть прямо указана в условии или проверяться по вероятностям.
3
Если требуется одновременное наступление
Используйте P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
4
Для нескольких независимых событий
Перемножьте вероятности всех требуемых событий.
5
Для «хотя бы одного»
Часто удобнее перейти к противоположному событию «ни одного» и вычесть его вероятность из 1.
6
Проверьте результат
Вероятность должна находиться от 0 до 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Независимые = несовместные
Это разные понятия. Независимые события могут происходить одновременно.
Ошибка 2. Всегда перемножать P(A) и P(B)
Формула P(A ∩ B) = P(A) · P(B) применима только при независимости событий.
Ошибка 3. Игнорировать условную вероятность
Если события зависимы, нужно использовать P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A).
Ошибка 4. Путать «оба» и «хотя бы один»
Для «оба» обычно требуется пересечение. Для «хотя бы одного» часто удобнее противоположное событие.
Ошибка 5. Считать выбор без возвращения независимым
При выборе без возвращения состав набора меняется, поэтому следующий выбор обычно зависит от предыдущего.
Ошибка 6. Делать вывод по смыслу без проверки
Если данные P(A), P(B) и P(A ∩ B) известны, независимость удобно проверять равенством P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Практические задания
Задание 1. Два независимых события
P(A) = 0,7, P(B) = 0,4. События независимы. Найдите P(A ∩ B).
Открыть решение
P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
P(A ∩ B) = 0,7 · 0,4 = 0,28.
Ответ: 0,28.
Задание 2. Проверка независимости
P(A) = 0,6, P(B) = 0,5, P(A ∩ B) = 0,3. Независимы ли события?
Открыть решение
P(A) · P(B) = 0,6 · 0,5 = 0,3.
Это равно P(A ∩ B).
Ответ: да, события независимы.
Задание 3. События зависимы или нет?
P(A) = 0,5, P(B) = 0,2, P(A ∩ B) = 0,15. Независимы ли события?
Открыть решение
P(A) · P(B) = 0,5 · 0,2 = 0,10.
Но P(A ∩ B) = 0,15.
0,15 ≠ 0,10.
Ответ: события зависимы.
Задание 4. Три независимых события
Вероятности трёх независимых событий равны 0,9; 0,8 и 0,5. Найдите вероятность того, что произойдут все три события.
Открыть решение
P = 0,9 · 0,8 · 0,5.
0,9 · 0,8 = 0,72.
0,72 · 0,5 = 0,36.
Ответ: 0,36.
Задание 5. Два попадания
Два стрелка независимо делают по одному выстрелу. Вероятность попадания первого равна 0,8, второго - 0,75. Найдите вероятность того, что попадут оба.
Открыть решение
P = 0,8 · 0,75 = 0,60.
Ответ: 0,6.
Задание 6. Хотя бы один успех
Два независимых устройства дают сбой с вероятностями 0,1 и 0,3. Найдите вероятность того, что хотя бы одно устройство не даст сбой.
Открыть решение
Противоположное событие - оба устройства дали сбой.
P(оба сбоя) = 0,1 · 0,3 = 0,03.
P(хотя бы одно без сбоя) = 1 - 0,03 = 0,97.
Ответ: 0,97.
Самостоятельная работа
События A, B и C независимы. Известно: P(A) = 0,8, P(B) = 0,6, P(C) = 0,5.
Выполните задания
- Найдите P(A ∩ B).
- Найдите P(B ∩ C).
- Найдите вероятность одновременного наступления A, B и C.
- Найдите вероятность того, что A не произойдёт.
- Найдите вероятность того, что не произойдут ни A, ни B.
Открыть решения
1. P(A ∩ B) = 0,8 · 0,6 = 0,48.
2. P(B ∩ C) = 0,6 · 0,5 = 0,30.
3. P(A ∩ B ∩ C) = 0,8 · 0,6 · 0,5 = 0,24.
4. P(Ā) = 1 - 0,8 = 0,2.
5. Вероятность того, что A не произошло, равна 0,2. Вероятность того, что B не произошло, равна 1 - 0,6 = 0,4.
Для независимых A и B их противоположные события также независимы, поэтому:
0,2 · 0,4 = 0,08.
Видео по теме урока
Основное видео разбирает зависимые и независимые события и правило умножения вероятностей. Дополнительное видео отдельно посвящено независимости событий через условную вероятность.
Презентация
Презентация посвящена зависимым и независимым событиям и формуле умножения вероятностей.
На что обратить внимание
- определение независимых событий;
- различие зависимых и независимых событий;
- формулу P(A ∩ B) = P(A) · P(B);
- связь независимости с условной вероятностью;
- примеры проверки независимости;
- решение практических задач.
Интерактив и дополнительная тренировка
Раздел ЯКласс для курса «Вероятность и статистика», 10 класс, содержит материалы и задания по независимым событиям и умножению вероятностей.
Как выполнять задания
- определите, сказано ли в условии о независимости;
- если независимость нужно проверить, найдите P(A) · P(B);
- сравните произведение с P(A ∩ B);
- для совместного наступления независимых событий используйте умножение;
- не путайте независимость с несовместностью;
- проверяйте итоговую вероятность.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Какие события называют независимыми?
Ответ: события, при которых наступление одного не изменяет вероятность наступления другого.
02 Как связаны независимость и условная вероятность?
Ответ: для независимых событий P(B|A) = P(B) и, при соответствующих условиях, P(A|B) = P(A).
03 Как записывается правило умножения для независимых событий?
Ответ: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
04 Независимые и несовместные события - это одно и то же?
Ответ: нет. Несовместные события не могут произойти одновременно, а независимые события могут происходить одновременно, причём одно не меняет вероятность другого.
05 Как проверить независимость, если известны P(A), P(B) и P(A ∩ B)?
Ответ: вычислить P(A) · P(B) и проверить, равно ли полученное число P(A ∩ B).
06 Почему при выборе предметов без возвращения события обычно зависимы?
Ответ: после первого выбора изменяется количество и состав оставшихся предметов, поэтому вероятность следующего результата зависит от первого.
07 Как найти вероятность совместного наступления трёх независимых событий с вероятностями 0,5; 0,6 и 0,8?
Ответ: 0,5 · 0,6 · 0,8 = 0,24.
Главное по уроку
Независимые события - это события, при которых наступление одного не изменяет вероятность другого.
Для независимых событий P(B|A) = P(B).
Поэтому общее правило умножения P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) упрощается.
Для независимых событий: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
Это равенство можно использовать и как критерий проверки независимости.
Независимые события нельзя путать с несовместными событиями.
Несовместные события не могут происходить одновременно, а независимые события могут.
При последовательных независимых испытаниях вероятность одновременного выполнения нескольких требуемых событий находится умножением соответствующих вероятностей.
Для задач «хотя бы одно событие произошло» часто удобно перейти к противоположному событию.
Если выбор осуществляется без возвращения, последующие события обычно зависимы от предыдущих.
Раздел 4 завершён. В нём мы изучили условную вероятность, дерево случайного эксперимента, правило умножения вероятностей, формулу полной вероятности и независимость событий.
Следующий урок - урок 17 «Комбинаторное правило умножения», первый урок раздела 5 «Элементы комбинаторики».
Раздел 5
Элементы комбинаторики
Комбинаторное правило умножения; подсчёт числа возможных вариантов; перестановки и факториал; сочетания и число сочетаний; выбор нескольких объектов без учёта порядка; треугольник Паскаля; закономерности его построения; формула бинома Ньютона и применение комбинаторных формул при решении задач.
4
учебных часа
17 Урок 17 Комбинаторное правило умножения Открыть урок Свернуть урок
Урок 17. Комбинаторное правило умножения
Начинаем раздел «Элементы комбинаторики». Комбинаторика помогает отвечать на вопросы вида «сколько существует способов?». В этом уроке мы научимся подсчитывать число вариантов без их полного перечисления. Главный инструмент - комбинаторное правило умножения.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Считать варианты
Определять количество возможных результатов выбора без полного перебора.
Применять правило
Умножать число вариантов на последовательных этапах выбора.
Учитывать ограничения
Правильно считать варианты с повторениями, без повторений и с особыми условиями.
Что такое комбинаторика
Комбинаторика
Комбинаторика - раздел математики, в котором изучают способы выбора, расположения и подсчёта различных вариантов, составленных из заданных объектов.
Комбинаторные задачи часто задают вопрос: «Сколькими способами можно сделать выбор?»
Например:
- сколько комплектов одежды можно составить;
- сколько маршрутов существует;
- сколько кодов можно создать;
- сколько многозначных чисел удовлетворяют условию;
- сколько существует способов распределить несколько позиций.
В небольших задачах варианты можно перечислить. Но если их сотни, тысячи или миллионы, нужен более быстрый способ подсчёта.
Начнём с простого примера
Есть 3 рубашки и 2 пары брюк. Сколько различных комплектов «рубашка + брюки» можно составить?
Выбираем рубашку
3 варианта
Для каждой рубашки выбираем брюки
2 варианта
Всего комплектов
3 · 2 = 6
| Рубашка | Брюки 1 | Брюки 2 | Число комплектов для этой рубашки |
|---|---|---|---|
| Рубашка 1 | Рубашка 1 + брюки 1 | Рубашка 1 + брюки 2 | 2 |
| Рубашка 2 | Рубашка 2 + брюки 1 | Рубашка 2 + брюки 2 | 2 |
| Рубашка 3 | Рубашка 3 + брюки 1 | Рубашка 3 + брюки 2 | 2 |
3 · 2 = 6
После каждого из 3 вариантов первого выбора имеются 2 варианта второго выбора. Поэтому получаем 3 одинаковые группы по 2 варианта, то есть 3 · 2 = 6.
Комбинаторное правило умножения
Правило для двух этапов
Если первый выбор можно сделать m способами и после каждого такого выбора второй выбор можно сделать n способами, то два последовательных выбора вместе можно сделать m · n способами.
N = m · n
Что означают буквы
N - общее число вариантов; m - число способов выполнить первый выбор; n - число способов выполнить второй выбор после каждого допустимого первого выбора.
Это
комбинаторное правило умножения,
а не правило умножения вероятностей. Здесь мы умножаем количества способов, а не вероятности событий.
Если этапов больше двух
То же правило применяется к трём, четырём и любому конечному числу последовательных этапов.
N = a₁ · a₂ · a₃ · ... · aₖ
Что означают a₁, a₂, ..., aₖ
a₁ - число вариантов первого этапа, a₂ - второго, a₃ - третьего и так далее. Маленькие числа внизу являются индексами и показывают номер этапа.
Что означает k
Буква k обозначает общее число этапов выбора. Например, если этапов три, то k = 3.
Пример 2. Маршрут из двух этапов
Из города A в город B можно добраться четырьмя способами, а из города B в город C - тремя способами. Сколько маршрутов из A в C через B существует?
1
Первый этап: A → B
Есть 4 варианта.
2
Второй этап: B → C
Для каждого выбранного пути A → B имеются 3 варианта пути B → C.
3
Применяем правило
4 · 3 = 12.
N = 4 · 3 = 12
Ответ:
12 маршрутов.
Пример 3. Код из трёх позиций
Код состоит из трёх позиций. На первой позиции можно поставить одну из букв A, B, C; на второй - одну из цифр 1, 2, 3, 4; на третьей - один из символов X, Y. Сколько различных кодов существует?
1-я позиция: 3 варианта
2-я позиция: 4 варианта
3-я позиция: 2 варианта
N = 3 · 4 · 2 = 24
Ответ:
24 различных кода.
Разрешены ли повторения?
Перед умножением обязательно нужно выяснить, можно ли использовать один и тот же объект несколько раз.
Повторения разрешены
После выбора объекта он снова остаётся доступен для следующей позиции. Поэтому количество вариантов на следующем этапе может не уменьшаться.
Повторения запрещены
Уже использованный объект нельзя выбрать ещё раз. Поэтому после каждого выбора число доступных вариантов уменьшается.
Одни и те же исходные объекты могут давать совершенно разное число вариантов в зависимости от того, разрешены повторения или нет.
Пример 4. Трёхзначные числа, повторения разрешены
Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
Что такое трёхзначное число
Трёхзначное число имеет три цифры и не может начинаться с нуля. Например, 203 - трёхзначное число, а запись 023 означает число 23 и трёхзначным числом не является.
1
Первая цифра
Ноль использовать нельзя. Возможны 1, 2 или 3 - всего 3 варианта.
2
Вторая цифра
Можно выбрать любую из 0, 1, 2, 3 - всего 4 варианта.
3
Третья цифра
Повторения разрешены, поэтому снова есть 4 варианта.
4
Умножаем
3 · 4 · 4 = 48.
N = 3 · 4 · 4 = 48
Пример 5. Те же цифры, но без повторений
Теперь составим трёхзначные числа из цифр 0, 1, 2, 3 так, чтобы ни одна цифра не повторялась.
1
Первая позиция
Ноль нельзя поставить первым. Имеем 3 варианта: 1, 2 или 3.
2
Вторая позиция
Одна цифра уже использована. Из четырёх исходных цифр остаются 3 допустимые цифры.
3
Третья позиция
После использования двух различных цифр остаются 2 варианта.
4
Умножаем
3 · 3 · 2 = 18.
N = 3 · 3 · 2 = 18
Сравните: при разрешённых повторениях получилось 48 чисел, а без повторений - только 18.
Когда нельзя автоматически перемножать числа из условия
Важное условие правила
Если мы пишем m · n, то после каждого допустимого варианта первого выбора должно существовать одинаковое число n вариантов второго выбора.
Если после разных первых выборов число допустимых продолжений различно, нельзя без проверки использовать одно общее произведение m · n.
В такой ситуации удобно построить дерево вариантов и отдельно посчитать продолжения каждой ветви.
Поэтому перед вычислением всегда отвечайте на вопрос: сколько вариантов действительно остаётся после каждого уже сделанного выбора?
Алгоритм решения комбинаторной задачи
1
Определите, что считается одним вариантом
Например: один код, один маршрут, одно число, один комплект.
2
Разделите построение варианта на этапы
Например: сначала первая цифра, затем вторая, затем третья.
3
Посчитайте варианты первого этапа
Обязательно учитывайте ограничения.
4
Посчитайте варианты следующих этапов
Учитывайте уже сделанные выборы и запрет или разрешение повторений.
5
Перемножьте количества
Используйте комбинаторное правило умножения.
6
Проверьте, не посчитали ли вы лишние варианты
Особое внимание уделяйте нулю в начале числа, повторениям и другим ограничениям.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Складывать вместо умножения
Если вариант строится последовательным выполнением нескольких этапов, количества способов обычно перемножаются.
Ошибка 2. Считать ноль допустимой первой цифрой
Многозначное число не может начинаться с цифры 0.
Ошибка 3. Не учитывать запрет повторений
Если объект уже использован и повторение запрещено, число вариантов следующего этапа уменьшается.
Ошибка 4. Уменьшать число вариантов при разрешённых повторениях
Если повторение разрешено, использованный объект может снова участвовать в следующем выборе.
Ошибка 5. Путать число способов и вероятность
В комбинаторном правиле умножения считаются варианты, а не вероятности.
Ошибка 6. Не читать ограничения
Слова «различные», «не повторяются», «можно повторять», «первая цифра нечётная» полностью меняют расчёт.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Обед
В меню есть 4 супа и 5 вторых блюд. Сколько вариантов обеда «один суп + одно второе блюдо» можно выбрать?
Открыть решение
Первый этап - выбрать суп: 4 способа.
Второй этап - выбрать второе блюдо: 5 способов.
4 · 5 = 20.
Ответ: 20 вариантов.
Задание 2. Код
Код состоит из одной буквы из множества {A, B, C, D} и двух цифр от 0 до 9. Цифры могут повторяться. Сколько кодов существует?
Открыть решение
Буква: 4 варианта.
Первая цифра: 10 вариантов.
Вторая цифра: 10 вариантов.
N = 4 · 10 · 10 = 400.
Ответ: 400 кодов.
Задание 3. Двузначные числа
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры могут повторяться?
Открыть решение
Первая цифра не может быть нулём.
Первая позиция: 2 варианта - 1 или 2.
Вторая позиция: 3 варианта - 0, 1 или 2.
N = 2 · 3 = 6.
Ответ: 6 чисел.
Задание 4. Без повторений
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры не должны повторяться?
Открыть решение
Первая цифра: 2 варианта - 1 или 2.
После выбора первой цифры остаются 2 цифры.
Вторая цифра: 2 варианта.
N = 2 · 2 = 4.
Можно проверить перечислением: 10, 12, 20, 21.
Ответ: 4 числа.
Задание 5. Маршрут
От дома до станции ведут 3 маршрута, от станции до школы - 4 маршрута, а от школы до спортивного центра - 2 маршрута. Сколько способов пройти весь путь?
Открыть решение
Имеем три последовательных этапа.
N = 3 · 4 · 2 = 24.
Ответ: 24 способа.
Задание 6. Четырёхзначный код без повторений
Код составляют из четырёх разных символов A, B, C, D, причём один символ нельзя использовать дважды. Сколько четырёхпозиционных кодов можно создать?
Открыть решение
Первая позиция: 4 варианта.
Вторая: 3 оставшихся варианта.
Третья: 2.
Четвёртая: 1.
N = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
Ответ: 24 кода.
Самостоятельная работа
Решите задачи без подсказок, используя правило умножения.
Выполните 5 заданий
- Есть 5 видов футболок, 3 вида брюк и 2 вида обуви. Сколько комплектов можно составить, выбирая по одному предмету каждого вида?
- Код состоит из трёх цифр от 0 до 9. Повторения разрешены. Сколько кодов существует?
- Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 без повторений?
- Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если повторения разрешены?
- В соревновании участвуют 6 команд. Сколькими способами можно выбрать команду хозяев и отличную от неё команду гостей?
Открыть решения
1. 5 · 3 · 2 = 30.
2. Код может начинаться с нуля, поэтому на каждой позиции 10 вариантов: 10 · 10 · 10 = 1000.
3. 4 · 3 · 2 = 24.
4. Первая цифра не может быть нулём - 2 варианта. На остальных трёх позициях по 3 варианта: 2 · 3 · 3 · 3 = 54.
5. Команду хозяев выбираем 6 способами. После этого команду гостей можно выбрать из оставшихся 5 команд: 6 · 5 = 30.
Видео по теме урока
Основное видео относится к курсу вероятности и статистики 10 класса и вводит комбинаторное правило умножения. В нём также начинается разговор о перестановках - эта часть станет основной темой следующего урока.
Основное видео Rutube - «Комбинаторное правило умножения. Перестановки», курс вероятности и статистики для 10 класса.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация подготовлена непосредственно по теме «Комбинаторное правило умножения» для курса вероятности и статистики 10 класса.
На что обратить внимание
- формулировку правила для двух этапов;
- распространение правила на несколько этапов;
- подсчёт вариантов без полного перечисления;
- задачи с цифрами и буквами;
- влияние запрета повторений;
- порядок выбора элементов.
Интерактив и тренировка
ЯКласс содержит отдельную тему «Комбинаторное правило умножения» в разделе «Элементы комбинаторики» курса «Вероятность и статистика», 10 класс.
Как выполнять задания
- определите число этапов;
- считайте число способов на каждом этапе;
- учитывайте уже сделанный выбор;
- проверяйте возможность повторений;
- отдельно анализируйте первую цифру числа;
- только после этого перемножайте количества вариантов.
Вопросы для самопроверки
01 Что изучает комбинаторика?
Ответ: способы выбора, расположения и подсчёта различных вариантов, составленных из заданных объектов.
02 Как формулируется комбинаторное правило умножения для двух этапов?
Ответ: если первый выбор можно сделать m способами, а после каждого первого выбора второй - n способами, то два выбора вместе можно выполнить m · n способами.
03 Почему число трёхзначных чисел из цифр 0, 1, 2, 3 с повторениями считается как 3 · 4 · 4, а не 4 · 4 · 4?
Ответ: первая цифра трёхзначного числа не может быть нулём, поэтому для первой позиции есть только 3 варианта.
04 Что меняется, если повторения запрещены?
Ответ: уже использованный объект исключается из дальнейшего выбора, поэтому число доступных вариантов обычно уменьшается.
05 Если выбор состоит из этапов с 4, 3 и 5 вариантами, сколько полных вариантов получится?
Ответ: 4 · 3 · 5 = 60.
06 Комбинаторное правило умножения и правило умножения вероятностей - это одно правило?
Ответ: нет. Комбинаторное правило умножения используется для подсчёта числа способов, а правило умножения вероятностей - для вычисления вероятности совместного или последовательного наступления событий.
07 Почему перед применением правила нужно внимательно читать ограничения задачи?
Ответ: ограничения определяют, сколько вариантов действительно доступно на каждом этапе. Например, запрет повторений или запрет нуля на первой позиции уменьшает число допустимых способов.
Главное по уроку
Комбинаторика изучает способы выбора, расположения и подсчёта вариантов.
Комбинаторное правило умножения позволяет считать большое число вариантов без их полного перечисления.
Если первый этап можно выполнить m способами, а после каждого первого выбора второй этап - n способами, то общее число вариантов равно m · n.
Для нескольких этапов перемножаются количества допустимых вариантов каждого этапа.
При запрете повторений уже использованный объект исключается из дальнейшего выбора.
При разрешённых повторениях число вариантов на следующих позициях может оставаться прежним.
Ноль нельзя использовать как первую цифру многозначного числа.
Перед умножением необходимо учитывать все ограничения условия.
Комбинаторное правило умножения нельзя путать с правилом умножения вероятностей.
Следующий урок - урок 18 «Перестановки и факториал».
18 Урок 18 Перестановки и факториал Открыть урок Свернуть урок
Урок 18. Перестановки и факториал
В предыдущем уроке мы научились считать число вариантов с помощью комбинаторного правила умножения. Теперь рассмотрим важный частный случай: все имеющиеся различные объекты нужно использовать ровно по одному разу и расположить в некотором порядке. Такие расположения называются перестановками. Для быстрого подсчёта их числа используется факториал.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Распознавать перестановки
Определять задачи, в которых используются все различные элементы и важен порядок их расположения.
Вычислять факториал
Понимать запись n! и быстро вычислять факториалы небольших чисел.
Считать перестановки
Применять формулу Pₙ = n! в стандартных и усложнённых задачах.
Вспомним правило умножения
Представим, что нужно расставить в ряд 4 различных предмета.
На первое место можно поставить любой из 4 предметов.
После этого остаётся 3 предмета - значит, для второго места есть 3 варианта.
Затем остаются 2 варианта для третьего места и 1 вариант для последнего.
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Именно такие произведения возникают всякий раз, когда все различные элементы нужно расположить в некотором порядке без повторений и пропусков.
Что такое перестановка
Перестановка
Перестановкой из n различных элементов называют расположение всех этих n элементов в определённом порядке, причём каждый элемент используется ровно один раз.
Что означает n
Буква n обозначает количество различных элементов, которые участвуют в перестановке.
Для перестановки одновременно выполняются три условия:
используются все элементы, каждый используется один раз и порядок имеет значение.
Пример 1. Перестановки трёх букв
Возьмём три различные буквы A, B, C и выпишем все возможные способы расположить их в ряд.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
3 · 2 · 1 = 6
Всего из трёх различных элементов существует 6 перестановок.
Почему получается 3 · 2 · 1
1
Первое место
Можно поставить A, B или C - 3 варианта.
2
Второе место
После выбора первого элемента остаются 2 элемента - 2 варианта.
3
Третье место
Остаётся единственный неиспользованный элемент - 1 вариант.
4
Умножаем
3 · 2 · 1 = 6.
Что такое факториал
Факториал числа
Факториалом положительного целого числа n называют произведение всех целых чисел от 1 до n.
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n
Знак !
Восклицательный знак после числа или буквы в этой записи является математическим обозначением факториала. Запись n! читается «эн факториал», а 5! - «пять факториал».
Порядок множителей не важен:
1 · 2 · 3 · 4 и 4 · 3 · 2 · 1 дают одно и то же число.
Первые значения факториалов
| Число | Запись факториала | Произведение | Значение |
|---|---|---|---|
| 0 | 0! | Специально определено | 1 |
| 1 | 1! | 1 | 1 |
| 2 | 2! | 1 · 2 | 2 |
| 3 | 3! | 1 · 2 · 3 | 6 |
| 4 | 4! | 1 · 2 · 3 · 4 | 24 |
| 5 | 5! | 1 · 2 · 3 · 4 · 5 | 120 |
| 6 | 6! | 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 | 720 |
Значения факториалов растут очень быстро. Например, уже 10! = 3 628 800.
Почему 0! = 1
Специальное правило
По определению принимают 0! = 1.
Это соглашение позволяет сохранять общие комбинаторные формулы и правило:
n! = n · (n - 1)!
Подставим n = 1:
1! = 1 · 0!
Поскольку 1! = 1, получаем:
0! = 1
Это значение нужно запомнить: оно будет использоваться в формулах сочетаний.
Число перестановок из n элементов
Пусть имеются n различных элементов и нужно расположить в порядке все n элементов.
Для первой позиции существует n вариантов.
После первого выбора остаётся n - 1 вариант.
Затем остаётся n - 2 варианта и так далее до последней позиции.
n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 2 · 1
Это произведение и есть n!.
Pₙ = n!
Обозначение Pₙ
Pₙ обозначает число перестановок из n различных элементов. Запись можно читать «пэ эн».
Не путайте Pₙ с обозначением вероятности P(A).
P(A) - вероятность события A,
а Pₙ - число перестановок из n элементов.
Пример 2. Пять различных книг
Сколькими способами можно расставить на полке 5 различных книг?
Используются все 5 книг.
Каждая книга используется один раз.
Порядок книг имеет значение.
Следовательно, это задача на перестановки.
P₅ = 5!
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P₅ = 120
Ответ:
120 способов.
Пример 3. Порядок выступления
В финале конкурса участвуют 6 человек. Сколькими способами можно определить порядок их выступления?
1
Используются все участники
В порядке выступления должны присутствовать все 6 человек.
2
Повторений нет
Один участник не может занимать две позиции.
3
Порядок важен
Порядки 1-2-3-4-5-6 и 2-1-3-4-5-6 являются различными.
4
Применяем формулу
P₆ = 6! = 720.
Ответ:
720 различных порядков выступления.
Как сокращать факториалы
В следующих темах будут встречаться дроби с факториалами. Необязательно каждый раз полностью вычислять большие факториалы.
Рассмотрим:
7! / 5!
Раскроем только необходимую часть 7!:
7! = 7 · 6 · 5!
7! / 5!
=
(7 · 6 · 5!) / 5!
7! / 5! = 7 · 6 = 42
Такой способ намного удобнее, чем сначала вычислять 7! = 5040 и 5! = 120, а потом делить.
Ещё один пример сокращения
10! / 8!
Представим 10! так:
10! = 10 · 9 · 8!
10! / 8!
=
10 · 9
10! / 8! = 90
Пример 4. Два человека должны стоять рядом
Пять человек - Анна, Борис, Виктор, Галина и Дмитрий - становятся в ряд. Сколькими способами они могут расположиться, если Анна и Борис обязательно должны стоять рядом?
Если просто переставлять пять человек без ограничения, получили бы 5! вариантов.
Но нам нужны только те варианты, где Анна и Борис стоят рядом.
1
Объединим Анну и Бориса в один блок
Рассматриваем пару как один объект.
2
Считаем объекты
Блок «Анна-Борис» и ещё три человека дают всего 4 объекта.
3
Переставляем четыре объекта
Это можно сделать 4! = 24 способами.
4
Учитываем порядок внутри пары
Анна и Борис могут стоять как А-Б или Б-А - 2 варианта.
5
Применяем правило умножения
4! · 2 = 24 · 2 = 48.
4! · 2! = 48
Ответ:
48 способов.
Как узнать задачу на перестановки
| Вопрос | Для перестановки | Пример |
|---|---|---|
| Используются ли все объекты? | Да | Все 7 книг расставляются на полке |
| Каждый объект используется один раз? | Да | Один участник занимает только одно место |
| Имеет ли значение порядок? | Да | ABC и BAC считаются разными вариантами |
| Какая основная формула? | Pₙ = n! | Для 5 объектов P₅ = 5! = 120 |
Алгоритм решения
1
Определите количество элементов
Обозначьте это число буквой n.
2
Проверьте, используются ли все элементы
Если выбирается только часть объектов, это уже не обычная перестановка всех элементов.
3
Проверьте, различны ли элементы
В этом уроке рассматриваются перестановки различных элементов.
4
Проверьте, важен ли порядок
Для перестановки порядок обязательно имеет значение.
5
Запишите Pₙ = n!
Затем вычислите факториал.
6
Учтите дополнительные ограничения
Если какие-то объекты должны стоять рядом или занимать определённое место, сначала учтите это условие.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Считать n! как n · n
Например, 5! - это 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120, а не 25.
Ошибка 2. Забывать 0! = 1
Нулевой факториал по определению равен 1.
Ошибка 3. Использовать перестановки, когда выбрана только часть объектов
Формула Pₙ = n! относится к расположению всех n различных элементов.
Ошибка 4. Игнорировать порядок
В перестановках изменение порядка создаёт новый вариант.
Ошибка 5. Полностью вычислять большие факториалы перед сокращением
В выражении 9!/7! удобнее сразу оставить 9 · 8, а не вычислять оба факториала.
Ошибка 6. Путать Pₙ и P(A)
Pₙ обозначает число перестановок, а P(A) - вероятность события A.
Практические задания
Решите задания самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Вычислите факториал
Найдите 4!.
Открыть решение
4! = 4 · 3 · 2 · 1.
4! = 24.
Ответ: 24.
Задание 2. Шесть книг
Сколькими способами можно расставить на полке 6 различных книг?
Открыть решение
Используются все 6 различных книг, порядок важен.
P₆ = 6!.
6! = 720.
Ответ: 720 способов.
Задание 3. Четыре буквы
Сколько различных последовательностей можно составить из всех букв A, B, C, D, используя каждую ровно один раз?
Открыть решение
Это перестановки четырёх различных элементов.
P₄ = 4! = 24.
Ответ: 24.
Задание 4. Сократите факториалы
Вычислите 8!/6!.
Открыть решение
8! = 8 · 7 · 6!.
Поэтому:
8!/6! = 8 · 7 = 56.
Ответ: 56.
Задание 5. Участники забега
Пять спортсменов финишировали без одинакового результата. Сколько различных вариантов порядка финиша этих пяти спортсменов существует?
Открыть решение
Все пять спортсменов занимают различные места.
P₅ = 5! = 120.
Ответ: 120 вариантов.
Задание 6. Два объекта рядом
Четыре человека становятся в ряд. Иван и Мария должны стоять рядом. Сколько расположений возможно?
Открыть решение
Считаем Ивана и Марию одним блоком.
Тогда имеем 3 объекта: блок и ещё два человека.
Их можно переставить 3! = 6 способами.
Внутри блока возможны два порядка: Иван-Мария и Мария-Иван.
3! · 2 = 6 · 2 = 12.
Ответ: 12 расположений.
Самостоятельная работа
Выполните задания
- Вычислите 5!.
- Вычислите 7!/6!.
- Вычислите 9!/7!.
- Сколькими способами можно расставить в ряд 7 различных предметов?
- Сколькими способами можно определить порядок выступления 4 музыкантов?
- Пять различных фотографий размещают в один ряд. Две определённые фотографии должны находиться рядом. Сколько вариантов размещения существует?
Открыть решения
1. 5! = 120.
2. 7!/6! = 7.
3. 9!/7! = 9 · 8 = 72.
4. P₇ = 7! = 5040.
5. P₄ = 4! = 24.
6. Две фотографии объединяем в один блок.
Получаем 4 объекта, которые можно переставить 4! способами.
Внутри пары возможны 2 порядка.
4! · 2 = 24 · 2 = 48.
Видео по теме урока
Основное видео рассматривает правило умножения, перестановки и факториалы на уровне 10 класса. Дополнительное видео посвящено практическому решению задач на перестановки.
Основное видео Rutube - «10 класс, 47 урок. Правило умножения. Перестановки и факториалы».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация подготовлена по теме «Перестановки и факториал» для курса вероятности и статистики 10 класса.
На что обратить внимание
- определение перестановки;
- обязательное использование всех элементов;
- зависимость числа перестановок только от количества элементов;
- смысл записи n!;
- вывод формулы Pₙ = n!;
- примеры перестановок из чисел, букв и других объектов.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс тема «Перестановки и факториал. Число сочетаний» входит в раздел «Элементы комбинаторики» курса «Вероятность и статистика» для 10 класса.
Как выполнять задания
- сначала определите количество элементов n;
- проверьте, используются ли все элементы;
- убедитесь, что порядок важен;
- запишите Pₙ = n!;
- при дробях с факториалами сначала сокращайте;
- только после этого выполняйте арифметические вычисления.
Вопросы для самопроверки
Ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что называют перестановкой из n различных элементов?
Ответ: расположение всех n различных элементов в определённом порядке, при котором каждый элемент используется ровно один раз.
02 Что означает запись n!?
Ответ: факториал числа n - произведение всех целых чисел от 1 до n.
03 Чему равно 0!?
Ответ: 0! = 1.
04 Как вычислить число перестановок из n различных элементов?
Ответ: по формуле Pₙ = n!.
05 Сколько перестановок существует из четырёх различных элементов?
Ответ: P₄ = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
06 Как быстро вычислить 9!/7!?
Ответ: 9! = 9 · 8 · 7!, поэтому 9!/7! = 9 · 8 = 72.
07 Чем обозначение Pₙ отличается от P(A)?
Ответ: Pₙ обозначает число перестановок из n элементов, а P(A) обозначает вероятность события A.
Главное по уроку
Перестановка - это расположение всех имеющихся различных элементов в определённом порядке.
В перестановке используются все элементы, каждый ровно один раз, а порядок имеет значение.
Число перестановок из n различных элементов обозначается Pₙ.
Формула числа перестановок: Pₙ = n!.
Факториал n! равен произведению всех целых чисел от 1 до n.
По определению 0! = 1.
Например: 5! = 120, 6! = 720.
В дробях с факториалами часто выгодно сокращать одинаковую часть произведения, не вычисляя большие числа полностью.
Например: 7!/5! = 7 · 6 = 42.
Если в задаче появляются дополнительные ограничения, например два объекта должны стоять рядом, комбинаторное правило умножения используется вместе с идеей перестановки.
Следующий урок - урок 19 «Сочетания и число сочетаний».
19 Урок 19 Сочетания и число сочетаний Открыть урок Свернуть урок
Урок 19. Сочетания и число сочетаний
В прошлом уроке мы изучали перестановки: использовали все элементы и учитывали порядок их расположения. Теперь рассмотрим другую задачу. Из большого набора нужно выбрать только несколько объектов, причём порядок выбранных объектов не важен. Такие выборы называются сочетаниями.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Распознавать сочетания
Определять задачи, в которых выбирается часть элементов и порядок выбора не имеет значения.
Использовать факториалы
Применять изученный факториал в новой комбинаторной формуле.
Вычислять число сочетаний
Находить количество способов выбрать k элементов из n без учёта порядка.
Главное отличие от перестановок
Рассмотрим четыре буквы: A, B, C, D. Нужно выбрать две из них.
Например, можно выбрать A и B.
Но выбор «A и B» и выбор «B и A» содержат одни и те же две буквы.
Если нас интересует только состав выбранной пары, то это один и тот же выбор.
{A, B} = {B, A}
В задачах на сочетания
порядок выбранных элементов не учитывается.
Выберем две буквы из четырёх
Выпишем все различные пары из A, B, C, D без учёта порядка.
{A, B}
{A, C}
{A, D}
{B, C}
{B, D}
{C, D}
6 различных пар
Что такое сочетание
Сочетание
Сочетанием из n элементов по k называют выбор k различных элементов из n различных элементов без учёта порядка выбранных элементов.
Что означает n
n - общее количество имеющихся различных элементов.
Что означает k
k - количество элементов, которые нужно выбрать из исходных n элементов.
Для сочетаний должно выполняться
0 ≤ k ≤ n.
Это означает: нельзя выбрать отрицательное число элементов и нельзя выбрать элементов больше, чем имеется.
Обозначение числа сочетаний
Cₙᵏ
Как читать Cₙᵏ
Запись Cₙᵏ читают «це из эн по ка». Она обозначает число способов выбрать k элементов из n различных элементов без учёта порядка.
Буква C
Латинская буква C используется для обозначения числа сочетаний. Нижний индекс n показывает общее число элементов, верхний индекс k - сколько элементов выбирают.
Следите за расположением индексов:
n - сколько всего, k - сколько выбираем.
Откуда берётся формула
Пусть из n различных элементов нужно выбрать k элементов.
1
Сначала временно учитываем порядок
Первый элемент можно выбрать n способами.
2
Второй элемент
После первого выбора остаётся n - 1 вариант.
3
Продолжаем до k элементов
Получается произведение n · (n - 1) · ... · (n - k + 1).
4
Но один и тот же набор посчитан несколько раз
Любые выбранные k элементов можно переставить между собой k! способами.
5
Убираем повторный подсчёт
Поэтому полученное количество нужно разделить на k!.
Формула числа сочетаний
Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!)
Что означает n!
n! - факториал числа n, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Что означает k!
k! учитывает количество различных порядков внутри уже выбранной группы из k элементов. Мы делим на k!, потому что в сочетаниях порядок не важен.
Что означает (n - k)!
Это факториал числа элементов, которые не были выбраны.
Проверим формулу на четырёх буквах
Из 4 букв выбираем 2.
C₄² = 4! / (2! · (4 - 2)!)
C₄² = 4! / (2! · 2!)
Раскроем факториалы:
C₄² =
(4 · 3 · 2 · 1) /
((2 · 1) · (2 · 1))
C₄² = 24 / 4
C₄² = 6
Получили те же 6 пар, которые ранее выписали вручную.
Как считать быстрее
Большие факториалы обычно не нужно вычислять полностью.
Рассмотрим:
C₇² = 7! / (2! · 5!)
Представим 7! так:
7! = 7 · 6 · 5!
C₇² =
(7 · 6 · 5!) /
(2 · 1 · 5!)
Сокращаем 5!:
C₇² = (7 · 6) / 2
C₇² = 21
Пример 1. Выбираем комиссию
Из 8 человек нужно выбрать комиссию из 3 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Нас интересует только состав комиссии.
Если выбраны Анна, Борис и Виктор, то порядок, в котором мы их называли, ничего не меняет.
Поэтому это сочетания из 8 по 3.
C₈³ =
8! / (3! · 5!)
C₈³ =
(8 · 7 · 6) /
(3 · 2 · 1)
C₈³ = 336 / 6
C₈³ = 56
Ответ:
56 способов.
Пример 2. Выбираем пару
В группе 6 человек. Сколькими способами можно выбрать двух человек для выполнения одного общего задания?
Внутри пары нет разных ролей.
Пара «Анна и Борис» не отличается от пары «Борис и Анна».
C₆² =
6! / (2! · 4!)
C₆² =
(6 · 5) / 2
C₆² = 15
Перестановки и сочетания: не перепутайте
| Признак | Перестановка | Сочетание |
|---|---|---|
| Сколько элементов используется? | Все n элементов | Выбираются k элементов из n |
| Важен ли порядок? | Да | Нет |
| Основное обозначение | Pₙ | Cₙᵏ |
| Формула | Pₙ = n! | Cₙᵏ = n! / (k!(n-k)!) |
| Типичный вопрос | Сколько существует порядков? | Сколькими способами можно выбрать группу? |
Пример 3. Когда выбор уже не является сочетанием
Из 6 человек нужно выбрать председателя и секретаря. Можно ли применить C₆²?
Нет.
Если Анна - председатель, а Борис - секретарь, это не то же самое, что Борис - председатель, а Анна - секретарь.
Здесь роли различаются, значит, порядок выбора имеет значение.
6 · 5 = 30
Если выбранные люди или объекты получают
разные роли, места или номера,
простой выбор без учёта порядка использовать нельзя.
Особые значения числа сочетаний
Сколькими способами можно выбрать 0 элементов из n?
Есть ровно один способ - ничего не выбирать.
Cₙ⁰ = 1
А сколькими способами можно выбрать все n элементов из n?
Тоже ровно одним способом - взять весь набор.
Cₙⁿ = 1
Свойство симметрии
Выбрать k элементов из n - всё равно что определить, какие n - k элементов останутся невыбранными.
Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ
Например:
C₇² = C₇⁵
Выбрать 2 человек из 7 - это то же количество способов, что и определить 5 человек, которые останутся после выбора двух.
Пример 4. Выбираем книги
На полке стоят 10 различных книг. Ученик хочет взять с собой любые 3 книги. Сколькими способами он может выбрать их?
Порядок, в котором книги будут взяты с полки, не важен.
Важен только состав тройки.
C₁₀³ =
10! / (3! · 7!)
C₁₀³ =
(10 · 9 · 8) /
(3 · 2 · 1)
C₁₀³ = 720 / 6
C₁₀³ = 120
Ответ:
120 способов.
Алгоритм решения задачи на сочетания
1
Определите n
Сколько всего различных элементов имеется?
2
Определите k
Сколько элементов нужно выбрать?
3
Проверьте порядок
Если порядок выбранных элементов не важен, можно рассматривать сочетания.
4
Запишите Cₙᵏ
Нижний индекс n - всего элементов, верхний k - сколько выбираем.
5
Подставьте формулу
Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!).
6
Сократите факториалы
Не вычисляйте большие факториалы полностью, если их можно сократить.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Учитывать порядок
В сочетаниях {A, B} и {B, A} являются одним и тем же выбором.
Ошибка 2. Перепутать n и k
n - сколько элементов всего, k - сколько элементов выбираем.
Ошибка 3. Забыть k! в знаменателе
Деление на k! как раз убирает повторный подсчёт разных порядков внутри одной выбранной группы.
Ошибка 4. Использовать сочетания при разных ролях
Если выбираются председатель и секретарь, порядок и роли имеют значение.
Ошибка 5. Полностью вычислять большие факториалы
Лучше сначала сократить одинаковые факториалы.
Ошибка 6. Забывать 0! = 1
Это значение необходимо, например, при вычислении Cₙ⁰ и Cₙⁿ.
Практические задания
Задание 1
Из 5 человек нужно выбрать двоих для одной общей работы. Сколькими способами это можно сделать?
Открыть решение
Порядок выбранных людей не важен.
C₅² = 5! / (2! · 3!).
C₅² = (5 · 4) / 2 = 10.
Ответ: 10 способов.
Задание 2
Из 7 различных книг выбирают 3. Сколько вариантов выбора?
Открыть решение
C₇³ = 7! / (3! · 4!).
C₇³ = (7 · 6 · 5) / (3 · 2 · 1).
C₇³ = 210 / 6 = 35.
Ответ: 35.
Задание 3
Вычислите C₈².
Открыть решение
C₈² = 8! / (2! · 6!).
C₈² = (8 · 7) / 2 = 28.
Ответ: 28.
Задание 4
Вычислите C₉⁷, используя свойство симметрии.
Открыть решение
C₉⁷ = C₉².
C₉² = (9 · 8) / 2 = 36.
Ответ: 36.
Задание 5
В классе 12 человек. Нужно выбрать группу из 4 человек для участия в проекте. Сколько различных групп возможно?
Открыть решение
C₁₂⁴ = 12! / (4! · 8!).
C₁₂⁴ = (12 · 11 · 10 · 9) / (4 · 3 · 2 · 1).
Числитель: 12 · 11 · 10 · 9 = 11 880.
Знаменатель: 4! = 24.
11 880 / 24 = 495.
Ответ: 495 групп.
Задание 6. Сочетание или нет?
Из 8 человек выбирают капитана и его заместителя. Можно ли решить задачу по формуле C₈²?
Открыть ответ
Нет.
У капитана и заместителя разные роли.
Поэтому выбор Анна-капитан, Борис-заместитель отличается от выбора Борис-капитан, Анна-заместитель.
Здесь порядок имеет значение.
Самостоятельная работа
Выполните задания
- Вычислите C₆³.
- Вычислите C₁₀².
- Вычислите C₈⁶ с помощью свойства симметрии.
- Из 9 учеников нужно выбрать трёх для одной команды без распределения ролей. Сколько команд можно получить?
- Из 15 книг нужно выбрать 2. Сколько существует вариантов?
- Объясните, почему выбор двух членов комиссии из пяти отличается от выбора председателя и секретаря из тех же пяти человек.
Открыть решения
1. C₆³ = (6 · 5 · 4) / (3 · 2 · 1) = 120 / 6 = 20.
2. C₁₀² = (10 · 9) / 2 = 45.
3. C₈⁶ = C₈² = (8 · 7) / 2 = 28.
4. C₉³ = (9 · 8 · 7) / 6 = 84.
5. C₁₅² = (15 · 14) / 2 = 105.
6. В комиссии роли не распределяются, поэтому порядок людей не важен. У председателя и секретаря роли разные, поэтому порядок назначения важен.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено сочетаниям и практическому решению задач. Дополнительный материал также разбирает сочетания, но с другим набором примеров.
Основное видео Rutube - «10 класс. Комбинаторика. Сочетания. Решение задач».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация по вероятности и статистике для 10 класса посвящена формуле числа сочетаний.
На что обратить внимание
- смысл выбора без учёта порядка;
- обозначение Cₙᵏ;
- роль чисел n и k;
- вывод формулы через факториалы;
- сокращение факториалов;
- применение формулы в практических задачах.
Интерактив и тренировка
В ЯКласс сочетания рассматриваются в разделе «Элементы комбинаторики» курса вероятности и статистики для 10 класса.
Как выполнять задания
- определите n - число всех элементов;
- определите k - число выбираемых элементов;
- проверьте, что порядок не имеет значения;
- запишите Cₙᵏ;
- используйте формулу с факториалами;
- сначала сокращайте, затем вычисляйте.
Вопросы для самопроверки
01 Что называют сочетанием из n элементов по k?
Ответ: выбор k различных элементов из n различных элементов без учёта порядка выбранных элементов.
02 Что означает Cₙᵏ?
Ответ: число способов выбрать k элементов из n без учёта порядка.
03 Как записывается формула числа сочетаний?
Ответ: Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!).
04 Почему в формуле нужно делить на k!?
Ответ: потому что один и тот же набор из k элементов при учёте порядка можно записать k! различными способами, а в сочетаниях эти порядки считаются одним выбором.
05 Чем сочетание отличается от перестановки?
Ответ: в перестановке используются все элементы и порядок важен. В сочетании выбирается часть элементов и порядок выбранных элементов не учитывается.
06 Чему равны Cₙ⁰ и Cₙⁿ?
Ответ: Cₙ⁰ = 1 и Cₙⁿ = 1.
07 Какое свойство связывает Cₙᵏ и Cₙⁿ⁻ᵏ?
Ответ: свойство симметрии: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
Главное по уроку
Сочетание - это выбор нескольких элементов без учёта их порядка.
Число сочетаний из n элементов по k обозначается Cₙᵏ.
n показывает, сколько элементов имеется всего, а k - сколько элементов выбирают.
Формула: Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!).
Деление на k! необходимо потому, что разные порядки одних и тех же выбранных элементов в сочетаниях не различаются.
Например: {A, B} и {B, A} - одно сочетание.
Cₙ⁰ = 1 и Cₙⁿ = 1.
Выполняется свойство симметрии: Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ.
При вычислении сочетаний удобно сначала сокращать факториалы, а не вычислять большие числа полностью.
Если выбранные элементы получают разные роли, сочетания использовать нельзя, потому что в такой задаче порядок уже имеет значение.
Следующий урок - урок 20 «Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона».
20 Урок 20 Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона Открыть урок Свернуть урок
Урок 20. Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона
В предыдущем уроке мы научились вычислять числа сочетаний Cₙᵏ. Теперь увидим, что эти числа образуют красивую закономерную таблицу - треугольник Паскаля. Те же числа становятся коэффициентами при раскрытии степеней выражения (a + b)ⁿ. Такая формула называется формулой бинома Ньютона.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Строить треугольник Паскаля
Использовать единицы на краях и правило сложения двух соседних чисел предыдущей строки.
Связывать его с сочетаниями
Понимать, почему элементы строк треугольника являются числами сочетаний.
Применять бином Ньютона
Раскрывать степени суммы и находить нужные биномиальные коэффициенты.
Вспомним числа сочетаний
Число сочетаний Cₙᵏ показывает, сколькими способами можно выбрать k элементов из n различных элементов без учёта порядка.
Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!)
Например:
C₄⁰ = 1
C₄¹ = 4
C₄² = 6
C₄³ = 4
C₄⁴ = 1
Получилась последовательность
1, 4, 6, 4, 1.
Именно она является одной из строк треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля
Треугольник Паскаля - это числовая таблица треугольной формы, строки которой состоят из чисел сочетаний Cₙ⁰, Cₙ¹, ..., Cₙⁿ.
строка 0
1
строка 1
1
1
строка 2
1
2
1
строка 3
1
3
3
1
строка 4
1
4
6
4
1
строка 5
1
5
10
10
5
1
строка 6
1
6
15
20
15
6
1
В этом курсе первую строку
1
называем строкой 0. Поэтому строка с числами
1, 4, 6, 4, 1
имеет номер 4.
Как строится следующая строка
По краям каждой строки всегда стоят единицы.
Каждое внутреннее число получается сложением двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.
1 + 3 = 4
3 + 3 = 6
3 + 1 = 4
Поэтому из строки 1, 3, 3, 1 получаем:
1, 4, 6, 4, 1
Правило Паскаля для чисел сочетаний
Правило сложения соседних чисел можно записать с помощью чисел сочетаний.
Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ
Что означает эта формула
Число Cₙᵏ можно получить сложением двух чисел из предыдущей строки: Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ и Cₙ₋₁ᵏ.
Например:
C₅² = C₄¹ + C₄²
C₅² = 4 + 6 = 10
Число 10 в пятой строке действительно находится под числами 4 и 6 четвёртой строки.
Полезные свойства треугольника Паскаля
По краям единицы
Каждая строка начинается и заканчивается числом 1.
Симметрия
Числа в каждой строке симметричны относительно её середины.
Сумма строки
Сумма всех чисел строки с номером n равна 2ⁿ.
Например, строка 4:
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
2⁴ = 16
Что такое бином
Бином
Бином - это выражение, состоящее из двух слагаемых. В школьной математике его также называют двучленом.
a + b
Степень бинома
Выражение (a + b)ⁿ означает, что двучлен a + b возводится в степень n.
Например,
(a + b)²
читается «а плюс б в квадрате».
Уже знакомые частные случаи
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ =
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Посмотрите на коэффициенты:
- для второй степени: 1, 2, 1;
- для третьей степени: 1, 3, 3, 1.
Это строки 2 и 3 треугольника Паскаля.
Формула бинома Ньютона
Формула бинома Ньютона
Формула бинома Ньютона позволяет раскрыть любую натуральную степень суммы двух выражений.
(a + b)ⁿ =
Cₙ⁰aⁿ +
Cₙ¹aⁿ⁻¹b +
Cₙ²aⁿ⁻²b² +
... +
Cₙⁿbⁿ
Биномиальные коэффициенты
Числа Cₙ⁰, Cₙ¹, ..., Cₙⁿ перед членами разложения называют биномиальными коэффициентами. Это те же самые числа сочетаний и те же числа строки n треугольника Паскаля.
Как меняются степени a и b
Это одна из самых важных закономерностей формулы.
| Номер k | Коэффициент | Степень a | Степень b | Член |
|---|---|---|---|---|
| 0 | Cₙ⁰ | n | 0 | Cₙ⁰aⁿ |
| 1 | Cₙ¹ | n - 1 | 1 | Cₙ¹aⁿ⁻¹b |
| 2 | Cₙ² | n - 2 | 2 | Cₙ²aⁿ⁻²b² |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| n | Cₙⁿ | 0 | n | Cₙⁿbⁿ |
Степень a постепенно уменьшается от n до 0, а степень b увеличивается от 0 до n. В каждом члене сумма показателей степеней a и b равна n.
Пример 1. Разложим (a + b)⁴
1
Определяем n
Показатель степени равен 4, значит n = 4.
2
Берём строку 4 треугольника Паскаля
Получаем коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1.
3
Записываем степени a
4, 3, 2, 1, 0.
4
Записываем степени b
0, 1, 2, 3, 4.
5
Объединяем коэффициенты и степени
Получаем полное разложение.
(a + b)⁴ =
a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Коэффициент 1 перед первым и последним членами обычно не записывают.
Как быстро проверить разложение
Число членов
В разложении (a + b)ⁿ должно быть n + 1 членов.
Степени
Степень a уменьшается на 1, а степень b увеличивается на 1.
Сумма показателей
В каждом члене сумма показателей степеней a и b равна n.
Пример 2. Разложим (2 + x)³
Для третьей степени используем коэффициенты 1, 3, 3, 1.
(a + b)³ =
a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Здесь a = 2, b = x.
(2 + x)³ =
2³ +
3 · 2² · x +
3 · 2 · x² +
x³
2³ = 8
3 · 2² = 12
3 · 2 = 6
(2 + x)³ =
8 + 12x + 6x² + x³
Пример 3. Найдём только нужный коэффициент
Найдите коэффициент при x²y³ в разложении (x + y)⁵.
Общий вид членов:
C₅ᵏx⁵⁻ᵏyᵏ
Нам нужна степень y³, поэтому k = 3.
Тогда степень x автоматически равна 5 - 3 = 2.
C₅³ = 10
Ответ:
коэффициент при x²y³ равен 10.
Короткая запись формулы
Формулу бинома Ньютона можно записать короче с помощью знака суммы.
(a + b)ⁿ =
Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ,
k = 0, 1, ..., n
Знак Σ
Заглавная греческая буква Σ называется «сигма». В математике она используется как знак суммирования: нужно последовательно сложить выражения, полученные для всех указанных значений k.
Для самостоятельного решения задач можно пользоваться и полной развёрнутой формой формулы. Знак Σ нужен прежде всего для компактной записи.
Почему сумма коэффициентов равна 2ⁿ
В формуле бинома Ньютона положим a = 1 и b = 1.
(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ
Правая часть разложения превращается в сумму всех биномиальных коэффициентов:
Cₙ⁰ + Cₙ¹ + ... + Cₙⁿ = 2ⁿ
Например, для n = 5:
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32
2⁵ = 32
Алгоритм применения бинома Ньютона
1
Определите степень n
Она показывает номер нужной строки треугольника Паскаля.
2
Выпишите коэффициенты
Используйте строку n треугольника Паскаля или числа Cₙᵏ.
3
Начните со степени aⁿ
В каждом следующем члене уменьшайте показатель степени a на 1.
4
Начните со степени b⁰
В каждом следующем члене увеличивайте показатель степени b на 1.
5
Умножьте на соответствующие коэффициенты
Первый коэффициент Cₙ⁰ = 1, последний Cₙⁿ = 1.
6
Проверьте разложение
Должно быть n + 1 членов, а сумма степеней переменных в каждом члене должна равняться n.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Неправильный номер строки
Для степени n используется строка n, если верхняя единица считается строкой 0.
Ошибка 2. Забыть крайние единицы
Каждая строка треугольника Паскаля начинается и заканчивается единицей.
Ошибка 3. Обе степени увеличивать
В формуле степень a уменьшается, а степень b одновременно увеличивается.
Ошибка 4. Потерять биномиальный коэффициент
Перед каждым членом должен стоять коэффициент из соответствующей строки треугольника Паскаля.
Ошибка 5. Получить неправильное число членов
В разложении (a + b)ⁿ всегда n + 1 членов до возможного приведения подобных слагаемых после числовых подстановок.
Ошибка 6. Путать показатель степени и коэффициент
В выражении 6a²b² число 6 - коэффициент, а числа 2 - показатели степеней.
Практические задания
Сначала выполните самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Следующая строка
Постройте строку 7 треугольника Паскаля.
Открыть решение
Строка 6:
1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
Складываем соседние числа:
1; 1 + 6 = 7; 6 + 15 = 21; 15 + 20 = 35; 20 + 15 = 35; 15 + 6 = 21; 6 + 1 = 7; 1.
Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
Задание 2. Правило Паскаля
Найдите C₆² через два числа предыдущей строки.
Открыть решение
Используем:
C₆² = C₅¹ + C₅².
C₅¹ = 5, C₅² = 10.
C₆² = 5 + 10 = 15.
Ответ: 15.
Задание 3. Раскройте куб суммы
Разложите (x + y)³.
Открыть решение
Строка 3: 1, 3, 3, 1.
Ответ:
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.
Задание 4. Числовой двучлен
Разложите (2 + x)³.
Открыть решение
(2 + x)³ = 2³ + 3 · 2²x + 3 · 2x² + x³.
Ответ:
8 + 12x + 6x² + x³.
Задание 5. Нужный коэффициент
Найдите коэффициент при x²y³ в разложении (x + y)⁵.
Открыть решение
Степень y равна 3, значит k = 3.
Коэффициент: C₅³ = 10.
Ответ: 10.
Задание 6. Сумма коэффициентов
Чему равна сумма всех чисел строки 6 треугольника Паскаля?
Открыть решение
Сумма строки n равна 2ⁿ.
2⁶ = 64.
Проверка: 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64.
Ответ: 64.
Самостоятельная работа
Выполните задания
- Запишите строку 5 треугольника Паскаля.
- Используя правило Паскаля, найдите C₇³.
- Разложите (a + b)⁵.
- Найдите коэффициент при a³b² в разложении (a + b)⁵.
- Найдите сумму всех биномиальных коэффициентов для n = 7.
- Объясните, почему коэффициенты при a⁴b и ab⁴ в разложении (a + b)⁵ равны.
Открыть решения
1. 1, 5, 10, 10, 5, 1.
2. C₇³ = C₆² + C₆³ = 15 + 20 = 35.
3.
(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵.
4. Для a³b² имеем k = 2, поэтому коэффициент равен C₅² = 10.
5. 2⁷ = 128.
6. Это следствие симметрии чисел сочетаний: C₅¹ = C₅⁴ = 5.
Видео по теме урока
Основной материал объединяет сочетания, треугольник Паскаля и формулу бинома Ньютона в рамках курса вероятности и статистики 10 класса. Дополнительное видео подробнее показывает связь треугольника Паскаля с разложением бинома.
Основное видео Rutube - «ВиС 10 класс. Сочетания. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация по вероятности и статистике для 10 класса посвящена формуле бинома Ньютона и треугольнику Паскаля.
На что обратить внимание
- связь строк треугольника с числами сочетаний;
- правило построения следующей строки;
- биномиальные коэффициенты;
- последовательность степеней a и b;
- формулу бинома Ньютона;
- применение формулы при раскрытии степеней.
Интерактив и тренировка
В ЯКласс для 10 класса выделена отдельная тема «Треугольник Паскаля. Формула бинома Ньютона» с теорией, заданиями разной сложности и тренировочным тестом.
При выполнении заданий
- проверяйте номер строки;
- используйте правило сложения соседних чисел;
- помните о симметрии строк;
- следите за степенями переменных;
- проверяйте число членов разложения;
- используйте Cₙᵏ для поиска отдельного коэффициента.
Вопросы для самопроверки
01 Как строится внутреннее число треугольника Паскаля?
Ответ: сложением двух соседних чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.
02 Какие числа стоят по краям каждой строки?
Ответ: единицы.
03 Как числа строки n треугольника Паскаля связаны с сочетаниями?
Ответ: строка n состоит из чисел Cₙ⁰, Cₙ¹, ..., Cₙⁿ.
04 Как записывается правило Паскаля для чисел сочетаний?
Ответ: Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.
05 Что называют биномиальными коэффициентами?
Ответ: числа Cₙ⁰, Cₙ¹, ..., Cₙⁿ, которые являются коэффициентами членов разложения (a + b)ⁿ.
06 Как изменяются показатели степеней a и b в разложении (a + b)ⁿ?
Ответ: степень a уменьшается от n до 0, а степень b увеличивается от 0 до n. Сумма показателей в каждом члене равна n.
07 Чему равна сумма всех биномиальных коэффициентов строки n?
Ответ: 2ⁿ.
Главное по уроку
Треугольник Паскаля состоит из чисел сочетаний.
Строка n содержит числа Cₙ⁰, Cₙ¹, ..., Cₙⁿ.
Каждая строка начинается и заканчивается единицей.
Каждое внутреннее число равно сумме двух соседних чисел над ним.
Это правило записывается формулой Cₙᵏ = Cₙ₋₁ᵏ⁻¹ + Cₙ₋₁ᵏ.
Строки треугольника симметричны.
Сумма всех чисел строки n равна 2ⁿ.
Бином - это двучлен, например a + b.
В формуле бинома Ньютона коэффициентами являются числа соответствующей строки треугольника Паскаля.
В разложении (a + b)ⁿ степень a уменьшается от n до 0, а степень b увеличивается от 0 до n.
Число членов разложения равно n + 1.
Формула бинома Ньютона позволяет не только раскрывать степень суммы, но и быстро находить отдельный коэффициент нужного члена.
Раздел 5 «Элементы комбинаторики» завершён. Мы изучили комбинаторное правило умножения, перестановки, факториал, сочетания, треугольник Паскаля и формулу бинома Ньютона.
Следующий урок - урок 21 «Бинарный случайный опыт. Успех и неудача. Независимые испытания. Испытания до первого успеха», первый урок раздела 6.
Раздел 6
Серии последовательных испытаний
Бинарный случайный опыт и два его возможных результата - успех и неудача; повторение независимых испытаний; испытания до первого успеха; последовательности успехов и неудач; серия независимых испытаний Бернулли; вероятность заданного числа успехов; применение комбинаторных формул при вычислении вероятностей; моделирование и анализ серий испытаний с использованием электронных таблиц.
3
учебных часа
21 Урок 21 Бинарный случайный опыт. Успех и неудача. Независимые испытания. Испытания до первого успеха Открыть урок Свернуть урок
Урок 21. Бинарный случайный опыт. Успех и неудача. Независимые испытания. Испытания до первого успеха
В этом уроке мы начнём изучать серии последовательных испытаний. Рассмотрим случайный опыт только с двумя возможными результатами, введём условные названия «успех» и «неудача», обозначения p и q и научимся вычислять вероятность того, что первый успех произойдёт на определённой попытке.
35
минут основной работы
Что вы изучите
Бинарный опыт
Научитесь распознавать случайный опыт, в котором рассматриваются два возможных результата.
Успех и неудача
Узнаете, как обозначают вероятности успеха и неудачи и почему их сумма равна 1.
Первый успех
Научитесь находить вероятность первого успеха на заданной по номеру попытке.
Что такое бинарный случайный опыт
Бинарный случайный опыт
Бинарный случайный опыт - это случайный опыт, в котором интересующий нас результат сводится к двум взаимоисключающим возможностям: произошло выбранное событие или оно не произошло.
Слово «бинарный»
Слово «бинарный» означает «состоящий из двух вариантов». Поэтому в бинарном опыте выделяют два возможных результата.
Например, правильную монету бросают один раз.
Возможны два исхода: орёл или решка.
Это естественный пример бинарного случайного опыта.
Успех и неудача
Успех
Один из двух результатов бинарного опыта условно называют успехом. Успехом считают именно тот результат, вероятность которого нас интересует.
Неудача
Второй результат, то есть ненаступление выбранного успеха, условно называют неудачей.
Слова «успех» и «неудача» являются математическими условными названиями.
Они не означают, что один результат обязательно хороший, а другой плохой.
Что можно считать успехом
| Случайный опыт | Что считаем успехом | Что считаем неудачей | Вероятность успеха |
|---|---|---|---|
| Бросок правильной монеты | Выпал орёл | Выпала решка | 1/2 |
| Бросок правильной шестигранной кости | Выпала шестёрка | Выпало любое число от 1 до 5 | 1/6 |
| Выстрел по мишени | Попадание | Промах | Задаётся условием |
| Проверка детали | Обнаружен дефект | Дефект не обнаружен | Задаётся условием |
В последнем примере математическим «успехом» назван дефект. Это ещё раз показывает, что слово «успех» обозначает выбранное событие, а не его бытовую оценку.
Вероятности успеха и неудачи
Вероятность успеха обычно обозначают маленькой латинской буквой p.
P(успех) = p
Буква p
p - вероятность успеха в одном испытании. Букву p часто связывают с английским словом probability - «вероятность».
Вероятность неудачи обычно обозначают буквой q.
P(неудача) = q
Успех и неудача являются противоположными событиями. Одно из них обязательно произойдёт, а одновременно произойти они не могут.
p + q = 1
q = 1 - p
p = 1 - q
Пример 1. Вероятность попадания
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7. Найдём вероятность промаха.
Успех - попадание.
p = 0,7
Неудача - промах.
q = 1 - p
q = 1 - 0,7
q = 0,3
Ответ:
вероятность промаха равна 0,3.
Независимые испытания
Часто один и тот же бинарный опыт проводят несколько раз подряд.
Независимые испытания
Испытания называют независимыми, если результат одного испытания не изменяет вероятности результатов других испытаний.
Это продолжает понятие независимых событий из урока 16.
Например, при последовательных бросках правильной монеты результат предыдущего броска не меняет вероятность орла в следующем броске.
P(орёл в следующем броске) = 1/2
Если условия опыта изменяются после каждого результата, испытания могут оказаться зависимыми. Например, выбор предметов без возвращения обычно изменяет вероятности следующего выбора.
Одинаковые независимые испытания
Для задач этого раздела особенно важен случай, когда испытания не только независимы, но и проводятся в одинаковых условиях.
Одинаковые условия
Это означает, что вероятность успеха p в каждом испытании остаётся одной и той же, а вероятность неудачи q = 1 - p также не меняется.
Два результата
В каждом испытании выделяются успех и неудача.
Постоянная вероятность
Вероятность успеха одинакова при каждом повторении опыта.
Независимость
Исход одного испытания не изменяет вероятность исходов остальных.
Испытание Бернулли
Испытание Бернулли
Бинарное испытание с двумя результатами - успехом и неудачей - называют испытанием Бернулли. При повторении таких испытаний в одинаковых условиях вероятность успеха обозначают p, а вероятность неудачи - q = 1 - p.
Название связано со швейцарским математиком Якобом Бернулли, одним из основоположников теории вероятностей.
В следующем уроке мы подробно изучим серию из заранее заданного числа независимых испытаний Бернулли.
Испытания до первого успеха
Серия испытаний до первого успеха
Это последовательность одинаковых независимых испытаний, которая продолжается до тех пор, пока успех не произойдёт впервые.
Например, правильную игральную кость бросают до первого появления шестёрки.
Здесь:
- успех - выпала шестёрка;
- неудача - выпало число от 1 до 5;
- испытания - последовательные броски кости.
В серии до первого успеха
число испытаний заранее не фиксировано.
Серия может закончиться после первой попытки, после второй, после десятой и так далее.
Как выглядит первый успех на разных попытках
Обозначим буквой Н неудачу, а буквой У успех.
Буквы Н и У
Н - неудача, У - успех. Эти буквы здесь используются только как краткие обозначения результатов последовательных испытаний.
| Когда произошёл первый успех | Последовательность | Вероятность |
|---|---|---|
| На 1-й попытке | У | p |
| На 2-й попытке | Н → У | qp |
| На 3-й попытке | Н → Н → У | q²p |
| На 4-й попытке | Н → Н → Н → У | q³p |
Первый успех на k-й попытке
Чтобы первый успех произошёл именно на k-й попытке, все предыдущие k - 1 испытаний должны закончиться неудачами, а k-е испытание - успехом.
Н
q
→
Н
q
→
...
всего k - 1 неудач
→
У
p
Поскольку испытания независимы, вероятности последовательных результатов перемножаются.
q · q · ... · q · p
Множитель q повторяется k - 1 раз. Поэтому:
P(первый успех на k-й попытке) =
qk - 1 · p
Что означает k
k - номер испытания, на котором впервые произошёл успех. Здесь k = 1, 2, 3, ... .
Что означает показатель k - 1
Степень qk - 1 показывает, что перед первым успехом должны последовательно произойти k - 1 неудач.
Пример 2. Первая шестёрка на четвёртом броске
Правильную игральную кость бросают до первого появления шестёрки. Найдём вероятность того, что шестёрка впервые выпадет на четвёртом броске.
1
Определяем успех
Успех - выпадение шестёрки.
2
Находим p
p = 1/6.
3
Находим q
q = 1 - 1/6 = 5/6.
4
Записываем требуемую последовательность
Три первых броска - неудачи, четвёртый - успех.
5
Перемножаем вероятности
(5/6)³ · 1/6.
P =
(5/6)³ · 1/6
P =
125/216 · 1/6
P = 125/1296
Пример 3. Сообщение отправилось с третьей попытки
При каждой независимой попытке сообщение успешно отправляется с вероятностью 0,2. Найдём вероятность того, что впервые оно отправится с третьей попытки.
p = 0,2
q = 1 - 0,2 = 0,8
Первый успех на третьей попытке означает:
неудача 0,8 → неудача 0,8 → успех 0,2
P = 0,8² · 0,2
P = 0,64 · 0,2
P = 0,128
Ответ:
0,128, или 12,8 %.
Успех не позже n-й попытки
Иногда спрашивают вероятность того, что первый успех произойдёт не позже некоторой попытки.
Событию «хотя бы один успех за первые n испытаний» противоположно событие «все первые n испытаний закончились неудачей».
Вероятность n последовательных неудач:
qn
Поэтому:
P(успех не позже n-й попытки) =
1 - qn
Слова «не позже n-й попытки»
Они означают, что успех произошёл на первой, второй, третьей, ... или n-й попытке.
Пример 4. Успех не позже третьей попытки
Вероятность успеха при каждой независимой попытке равна 0,2. Найдём вероятность того, что хотя бы один успех произойдёт за первые три попытки.
q = 0,8
Вероятность трёх последовательных неудач:
0,8³ = 0,512
Вычитаем из 1:
1 - 0,512 = 0,488
Ответ:
0,488, или 48,8 %.
Когда потребуется не менее k испытаний
Чтобы для достижения первого успеха потребовалось не менее k испытаний, первые k - 1 испытаний должны обязательно закончиться неудачей.
P(потребуется не менее k испытаний) =
qk - 1
«Не менее k»
Это означает k или больше. Например, «не менее 4 испытаний» означает, что первые три испытания должны закончиться неудачей.
Не перепутайте формулировки задач
| Формулировка | Что должно произойти | Вероятность |
|---|---|---|
| Первый успех на k-й попытке | k - 1 неудач, затем успех | qk - 1p |
| Ни одного успеха за n попыток | n последовательных неудач | qn |
| Хотя бы один успех за n попыток | Противоположное событие к n неудачам | 1 - qn |
| Потребуется не менее k попыток | Первые k - 1 попыток неудачны | qk - 1 |
Алгоритм решения задачи
1
Определите успех
Что именно в задаче считается интересующим нас результатом?
2
Найдите p
Запишите вероятность успеха в одном испытании.
3
Найдите q
Используйте q = 1 - p.
4
Переведите условие в последовательность
Например, «первый успех на четвёртой попытке» означает Н, Н, Н, У.
5
Используйте независимость
Вероятности последовательных требуемых результатов перемножаются.
6
Проверьте ответ
Полученная вероятность должна находиться от 0 до 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Считать «успех» обязательно хорошим результатом
Успех - условное название выбранного события. Им может быть даже отказ устройства или появление дефекта.
Ошибка 2. Забыть q = 1 - p
Успех и неудача противоположны, поэтому p + q = 1.
Ошибка 3. Для успеха на k-й попытке написать qᵏp
До k-й попытки имеется только k - 1 предыдущих неудач. Правильно: qk - 1p.
Ошибка 4. Забыть, что предыдущие попытки должны быть неудачными
Если раньше уже был успех, то успех на k-й попытке уже не будет первым.
Ошибка 5. Перемножать вероятности зависимых испытаний
Формулы этого урока предполагают независимость испытаний и неизменность p и q.
Ошибка 6. Путать «на k-й» и «не позже k-й»
«На k-й» означает ровно один номер попытки, а «не позже k-й» включает все попытки от первой до k-й.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1. Вероятность неудачи
Вероятность успеха в одном испытании равна 0,65. Найдите вероятность неудачи.
Открыть решение
q = 1 - p.
q = 1 - 0,65 = 0,35.
Ответ: 0,35.
Задание 2. Первый успех на второй попытке
p = 0,4. Найдите вероятность того, что первый успех произойдёт на второй попытке.
Открыть решение
q = 1 - 0,4 = 0,6.
Требуется последовательность: неудача, затем успех.
P = 0,6 · 0,4 = 0,24.
Ответ: 0,24.
Задание 3. Первый успех на четвёртой попытке
p = 0,3. Найдите вероятность первого успеха на четвёртой попытке.
Открыть решение
q = 0,7.
Перед успехом должны произойти три неудачи.
P = 0,7³ · 0,3.
0,7³ = 0,343.
P = 0,343 · 0,3 = 0,1029.
Ответ: 0,1029.
Задание 4. Ни одного успеха
p = 0,25. Найдите вероятность того, что первые три испытания закончатся неудачами.
Открыть решение
q = 1 - 0,25 = 0,75.
P = q³ = 0,75³.
0,75² = 0,5625.
0,5625 · 0,75 = 0,421875.
Ответ: 0,421875.
Задание 5. Хотя бы один успех
p = 0,25. Найдите вероятность хотя бы одного успеха за первые три испытания.
Открыть решение
q = 0,75.
Вероятность трёх неудач: 0,75³ = 0,421875.
Используем противоположное событие:
P = 1 - 0,421875 = 0,578125.
Ответ: 0,578125.
Задание 6. Не менее четырёх испытаний
Вероятность успеха равна 0,2. Найдите вероятность того, что для достижения первого успеха потребуется не менее четырёх испытаний.
Открыть решение
q = 1 - 0,2 = 0,8.
Чтобы потребовалось не менее четырёх испытаний, первые три должны быть неудачными.
P = 0,8³ = 0,512.
Ответ: 0,512.
Самостоятельная работа
В одинаковых независимых испытаниях вероятность успеха равна p = 0,6.
Выполните задания
- Найдите вероятность неудачи q.
- Найдите вероятность первого успеха на первой попытке.
- Найдите вероятность первого успеха на третьей попытке.
- Найдите вероятность трёх последовательных неудач.
- Найдите вероятность хотя бы одного успеха за первые три испытания.
- Найдите вероятность того, что для первого успеха потребуется не менее пяти попыток.
Открыть решения
1. q = 1 - 0,6 = 0,4.
2. Первый успех сразу: P = p = 0,6.
3. Две неудачи, затем успех: P = 0,4² · 0,6 = 0,16 · 0,6 = 0,096.
4. P = 0,4³ = 0,064.
5. P = 1 - 0,4³ = 1 - 0,064 = 0,936.
6. Чтобы потребовалось не менее пяти попыток, первые четыре испытания должны быть неудачными: P = 0,4⁴ = 0,0256.
Видео по теме урока
Основное видео кратко разбирает понятия успеха и неудачи и испытания до первого успеха. Дополнительное видео подробнее посвящено теории серии испытаний до первого успеха.
Основное видео Rutube - «Вероятность и статистика. Успех и неудача. Испытания до первого успеха».
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса непосредственно посвящена бинарному случайному опыту, успеху и неудаче, независимым испытаниям и серии до первого успеха.
На что обратить внимание
- определение бинарного испытания;
- условный смысл слов «успех» и «неудача»;
- обозначения p и q;
- неизменность вероятности успеха;
- независимость испытаний;
- последовательности до первого успеха.
Интерактив и тренировка
В ЯКласс для курса «Вероятность и статистика», 10 класс, есть отдельный раздел по бинарному случайному опыту, успеху и неудаче.
Как выполнять задания
- сначала определите, что считается успехом;
- найдите p;
- вычислите q = 1 - p;
- проверьте независимость испытаний;
- переведите условие в последовательность успехов и неудач;
- только после этого перемножайте вероятности.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что называют бинарным случайным опытом?
Ответ: случайный опыт, в котором рассматриваются два взаимоисключающих результата: выбранное событие произошло или не произошло.
02 Что в теории вероятностей означают слова «успех» и «неудача»?
Ответ: это условные названия двух результатов бинарного испытания. Успехом называют интересующее событие, а неудачей - его ненаступление.
03 Как связаны вероятности p и q?
Ответ: p + q = 1, поэтому q = 1 - p и p = 1 - q.
04 Какие испытания называют независимыми?
Ответ: испытания, при которых результат одного испытания не изменяет вероятности результатов остальных испытаний.
05 Как записать вероятность первого успеха на k-й попытке?
Ответ: qk - 1 · p, потому что сначала должны произойти k - 1 неудач, а затем успех.
06 Как найти вероятность хотя бы одного успеха за первые n испытаний?
Ответ: сначала найти вероятность n последовательных неудач qn, а затем вычесть её из 1: 1 - qn.
07 Чем серия до первого успеха отличается от серии с заранее заданным числом испытаний?
Ответ: в серии до первого успеха число испытаний заранее неизвестно: испытания прекращаются после первого успеха. В серии с фиксированным числом испытаний заранее задано, сколько раз проводится опыт.
Главное по уроку
Бинарный случайный опыт рассматривает два взаимоисключающих результата.
Один из результатов условно называют успехом, второй - неудачей.
Вероятность успеха обозначают p, а вероятность неудачи - q.
Успех и неудача являются противоположными событиями, поэтому p + q = 1 и q = 1 - p.
Независимые испытания - это испытания, при которых результат одного испытания не изменяет вероятности результатов других.
В одинаковых независимых испытаниях вероятности p и q остаются неизменными от одного испытания к другому.
Бинарное испытание с результатами «успех» и «неудача» называют испытанием Бернулли.
В серии до первого успеха испытания продолжаются до тех пор, пока успех не произойдёт впервые.
Число испытаний в такой серии заранее не фиксировано.
Чтобы первый успех произошёл на k-й попытке, сначала должны произойти k - 1 неудач, а затем успех.
Поэтому: qk - 1 · p.
Вероятность хотя бы одного успеха за первые n испытаний: 1 - qn.
Следующий урок - урок 22 «Серия независимых испытаний Бернулли».
22 Урок 22 Серия независимых испытаний Бернулли Открыть урок Свернуть урок
Урок 22. Серия независимых испытаний Бернулли
В предыдущем уроке мы рассмотрели испытания до первого успеха, где число попыток заранее неизвестно. Теперь ситуация другая: заранее проводится ровно n одинаковых независимых испытаний. Нас будет интересовать вероятность того, что среди них произойдёт ровно k успехов.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Выделять параметры серии
Определять число испытаний n и требуемое число успехов k.
Находить вероятности
Определять вероятность успеха p и вероятность неудачи q = 1 - p.
Применять формулу Бернулли
Вычислять вероятность ровно k успехов в серии из n независимых испытаний.
Вспомним предыдущий урок
В каждом испытании Бернулли выделяются два результата: успех и неудача.
Вероятность успеха обозначается p.
Вероятность неудачи обозначается q.
P(успех) = p
P(неудача) = q
p + q = 1
q = 1 - p
Испытания должны быть независимыми: результат одного испытания не изменяет вероятность успеха или неудачи в остальных испытаниях.
Что такое серия независимых испытаний Бернулли
Серия независимых испытаний Бернулли
Серией независимых испытаний Бернулли называют заранее заданное число одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых имеются два результата - успех и неудача, а вероятность успеха p остаётся постоянной.
Ключевое отличие от прошлого урока:
число испытаний n теперь известно заранее.
Например: монету бросают ровно 5 раз, а не до первого орла.
Когда можно применять схему Бернулли
Два результата
В каждом испытании выделяются успех и неудача.
Испытания независимы
Результат одного испытания не влияет на вероятности остальных.
Вероятность постоянна
В каждом испытании вероятность успеха равна одному и тому же числу p.
Если хотя бы одно из этих условий нарушено, обычную формулу Бернулли применять нельзя без дополнительного анализа.
Основные обозначения
| Обозначение | Что означает | Пример |
|---|---|---|
| n | Общее число испытаний | Монету бросили 5 раз - n = 5 |
| k | Число успехов, которое нас интересует | Орёл выпал ровно 2 раза - k = 2 |
| p | Вероятность успеха в одном испытании | Для правильной монеты p = 1/2 |
| q | Вероятность неудачи | q = 1 - p |
| Cₙᵏ | Число способов расположить k успехов среди n испытаний | C₄² = 6 |
| Pₙ(k) | Вероятность получить ровно k успехов в n испытаниях | P₄(2) |
Сначала найдём вероятность одной конкретной последовательности
Проведём 5 испытаний. Пусть требуется 3 успеха и 2 неудачи. Рассмотрим один конкретный порядок:
У p → Н q → У p → У p → Н q
Испытания независимы, поэтому вероятности результатов последовательности перемножаются:
p · q · p · p · q
Множитель p встречается 3 раза, а q - 2 раза.
p³q²
Вероятность одной последовательности с k успехами
В серии из n испытаний, если произошло k успехов, то неудач произошло n - k.
число успехов = k
число неудач = n - k
Поэтому вероятность любой одной заранее выбранной последовательности с k успехами и n - k неудачами равна:
pᵏqⁿ⁻ᵏ
Но событие «ровно k успехов» обычно может произойти не одним способом. Успехи могут находиться на разных местах.
Сколькими способами можно расположить k успехов
Нужно выбрать k позиций для успехов среди n позиций. Это задача на сочетания.
Прежде чем записывать формулу числа сочетаний, напомним обозначение, которое в ней используется.
Факториал и знак !
Восклицательный знак после числа или буквы в математической записи обозначает факториал. Это не знак препинания. Запись n! читается «эн факториал».
Что такое факториал
Факториал натурального числа n - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n
Например:
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
3! = 1 · 2 · 3 = 6
1! = 1
Особое значение 0!
По принятому в математике определению 0! = 1. Это правило необходимо, чтобы формулы сочетаний правильно работали и для случаев, когда выбирают 0 элементов или все n элементов.
0! = 1
Теперь можно записать формулу числа сочетаний:
Cₙᵏ =
n! / (k! · (n - k)!)
Что означает каждый факториал в формуле
n! - факториал общего числа позиций n; k! - факториал числа выбранных позиций k; (n - k)! - факториал числа оставшихся позиций, то есть тех испытаний, которые закончились неудачей.
Например, если n = 5 и k = 2, то:
C₅² =
5! / (2! · 3!)
5! = 120
2! = 2
3! = 6
C₅² =
120 / (2 · 6) =
120 / 12 =
10
Итак, выбрать 2 позиции для успехов среди 5 позиций можно 10 способами. Именно поэтому в формуле Бернулли появляется число сочетаний Cₙᵏ.
Вывод формулы Бернулли
1
Вероятность одной последовательности
Если в ней k успехов и n - k неудач, вероятность равна pᵏqⁿ⁻ᵏ.
2
Число таких последовательностей
Позиции k успехов можно выбрать Cₙᵏ способами.
3
Все варианты взаимоисключающие
В одной конкретной серии испытаний реализуется только одна последовательность.
4
Складываем одинаковые вероятности
Получаем Cₙᵏ одинаковых слагаемых pᵏqⁿ⁻ᵏ, то есть умножаем вероятность одной последовательности на число возможных последовательностей.
Pₙ(k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Формула Бернулли
Формула Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ позволяет найти вероятность того, что в n одинаковых независимых испытаниях Бернулли успех произойдёт ровно k раз.
Пример 1. Два орла в четырёх бросках
Правильную монету бросают 4 раза. Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
1
Число испытаний
n = 4.
2
Число успехов
k = 2.
3
Вероятности
p = 1/2, q = 1/2.
4
Число расположений двух орлов
C₄² = 6. Это означает, что выбрать 2 места для орлов среди 4 бросков можно шестью способами.
5
Подставляем в формулу
P₄(2) = 6 · (1/2)² · (1/2)².
P₄(2) = 6 · 1/4 · 1/4
P₄(2) = 6/16
P₄(2) = 3/8 = 0,375
Ответ:
0,375, или 37,5 %.
Почему в предыдущем примере C₄² = 6
Обозначим орёл как У, а решку как Н. Ровно два успеха возможны в шести последовательностях:
У У Н Н У Н У Н У Н Н У Н У У Н Н У Н У Н Н У У
Вероятность каждой последовательности:
(1/2)⁴ = 1/16
Таких последовательностей шесть:
6 · 1/16 = 6/16 = 3/8
Формула Бернулли выполняет этот подсчёт сразу, без полного перечисления последовательностей.
Пример 2. Ровно три успеха из пяти
Вероятность успеха в одном испытании равна 0,7. Проводят 5 независимых испытаний. Найдём вероятность ровно 3 успехов.
n = 5
k = 3
p = 0,7
q = 0,3
C₅³ = 10
P₅(3) =
10 · 0,7³ · 0,3²
P₅(3) =
10 · 0,343 · 0,09
P₅(3) = 0,3087
Ответ:
0,3087, или 30,87 %.
Особые случаи формулы Бернулли
Ни одного успеха
Если k = 0, все n испытаний должны закончиться неудачей.
Pₙ(0) =
Cₙ⁰p⁰qⁿ
Cₙ⁰ = 1
p⁰ = 1
Здесь используется правило: любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. Например, 2⁰ = 1 и 0,7⁰ = 1.
Pₙ(0) = qⁿ
Успех во всех испытаниях
Если k = n, все испытания должны завершиться успехом.
Pₙ(n) = pⁿ
Хотя бы один успех
Формулировка «хотя бы один успех» означает один или больше успехов.
Удобнее использовать противоположное событие - «ни одного успеха».
P(ни одного успеха) = qⁿ
P(хотя бы один успех) = 1 - qⁿ
Это та же формула, которую мы получили в уроке 21. Теперь она рассматривается как частный случай серии из фиксированных n испытаний.
Если подходят несколько значений k
Формула Бернулли Pₙ(k) даёт вероятность ровно одного определённого значения k.
Если задача спрашивает «не более», «не менее», «от двух до четырёх» и тому подобное, нужно сложить вероятности всех подходящих значений k.
P(k = 2 или k = 3) =
Pₙ(2) + Pₙ(3)
Почему вероятности складываются
В одной и той же серии невозможно одновременно получить ровно 2 успеха и ровно 3 успеха. Эти события несовместны, поэтому их вероятности складываются.
Пример 3. Не более одного успеха
В четырёх независимых испытаниях p = 0,2. Найдём вероятность того, что успех произойдёт не более одного раза.
«Не более одного»
Это означает 0 успехов или 1 успех.
q = 0,8
P₄(0) = 0,8⁴ = 0,4096
P₄(1) =
C₄¹ · 0,2 · 0,8³
P₄(1) =
4 · 0,2 · 0,512 =
0,4096
P = 0,4096 + 0,4096 = 0,8192
Пример 4. Не менее четырёх успехов из пяти
Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,6. Проводится 5 испытаний. Найдём вероятность не менее 4 успехов.
«Не менее четырёх»
При пяти испытаниях это означает ровно 4 успеха или ровно 5 успехов.
p = 0,6
q = 0,4
P₅(4) =
C₅⁴ · 0,6⁴ · 0,4
P₅(4) =
5 · 0,1296 · 0,4 =
0,2592
P₅(5) = 0,6⁵ = 0,07776
P = 0,2592 + 0,07776 = 0,33696
Испытания до первого успеха и формула Бернулли
| Признак | До первого успеха | Серия Бернулли |
|---|---|---|
| Число испытаний заранее известно? | Нет | Да, равно n |
| Когда заканчивается опыт? | При первом успехе | После всех n испытаний |
| Типичный вопрос | Первый успех на k-й попытке | Ровно k успехов из n |
| Основная формула | qk - 1p | Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ |
Главное - сначала понять тип задачи. Если написано «первый успех на пятой попытке», это не задача на ровно один успех в пяти испытаниях.
Алгоритм применения формулы Бернулли
1
Определите успех
Какое событие в одном испытании считается успехом?
2
Найдите n
Сколько испытаний проводится всего?
3
Найдите k
Сколько успехов требуется?
4
Определите p и q
q = 1 - p.
5
Проверьте условия схемы
Два результата, независимость, постоянная вероятность p.
6
Найдите число сочетаний Cₙᵏ
При необходимости используйте факториалы: Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!).
7
Подставьте формулу Бернулли
Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Забыть Cₙᵏ
pᵏqⁿ⁻ᵏ - вероятность только одной конкретной последовательности. Нужно учесть все возможные расположения успехов.
Ошибка 2. Не понимать знак !
В записи n! восклицательный знак обозначает факториал. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Ошибка 3. Поставить q в степень k
Успехов k, поэтому p имеет степень k. Неудач n - k, поэтому q имеет степень n - k.
Ошибка 4. Перепутать n и k
n - всего испытаний, k - число успехов.
Ошибка 5. Применить формулу к зависимым испытаниям
Например, при выборе шаров без возвращения вероятность следующего результата обычно меняется.
Ошибка 6. Не расшифровать слова «не менее» или «не более»
Такие условия обычно включают несколько значений k, вероятности которых нужно сложить.
Практические задания
Решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
Правильную монету бросают 3 раза. Найдите вероятность ровно одного орла.
Открыть решение
n = 3, k = 1.
p = 1/2, q = 1/2.
C₃¹ = 3.
P₃(1) = 3 · (1/2)¹ · (1/2)² = 3/8.
Ответ: 3/8 = 0,375.
Задание 2
В каждом испытании вероятность успеха равна 0,4. Проводят 4 испытания. Найдите вероятность ровно двух успехов.
Открыть решение
n = 4, k = 2.
p = 0,4, q = 0,6.
C₄² = 6.
P₄(2) = 6 · 0,4² · 0,6².
P₄(2) = 6 · 0,16 · 0,36 = 0,3456.
Ответ: 0,3456.
Задание 3
Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Сделано 3 независимых выстрела. Найдите вероятность трёх попаданий.
Открыть решение
Здесь k = n = 3.
P₃(3) = p³.
P₃(3) = 0,8³ = 0,512.
Ответ: 0,512.
Задание 4
Вероятность успеха равна 0,3. Проводят 5 независимых испытаний. Найдите вероятность ни одного успеха.
Открыть решение
q = 1 - 0,3 = 0,7.
P₅(0) = q⁵.
P₅(0) = 0,7⁵ = 0,16807.
Ответ: 0,16807.
Задание 5
p = 0,3, n = 5. Найдите вероятность хотя бы одного успеха.
Открыть решение
q = 0,7.
P(хотя бы один успех) = 1 - 0,7⁵.
P = 1 - 0,16807 = 0,83193.
Ответ: 0,83193.
Задание 6
Вероятность успеха равна 0,5. Проводят 4 испытания. Найдите вероятность не менее трёх успехов.
Открыть решение
«Не менее трёх» означает 3 или 4 успеха.
P₄(3) = C₄³ · 0,5³ · 0,5 = 4 · 0,5⁴ = 4/16 = 1/4.
P₄(4) = 0,5⁴ = 1/16.
P = 1/4 + 1/16 = 5/16 = 0,3125.
Ответ: 0,3125.
Самостоятельная работа
В каждом испытании вероятность успеха равна 0,6. Проводится серия из 5 независимых испытаний.
Выполните задания
- Найдите q.
- Найдите вероятность ровно двух успехов.
- Найдите вероятность ровно трёх успехов.
- Найдите вероятность ни одного успеха.
- Найдите вероятность всех пяти успехов.
- Найдите вероятность не менее четырёх успехов.
Открыть решения
1. q = 1 - 0,6 = 0,4.
2. P₅(2) = C₅² · 0,6² · 0,4³ = 10 · 0,36 · 0,064 = 0,2304.
3. P₅(3) = C₅³ · 0,6³ · 0,4² = 10 · 0,216 · 0,16 = 0,3456.
4. P₅(0) = 0,4⁵ = 0,01024.
5. P₅(5) = 0,6⁵ = 0,07776.
6. P₅(4) + P₅(5) = 0,2592 + 0,07776 = 0,33696.
Видео по теме урока
Основное видео подробно разбирает формулу Бернулли и несколько типов задач: ровно k успехов, отсутствие успехов, «не более» и «не менее». Дополнительное видео отдельно посвящено испытаниям Бернулли и формуле для вероятности заданного числа успехов.
Основное видео Rutube - теория формулы Бернулли и подробные примеры решения задач.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация подготовлена непосредственно по теме «Серия независимых испытаний Бернулли» для курса вероятности и статистики 10 класса.
На что обратить внимание
- условия применения схемы Бернулли;
- постоянство вероятности p;
- связь p и q;
- число сочетаний Cₙᵏ;
- формулу Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ;
- задачи с несколькими допустимыми значениями k.
Интерактив и тренировка
В ЯКласс для 10 класса есть отдельные задания по формуле Бернулли в разделе «Серии последовательных испытаний».
Как выполнять задания
- определите n и k;
- найдите p и q;
- убедитесь в независимости испытаний;
- вычислите Cₙᵏ;
- если используете факториалы, помните: знак ! означает факториал;
- правильно расставьте степени p и q;
- проверьте, требуется ровно k успехов или несколько значений k.
Вопросы для самопроверки
01 Какие условия должны выполняться для серии независимых испытаний Бернулли?
Ответ: в каждом испытании выделяются успех и неудача, испытания независимы, а вероятность успеха p одинакова во всех испытаниях.
02 Что обозначают n и k?
Ответ: n - общее число испытаний, k - число успехов, вероятность которого требуется найти.
03 Что означает знак ! в записи n!?
Ответ: знак ! обозначает факториал. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. По определению 0! = 1.
04 Как записывается формула Бернулли?
Ответ: Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
05 Почему в формуле появляется число сочетаний Cₙᵏ?
Ответ: потому что нужно выбрать k позиций для успехов среди n испытаний. Это можно сделать Cₙᵏ способами.
06 Почему q имеет степень n - k?
Ответ: если из n испытаний k завершились успехом, то оставшиеся n - k испытаний завершились неудачей.
07 Как найти вероятность хотя бы одного успеха в n испытаниях?
Ответ: использовать противоположное событие: P = 1 - qⁿ.
Главное по уроку
В серии независимых испытаний Бернулли заранее проводится n испытаний.
В каждом испытании выделяются успех и неудача.
Вероятность успеха p должна оставаться одинаковой во всех испытаниях, а испытания должны быть независимыми.
Вероятность неудачи равна q = 1 - p.
Если требуется ровно k успехов, то неудач будет n - k.
Вероятность одной конкретной последовательности с k успехами равна pᵏqⁿ⁻ᵏ.
Таких последовательностей существует Cₙᵏ.
Число сочетаний можно вычислить по формуле Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!).
Знак ! обозначает факториал. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. По определению 0! = 1.
Поэтому формула Бернулли имеет вид: Pₙ(k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
Для k = 0 получаем Pₙ(0) = qⁿ, а для k = n получаем Pₙ(n) = pⁿ.
Вероятность хотя бы одного успеха равна 1 - qⁿ.
Если условию подходят несколько значений k, вероятности соответствующих несовместных событий нужно сложить.
Следующий урок - урок 23 «Серии независимых испытаний. Практическая работа с использованием электронных таблиц».
23 Урок 23 Серии независимых испытаний. Практическая работа с использованием электронных таблиц Открыть урок Свернуть урок
Урок 23. Серии независимых испытаний. Практическая работа с использованием электронных таблиц
На предыдущем уроке мы изучили формулу Бернулли. Теперь научимся выполнять такие расчёты в электронной таблице. Вы создадите таблицу вероятностей для всех возможных значений числа успехов, проверите сумму вероятностей и построите диаграмму.
35
минут практической работы
Что вы научитесь делать
Автоматизировать расчёт
Переносить формулу Бернулли в электронную таблицу и автоматически получать значения вероятностей.
Проверять результат
Проверять, что сумма вероятностей всех возможных значений числа успехов равна 1.
Строить диаграмму
Представлять полученные вероятности на столбчатой диаграмме и анализировать её.
Формула, с которой будем работать
Pₙ(k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Напомним обозначения.
- n - общее число независимых испытаний;
- k - число успехов;
- p - вероятность успеха в одном испытании;
- q = 1 - p - вероятность неудачи;
- Cₙᵏ - число сочетаний из n по k, то есть число способов выбрать позиции для k успехов среди n испытаний;
- Pₙ(k) - вероятность получить ровно k успехов в n испытаниях.
В записи ΣP греческая заглавная буква Σ, читается «сигма», используется как знак суммы. Здесь ΣP означает сумму рассматриваемых вероятностей.
Что такое электронная таблица
Электронная таблица
Электронная таблица - программа, в которой данные располагаются в ячейках, а вычисления выполняются с помощью формул и функций. Например, Microsoft Excel, Google Таблицы или LibreOffice Calc.
Ячейка
Ячейка - отдельное поле электронной таблицы на пересечении столбца и строки. Столбцы обозначаются буквами A, B, C и так далее, а строки - числами 1, 2, 3 и так далее.
Адрес ячейки
Адрес ячейки состоит из буквы столбца и номера строки. Например, B3 означает ячейку, расположенную в столбце B и строке 3.
Электронная таблица не заменяет математическую модель. Сначала мы определяем n, k, p и q, а затем поручаем программе выполнить повторяющиеся вычисления.
Практическая задача
Проводят 8 независимых испытаний. Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. Построим таблицу вероятностей для всех возможных значений числа успехов.
n = 8
p = 0,3
q = 1 - 0,3 = 0,7
Число успехов k может принимать все целые значения от 0 до 8:
k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Шаг 1. Введите исходные данные
Сначала создадим небольшой блок с постоянными параметрами задачи. Для наглядности будем использовать столбцы A и B.
| A | B | |
|---|---|---|
| 1 | Параметр | Значение |
| 2 | n - число испытаний | 8 |
| 3 | p - вероятность успеха | 0,3 |
| 4 | q - вероятность неудачи | =1-B3 |
Таким образом:
- в ячейке B2 находится число испытаний n = 8;
- в ячейке B3 находится вероятность успеха p = 0,3;
- в ячейке B4 программа вычисляет вероятность неудачи q.
Что означает запись =1-B3
Знак = в начале сообщает электронной таблице, что дальше записана формула. Запись =1-B3 означает: из числа 1 вычесть значение, которое находится в ячейке B3. Поскольку B3 = 0,3, в B4 получится 0,7.
q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7
Шаг 2. Запишите все возможные значения k
Что означает k
Буквой k обозначается количество успехов, которое произошло в серии испытаний. В нашей задаче проводится n = 8 испытаний, поэтому число успехов может быть от 0 до 8 включительно.
Теперь ниже исходных данных создадим таблицу расчётов.
В ячейке A6 напишите заголовок k - число успехов.
Затем в ячейки A7:A15 запишите числа от 0 до 8.
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 6 | k - число успехов | C₈ᵏ | P₈(k) |
| 7 | 0 | ||
| 8 | 1 | ||
| 9 | 2 | ||
| 10 | 3 | ||
| 11 | 4 | ||
| 12 | 5 | ||
| 13 | 6 | ||
| 14 | 7 | ||
| 15 | 8 |
Почему значения k идут именно от 0 до 8?
При восьми испытаниях может произойти минимум 0 успехов и максимум 8 успехов. Например, получить 9 успехов в восьми испытаниях невозможно.
При восьми испытаниях может произойти минимум 0 успехов и максимум 8 успехов. Например, получить 9 успехов в восьми испытаниях невозможно.
Как не вводить все числа вручную
Электронная таблица умеет автоматически продолжать числовую последовательность.
1
Введите первые два числа
В ячейку A7 введите 0, а в ячейку A8 - число 1.
2
Выделите A7 и A8
Выделите одновременно обе ячейки. Программа распознает последовательность 0, 1.
3
Протяните маркер заполнения вниз
Протяните маленький маркер в правом нижнем углу выделенного диапазона до ячейки A15. Электронная таблица автоматически продолжит последовательность: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Маркер заполнения
Маркер заполнения - небольшой элемент в правом нижнем углу выделенной ячейки или группы ячеек. Его используют для копирования формул и автоматического продолжения последовательностей.
Шаг 3. Записываем формулу Бернулли в электронную таблицу
Теперь вычислим число сочетаний C₈ᵏ и вероятность P₈(k).
В ячейку B7 вводим формулу для числа сочетаний:
Функция ЧИСЛКОМБ
Функция ЧИСЛКОМБ вычисляет число сочетаний Cₙᵏ. В нашей формуле значение n берётся из ячейки B2, а текущее значение k - из ячейки A7.
Например, при k = 0 функция вычислит C₈⁰ = 1, а при k = 2 - C₈² = 28.
В ячейке C7 вычислим вероятность по формуле Бернулли:
Разберём запись по частям.
| Фрагмент | Что означает |
|---|---|
| ЧИСЛКОМБ($B$2;A7) | Число сочетаний Cₙᵏ |
| * | Знак умножения в электронной таблице |
| $B$3^A7 | pᵏ |
| ^ | Знак возведения в степень в электронной таблице |
| $B$4^($B$2-A7) | qⁿ⁻ᵏ |
Что означают знаки $
Запись $B$2 называется абсолютной ссылкой. Знаки $ фиксируют и столбец B, и строку 2. Поэтому при копировании формулы ссылка продолжит указывать именно на B2.
Если знаки $ убрать, при копировании формулы вниз адрес B2 начнёт изменяться на B3, B4 и так далее, что приведёт к неправильным вычислениям.
Шаг 4. Скопируйте формулы вниз
1
Заполните первую строку расчёта
В B7 должна находиться формула числа сочетаний, а в C7 - формула вероятности.
2
Выделите ячейки B7 и C7
Это первая строка расчётов для k = 0.
3
Протяните формулы до строки 15
Используйте маркер заполнения и протяните выделение вниз до B15:C15.
4
Что изменится автоматически
Ссылка A7 превратится в A8, затем A9 и так далее, потому что значение k меняется в каждой строке.
5
Что останется неизменным
Ссылки $B$2, $B$3 и $B$4 не изменятся благодаря знакам $.
Что должно получиться
Для n = 8, p = 0,3 и q = 0,7 получаем следующие вероятности.
| k | Что означает k | C₈ᵏ | P₈(k) | Примерно в процентах |
|---|---|---|---|---|
| 0 | Ни одного успеха | 1 | 0,05764801 | 5,7648 % |
| 1 | Один успех | 8 | 0,19765032 | 19,7650 % |
| 2 | Два успеха | 28 | 0,29647548 | 29,6475 % |
| 3 | Три успеха | 56 | 0,25412184 | 25,4122 % |
| 4 | Четыре успеха | 70 | 0,13613670 | 13,6137 % |
| 5 | Пять успехов | 56 | 0,04667544 | 4,6675 % |
| 6 | Шесть успехов | 28 | 0,01000188 | 1,0002 % |
| 7 | Семь успехов | 8 | 0,00122472 | 0,1225 % |
| 8 | Восемь успехов | 1 | 0,00006561 | 0,0066 % |
Шаг 5. Проверьте сумму вероятностей
После восьми испытаний число успехов обязательно будет равно одному из чисел от 0 до 8.
Поэтому сумма вероятностей всех возможных вариантов должна быть равна 1.
P₈(0) + P₈(1) + ... + P₈(8) = 1
Что означает многоточие ...
Многоточие означает, что между записанными членами имеются промежуточные слагаемые. Здесь имеются в виду P₈(2), P₈(3), P₈(4), P₈(5), P₈(6) и P₈(7).
Если вероятности находятся в ячейках C7:C15, в ячейке C16 можно записать:
=СУММ(C7:C15)
Что означает C7:C15
Двоеточие между адресами обозначает диапазон ячеек - все ячейки от C7 до C15 включительно.
Результат должен быть равен 1. Иногда программа может показывать число, очень близкое к 1, если отображаемые значения предварительно округлены.
Способ 2. Встроенная функция БИНОМ.РАСП
В Microsoft Excel можно не вводить формулу Бернулли вручную, а использовать специальную функцию для биномиальных вероятностей.
=БИНОМ.РАСП(число_успехов;число_испытаний;вероятность_успеха;ЛОЖЬ)Для строки 7 нашей таблицы:
Что означает ЛОЖЬ
Значение ЛОЖЬ указывает программе, что требуется вероятность ровно указанного числа успехов k.
В разных программах и языковых версиях названия функций и разделители между аргументами могут отличаться. Например, в английской версии Excel функция называется BINOM.DIST.
Открыть справку Microsoft
Сравните два способа вычисления
| Способ | Что вводится | Преимущество | Что нужно понимать |
|---|---|---|---|
| Формула Бернулли | ЧИСЛКОМБ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ | Хорошо видна математическая структура | Откуда берётся каждый множитель |
| БИНОМ.РАСП | k, n, p и ЛОЖЬ | Быстрый автоматический расчёт | Что означают параметры функции |
Для обучения полезно сначала выполнить вычисления по самой формуле Бернулли, а затем проверить результаты функцией БИНОМ.РАСП.
Шаг 6. Постройте диаграмму вероятностей
По значениям k и P₈(k) можно построить столбчатую диаграмму. Она показывает, какие количества успехов более вероятны, а какие - менее вероятны.
0 5,7648 %
1 19,7650 %
2 29,6475 %
3 25,4122 %
4 13,6137 %
5 4,6675 %
6 1,0002 %
7 0,1225 %
8 0,0066 %
Длины полос здесь показаны относительно самой большой вероятности. Самая длинная полоса соответствует k = 2.
Самая большая вероятность соответствует двум успехам:
P₈(2) ≈ 0,2965
Знак ≈
Знак ≈ читается «приблизительно равно». Он используется, когда число округлено. Например, 0,29647548 ≈ 0,2965.
То, что k = 2 имеет наибольшую вероятность, не означает, что два успеха обязательно произойдут. Их вероятность составляет около 29,65 %, а не 100 %.
Как построить диаграмму в электронной таблице
1
Выделите значения k и P₈(k)
В нашем примере это значения из столбца A и соответствующие вероятности из столбца C.
2
Выберите команду вставки диаграммы
Используйте столбчатую диаграмму.
3
Проверьте горизонтальную ось
На горизонтальной оси должны находиться значения числа успехов: 0, 1, 2, ..., 8.
4
Проверьте вертикальную ось
Высота каждого столбца должна соответствовать вероятности P₈(k).
Исследование: изменяем вероятность успеха
Одно из главных преимуществ электронной таблицы - возможность изменить один исходный параметр и сразу получить новые результаты.
Оставьте n = 8, но последовательно замените значение p в ячейке B3:
p = 0,2
p = 0,5
p = 0,8
При каждом изменении p значение q и все вероятности должны пересчитаться автоматически.
- при небольшом p более вероятны небольшие количества успехов;
- при p = 0,5 вероятности располагаются симметрично относительно середины;
- при большом p наиболее вероятные значения k смещаются к большим числам.
Позже, в уроке о биномиальном распределении, мы подробно объясним эти закономерности.
Дополнительно: вероятность «не более k успехов»
Функция БИНОМ.РАСП может вычислять не только вероятность ровно k успехов, но и вероятность получить не более k успехов.
=БИНОМ.РАСП(k;n;p;ИСТИНА)
Что означает ИСТИНА
Если последний аргумент равен ИСТИНА, функция складывает вероятности получить 0, 1, 2 и так далее до k успехов включительно.
P(X ≤ k) =
Pₙ(0) + Pₙ(1) + ... + Pₙ(k)
Что означает X
Здесь буквой X обозначено число успехов в серии испытаний. В следующих уроках мы узнаем, что такая величина называется случайной величиной.
Знак ≤
Знак ≤ читается «меньше или равно». Запись X ≤ k означает, что число успехов X не превышает k.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Неправильно определить успех
Сначала нужно понять, какое событие считается успехом. Иначе вероятность p будет выбрана неверно.
Ошибка 2. Забыть вычислить q
Вероятность неудачи вычисляется по формуле q = 1 - p.
Ошибка 3. Не зафиксировать ячейки
Без знаков $ ссылки на n, p и q будут изменяться при копировании формулы вниз.
Ошибка 4. Перепутать ЛОЖЬ и ИСТИНА
ЛОЖЬ используется для вероятности ровно k успехов, а ИСТИНА - для накопленной вероятности от 0 до k.
Ошибка 5. Не проверить сумму
Сумма вероятностей для всех возможных k от 0 до n должна быть равна 1.
Ошибка 6. Считать таблицу доказательством независимости
Независимость испытаний должна следовать из условия задачи. Электронная таблица только выполняет расчёты по выбранной модели.
Практическая работа
Теперь создайте собственную электронную таблицу.
Часть 1. Исходные данные
- Введите n = 10.
- Введите p = 0,4.
- Вычислите q формулой =1-B3.
- Убедитесь, что получилось q = 0,6.
Открыть проверку
n = 10.
p = 0,4.
q = 1 - 0,4 = 0,6.
Часть 2. Таблица вероятностей
- Запишите k от 0 до 10.
- Вычислите C₁₀ᵏ.
- Вычислите P₁₀(k) по формуле Бернулли.
- В соседнем столбце вычислите те же значения функцией БИНОМ.РАСП.
- Сравните результаты.
- Найдите сумму всех вероятностей.
Открыть контрольные сведения
Значения k должны идти от 0 до 10 включительно.
Результаты формулы Бернулли и БИНОМ.РАСП с аргументом ЛОЖЬ должны совпадать.
Сумма вероятностей P₁₀(0) + P₁₀(1) + ... + P₁₀(10) должна быть равна 1.
Часть 3. Ответьте по готовой таблице
- Найдите вероятность ровно 4 успехов.
- Найдите вероятность ни одного успеха.
- Найдите вероятность всех 10 успехов.
- Найдите вероятность хотя бы одного успеха.
- Определите значение k, которому соответствует самая большая вероятность.
Открыть подсказку
Для ровно 4 успехов используйте строку k = 4.
Для ни одного успеха используйте k = 0.
Для всех успехов используйте k = 10.
Вероятность хотя бы одного успеха удобно вычислять как 1 - P₁₀(0).
Чтобы определить наиболее вероятное число успехов, найдите наибольшее значение в столбце P₁₀(k).
Часть 4. Постройте диаграмму
- Выделите значения k и P₁₀(k).
- Постройте столбчатую диаграмму.
- Подпишите горизонтальную ось «Число успехов k».
- Подпишите вертикальную ось «Вероятность».
- Определите по диаграмме наиболее вероятное количество успехов.
Самостоятельное исследование
Не меняя n = 10, последовательно замените p на 0,2; 0,5; 0,8.
Ответьте на вопросы
- Как меняется положение самого высокого столбца диаграммы?
- При каком p диаграмма выглядит симметричной?
- При p = 0,2 чаще встречаются малые или большие значения k?
- При p = 0,8 чаще встречаются малые или большие значения k?
- Изменяется ли сумма всех вероятностей?
Открыть выводы
При увеличении p наиболее вероятные значения k смещаются в сторону больших чисел.
При p = 0,5 распределение симметрично.
При p = 0,2 более вероятны небольшие значения k.
При p = 0,8 более вероятны большие значения k.
Сумма вероятностей всех возможных значений k всегда остаётся равной 1.
Видео по теме
Основное видео помогает увидеть связь серии испытаний Бернулли с распределением вероятностей. Дополнительное видео показывает применение электронных таблиц.
Основное видео Rutube - о вероятностях различного числа успехов в серии испытаний.
Открыть видео на RutubeПрезентация и практический материал
На что обратить внимание
- ввод исходных параметров;
- применение формулы Бернулли;
- работа с электронными таблицами;
- копирование формул;
- проверка результатов;
- построение диаграмм.
Интерактив и дополнительная тренировка
При выполнении заданий
- определяйте число испытаний n;
- определяйте вероятность успеха p;
- находите q = 1 - p;
- проверяйте диапазон значений k;
- сравнивайте полученные вероятности;
- анализируйте таблицу и диаграмму.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что означает адрес ячейки B3?
Ответ: это ячейка на пересечении столбца B и строки 3.
02 Почему при n = 8 значения k идут от 0 до 8?
Ответ: потому что в восьми испытаниях может произойти минимум 0 и максимум 8 успехов.
03 Для чего используются знаки $ в записи $B$3?
Ответ: они фиксируют адрес ячейки, поэтому он не изменяется при копировании формулы.
04 Что вычисляет функция ЧИСЛКОМБ?
Ответ: число сочетаний Cₙᵏ - число способов выбрать k позиций из n.
05 Что означает аргумент ЛОЖЬ в функции БИНОМ.РАСП?
Ответ: требуется вероятность ровно указанного количества успехов.
06 Чему должна равняться сумма Pₙ(0) + Pₙ(1) + ... + Pₙ(n)?
Ответ: 1, потому что число успехов обязательно принимает одно из возможных значений от 0 до n.
07 Зачем строить диаграмму вероятностей?
Ответ: диаграмма позволяет наглядно сравнить вероятности разных значений k и увидеть наиболее вероятные количества успехов.
Главное по уроку
Электронная таблица позволяет автоматизировать вычисления по формуле Бернулли.
Сначала необходимо определить исходные параметры n и p и вычислить q = 1 - p.
Адрес ячейки состоит из буквы столбца и номера строки, например B3.
При n испытаниях число успехов k может принимать значения от 0 до n.
Для постоянных параметров удобно использовать абсолютные ссылки со знаками $, например $B$2.
Функция ЧИСЛКОМБ позволяет вычислить число сочетаний Cₙᵏ.
Формулу Бернулли можно записать непосредственно в электронной таблице и скопировать на все значения k.
В Excel вероятность ровно k успехов можно также вычислить функцией БИНОМ.РАСП с последним аргументом ЛОЖЬ.
При аргументе ИСТИНА функция вычисляет накопленную вероятность от 0 до k успехов.
Сумма вероятностей для всех k от 0 до n должна быть равна 1.
По полученным данным можно построить диаграмму и сравнить вероятности различных количеств успехов.
Изменяя исходную вероятность p, можно исследовать, как меняется вся картина вероятностей.
Раздел 6 «Серии последовательных испытаний» завершён.
Следующий урок - урок 24 «Случайная величина», первый урок раздела 7 «Случайные величины и распределения».
Раздел 7
Случайные величины и распределения
Случайная величина и её возможные значения; распределение вероятностей случайной величины; представление распределения с помощью таблицы и диаграммы; сумма и произведение случайных величин; решение задач на действия со случайными величинами; геометрическое распределение; биномиальное распределение; сравнение распределений и анализ их свойств.
24 Урок 24 Случайная величина Открыть урок Свернуть урок
Урок 24. Случайная величина
Раньше мы изучали случайные события: событие могло произойти или не произойти. Теперь сделаем следующий шаг - будем связывать с результатом случайного опыта определённое число. Так появляется одно из основных понятий теории вероятностей - случайная величина.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Понимать новое понятие
Объяснять своими словами, что такое случайная величина и почему её значение зависит от исхода случайного опыта.
Находить возможные значения
Определять, какие числовые значения может принимать заданная случайная величина.
Различать событие и величину
Отличать случайное событие от случайной величины, связанной с тем же экспериментом.
Сначала разберём слово «величина»
Величина
В математике величиной называют характеристику объекта, явления или результата, которую можно выразить числом.
Например, величинами являются:
- температура воздуха;
- длина отрезка;
- время ожидания;
- число покупателей в магазине;
- число орлов при нескольких бросках монеты;
- сумма очков на двух игральных кубиках.
Числовая величина
Числовая величина - величина, результатом определения которой является число.
Например, цвет вынутого шара сам по себе не является числовой величиной: результатом будет слово «красный», «белый» или другое название цвета. А вот число красных шаров - уже числовая величина.
Вспомним: что такое случайный опыт
Случайный опыт
Случайный опыт, или случайный эксперимент, - действие, результат которого заранее точно неизвестен.
Например, бросаем игральный кубик. До броска мы не знаем, какое число окажется на верхней грани.
После броска результат уже известен: например, выпало число 4.
Отдельный возможный результат случайного опыта называется элементарным исходом. Этот термин уже встречался раньше: например, при одном броске кубика исходами являются выпадения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
Что такое случайная величина
Случайная величина
Случайная величина - числовая величина, значение которой определяется результатом случайного опыта. До проведения опыта мы заранее точно не знаем, какое значение она примет.
Шаг 1
Проводится случайный опыт
→
Шаг 2
Получаем конкретный исход
→
Шаг 3
Этому исходу соответствует определённое числовое значение
Главное: после того как исход опыта известен, значение случайной величины тоже определяется однозначно.
Как обозначают случайные величины
Случайные величины обычно обозначают заглавными латинскими буквами.
X
Буква X
X - заглавная латинская буква, читается «икс». В этом уроке буквой X будем обозначать случайную величину. Здесь X не является знаком умножения.
Например, если бросают игральный кубик, можно договориться:
X - число очков, выпавших на кубике
Если выпало 4 очка, случайная величина X приняла значение 4.
X = 4
Запись X = 4 читается: «случайная величина икс приняла значение четыре».
Возможные значения случайной величины
Возможное значение
Возможным значением случайной величины называют число, которое эта величина может принять хотя бы при одном возможном исходе случайного опыта.
Если X - число очков на одном обычном игральном кубике, то возможные значения X:
1
2
3
4
5
6
Число 7 не является возможным значением этой случайной величины, потому что на обычном шестигранном кубике нет грани с семью очками.
Пример 1. Два броска монеты
Монету бросают два раза. Пусть X - число выпавших орлов.
Обозначения в таблице
Буквой О будем обозначать выпадение орла, а буквой Р - выпадение решки. Например, ОР означает: в первом броске выпал орёл, а во втором - решка.
| Исход опыта | Что произошло | Число орлов | Значение X |
|---|---|---|---|
| ОО | Орёл, затем орёл | 2 | X = 2 |
| ОР | Орёл, затем решка | 1 | X = 1 |
| РО | Решка, затем орёл | 1 | X = 1 |
| РР | Решка, затем решка | 0 | X = 0 |
Обратите внимание: разные исходы могут приводить к одному и тому же значению случайной величины. Исходы ОР и РО различны, но в обоих случаях X = 1.
Возможные значения X в этом опыте:
X может принимать значения 0, 1 и 2
Пример 2. Сумма очков на двух кубиках
Одновременно бросают два обычных игральных кубика. Пусть X - сумма выпавших очков.
Самая маленькая сумма получится, если на обоих кубиках выпадет по одному очку:
1 + 1 = 2
Самая большая сумма получится, если на обоих кубиках выпадет по шесть очков:
6 + 6 = 12
Поэтому X может принимать значения:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Число 1 невозможно: сумма двух выпавших чисел не может быть меньше 2.
С одним опытом можно связать разные случайные величины
Пусть снова бросают два кубика. Один и тот же эксперимент можно описывать разными числовыми характеристиками.
| Что можно измерять | Пример результата при выпадении 3 и 5 |
|---|---|
| Число на первом кубике | 3 |
| Число на втором кубике | 5 |
| Сумма чисел | 8 |
| Произведение чисел | 15 |
| Большее из двух выпавших чисел | 5 |
Поэтому фразы «случайная величина при броске двух кубиков» недостаточно. Нужно обязательно сказать, что именно эта величина измеряет или подсчитывает.
Случайное событие и случайная величина - это не одно и то же
Рассмотрим бросок одного кубика.
Пусть событие A означает: «выпало чётное число».
Буква A
Заглавной латинской буквой A здесь обозначено случайное событие. Событие либо произошло, либо не произошло.
А случайная величина X может обозначать число очков на кубике.
| Объект | Что описывает | Каков результат |
|---|---|---|
| Событие A: «выпало чётное число» | Определённое условие | Произошло или не произошло |
| Случайная величина X: число очков | Числовую характеристику исхода | Принимает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
Если выпало 4, то событие A произошло, а случайная величина X приняла значение 4.
Дискретная случайная величина
Дискретная случайная величина
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой представляют собой отдельные числа, которые можно перечислять или последовательно подсчитывать.
Что означает слово «дискретный»
Слово «дискретный» означает состоящий из отдельных, отделённых друг от друга значений.
Примеры дискретных случайных величин:
- число орлов при пяти бросках монеты;
- число попаданий в мишень;
- число неисправных приборов в партии;
- число покупателей, пришедших за час;
- число очков на игральном кубике.
В этом разделе курса основное внимание будет уделено именно дискретным случайным величинам.
Для сравнения: непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина может принимать любые числовые значения из некоторого промежутка, а не только отдельные заранее перечисленные числа.
Примеры:
- время ожидания автобуса;
- температура воздуха;
- масса предмета;
- длина изготовленной детали.
Подробно непрерывные случайные величины в этом уроке не изучаем. Нам важно увидеть различие: число орлов может быть только 0, 1, 2 и так далее, а время ожидания, например, может составить 3,1 минуты, 3,14 минуты, 3,142 минуты и множество других значений.
Как понять, является ли величина случайной
1
Найдите случайный опыт
Должен существовать эксперимент, результат которого заранее точно неизвестен.
2
Проверьте, является ли результат числом
Случайная величина должна принимать числовое значение.
3
Проверьте зависимость от исхода
Разные результаты опыта могут приводить к разным значениям величины.
4
Определите возможные значения
Нужно понять, какие числа величина вообще может принять.
Что является случайной величиной, а что - нет
| Описание | Случайная величина? | Почему |
|---|---|---|
| Число орлов при трёх бросках монеты | Да | Это число, и заранее неизвестно, сколько орлов выпадет |
| Цвет случайно вынутого шара | Нет | Результат случайный, но цвет сам по себе не является числом |
| Число красных шаров среди трёх вынутых | Да | Это числовой результат случайного опыта |
| Число дней в неделе | Нет | Оно постоянно равно 7 и не зависит от случайного опыта |
| Число посетителей магазина за следующий час | Да | Это число заранее точно неизвестно |
Типичные ошибки
Ошибка 1. Путать событие и величину
Событие отвечает на вопрос «произошло или нет?», а случайная величина принимает числовое значение.
Ошибка 2. Считать любой случайный результат случайной величиной
Случайная величина должна быть именно числовой. Цвет шара без дополнительного числового кодирования - не случайная величина.
Ошибка 3. Не указывать, что означает X
Недостаточно написать только букву X. Нужно определить: например, «X - число орлов при трёх бросках монеты».
Ошибка 4. Считать исход и значение X одним и тем же
Исходы ОР и РО различаются, но случайная величина «число орлов» в обоих случаях принимает значение 1.
Ошибка 5. Включать невозможные значения
При трёх бросках монеты число орлов не может быть 4.
Ошибка 6. Считать значение известным заранее
До опыта значение X неизвестно. После получения исхода оно определяется однозначно.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте ответ.
Задание 1
Монету бросают три раза. X - число выпавших орлов. Какие значения может принимать X?
Открыть решение
Орёл может не выпасть ни разу - тогда X = 0.
Он может выпасть один, два или три раза.
Ответ: возможные значения X: 0, 1, 2, 3.
Задание 2
Бросают два кубика. X - большее из двух выпавших чисел. Какие значения может принимать X?
Открыть решение
На каждом кубике могут выпасть числа от 1 до 6.
Большее из двух чисел также может быть любым числом от 1 до 6.
Например, X = 1 возможно только при выпадении 1 и 1, а X = 6 возможно во всех исходах, где хотя бы на одном кубике выпало 6.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Задание 3
Ученик случайно выбирает одну карточку, на которой написано слово «красный», «синий» или «зелёный». Является ли цвет выбранной карточки случайной величиной?
Открыть решение
Выбор является случайным, но результат - название цвета, а не число.
Поэтому без дополнительного числового кодирования цвет не является случайной величиной.
Ответ: нет.
Задание 4
Футболист выполняет 4 пенальти. X - число забитых мячей. Какие значения может принимать X?
Открыть решение
Можно не забить ни одного мяча, забить один, два, три или все четыре.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Задание 5
Бросают один кубик. Событие A - «выпало число больше 4», а X - число выпавших очков. При результате 5 что произошло с A и какое значение приняла X?
Открыть решение
Число 5 больше 4, поэтому событие A произошло.
Случайная величина X равна числу выпавших очков, поэтому X = 5.
Ответ: событие A произошло; X = 5.
Задание 6
В коробке 5 ламп. Известно, что некоторые из них могут оказаться неисправными. Проверяют все лампы. X - число неисправных ламп. Какие значения может принимать X?
Открыть решение
Неисправных ламп может не быть совсем - X = 0.
Также неисправными могут оказаться 1, 2, 3, 4 или все 5 ламп.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Самостоятельная работа
Опыт: три броска монеты
Монету бросают три раза.
- Определите случайную величину X как число орлов.
- Запишите все возможные значения X.
- Какое значение X соответствует исходу ОРО?
- Какое значение X соответствует исходу РРР?
- Могут ли два разных исхода приводить к одинаковому значению X?
- Является ли X дискретной случайной величиной?
Открыть ответы
1. X - число орлов при трёх бросках монеты.
2. Возможные значения: 0, 1, 2, 3.
3. В исходе ОРО два орла, поэтому X = 2.
4. В исходе РРР орлов нет, поэтому X = 0.
5. Да. Например, ОРР, РОР и РРО - разные исходы, но во всех трёх случаях X = 1.
6. Да. Возможные значения X - отдельные числа 0, 1, 2 и 3.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено понятию случайной величины и её возможным значениям. Дополнительное видео помогает закрепить тему на примерах.
Основное видео Rutube - определение случайной величины и примеры для 10 класса.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса посвящена непосредственно теме «Случайная величина».
На что обратить внимание
- зависимость значения величины от исхода случайного опыта;
- обозначение случайных величин заглавными латинскими буквами;
- различие между исходом опыта и значением случайной величины;
- примеры нескольких случайных величин, связанных с одним опытом;
- определение возможных значений.
Интерактив и дополнительная тренировка
В разделе ЯКласс для 10 класса представлены теория и задания на определение случайных величин и их возможных значений.
При выполнении заданий
- сначала определите случайный опыт;
- прочитайте, что именно обозначает X;
- не путайте элементарный исход со значением X;
- проверьте минимальное и максимальное возможные значения;
- исключите невозможные значения.
Вопросы для самопроверки
Ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что в математике называют случайной величиной?
Ответ: случайная величина - числовая величина, значение которой определяется результатом случайного опыта и заранее точно неизвестно.
02 Что обозначает заглавная латинская буква X в этом уроке?
Ответ: буквой X обозначается случайная величина. Нужно обязательно указать, какую именно числовую характеристику она описывает.
03 Что называют возможным значением случайной величины?
Ответ: число, которое случайная величина может принять хотя бы при одном возможном исходе случайного опыта.
04 Могут ли разные исходы приводить к одному значению случайной величины?
Ответ: да. Например, при двух бросках монеты исходы ОР и РО различны, но число орлов в обоих случаях равно 1.
05 Чем случайное событие отличается от случайной величины?
Ответ: событие либо происходит, либо не происходит, а случайная величина принимает числовое значение.
06 Что означает термин «дискретная случайная величина»?
Ответ: это случайная величина, принимающая отдельные числовые значения, которые можно перечислять или последовательно подсчитывать.
07 Почему цвет случайно выбранного шара сам по себе не является случайной величиной?
Ответ: потому что цвет является качественным, а не числовым результатом. Случайная величина должна принимать числовые значения.
Главное по уроку
Величина - характеристика, которую можно выразить числом.
Случайная величина - числовая величина, значение которой определяется результатом случайного опыта.
До проведения опыта значение случайной величины заранее точно неизвестно.
После того как исход опыта известен, значение случайной величины определяется однозначно.
Случайную величину обычно обозначают заглавной латинской буквой, например X.
Запись X = 4 означает, что случайная величина X приняла значение 4.
Возможным значением случайной величины называют число, которое она может принять хотя бы при одном возможном исходе.
Разные исходы одного опыта могут приводить к одинаковому значению случайной величины.
Случайное событие и случайная величина - разные понятия: событие происходит или не происходит, а величина принимает число.
Дискретная случайная величина принимает отдельные значения, которые можно перечислять или подсчитывать.
Следующий урок - урок 25 «Распределение вероятностей. Таблица и диаграмма распределения».
25 Урок 25 Распределение вероятностей. Таблица и диаграмма распределения Открыть урок Свернуть урок
Урок 25. Распределение вероятностей. Таблица и диаграмма распределения
В прошлом уроке мы узнали, что случайная величина может принимать разные числовые значения. Теперь выясним, насколько вероятно каждое из этих значений, и научимся представлять всю информацию в одной таблице и на диаграмме.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Находить значения
Определять все возможные значения случайной величины.
Находить вероятности
Вычислять вероятность каждого возможного значения случайной величины.
Представлять распределение
Составлять таблицу распределения и строить диаграмму распределения.
Вспомним предыдущий урок
Случайная величина
Случайная величина - числовая величина, значение которой определяется результатом случайного опыта и заранее точно неизвестно.
Случайную величину мы обозначали заглавной латинской буквой X.
Например, монету бросают два раза. Пусть X - число выпавших орлов.
X = 0
X = 1
X = 2
Но знать только возможные значения недостаточно. Важно ещё знать, с какой вероятностью случайная величина принимает каждое значение.
Что такое распределение вероятностей
Распределение вероятностей случайной величины
Распределение вероятностей показывает все возможные значения случайной величины и вероятность каждого из этих значений.
Иными словами, распределение отвечает сразу на два вопроса:
- какие значения может принять случайная величина;
- насколько вероятно каждое значение.
В школьных задачах распределение дискретной случайной величины чаще всего удобно представлять в виде таблицы.
Пример 1. Число орлов при двух бросках монеты
Правильную монету бросают два раза. X - число выпавших орлов.
Что означает «правильная монета»
Правильной называют идеализированную монету, у которой орёл и решка имеют одинаковую вероятность выпадения: по 1/2.
Возможны четыре равновероятных исхода.
| Исход | Что произошло | Значение X - число орлов |
|---|---|---|
| ОО | Два орла | 2 |
| ОР | Один орёл | 1 |
| РО | Один орёл | 1 |
| РР | Орлов нет | 0 |
Найдём вероятность каждого значения X
Значение X = 0
Ни одного орла получаем только при исходе РР.
P(X = 0) = 1/4
Как читается P(X = 0)
Заглавная латинская буква P обозначает вероятность. Запись P(X = 0) читается: «вероятность того, что случайная величина X примет значение 0».
Значение X = 1
Один орёл получается при двух исходах: ОР и РО. Всего исходов четыре.
P(X = 1) = 2/4 = 1/2
Значение X = 2
Два орла получаем только при исходе ОО.
P(X = 2) = 1/4
Таблица распределения
Теперь соберём полученную информацию в одной таблице.
| Возможное значение X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность этого значения | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
Таблица распределения
Таблица распределения - таблица, в которой каждому возможному значению случайной величины сопоставлена вероятность того, что величина примет именно это значение.
Главное свойство распределения
Случайная величина обязательно примет какое-то одно из своих возможных значений.
Поэтому вероятности всех возможных значений вместе должны давать 1.
1/4 + 1/2 + 1/4 = 1
Что означает сумма вероятностей 1
Число 1 соответствует достоверному событию - событию, которое обязательно произойдёт. Здесь обязательно произойдёт одно из событий X = 0, X = 1 или X = 2.
Если сумма вероятностей в готовой таблице не равна 1, значит, либо пропущено возможное значение, либо одна или несколько вероятностей вычислены неверно.
Как записывают распределение в общем виде
Сначала мы разобрали конкретный пример. Теперь можно познакомиться с общей математической записью.
Обозначения x₁, x₂, x₃, ...
Маленькими латинскими буквами x с нижними индексами удобно обозначать возможные значения случайной величины X. Запись x₁ читается «икс один», x₂ - «икс два». Маленькая цифра внизу называется нижним индексом и служит просто номером значения.
x₁
x₂
x₃
...
xₘ
Что означает многоточие ...
Многоточие показывает, что между записанными значениями могут находиться другие значения той же последовательности.
Что означает m
Буквой m здесь обозначено общее количество различных возможных значений случайной величины. Например, если X может принимать значения 0, 1 и 2, то таких значений три и m = 3.
Вероятность первого значения можно записать:
p₁ = P(X = x₁)
Что означает p₁
Маленькая латинская буква p обозначает вероятность. Нижний индекс 1 показывает, что речь идёт о вероятности первого возможного значения x₁. Поэтому p₁ = P(X = x₁).
Аналогично:
p₂ = P(X = x₂)
p₃ = P(X = x₃)
Эти обозначения нужны для краткой общей записи. В конкретной задаче всегда можно вместо них писать привычные числа, например P(X = 2) = 1/4.
Общий вид таблицы распределения
| Значение X | x₁ | x₂ | ... | xₘ |
|---|---|---|---|---|
| Вероятность | p₁ | p₂ | ... | pₘ |
p₁ + p₂ + ... + pₘ = 1
Эта формула означает словами: сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.
Диаграмма распределения
Диаграмма распределения
Диаграмма распределения - графическое представление распределения вероятностей, на котором каждому возможному значению случайной величины соответствует столбец, высота которого показывает вероятность этого значения.
Построим диаграмму для числа орлов при двух бросках монеты.
1/4
0
1/2
1
1/4
2
По горизонтали расположены возможные значения X: 0, 1 и 2.
Высота каждого столбца соответствует вероятности этого значения.
Столбец для X = 1 в два раза выше столбцов для X = 0 и X = 2, потому что:
1/2 = 2 · 1/4
Как составить распределение вероятностей
1
Определите случайную величину X
Нужно точно понимать, что именно подсчитывается или измеряется.
2
Найдите все возможные значения X
Не пропустите минимальное, максимальное или промежуточные значения.
3
Найдите вероятность каждого значения
Для каждого значения определите, какие исходы к нему приводят, и вычислите их общую вероятность.
4
Запишите результаты в таблицу
В одной строке расположите значения X, а во второй - соответствующие вероятности.
5
Проверьте сумму вероятностей
Сумма обязательно должна равняться 1.
6
При необходимости постройте диаграмму
Высота каждого столбца должна точно соответствовать вероятности соответствующего значения X.
Пример 2. Число орлов при трёх бросках монеты
Правильную монету бросают три раза. X - число выпавших орлов.
Всего имеется 8 равновероятных последовательностей:
ООО
ООР
ОРО
РОО
ОРР
РОР
РРО
РРР
| Значение X | Подходящие исходы | Число исходов | Вероятность |
|---|---|---|---|
| 0 | РРР | 1 | 1/8 |
| 1 | ОРР, РОР, РРО | 3 | 3/8 |
| 2 | ООР, ОРО, РОО | 3 | 3/8 |
| 3 | ООО | 1 | 1/8 |
1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1
Проверка выполнена: сумма вероятностей равна 1.
Пример 3. Простое распределение при броске кубика
Бросают правильный шестигранный кубик. Пусть X = 1, если выпало чётное число, и X = 0, если выпало нечётное число.
Почему здесь X принимает только 0 и 1
Мы сами определили правило: чётному результату сопоставляем число 1, а нечётному - число 0. Поэтому возможных значений случайной величины только два.
Чётные числа на кубике: 2, 4, 6. Таких исходов три из шести.
P(X = 1) = 3/6 = 1/2
Нечётные числа: 1, 3, 5. Их тоже три.
P(X = 0) = 3/6 = 1/2
| Значение X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| Вероятность | 1/2 | 1/2 |
Как проверить готовую таблицу распределения
Для школьных задач полезно выполнить три проверки.
1
Все возможные значения перечислены
Нельзя пропускать значение, которое действительно может получиться.
2
Каждая вероятность допустима
Вероятность не может быть отрицательной и не может быть больше 1.
3
Сумма вероятностей равна 1
Это обязательная итоговая проверка распределения.
Пример 4. Найдём пропущенную вероятность
Случайная величина X принимает значения 0, 1 и 2. Известны вероятности 0,2 и 0,5 для первых двух значений. Найдём вероятность X = 2.
| Значение X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 0,2 | 0,5 | ? |
Сумма всех вероятностей равна 1.
0,2 + 0,5 + P(X = 2) = 1
P(X = 2) = 1 - 0,2 - 0,5
P(X = 2) = 0,3
Типичные ошибки
Ошибка 1. Записать только значения X
Это ещё не распределение. Каждому значению должна быть сопоставлена его вероятность.
Ошибка 2. Путать исход и значение X
Несколько разных исходов могут приводить к одному значению случайной величины.
Ошибка 3. Не сложить вероятности исходов
Если одному значению X соответствуют несколько несовместных исходов, их вероятности нужно сложить.
Ошибка 4. Не проверить сумму
Сумма вероятностей всех возможных значений X должна равняться 1.
Ошибка 5. Построить столбцы неправильной высоты
На диаграмме высота столбца должна быть пропорциональна именно вероятности соответствующего значения.
Ошибка 6. Не объяснить обозначения
Записи x₁, p₁ и подобные обозначают нумерованные значения и их вероятности, а нижний индекс служит номером.
Практические задания
Решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
Монету бросают один раз. X = 1, если выпал орёл, и X = 0, если выпала решка. Составьте распределение X.
Открыть решение
Возможные значения X: 0 и 1.
Для правильной монеты оба результата имеют вероятность 1/2.
Поэтому:
P(X = 0) = 1/2, P(X = 1) = 1/2.
Проверка: 1/2 + 1/2 = 1.
Задание 2
X принимает значения 1, 2 и 3 с вероятностями 0,2; 0,3 и 0,5. Является ли такая таблица корректным распределением?
Открыть решение
Складываем вероятности:
0,2 + 0,3 + 0,5 = 1.
Все вероятности находятся между 0 и 1.
Ответ: да, такая таблица может быть распределением.
Задание 3
X принимает значения 0, 1 и 2. Их вероятности равны 0,15; 0,45 и неизвестному числу. Найдите неизвестную вероятность.
Открыть решение
Сумма должна равняться 1.
Неизвестная вероятность:
1 - 0,15 - 0,45 = 0,40.
Ответ: 0,4.
Задание 4
Бросают один правильный кубик. X = 1, если выпало число больше 4, и X = 0 в остальных случаях. Составьте распределение.
Открыть решение
Числа больше 4: 5 и 6. Это два исхода из шести.
P(X = 1) = 2/6 = 1/3.
Остальные исходы: 1, 2, 3, 4.
P(X = 0) = 4/6 = 2/3.
Проверка: 1/3 + 2/3 = 1.
Задание 5
В таблице указаны вероятности 0,4; 0,4 и 0,4. Может ли это быть распределением трёх возможных значений случайной величины?
Открыть решение
Сумма равна:
0,4 + 0,4 + 0,4 = 1,2.
Сумма должна быть равна 1.
Ответ: нет.
Самостоятельная работа
Два броска правильной монеты
Пусть X - число решек при двух бросках монеты.
- Перечислите все элементарные исходы.
- Определите возможные значения X.
- Найдите вероятность каждого значения X.
- Составьте таблицу распределения.
- Проверьте сумму вероятностей.
- Определите, какое значение X наиболее вероятно.
Открыть решение
1. Исходы: ОО, ОР, РО, РР.
2. X может принимать значения 0, 1 и 2.
3. P(X = 0) = 1/4, P(X = 1) = 1/2, P(X = 2) = 1/4.
4. Таблица распределения содержит значения 0, 1, 2 и вероятности 1/4, 1/2, 1/4.
5. 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1.
6. Наиболее вероятно X = 1, потому что вероятность 1/2 больше 1/4.
Видео по теме урока
Основное видео рассматривает случайную величину и закон её распределения. Дополнительное видео посвящено непосредственно распределению вероятности случайной величины.
Основное видео Rutube - случайная величина, возможные значения, таблица распределения и свойство суммы вероятностей.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса непосредственно посвящена распределению вероятностей и его графическому представлению.
На что обратить внимание
- понятие распределения вероятностей;
- соответствие каждого значения X его вероятности;
- свойство суммы вероятностей;
- построение таблицы распределения;
- графическое представление распределения;
- анализ высот столбцов диаграммы.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс тема входит в раздел 10 класса «Случайная величина. Распределение вероятностей».
При выполнении заданий
- определяйте все возможные значения X;
- не путайте значения случайной величины и элементарные исходы;
- вычисляйте вероятность каждого значения;
- проверяйте сумму вероятностей;
- сопоставляйте таблицу и графическое представление.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что называют распределением вероятностей случайной величины?
Ответ: распределение вероятностей показывает все возможные значения случайной величины и вероятность каждого из этих значений.
02 Как читается запись P(X = 2)?
Ответ: «вероятность того, что случайная величина X примет значение 2».
03 Чему должна равняться сумма вероятностей всех возможных значений X?
Ответ: 1.
04 Что означает нижний индекс в записи x₁?
Ответ: нижний индекс является номером возможного значения. x₁ означает первое значение, x₂ - второе и так далее.
05 Что означает запись p₁ = P(X = x₁)?
Ответ: p₁ - это вероятность того, что случайная величина X примет своё первое возможное значение x₁.
06 Что показывает высота столбца на диаграмме распределения?
Ответ: вероятность соответствующего значения случайной величины.
07 Почему разные элементарные исходы могут находиться в одном столбце распределения?
Ответ: потому что разные исходы могут приводить к одному и тому же значению случайной величины. Их вероятности тогда объединяются.
Главное по уроку
Распределение вероятностей показывает все возможные значения случайной величины и вероятности этих значений.
Запись P(X = 2) означает вероятность того, что случайная величина X примет значение 2.
Распределение дискретной случайной величины удобно записывать в таблице.
В одной строке таблицы указывают возможные значения X, а в другой - соответствующие вероятности.
Сумма вероятностей всех возможных значений обязательно равна 1.
Несколько различных элементарных исходов могут приводить к одному и тому же значению X.
В общей записи возможные значения можно обозначать x₁, x₂, ..., xₘ, где нижний индекс служит номером значения.
Вероятности этих значений можно обозначать p₁, p₂, ..., pₘ.
Диаграмма распределения показывает вероятности графически: каждому возможному значению соответствует столбец, высота которого определяется вероятностью этого значения.
Следующий урок - урок 26 «Сумма и произведение случайных величин».
26 Урок 26 Сумма и произведение случайных величин Открыть урок Свернуть урок
Урок 26. Сумма и произведение случайных величин
Мы уже умеем задавать случайную величину и составлять её распределение вероятностей. Теперь рассмотрим две случайные величины, связанные с одним случайным опытом, и научимся получать из них новые случайные величины с помощью сложения и умножения.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Работать с двумя величинами
Определять значения двух случайных величин для одного и того же исхода случайного опыта.
Находить сумму
Строить новую случайную величину как сумму двух исходных случайных величин.
Находить произведение
Строить новую случайную величину как произведение значений двух случайных величин.
Вспомним: что такое случайная величина
Случайная величина
Случайная величина - числовая величина, значение которой однозначно определяется исходом случайного опыта и заранее точно неизвестно.
В предыдущих уроках случайную величину мы обычно обозначали заглавной латинской буквой X.
Если одновременно рассматриваются две случайные величины, удобно обозначить их двумя разными буквами.
X
Y
Буква Y
Y - заглавная латинская буква, читается «игрек». В этом уроке буквой Y будем обозначать вторую случайную величину.
Буквы X и Y сами по себе ничего не говорят о смысле величин. В каждой задаче обязательно нужно указать, что именно обозначает каждая буква.
Пример: два броска монеты
Правильную монету бросают два раза. Свяжем с этим опытом две случайные величины.
X = 1, если в первом броске выпал орёл
X = 0, если в первом броске выпала решка
Y = 1, если во втором броске выпал орёл
Y = 0, если во втором броске выпала решка
Таким образом, X описывает первый бросок, а Y - второй бросок.
Напоминание об обозначениях
Буквой О будем обозначать орёл, а буквой Р - решку. Например, ОР означает, что в первом броске выпал орёл, а во втором - решка.
Значения X и Y для каждого исхода
| Исход | Первый бросок | Второй бросок | X | Y | Вероятность исхода |
|---|---|---|---|---|---|
| ОО | Орёл | Орёл | 1 | 1 | 1/4 |
| ОР | Орёл | Решка | 1 | 0 | 1/4 |
| РО | Решка | Орёл | 0 | 1 | 1/4 |
| РР | Решка | Решка | 0 | 0 | 1/4 |
Значения X и Y нужно определять для одного и того же исхода. Например, при исходе ОР получаем X = 1 и Y = 0.
Сумма случайных величин
Теперь для каждого исхода сложим значения X и Y.
Получится новая случайная величина. Обозначим её буквой S.
Буква S
S - заглавная латинская буква, читается «эс». В этом примере ею обозначена новая случайная величина - сумма X и Y.
S = X + Y
Сумма случайных величин
Суммой случайных величин X и Y называют новую случайную величину, значение которой при каждом исходе равно сумме значений X и Y при этом же исходе.
Сначала происходит случайный опыт, затем определяются X и Y, и только после этого вычисляется их сумма.
Как получается новая случайная величина
Исход опыта
Например, ОР
→
Значения X и Y
X = 1, Y = 0
→
Сумма
S = 1 + 0 = 1
Найдём S = X + Y для всех исходов
| Исход | X | Y | S = X + Y | Что означает S | Вероятность исхода |
|---|---|---|---|---|---|
| ОО | 1 | 1 | 2 | Выпало два орла | 1/4 |
| ОР | 1 | 0 | 1 | Выпал один орёл | 1/4 |
| РО | 0 | 1 | 1 | Выпал один орёл | 1/4 |
| РР | 0 | 0 | 0 | Орлов нет | 1/4 |
В этом примере S фактически показывает общее число орлов в двух бросках.
Распределение суммы S
Возможные значения S:
S = 0
S = 1
S = 2
Значение S = 0 получается при одном исходе РР.
P(S = 0) = 1/4
Значение S = 1 получается при двух исходах: ОР и РО.
P(S = 1) = 1/4 + 1/4 = 1/2
Значение S = 2 получается только при исходе ОО.
P(S = 2) = 1/4
| Значение S | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
1/4 + 1/2 + 1/4 = 1
Как и для любой дискретной случайной величины, сумма вероятностей всех возможных значений S равна 1.
Произведение случайных величин
Теперь для каждого исхода не сложим, а перемножим значения X и Y.
Новую случайную величину обозначим буквой T.
Буква T
T - заглавная латинская буква, читается «тэ». В этом примере она обозначает произведение случайных величин X и Y.
T = X · Y
Знак ·
Точка между X и Y - знак умножения. Запись X · Y читается «икс умножить на игрек».
Произведение случайных величин
Произведением случайных величин X и Y называют новую случайную величину, значение которой при каждом исходе равно произведению значений X и Y при этом же исходе.
Найдём T = X · Y для всех исходов
| Исход | X | Y | T = X · Y | Вероятность исхода |
|---|---|---|---|---|
| ОО | 1 | 1 | 1 · 1 = 1 | 1/4 |
| ОР | 1 | 0 | 1 · 0 = 0 | 1/4 |
| РО | 0 | 1 | 0 · 1 = 0 | 1/4 |
| РР | 0 | 0 | 0 · 0 = 0 | 1/4 |
T может принимать только два значения: 0 и 1.
Значение T = 1 получается только тогда, когда оба множителя равны 1, то есть при исходе ОО.
P(T = 1) = 1/4
Во всех остальных трёх исходах хотя бы один множитель равен 0.
P(T = 0) = 3/4
| Значение T | 0 | 1 |
|---|---|---|
| Вероятность | 3/4 | 1/4 |
Не путайте операции над величинами и операции над вероятностями
| Запись | Что выполняется | Что получается |
|---|---|---|
| X + Y | Складываются значения двух случайных величин | Новая случайная величина |
| X · Y | Перемножаются значения двух случайных величин | Новая случайная величина |
| P(A) + P(B) | Складываются два числа - вероятности событий | Число |
| P(A) · P(B) | Перемножаются вероятности событий | Число |
Буквы A и B
В последней таблице A и B обозначают случайные события, а X и Y - случайные величины. Это разные математические объекты.
Запись X · Y не означает, что нужно перемножить вероятности X и Y. Перемножаются именно числовые значения X и Y для каждого конкретного исхода.
Нужно ли X и Y быть независимыми
Важное правило
Чтобы определить сумму X + Y или произведение X · Y, независимость случайных величин не требуется.
Мы можем сложить или перемножить значения X и Y при каждом исходе независимо от того, связаны эти величины между собой или нет.
Независимость может быть полезна позже при вычислении вероятностей, но сама операция сложения или умножения определяется без этого условия.
Поэтому первый вопрос при построении S = X + Y всегда такой: «Какие значения X и Y соответствуют каждому исходу?» - а не «Независимы ли X и Y?».
Пример 2. Две величины при одном броске кубика
Бросают один правильный шестигранный кубик.
X = 1, если число чётное; X = 0, если нечётное
Y = 1, если выпало число больше 3; Y = 0 в остальных случаях
| Выпало | X | Y | S = X + Y | T = X · Y |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 1 | 1 | 2 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | 1 | 1 | 2 | 1 |
Распределения S и T в примере с кубиком
Все шесть результатов кубика равновозможны, поэтому каждый имеет вероятность 1/6.
Для S = X + Y
S = 0 получается при выпадении 1 или 3 - два исхода.
P(S = 0) = 2/6 = 1/3
S = 1 получается при выпадении 2 или 5.
P(S = 1) = 2/6 = 1/3
S = 2 получается при выпадении 4 или 6.
P(S = 2) = 2/6 = 1/3
| Значение S | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
Для T = X · Y
T = 1 только при выпадении 4 или 6.
P(T = 1) = 2/6 = 1/3
P(T = 0) = 4/6 = 2/3
Этот пример показывает, что сумму и произведение можно определять и для величин, которые связаны с одним и тем же броском кубика.
Умножение случайной величины на постоянное число
Постоянное число
Постоянным числом здесь называют заранее заданное число, которое не зависит от результата случайного опыта.
Пусть X - число очков на одном кубике.
Определим новую случайную величину:
Z = 2 · X
Буква Z
Z - заглавная латинская буква, читается «зет». Здесь ею обозначена новая случайная величина, значение которой в два раза больше значения X.
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Z = 2 · X | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
При умножении X на 2 сами вероятности исходов кубика не изменились. Изменились числовые значения новой случайной величины Z.
Как найти распределение суммы или произведения
1
Определите случайный опыт
Нужно понимать, какие элементарные исходы возможны.
2
Уточните смысл X и Y
Запишите, какую числовую характеристику описывает каждая случайная величина.
3
Для каждого исхода найдите X и Y
Значения должны соответствовать одному и тому же исходу опыта.
4
Выполните нужную операцию
Для суммы вычислите S = X + Y, для произведения - T = X · Y.
5
Объедините одинаковые значения
Разные исходы могут давать одно и то же значение S или T.
6
Сложите вероятности соответствующих исходов
Так находится вероятность каждого возможного значения новой случайной величины.
7
Выполните проверку
Сумма вероятностей всех возможных значений новой случайной величины должна равняться 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Складывать вероятности вместо значений
В записи S = X + Y сначала складываются числовые значения X и Y, а не их вероятности.
Ошибка 2. Перемножать вероятности вместо значений
В записи T = X · Y перемножаются значения X и Y для одного исхода.
Ошибка 3. Брать X и Y от разных исходов
Сумму или произведение нужно вычислять для значений, соответствующих одному и тому же исходу опыта.
Ошибка 4. Не объединять одинаковые результаты
Если несколько исходов дают S = 1, их вероятности нужно сложить.
Ошибка 5. Считать независимость обязательной
Независимость не нужна для самого определения X + Y и X · Y.
Ошибка 6. Не проверять распределение
После нахождения вероятностей обязательно проверьте, что их сумма равна 1.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
При некотором исходе случайного опыта X = 2, Y = 5. Найдите S = X + Y и T = X · Y.
Открыть решение
S = 2 + 5 = 7.
T = 2 · 5 = 10.
Ответ: S = 7, T = 10.
Задание 2
При другом исходе X = 0, Y = 4. Найдите сумму и произведение.
Открыть решение
S = 0 + 4 = 4.
T = 0 · 4 = 0.
Ответ: S = 4, T = 0.
Задание 3
Две правильные монеты бросают по одному разу. X = 1 при орле на первой монете и 0 при решке. Y определяется аналогично для второй монеты. Найдите вероятность S = 2.
Открыть решение
S = X + Y = 2 только тогда, когда X = 1 и Y = 1.
Это соответствует исходу ОО.
Из четырёх равновероятных исходов подходит один.
Ответ: P(S = 2) = 1/4.
Задание 4
В условиях предыдущего задания найдите вероятность T = 0.
Открыть решение
T = X · Y равно 1 только при исходе ОО.
При исходах ОР, РО и РР произведение равно 0.
Подходят три исхода из четырёх.
Ответ: P(T = 0) = 3/4.
Задание 5
X - число очков на правильном кубике. Определена новая случайная величина Z = 3 · X. Какие значения может принимать Z?
Открыть решение
X принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Каждое значение умножаем на 3.
Z принимает значения: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
Задание 6
Верно ли утверждение: «Чтобы определить X + Y, случайные величины X и Y обязательно должны быть независимыми»?
Открыть решение
Нет.
Сумма определяется для каждого исхода как сумма соответствующих значений X и Y.
Независимость для самого определения суммы не требуется.
Самостоятельная работа
Один бросок правильного кубика
Пусть:
X = 1, если выпавшее число делится на 2, и X = 0 в остальных случаях.
Y = 1, если выпавшее число делится на 3, и Y = 0 в остальных случаях.
- Заполните значения X и Y для результатов 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- Найдите S = X + Y для каждого результата.
- Найдите T = X · Y для каждого результата.
- Определите возможные значения S.
- Составьте распределение S.
- Составьте распределение T.
Открыть решение
Для результатов 1, 2, 3, 4, 5, 6:
X: 0, 1, 0, 1, 0, 1.
Y: 0, 0, 1, 0, 0, 1.
S = X + Y: 0, 1, 1, 1, 0, 2.
T = X · Y: 0, 0, 0, 0, 0, 1.
Возможные значения S: 0, 1, 2.
S = 0 получается при 1 и 5: P(S = 0) = 2/6 = 1/3.
S = 1 получается при 2, 3 и 4: P(S = 1) = 3/6 = 1/2.
S = 2 получается при 6: P(S = 2) = 1/6.
Проверка: 1/3 + 1/2 + 1/6 = 1.
Для произведения: P(T = 1) = 1/6, P(T = 0) = 5/6.
Видео по теме урока
Основное видео рассматривает диаграмму распределения и операции со случайными величинами. Дополнительное видео отдельно показывает выполнение операций над дискретными случайными величинами.
Основное видео Rutube - сумма случайных величин, изменение распределения и операции со случайными величинами.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация подготовлена для урока вероятности и статистики 10 класса по теме «Сумма и произведение случайных величин».
На что обратить внимание
- различие случайного события и случайной величины;
- работу одновременно с двумя случайными величинами;
- связь операций с исходами случайного опыта;
- сложение значений, соответствующих одному исходу;
- умножение значений случайных величин;
- использование правил вероятности при дальнейшем построении распределения.
Интерактив и дополнительная тренировка
Для повторения понятий случайной величины и распределения используйте раздел ЯКласс «Случайные величины и распределения».
Как работать с заданиями
- сначала определите, что обозначают X и Y;
- выпишите возможные исходы;
- найдите значения величин для каждого исхода;
- после этого выполняйте сложение или умножение;
- группируйте одинаковые результаты;
- проверяйте сумму вероятностей готового распределения.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что обозначает буква Y в этом уроке?
Ответ: Y - вторая случайная величина. Её конкретный смысл всегда определяется условием задачи.
02 Что означает запись S = X + Y?
Ответ: S - новая случайная величина, значение которой для каждого исхода равно сумме соответствующих значений X и Y.
03 Что означает точка в записи T = X · Y?
Ответ: точка является знаком умножения. T равно произведению значений X и Y.
04 Можно ли для вычисления X + Y взять значение X от одного исхода, а Y - от другого?
Ответ: нет. Значения X и Y должны соответствовать одному и тому же исходу случайного опыта.
05 Требуется ли независимость X и Y для определения их суммы?
Ответ: нет. Сумма определяется для каждого исхода независимо от наличия или отсутствия независимости между величинами.
06 Что делать, если несколько исходов дают одно и то же значение S?
Ответ: нужно сложить вероятности всех этих несовместных исходов. Полученная сумма и будет вероятностью данного значения S.
07 Чем X · Y отличается от P(A) · P(B)?
Ответ: X · Y - новая случайная величина, полученная умножением значений X и Y. P(A) · P(B) - произведение двух чисел, являющихся вероятностями событий A и B.
Главное по уроку
С одним случайным опытом можно связать несколько случайных величин, например X и Y.
Для каждого исхода опыта величины X и Y принимают определённые числовые значения.
Сумма случайных величин X и Y - новая случайная величина, значение которой при каждом исходе равно X + Y.
В уроке сумму мы обозначали S = X + Y.
Произведение случайных величин - новая случайная величина, значение которой при каждом исходе равно X · Y.
Точка · является знаком умножения.
При вычислении суммы или произведения необходимо брать значения X и Y, соответствующие одному и тому же исходу.
Если несколько исходов дают одинаковое значение новой случайной величины, вероятности этих исходов складывают.
Независимость X и Y не требуется для самого определения суммы или произведения.
Нельзя путать X + Y со сложением вероятностей и X · Y с умножением вероятностей.
Случайную величину можно также умножить на постоянное число, например Z = 2 · X.
После составления распределения новой случайной величины необходимо проверить, что сумма всех её вероятностей равна 1.
Следующий урок - урок 27 «Сумма и произведение случайных величин. Решение задач».
27 Урок 27 Сумма и произведение случайных величин. Решение задач Открыть урок Свернуть урок
Урок 27. Сумма и произведение случайных величин. Решение задач
На прошлом уроке мы определили сумму и произведение случайных величин. Теперь отработаем полный алгоритм решения задач: найдём значения исходных величин для каждого исхода, вычислим новую величину, объединим одинаковые значения и составим распределение вероятностей.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Анализировать условие
Определять, что обозначают случайные величины X и Y и какие значения они принимают при каждом исходе.
Строить распределение суммы
Находить возможные значения суммы и вероятности этих значений.
Строить распределение произведения
Находить произведение для каждого исхода и объединять одинаковые результаты.
Коротко повторим основные определения
Сумма случайных величин
Если X и Y - случайные величины, то S = X + Y - новая случайная величина, значение которой при каждом исходе равно сумме значений X и Y при этом же исходе.
Произведение случайных величин
T = X · Y - новая случайная величина, значение которой при каждом исходе равно произведению значений X и Y при этом же исходе.
Что означает знак ·
Точка · является знаком умножения. Например, X · Y читается «икс умножить на игрек».
Самое важное правило: значения X и Y, которые складываются или перемножаются, должны относиться к одному и тому же исходу случайного опыта.
Универсальный алгоритм решения задач
1
Определите случайный опыт
Выясните, что происходит в задаче: броски монет, кубиков, выбор предметов и так далее.
2
Запишите все возможные исходы
Если исходов немного, удобно перечислить их в таблице.
3
Определите X и Y для каждого исхода
Не переходите к сложению или умножению, пока эта часть таблицы не заполнена.
4
Найдите новую величину
Вычислите S = X + Y или T = X · Y для каждой строки.
5
Выпишите различные значения
Одно и то же значение может получиться при нескольких разных исходах. В распределении оно записывается один раз.
6
Найдите вероятность каждого значения
Сложите вероятности всех несовместных исходов, которые приводят к этому значению.
7
Проверьте ответ
Сумма вероятностей всех возможных значений новой случайной величины должна быть равна 1.
Задача 1. Сумма очков на двух кубиках
Бросают два правильных шестигранных кубика. Пусть X - число очков на первом кубике, Y - число очков на втором кубике. Найдём распределение случайной величины S = X + Y.
Правильный кубик
Правильным называют идеализированный шестигранный кубик, у которого каждая грань с числами от 1 до 6 выпадает с одинаковой вероятностью 1/6.
Результат двух бросков удобно записывать как пару чисел.
Упорядоченная пара
Упорядоченная пара - запись двух элементов, в которой важен порядок. Например, (2; 5) означает: на первом кубике выпало 2, на втором - 5. Пара (5; 2) является другим исходом.
Всего существует 6 · 6 = 36 равновероятных упорядоченных пар результатов двух кубиков. Вероятность каждой пары равна 1/36.
Возможные значения суммы S
Наименьшая сумма:
1 + 1 = 2
Наибольшая сумма:
6 + 6 = 12
Поэтому возможные значения S:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Теперь нужно определить, сколько из 36 равновероятных пар даёт каждую сумму.
Составляем распределение S = X + Y
| Значение S | Количество подходящих исходов | Примеры исходов | Вероятность |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | (1; 1) | 1/36 |
| 3 | 2 | (1; 2), (2; 1) | 2/36 |
| 4 | 3 | (1; 3), (2; 2), (3; 1) | 3/36 |
| 5 | 4 | (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1) | 4/36 |
| 6 | 5 | От (1; 5) до (5; 1) | 5/36 |
| 7 | 6 | (1; 6), (2; 5), ..., (6; 1) | 6/36 = 1/6 |
| 8 | 5 | (2; 6), (3; 5), ..., (6; 2) | 5/36 |
| 9 | 4 | (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3) | 4/36 |
| 10 | 3 | (4; 6), (5; 5), (6; 4) | 3/36 |
| 11 | 2 | (5; 6), (6; 5) | 2/36 |
| 12 | 1 | (6; 6) | 1/36 |
Проверим число всех исходов:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36
Следовательно, сумма вероятностей равна 36/36 = 1. Распределение составлено правильно.
Что можно увидеть из распределения суммы
Наиболее вероятное значение суммы - 7.
P(S = 7) = 6/36 = 1/6
Это связано с тем, что сумму 7 можно получить шестью разными способами:
(1; 6)
(2; 5)
(3; 4)
(4; 3)
(5; 2)
(6; 1)
Суммы 2 и 12 имеют наименьшую вероятность - по 1/36, потому что каждая получается только одним способом.
Задача 2. Сумма двух индикаторных случайных величин
Бросают один правильный кубик. Определим две случайные величины.
X = 1, если число чётное; X = 0, если нечётное
Y = 1, если число больше 3; Y = 0 в остальных случаях
Индикаторная случайная величина
Индикаторной называют случайную величину, которая принимает значение 1, когда заданное событие произошло, и 0, когда оно не произошло. Слово «индикатор» здесь означает «указатель».
Требуется найти распределения S = X + Y и T = X · Y.
Заполняем таблицу по каждому исходу
| Выпало | Чётное? | Больше 3? | X | Y | S = X + Y | T = X · Y |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Нет | Нет | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | Да | Нет | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 3 | Нет | Нет | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | Да | Да | 1 | 1 | 2 | 1 |
| 5 | Нет | Да | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 6 | Да | Да | 1 | 1 | 2 | 1 |
Составляем распределения S и T
Распределение суммы S
S = 0 получается при выпадении 1 или 3:
P(S = 0) = 2/6 = 1/3
S = 1 получается при выпадении 2 или 5:
P(S = 1) = 2/6 = 1/3
S = 2 получается при выпадении 4 или 6:
P(S = 2) = 2/6 = 1/3
| Значение S | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 1/3 | 1/3 | 1/3 |
Распределение произведения T
T = 1 получается только тогда, когда одновременно X = 1 и Y = 1. Это происходит при выпадении 4 или 6.
P(T = 1) = 2/6 = 1/3
P(T = 0) = 4/6 = 2/3
Для индикаторных величин произведение X · Y равно 1 только тогда, когда оба условия выполняются одновременно.
Задача 3. Преобразование случайной величины
Бросают правильный кубик. X - число выпавших очков. Определена новая случайная величина:
Z = 2 · X + 1
Что означает запись Z = 2 · X + 1
Сначала значение X умножают на постоянное число 2, а затем к результату прибавляют постоянное число 1. Буквой Z, читаемой «зет», обозначена новая случайная величина.
| X | 2 · X | Z = 2 · X + 1 | Вероятность |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 1/6 |
| 2 | 4 | 5 | 1/6 |
| 3 | 6 | 7 | 1/6 |
| 4 | 8 | 9 | 1/6 |
| 5 | 10 | 11 | 1/6 |
| 6 | 12 | 13 | 1/6 |
Здесь каждому значению X соответствует своё отдельное значение Z, поэтому вероятности сохраняются: каждое значение Z имеет вероятность 1/6.
Почему иногда недостаточно знать отдельные распределения X и Y
Чтобы найти распределение X + Y, важно знать не только возможные значения X и Y по отдельности, но и то, какие значения X и Y могут возникать вместе.
Совместные значения
Совместными значениями будем называть пару значений X и Y, которая соответствует одному конкретному исходу случайного опыта.
Поэтому нельзя автоматически взять любое возможное значение X и сложить его с любым возможным значением Y, если из условия не следует, что такая пара действительно возможна.
Задача 4. Несколько исходов дают одно произведение
Бросают два правильных кубика. X и Y - числа на первом и втором кубиках. Найдём вероятность того, что произведение T = X · Y равно 6.
Нужно найти все упорядоченные пары чисел от 1 до 6, произведение которых равно 6.
(1; 6)
(2; 3)
(3; 2)
(6; 1)
Подходящих исходов 4, а всего равновероятных исходов 36.
P(T = 6) = 4/36 = 1/9
Здесь особенно хорошо видно, почему нужно объединять одинаковые значения новой случайной величины: четыре разных исхода дают одно и то же значение T = 6.
Сравним три типа задач
| Тип задачи | Что делаем для каждого исхода | Что особенно важно |
|---|---|---|
| S = X + Y | Складываем значения X и Y | Объединяем исходы с одинаковой суммой |
| T = X · Y | Перемножаем значения X и Y | Объединяем исходы с одинаковым произведением |
| Z = a · X + b | Подставляем каждое значение X | Соблюдаем порядок арифметических действий |
Что означают a и b
В общей записи Z = a · X + b буквами a и b обозначены постоянные числа, заранее заданные условием задачи. Они не являются случайными величинами.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Не выписать исходы
При небольшом числе исходов таблица значительно снижает риск пропустить вариант.
Ошибка 2. Смешать значения от разных исходов
X и Y складываются или умножаются только внутри одной строки таблицы.
Ошибка 3. Считать одинаковые результаты разными значениями
Если несколько исходов дают S = 5, в распределении значение 5 записывают один раз.
Ошибка 4. Не сложить вероятности
Вероятность значения новой величины равна сумме вероятностей всех исходов, которые к нему приводят.
Ошибка 5. Путать X · Y и P(A) · P(B)
X · Y - произведение значений случайных величин, а P(A) · P(B) - произведение числовых вероятностей событий.
Ошибка 6. Не проверить итог
Сумма вероятностей готового распределения должна равняться 1.
Практические задания
Решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
Два правильных кубика бросают одновременно. X и Y - выпавшие числа. Найдите P(X + Y = 4).
Открыть решение
Сумму 4 дают исходы:
(1; 3), (2; 2), (3; 1).
Подходят 3 из 36 равновероятных исходов.
P(X + Y = 4) = 3/36 = 1/12.
Задание 2
В тех же условиях найдите P(X + Y = 10).
Открыть решение
Сумму 10 дают:
(4; 6), (5; 5), (6; 4).
Поэтому:
P(X + Y = 10) = 3/36 = 1/12.
Задание 3
Два кубика бросают одновременно. Найдите P(X · Y = 4).
Открыть решение
Произведение 4 получают при исходах:
(1; 4), (2; 2), (4; 1).
Подходят 3 исхода.
P(X · Y = 4) = 3/36 = 1/12.
Задание 4
X принимает значения 0, 1, 2. Определена новая случайная величина Z = 3 · X. Какие значения может принимать Z?
Открыть решение
При X = 0: Z = 3 · 0 = 0.
При X = 1: Z = 3.
При X = 2: Z = 6.
Ответ: 0, 3, 6.
Задание 5
X принимает значения 1, 2, 3. Определена величина Z = 2 · X + 5. Найдите возможные значения Z.
Открыть решение
При X = 1: Z = 2 · 1 + 5 = 7.
При X = 2: Z = 2 · 2 + 5 = 9.
При X = 3: Z = 2 · 3 + 5 = 11.
Ответ: 7, 9, 11.
Задание 6
При одном исходе X = 3, Y = 4. Найдите S = X + Y и T = X · Y.
Открыть решение
S = 3 + 4 = 7.
T = 3 · 4 = 12.
Ответ: S = 7, T = 12.
Самостоятельная работа
Два броска правильной монеты
Монету бросают два раза.
X = 1, если в первом броске выпал орёл, и X = 0, если выпала решка.
Y = 2, если во втором броске выпал орёл, и Y = 0, если выпала решка.
- Выпишите четыре элементарных исхода.
- Найдите X и Y для каждого исхода.
- Найдите S = X + Y.
- Составьте распределение S.
- Найдите T = X · Y.
- Составьте распределение T.
Открыть решение
Исходы: ОО, ОР, РО, РР.
Для ОО: X = 1, Y = 2, S = 3, T = 2.
Для ОР: X = 1, Y = 0, S = 1, T = 0.
Для РО: X = 0, Y = 2, S = 2, T = 0.
Для РР: X = 0, Y = 0, S = 0, T = 0.
Все четыре исхода равновероятны.
Распределение S:
P(S = 0) = 1/4, P(S = 1) = 1/4, P(S = 2) = 1/4, P(S = 3) = 1/4.
Распределение T:
P(T = 0) = 3/4, P(T = 2) = 1/4.
Проверка: 3/4 + 1/4 = 1.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено практической работе со случайными величинами. Дополнительное видео содержит отдельный практический разбор задач по случайным величинам.
Основное видео Rutube - практическая часть по теме случайных величин для 10 класса.
Открыть видео на RutubeПрезентация
На что обратить внимание
- как задаются две случайные величины;
- как определяется их сумма и произведение;
- как одинаковые значения объединяются в распределении;
- почему нужно учитывать исходы одного и того же опыта;
- как выполняется проверка суммы вероятностей.
Интерактив и дополнительная тренировка
При выполнении заданий
- обязательно уточняйте смысл X и Y;
- выписывайте исходы, если их немного;
- составляйте промежуточную таблицу;
- объединяйте одинаковые значения новой величины;
- проверяйте сумму вероятностей;
- не путайте значения величин и вероятности.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Какой первый шаг нужно выполнить при поиске распределения X + Y?
Ответ: нужно определить случайный опыт, возможные исходы и смысл случайных величин X и Y.
02 Почему при двух кубиках исходы (2; 5) и (5; 2) считаются разными?
Ответ: потому что первая координата относится к первому кубику, а вторая - ко второму. Порядок имеет значение.
03 Сколько равновероятных исходов имеет опыт с двумя правильными шестигранными кубиками?
Ответ: 6 · 6 = 36 исходов.
04 Почему P(X + Y = 7) для двух кубиков равно 6/36?
Ответ: сумму 7 дают шесть исходов: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1). Всего исходов 36.
05 Что нужно делать, если несколько исходов дают одно и то же значение X · Y?
Ответ: в распределении это значение записывают один раз, а вероятности всех приводящих к нему исходов складывают.
06 Что означает запись Z = 2 · X + 1?
Ответ: для каждого значения X его сначала умножают на 2, затем прибавляют 1. Полученное число является значением новой случайной величины Z.
07 Как проверить готовое распределение новой случайной величины?
Ответ: нужно убедиться, что перечислены все возможные значения, каждая вероятность находится от 0 до 1, а сумма всех вероятностей равна 1.
Главное по уроку
При решении задач на сумму и произведение случайных величин сначала анализируют исходы случайного опыта.
Для каждого исхода отдельно находят значения X и Y.
Сумма S = X + Y вычисляется из значений X и Y, относящихся к одному и тому же исходу.
Произведение T = X · Y определяется аналогично.
Разные исходы могут приводить к одному и тому же значению суммы или произведения.
При составлении распределения одинаковые значения объединяют, а вероятности соответствующих несовместных исходов складывают.
Для двух правильных шестигранных кубиков имеется 36 равновероятных упорядоченных пар исходов.
Наиболее вероятная сумма двух кубиков равна 7, потому что её можно получить шестью различными способами.
Случайную величину можно преобразовывать, например создавать новую величину Z = 2 · X + 1.
Для распределения X + Y иногда недостаточно знать распределения X и Y отдельно - важно понимать, какие значения X и Y могут возникать совместно.
После любого построения распределения нужно проверить, что сумма вероятностей равна 1.
Следующий урок - урок 28 «Геометрическое распределение».
28 Урок 28 Геометрическое распределение Открыть урок Свернуть урок
Урок 28. Геометрическое распределение
Рассмотрим последовательность одинаковых независимых испытаний, которые продолжаются до первого успеха. Номер испытания, на котором впервые произошёл успех, является случайной величиной. Её распределение называется геометрическим.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Понимать случайную величину
Определять номер испытания, на котором впервые происходит успех.
Вычислять вероятность
Находить вероятность первого успеха именно на заданном испытании.
Узнавать распределение
Отличать геометрическое распределение от других распределений случайных величин.
Вспомним испытания до первого успеха
В уроке 21 мы рассматривали бинарный случайный опыт - опыт, в котором выделяются два возможных результата: успех и неудача.
Успех
Успехом называют тот результат испытания, который нас интересует. Слово «успех» является математическим обозначением и не обязательно означает что-то хорошее в обычном смысле.
Неудача
Неудачей называют противоположный результат - тот случай, когда успех не произошёл.
Например, если мы бросаем кубик до первого выпадения шестёрки, то выпадение шестёрки считаем успехом, а выпадение любого числа от 1 до 5 - неудачей.
Какие условия нужны для геометрического распределения
Геометрическое распределение появляется в серии испытаний, если выполняются следующие условия.
1
В каждом испытании есть успех и неудача
Нас интересует наступление одного определённого события - успеха.
2
Вероятность успеха постоянна
В каждом испытании вероятность успеха одна и та же.
3
Испытания независимы
Результат предыдущего испытания не изменяет вероятность успеха в следующем испытании.
4
Испытания продолжаются до первого успеха
Как только успех впервые произошёл, серия прекращается.
Обозначим вероятности успеха и неудачи
Буква p
Маленькой латинской буквой p, читаемой «пэ», будем обозначать вероятность успеха в одном испытании.
p = P(успех)
Буква q
Маленькой латинской буквой q, читаемой «ку», будем обозначать вероятность неудачи в одном испытании.
q = P(неудача)
Успех и неудача являются противоположными событиями, поэтому сумма их вероятностей равна 1.
p + q = 1
q = 1 - p
Например, если вероятность успеха p = 0,3, то вероятность неудачи q = 1 - 0,3 = 0,7.
Какую случайную величину будем рассматривать
Случайная величина X
В этом уроке X - номер испытания, на котором успех произошёл впервые.
Это важная договорённость. Значение X = 4 означает не «произошло четыре успеха», а «первый успех произошёл в четвёртом испытании».
Возможные значения X:
1
2
3
4
...
Почему значений бесконечно много
Теоретически успех может произойти в первом испытании, во втором, в третьем и так далее. Заранее не установлено последнее возможное испытание.
Найдём вероятности первых значений X
Первый успех в первом испытании
Нужно, чтобы сразу произошёл успех.
P(X = 1) = p
Первый успех во втором испытании
В первом испытании должна произойти неудача, а во втором - успех.
1-е: неудача
→
2-е: успех
P(X = 2) = q · p
Первый успех в третьем испытании
Первые два испытания должны закончиться неудачей, а третье - успехом.
неудача
→
неудача
→
успех
P(X = 3) = q · q · p = q²p
Что означает степень q², q³ и qᵏ⁻¹
Степень
Степень показывает, сколько одинаковых множителей перемножается. Например, q² означает q · q, а q³ означает q · q · q.
q² = q · q
q³ = q · q · q
Что означает qᵏ⁻¹
Запись qᵏ⁻¹ означает, что вероятность неудачи q используется как множитель k - 1 раз. Это происходит потому, что перед первым успехом в испытании номер k должны произойти ровно k - 1 неудач.
Формула геометрического распределения
Буква k
Маленькая латинская буква k, читаемая «ка», обозначает номер испытания, на котором впервые произошёл успех. k может принимать натуральные значения 1, 2, 3 и так далее.
P(X = k) = qᵏ⁻¹ · p
Как читается формула
Запись P(X = k) читается: «вероятность того, что случайная величина X примет значение k». В нашей задаче это вероятность того, что первый успех произойдёт именно в испытании номер k.
Формула состоит из двух частей:
- qᵏ⁻¹ - вероятность того, что первые k - 1 испытаний завершатся неудачами;
- p - вероятность успеха в испытании номер k.
Поскольку испытания независимы, вероятности последовательных результатов перемножаются.
Поэтому формулу полезно не просто запоминать, а понимать как последовательность: k - 1 неудач, затем один успех.
Что называют геометрическим распределением
Геометрическое распределение
Геометрическим распределением называют распределение случайной величины X, равной номеру испытания, на котором впервые произошёл успех, если независимые испытания имеют одну и ту же вероятность успеха p.
P(X = 1) = p
P(X = 2) = qp
P(X = 3) = q²p
P(X = 4) = q³p
В некоторых книгах геометрическая случайная величина определяется как число неудач до первого успеха. Тогда возможные значения начинаются с 0. В нашем курсе используется другая договорённость: X - номер испытания первого успеха, поэтому значения начинаются с 1.
Почему распределение называется геометрическим
Его последовательные вероятности имеют вид:
p
qp
q²p
q³p
...
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называют последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается из предыдущего умножением на одно и то же число.
Здесь каждая следующая вероятность получается умножением предыдущей на q:
p · q = qp
qp · q = q²p
q²p · q = q³p
Именно поэтому распределение получило название «геометрическое».
Пример 1. Вероятность успеха p = 0,3
Пусть каждое испытание независимо от предыдущих заканчивается успехом с вероятностью 0,3.
Сначала найдём вероятность неудачи:
q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7
| k - номер первого успеха | Что должно произойти | Формула | Вероятность |
|---|---|---|---|
| 1 | Успех | p | 0,3 |
| 2 | Неудача, успех | qp | 0,7 · 0,3 = 0,21 |
| 3 | 2 неудачи, успех | q²p | 0,49 · 0,3 = 0,147 |
| 4 | 3 неудачи, успех | q³p | 0,343 · 0,3 = 0,1029 |
| 5 | 4 неудачи, успех | q⁴p | 0,2401 · 0,3 = 0,07203 |
Как изменяются вероятности
Ниже показаны первые пять вероятностей для p = 0,3 и q = 0,7. Длины полос точно сохраняют отношение этих вероятностей друг к другу.
Каждая следующая вероятность составляет 0,7 от предыдущей, потому что q = 0,7.
Пример 2. Первый успех в четвёртом испытании
Вероятность успеха в каждом независимом испытании равна p = 0,2. Найдём вероятность того, что первый успех произойдёт именно в четвёртом испытании.
Сначала найдём вероятность неудачи:
q = 1 - 0,2 = 0,8
Для первого успеха в четвёртом испытании должны произойти:
- неудача в первом испытании;
- неудача во втором;
- неудача в третьем;
- успех в четвёртом.
P(X = 4) = q³p
P(X = 4) = 0,8³ · 0,2
0,8³ = 0,8 · 0,8 · 0,8 = 0,512
P(X = 4) = 0,512 · 0,2 = 0,1024
Число 0,1024 соответствует 10,24%.
Пример 3. Первый орёл при бросках монеты
Правильную монету бросают до первого появления орла. X - номер броска, на котором впервые выпал орёл.
Для правильной монеты:
p = 1/2
q = 1/2
Найдём вероятность первого орла в четвёртом броске.
P(X = 4) = q³p
P(X = 4) =
(1/2)³ · 1/2
P(X = 4) = 1/16
Почему получилась степень 4 у числа 1/2? Три первых броска должны дать решку, а четвёртый - орла. Получается четыре множителя 1/2.
Вероятность того, что успех не произойдёт в первых n испытаниях
Буква n
Маленькой латинской буквой n, читаемой «эн», обычно обозначают количество испытаний.
Чтобы успех не произошёл в первых n испытаниях, все эти n испытаний должны завершиться неудачей.
P(X > n) = qⁿ
Что означает знак >
Знак > читается «больше». Запись X > n означает, что номер испытания первого успеха больше n, то есть в первых n испытаниях успеха ещё не было.
Вероятность хотя бы одного успеха в первых n испытаниях
Событие «хотя бы один успех в первых n испытаниях» противоположно событию «все первые n испытаний закончились неудачей».
P(нет успехов) = qⁿ
P(хотя бы один успех) = 1 - qⁿ
Пример
Вероятность успеха p = 0,3. Какова вероятность хотя бы одного успеха в первых трёх испытаниях?
q = 1 - 0,3 = 0,7
P = 1 - 0,7³
0,7³ = 0,343
P = 1 - 0,343 = 0,657
Значит, вероятность хотя бы одного успеха за первые три испытания равна 0,657, или 65,7%.
Почему сумма вероятностей геометрического распределения равна 1
Вероятности всех возможных значений X имеют вид:
p + qp + q²p + q³p + ...
Что означает знак «...»
Многоточие показывает, что последовательность продолжается дальше по тому же правилу.
Это бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом p и знаменателем q.
Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменателем геометрической прогрессии называют постоянное число, на которое нужно умножить один член последовательности, чтобы получить следующий. Здесь этим числом является q.
Так как q = 1 - p и при обычной задаче 0 < p ≤ 1, имеем 0 ≤ q < 1.
Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна первому члену, делённому на 1 минус знаменатель:
p / (1 - q)
Но из равенства p + q = 1 следует:
1 - q = p
p / p = 1
Это подтверждает основное свойство распределения вероятностей: сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1.
Не путайте разные события
| Условие | Что оно означает | Формула |
|---|---|---|
| Первый успех в испытании k | Сначала k - 1 неудач, затем успех | qᵏ⁻¹p |
| Нет успехов в первых n испытаниях | Все n испытаний - неудачи | qⁿ |
| Хотя бы один успех в первых n испытаниях | Противоположно событию «все неудачи» | 1 - qⁿ |
Геометрическое и биномиальное распределения - в чём разница
| Признак | Геометрическое распределение | Биномиальное распределение |
|---|---|---|
| Что фиксировано заранее | Вероятность успеха p | Число испытаний n и вероятность успеха p |
| Когда заканчивается серия | При первом успехе | После заранее заданных n испытаний |
| Что считает случайная величина | Номер испытания первого успеха | Количество успехов в n испытаниях |
| Возможные значения | 1, 2, 3, ... | 0, 1, 2, ..., n |
Биномиальное распределение подробно рассмотрим в следующем уроке.
Алгоритм решения задачи на геометрическое распределение
1
Определите, что считается успехом
Например, попадание, выпадение шестёрки, успешная проверка или покупка.
2
Найдите p
p - вероятность успеха в одном испытании.
3
Найдите q
Используйте формулу q = 1 - p.
4
Определите номер k
Если спрашивается первый успех в пятом испытании, то k = 5.
5
Определите число предыдущих неудач
Перед успехом в испытании k должно быть k - 1 неудач.
6
Запишите формулу
P(X = k) = qᵏ⁻¹p.
7
Выполните вычисления и проверьте ответ
Полученная вероятность должна находиться от 0 до 1.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Путать p и q
p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи. Всегда q = 1 - p.
Ошибка 2. Использовать степень k вместо k - 1
Перед первым успехом в испытании k имеется только k - 1 неудач.
Ошибка 3. Забыть последний множитель p
После всех предыдущих неудач в испытании k должен произойти успех, поэтому нужен множитель p.
Ошибка 4. Путать первый успех и любой успех
Для события «первый успех в четвёртом испытании» первые три испытания обязательно должны быть неудачными.
Ошибка 5. Считать, что после неудач p увеличивается
В независимых испытаниях вероятность успеха в следующем испытании остаётся равной p независимо от предыдущих результатов.
Ошибка 6. Путать геометрическое и биномиальное распределения
Геометрическое распределение связано с номером первого успеха, а биномиальное - с числом успехов в фиксированном количестве испытаний.
Практические задания
Сначала решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
Вероятность успеха в одном испытании p = 0,7. Найдите q.
Открыть решение
q = 1 - p.
q = 1 - 0,7 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Задание 2
Правильную монету бросают до первого орла. Найдите вероятность того, что первый орёл выпадет в третьем броске.
Открыть решение
p = 1/2, q = 1/2, k = 3.
Перед успехом должны быть две неудачи.
P(X = 3) = q²p.
P(X = 3) = (1/2)² · 1/2 = 1/8.
Ответ: 1/8.
Задание 3
Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,4. Найдите вероятность первого успеха в четвёртом испытании.
Открыть решение
p = 0,4.
q = 1 - 0,4 = 0,6.
k = 4, поэтому перед успехом должны быть три неудачи.
P(X = 4) = 0,6³ · 0,4.
0,6³ = 0,216.
P(X = 4) = 0,216 · 0,4 = 0,0864.
Ответ: 0,0864.
Задание 4
Вероятность успеха равна 0,2. Найдите вероятность того, что в первых трёх испытаниях успеха не будет.
Открыть решение
q = 1 - 0,2 = 0,8.
Нужны три последовательные неудачи.
P = q³ = 0,8³ = 0,512.
Ответ: 0,512.
Задание 5
В условиях предыдущего задания найдите вероятность хотя бы одного успеха в первых трёх испытаниях.
Открыть решение
Вероятность отсутствия успехов уже найдена: 0,512.
Используем противоположное событие:
P = 1 - 0,512 = 0,488.
Ответ: 0,488.
Задание 6
Вероятность успеха p = 0,25. Найдите вероятность первого успеха в пятом испытании.
Открыть решение
q = 1 - 0,25 = 0,75.
k = 5, поэтому необходимо четыре неудачи, затем успех.
P(X = 5) = 0,75⁴ · 0,25.
0,75² = 0,5625.
0,75⁴ = 0,5625² = 0,31640625.
P(X = 5) = 0,31640625 · 0,25 = 0,0791015625.
Приближённо это 0,0791, или 7,91%.
Самостоятельная работа
Выпадение шестёрки на кубике
Правильный шестигранный кубик бросают до первого выпадения шестёрки. X - номер броска, на котором впервые выпала шестёрка.
- Что в этой задаче считается успехом?
- Чему равна вероятность успеха p?
- Чему равна вероятность неудачи q?
- Найдите P(X = 1).
- Найдите P(X = 2).
- Найдите P(X = 3).
- Запишите формулу P(X = k).
- Найдите вероятность того, что шестёрка не выпадет в первых трёх бросках.
Открыть решение
1. Успех - выпадение шестёрки.
2. p = 1/6.
3. q = 1 - 1/6 = 5/6.
4. P(X = 1) = 1/6.
5. P(X = 2) = (5/6) · (1/6) = 5/36.
6. P(X = 3) = (5/6)² · (1/6) = 25/216.
7. P(X = k) = (5/6)ᵏ⁻¹ · (1/6).
8. Чтобы шестёрка не выпала в первых трёх бросках, нужны три неудачи: (5/6)³ = 125/216.
Видео по теме урока
Основное видео посвящено непосредственно геометрическому распределению. Дополнительный материал рассматривает ту же тему более подробно и позволяет закрепить формулу.
Презентация
Презентация для 10 класса рассматривает примеры распределений, включая геометрическое и биномиальное.
На что обратить внимание
- связь геометрического распределения с испытаниями до первого успеха;
- вероятность успеха p и вероятность неудачи q;
- последовательность p, qp, q²p, q³p;
- различие геометрического и биномиального распределений;
- примеры вычисления вероятностей.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс имеется отдельный урок 10 класса «Геометрическое распределение» с теорией и заданиями.
При выполнении заданий
- сначала определите, какое событие считается успехом;
- найдите p и q = 1 - p;
- установите номер испытания k;
- проверьте, что перед первым успехом стоят именно k - 1 неудач;
- используйте формулу P(X = k) = qᵏ⁻¹p;
- не путайте первый успех с количеством успехов.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что обозначает случайная величина X в геометрическом распределении этого урока?
Ответ: X - номер испытания, на котором впервые произошёл успех.
02 Что обозначают буквы p и q?
Ответ: p - вероятность успеха в одном испытании, q - вероятность неудачи. Они связаны равенствами p + q = 1 и q = 1 - p.
03 Какова формула вероятности первого успеха в испытании номер k?
Ответ: P(X = k) = qᵏ⁻¹p.
04 Почему в формуле используется степень k - 1?
Ответ: потому что перед первым успехом в испытании k должны произойти ровно k - 1 неудач.
05 Чему равна вероятность того, что в первых n испытаниях успеха не будет?
Ответ: qⁿ, потому что все n испытаний должны завершиться неудачей.
06 Почему распределение называется геометрическим?
Ответ: вероятности p, qp, q²p, q³p и далее образуют геометрическую прогрессию: каждое следующее значение получается умножением предыдущего на q.
07 Чем геометрическое распределение отличается от биномиального?
Ответ: при геометрическом распределении серия продолжается до первого успеха и случайная величина показывает номер этого испытания. При биномиальном распределении число испытаний n заранее фиксировано, а случайная величина показывает количество успехов.
Главное по уроку
Геометрическое распределение возникает в последовательности независимых бинарных испытаний с постоянной вероятностью успеха.
Испытания продолжаются до первого успеха.
В этом уроке X обозначает номер испытания, на котором успех произошёл впервые.
p - вероятность успеха, q - вероятность неудачи.
Выполняется равенство q = 1 - p.
Чтобы первый успех произошёл в испытании номер k, сначала должны произойти k - 1 неудач, а затем успех.
Поэтому основная формула геометрического распределения:
P(X = k) = qᵏ⁻¹p
Вероятность отсутствия успеха в первых n испытаниях равна qⁿ.
Вероятность хотя бы одного успеха в первых n испытаниях равна 1 - qⁿ.
Вероятности p, qp, q²p, q³p и далее образуют геометрическую прогрессию, что объясняет название распределения.
Геометрическое распределение не следует путать с биномиальным: геометрическое описывает номер первого успеха, а биномиальное - количество успехов в заранее заданном числе испытаний.
Следующий урок - урок 29 «Биномиальное распределение. Сравнение распределений».
29 Урок 29 Биномиальное распределение. Сравнение распределений Открыть урок Свернуть урок
Урок 29. Биномиальное распределение. Сравнение распределений
В этом уроке мы соберём в единое целое материал о серии независимых испытаний Бернулли. Если число испытаний заранее фиксировано, а случайная величина показывает количество успехов, возникает биномиальное распределение. Затем сравним его с геометрическим распределением, изученным в предыдущем уроке.
35
минут основной работы
Что вы научитесь делать
Понимать смысл X
Определять количество успехов в заранее заданном числе независимых испытаний.
Вычислять вероятности
Использовать формулу Бернулли для всех возможных значений случайной величины.
Сравнивать распределения
Отличать биномиальное распределение от геометрического по условию задачи.
Вспомним серию испытаний Бернулли
Испытание Бернулли
Испытанием Бернулли называют случайный опыт с двумя выделенными результатами - успехом и неудачей.
Серия независимых испытаний Бернулли
Это несколько испытаний, в каждом из которых имеются успех и неудача, испытания независимы друг от друга, а вероятность успеха остаётся одной и той же.
В биномиальном распределении количество испытаний задаётся заранее.
Буква n
Маленькой латинской буквой n, читаемой «эн», обозначают общее количество испытаний в серии.
n = число испытаний
Вероятности успеха и неудачи
Буква p
Маленькая латинская буква p, читаемая «пэ», обозначает вероятность успеха в одном испытании.
Буква q
Маленькая латинская буква q, читаемая «ку», обозначает вероятность неудачи в одном испытании.
p + q = 1
q = 1 - p
Например, если вероятность успеха p = 0,4, то вероятность неудачи q = 1 - 0,4 = 0,6.
Какую случайную величину рассматриваем
Случайная величина X
В биномиальном распределении X - количество успехов, произошедших в серии из n испытаний.
Здесь X обозначает количество успехов. Это принципиально отличается от геометрического распределения, где X обозначал номер испытания первого успеха.
Если проведено n испытаний, число успехов может быть:
0
1
2
...
n
Что означает многоточие
Знак «...» показывает, что между записанными числами продолжается последовательность целых значений по тому же правилу.
Что обозначает буква k
Буква k
Маленькой латинской буквой k, читаемой «ка», обозначают конкретное количество успехов, вероятность которого нужно найти.
Например, если монету бросают 5 раз и требуется вероятность ровно 3 орлов, то:
n = 5
k = 3
n показывает, сколько всего проведено испытаний, а k - сколько успехов нас интересует.
Сколькими способами можно расположить k успехов
Если в n испытаниях должно произойти ровно k успехов, нужно учесть все способы выбрать позиции этих успехов.
Количество таких способов обозначают:
Cₙᵏ
Что означает Cₙᵏ
Cₙᵏ - число сочетаний из n элементов по k. Оно показывает, сколькими способами можно выбрать k позиций из n позиций, если порядок выбранных позиций не имеет значения.
Нижний индекс n и верхний индекс k
В записи Cₙᵏ число n показывает общее количество позиций, а число k - количество позиций, которые нужно выбрать.
Что означает знак «!» в формуле сочетаний
Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!)
Знак !
В математической записи знак ! после неотрицательного целого числа означает факториал. Это не восклицательный знак в обычном тексте, а специальное математическое обозначение.
Факториал
Факториал натурального числа - произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
1! = 1
2! = 1 · 2 = 2
3! = 1 · 2 · 3 = 6
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Почему нужно знать 0!
По принятому в математике определению 0! = 1. Это позволяет формулам сочетаний и биномиального распределения правильно работать и в крайних случаях k = 0 и k = n.
0! = 1
Пример вычисления C₅²
Нужно выбрать 2 позиции из 5.
C₅² = 5! / (2! · 3!)
Раскроем факториалы:
5! = 120
2! = 2
3! = 6
C₅² = 120 / (2 · 6)
C₅² = 120 / 12 = 10
Значит, расположить 2 успеха среди 5 испытаний можно 10 различными способами.
Формула Бернулли
P(X = k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Как читается P(X = k)
Запись P(X = k) читается: «вероятность того, что случайная величина X примет значение k». Здесь это вероятность ровно k успехов в n испытаниях.
В формуле:
- n - общее количество испытаний;
- k - нужное количество успехов;
- p - вероятность успеха в одном испытании;
- q = 1 - p - вероятность неудачи;
- Cₙᵏ - количество способов расположить k успехов среди n испытаний;
- pᵏ - вероятность k успехов в одной конкретной последовательности;
- qⁿ⁻ᵏ - вероятность n - k неудач в этой последовательности.
Почему формула устроена именно так
Предположим, что нужно получить k успехов в n испытаниях.
В одной конкретной последовательности будет:
- k успехов;
- n - k неудач.
Вероятность такой конкретной последовательности равна:
pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Но успехи можно расположить среди n испытаний Cₙᵏ различными способами.
Поэтому вероятность одной последовательности умножаем на количество таких последовательностей:
Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Что называют биномиальным распределением
Биномиальное распределение
Биномиальным распределением называют распределение случайной величины X, равной количеству успехов в фиксированной серии из n независимых испытаний Бернулли с одной и той же вероятностью успеха p.
Для каждого возможного значения:
k = 0, 1, 2, ..., n
вероятность вычисляется по формуле Бернулли.
Формула Бернулли даёт вероятность одного конкретного значения k. Биномиальное распределение - это совокупность вероятностей для всех значений k от 0 до n.
Пример 1. Четыре броска правильной монеты
Правильную монету бросают 4 раза. X - количество выпавших орлов.
n = 4
p = 1/2
q = 1/2
Возможные значения X:
0
1
2
3
4
| k - число орлов | C₄ᵏ | Формула | Вероятность |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 · (1/2)⁰ · (1/2)⁴ | 1/16 |
| 1 | 4 | 4 · (1/2)¹ · (1/2)³ | 4/16 = 1/4 |
| 2 | 6 | 6 · (1/2)² · (1/2)² | 6/16 = 3/8 |
| 3 | 4 | 4 · (1/2)³ · (1/2)¹ | 4/16 = 1/4 |
| 4 | 1 | 1 · (1/2)⁴ · (1/2)⁰ | 1/16 |
1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 16/16 = 1
Что означает степень 0
Нулевая степень
Любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Поэтому, например, (1/2)⁰ = 1.
a⁰ = 1, если a ≠ 0
Что означает знак ≠
Знак ≠ читается «не равно». Запись a ≠ 0 означает, что число a не равно нулю.
Нулевая степень возникает, например, при k = 0 или k = n. Это нормальная часть формулы Бернулли.
Пример 2. Пять испытаний, p = 0,3
Проводят 5 независимых испытаний. Вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. X - количество успехов.
n = 5
p = 0,3
q = 0,7
| k | C₅ᵏ | Расчёт | P(X = k) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 · 0,3⁰ · 0,7⁵ | 0,16807 |
| 1 | 5 | 5 · 0,3 · 0,7⁴ | 0,36015 |
| 2 | 10 | 10 · 0,3² · 0,7³ | 0,30870 |
| 3 | 10 | 10 · 0,3³ · 0,7² | 0,13230 |
| 4 | 5 | 5 · 0,3⁴ · 0,7 | 0,02835 |
| 5 | 1 | 1 · 0,3⁵ | 0,00243 |
0,16807 + 0,36015 + 0,30870 + 0,13230 + 0,02835 + 0,00243 = 1
Диаграмма биномиального распределения
Покажем распределение для n = 5 и p = 0,3. Полная длина дорожки соответствует вероятности 0,4. Поэтому длины полос пропорциональны реальным вероятностям.
В этом примере наиболее вероятно получить ровно один успех: P(X = 1) = 0,36015.
Два особенно простых случая
Ни одного успеха
Если k = 0, то все n испытаний должны завершиться неудачей.
P(X = 0) = qⁿ
Успех во всех испытаниях
Если k = n, то все n испытаний должны завершиться успехом.
P(X = n) = pⁿ
Вероятность хотя бы одного успеха
Событие «хотя бы один успех» противоположно событию «ни одного успеха».
Вероятность отсутствия успехов:
P(X = 0) = qⁿ
Поэтому:
P(X ≥ 1) = 1 - qⁿ
Что означает знак ≥
Знак ≥ читается «больше или равно». Запись X ≥ 1 означает, что X равно 1 или 2, или 3 и так далее - то есть произошёл хотя бы один успех.
Если подходят несколько значений k
Иногда требуется вероятность не одного количества успехов, а нескольких.
Например, событие «не менее трёх успехов в четырёх испытаниях» означает:
X = 3
или
X = 4
Эти события несовместны: одновременно ровно 3 и ровно 4 успеха произойти не могут.
Поэтому вероятности складываются:
P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4)
Пример 3. Не менее трёх успехов
Проводят 4 независимых испытания. Вероятность успеха p = 0,6. Найдём вероятность не менее трёх успехов.
n = 4
p = 0,6
q = 0,4
Ровно 3 успеха
P(X = 3) = C₄³ · 0,6³ · 0,4
C₄³ = 4
P(X = 3) = 4 · 0,216 · 0,4 = 0,3456
Ровно 4 успеха
P(X = 4) = 0,6⁴ = 0,1296
Складываем:
P(X ≥ 3) = 0,3456 + 0,1296 = 0,4752
Почему распределение называется биномиальным
Название связано с формулой бинома Ньютона, которую мы уже встречали в теме комбинаторики.
Бином
Бином - алгебраическое выражение, состоящее из двух слагаемых. Например, p + q.
Для трёх испытаний:
(p + q)³ =
p³ + 3p²q + 3pq² + q³
Эти четыре слагаемых соответствуют вероятностям:
- 3 успехов;
- 2 успехов;
- 1 успеха;
- 0 успехов.
Но p + q = 1, поэтому:
(p + q)³ = 1³ = 1
Поэтому сумма вероятностей всех возможных количеств успехов равна 1.
Биномиальное и геометрическое распределения
| Признак | Биномиальное распределение | Геометрическое распределение |
|---|---|---|
| Испытания | Независимые испытания Бернулли | Независимые испытания Бернулли |
| Вероятность успеха | Постоянная p | Постоянная p |
| Число испытаний | n заранее фиксировано | Заранее не фиксировано: серия идёт до первого успеха |
| Что означает X | Количество успехов | Номер испытания первого успеха |
| Возможные значения X | 0, 1, 2, ..., n | 1, 2, 3, ... |
| Основная формула | Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ | qᵏ⁻¹p |
| Типичный вопрос | «Сколько успехов будет в n испытаниях?» | «На каком испытании впервые произойдёт успех?» |
Сравним два похожих условия
Условие А
Монету бросают 5 раз. X - число выпавших орлов.
Какое распределение
Биномиальное. Число бросков заранее фиксировано: n = 5. Случайная величина считает количество успехов.
Условие Б
Монету бросают до первого орла. X - номер броска, в котором впервые выпал орёл.
Какое распределение
Геометрическое. Заранее неизвестно, сколько бросков потребуется. Серия прекращается при первом успехе.
Объект может быть одним и тем же - например, монета. Распределение определяется не предметом опыта, а тем, как организована серия испытаний и что именно считает случайная величина.
Как распознать биномиальное распределение
1
Проверьте число испытаний
Оно должно быть заранее задано и равно n.
2
Определите успех и неудачу
В каждом испытании должны выделяться два результата.
3
Проверьте постоянство p
Вероятность успеха должна быть одинаковой в каждом испытании.
4
Проверьте независимость
Результат одного испытания не должен изменять вероятность результата другого.
5
Уточните смысл X
X должно обозначать количество успехов в серии.
6
Выберите k
Определите, какое конкретное количество успехов требуется найти.
7
Используйте формулу Бернулли
P(X = k) = Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ.
Типичные ошибки
Ошибка 1. Путать n и k
n - количество всех испытаний, k - количество успехов.
Ошибка 2. Не понимать знак !
В записи n! знак ! означает факториал: произведение чисел от 1 до n.
Ошибка 3. Использовать p вместо q
Для неудачи используется q = 1 - p.
Ошибка 4. Забыть Cₙᵏ
Множитель Cₙᵏ учитывает разные расположения k успехов среди n испытаний.
Ошибка 5. Путать формулу с распределением
Формула Бернулли вычисляет одну вероятность P(X = k), а распределение содержит вероятности всех k от 0 до n.
Ошибка 6. Путать геометрическое и биномиальное распределения
В биномиальном распределении X считает успехи, а в геометрическом - номер испытания первого успеха.
Практические задания
Решите самостоятельно, затем откройте решение.
Задание 1
Правильную монету бросают 3 раза. Найдите распределение числа орлов X.
Открыть решение
n = 3, p = 1/2, q = 1/2.
Возможные значения X: 0, 1, 2, 3.
P(X = 0) = 1/8.
P(X = 1) = 3/8.
P(X = 2) = 3/8.
P(X = 3) = 1/8.
Проверка: 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
Задание 2
Проводят 4 независимых испытания с вероятностью успеха p = 0,25. Найдите вероятность ровно двух успехов.
Открыть решение
n = 4, k = 2.
p = 0,25, q = 0,75.
C₄² = 6.
P(X = 2) = 6 · 0,25² · 0,75².
0,25² = 0,0625.
0,75² = 0,5625.
P(X = 2) = 6 · 0,0625 · 0,5625 = 0,2109375.
Ответ: 0,2109375.
Задание 3
В пяти независимых испытаниях вероятность успеха p = 0,4. Найдите вероятность ни одного успеха.
Открыть решение
q = 1 - 0,4 = 0,6.
Ни одного успеха означает k = 0.
P(X = 0) = q⁵.
P(X = 0) = 0,6⁵ = 0,07776.
Ответ: 0,07776.
Задание 4
В условиях предыдущего задания найдите вероятность хотя бы одного успеха.
Открыть решение
Используем противоположное событие.
Вероятность ни одного успеха: 0,07776.
P(X ≥ 1) = 1 - 0,07776 = 0,92224.
Ответ: 0,92224.
Задание 5
Какое распределение описывает ситуацию: «Монету бросают до первого орла, X - номер броска первого орла»?
Открыть решение
Серия не имеет заранее фиксированного числа бросков и заканчивается при первом успехе.
X показывает номер испытания первого успеха.
Ответ: геометрическое распределение.
Задание 6
Какое распределение описывает ситуацию: «Монету бросают 10 раз, X - количество орлов»?
Открыть решение
Число испытаний заранее фиксировано: n = 10.
X показывает количество успехов.
Ответ: биномиальное распределение.
Самостоятельная работа
Пять независимых испытаний
Вероятность успеха в каждом испытании p = 0,2. Проводят 5 независимых испытаний. X - количество успехов.
- Найдите q.
- Перечислите возможные значения X.
- Найдите P(X = 0).
- Найдите P(X = 1).
- Найдите P(X = 2).
- Найдите P(X = 3).
- Найдите P(X = 4).
- Найдите P(X = 5).
- Проверьте сумму вероятностей.
- Какое значение X наиболее вероятно?
Открыть решение
1. q = 1 - 0,2 = 0,8.
2. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
3. P(X = 0) = 0,8⁵ = 0,32768.
4. P(X = 1) = 5 · 0,2 · 0,8⁴ = 0,40960.
5. P(X = 2) = 10 · 0,2² · 0,8³ = 0,20480.
6. P(X = 3) = 10 · 0,2³ · 0,8² = 0,05120.
7. P(X = 4) = 5 · 0,2⁴ · 0,8 = 0,00640.
8. P(X = 5) = 0,2⁵ = 0,00032.
9. 0,32768 + 0,40960 + 0,20480 + 0,05120 + 0,00640 + 0,00032 = 1.
10. Наибольшая вероятность равна 0,40960, поэтому наиболее вероятно X = 1.
Один и тот же p - разные распределения
Пусть вероятность успеха в одном испытании p = 0,2, а q = 0,8.
Биномиальная задача
Проводят 5 испытаний. Какова вероятность ровно 3 успехов?
P(X = 3) =
C₅³ · 0,2³ · 0,8² =
0,0512
Геометрическая задача
Испытания проводят до первого успеха. Какова вероятность первого успеха в третьем испытании?
P(X = 3) =
0,8² · 0,2 =
0,128
В обеих задачах написано P(X = 3), но смысл X разный. Поэтому перед применением любой формулы обязательно определите, что именно обозначает случайная величина.
Видео по теме урока
Основное видео помогает увидеть смысл биномиального распределения на наглядных примерах. Дополнительное видео рассматривает распределение количества успехов и расчёт соответствующих вероятностей.
Основное видео Rutube - биномиальное распределение и вероятности различных количеств успехов.
Открыть видео на RutubeПрезентация
Презентация для 10 класса объединяет биномиальное и геометрическое распределения, поэтому особенно полезна для их сравнения.
На что обратить внимание
- что именно обозначает случайная величина в каждом распределении;
- фиксировано ли число испытаний заранее;
- формулу биномиального распределения;
- формулу геометрического распределения;
- различие возможных значений X;
- примеры с монетой и кубиком.
Интерактив и дополнительная тренировка
В ЯКласс есть отдельный материал 10 класса по биномиальному распределению.
При выполнении заданий
- сначала найдите n, p и q;
- определите требуемое число успехов k;
- не забывайте множитель Cₙᵏ;
- помните, что ! означает факториал;
- для нескольких значений k складывайте соответствующие вероятности;
- проверяйте, биномиальное ли распределение задано условием.
Вопросы для самопроверки
Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте ответ.
01 Что обозначает X в биномиальном распределении?
Ответ: X - количество успехов в фиксированной серии из n испытаний Бернулли.
02 Что означают n и k?
Ответ: n - общее количество испытаний, k - конкретное количество успехов, вероятность которого вычисляется.
03 Что означает знак ! в записи n!?
Ответ: знак ! означает факториал. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. По определению 0! = 1.
04 Для чего в формуле нужен множитель Cₙᵏ?
Ответ: Cₙᵏ показывает количество способов расположить k успехов среди n испытаний.
05 Как выглядит формула биномиального распределения?
Ответ: P(X = k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ, где q = 1 - p.
06 Чем биномиальное распределение отличается от геометрического?
Ответ: в биномиальном распределении заранее фиксировано число испытаний n, а X показывает количество успехов. В геометрическом распределении испытания идут до первого успеха, а X показывает номер испытания первого успеха.
07 Почему сумма вероятностей всех значений биномиальной случайной величины равна 1?
Ответ: потому что в результате n испытаний обязательно произойдёт какое-то количество успехов от 0 до n. Эти варианты охватывают все возможные результаты и являются несовместными.
Главное по уроку
Биномиальное распределение возникает в серии из заранее заданного числа n независимых испытаний Бернулли.
Вероятность успеха в каждом испытании равна p, а вероятность неудачи q = 1 - p.
Случайная величина X показывает количество успехов в серии.
Возможные значения X: 0, 1, 2, ..., n.
Буква k обозначает конкретное количество успехов.
Cₙᵏ показывает количество способов расположить k успехов среди n испытаний.
В формуле Cₙᵏ = n! / (k! · (n - k)!) знак ! означает факториал.
Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24, а 0! = 1.
Вероятность ровно k успехов вычисляется по формуле:
P(X = k) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ
Формула Бернулли даёт вероятность одного значения k, а биномиальное распределение включает вероятности всех значений от 0 до n.
Вероятность ни одного успеха равна qⁿ.
Вероятность успеха во всех испытаниях равна pⁿ.
Вероятность хотя бы одного успеха равна 1 - qⁿ.
В биномиальном распределении число испытаний фиксировано и X считает успехи.
В геометрическом распределении испытания продолжаются до первого успеха и X показывает номер этого испытания.
Урок 29 завершает раздел 7 «Случайные величины и распределения».
Далее начинается раздел 8 «Повторение, обобщение, систематизация знаний». Урок 30 - «Описательная статистика. Повторение и обобщение».
Итоговый тренировочный тест
Выполните все задания и нажмите «Завершить тест». После проверки вы увидите общий результат, оценку, результаты по каждой теме и разбор ошибок. Это тренировочная работа: её можно проходить повторно.
При каждом новом открытии или перезагрузке страницы формируется новый вариант: могут измениться сами задания, числовые данные, правильные ответы и порядок вариантов ответа.
Прогресс выполнения 0 из 28