Школа ИМТП Электронная образовательная среда 10-11 классы

Математика. Алгебра — учебные материалы для 11 класса

Учебные материалы — 11 класс

Математика Алгебра · 11 класс

Теория, примеры, видеоуроки, презентации, практические и интерактивные задания по алгебре и началам математического анализа для обучающихся 11 класса.

Перейти к разделам Все предметы

Математика — 11 класс

Курсы учебного предмета

Выберите курс, чтобы перейти к его разделам, темам и учебным материалам.

170 академических часов

Алгебра размещена на этой странице. Геометрия и вероятность и статистика открываются на отдельных страницах учебных материалов.

Тема 1

Степень с рациональным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства

Степень с рациональным показателем и её свойства, преобразование выражений, содержащих рациональные степени, показательные уравнения и неравенства, способы их решения, показательная функция, её свойства и график. Завершается тема контрольной работой.

12 учебных часов

01 Урок 1 Степень с рациональным показателем Открыть урок Свернуть урок

Урок 1. Степень с рациональным показателем

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Перед введением нового понятия мы восстановим основные сведения о степенях, корнях и рациональных числах. Поэтому материал можно изучать даже в том случае, если соответствующие темы основной школы проходились давно или отдельные правила уже забылись.

40 минут основной работы

Что вы изучите

К концу урока вы будете понимать, что означает дробный показатель степени, сможете переводить степень с рациональным показателем в запись через корень и вычислять простые значения таких степеней.

01

Восстановите базовые понятия

Основание и показатель степени, натуральный, нулевой и отрицательный показатели, арифметический корень.

02

Узнаете новое определение

Что называется степенью положительного числа с рациональным, то есть дробным, показателем.

03

Научитесь вычислять

Выражения вида a^1/n, a^m/n и a^−m/n, переходя от степени к корню.

Рекомендуемый порядок работы: сначала восстановите сведения из основной школы, затем внимательно прочитайте определение рациональной степени. После каждого разобранного примера попробуйте закрыть объяснение и выполнить вычисление самостоятельно. Решения практических заданий открывайте только после собственной попытки.

Сначала вспомним: что такое степень

Вы уже встречались со степенями в основной школе. Например, запись 2⁴ означает произведение четырёх одинаковых множителей: 2 · 2 · 2 · 2 = 16.

Число 2 в этой записи называется основанием степени, а число 4 — показателем степени. Показатель сообщает, сколько одинаковых множителей участвует в произведении.

Степень с натуральным показателем

Если n — натуральное число, большее 1, то степенью числа a с показателем n называется произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен a: aⁿ = a · a · ... · a. Кроме того, по определению a¹ = a.

Нулевой показатель

Для любого ненулевого числа a принимают: a⁰ = 1 . Например, 7⁰ = 1 .

Отрицательный целый показатель

Если показатель отрицательный, степень определяют через обратное число:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ Здесь a ≠ 0, а n — натуральное число.

Например: 2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8 .

Важно: отрицательный показатель степени не делает само число автоматически отрицательным. Знак «−» в показателе означает переход к обратной величине.

Вспомним корень n-й степени

Чтобы понять дробный показатель степени, необходимо вспомнить действие извлечения корня. Именно связь степени и корня позволяет определить новую операцию.

Арифметический корень n-й степени

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a называют неотрицательное число b, n-я степень которого равна a.

ⁿ√a = b означает, что b ≥ 0 и bⁿ = a.

Например, √25 = 5 , потому что 5² = 25 .

Аналогично, ³√27 = 3 , потому что 3³ = 27 .

При записи квадратного корня индекс 2 обычно не пишут: ²√a = √a .

Что означает слово «рациональный»

В названии урока используется термин «рациональный показатель». Сначала уточним его смысл.

Рациональное число

Рациональным называется число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число, не равное нулю.

Например, рациональными являются числа 1/2, −3/4, 7 и 0,25.

Целое число тоже является рациональным. Например, 7 = 7/1. Конечную десятичную дробь также можно представить обычной дробью: 0,25 = 25/100 = 1/4.

Поэтому показатель степени теперь может быть не только целым числом. Например, появляются записи 16^1/2, 27^2/3 или 25^−1/2.

Степень с рациональным показателем

Теперь можно связать два знакомых действия — возведение в степень и извлечение корня.

Степень с рациональным показателем

Пусть a > 0, m — целое число, n — натуральное число, причём n > 1. Степенью числа a с рациональным показателем m/n называют число a^m/n = ⁿ√(a^m).

a^m/n = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m Для общего определения рациональной степени рассматриваем положительное основание a.

Как читать дробный показатель

В показателе m/n знаменатель n указывает, корень какой степени нужно извлечь, а числитель m указывает, в какую степень затем нужно возвести полученное число.

Например:

16^3/4 Знаменатель 4 означает корень четвёртой степени, а числитель 3 — последующее возведение в третью степень.

Для показателя 1/n получаем особенно важное равенство: a^1/n = ⁿ√a . Таким образом, корень можно записывать как степень с дробным показателем.

Как переводить дробную степень в корень

Рассмотрите несколько типичных записей. Не старайтесь запомнить каждый пример отдельно — важно увидеть общий принцип.

Степень	Запись через корень	Вычисление	Результат
16^1/2	√16	Число, квадрат которого равен 16.	4
27^1/3	³√27	Число, куб которого равен 27.	3
16^3/4	(⁴√16)³	2³	8
32^2/5	(⁵√32)²	2²	4
25^−1/2	1 / √25	1 / 5	1/5
81^0,75	81^3/4	(⁴√81)³ = 3³	27

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Не перепутайте: в показателе 3/4 число 4 определяет степень корня, а число 3 — степень полученного результата.

Отрицательный рациональный показатель

Правило отрицательной степени, знакомое вам для целых показателей, сохраняет свой смысл и для рационального показателя.

a^−m/n = 1 / a^m/n При a > 0.

Например:

9^−1/2 = 1 / 9^1/2 = 1 / √9 = 1/3

Здесь сначала отрицательный показатель заменён обратной величиной, а затем дробный показатель 1/2 заменён квадратным корнем.

Почему важно учитывать основание степени

При натуральном показателе отрицательное основание обычно не вызывает проблем. С дробным показателем ситуация меняется, поскольку появляется извлечение корня.

Например, выражение (−4)^1/2 означает квадратный корень из −4. В множестве действительных чисел такого значения нет.

Поэтому при введении степени с произвольным рациональным показателем в школьном курсе основание обычно считают положительным: a > 0.

Это условие особенно важно, когда одна и та же рациональная дробь может быть записана разными способами. Например, 1/2 = 2/4. Определение степени должно давать один и тот же результат независимо от формы записи показателя.

Отдельные корни нечётной степени из отрицательного числа существуют. Например, ³√(−8) = −2 . Но это не отменяет общего условия a > 0 при введении степени с произвольным рациональным показателем. В задачах всегда обращайте внимание на область допустимых значений выражения.

Подробно разобранные примеры

Каждый пример разбит на небольшие шаги. Постарайтесь после чтения условия сначала определить знаменатель и числитель дробного показателя самостоятельно.

Пример 1. Вычислите 64^2/3

Извлечём корень

Поскольку 2⁵ = 32 , имеем ⁵√32 = 2 .

4

Завершим вычисление

2² = 4 . Ответ: 4.

Пример 4. Вычислите 81^0,75

Рациональный показатель может быть записан десятичной дробью.

1

Переведём десятичную дробь в обычную

0,75 = 75/100 = 3/4 .

2

Перепишем выражение

81^0,75 = 81^3/4 .

3

Используем корень четвёртой степени

81^3/4 = (⁴√81)³ = 3³ = 27 .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Перепутать числитель и знаменатель

В записи a^3/5 число 5 задаёт корень пятой степени, а число 3 — последующее возведение в третью степень.

Ошибка 2. Считать отрицательную степень отрицательным числом

Например, 4^−1/2 равно 1/2, а не −2. Знак «−» в показателе означает переход к обратной величине.

Ошибка 3. Забыть условие на основание

При введении степени с произвольным рациональным показателем используется положительное основание a > 0.

Ошибка 4. Неверно понимать показатель 1/2

a^1/2 — это квадратный корень из a, а не половина числа a.

Ошибка 5. Не сократить десятичный показатель

Например, показатель 0,6 лучше сначала представить как 6/10 = 3/5, а затем переходить к корню.

Ошибка 6. Слишком рано пользоваться калькулятором

Числа 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125 и 243 часто специально подбирают так, чтобы рациональную степень можно было вычислить точно без десятичного приближения.

Практические задания

Выполните вычисления письменно. Сначала преобразуйте показатель и только затем открывайте подробное решение.

Задание 1. Представьте в виде корня

49^1/2;
125^1/3;
a^2/5;
b^3/4.

Открыть решение

49^1/2 = √49.
125^1/3 = ³√125.
a^2/5 = (⁵√a)².
b^3/4 = (⁴√b)³.

Задание 2. Вычислите

25^1/2;
27^1/3;
16^3/4;
32^2/5.

Открыть подробное решение

25^1/2 = √25 = 5.
27^1/3 = ³√27 = 3.
16^3/4 = (⁴√16)³ = 2³ = 8.
32^2/5 = (⁵√32)² = 2² = 4.

Задание 3. Отрицательный показатель

Вычислите:

16^−1/2;
27^−1/3;
64^−2/3.

Открыть подробное решение

16^−1/2 = 1/√16 = 1/4.
27^−1/3 = 1/³√27 = 1/3.
64^−2/3 = 1/64^2/3 = 1/16.

Задание 4. Десятичные показатели

Вычислите:

16^0,5;
32^0,4;
81^0,75.

Открыть решение

0,5 = 1/2, поэтому 16^0,5 = √16 = 4.
0,4 = 2/5, поэтому 32^0,4 = 32^2/5 = 4.
0,75 = 3/4, поэтому 81^0,75 = 81^3/4 = 27.

Задание 5. Объясните смысл записи

Не вычисляя значение, объясните словами, какие действия нужно выполнить для вычисления числа 243^2/5.

Открыть объяснение

Знаменатель показателя равен 5, поэтому сначала нужно извлечь из 243 корень пятой степени.

Числитель показателя равен 2, поэтому полученное число затем нужно возвести в квадрат.

Если продолжить вычисление: 243 = 3⁵, следовательно, 243^2/5 = 3² = 9.

Небольшая самостоятельная работа

Выполните задания без таблицы и без калькулятора. За каждый полностью правильный ответ начислите себе один балл.

Итоговая проверка

Что означает показатель 1/3 в записи 8^1/3?
Представьте 125^2/3 через корень.
Вычислите 125^2/3.
Вычислите 49^−1/2.
Представьте показатель 0,6 в виде несократимой обычной дроби.
Вычислите 32^0,6.
Объясните, почему выражение (−9)^1/2 не имеет значения в множестве действительных чисел.

Открыть ответы и критерии

Показатель 1/3 означает извлечение кубического корня.
125^2/3 = (³√125)².
(³√125)² = 5² = 25.
49^−1/2 = 1/√49 = 1/7.
0,6 = 6/10 = 3/5.
32^0,6 = 32^3/5 = (⁵√32)³ = 2³ = 8.
Показатель 1/2 означает квадратный корень. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому √(−9) в действительных числах не существует.

7 баллов — материал усвоен уверенно.
5–6 баллов — повторите отрицательные и десятичные показатели.
3–4 балла — ещё раз разберите определение и четыре подробных примера.
0–2 балла — вернитесь к блокам «Вспомним корень» и «Степень с рациональным показателем», затем выполните работу повторно.

Видео по теме урока

Видео используйте после изучения основной теории. Во время просмотра обращайте внимание прежде всего на переход между дробной степенью и корнем.

Основное видео Rutube. Тема рационального показателя степени рассматривается с повторением степеней и примерами вычислений.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация поможет ещё раз увидеть переход от натурального и целого показателя к рациональному. Используйте её как краткое повторение после основной части урока.

На что обратить внимание

определение степени с натуральным показателем;
отрицательный целый показатель;
связь корня n-й степени и дробного показателя;
условие положительности основания;
запись a^m/n через корень.

Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивное упражнение позволяет потренироваться в распознавании и вычислении степеней с рациональным показателем. Выполняйте его только после того, как сможете самостоятельно объяснить формулу a^m/n.

Как работать с упражнением

сначала определите знаменатель дробного показателя;
определите соответствующую степень корня;
затем учтите числитель;
при отрицательном показателе вспомните об обратном числе;
после ошибки обязательно объясните себе правильное преобразование.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Ответьте своими словами. Готовый ответ раскрывайте только после того, как сформулировали собственный.

01 Что называют рациональным числом?

Ответ: рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число, не равное нулю.

02 Что означает показатель 1/n в записи a^1/n?

Ответ: он означает извлечение корня n-й степени: a^1/n = ⁿ√a.

03 Как записать a^m/n через корень?

Ответ: a^m/n = ⁿ√(a^m) = (ⁿ√a)^m, если основание a положительно.

04 Какую роль играет знаменатель дробного показателя?

Ответ: знаменатель определяет степень корня. Например, знаменатель 5 означает корень пятой степени.

05 Какую роль играет числитель дробного показателя?

Ответ: числитель показывает, в какую степень нужно возвести результат извлечения корня.

06 Что означает отрицательный рациональный показатель?

Ответ: отрицательный показатель означает переход к обратной величине: a^−r = 1/a^r.

07 Почему показатель 0,5 является рациональным?

Ответ: потому что 0,5 можно представить обычной дробью: 0,5 = 1/2.

08 Чему равно 64^1/3 и почему?

Ответ: 64^1/3 = ³√64 = 4, потому что 4³ = 64.

Главное по уроку

Рациональное число можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное число.

Для положительного основания a степень с рациональным показателем определяется через корень: a^m/n = ⁿ√(a^m) .

Знаменатель дробного показателя определяет степень корня, а числитель — степень, в которую нужно возвести результат.

В частности: a^1/n = ⁿ√a .

Отрицательный рациональный показатель означает переход к обратной величине: a^−r = 1/a^r .

Десятичный рациональный показатель удобно сначала перевести в обычную сокращённую дробь.

При работе с дробными степенями необходимо учитывать, имеет ли соответствующий корень смысл в множестве действительных чисел.

Следующий урок — «Свойства степени». На нём будут систематизированы правила умножения, деления и возведения степеней с рациональными показателями.

02 Урок 2 Свойства степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 2. Свойства степени

На предыдущем уроке вы познакомились со степенью с рациональным показателем и научились переводить дробную степень в запись через корень. Теперь нужно научиться выполнять действия со степенями. Мы начнём с правил, знакомых по основной школе, ещё раз разберём смысл каждого правила, а затем распространим их на рациональные показатели.

40 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете применять свойства степеней с рациональными показателями при умножении, делении и возведении степени в степень, а также преобразовывать степень произведения и частного.

01

Повторите знакомые правила

Умножение и деление степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень.

02

Расширите правила

Научитесь применять эти свойства не только к целым, но и к рациональным показателям.

03

Научитесь выбирать свойство

Перед преобразованием будете определять, одинаковы ли основания, показатели или выражение является степенью степени.

Главная задача урока: не просто выучить пять формул, а научиться узнавать ситуацию, в которой применяется каждая из них.

Вспомним правило на простом примере

Рассмотрим произведение 2³ · 2⁴ . Если раскрыть степени по определению, получим:

2³ · 2⁴ = (2·2·2)(2·2·2·2) = 2⁷

Всего получилось семь одинаковых множителей 2. Число 7 — это сумма показателей 3 и 4. Поэтому при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Основание степени

Основание степени — это число или выражение, которое возводят в степень. Например, в записи a^r основанием является a, а r — показателем степени.

Обратите внимание: складывать показатели можно только тогда, когда степени умножаются и имеют одинаковое основание. Например, выражение 2³ · 3⁴ нельзя заменить степенью 2⁷ или 6⁷.

Основные свойства степени с рациональным показателем

Пусть a > 0, b > 0, а r и s — рациональные числа. Тогда выполняются следующие свойства.

Свойство	Формула	Как запомнить	Пример
Произведение степеней с одинаковым основанием	a^r · a^s = a^r+s	Основание оставляем, показатели складываем.	2^1/2 · 2^3/2 = 2² = 4
Частное степеней с одинаковым основанием	a^r / a^s = a^r−s	Основание оставляем, из показателя числителя вычитаем показатель знаменателя.	3^5/2 / 3^1/2 = 3² = 9
Возведение степени в степень	(a^r)^s = a^rs	Показатели перемножаем.	(16^1/2)³ = 16^3/2
Степень произведения	(ab)^r = a^rb^r	В данную степень возводим каждый множитель.	(4·9)^1/2 = 4^1/2·9^1/2 = 6
Степень частного	(a/b)^r = a^r/b^r	В данную степень возводим и числитель, и знаменатель.	(25/4)^1/2 = 5/2

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Эти свойства имеют тот же вид, что и свойства степеней с натуральными и целыми показателями. Новое состоит в том, что показатели r и s теперь могут быть дробными.

Свойство 1. Умножение степеней с одинаковым основанием

a^r · a^s = a^r+s Основание не изменяется, показатели складываются.

Например:

5^1/3 · 5^2/3 = 5^1/3+2/3 = 5¹ = 5

Перед сложением дробных показателей нужно выполнить обычные действия с дробями. Если знаменатели разные, сначала приведите дроби к общему знаменателю.

a^1/2 · a^1/3 = a^1/2+1/3 = a^5/6

Свойство 2. Деление степеней с одинаковым основанием

a^r / a^s = a^r−s

Например:

7^5/4 / 7^1/4 = 7^5/4−1/4 = 7

Порядок вычитания имеет значение: показатель знаменателя вычитается из показателя числителя.

Если результат вычитания отрицательный, это не ошибка. Например, a^1/3/a^2/3 = a^−1/3 = 1/a^1/3 .

Свойство 3. Возведение степени в степень

(a^r)^s = a^rs Здесь показатели не складываются, а перемножаются.

Например:

(a^2/3)^3/4 = a^(2/3)·(3/4) = a^1/2

Дробь (2/3)·(3/4) сокращается до 1/2.

Очень распространённая ошибка: записывать (a^r)^s = a^r+s. Это неверно. При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Степень произведения и степень частного

Если несколько положительных множителей находятся под одной степенью, показатель можно распределить между ними.

(ab)^r = a^rb^r (a/b)^r = a^r/b^r

Пример со произведением

(9·25)^1/2 = 9^1/2·25^1/2 = 3·5 = 15

Пример с частным

(64/125)^1/3 = 64^1/3 / 125^1/3 = 4/5

Почему в формулах указано a > 0

Правила степеней нельзя применять механически, не проверяя, имеет ли исходное выражение смысл.

Рациональный показатель может содержать в знаменателе чётное число. Тогда соответствующая степень связана, например, с квадратным или четвёртым корнем.

Выражение (−4)^1/2 в множестве действительных чисел не определено, поскольку квадратного корня из отрицательного числа в действительных числах нет.

Поэтому основные свойства степени с произвольными рациональными показателями удобно формулировать для положительных оснований. Это позволяет применять формулы без дополнительных оговорок.

При решении конкретной задачи область допустимых значений может быть шире. Но сначала всегда проверяйте, определены ли исходные выражения.

Как быстро выбрать нужное свойство

×

Одинаковые основания умножаются

Оставьте основание и сложите показатели.

÷

Одинаковые основания делятся

Оставьте основание и вычтите показатели.

( )ⁿ

Степень возводится в степень

Перемножьте показатели.

ab

Произведение под степенью

Возведите в эту степень каждый множитель.

a/b

Частное под степенью

Возведите в степень числитель и знаменатель.

?

1/2 = 3/6 , 2/3 = 4/6 .

3

Выполним действия

3/6 + 4/6 − 1/6 = 6/6 = 1 .

4

Ответ

a¹ = a .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Складывать сами степени

a^r · a^s = a^r+s, но a^r + a^s обычно так упростить нельзя.

Ошибка 2. Складывать показатели при возведении степени в степень

Правильно: (a^r)^s = a^rs. Показатели перемножаются.

Ошибка 3. Умножать показатели при произведении одинаковых оснований

a^r · a^s требует сложения показателей, а не их умножения.

Ошибка 4. Неверный порядок вычитания

В a^r/a^s вычисляется r − s, то есть показатель знаменателя вычитают из показателя числителя.

Ошибка 5. Применять правило к сумме

В общем случае (a + b)^r не равно a^r + b^r. Свойство степени произведения нельзя переносить на сумму.

Ошибка 6. Не проверять основание

При рациональном показателе выражение может содержать корень чётной степени. Всегда учитывайте область допустимых значений.

Практические задания

В каждом задании сначала назовите используемое свойство, а затем выполняйте вычисления.

Задание 1. Умножение степеней

Упростите:

a^1/3 · a^2/3;
x^3/4 · x^1/2;
5^1/2 · 5^3/2.

Открыть решение

a^1/3+2/3 = a.
x^3/4+1/2 = x^3/4+2/4 = x^5/4.
5^1/2+3/2 = 5² = 25.

Задание 2. Деление степеней

a^5/6 / a^1/6;
b^1/2 / b^3/4;
4^5/2 / 4^3/2.

Открыть решение

a^4/6 = a^2/3.
b^1/2−3/4 = b^−1/4.
4^5/2−3/2 = 4¹ = 4.

Задание 3. Степень степени

(a^1/2)⁴;
(x^2/3)^3/2;
(25^1/2)³.

Открыть решение

a^(1/2)·4 = a².
x^(2/3)·(3/2) = x.
25^3/2 = (√25)³ = 5³ = 125.

Задание 4. Степень произведения и частного

(16·25)^1/2;
(8·27)^1/3;
(81/16)^1/2.

Открыть подробное решение

16^1/2·25^1/2 = 4·5 = 20.
8^1/3·27^1/3 = 2·3 = 6.
81^1/2/16^1/2 = 9/4.

Задание 5. Несколько действий

При a > 0 упростите:

a^3/4 · a^5/6 / a^1/3

Открыть подробное решение

Объединяем показатели:

3/4 + 5/6 − 1/3.

Общий знаменатель равен 12: 9/12 + 10/12 − 4/12 = 15/12 = 5/4.

Ответ: a^5/4.

Небольшая самостоятельная работа

Решите без таблицы свойств. За каждый полностью правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями.
Упростите a^2/5 · a^3/5.
Упростите b^7/8 / b^3/8.
Упростите (x^3/4)^8/3.
Вычислите (9·16)^1/2.
Вычислите (125/8)^1/3.
Объясните, почему равенство (a+b)^1/2 = a^1/2+b^1/2 нельзя считать свойством степени.
Упростите a^1/2 · a^1/3 / a^1/6.

Открыть ответы и критерии

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание сохраняется, а показатели складываются.
a¹ = a.
b^4/8 = b^1/2.
x^(3/4)·(8/3) = x².
9^1/2·16^1/2 = 3·4 = 12.
125^1/3/8^1/3 = 5/2.
Свойство распределения показателя действует для произведения и частного, но не для суммы. Например, √(1+4)=√5, а √1+√4=3; значения не равны.
Показатель: 1/2 + 1/3 − 1/6 = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3. Ответ: a^2/3.

8 баллов — свойства применяются уверенно.
6–7 баллов — повторите задания, где допущена ошибка.
4–5 баллов — ещё раз изучите таблицу и разобранные примеры.
0–3 балла — вернитесь к каждому свойству отдельно и повторите самостоятельную работу.

Видео по теме урока

Во время просмотра сопоставляйте каждое преобразование с таблицей свойств из этого урока. Если преподаватель выполняет несколько преобразований подряд, останавливайте видео и называйте используемое правило.

Основное видео Rutube. Рассматриваются свойства степеней с рациональными показателями и примеры их применения.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Используйте презентацию для повторения основных формул. Особое внимание уделите слайдам, где свойства записаны одновременно в буквенном виде и применяются к конкретным выражениям.

При повторении проверьте

когда показатели складываются;
когда показатели вычитаются;
когда показатели перемножаются;
как степень распределяется на произведение;
как степень распределяется на частное.

Открыть презентацию онлайн

Интерактив

Интерактивное упражнение предназначено для тренировки основных свойств степеней. Оно полезно как быстрое повторение перед самостоятельной работой.

Как выполнять

сначала определите структуру выражения;
назовите нужное свойство;
только затем выбирайте ответ;
при ошибке вернитесь к таблице формул;
повторите упражнение без подсказок.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно. После этого раскройте готовое объяснение.

01 Что происходит с показателями при умножении степеней с одинаковыми основаниями?

Ответ: показатели складываются: a^r·a^s = a^r+s.

02 Что происходит с показателями при делении степеней с одинаковыми основаниями?

Ответ: из показателя степени в числителе вычитают показатель степени в знаменателе.

03 Как возвести степень в степень?

Ответ: показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs.

04 Как возвести произведение в рациональную степень?

Ответ: при положительных основаниях каждый множитель можно возвести в эту степень: (ab)^r = a^rb^r.

05 Верно ли (a+b)^r = a^r+b^r?

Ответ: в общем случае нет. Свойство распределения степени действует для произведения и частного, но не является правилом для суммы.

06 Почему при работе с рациональными степенями нужно учитывать знак основания?

Ответ: рациональный показатель связан с извлечением корней. Например, показатель 1/2 означает квадратный корень, который для отрицательного подкоренного выражения в действительных числах не определён.

07 Чему равно a^1/2 · a^1/2 при a > 0?

Ответ: a^1/2+1/2 = a¹ = a.

Главное по уроку

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: a^ra^s = a^r+s .

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: a^r/a^s = a^r−s .

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a^r)^s = a^rs .

Степень произведения можно распределить на множители: (ab)^r = a^rb^r .

Аналогично для частного: (a/b)^r = a^r/b^r .

Свойство степени произведения нельзя автоматически переносить на сумму: в общем случае (a+b)^r ≠ a^r+b^r .

При использовании рациональных показателей необходимо учитывать область допустимых значений и существование соответствующих корней.

Следующий урок — «Преобразование выражений, содержащих рациональные степени». В нём свойства степеней будут использоваться уже не по одному, а в более сложных цепочках преобразований.

03 Урок 3 Преобразование выражений, содержащих рациональные степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 3. Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

На предыдущих двух уроках вы познакомились со степенью с рациональным показателем и повторили её свойства. Теперь эти знания нужно объединить. На этом уроке мы будем преобразовывать выражения, в которых одновременно встречаются несколько степеней, произведения, частные и степени степени. Все преобразования разбираются пошагово, поэтому материал подходит для самостоятельного освоения.

40 минут основной работы

Что вы изучите

Главная цель урока — научиться видеть структуру выражения и выбирать правильную последовательность преобразований.

01

Приводить показатели к удобному виду

Складывать, вычитать и перемножать рациональные показатели, сокращать получившиеся дроби.

02

Объединять степени

Использовать одинаковые основания, чтобы заменить несколько степеней одной степенью.

03

Упрощать сложные выражения

Выполнять несколько преобразований последовательно и не терять область допустимых значений.

Важно: преобразование выражения — это не набор случайных действий. Каждый переход должен опираться на конкретное свойство степени или обычное правило действий с дробями.

Что значит «преобразовать выражение»

Тождественное преобразование

Тождественным преобразованием называют замену одного выражения другим выражением, которое принимает те же значения при всех допустимых значениях переменных.

Например, при a > 0 выражения a^1/2·a^1/2 и a тождественно равны, поскольку:

a^1/2·a^1/2 = a^1/2+1/2 = a

Цель преобразования обычно состоит в том, чтобы получить более простую, удобную для вычисления или дальнейшего решения форму выражения.

Какие свойства понадобятся

Для положительных оснований a и b и рациональных показателей r и s используются следующие правила.

Ситуация	Формула	Что делаем
Умножение одинаковых оснований	a^ra^s = a^r+s	Складываем показатели.
Деление одинаковых оснований	a^r/a^s = a^r−s	Вычитаем показатели.
Степень степени	(a^r)^s = a^rs	Перемножаем показатели.
Степень произведения	(ab)^r = a^rb^r	Распределяем показатель на множители.
Степень частного	(a/b)^r = a^r/b^r	Распределяем показатель на числитель и знаменатель.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Универсальный алгоритм преобразования

Если выражение кажется сложным, не пытайтесь преобразовать всё сразу. Разберите его по шагам.

1

Посмотрите на основания

Определите, можно ли представить числа или выражения как степени одного и того же основания.

2

Найдите степень степени

Если степень возводится ещё в одну степень, сначала перемножьте показатели.

3

Объедините одинаковые основания

При умножении сложите показатели, при делении — вычтите.

4

Выполните действия с дробями

Приведите показатели к общему знаменателю и сократите полученную дробь.

5

Вычислите, если возможно

Если основание является удобной степенью, получите точное числовое значение.

6

Проверьте результат

Убедитесь, что не потеряли знаменатель, знак показателя и ограничения на переменные.

Приведение чисел к одному основанию

Числовые выражения часто специально составлены так, чтобы все числа можно было представить степенями одного числа.

Например:

8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵ 64 = 2⁶

Поэтому выражение 8^2/3 можно записать:

(2³)^2/3 = 2² = 4

Такое представление часто быстрее, чем переход к записи через корень.

Подробно разобранные примеры

Сначала попробуйте определить первый шаг самостоятельно, а затем прочитайте объяснение.

Пример 1. Упростите a^1/2 · a^3/4 · a^−1/4

Пусть a > 0.

1

Заметим одинаковые основания

Все три степени имеют основание a и перемножаются. Поэтому показатели можно сложить.

2

Сложим показатели

1/2 + 3/4 − 1/4 .

Представим 1/2 как 2/4: 2/4 + 3/4 − 1/4 = 4/4 = 1 .

3

Получим результат

a¹ = a .

Пример 2. Упростите (x^2/3)^3/4 · x^1/2

Пусть x > 0.

1

Сначала преобразуем степень степени

(x^2/3)^3/4 = x^(2/3)·(3/4) = x^1/2 .

2

Теперь умножим одинаковые основания

x^1/2·x^1/2 = x¹ .

3

Ответ

x .

Пример 3. Вычислите 8^2/3 · 16^1/2

Удобно представить оба числа степенями двойки.

1

Представим основания

8 = 2³ , 16 = 2⁴ .

2

Преобразуем степени

(2³)^2/3 = 2² , а (2⁴)^1/2 = 2² .

3

Перемножим

2²·2² = 2⁴ = 16 .

Пример 4. Упростите дробь

При a > 0:

(a^5/6 · a^1/2) / a^2/3

1

Объединим показатели

a^{5/6+1/2−2/3} .

2

Приведём дроби к знаменателю 6

5/6 + 3/6 − 4/6 = 4/6 = 2/3 .

3

Ответ

a^2/3 .

Пример 5. Вычислите (1/27)^−2/3

Здесь удобно сначала избавиться от отрицательного показателя.

1

Используем отрицательный показатель

(1/27)^−2/3 = 27^2/3 .

2

Представим 27 как степень тройки

27 = 3³ .

3

Перемножим показатели

(3³)^2/3 = 3² = 9 .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Выполнять все действия одновременно

Чем сложнее выражение, тем важнее записывать промежуточные шаги. Один пропущенный переход часто приводит к ошибке в показателе.

Ошибка 2. Неверно складывать дроби

Например, 1/2 + 1/3 не равно 2/5. Сначала нужен общий знаменатель: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Ошибка 3. Путать сложение и умножение показателей

При произведении одинаковых оснований показатели складывают, а при возведении степени в степень — перемножают.

Ошибка 4. Терять отрицательный показатель

Если после вычитания получена отрицательная степень, нужно сохранить её или перейти к обратному выражению.

Ошибка 5. Не искать удобное основание

Числа 8, 16, 32 и 64 часто выгоднее представить как степени числа 2, а 9, 27 и 81 — как степени числа 3.

Ошибка 6. Забывать условия

Если в выражении есть рациональные показатели, нужно учитывать допустимые значения переменных и существование соответствующих корней.

Практические задания

Выполняйте преобразования письменно. Не открывайте решение до собственной попытки.

Задание 1. Объедините одинаковые основания

При a > 0 упростите:

a^1/4 · a^3/4;
a^5/6 · a^1/3;
a^7/8 / a^3/8.

Открыть решение

a^1/4+3/4 = a.
a^5/6+2/6 = a^7/6.
a^7/8−3/8 = a^1/2.

Задание 2. Степень степени

Упростите:

(x^2/3)^3/2;
(x^3/5)^10/3;
(x^−1/4)².

Открыть решение

x¹ = x.
x².
x^−1/2 = 1/x^1/2.

Задание 3. Вычислите

16^3/4;
32^2/5;
81^3/4;
(1/16)^−3/4.

Открыть подробное решение

16 = 2⁴, поэтому 16^3/4 = 2³ = 8.
32 = 2⁵, поэтому 32^2/5 = 2² = 4.
81 = 3⁴, поэтому 81^3/4 = 3³ = 27.
(1/16)^−3/4 = 16^3/4 = 8.

Задание 4. Несколько свойств подряд

При x > 0 упростите:

(x^1/2)³ · x^1/4 / x^3/4

Открыть подробное решение

Сначала: (x^1/2)³ = x^3/2.

Затем объединяем показатели: 3/2 + 1/4 − 3/4.

Приводим к знаменателю 4: 6/4 + 1/4 − 3/4 = 4/4 = 1.

Ответ: x.

Задание 5. Найдите ошибку

Обучающийся записал:

(a^2/3)^3/4 = a^2/3+3/4 = a^17/12

Объясните ошибку и выполните преобразование правильно.

Открыть объяснение

Ошибка заключается в выборе действия с показателями.

Степень возводится в другую степень, поэтому показатели нужно не складывать, а перемножать.

Правильно: (a^2/3)^3/4 = a^(2/3)·(3/4) = a^1/2.

Небольшая самостоятельная работа

Выполните без таблицы свойств. За каждый правильный пункт начислите один балл.

Итоговая проверка

Что называется тождественным преобразованием?
Упростите a^2/3 · a^5/6.
Упростите x^7/8 / x^1/4.
Упростите (b^3/5)^10/3.
Вычислите 64^2/3.
Вычислите 243^2/5.
Вычислите (1/25)^−1/2.
Упростите a^1/2·a^2/3/a^1/6.

Открыть ответы и критерии

Замена выражения другим, тождественно равным ему при всех допустимых значениях переменных.
a^2/3+5/6 = a^4/6+5/6 = a^3/2.
x^7/8−2/8 = x^5/8.
b^{(3/5)·(10/3)} = b².
64 = 4³, поэтому 64^2/3 = 4² = 16.
243 = 3⁵, поэтому 243^2/5 = 3² = 9.
(1/25)^−1/2 = 25^1/2 = 5.
Показатель: 1/2 + 2/3 − 1/6 = 3/6 + 4/6 − 1/6 = 1. Ответ: a.

8 баллов — материал усвоен уверенно.
6–7 баллов — повторите задания, где допущена ошибка.
4–5 баллов — ещё раз разберите алгоритм преобразования.
0–3 балла — вернитесь к свойствам степени из урока 2 и повторите подробные примеры.

Видео по теме урока

Основное видео используйте как практическое закрепление. Дополнительный урок посвящён непосредственно преобразованию выражений со степенью с рациональным показателем.

Основное видео Rutube. В материале повторяются свойства рациональной степени и рассматривается преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем и радикалы.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация посвящена степени с рациональным показателем и содержит отдельный блок преобразований выражений со степенями и радикалами.

При просмотре обратите внимание

как рациональная степень записывается через корень;
как применяются свойства степени;
в каком порядке преобразуется выражение;
как сокращаются дробные показатели;
как выполняются числовые вычисления.

Открыть презентацию онлайн

Интерактивная тренировка

Дополнительный учебный ресурс содержит объяснения и задания именно на преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем. Его удобно использовать после основной практики урока.

Как работать

прочитайте условие;
определите нужное свойство;
выполните преобразование самостоятельно;
сравните с объяснением;
повторите задание без подсказки.

Открыть интерактивную тренировку

Вопросы для самопроверки

Отвечайте своими словами, а затем открывайте готовое объяснение.

01 Что называют тождественным преобразованием?

Ответ: замену выражения другим выражением, имеющим те же значения при всех допустимых значениях переменных.

02 Что следует сделать первым, если степень возводится ещё в одну степень?

Ответ: применить правило степени степени и перемножить показатели.

03 Как объединить несколько перемножаемых степеней с одинаковым основанием?

Ответ: сохранить основание и сложить показатели степеней.

04 Почему удобно представлять 8, 16, 32 и 64 как степени числа 2?

Ответ: это позволяет получить одинаковое основание и применить свойства степеней вместо извлечения нескольких корней.

05 Чему равно (a^1/2)² при a > 0?

Ответ: a^(1/2)·2 = a.

06 Почему нельзя забывать об области допустимых значений?

Ответ: рациональные показатели связаны с извлечением корней. Не для каждого значения переменной соответствующее выражение определено в действительных числах.

Главное по уроку

Преобразование выражений со степенями следует выполнять последовательно, а не пытаться сделать несколько действий мысленно одновременно.

Если степень возводится в степень, показатели перемножаются.

Если степени с одинаковым основанием перемножаются, показатели складываются.

Если степени с одинаковым основанием делятся, показатели вычитаются.

При действиях с рациональными показателями необходимо правильно складывать и вычитать обычные дроби.

В числовых выражениях полезно искать общее основание: например, 8, 16, 32 и 64 являются степенями числа 2.

Отрицательный показатель означает переход к обратному выражению.

При преобразованиях необходимо учитывать допустимые значения переменных.

Следующий урок — также «Преобразование выражений, содержащих рациональные степени». В нём мы перейдём к более сложным выражениям и сочетанию нескольких способов преобразования.

04 Урок 4 Преобразование выражений, содержащих рациональные степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 4. Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

Мы продолжаем учиться преобразовывать выражения со степенями с рациональными показателями. На предыдущем уроке вы освоили основной алгоритм. Теперь задания станут сложнее: в одном выражении придётся применять несколько свойств, приводить разные числа к одному основанию, работать с отрицательными показателями и выполнять преобразования в обратном направлении.

40 минут основной работы

Что вы должны научиться делать

Сегодня важно перейти от применения отдельных свойств степени к осознанному преобразованию всего выражения.

01

Видеть общее основание

Представлять числа 4, 8, 16, 32, 64 и другие удобные числа как степени одного основания.

02

Выполнять цепочку действий

Правильно определять порядок нескольких последовательных преобразований.

03

Использовать свойства в обе стороны

Не только раскрывать степень произведения, но и объединять одинаковые показатели в одну степень.

Основной принцип: сначала исследуйте структуру выражения, затем выбирайте свойства. Не начинайте вычисления, пока не поняли, какие основания и показатели можно объединить.

Вспомним: одно свойство можно применять в двух направлениях

Например, известно свойство:

a^rb^r = (ab)^r

Его можно читать слева направо или справа налево.

Например:

4^1/2·9^1/2 = (4·9)^1/2 = 36^1/2 = 6

То есть два множителя с одинаковым показателем иногда выгодно объединить в одну степень.

При преобразованиях всегда спрашивайте себя: какая форма сейчас удобнее? Иногда выгоднее раскрыть степень произведения, а иногда — наоборот, собрать несколько степеней в одну.

Приведение разных чисел к одному основанию

Это один из самых полезных приёмов. Если основания различаются внешне, проверьте, не являются ли они степенями одного числа.

Степени двойки

4 = 2² 8 = 2³ 16 = 2⁴ 32 = 2⁵ 64 = 2⁶

Степени тройки

9 = 3² 27 = 3³ 81 = 3⁴ 243 = 3⁵

Степени пятёрки

25 = 5² 125 = 5³ 625 = 5⁴

Эти представления желательно узнавать без калькулятора. Они постоянно встречаются при работе с рациональными степенями, показательными уравнениями и логарифмами.

Подробно разобранные примеры

В каждом примере объясняется не только вычисление, но и причина выбора конкретного преобразования.

Пример 1. Упростите a^3/4 · a^5/6 / a^7/12

3

Можно снова объединить произведение

x^1/3y^1/3 = (xy)^1/3 .

Пример 4. Вычислите 16^3/4 · 8^2/3

Удобно привести оба основания к числу 2.

1

Представим числа степенями двойки

16=2⁴, 8=2³.

2

Перемножим показатели

(2⁴)^3/4 = 2³ .

(2³)^2/3 = 2² .

3

Объединим степени

2³·2² = 2⁵ = 32 .

Пример 5. Упростите (a^−1/2b^1/3)²

Пусть a > 0, b > 0.

1

Возведём произведение в квадрат

(a^−1/2)² · (b^1/3)² .

2

Перемножим показатели

a⁻¹b^2/3 .

3

Уберём отрицательный показатель

a⁻¹b^2/3 = b^2/3/a .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Не замечать общее основание

Например, 16 и 8 выглядят как разные основания, но оба являются степенями числа 2.

Ошибка 2. Слишком рано вычислять корни

Иногда перевод к общему основанию короче и надёжнее, чем переход каждой степени к радикалу.

Ошибка 3. Применять свойство только в одном направлении

Формулу (ab)^r=a^rb^r можно использовать и справа налево.

Ошибка 4. Потерять отрицательный показатель

a^−r означает 1/a^r, а не −a^r.

Ошибка 5. Неверно сокращать показатели

Действия выполняются с самими дробями-показателями по обычным правилам арифметики.

Ошибка 6. Не проверять ограничения

При рациональных показателях обязательно учитывайте допустимые значения оснований.

Практические задания

В каждом выражении сначала определите наиболее удобный первый шаг.

Задание 1. Приведите к одному основанию

8^1/3 · 16^1/2;
9^1/2 · 27^1/3;
25^1/2 · 125^1/3.

Открыть решение

8=2³, 16=2⁴.
8^1/3=2, 16^1/2=4.
Ответ: 8.
√9=3, ∛27=3.
Ответ: 9.
√25=5, ∛125=5.
Ответ: 25.

Задание 2. Упростите

При a > 0:

a^5/6·a^1/4/a^1/12;
a^3/5·a^7/10/a^1/2.

Открыть решение

1) 5/6 + 1/4 − 1/12 = 10/12 + 3/12 − 1/12 = 12/12 = 1.

Ответ: a.

2) 3/5 + 7/10 − 1/2 = 6/10 + 7/10 − 5/10 = 8/10 = 4/5.

Ответ: a^4/5.

Задание 3. Используйте свойства в обратном направлении

Упростите:

4^1/2·25^1/2;
8^1/3·27^1/3;
81^1/4/16^1/4.

Открыть решение

(4·25)^1/2 = 100^1/2 = 10.
(8·27)^1/3 = 216^1/3 = 6.
(81/16)^1/4 = 3/2.

Задание 4. Несколько преобразований

При x > 0 упростите:

(x^2/3)^3/4 ·x^5/6 / x^1/3

Открыть подробное решение

Сначала: (x^2/3)^3/4 = x^1/2.

Теперь показатель равен: 1/2 + 5/6 − 1/3.

Приводим к шестым: 3/6 + 5/6 − 2/6 = 6/6 = 1.

Ответ: x.

Задание 5. Отрицательные показатели

При a > 0 упростите:

a^−1/2 · a^5/6

Открыть решение

−1/2 + 5/6 = −3/6 + 5/6 = 2/6 = 1/3.

Ответ: a^1/3.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. За каждый правильный пункт — 1 балл.

Проверьте себя

Представьте 64 как степень числа 2.
Представьте 243 как степень числа 3.
Вычислите 64^1/3.
Вычислите 243^2/5.
Упростите a^3/4·a^1/2.
Упростите a^5/6/a^1/2.
Упростите (a^2/3)^3/4.
Упростите a^−1/3·a^5/6.

Открыть ответы и критерии

64=2⁶.
243=3⁵.
64^1/3=4.
243^2/5=9.
a^5/4.
a^1/3.
a^1/2.
a^1/2.

8 баллов — материал усвоен уверенно.
6–7 баллов — повторите допущенные ошибки.
4–5 баллов — ещё раз разберите подробные примеры.
0–3 балла — повторите свойства степени и алгоритм урока 3.

Видео по теме урока

При просмотре останавливайте видео перед каждым преобразованием и самостоятельно определяйте, какое свойство степени следует применить.

Основное видео Rutube: свойства рациональной степени и преобразование выражений, содержащих степени и радикалы.

Открыть видео на Rutube

Дополнительный учебный материал

В федеральной образовательной среде есть отдельный материал для 11 класса по этой же теме. Его можно использовать для дополнительной тренировки после выполнения заданий урока.

Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

материал для 11 класса;
урок-закрепление;
диагностические задания;
динамические учебные материалы;
самостоятельная тренировка.

Открыть дополнительный урок

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем раскройте готовый ответ.

01 Зачем приводить разные числовые основания к одному основанию?

Ответ: чтобы применить свойства степеней с одинаковым основанием и значительно упростить вычисление.

02 Как представить 16 и 8 как степени одного числа?

Ответ: 16=2⁴, а 8=2³.

03 Можно ли свойство степени произведения применять в обратном направлении?

Ответ: да. Например, a^rb^r можно объединить в (ab)^r, если выполняются необходимые условия.

04 Что означает отрицательный показатель степени?

Ответ: переход к обратному числу или выражению: a^−r=1/a^r.

05 Чему равно 32^2/5?

Ответ: 32=2⁵, поэтому 32^2/5=(2⁵)^2/5=2²=4.

06 Что следует делать, если выражение содержит несколько действий со степенями?

Ответ: выполнять преобразования поэтапно: сначала упростить степени степени и основания, затем объединить одинаковые основания, выполнить действия с показателями и только после этого вычислять.

Главное по уроку

При преобразовании выражений полезно искать общее основание. Например, 8, 16, 32 и 64 являются степенями числа 2.

Свойства степеней можно применять в обоих направлениях. Например: a^rb^r=(ab)^r .

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Отрицательный показатель означает переход к обратному выражению.

Сложное выражение лучше преобразовывать в несколько небольших шагов, записывая каждый промежуточный результат.

Перед использованием свойств рациональных степеней необходимо учитывать допустимые значения переменных.

Следующий урок — урок 5 «Преобразование выражений, содержащих рациональные степени». Это будет заключительный урок данного трёхчасового блока: в нём основное внимание будет уделено закреплению, комбинированным заданиям и подготовке к переходу к показательным уравнениям и неравенствам.

05 Урок 5 Преобразование выражений, содержащих рациональные степени Открыть урок Свернуть урок

Урок 5. Преобразование выражений, содержащих рациональные степени

Это заключительный урок по преобразованию выражений с рациональными степенями. На предыдущих занятиях каждое новое действие разбиралось отдельно и по шагам. Теперь основная задача — научиться самостоятельно выбирать способ решения. В одном выражении могут одновременно встречаться отрицательные показатели, степень произведения, степень степени, разные числовые основания и несколько дробных показателей.

40 минут основной работы

Что вы закрепите

После этого урока вы должны уметь самостоятельно анализировать выражение со степенями и выбирать рациональную последовательность преобразований.

01

Анализ выражения

Сначала определять основания, показатели, произведения, частные и степени степени, а не начинать преобразования случайно.

02

Комбинация свойств

Использовать несколько свойств степени последовательно в рамках одного задания.

03

Самоконтроль

Проверять показатели, область допустимых значений и возможность получить более простой окончательный ответ.

Сегодня особенно важно: прежде чем выполнять первое действие, объясните себе, почему именно оно делает выражение проще.

Повторим полный алгоритм

Для сложного выражения используйте следующий порядок анализа.

1

Проверьте допустимость

Если используются рациональные показатели, выясните, при каких значениях переменных исходное выражение имеет смысл.

2

Упростите степень степени

В выражении вида (a^r)^s показатели перемножаются.

3

Найдите общие основания

При необходимости представьте числа в виде степеней 2, 3, 5 или другого удобного основания.

4

Объедините степени

При умножении одинаковых оснований сложите показатели, при делении — вычтите.

5

Упростите показатель

Выполните действия с обыкновенными дробями и сократите полученный показатель.

6

Проверьте ответ

Убедитесь, что результат действительно проще исходного выражения и не потеряны ограничения.

Комбинированные примеры

Здесь уже не указывается заранее, какое свойство нужно применить. Именно этот навык понадобится в последующих темах.

Пример 1. Упростите a^5/6 · a^−1/3 / a^1/2

Пусть a > 0.

1

Основания одинаковы

Поэтому все показатели можно объединить: a^{5/6−1/3−1/2} .

2

Приведём показатели к знаменателю 6

5/6 − 2/6 − 3/6 = 0 .

3

Используем нулевую степень

a⁰ = 1 .

Ответ: 1.

Пример 2. Упростите (x^1/2y^1/3)⁶ / (x²y)

Пусть x > 0 и y > 0.

1

Возведём произведение в шестую степень

(x^1/2)⁶ · (y^1/3)⁶ .

2

Перемножим показатели

x³y² .

3

Разделим на x²y

x³⁻² y²⁻¹ = xy .

Пример 3. Вычислите 16^3/4 · 8^−2/3

Наиболее удобное общее основание — число 2.

1

Представим числа степенями двойки

16 = 2⁴ , 8 = 2³ .

2

Возведём степени в степени

(2⁴)^3/4 = 2³ .

(2³)^−2/3 = 2⁻² .

3

Объединим

2³·2⁻² = 2¹ = 2 .

Ответ: 2.

Пример 4. Вычислите (81/16)^3/4

Здесь удобно представить числитель и знаменатель четвёртыми степенями.

1

Представим числа

81 = 3⁴ , 16 = 2⁴ .

2

Представим дробь

81/16 = (3/2)⁴ .

3

Перемножим показатели

((3/2)⁴)^3/4 = (3/2)³ = 27/8 .

Пример 5. Вычислите 27^2/3 · 9^−1/2 / 3⁻¹

Все числа удобно представить степенями тройки.

1

Представим основания

27 = 3³ , 9 = 3² .

2

Преобразуем каждую степень

27^2/3 = 3² = 9 .

9^−1/2 = 3⁻¹ = 1/3 .

3

Подставим

9 · (1/3) / (1/3) = 9 .

Ответ: 9.

Как проверить собственное решение

При самостоятельном обучении особенно важно уметь замечать ошибку без помощи преподавателя.

A

Проверьте основания

При сложении или вычитании показателей основания должны быть одинаковыми.

B

Проверьте действие

Умножение степеней — сложение показателей. Степень степени — умножение показателей.

C

Проверьте дроби

Действия с рациональными показателями выполняются по обычным правилам работы с дробями.

D

Проверьте знак

Отрицательный показатель нельзя просто отбросить: он означает переход к обратной величине.

E

Проверьте ограничения

Все преобразования должны выполняться при тех значениях, для которых исходное выражение определено.

F

Проверьте простоту ответа

Если после преобразования осталось очевидно сокращаемое выражение, решение ещё не закончено.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Применение свойства к сумме

Из свойства (ab)^r=a^rb^r не следует, что (a+b)^r=a^r+b^r.

Ошибка 2. Неправильное сложение дробей

Например, 1/2+1/3=5/6, а не 2/5. Перед сложением показатели нужно привести к общему знаменателю.

Ошибка 3. Потеря знаменателя выражения

При делении степень из знаменателя даёт вычитание её показателя, а не просто исчезает.

Ошибка 4. Неверная работа с отрицательной степенью

a^−r=1/a^r. Отрицательный показатель не означает отрицательного результата.

Ошибка 5. Не замечено удобное основание

Например, выражения с 9, 27, 81 и 243 часто значительно упрощаются после перехода к степеням числа 3.

Ошибка 6. Слишком много действий в одной строке

Для самостоятельного обучения безопаснее записать три коротких правильных шага, чем один длинный переход, в котором невозможно проверить ошибку.

Практические задания

Теперь способ преобразования нужно выбирать самостоятельно.

Задание 1. Упростите

При a > 0:

a^3/4·a^2/3/a^5/12;
a^−1/2·a^5/4;
(a^2/5)^5/2.

Открыть решение

3/4+2/3−5/12 = 9/12+8/12−5/12 = 12/12 = 1.
Ответ: a.
−1/2+5/4 = −2/4+5/4 = 3/4.
Ответ: a^3/4.
(2/5)·(5/2)=1.
Ответ: a.

Задание 2. Вычислите

32^3/5;
81^−3/4;
(1/64)^−2/3;
625^3/4.

Открыть подробное решение

32=2⁵.
32^3/5=2³=8.
81=3⁴.
81^−3/4=3⁻³=1/27.
(1/64)^−2/3=64^2/3=16.
625=5⁴.
625^3/4=5³=125.

Задание 3. Преобразуйте выражение с двумя переменными

При x > 0 и y > 0 упростите:

(x^1/3y^1/2)⁶ / (xy²)

Открыть решение

Сначала возводим каждый множитель в шестую степень:

x²y³.

Теперь делим:

x²⁻¹y³⁻²=xy.

Ответ: xy.

Задание 4. Найдите наиболее короткий способ

Вычислите:

9^3/2 · 27^−2/3

Открыть решение

Удобно перейти к основанию 3:

9^3/2 = (3²)^3/2 = 3³.

27^−2/3 = (3³)^−2/3 = 3⁻².

3³·3⁻² = 3.

Ответ: 3.

Задание 5. Найдите ошибку

Записано:

a^2/3 + a^1/3 = a¹ = a

Правильно ли выполнено преобразование?

Открыть объяснение

Нет.

Правило сложения показателей применяется при умножении степеней с одинаковым основанием:

a^2/3·a^1/3=a.

Но исходное выражение содержит сумму:

a^2/3+a^1/3.

Эти два слагаемых нельзя просто заменить степенью a.

Задание 6. Объясните каждый переход

При a > 0:

(a^1/2)^4/3 · a^1/3 = a

Докажите равенство.

Открыть подробное решение

Степень степени:

(a^1/2)^4/3 = a^2/3.

Теперь:

a^2/3·a^1/3 = a^2/3+1/3 = a.

Итоговая самостоятельная работа по блоку

Это проверка сразу по урокам 1–5. Сначала выполните все задания полностью, затем откройте ответы.

Проверьте готовность к следующей теме

Что означает показатель 3/5 в записи a^3/5?
Вычислите 32^3/5.
Вычислите 81^−1/2.
Упростите a^5/6·a^1/3.
Упростите a^7/8/a^3/8.
Упростите (a^2/3)^3/4.
Вычислите 16^3/4·8^−1/3.
При x>0 упростите x^1/2·x^2/3/x^1/6.
Верно ли: (a+b)^1/2=a^1/2+b^1/2?
Объясните, почему при преобразовании рациональных степеней важно учитывать допустимые значения переменной.

Открыть ответы и критерии

Знаменатель 5 означает корень пятой степени, числитель 3 — возведение результата в третью степень.
32=2⁵, поэтому ответ 8.
81^−1/2=1/√81=1/9.
5/6+1/3=5/6+2/6=7/6.
Ответ: a^7/6.
7/8−3/8=4/8=1/2.
Ответ: a^1/2.
(2/3)·(3/4)=1/2.
Ответ: a^1/2.
16^3/4=8.
8^−1/3=1/2.
Ответ: 4.
1/2+2/3−1/6= 3/6+4/6−1/6= 1.
Ответ: x.
Нет. Степень произведения можно распределять между множителями, но аналогичного общего правила для суммы нет.
Потому что рациональные показатели связаны с извлечением корней, а некоторые корни в действительных числах существуют не при всех значениях переменной.

9–10 правильных ответов — можно переходить к показательным уравнениям.
7–8 — повторите только задания, где были ошибки.
5–6 — повторите уроки 3–5.
0–4 — сначала повторите определение и свойства степени из уроков 1–2, затем снова выполните практику.

Видео по теме

Используйте видео как итоговое закрепление. При каждом преобразовании старайтесь заранее определить следующий шаг.

Основное видео Rutube: повторение определения, свойств рациональной степени и преобразования выражений.

Открыть видео на Rutube

Презентация для повторения

В презентации есть блок по преобразованию выражений с радикалами и степенями с дробным показателем, а также самостоятельные задания.

Что повторить

определение рациональной степени;
основные свойства;
отрицательный показатель;
преобразование выражений;
самостоятельные задания.

Открыть презентацию онлайн

Дополнительная тренировка

Для закрепления темы можно использовать федеральный цифровой урок по преобразованию выражений, содержащих рациональные степени.

Электронный материал для 11 класса

закрепление темы;
диагностические задания;
динамические учебные материалы;
самостоятельная работа;
проверка понимания.

Открыть электронный урок

Вопросы для самопроверки

Ответьте без подсказки. Затем раскройте готовое объяснение.

01 Какое действие выполняется с показателями при умножении одинаковых оснований?

Ответ: показатели складываются.

02 Что происходит с показателями при возведении степени в степень?

Ответ: показатели перемножаются.

03 Что означает отрицательный показатель?

Ответ: переход к обратной величине: a^−r=1/a^r.

04 Зачем искать общее основание?

Ответ: чтобы заменить разные внешне степени степенями одного основания и использовать правила сложения или вычитания показателей.

05 Можно ли складывать показатели в выражении a^r+a^s?

Ответ: нет. Правило a^r+s относится к произведению a^r·a^s, а не к сумме.

06 Почему преобразование лучше выполнять поэтапно?

Ответ: так легче контролировать каждое использованное свойство, правильно выполнять действия с дробями и находить возможную ошибку.

07 Что следует проверить перед окончанием решения?

Ответ: допустимость исходного выражения, правильность действий с показателями и возможность дальнейшего упрощения результата.

Главное по уроку

При преобразовании выражений с рациональными степенями сначала анализируют структуру выражения, а затем выбирают подходящее свойство.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

Если показатели одинаковы, иногда удобно объединить произведение: a^rb^r=(ab)^r .

Отрицательный показатель означает переход к обратному выражению.

Для числовых выражений полезно искать общее основание. Например, 16, 8 и 32 являются степенями числа 2, а 9, 27, 81 и 243 — степенями числа 3.

Сложные преобразования нужно выполнять поэтапно и проверять каждое действие.

При рациональных показателях нельзя забывать об области допустимых значений.

На этом трёхурочный блок преобразований завершён. Следующий урок — урок 6 «Показательные уравнения и неравенства». Там свойства степеней будут использоваться уже для решения уравнений, в которых неизвестная находится в показателе степени.

06 Урок 6 Показательные уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 6. Показательные уравнения и неравенства

На предыдущих уроках вы изучили рациональные степени и научились преобразовывать выражения со степенями. Теперь переходим к новой задаче: неизвестное число будет находиться не в основании, а в показателе степени. Такие уравнения называются показательными. На этом уроке подробно разберём самый важный базовый способ решения — приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

40 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете отличать показательные уравнения от других уравнений и решать простейшие показательные уравнения методом уравнивания показателей.

01

Узнаете новый вид уравнений

Разберётесь, какое уравнение называют показательным и где в нём располагается неизвестная.

02

Освоите основной принцип

Если степени с одинаковым допустимым основанием равны, равны и их показатели.

03

Научитесь приводить основания

Будете представлять 4, 8, 16, 27, 81, 1/2, 1/4 и другие числа как степени одного основания.

Не спешите: на этом уроке мы рассматриваем прежде всего простейший тип показательных уравнений. Методы вынесения общего множителя, замены переменной и более сложные конструкции будут изучаться далее.

Сначала вспомним: что называется уравнением

Уравнение

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, обычно обозначаемое буквой x. Решить уравнение означает найти все значения неизвестного, при которых равенство становится верным.

Например:

2x + 3 = 11

Здесь неизвестное x входит в обычное алгебраическое выражение. Решением является x=4, потому что 2·4+3=11.

Теперь сравните:

2^x = 8

Здесь неизвестное находится уже в показателе степени. Это уравнение относится к новому типу.

Что такое показательное уравнение

Показательное уравнение

Показательным называется уравнение, в котором неизвестная величина входит в показатель степени при постоянном положительном основании, отличном от 1.

Примеры показательных уравнений:

2^x = 16 3^2x−1 = 27 5^x+2 = 5^3x−4

Во всех трёх случаях неизвестное x расположено в показателе степени.

А уравнение x²=16 не является показательным: неизвестное здесь находится в основании степени, а показатель 2 постоянен.

Не путайте: x³=8 — степенное уравнение, а 3^x=9 — показательное уравнение.

Главное свойство для решения

Пусть a>0 и a≠1. Тогда двум различным показателям не может соответствовать одно и то же значение степени.

a^u = a^v ⇔ u = v

Например:

2^x = 2⁵

2^x = 2⁴ .

3

Уравняем показатели

x = 4 .

Ответ: 4.

Пример 2. Решите 3^2x−1=27

Основания сначала различаются внешне.

1

Преобразуем правую часть

27=3³ .

2

Уравняем показатели

2x−1=3 .

3

Решим линейное уравнение

2x=4, поэтому x=2 .

Ответ: 2.

Пример 3. Решите 5^3x−2=5^x+4

Основания уже одинаковы.

1

Сразу уравняем показатели

3x−2=x+4 .

2

Перенесём неизвестные в одну сторону

3x−x=4+2.

2x=6 .

3

Ответ

x=3 .

Пример 4. Решите 4^x+1=8^2x−1

Основания 4 и 8 различны, но оба являются степенями двойки.

1

Представим основания через 2

4=2² , 8=2³ .

2

Используем степень степени

(2²)^x+1 = (2³)^2x−1 .

То есть:

2^2x+2 = 2^6x−3 .

3

Уравняем показатели

2x+2=6x−3 .

5=4x.

x=5/4 .

Пример 5. Решите (1/3)^2x−1=27

Удобно привести обе части к основанию 3.

1

Перепишем основания

1/3 = 3⁻¹ , 27 = 3³ .

2

Возведём степень в степень

(3⁻¹)^2x−1 = 3^−2x+1 .

3

Уравняем показатели

−2x+1=3 .

−2x=2.

x=−1 .

Пример 6. Решите 7^2x+3=1

Число 1 можно представить как нулевую степень любого ненулевого числа.

1

Представим единицу

1=7⁰ .

2

Уравняем показатели

2x+3=0 .

3

Решим

x=−3/2 .

Важное свойство: показательная степень всегда положительна

Если a>0, то для любого действительного x:

a^x > 0

Значит, уравнения 2^x=0 или 3^x=−5 не имеют действительных решений.

Причина проста: левая часть всегда положительна, а справа стоит ноль или отрицательное число.

Полезная быстрая проверка: если в уравнении вида a^f(x)=b правая часть b≤0, действительных решений нет.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Уравнивать показатели при разных основаниях

Из 2^x=4³ нельзя сразу записывать x=3. Сначала 4 нужно представить как 2².

Ошибка 2. Забыть степень степени

(2²)^x=2^2x, а не 2^x+2.

Ошибка 3. Неверно представить дробное основание

1/2=2⁻¹, поэтому (1/2)^x=2^−x.

Ошибка 4. Считать 1 равной a¹

Для любого ненулевого a число 1 равно a⁰, а не a¹.

Ошибка 5. Искать решение при отрицательной правой части

Положительная степень положительного основания не может равняться отрицательному числу.

Ошибка 6. Остановиться после уравнивания показателей

Уравнение 3x−2=x+4 ещё нужно решить. Уравнивание показателей — только переход к обычному уравнению.

Практические задания

Сначала попытайтесь решить самостоятельно. Решение открывайте только после записи собственного ответа.

Задание 1. Простейшие уравнения

2^x=32;
3^x=81;
5^x=1/25;
10^x=1.

Открыть решение

32=2⁵, поэтому x=5.
81=3⁴, поэтому x=4.
1/25=5⁻², поэтому x=−2.
1=10⁰, поэтому x=0.

Задание 2. Уравняйте показатели

2^3x−1=2⁸;
7^2x+3=7^x−1;
5^4−x=5^2x+1.

Открыть решение

3x−1=8.
3x=9.
x=3.
2x+3=x−1.
x=−4.
4−x=2x+1.
3=3x.
x=1.

Задание 3. Приведите к одному основанию

4^x=8;
9^x=27;
8^x+1=4^2x.

Открыть подробное решение

4=2², 8=2³.
2^2x=2³.
2x=3.
x=3/2.
9=3², 27=3³.
3^2x=3³.
x=3/2.
8=2³, 4=2².
2^3x+3=2^4x.
3x+3=4x.
x=3.

Задание 4. Дробные основания

(1/2)^x=8;
(1/3)^2x=27;
(1/4)^x−1=8.

Открыть подробное решение

(1/2)^x=2^−x, а 8=2³.
−x=3.
x=−3.
(1/3)^2x=3^−2x.
27=3³.
−2x=3.
x=−3/2.
1/4=2⁻².
(2⁻²)^x−1=2³.
−2(x−1)=3.
−2x+2=3.
x=−1/2.

Задание 5. Есть ли решения?

Определите, не выполняя долгих преобразований:

2^x=−8;
5^x+1=0;
3^2x−4=1.

Открыть объяснение

Решений нет, потому что 2^x>0.
Решений нет, потому что 5^x+1>0.
1=3⁰, поэтому 2x−4=0.
x=2.

Небольшая самостоятельная работа

Решите без подсказок. За каждый полностью правильный ответ начислите один балл.

Проверка понимания

Какое уравнение называется показательным?
Решите 2^x=64.
Решите 3^x−1=27.
Решите 5^2x+1=5⁷.
Решите 4^x=2⁶.
Решите 8^x=4^x+1.
Решите (1/2)^x+2=16.
Имеет ли решение уравнение 7^x=−1?

Открыть ответы и критерии

Уравнение, в котором неизвестная входит в показатель степени при постоянном основании.
64=2⁶, поэтому x=6.
27=3³.
x−1=3.
x=4.
2x+1=7.
2x=6.
x=3.
4=2².
2^2x=2⁶.
2x=6.
x=3.
8=2³, 4=2².
3x=2x+2.
x=2.
1/2=2⁻¹, 16=2⁴.
−(x+2)=4.
x=−6.
Нет, потому что 7^x>0 при любом действительном x.

8 баллов — материал усвоен уверенно.
6–7 баллов — повторите задания с разными основаниями.
4–5 баллов — ещё раз разберите алгоритм и примеры 2–5.
0–3 балла — повторите свойства степеней и начните урок заново с определения показательного уравнения.

Видео по теме урока

Основное видео специально посвящено уравнениям вида a^x=a^y и содержит алгоритм приведения обеих частей к одинаковому основанию.

Основное видео Rutube — алгоритм решения показательных уравнений методом приведения к одинаковому основанию.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация для 11 класса содержит определение показательного уравнения, примеры и различные способы решения. На этом этапе используйте прежде всего задания на приведение к одному основанию.

На что обратить внимание

определение показательного уравнения;
уравнения вида a^x=b;
метод уравнивания показателей;
приведение оснований;
проверка решения.

Открыть презентацию онлайн

Интерактивная тренировка

После основной практики можно выполнить электронное упражнение, где повторяются показательные уравнения и связанные с ними задания.

Как работать

определите, является ли уравнение показательным;
поищите одинаковое основание;
уравняйте показатели;
решите полученное уравнение;
объясните каждую допущенную ошибку.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте своими словами, затем откройте готовый ответ.

01 Какое уравнение называют показательным?

Ответ: уравнение, в котором неизвестная входит в показатель степени при постоянном основании.

02 Почему из a^u=a^v можно перейти к u=v?

Ответ: при a>0 и a≠1 разные показатели дают разные значения степени, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием означает равенство показателей.

03 Как решить уравнение 2^x=8?

Ответ: 8=2³, поэтому 2^x=2³ и x=3.

04 Как представить 1/8 в виде степени двойки?

Ответ: 1/8=2⁻³.

05 Имеет ли решение уравнение 5^x=0?

Ответ: нет. Значение 5^x положительно при любом действительном x.

06 Чему равен показатель, если a^x=1?

Ответ: при a>0 и a≠1 получаем a^x=a⁰, поэтому x=0.

07 Что делать, если основания 4 и 8?

Ответ: представить их степенями одного основания: 4=2², 8=2³.

Главное по уроку

Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в показатель степени.

Главный базовый метод решения состоит в приведении обеих частей уравнения к одинаковому основанию.

При a>0 и a≠1: a^f(x)=a^g(x) равносильно f(x)=g(x) .

Для приведения оснований полезно помнить степени чисел 2, 3 и 5.

Дробные числа также можно записывать степенями с отрицательными показателями: 1/2=2⁻¹ .

Число 1 удобно представлять как нулевую степень: 1=a⁰ .

Показательная степень положительного основания всегда положительна, поэтому уравнение вида a^f(x)=b не имеет действительных решений при b≤0.

На следующих уроках мы продолжим тему «Показательные уравнения и неравенства» и перейдём к уравнениям, которые нельзя решить одним непосредственным уравниванием показателей.

07 Урок 7 Показательные уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 7. Показательные уравнения и неравенства

На прошлом уроке вы научились решать простейшие показательные уравнения, приводя обе части к одинаковому основанию. Но не каждое уравнение сразу имеет вид a^f(x)=a^g(x). Часто в одной части находится сумма или разность нескольких степеней. В таких случаях нужно сначала преобразовать выражение. Сегодня разберём один из важнейших способов — вынесение общего степенного множителя за скобки.

40 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете распознавать общий степенной множитель и преобразовывать показательное уравнение к простейшему виду.

01

Повторите вынесение множителя

Вспомните знакомый из алгебры приём вынесения общего множителя за скобки.

02

Научитесь видеть общий степенной множитель

Например, в выражениях 2^x и 2^x+2 можно выделить общий множитель 2^x.

03

Будете решать новые уравнения

После вынесения множителя уравнение часто сводится к уже знакомому простейшему показательному уравнению.

Сначала вспомним обычное вынесение общего множителя

Рассмотрим обычное алгебраическое выражение:

3x + 6x

В обоих слагаемых присутствует множитель 3x. Его можно вынести за скобки:

3x + 6x = 3x(1+2) = 9x

Вынесение общего множителя за скобки

Это преобразование суммы или разности, при котором одинаковый множитель, входящий во все слагаемые, записывают перед скобками, а внутри скобок оставляют результаты деления каждого слагаемого на этот множитель.

Как найти общий множитель в степенях

Рассмотрим выражение 2^x+2^x+2. На первый взгляд степени различны, но вторую можно преобразовать.

2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x

Поэтому:

2^x+2^x+2 = 2^x+4·2^x = 2^x(1+4) = 5·2^x

Главный приём: если показатели отличаются на постоянное число, используйте свойство a^x+k=a^x·a^k . Так появляется общий множитель a^x.

Если показатель меньше на несколько единиц

Например:

3^x + 3^x−1

В данном случае удобнее вынести меньшую степень:

3^x = 3·3^x−1

Тогда:

3^x+3^x−1 = 3^x−1(3+1) = 4·3^x−1

Обычно удобно выносить степень с меньшим показателем. Тогда после деления остальных слагаемых на неё не появляются отрицательные показатели.

Алгоритм решения

1

Приведите степени к одному основанию

Если основания различаются, но являются степенями одного числа, сначала преобразуйте их.

2

Найдите наименьшую степень

Определите общий степенной множитель, который содержится во всех слагаемых.

3

Вынесите его за скобки

Используйте свойства степеней, чтобы правильно определить выражение внутри скобок.

4

Упростите числовой коэффициент

После вынесения степенной части внутри скобок обычно остаются обычные числа.

5

Получите простейшее показательное уравнение

Далее решайте его методом приведения к одинаковому основанию.

Подробно разобранные примеры

Не пытайтесь сразу найти x. Сначала преобразуйте левую часть в произведение.

Пример 1. Решите 2^x+2^x+1=24

Второе слагаемое отличается от первого только показателем.

1

Преобразуем вторую степень

2^x+1 = 2·2^x .

2

Вынесем общий множитель

2^x+2·2^x = 2^x(1+2) .

Получаем: 3·2^x=24 .

3

Разделим обе части на 3

2^x=8 .

4

Решим простейшее показательное уравнение

8=2³, поэтому x=3 .

Ответ: 3.

Пример 2. Решите 5^x+1+5^x=150

Общий множитель — 5^x.

1

Преобразуем первую степень

5^x+1 = 5·5^x .

2

Вынесем 5ˣ

5^x(5+1)=150 .

То есть: 6·5^x=150 .

3

Получим простейшее уравнение

5^x=25 .

25=5², следовательно: x=2 .

Пример 3. Решите 3^x+2−2·3^x+1=27

Общий множитель — 3^x+1.

1

Представим первую степень

3^x+2 = 3·3^x+1 .

2

Вынесем общий множитель

3^x+1(3−2)=27 .

3

Упростим

Так как 3−2=1:

3^x+1=27 .

4

Уравняем показатели

27=3³, поэтому:

x+1=3 .

x=2 .

Пример 4. Решите 2^x+2−5·2^x=−4

Здесь удобно вынести 2^x.

1

Преобразуем 2^x+2

2^x+2 = 4·2^x .

2

Вынесем общий множитель

2^x(4−5)=−4 .

3

Упростим

−2^x=−4 .

Умножаем обе части на −1:

2^x=4 .

4

Ответ

4=2², значит: x=2 .

Пример 5. Решите 3^x+3^x−1=36

Здесь выгоднее вынести степень с меньшим показателем — 3^x−1.

1

Преобразуем первую степень

3^x = 3·3^x−1 .

2

Вынесем общий множитель

3^x−1(3+1)=36 .

4·3^x−1=36 .

3

Разделим на 4

3^x−1=9 .

4

Уравняем показатели

9=3².

x−1=2 .

x=3 .

Пример 6. Решите 4^x+2·4^x−1=24

Показатели отличаются на единицу.

1

Выберем меньшую степень

Общий множитель: 4^x−1 .

2

Преобразуем 4ˣ

4^x = 4·4^x−1 .

3

Вынесем множитель

4^x−1(4+2)=24 .

6·4^x−1=24 .

4

Решим

4^x−1=4 .

4=4¹, значит:

x−1=1 .

x=2 .

Что может получиться после вынесения множителя

Не всегда после преобразования получается обычное уравнение с одним корнем.

Случай 1. Получено невозможное равенство

Если после преобразований получится: 2^x=−3 , то решений нет, поскольку 2^x>0.

Случай 2. Получено тождество

Например:

4·2^x−1−2^x+1=0

Но:

4·2^x−1 = 2^x+1

Левая часть равна нулю при любом действительном x. Поэтому решением является любое действительное число.

Нельзя автоматически ожидать единственный корень. После каждого преобразования анализируйте полученное равенство.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неправильно раскрыть показатель

a^x+2=a^x·a², а не a^x+a².

Ошибка 2. Неверно вынести множитель

После вынесения каждое исходное слагаемое нужно разделить на вынесенный множитель.

Ошибка 3. Вынести слишком большую степень

Чаще удобнее выносить степень с меньшим показателем, чтобы внутри скобок не появились отрицательные показатели.

Ошибка 4. Уравнять показатели слишком рано

В уравнении 2^x+2^x+1=24 показатели приравнивать ещё не к чему. Сначала нужна факторизация.

Ошибка 5. Потерять коэффициент

После 2^x(1+2)=24 обязательно получаем 3·2^x=24, а не 2^x=24.

Ошибка 6. Не проверить знак правой части

Если после преобразований положительная степень должна равняться отрицательному числу или нулю, решений нет.

Практические задания

В каждом задании сначала определите, какую степень удобнее вынести за скобки.

Задание 1. Вынесите общий множитель

2^x+2^x+3;
3^x+1+3^x;
5^x−5^x−1.

Открыть решение

2^x(1+8)=9·2^x.
3^x(3+1)=4·3^x.
5^x−1(5−1)=4·5^x−1.

Задание 2. Решите

2^x+2^x+2=20;
3^x+1+3^x=108;
5^x+1−4·5^x=125.

Открыть подробное решение

2^x(1+4)=20.
5·2^x=20.
2^x=4.
x=2.
3^x(3+1)=108.
4·3^x=108.
3^x=27.
x=3.
5^x(5−4)=125.
5^x=125=5³.
x=3.

Задание 3. Показатель меньше на единицу

2^x+2^x−1=12;
4^x−2·4^x−1=8;
3^x+6·3^x−1=81.

Открыть решение

Выносим 2^x−1:
2^x−1(2+1)=12.
3·2^x−1=12.
2^x−1=4=2².
x−1=2.
x=3.
Выносим 4^x−1:
4^x−1(4−2)=8.
2·4^x−1=8.
4^x−1=4.
x=2.
Выносим 3^x−1:
3^x−1(3+6)=81.
9·3^x−1=81.
3^x−1=9=3².
x=3.

Задание 4. Определите количество решений

2^x+2^x+1=−3;
5^x+1−5·5^x=0;
3^x+2·3^x=81.

Открыть объяснение

3·2^x=−3.
2^x=−1 — невозможно.
Решений нет.
5·5^x−5·5^x=0.
Получаем 0=0.
Подходит любое действительное x.
3·3^x=81.
3^x=27.
x=3.

Задание 5. Найдите ошибку

Обучающийся решает:

2^x+2^x+1=12 ⇒ 2^2x+1=12

Объясните ошибку.

Открыть объяснение

Свойство сложения показателей применяется только при умножении степеней: a^m·aⁿ=a^m+n.

Исходное выражение содержит сумму, поэтому степени нужно не объединять, а вынести общий множитель:

2^x(1+2)=12.

3·2^x=12.

2^x=4.

x=2.

Самостоятельная работа

Выполните все задания без подсказки. За каждый правильный ответ — 1 балл.

Проверка понимания

Что называется общим множителем?
Представьте 2^x+3 через 2^x.
Представьте 3^x через 3^x−1.
Решите 2^x+2^x+1=48.
Решите 3^x+1−2·3^x=27.
Решите 5^x+5^x−1=30.
Имеет ли решение 4^x+4^x+1=−5?
Что означает результат 0=0 после преобразования уравнения?

Открыть ответы и критерии

Множитель, который входит в каждое слагаемое рассматриваемой суммы или разности.
2^x+3=8·2^x.
3^x=3·3^x−1.
2^x(1+2)=48.
3·2^x=48.
2^x=16.
x=4.
3^x(3−2)=27.
3^x=27.
x=3.
Выносим 5^x−1:
5^x−1(5+1)=30.
6·5^x−1=30.
5^x−1=5.
x=2.
Нет, поскольку левая часть всегда положительна.
Если все преобразования были равносильными и исходное выражение определено, равенство выполняется при всех допустимых x.

8 баллов — метод освоен уверенно.
6–7 баллов — повторите задания, где ошиблись.
4–5 баллов — ещё раз разберите алгоритм и примеры 1–5.
0–3 балла — повторите свойства степеней и урок 6.

Видео по теме урока

Основное видео посвящено именно решению показательных уравнений методом вынесения общего множителя за скобки.

Основное видео Rutube. Разбирается метод разложения левой части показательного уравнения на множители и вынесения общей степени за скобки.

Открыть видео на Rutube

Презентация

В презентации для 11 класса среди методов решения показательных уравнений отдельно рассматривается вынесение общего множителя за скобки.

При просмотре повторите

простейшие показательные уравнения;
равенство степеней;
вынесение общего множителя;
переход к простейшему уравнению;
другие методы, которые будут изучаться далее.

Открыть презентацию онлайн

Интерактивная тренировка

После основной практики выполните дополнительные задания на показательные уравнения.

Порядок работы

определите вид уравнения;
проверьте возможность вынесения общего множителя;
преобразуйте степени;
получите простейшее уравнение;
сравните свой ответ с результатом.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно.

01 Что означает вынести общий множитель за скобки?

Ответ: выделить множитель, общий для всех слагаемых, записать его перед скобками, а внутри скобок оставить результаты деления каждого слагаемого на этот множитель.

02 Как представить a^x+3 через a^x?

Ответ: a^x+3=a^x·a³.

03 Почему удобно выносить степень с меньшим показателем?

Ответ: после деления остальных степеней на неё внутри скобок обычно остаются положительные целые степени основания, что делает вычисления проще.

04 Можно ли из 2^x+2^x+1 сразу получить 2^2x+1?

Ответ: нет. Свойство сложения показателей действует при умножении степеней, а не при сложении.

05 Что делать после вынесения общего множителя?

Ответ: упростить выражение в скобках, получить простейшее показательное уравнение и решить его уже известным способом.

06 Что означает результат a^x=−2 при a>0?

Ответ: действительных решений нет, потому что положительное основание в действительной степени всегда даёт положительное значение.

Главное по уроку

Если показательное уравнение содержит сумму или разность степеней с близкими показателями, полезно искать общий степенной множитель.

Используйте свойство: a^x+k = a^x·a^k .

Обычно удобнее выносить за скобки степень с меньшим показателем.

После вынесения общего множителя внутри скобок часто остаётся обычное числовое выражение.

Затем уравнение сводится к простейшему виду: a^f(x)=b .

Если b≤0, а a>0, такое простейшее показательное уравнение действительных решений не имеет.

Если после преобразований получается тождество 0=0, уравнение может выполняться для всех допустимых значений переменной.

Следующий урок продолжит тему «Показательные уравнения и неравенства». Мы перейдём к ещё одному важному методу решения более сложных показательных уравнений.

08 Урок 8 Показательные уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 8. Показательные уравнения и неравенства

Мы продолжаем изучать способы решения показательных уравнений. На прошлом уроке вы научились выносить общий степенной множитель за скобки. Однако существуют уравнения, в которых одновременно встречаются, например, 2^x и 4^x. После приведения к одному основанию получается выражение, похожее на квадратное уравнение. В таких случаях удобно временно заменить степенное выражение новой переменной.

40 минут основной работы

Что вы изучите

После урока вы сможете узнавать показательные уравнения, которые сводятся к квадратным, вводить новую переменную и правильно возвращаться от неё к исходной переменной x.

01

Увидите структуру квадратного уравнения

Научитесь замечать связь между a^2x и (a^x)².

02

Освоите замену переменной

Будете обозначать степенное выражение новой буквой, например t=a^x.

03

Научитесь учитывать t>0

Отрицательные и нулевые значения новой переменной нужно проверять, потому что a^x всегда положительно при a>0.

Вспомним квадратное уравнение

Метод замены переменной опирается на материал основной школы, поэтому сначала восстановим его.

Квадратное уравнение

Квадратным называется уравнение вида at²+bt+c=0, где a≠0. Его можно решать разложением на множители, по теореме Виета или с помощью дискриминанта.

Например:

t²−5t+4=0

Левую часть можно разложить на множители:

(t−1)(t−4)=0

Следовательно:

t=1 или t=4

Именно такие квадратные уравнения будут появляться после замены степенного выражения новой переменной.

Почему показательное уравнение может стать квадратным

Рассмотрим выражения:

2^x и 4^x

Число 4 равно 2², поэтому:

4^x = (2²)^x = 2^2x = (2^x)²

Если обозначить t=2^x, то автоматически:

4^x=t²

Таким образом, уравнение, содержащее 4^x и 2^x, может превратиться в обычное квадратное уравнение относительно t.

Что такое метод замены переменной

Метод замены переменной

Метод замены переменной — это способ решения уравнения, при котором повторяющееся или сложное выражение временно обозначают новой переменной. После решения более простого уравнения выполняют обратную замену и находят исходную переменную.

Например:

4^x−5·2^x+4=0

Так как 4^x=(2^x)², вводим:

t=2^x

Тогда исходное уравнение превращается в:

t²−5t+4=0

Обязательное условие: если t=a^x, где a>0, то t>0. Это ограничение нельзя забывать при выборе корней квадратного уравнения.

Алгоритм метода замены переменной

1

Приведите степени к одному основанию

Например, замените 4^x на 2^2x, а 9^x — на 3^2x.

2

Найдите повторяющееся выражение

Обычно это a^x, а выражение a^2x тогда является его квадратом.

3

Введите новую переменную

Запишите t=a^x и обязательно укажите t>0.

4

Решите полученное алгебраическое уравнение

Чаще всего получается квадратное уравнение относительно t.

5

Отберите допустимые значения t

Если t=a^x, оставляем только положительные значения t.

6

Выполните обратную замену

Для каждого оставшегося значения t решите простейшее показательное уравнение a^x=t.

Подробно разобранные примеры

В каждом примере особенно внимательно следите за двумя моментами: что именно заменяется новой переменной и какие значения t допустимы.

Пример 1. Решите 4^x−5·2^x+4=0

Это классический пример уравнения, сводящегося к квадратному.

1

Преобразуем 4ˣ

4^x = (2^x)² .

2

Введём новую переменную

Пусть t=2^x .

Так как 2^x>0: t>0.

3

Получим квадратное уравнение

t²−5t+4=0 .

(t−1)(t−4)=0 .

Поэтому: t₁=1 , t₂=4 .

4

Выполним обратную замену

Первый случай: 2^x=1=2⁰ , поэтому x=0.

Второй случай: 2^x=4=2² , поэтому x=2.

Ответ: 0; 2.

Пример 2. Решите 9^x−10·3^x+9=0

Здесь повторяющимся выражением является 3^x.

1

Преобразуем 9ˣ

9^x = (3²)^x = (3^x)² .

2

Введём замену

t=3^x, t>0 .

3

Решим квадратное уравнение

t²−10t+9=0 .

Корни: t₁=1 , t₂=9 .

4

Вернёмся к x

3^x=1 ⇒ x=0.

3^x=9 ⇒ x=2.

Ответ: 0; 2.

Пример 3. Решите 2^2x+1−5·2^x+2=0

Перед заменой нужно немного преобразовать первую степень.

1

Преобразуем первую степень

2^2x+1 = 2·2^2x = 2(2^x)² .

2

Вводим t=2ˣ

t>0 .

Получаем: 2t²−5t+2=0 .

3

Решим квадратное уравнение

D=25−16=9.

t₁=2 , t₂=1/2 .

Оба значения положительны.

4

Обратная замена

2^x=2 ⇒ x=1.

2^x=1/2=2⁻¹ ⇒ x=−1.

Ответ: −1; 1.

Пример 4. Решите 3^2x−2·3^x−3=0

Этот пример показывает, зачем учитывать условие t>0.

1

Вводим замену

Пусть t=3^x, t>0 .

Тогда: 3^2x=t² .

2

Решим квадратное уравнение

t²−2t−3=0 .

(t−3)(t+1)=0 .

Получаем t=3 или t=−1.

3

Отберём допустимый корень

По условию t>0.

Поэтому значение t=−1 не подходит.

Остаётся: t=3 .

4

Вернёмся к x

3^x=3 .

Следовательно: x=1 .

Ответ: 1.

Пример 5. Решите 4^x+2^x=6

Даже уравнение без свободного нуля справа можно сначала перенести в стандартный вид.

1

Выразим 4ˣ через 2ˣ

4^x=(2^x)² .

2

Введём t=2ˣ

Получаем: t²+t=6 .

Перенесём 6: t²+t−6=0 .

3

Найдём корни

(t−2)(t+3)=0 .

t=2 или t=−3.

Так как t>0, остаётся только t=2.

4

Ответ

2^x=2.

x=1 .

Пример 6. Решите 25^x−6·5^x+5=0

Основания 25 и 5 связаны между собой.

1

Представим 25ˣ

25^x = (5^x)² .

2

Введём новую переменную

t=5^x, t>0 .

Получаем: t²−6t+5=0 .

3

Решим

(t−1)(t−5)=0 .

t=1 или t=5.

4

Выполним обратную замену

5^x=1 ⇒ x=0.

5^x=5 ⇒ x=1.

Ответ: 0; 1.

Почему новая переменная обязательно положительна

Если мы записали:

t=a^x

при a>0, то для любого действительного x значение a^x положительно.

Следовательно:

t>0

Поэтому если после решения квадратного уравнения получены, например:

t₁=4 t₂=−2

значение −2 нужно сразу исключить. Оно не может быть равно a^x.

Очень распространённая ошибка: решить квадратное уравнение и автоматически выполнять обратную замену для всех его корней. Сначала всегда проверьте условие t>0.

Как понять, что нужна замена переменной

A

Есть aˣ и a²ˣ

Например, 2^x и 2^2x. Тогда 2^2x=(2^x)².

B

Есть aˣ и (a²)ˣ

Например, 3^x и 9^x. Тогда 9^x=(3^x)².

C

После замены получается квадратное уравнение

Структура должна напоминать At²+Bt+C=0.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неверная связь степеней

2^2x=(2^x)². Это не равно 2·2^x.

Ошибка 2. Забыть условие t>0

Если t=a^x, отрицательный корень уравнения относительно t не может использоваться в обратной замене.

Ошибка 3. Считать решение по t окончательным

Значения t — промежуточные. После них необходимо найти исходную переменную x.

Ошибка 4. Сделать разные замены

Не нужно отдельно обозначать 2^x и 4^x. Если t=2^x, то 4^x=t².

Ошибка 5. Ошибка в квадратном уравнении

После правильной замены можно потерять ответ из-за обычной арифметической ошибки. Проверяйте дискриминант или разложение на множители.

Ошибка 6. Не привести основания

Перед заменой желательно увидеть одно базовое основание: 4=2², 9=3², 25=5².

Практические задания

Во всех заданиях обязательно записывайте саму замену и условие на новую переменную.

Задание 1. Выполните замену

Не решая уравнение полностью, укажите подходящую замену:

4^x−7·2^x+10=0;
9^x−4·3^x+3=0;
25^x+2·5^x−3=0.

Открыть ответ

t=2^x, t>0; 4^x=t².
t=3^x, t>0; 9^x=t².
t=5^x, t>0; 25^x=t².

Задание 2. Решите

4^x−3·2^x+2=0;
9^x−4·3^x+3=0;
25^x−6·5^x+5=0.

Открыть подробное решение

t=2^x>0.
t²−3t+2=0.
t=1 или t=2.
2^x=1 ⇒ x=0.
2^x=2 ⇒ x=1.
Ответ: 0; 1.
t=3^x>0.
t²−4t+3=0.
t=1 или t=3.
Ответ: x=0; x=1.
t=5^x>0.
t²−6t+5=0.
t=1 или t=5.
Ответ: x=0; x=1.

Задание 3. Отберите допустимый корень

4^x−2^x−2=0;
9^x−2·3^x−3=0;
25^x−4·5^x−5=0.

Открыть решение

t=2^x>0.
t²−t−2=0.
t=2 или t=−1.
−1 не подходит.
2^x=2 ⇒ x=1.
t=3^x>0.
t²−2t−3=0.
t=3 или t=−1.
Ответ: x=1.
t=5^x>0.
t²−4t−5=0.
t=5 или t=−1.
Ответ: x=1.

Задание 4. Более сложный коэффициент

Решите:

2·4^x−5·2^x+2=0

Открыть подробное решение

Пусть t=2^x, t>0.

Так как 4^x=t²:

2t²−5t+2=0.

D=25−16=9.

t₁=2, t₂=1/2.

2^x=2 ⇒ x=1.

2^x=1/2 ⇒ x=−1.

Ответ: −1; 1.

Задание 5. Найдите ошибку

Обучающийся решает:

3^2x−2·3^x−3=0

После замены t=3^x он получил t=3 и t=−1, а затем начал решать оба уравнения: 3^x=3 и 3^x=−1.

В чём ошибка?

Открыть объяснение

При замене t=3^x необходимо сразу записать условие t>0.

Поэтому t=−1 не является допустимым значением новой переменной.

Остаётся только t=3:

3^x=3 ⇒ x=1.

Самостоятельная работа

Решите без подсказок. За каждый полностью правильный пункт начислите 1 балл.

Проверка понимания

Что называют методом замены переменной?
Почему при t=2^x обязательно t>0?
Чему равно 4^x, если t=2^x?
Решите 4^x−5·2^x+4=0.
Решите 9^x−10·3^x+9=0.
Решите 4^x+2^x−6=0.
Решите 3^2x−2·3^x−3=0.
Почему значение t=−5 нельзя использовать, если t=5^x?

Открыть ответы и критерии

Способ, при котором сложное повторяющееся выражение обозначают новой переменной, решают более простое уравнение, а затем выполняют обратную замену.
Потому что 2^x>0 при любом действительном x.
4^x=(2^x)²=t².
t=2^x.
t²−5t+4=0.
t=1 или 4.
x=0 или 2.
t=3^x.
t²−10t+9=0.
t=1 или 9.
x=0 или 2.
t=2^x.
t²+t−6=0.
t=2 или −3.
Остаётся t=2.
x=1.
t=3^x.
t²−2t−3=0.
t=3 или −1.
Остаётся t=3.
x=1.
Потому что 5^x всегда положительно.

8 баллов — метод замены переменной освоен уверенно.
6–7 баллов — повторите задания с отбором корней t.
4–5 баллов — ещё раз разберите алгоритм и примеры 1–4.
0–3 балла — повторите квадратные уравнения и свойства степеней, затем вернитесь к началу урока.

Видео по теме урока

Основное видео рассматривает несколько методов решения показательных уравнений; блок метода замены начинается примерно с отметки 7:12. Дополнительное видео целиком посвящено показательным уравнениям с заменой переменной.

Основное видео Rutube. В уроке последовательно рассматриваются методы решения показательных уравнений, включая метод замены переменной.

Открыть видео на Rutube

Презентация

В презентации для 11 класса метод введения новой переменной разобран отдельно после метода вынесения общего множителя.

При просмотре обратите внимание

выбор выражения для замены;
переход от показательного к квадратному уравнению;
условие на новую переменную;
решение квадратного уравнения;
обратную замену.

Открыть презентацию онлайн

Интерактивная тренировка

Интерактивное упражнение посвящено непосредственно решению показательного уравнения методом введения новой переменной.

Как выполнять

определите выражение для замены;
запишите новую переменную;
учтите её допустимые значения;
решите полученное уравнение;
выполните обратную замену.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Ответьте самостоятельно, а затем откройте готовый ответ.

01 Что называется методом замены переменной?

Ответ: это метод, при котором повторяющееся сложное выражение обозначают новой переменной, решают более простое уравнение, а затем возвращаются к исходной переменной.

02 Чему равно 2^2x, если t=2^x?

Ответ: 2^2x=(2^x)²=t².

03 Почему при t=a^x записывают условие t>0?

Ответ: потому что при положительном основании a значение a^x положительно для любого действительного x.

04 Что нужно сделать после решения квадратного уравнения относительно t?

Ответ: отобрать допустимые значения t, а затем для каждого из них выполнить обратную замену и найти x.

05 Можно ли использовать t=−2, если t=3^x?

Ответ: нет, поскольку 3^x>0 при любом действительном x.

06 Какую замену удобно сделать в уравнении 25^x−6·5^x+5=0?

Ответ: t=5^x, t>0. Тогда 25^x=t².

Главное по уроку

Некоторые показательные уравнения после преобразования имеют структуру квадратного уравнения.

Если встречаются a^x и a^2x, можно использовать: a^2x=(a^x)² .

В таких случаях удобно ввести новую переменную: t=a^x .

При положительном основании обязательно: t>0 .

После замены решается обычное алгебраическое, чаще всего квадратное, уравнение относительно t.

Из найденных значений t оставляют только допустимые.

После этого выполняют обратную замену и решают простейшие показательные уравнения относительно x.

Следующий урок продолжит тему «Показательные уравнения и неравенства». Мы расширим набор методов и постепенно перейдём от уравнений к показательным неравенствам.

09 Урок 9 Показательные уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 9. Показательные уравнения и неравенства

На предыдущих уроках мы решали показательные уравнения: сначала приводили обе части к одинаковому основанию, затем учились выносить общий степенной множитель и использовать замену переменной. Теперь переходим к показательным неравенствам. Здесь возникает новое важное правило: после сравнения показателей знак неравенства иногда сохраняется, а иногда меняется на противоположный. Чтобы это правило не пришлось просто запоминать, сначала подробно восстановим свойства обычных неравенств и показательной функции.

40 минут основной работы

Что вы изучите

Главная задача урока — не только научиться выполнять действия по алгоритму, но и понимать, почему этот алгоритм работает.

01

Вспомните обычные неравенства

Повторите знаки >, <, ≥, ≤ и правило изменения знака при умножении или делении на отрицательное число.

02

Разберётесь с монотонностью

Поймёте разницу между возрастающей и убывающей показательной функцией.

03

Научитесь решать неравенства

Будете приводить степени к одному основанию, сравнивать показатели и правильно выбирать знак.

Сначала вспомним: что называется неравенством

Неравенство

Неравенство — это запись, в которой два числа или два выражения сравниваются с помощью знаков >, <, ≥ или ≤.

Например:

7 > 3 2 < 5 x+1 ≥ 4

Если неравенство содержит переменную, решить его означает найти все значения переменной, при которых неравенство является верным.

Например:

x+1 > 4

Вычитаем 1 из обеих частей:

x > 3

Это означает, что решением является не одно число, а целое множество чисел: 4, 5, 10, 100, 3,5 и вообще любое действительное число, большее 3.

Поэтому у неравенства ответ часто записывается в виде промежутка:

x∈(3;+∞)

Очень важное повторение: когда знак неравенства меняется

Это правило вы изучали значительно раньше, но оно постоянно используется в старших классах.

Рассмотрим верное неравенство:

2 < 5

Умножим обе части на положительное число 3:

6 < 15

Знак сохранился.

Теперь умножим исходное неравенство 2<5 на −1:

−2 > −5

Знак изменился на противоположный.

Поэтому при решении обычного неравенства:

−2x > 6

после деления обеих частей на −2 необходимо изменить знак:

x < −3

Запомните: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак > меняется на <, знак < — на >, знак ≥ — на ≤, а знак ≤ — на ≥.

Что называется показательным неравенством

Показательное неравенство

Показательным называется неравенство, в котором переменная входит в показатель степени при постоянном положительном основании.

Например:

2^x > 8 3^2x−1 ≤ 27 (1/2)^x+3 > (1/2)⁵

Во всех этих неравенствах неизвестная x находится в показателе степени.

Сравните:

x² > 4

Это не показательное неравенство, потому что переменная находится в основании степени, а показатель 2 является постоянным числом.

Почему основание степени имеет решающее значение

Чтобы правильно решать показательные неравенства, необходимо восстановить свойства функции y=a^x.

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где основание a является положительным числом и a≠1.

Есть два принципиально разных случая:

основание больше единицы: a>1;
основание находится между нулём и единицей: 0<a<1.

От этого зависит направление изменения функции.

Случай 1. Основание больше единицы: a>1

Возьмём самый знакомый пример — функцию y=2^x.

x	−2	−1	0	1	2	3
2^x	1/4	1/2	1	2	4	8

Посмотрите внимательно на таблицу.

Когда x увеличивается:

−2, −1, 0, 1, 2, 3

значения 2^x тоже увеличиваются:

1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8

Поэтому функция y=2^x является возрастающей.

Возрастающая функция

Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Например:

2 < 5 ⇒ 2² < 2⁵

Действительно:

4 < 32

Направление сравнения сохранилось.

Если a>1, то показательная функция возрастает. Поэтому при переходе от степеней с одинаковым основанием к их показателям знак неравенства сохраняется.

a^u > a^v ⇔ u > v при a>1

Случай 2. Основание находится между 0 и 1

Теперь рассмотрим функцию y=(1/2)^x.

x	−2	−1	0	1	2	3
(1/2)^x	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Теперь происходит обратное.

Когда x увеличивается:

−2, −1, 0, 1, 2, 3

значения функции уменьшаются:

4, 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8

Такая функция называется убывающей.

Убывающая функция

Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели 2 и 5:

2 < 5

Но:

(1/2)² = 1/4 а (1/2)⁵ = 1/32

Следовательно:

(1/2)² > (1/2)⁵

В показателях было 2<5, а после возведения основания 1/2 получили противоположное сравнение.

Если 0<a<1, показательная функция убывает. Поэтому при переходе от степеней с одинаковым основанием к показателям знак неравенства меняется на противоположный.

a^u > a^v ⇔ u < v при 0<a<1

Два главных правила показательных неравенств

a>1

Основание больше единицы

Функция возрастает.

Знак между показателями сохраняется.

a^u>a^v ⇔ u>v.

0<a<1

Основание меньше единицы

Функция убывает.

Знак между показателями меняется.

a^u>a^v ⇔ u<v.

!

Сначала смотрим на основание

Никогда не переходите сразу к показателям, пока не определили, больше основание единицы или находится между 0 и 1.

Алгоритм решения простейшего показательного неравенства

На первых порах полезно буквально проговаривать каждый шаг. Со временем эта последовательность станет привычной.

1

Посмотрите на основания степеней

Если они различны, попробуйте представить их степенями одного числа. Например, 8=2³, 16=2⁴, 27=3³.

2

Получите одинаковое основание

Неравенство должно принять вид a^f(x)>a^g(x), a^f(x)≤a^g(x) и т. п.

3

Определите положение основания относительно единицы

Если a>1 — функция возрастающая. Если 0<a<1 — убывающая.

4

Перейдите к сравнению показателей

При a>1 знак сохраняется. При 0<a<1 знак меняется на противоположный.

5

Решите полученное обычное неравенство

После перехода к показателям часто получается линейное неравенство.

6

Запишите ответ

Укажите условие для x или соответствующий числовой промежуток.

Подробные примеры: основание больше единицы

В этих примерах знак между показателями сохраняется, потому что показательная функция возрастает.

Пример 1. Решите 2^x>8

Сначала не работаем с x. Нужно получить одинаковые основания.

1

Представим 8 как степень двойки

8=2³ .

2

Перепишем неравенство

2^x>2³ .

3

Посмотрим на основание

Основание 2 больше единицы.

Следовательно, функция y=2^x возрастает.

Поэтому знак сохраняется:

x>3 .

4

Запишем ответ

x>3.

В виде промежутка: (3;+∞) .

Пример 2. Решите 3^2x−1≤27

Правая часть также является степенью тройки.

1

Представим 27

27=3³ .

2

Получим одинаковые основания

3^2x−1≤3³ .

3

Сравним показатели

Основание 3>1, поэтому знак ≤ сохраняется:

2x−1≤3 .

4

Решим линейное неравенство

2x≤4.

Делим на положительное число 2, поэтому знак не меняется:

x≤2 .

Ответ: x≤2.

Пример 3. Решите 5^2x−6≥1

Здесь важно вспомнить, как представить число 1.

1

Представим единицу степенью пятёрки

Для любого ненулевого основания:

5⁰=1 .

2

Перепишем

5^2x−6≥5⁰ .

3

Сравним показатели

5>1, поэтому:

2x−6≥0 .

4

Решим

2x≥6.

x≥3 .

Пример 4. Решите 4^x+1>8^x−1

Основания различны. Сразу сравнивать показатели нельзя.

1

Найдём общее основание

4=2², а 8=2³.

2

Перепишем степени

(2²)^x+1 > (2³)^x−1 .

Получаем:

2^2x+2 > 2^3x−3 .

3

Сравним показатели

2>1, поэтому знак сохраняется:

2x+2>3x−3 .

4

Решим линейное неравенство

2+3>3x−2x.

5>x .

То же самое: x<5 .

Ответ: x<5.

Подробные примеры: основание меньше единицы

Здесь особенно важно не действовать автоматически. Каждый раз вслух или мысленно произносите: «Основание между нулём и единицей — функция убывает — знак меняю».

Пример 5. Решите (1/2)^x>(1/2)³

Основания уже одинаковы.

1

Определим тип основания

0<1/2<1 .

Следовательно, функция y=(1/2)^x убывает.

2

Перейдём к показателям

Так как функция убывает, знак меняется:

x<3 .

3

Проверим смысл ответа

Возьмём x=2. Тогда:

(1/2)²=1/4, а (1/2)³=1/8.

Действительно: 1/4>1/8 .

Ответ логичен.

Пример 6. Решите (1/3)^2x+1≤1/27

Нужно сначала представить правую часть с тем же основанием.

1

Представим 1/27

27=3³, поэтому:

1/27=(1/3)³ .

2

Перепишем неравенство

(1/3)^2x+1 ≤ (1/3)³ .

3

Определим направление

0<1/3<1.

Функция убывает.

Поэтому знак ≤ при переходе к показателям становится ≥:

2x+1≥3 .

4

Решим

2x≥2.

x≥1 .

Ответ: x≥1.

Пример 7. Решите (1/4)^x−1>8

Здесь основания сначала совершенно разные.

1

Приведём всё к основанию 2

1/4=2⁻² , а 8=2³ .

2

Перепишем

(2⁻²)^x−1>2³ .

Следовательно:

2^−2x+2>2³ .

3

Теперь основание равно 2

Обратите внимание: после преобразования основание уже 2, а 2>1.

Поэтому теперь знак сохраняется:

−2x+2>3 .

4

Решим обычное неравенство

−2x>1.

Теперь делим на −2.

При делении на отрицательное число знак обычного неравенства меняется:

x<−1/2 .

Ответ: x<−1/2.

Не путайте две разные причины изменения знака

В одном решении знак неравенства иногда приходится менять дважды, но причины могут быть совершенно разными.

1

Убывающая показательная функция

При переходе от a^u>a^v к показателям знак меняется, если 0<a<1.

2

Деление на отрицательное число

Уже после перехода к показателям знак меняется при делении линейного неравенства на отрицательное число.

!

Всегда называйте причину

Не просто «поменял знак», а «основание меньше единицы» или «разделил обе части на отрицательное число».

Неравенства с числом 1

Такие задания встречаются очень часто, поэтому полезно отдельно повторить этот случай.

Для любого a>0:

a⁰=1

Поэтому неравенство:

3^x−5>1

можно переписать:

3^x−5>3⁰

Основание 3>1, поэтому:

x−5>0 ⇒ x>5

А если основание меньше единицы?

Рассмотрим:

(1/2)^x−5>1

Представляем 1=(1/2)⁰:

(1/2)^x−5>(1/2)⁰

Основание меньше единицы, поэтому знак меняется:

x−5<0 ⇒ x<5

Получили противоположные ответы, хотя отличалось только основание показательной функции.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Сразу сравнивать показатели

Из 4^x>8 нельзя писать x>1. Сначала нужно привести основания к одному числу.

Ошибка 2. Не проверить основание

Перед переходом к показателям обязательно определите: a>1 или 0<a<1.

Ошибка 3. Всегда сохранять знак

Для основания 1/2, 1/3, 0,1 и любого другого числа между 0 и 1 знак при переходе к показателям меняется.

Ошибка 4. Всегда менять знак

При основании 2, 3, 5, 10 и любом a>1 знак сохраняется.

Ошибка 5. Забыть о единице

Число 1 можно представить как a⁰. Это часто позволяет получить одинаковые основания.

Ошибка 6. Не изменить знак при делении на отрицательное число

Даже если переход от степеней выполнен правильно, в полученном линейном неравенстве остаются обычные правила решения неравенств.

Ошибка 7. Путать уравнение и неравенство

В уравнении a^u=a^v всегда получаем u=v. Для неравенства направление зависит от основания.

Ошибка 8. Давать один корень вместо промежутка

Неравенство обычно имеет множество решений. Например, x>2 означает все числа больше 2, а не только число 3.

Практические задания с подробной проверкой

Не открывайте решение сразу. Для каждого задания сначала подпишите: «основание больше единицы» или «основание меньше единицы».

Задание 1. Основание больше единицы

2^x>16;
3^x+1≤81;
5^2x−3≥25;
7^3x+1<1.

Открыть подробное решение

16=2⁴.
2^x>2⁴.
2>1, поэтому знак сохраняется.
x>4.
81=3⁴.
3^x+1≤3⁴.
3>1.
x+1≤4.
x≤3.
25=5².
5^2x−3≥5².
5>1.
2x−3≥2.
2x≥5.
x≥5/2.
1=7⁰.
7^3x+1<7⁰.
7>1.
3x+1<0.
3x<−1.
x<−1/3.

Задание 2. Основание между нулём и единицей

(1/2)^x>1/8;
(1/3)^x−1≤1/27;
(1/5)^2x>1/25;
(1/10)^x+2≥1.

Открыть подробное решение

1/8=(1/2)³.
(1/2)^x>(1/2)³.
Основание 1/2 меньше единицы.
Знак меняем:
x<3.
1/27=(1/3)³.
(1/3)^x−1≤(1/3)³.
Знак меняем:
x−1≥3.
x≥4.
1/25=(1/5)².
(1/5)^2x>(1/5)².
Знак меняем:
2x<2.
x<1.
1=(1/10)⁰.
(1/10)^x+2≥(1/10)⁰.
Основание меньше единицы.
Знак меняем:
x+2≤0.
x≤−2.

Задание 3. Сначала приведите основания

4^x>8;
9^x+1≤27^x;
8^x−1≥4^x+1.

Открыть решение

4=2², 8=2³.
2^2x>2³.
2>1.
2x>3.
x>3/2.
9=3², 27=3³.
3^2x+2≤3^3x.
2x+2≤3x.
x≥2.
8=2³, 4=2².
2^3x−3≥2^2x+2.
3x−3≥2x+2.
x≥5.

Задание 4. Будьте внимательны к отрицательному коэффициенту

Решите:

2^−2x+1>8

Открыть подробное решение

Представляем 8:

8=2³.

Получаем:

2^−2x+1>2³.

Основание 2>1, поэтому при переходе к показателям знак сохраняется:

−2x+1>3.

−2x>2.

Теперь делим обе части на −2. Это уже обычное линейное неравенство. При делении на отрицательное число знак меняется:

x<−1.

Задание 5. Найдите ошибку

Обучающийся решает:

(1/2)^x+1>(1/2)⁴ ⇒ x+1>4 ⇒ x>3

Найдите и объясните ошибку.

Открыть объяснение

Ошибка сделана при переходе от степеней к показателям.

Основание равно 1/2, то есть:

0<1/2<1.

Функция убывает, поэтому знак необходимо изменить:

x+1<4.

Отсюда:

x<3.

Задание 6. Объясните, не вычисляя

Что больше:

(1/3)⁵ или (1/3)⁸?

Открыть объяснение

Основание 1/3 находится между нулём и единицей.

Следовательно, функция y=(1/3)^x убывает.

Так как:

5<8,

при убывающей функции меньшему показателю соответствует большее значение.

Поэтому:

(1/3)⁵>(1/3)⁸.

Самостоятельная работа

Решайте без подсказок. В каждом неравенстве рядом с решением обязательно запишите, почему знак сохраняется или меняется.

Проверка понимания

Что называется показательным неравенством?
Когда функция y=a^x возрастает?
Когда функция y=a^x убывает?
Решите 2^x>32.
Решите 3^2x−1≤9.
Решите (1/2)^x>1/16.
Решите (1/3)^2x+1≤1/9.
Решите 4^x>2^x+3.
Решите 5^−x≥25.
Почему в неравенстве с основанием 1/4 направление сравнения показателей меняется?

Открыть ответы и критерии

Неравенство, в котором переменная входит в показатель степени.
При a>1.
При 0<a<1.
32=2⁵.
2^x>2⁵.
x>5.
9=3².
2x−1≤2.
2x≤3.
x≤3/2.
1/16=(1/2)⁴.
Основание меньше 1, поэтому:
x<4.
1/9=(1/3)².
Основание меньше 1.
2x+1≥2.
2x≥1.
x≥1/2.
4^x=2^2x.
2^2x>2^x+3.
2x>x+3.
x>3.
25=5².
5^−x≥5².
−x≥2.
Умножаем на −1 и меняем знак:
x≤−2.
Потому что 0<1/4<1 и показательная функция с таким основанием убывает.

9–10 правильных ответов — правило показательных неравенств усвоено уверенно.
7–8 — повторите задания с основанием меньше единицы.
5–6 — снова разберите два главных случая a>1 и 0<a<1.
0–4 — сначала повторите обычные неравенства, затем таблицы функций 2^x и (1/2)^x и только потом возвращайтесь к практике.

Видео по теме урока

При просмотре особенно следите за тем, как преподаватель определяет, является показательная функция возрастающей или убывающей. Именно от этого зависит знак полученного неравенства.

Основное видео Rutube — первая часть разбора показательных неравенств для 11 класса.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентация посвящена показательным неравенствам в 11 классе и содержит определение, простейшие неравенства и дальнейшие способы решения.

Что повторить по презентации

определение показательного неравенства;
свойства показательной функции;
случай a>1;
случай 0<a<1;
решение простейших неравенств;
переход от степеней к показателям.

Открыть презентацию онлайн

Дополнительная интерактивная тренировка

Интерактивный материал охватывает логарифмы, показательные уравнения и неравенства. Используйте сейчас только задания, относящиеся к уже изученному материалу.

Как выполнять задания

сначала определите вид задания;
для неравенства найдите основание;
определите, возрастает или убывает функция;
только затем сравнивайте показатели;
объясняйте себе каждое изменение знака.

Открыть интерактивную тренировку

Вопросы для самопроверки

Не отвечайте одним словом. Постарайтесь объяснить правило так, как если бы вы объясняли его другому человеку.

01 Что называется показательным неравенством?

Ответ: показательным называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени при постоянном положительном основании.

02 Когда функция y=a^x является возрастающей?

Ответ: при a>1. Чем больше показатель, тем больше значение степени.

03 Когда функция y=a^x является убывающей?

Ответ: при 0<a<1. Чем больше показатель, тем меньше значение степени.

04 Почему при основании 2 знак между показателями сохраняется?

Ответ: потому что 2>1 и функция y=2^x возрастающая. Большему показателю соответствует большее значение степени.

05 Почему при основании 1/2 знак меняется?

Ответ: потому что 0<1/2<1 и функция y=(1/2)^x убывает. Большему показателю соответствует меньшее значение функции.

06 Как представить число 1 для решения показательного неравенства?

Ответ: для любого положительного основания a можно использовать равенство 1=a⁰.

07 Можно ли сразу сравнить показатели в неравенстве 4^x>8?

Ответ: нет. Основания различны. Сначала нужно записать 4=2² и 8=2³, получив 2^2x>2³.

08 Какие две разные причины могут привести к изменению знака неравенства?

Ответ: первая причина — переход к показателям у убывающей показательной функции, когда 0<a<1. Вторая причина — обычное правило неравенств: умножение или деление обеих частей на отрицательное число.

Главное по уроку

Показательное неравенство — это неравенство, в котором переменная находится в показателе степени.

Для решения простейшего показательного неравенства обе части стараются представить как степени с одинаковым основанием.

После этого обязательно определяют, где находится основание относительно единицы.

Если: a>1 , показательная функция возрастает.

Поэтому: a^f(x)>a^g(x) равносильно f(x)>g(x) . Знак сохраняется.

Если: 0<a<1 , показательная функция убывает.

Поэтому: a^f(x)>a^g(x) равносильно f(x)<g(x) . Знак меняется.

Число 1 полезно представлять как: a⁰ .

Числа 4, 8, 16, 32 удобно представлять степенями двойки; 9, 27, 81 — степенями тройки.

Не путайте изменение знака из-за убывания показательной функции с изменением знака при делении обычного линейного неравенства на отрицательное число. Это два разных правила.

Следующий урок — также «Показательные уравнения и неравенства». Там мы будем использовать изученные правила уже в более сложных неравенствах: с вынесением общего множителя, преобразованием нескольких степеней и, при необходимости, заменой переменной.

10 Урок 10 Показательные уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 10. Показательные уравнения и неравенства

На предыдущем уроке вы научились решать простейшие показательные неравенства: приводить обе части к одинаковому основанию, определять, возрастает или убывает показательная функция, и после этого сравнивать показатели. Сегодня мы усложним задания. В некоторых неравенствах сначала придётся вынести общий степенной множитель, а в других — ввести новую переменную и получить обычное квадратное неравенство. Все действия будем выполнять поэтапно, не пропуская промежуточных переходов.

40 минут основной работы

Перед началом: какие правила нам понадобятся

В сложном показательном неравенстве нет какого-то совершенно нового действия. Оно собирается из уже знакомых вам шагов.

01

Свойства степеней

Например: a^x+2=a^x·a² и a^2x=(a^x)².

02

Показательные неравенства

При a>1 знак между показателями сохраняется. При 0<a<1 — меняется.

03

Обычная алгебра

Нам понадобятся вынесение общего множителя, перенос слагаемых, решение квадратного неравенства и метод интервалов.

Если какое-то старое правило забыто, не пытайтесь «угадывать» следующий шаг. Вернитесь к свойству и только потом продолжайте. В математике важно понимать, почему разрешён каждый переход.

Метод 1. Вынесение общего степенного множителя

Вспомним идею. Если в неравенстве встречаются степени 2^x и 2^x+2, то вторую степень можно разложить:

2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x

После этого и первое, и второе слагаемое содержат общий множитель 2^x. Его можно вынести за скобки.

Подробные примеры

Пример 1. Решите 2^x+2^x+2≤20

Сразу сравнивать показатели нельзя: слева стоит сумма двух степеней.

1

Преобразуем второе слагаемое

Используем свойство: a^m+n=a^m·aⁿ.

Поэтому:

2^x+2 = 2^x·2² = 4·2^x .

2

Подставим это в исходное неравенство

Получаем:

2^x+4·2^x≤20 .

Это два подобных слагаемых. В первом перед 2^x фактически стоит коэффициент 1.

Поэтому:

(1+4)·2^x≤20 .

То есть:

5·2^x≤20 .

3

Уберём коэффициент 5

Чтобы оставить степень 2^x одну, делим обе части неравенства на 5:

2^x≤4 .

Число 5 положительное, поэтому при делении знак ≤ не изменился.

4

Представим 4 как степень двойки

4=2² .

Получаем:

2^x≤2² .

5

Сравним показатели

Основание 2 больше единицы, поэтому функция y=2^x возрастает.

Знак сохраняем:

x≤2 .

Ответ: x≤2.

Пример 2. Решите (1/5)^3x+4+(1/5)^3x+5>6

Здесь основание меньше единицы. Особенно внимательно следим за знаком на последнем этапе.

1

Выделим общую степень

Второе слагаемое имеет показатель на единицу больше:

(1/5)^3x+5 = (1/5)^3x+4·(1/5) .

2

Вынесем общий множитель

Получаем:

(1/5)^3x+4 · (1+1/5) >6 .

В скобках:

1+1/5=6/5 .

Следовательно:

(6/5)(1/5)^3x+4>6 .

3

Освободим степень от коэффициента

Делим обе части на 6/5. Это положительное число, поэтому знак > сохраняется:

(1/5)^3x+4>5 .

4

Представим число 5 с основанием 1/5

Поскольку:

5=(1/5)⁻¹ ,

получаем:

(1/5)^3x+4 > (1/5)⁻¹ .

5

Сравним показатели

Основание 1/5 находится между 0 и 1. Значит, функция убывает.

Поэтому знак > меняем на <:

3x+4<−1 .

Переносим число 4 в правую часть. Это означает, что из обеих частей вычитаем 4:

3x<−5 .

Теперь делим обе части на положительное число 3. Знак не меняется:

x<−5/3 .

Ответ: x<−5/3.

Пример 3. Решите 4^x−5·2^x+4≤0

Здесь вынесение общего множителя не помогает. Зато 4^x является квадратом выражения 2^x.

1

Представим 4ˣ через 2ˣ

Так как 4=2²:

4^x = (2²)^x = 2^2x = (2^x)² .

2

Введём новую переменную

Пусть:

t=2^x .

Обязательно записываем:

t>0 ,

потому что степень положительного числа 2 всегда положительна.

Тогда:

(2^x)²=t² .

3

Получим обычное квадратное неравенство

После замены:

t²−5t+4≤0 .

Разложим левую часть на множители:

(t−1)(t−4)≤0 .

4

Решим квадратное неравенство

Нули множителей:

t=1 и t=4 .

Произведение двух линейных множителей неположительно между корнями, включая сами корни:

1≤t≤4 .

Это согласуется с условием t>0.

5

Выполним обратную замену

Мы заменяли t=2^x, поэтому:

1≤2^x≤4 .

Представляем крайние числа как степени двойки:

2⁰≤2^x≤2² .

Основание 2>1, функция возрастает. Поэтому сравнение показателей сохраняется:

0≤x≤2 .

Ответ: x∈[0;2].

Пример 4. Решите 9^x−2·3^x−3>0

Этот пример показывает, как условие t>0 помогает отбросить лишнюю часть решения.

1

Приведём степени к одному выражению

9=3², поэтому:

9^x = (3^x)² .

Делаем замену:

t=3^x, t>0 .

2

Получим квадратное неравенство

t²−2t−3>0 .

Разлагаем:

(t−3)(t+1)>0 .

3

Решим неравенство по t

Критические точки:

t=−1 и t=3 .

Произведение положительно вне промежутка между корнями:

t<−1 или t>3 .

4

Учтём ограничение t>0

Первая часть t<−1 нам не подходит, потому что t=3^x не может быть отрицательным.

Остаётся только:

t>3 .

5

Возвращаемся к переменной x

3^x>3 .

Представляем 3 как:

3=3¹ .

Получаем:

3^x>3¹ .

Основание 3>1, поэтому знак сохраняется:

x>1 .

Ответ: x>1.

Как понять, какой метод использовать

A

Одинаковые степени с разницей в показателях

Например, 2^x и 2^x+3. Обычно удобно вынести меньшую степень за скобки.

B

Есть aˣ и a²ˣ

Например, 2^x и 4^x. Тогда часто подходит замена t=2^x.

C

Сначала упростите

Не пытайтесь сразу выбрать ответ. Сначала преобразуйте степени, и только после этого станет видно, какой метод удобнее.

Практические задания

В решении обязательно записывайте промежуточные действия. Не пишите сразу ответ после исходного неравенства.

Задание 1. Вынесение общего множителя

Решите:

3^x+3^x+1≤108

Открыть подробное решение

3^x+1=3·3^x.

Подставляем:

3^x+3·3^x≤108.

Выносим 3^x:

3^x(1+3)≤108.

4·3^x≤108.

Делим обе части на положительное число 4:

3^x≤27.

27=3³.

3^x≤3³.

Основание 3>1, поэтому:

x≤3.

Задание 2. Замена переменной

Решите:

4^x−3·2^x+2≥0

Открыть подробное решение

4^x=(2^x)².

Вводим: t=2^x, t>0.

Получаем:

t²−3t+2≥0.

Разлагаем:

(t−1)(t−2)≥0.

Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями:

t≤1 или t≥2.

Но t>0. Поэтому:

0<t≤1 или t≥2.

Возвращаем замену.

Первый случай:

0<2^x≤1.

2^x≤2⁰, поэтому x≤0.

Второй случай:

2^x≥2=2¹.

Поэтому x≥1.

Ответ: x≤0 или x≥1.

Задание 3. Основание меньше единицы

Решите:

(1/2)^x + (1/2)^x+1 > 3

Открыть решение

Второе слагаемое:

(1/2)^x+1=(1/2)^x·1/2.

Выносим (1/2)^x:

(1/2)^x(1+1/2)>3.

1+1/2=3/2.

(3/2)(1/2)^x>3.

Делим обе части на 3/2:

(1/2)^x>2.

Представляем:

2=(1/2)⁻¹.

Получаем:

(1/2)^x>(1/2)⁻¹.

Основание 1/2 меньше единицы. Поэтому знак при сравнении показателей меняем:

x<−1.

Задание 4. Найдите ошибку

Обучающийся получил после замены t=3^x:

(t−4)(t+2)>0

и записал: t<−2 или t>4, а затем начал решать оба неравенства 3^x<−2 и 3^x>4. Что здесь неправильно?

Открыть объяснение

При замене t=3^x обязательно должно быть записано:

t>0.

Поэтому промежуток t<−2 сразу исключается.

Степень 3^x никогда не бывает отрицательной.

Продолжать нужно только с условием:

t>4,

то есть:

3^x>4.

Самостоятельная работа по урокам 6–10

Эти задания проверяют весь блок: простейшие уравнения, вынесение множителя, замену переменной и показательные неравенства.

Решите 2^x+1=16.
Решите 3^x+3^x+1=108.
Решите 4^x−5·2^x+4=0.
Решите 2^x>8.
Решите (1/2)^x≤1/4.
Решите 2^x+2^x+2≤20.
Решите 4^x−5·2^x+4≤0.
Объясните, почему при замене t=a^x записывают t>0.

Открыть ответы

2^x+1=2⁴ ⇒ x+1=4 ⇒ x=3.
3^x(1+3)=108 ⇒ 4·3^x=108 ⇒ 3^x=27 ⇒ x=3.
t=2^x>0.
t²−5t+4=0.
t=1 или 4.
x=0 или x=2.
2^x>2³ ⇒ x>3.
1/4=(1/2)².
Основание меньше единицы, поэтому знак меняется:
x≥2.
5·2^x≤20 ⇒ 2^x≤4 ⇒ x≤2.
После замены t=2^x>0:
(t−1)(t−4)≤0 ⇒ 1≤t≤4 ⇒ 0≤x≤2.
Потому что степень положительного основания при любом действительном показателе всегда положительна.

7–8 правильных ответов — блок освоен уверенно.
5–6 — повторите те методы, где были ошибки.
3–4 — повторите уроки 7–10.
0–2 — начните повторение с урока 6 и вновь выполните основные разобранные примеры.

Видео по теме урока

Основное видео разбирает показательные неравенства методом разложения на множители. Дополнительное видео показывает более сложные случаи и переход к замене переменной.

Основное видео Rutube: разложение левой части показательного неравенства на множители и вынесение общего степенного множителя.

Открыть видео на Rutube

Презентация для повторения

Используйте презентацию как итоговое повторение: от определения показательного неравенства до более сложных способов решения.

Что повторить

простейшие показательные неравенства;
возрастающую и убывающую функцию;
приведение к одному основанию;
разложение на множители;
сложные показательные неравенства.

Открыть презентацию

Дополнительная интерактивная тренировка

После самостоятельной работы можно выполнить электронные задания по показательным уравнениям и неравенствам.

Порядок работы

сначала определите тип задания;
выберите подходящий метод;
не пропускайте преобразования;
проверяйте ограничения новой переменной;
только после этого записывайте ответ.

Открыть тренировку

Вопросы для самопроверки

01 Когда удобно выносить общий степенной множитель?

Когда в нескольких слагаемых имеются степени одного основания, показатели которых отличаются на постоянное число. Тогда меньшую степень часто можно вынести за скобки.

02 Когда удобна замена t=a^x?

Когда одновременно присутствуют выражения a^x и a^2x или эквивалентные им степени, так что после замены получается обычное квадратное уравнение или неравенство.

03 Почему при t=a^x нужно писать t>0?

Потому что при положительном основании a значение a^x всегда положительно для любого действительного x.

04 Что делать после решения квадратного неравенства относительно t?

Сначала пересечь полученный ответ с условием t>0, затем выполнить обратную замену и решить полученное показательное неравенство относительно x.

05 Почему нельзя сразу сравнивать показатели в сумме 2^x+2^x+2?

Потому что правило сравнения показателей применяется к двум степеням с одинаковым основанием, между которыми стоит знак неравенства. Сумму сначала необходимо преобразовать.

Главное по уроку

Сложное показательное неравенство обычно сначала нужно преобразовать, а уже затем применять правила сравнения показателей.

Если в нескольких слагаемых имеется одна и та же степень, удобно вынести общий степенной множитель.

Если встречаются a^x и a^2x, часто удобно сделать замену t=a^x .

После такой замены обязательно учитывается: t>0 .

Если после замены получается квадратное неравенство, его нужно решить обычными алгебраическими методами, а затем вернуться к переменной x.

При переходе от одинаковых степеней к показателям по-прежнему действует главное правило: при a>1 знак сохраняется, при 0<a<1 — меняется на противоположный.

Не сокращайте решение до одной строки. Полезная запись выглядит так: преобразовали → объяснили свойство → выполнили действие → получили новое неравенство → только затем сделали следующий шаг.

На этом блок уроков 6–10 «Показательные уравнения и неравенства» завершён.

Следующий урок — урок 11 «Показательная функция, её свойства и график». В нём мы подробно разберём, что такое функция y=a^x, её область определения и область значений, точки графика, возрастание и убывание и научимся самостоятельно строить график показательной функции.

11 Урок 11 Показательная функция, её свойства и график Открыть урок Свернуть урок

Урок 11. Показательная функция, её свойства и график

На предыдущих уроках мы уже много раз использовали выражения 2^x, 3^x, (1/2)^x и другие степени, в показателе которых находилась переменная. Мы решали с ними уравнения и неравенства. Теперь необходимо подробно изучить саму зависимость между x и значением a^x. Такая зависимость задаёт показательную функцию. Мы начнём практически с самого понятия функции, затем построим графики по точкам и только после этого сформулируем свойства. Поэтому каждое свойство будет не просто правилом для запоминания — вы увидите, откуда оно берётся.

40 минут основной работы

Что вы должны понять на этом уроке

Главная цель — научиться не только узнавать формулу y=a^x, но и представлять, как ведёт себя её график и почему.

01

Что такое функция

Повторим понятия аргумента, значения функции, области определения и области значений.

02

Как строится график

Научимся подставлять значения x, вычислять y, записывать точки и наносить их на координатную плоскость.

03

Как основание меняет график

Разберём два принципиально разных случая: a>1 и 0<a<1.

Сначала вспомним: что такое функция

Слово «функция» встречалось вам много лет назад, поэтому восстановим его смысл спокойно и подробно.

Функция

Функция — это зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной x соответствует ровно одно значение другой переменной y.

Например, рассмотрим знакомую функцию:

y=2x+1

Вы выбираете значение x, выполняете указанные в формуле действия и получаете значение y.

Пусть x=3. Подставляем число 3 вместо x:

y=2·3+1 = 6+1 = 7

Значит, значению x=3 соответствует значение y=7.

На координатной плоскости этому соответствует точка:

(3;7)

Первая координата точки — значение x. Вторая координата — соответствующее значение y.

Основные термины, которые понадобятся

x

Аргумент

Независимую переменную x называют аргументом функции. Это значение, которое мы выбираем или которое дано в условии.

y

Значение функции

Число y, которое получается после подстановки конкретного x, называют значением функции.

D

Область определения

Все значения x, которые разрешено подставлять в формулу функции, образуют её область определения.

E

Область значений

Все значения y, которые функция может принимать, образуют область значений функции.

G

График функции

График — множество всех точек координатной плоскости вида (x;y), координаты которых удовлетворяют формуле функции.

f

Запись f(x)

Вместо y иногда пишут f(x). Например, f(x)=2^x. Запись f(3) означает: «найти значение функции при x=3».

Что называется показательной функцией

Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где a>0 и a≠1.

Обратите внимание на главное отличие от степенной функции.

В показательной функции:

y=a^x

основание a — постоянное число, а переменная x находится в показателе степени.

Например, показательными являются функции:

y=2^x y=5^x y=(1/2)^x y=0,1^x

А функция:

y=x²

не является показательной, потому что переменная x находится в основании, а показатель 2 является постоянным.

Почему в определении требуют a>0 и a≠1

Эти условия не придуманы формально. Каждое из них необходимо, чтобы функция y=a^x была определена для любого действительного x и обладала нужными свойствами.

Почему основание должно быть положительным?

Мы хотим, чтобы в функцию можно было подставить любое действительное число x: целое, дробное, отрицательное и так далее.

Если основание положительное, например a=2, то имеют смысл:

2³ 2⁰ 2⁻² 2^1/2

А отрицательное основание при дробных показателях может привести к выражениям, которые не имеют действительного значения. Поэтому для показательной функции берут a>0.

Почему a не должно равняться 1?

Посмотрим:

1^x=1

Какое бы x мы ни подставили, результат всегда будет 1.

Мы получили бы постоянную функцию y=1, график которой является горизонтальной прямой. Такой случай в определение показательной функции не включают.

Итак, в показательной функции всегда: a>0 и a≠1. Эти условия полезно проверять каждый раз, когда вас спрашивают, является ли данная функция показательной.

Строим график y=2^x по точкам

Не пытайтесь запомнить форму графика как картинку. Сначала научитесь получать её самостоятельно из таблицы значений.

Шаг 1. Выбираем удобные значения x

Для начала возьмём несколько целых значений:

x=−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Шаг 2. Подставляем каждое значение в формулу y=2^x

При x=−3:

y=2⁻³=1/2³=1/8

При x=−2:

y=2⁻²=1/4

При x=−1:

y=2⁻¹=1/2

При x=0:

y=2⁰=1

При x=1:

y=2¹=2

При x=2:

y=2²=4

При x=3:

y=2³=8

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y=2^x	1/8	1/4	1/2	1	2	4	8

Шаг 3. Получаем точки графика

Каждая пара чисел из таблицы задаёт точку:

(−3;1/8) (−2;1/4) (−1;1/2) (0;1) (1;2) (2;4) (3;8)

Эти точки наносятся на координатную плоскость и соединяются плавной линией.

Теперь строим y=(1/2)^x

Берём те же значения x. Это позволит сразу сравнить два графика.

Например, при x=−2:

(1/2)⁻² = 2² = 4

Почему дробь превратилась в 2? Отрицательный показатель означает переход к обратному числу:

(1/2)⁻² = (2/1)² = 4

При x=0 снова получаем:

(1/2)⁰=1

При x=2:

(1/2)²=1/4

x	−3	−2	−1	0	1	2	3
y=(1/2)^x	8	4	2	1	1/2	1/4	1/8

Теперь видно существенное различие.

Для y=2^x при увеличении x значения y увеличивались.

Для y=(1/2)^x при увеличении x значения y уменьшаются.

Именно отсюда появляется правило о возрастании и убывании показательной функции.

Сравним оба графика

На схеме одновременно показаны функции y=2^x и y=(1/2)^x. Сопоставляйте график с таблицами, которые мы только что составили.

Графики y=2^x и y=(1/2)^x

Вертикальная ось — y, горизонтальная — x. Обе кривые проходят через общую точку (0;1).

Схема построена по вычисленным значениям. График y=2^x идёт вверх слева направо, а график y=(1/2)^x — вниз. При этом обе функции всегда остаются выше оси Ox.

Почему любой график y=a^x проходит через точку (0;1)

Это одно из главных свойств показательной функции, и его очень легко объяснить.

Берём x=0.

В формуле:

y=a^x

вместо x подставляем 0:

y=a⁰

Для любого ненулевого a:

a⁰=1

Следовательно:

x=0 ⇒ y=1

Поэтому на графике всегда есть точка:

(0;1)

Если вы строите график показательной функции и он не проходит через точку (0;1), значит, в вычислениях или построении допущена ошибка.

Область определения показательной функции

Область определения

Область определения — множество всех значений x, которые можно подставить в формулу функции.

В функцию y=2^x можно подставить:

x=5;
x=0;
x=−4;
x=1/2;
x=−2,7;
любое другое действительное число.

Никакого запрета на значение x здесь нет.

Поэтому:

D(y)=ℝ

или, в интервальной записи:

x∈(−∞;+∞)

Почему область значений — только положительные числа

Область значений

Область значений — множество всех чисел y, которые функция может получить при допустимых значениях x.

Мы уже использовали важное свойство:

a^x>0 при a>0

Это значит, что значение показательной функции никогда не бывает отрицательным.

Оно также никогда не равно нулю.

Например:

2^x≠0

при любом действительном x.

Значения могут становиться очень маленькими:

2⁻¹⁰=1/1024

но это всё равно положительное число.

Поэтому:

E(y)=(0;+∞)

Почему график не пересекает ось Ox

Точка на оси Ox имеет координату y=0.

Чтобы график y=a^x пересёк ось Ox, должно было бы существовать значение x, при котором:

a^x=0

Но показательная степень положительного основания всегда положительна:

a^x>0

Значит, равенство a^x=0 невозможно.

Поэтому график показательной функции никогда не пересекает ось Ox.

Он может подходить к ней всё ближе и ближе, но касания или пересечения не происходит.

Новое понятие: асимптота

Асимптота

Асимптотой графика называют прямую, к которой график всё ближе приближается при неограниченном изменении аргумента, но в рассматриваемом направлении её не достигает.

Для показательной функции такой прямой является ось Ox:

y=0

Например, для y=2^x:

2⁻⁵=1/32 2⁻¹⁰=1/1024 2⁻²⁰=1/1048576

Чем дальше x уходит в сторону отрицательных чисел, тем ближе значение функции к нулю.

Но оно остаётся положительным.

Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика показательной функции.

Случай a>1: функция возрастает

Возрастающая функция

Функцию называют возрастающей, если при увеличении аргумента x значения функции также увеличиваются.

Вернёмся к y=2^x.

Сравним:

x=0 ⇒ y=1 x=1 ⇒ y=2 x=2 ⇒ y=4 x=3 ⇒ y=8

x увеличивается: 0, 1, 2, 3.

И y тоже увеличивается: 1, 2, 4, 8.

Так происходит для любой показательной функции с основанием:

a>1

Следовательно, если a>1, функция y=a^x возрастает на всей области определения.

Случай 0<a<1: функция убывает

Убывающая функция

Функцию называют убывающей, если при увеличении аргумента x значения функции уменьшаются.

Рассмотрим y=(1/2)^x.

x=0 ⇒ y=1 x=1 ⇒ y=1/2 x=2 ⇒ y=1/4 x=3 ⇒ y=1/8

x увеличивается:

0<1<2<3

а значения функции уменьшаются:

1>1/2>1/4>1/8

Следовательно, если:

0<a<1

то функция y=a^x убывает.

Именно это свойство объясняет правило показательных неравенств: при основании меньше единицы направление сравнения показателей меняется на противоположное.

Что означает, что показательная функция непрерывна

Непрерывная функция

В школьной геометрической интерпретации непрерывной называют функцию, график которой на рассматриваемом промежутке можно провести плавной линией без разрывов и скачков.

График y=a^x не распадается на отдельные части.

Нет значения x, возле которого график внезапно исчезает и появляется в другом месте.

Поэтому показательная функция непрерывна на всей числовой прямой.

Все основные свойства в одной таблице

Свойство	a>1	0<a<1
Область определения	ℝ	ℝ
Область значений	(0;+∞)	(0;+∞)
Знак функции	y>0	y>0
Точка на оси Oy	(0;1)	(0;1)
Пересечение с Ox	нет	нет
Изменение функции	возрастает	убывает
Горизонтальная асимптота	y=0	y=0
Непрерывность	непрерывна	непрерывна

Алгоритм построения графика y=a^x

Если в задании сказано «постройте график», выполняйте действия именно в таком порядке.

1

Проверьте основание a

Определите, больше оно единицы или находится между 0 и 1. Уже сейчас можно предсказать, будет график возрастающим или убывающим.

2

Составьте таблицу

Обычно удобно взять x=−2, −1, 0, 1, 2. При необходимости добавьте ещё точки.

3

Для каждого x вычислите y

Подставляйте значения по одному. Не пытайтесь заполнить таблицу «на глаз», если ещё не уверены в степенях.

4

Запишите координаты точек

Например, если при x=2 получилось y=4, наносите точку (2;4).

5

Обязательно отметьте точку (0;1)

Через неё проходит любой график показательной функции.

6

Соедините точки плавной линией

Не соединяйте точки ломаной. График показательной функции является плавной непрерывной кривой.

7

Проверьте себя

График должен находиться выше оси Ox, проходить через (0;1) и быть возрастающим при a>1 или убывающим при 0<a<1.

Разберём несколько заданий подробно

Пример 1. Найдите значение функции y=3^x при x=−2

Здесь не нужно строить весь график. Нужно только правильно подставить аргумент.

1

Подставляем x=−2

Вместо буквы x в формуле y=3^x записываем число −2:

y=3⁻² .

2

Вспоминаем отрицательный показатель

3⁻² означает обратное число к 3²:

3⁻²=1/3² .

3

Вычисляем

3²=9, значит:

y=1/9 .

Ответ: 1/9.

Пример 2. Возрастает или убывает y=0,4^x?

Никаких вычислений делать не требуется. Нужно посмотреть на основание.

1

Выделяем основание

В функции:

y=0,4^x

основание равно 0,4.

2

Сравниваем основание с 0 и 1

0<0,4<1 .

3

Применяем свойство

Если 0<a<1, показательная функция убывает.

Следовательно, функция y=0,4^x убывает.

Пример 3. Какая из величин больше: 2^1,7 или 2^2,1?

Можно не вычислять сами степени.

1

Смотрим на основание

Основание равно 2.

2>1 .

Следовательно, функция y=2^x возрастает.

2

Сравниваем показатели

1,7<2,1 .

3

Делаем вывод

Для возрастающей функции большему аргументу соответствует большее значение.

Поэтому:

2^1,7<2^2,1 .

Пример 4. Сравните (1/3)⁻² и (1/3)¹

Здесь основание меньше единицы.

1

Определяем вид функции

0<1/3<1 .

Значит, функция y=(1/3)^x убывает.

2

Сравниваем аргументы

−2<1 .

3

Учитываем убывание

У убывающей функции меньшему аргументу соответствует большее значение функции.

Поэтому:

(1/3)⁻² > (1/3)¹ .

Практические задания

Не ограничивайтесь ответом. Там, где требуется определить возрастание или убывание, обязательно напишите условие для основания.

Задание 1. Является ли функция показательной?

Определите для каждой функции.

y=3^x;
y=x³;
y=(1/4)^x;
y=(−2)^x;
y=1^x;
y=0,7^x.

Открыть объяснение

Да. Основание 3>0 и 3≠1, переменная находится в показателе.
Нет. Переменная находится в основании степени.
Да. 0<1/4<1.
Нет в рамках определения показательной функции действительного аргумента: основание отрицательное.
Нет. Основание равно 1, функция превращается в постоянную y=1.
Да. 0<0,7<1.

Задание 2. Найдите значения функции

Для y=2^x найдите значения при:

x=−2;
x=−1;
x=0;
x=1;
x=4.

Открыть решение

2⁻²=1/4.
2⁻¹=1/2.
2⁰=1.
2¹=2.
2⁴=16.

Задание 3. Определите характер функции

Укажите: возрастает или убывает.

y=4^x;
y=0,2^x;
y=(2/3)^x;
y=10^x.

Открыть ответ

4>1 — функция возрастает.
0<0,2<1 — функция убывает.
0<2/3<1 — функция убывает.
10>1 — функция возрастает.

Задание 4. Сравните без вычислений

5^2,4 и 5^2,7;
(1/2)³ и (1/2)⁵;
3⁻⁴ и 3⁻².

Открыть объяснение

1) 5>1, функция возрастает. Так как 2,4<2,7:

5^2,4<5^2,7.

2) 0<1/2<1, функция убывает. Так как 3<5:

(1/2)³>(1/2)⁵.

3) 3>1, функция возрастает. Так как −4<−2:

3⁻⁴<3⁻².

Задание 5. Свойства графика

Для функции y=7^x ответьте:

какова область определения;
какова область значений;
проходит ли график через (0;1);
пересекает ли график Ox;
возрастает или убывает функция;
какова горизонтальная асимптота.

Открыть ответ

D(y)=ℝ.
E(y)=(0;+∞).
Да, потому что 7⁰=1.
Нет, потому что 7^x>0.
Возрастает, потому что 7>1.
y=0.

Самостоятельная работа

Выполняйте без подсказки. После каждого ответа попробуйте своими словами объяснить использованное свойство.

Дайте определение показательной функции.
Какие условия накладываются на основание a?
Почему график y=a^x проходит через точку (0;1)?
Почему график не пересекает ось Ox?
Назовите область определения.
Назовите область значений.
Возрастает или убывает y=6^x?
Возрастает или убывает y=(1/5)^x?
Сравните 4^1,2 и 4^1,5.
Сравните (1/4)⁻¹ и (1/4)².

Открыть ответы и критерии

Функция вида y=a^x, где a>0 и a≠1.
a должно быть положительным и не равным 1.
При x=0 имеем y=a⁰=1.
Потому что a^x>0 при любом действительном x.
ℝ.
(0;+∞).
Возрастает, так как 6>1.
Убывает, так как 0<1/5<1.
4>1 и 1,2<1,5, поэтому 4^1,2<4^1,5.
0<1/4<1 и −1<2. Функция убывает, поэтому (1/4)⁻¹>(1/4)².

9–10 правильных ответов — свойства функции усвоены уверенно.
7–8 — ещё раз повторите возрастание и убывание.
5–6 — повторите таблицы и свойства графиков.
0–4 — снова начните с определения функции и самостоятельно постройте по таблице y=2^x.

Видео по теме урока

При просмотре сравнивайте объяснение преподавателя с построенными нами таблицами и графиком. Особенно внимательно проследите различие случаев a>1 и 0<a<1.

Основное видео Rutube: графики двух показательных функций, случаи a>1 и 0<a<1, возрастание, убывание и основные свойства.

Открыть видео на Rutube

Презентация для повторения

В презентации отдельно представлены графики показательной функции при a>1 и 0<a<1 и перечислены основные свойства.

При просмотре повторите

определение y=a^x;
условия a>0 и a≠1;
область определения;
область значений;
возрастание и убывание;
графики при разных основаниях.

Открыть презентацию

Вопросы для самопроверки

Отвечайте развёрнуто. Если можете объяснить причину свойства, значит, материал действительно понят.

01 Что называется показательной функцией?

Показательной называется функция вида y=a^x, где a>0 и a≠1.

02 Что является аргументом показательной функции?

Аргументом является переменная x, находящаяся в показателе степени.

03 Почему область определения равна ℝ?

Потому что при положительном основании a выражение a^x имеет смысл для любого действительного значения x.

04 Почему область значений равна (0;+∞)?

Потому что a^x всегда положительно. Функция принимает все положительные значения, но никогда не принимает 0 и отрицательные числа.

05 Почему любой график проходит через точку (0;1)?

При x=0 значение функции равно a⁰=1. Поэтому координаты точки равны (0;1).

06 Когда показательная функция возрастает?

Она возрастает при a>1.

07 Когда показательная функция убывает?

Она убывает при 0<a<1.

08 Почему ось Ox является асимптотой?

Значения функции могут становиться сколь угодно близкими к нулю, но сама функция никогда не принимает значение 0. Поэтому график приближается к прямой y=0, не пересекая её.

Главное по уроку

Показательная функция имеет вид: y=a^x , где a>0 и a≠1 .

Переменная x является аргументом функции и находится в показателе степени.

Область определения показательной функции — все действительные числа: D(y)=ℝ .

Область значений — все положительные числа: E(y)=(0;+∞) .

При любом допустимом основании: a⁰=1 , поэтому каждый график показательной функции проходит через точку (0;1) .

График никогда не пересекает ось Ox, потому что: a^x>0 .

Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.

Если: a>1 , функция возрастает.

Если: 0<a<1 , функция убывает.

Именно свойства возрастания и убывания объясняют правила решения показательных уравнений и неравенств, которые мы использовали на предыдущих уроках.

Следующий урок — урок 12. Контрольная работа по теме «Степень с рациональным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства». Перед контрольной обязательно повторите уроки 1–11, особенно свойства степеней, методы решения показательных уравнений и два случая решения показательных неравенств.

12 Урок 12 Контрольная работа по теме «Степень с рациональным показателем. Показательная функция. Показательные уравнения и неравенства» Открыть работу Свернуть работу

Урок 12. Контрольная работа

Эта работа завершает первую тему курса алгебры 11 класса. Она проверяет не одно отдельное правило, а умение соединять материал нескольких уроков: свойства степеней с рациональными показателями, преобразование степенных выражений, показательные уравнения, показательные неравенства и свойства показательной функции. Выполняйте задания последовательно. Не открывайте подробные решения до тех пор, пока не закончите работу самостоятельно.

40 минут на выполнение

Как выполнять контрольную работу

В математике оценивается не только конечный ответ. Важно показать ход решения, потому что именно по нему можно понять, какое правило вы применили и где могла возникнуть ошибка.

1

Читайте условие полностью

Не начинайте преобразования после первого увиденного числа. Сначала определите, что именно требуется: вычислить, преобразовать, решить уравнение, решить неравенство или определить свойство функции.

2

Записывайте промежуточные действия

Если число 27 вы представляете как 3³, запишите это. Если переносите слагаемое в другую часть, покажите полученное равенство или неравенство.

3

Проверяйте ограничения

При замене t=a^x обязательно учитывайте t>0. В показательном неравенстве обязательно определяйте, больше основание единицы или меньше единицы.

Важно: подробные решения находятся под каждым заданием, но открывать их нужно только после завершения самостоятельной работы. Если решение открыто заранее, контрольная перестаёт выполнять свою диагностическую функцию.

Краткая памятка перед началом

Здесь нет решений конкретных заданий. Это только основные свойства, которыми разрешено пользоваться.

a^m·aⁿ=a^m+n a^m/aⁿ=a^m−n (a^m)ⁿ=a^mn

a⁻ⁿ=1/aⁿ a⁰=1 a^m/n=ⁿ√(a^m)

Для показательного уравнения с одинаковыми основаниями:

a^f(x)=a^g(x) ⇒ f(x)=g(x)

Для показательного неравенства:

если a>1, знак между показателями сохраняется;
если 0<a<1, знак между показателями меняется на противоположный.

Для показательной функции y=a^x:

D(y)=ℝ;
E(y)=(0;+∞);
график проходит через точку (0;1);
график не пересекает ось Ox;
при a>1 функция возрастает;
при 0<a<1 функция убывает.

Система оценивания

В работе 20 баллов. Более сложные задания оцениваются выше, потому что требуют нескольких последовательных действий.

18-20 отличный результат

14-17 материал усвоен хорошо

10-13 есть темы для повторения

0-9 тему нужно повторить подробно

Контрольная работа

Сначала выполните все задания на бумаге или в тетради. После этого возвращайтесь к странице и открывайте разбор.

Задание 1. Вычислите значение степени

1 балл

16^3/4

Подробный разбор задания 1

Шаг 1. Вспоминаем смысл дробного показателя

Показатель 3/4 означает, что знаменатель 4 задаёт корень четвёртой степени, а числитель 3 задаёт последующее возведение в третью степень.

Используем:

a^m/n=ⁿ√(a^m).

Шаг 2. Удобнее сначала извлечь корень

16 является четвёртой степенью числа 2:

16=2⁴.

Поэтому:

16^1/4=2.

Шаг 3. Возводим результат в третью степень

2³=8.

Ответ: 8.

Задание 2. Упростите выражение

2 балла

a^5/3·a^1/3/a при a>0

Подробный разбор задания 2

Шаг 1. Работаем только с показателями

В числителе умножаются степени с одинаковым основанием a. При умножении показатели складываются:

5/3+1/3=6/3=2.

Значит:

a^5/3·a^1/3=a².

Шаг 2. Делим на a

Число a можно записать как a¹.

Получаем:

a²/a¹.

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

2−1=1.

Следовательно:

a¹=a.

Ответ: a.

Задание 3. Решите простейшее показательное уравнение

1 балл

2^x+1=16

Подробный разбор задания 3

Шаг 1. Приводим обе части к одинаковому основанию

Слева основание равно 2.

Число 16 также можно представить степенью двойки:

16=2⁴.

Поэтому исходное уравнение принимает вид:

2^x+1=2⁴.

Шаг 2. Приравниваем показатели

Основания одинаковы, поэтому:

x+1=4.

Шаг 3. Оставляем x один

Из обеих частей вычитаем 1:

x=4−1.

x=3.

Ответ: 3.

Задание 4. Решите уравнение вынесением общего множителя

2 балла

3^x+3^x+1=108

Подробный разбор задания 4

Шаг 1. Преобразуем вторую степень

Используем свойство:

a^m+n=a^m·aⁿ.

Поэтому:

3^x+1=3^x·3¹=3·3^x.

Шаг 2. Подставляем в уравнение

Получаем:

3^x+3·3^x=108.

Шаг 3. Выносим общий множитель

В первом слагаемом перед 3^x стоит коэффициент 1.

Поэтому:

3^x(1+3)=108.

В скобках:

1+3=4.

Следовательно:

4·3^x=108.

Шаг 4. Делим обе части на 4

3^x=108/4.

3^x=27.

Шаг 5. Представляем 27 степенью тройки

27=3³.

Получаем:

3^x=3³.

Следовательно:

x=3.

Задание 5. Решите уравнение методом замены переменной

3 балла

4^x−5·2^x+4=0

Подробный разбор задания 5

Шаг 1. Ищем связь между степенями

В выражении одновременно присутствуют 4^x и 2^x.

Но 4=2².

Поэтому:

4^x=(2²)^x=2^2x.

А 2^2x можно записать как:

(2^x)².

Шаг 2. Вводим новую переменную

Пусть:

t=2^x.

Обязательно записываем ограничение:

t>0.

Почему? Потому что 2^x положительно при любом действительном x.

Шаг 3. Получаем квадратное уравнение

4^x заменяется на t², а 2^x заменяется на t.

Получаем:

t²−5t+4=0.

Шаг 4. Разлагаем на множители

Нужно подобрать два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна 5.

Это числа 1 и 4.

Следовательно:

(t−1)(t−4)=0.

Отсюда:

t₁=1,

t₂=4.

Оба числа положительны, поэтому оба удовлетворяют условию t>0.

Шаг 5. Выполняем обратную замену

Первый случай:

2^x=1.

1=2⁰.

Поэтому x=0.

Второй случай:

2^x=4.

4=2².

Поэтому x=2.

Ответ: 0; 2.

Задание 6. Решите показательное неравенство

2 балла

3^2x−1≥27

Подробный разбор задания 6

Шаг 1. Получаем одинаковые основания

27=3³.

Поэтому:

3^2x−1≥3³.

Шаг 2. Определяем поведение функции

Основание равно 3.

3>1.

Следовательно, функция y=3^x возрастает.

При возрастающей функции знак неравенства между показателями сохраняется.

Получаем:

2x−1≥3.

Шаг 3. Переносим число −1

Чтобы оставить член с x в левой части, прибавляем 1 к обеим частям:

2x−1+1≥3+1.

2x≥4.

Шаг 4. Делим на 2

2 является положительным числом, поэтому знак ≥ не меняется:

x≥2.

Ответ: x≥2.

Задание 7. Решите неравенство с основанием меньше единицы

2 балла

(1/2)^x+1>1/8

Подробный разбор задания 7

Шаг 1. Представляем 1/8 с основанием 1/2

8=2³.

Следовательно:

1/8=(1/2)³.

Получаем:

(1/2)^x+1>(1/2)³.

Шаг 2. Смотрим на основание

Основание равно 1/2.

Оно находится между нулём и единицей:

0<1/2<1.

Значит, функция y=(1/2)^x убывает.

Шаг 3. Меняем знак

При убывающей функции при переходе к показателям знак > меняется на <.

Получаем:

x+1<3.

Шаг 4. Убираем число 1

Вычитаем 1 из обеих частей:

x<3−1.

x<2.

Ответ: x<2.

Задание 8. Решите сложное показательное неравенство

3 балла

4^x−5·2^x+4≤0

Подробный разбор задания 8

Шаг 1. Вводим новую переменную

Как и в задании 5:

4^x=(2^x)².

Пусть:

t=2^x, t>0.

Тогда:

t²−5t+4≤0.

Шаг 2. Разлагаем квадратный трёхчлен

Получаем:

(t−1)(t−4)≤0.

Критические точки:

t=1 и t=4.

Шаг 3. Определяем нужный промежуток

Коэффициент при t² положительный.

Квадратный трёхчлен неположителен между корнями, включая сами корни.

Следовательно:

1≤t≤4.

Это условие полностью согласуется с t>0.

Шаг 4. Возвращаем исходную переменную

Так как t=2^x:

1≤2^x≤4.

Представляем крайние числа степенями двойки:

2⁰≤2^x≤2².

Шаг 5. Сравниваем показатели

Основание 2>1, поэтому функция возрастает и знаки сохраняются:

0≤x≤2.

Ответ: x∈[0;2].

Задание 9. Свойства показательной функции

2 балла

Дана функция:

y=(1/3)^x

Ответьте на вопросы:

какова область определения;
какова область значений;
возрастает или убывает функция;
через какую обязательную точку проходит график;
пересекает ли график ось Ox.

Подробный разбор задания 9

1. Область определения

В показательную функцию можно подставить любое действительное x.

Поэтому:

D(y)=ℝ.

2. Область значений

Значение (1/3)^x всегда положительно.

Поэтому:

E(y)=(0;+∞).

3. Возрастание или убывание

Основание равно 1/3.

0<1/3<1.

Следовательно, функция убывает.

4. Обязательная точка графика

При x=0:

(1/3)⁰=1.

Поэтому график проходит через:

(0;1).

5. Пересечение с осью Ox

На оси Ox значение y равно нулю.

Но (1/3)^x>0 при любом x.

Следовательно, график ось Ox не пересекает.

Задание 10. Работа с графиком показательной функции

2 балла

На рисунке показаны два графика. Один соответствует функции y=2^x, другой - функции y=(1/2)^x.

Ответьте:

какой график, A или B, соответствует y=2^x;
какой график соответствует y=(1/2)^x;
объясните ответ через значение основания.

Подробный разбор задания 10

Шаг 1. Рассматриваем y=2^x

Основание 2 больше единицы:

2>1.

Поэтому функция y=2^x возрастает.

На рисунке возрастающей является кривая A.

Следовательно:

A соответствует y=2^x.

Шаг 2. Рассматриваем y=(1/2)^x

Основание 1/2 находится между нулём и единицей:

0<1/2<1.

Поэтому функция убывает.

На рисунке убывающей является кривая B.

Следовательно:

B соответствует y=(1/2)^x.

Дополнительная проверка

Оба графика проходят через точку (0;1), что соответствует свойству любой показательной функции.

Как определить, что именно нужно повторить

Недостаточно увидеть общее количество баллов. Намного полезнее определить тип задания, в котором возникла ошибка.

1-2

Степени

Если ошибки возникли в заданиях 1 и 2, повторите рациональный показатель, отрицательный показатель и правила умножения и деления степеней.

3-5

Показательные уравнения

Если трудности были здесь, повторите приведение к одному основанию, вынесение общего множителя и замену переменной.

6-8

Показательные неравенства

Повторите различие случаев a>1 и 0<a<1, а также правило изменения знака при делении обычного неравенства на отрицательное число.

9-10

Показательная функция

Повторите область определения, область значений, точку (0;1), возрастание, убывание и положение графика относительно оси Ox.

t

Замена переменной

Если вы забывали условие t>0, вернитесь к урокам 8 и 10. Степень положительного основания не может быть равна нулю или отрицательному числу.

!

Ошибки в действиях

Если метод выбран правильно, но получен неверный ответ, проверьте обычные арифметические действия: переносы, раскрытие скобок, деление и работу со знаками.

Оцените результат

18-20 баллов Тема усвоена уверенно. Можно переходить к следующему разделу.

14-17 баллов Хороший результат. Повторите только те методы, в которых были допущены ошибки.

10-13 баллов Основы понятны, но отдельные способы решения ещё требуют закрепления.

0-9 баллов Рекомендуется вернуться к урокам 1-11 и повторить тему поэтапно.

На этом первая тема курса завершена. Вы повторили степени с рациональными показателями, свойства степеней, показательные уравнения, показательные неравенства и свойства показательной функции.

Следующий урок - урок 13 «Логарифм числа». В нём появится совершенно новое понятие - логарифм. Поэтому следующий урок начнём очень подробно: сначала вспомним степени, затем разберём, какую задачу решает логарифм, что означают основание и аргумент логарифма, почему существуют ограничения и как переводить запись из показательной формы в логарифмическую и обратно.

Тема 2

Логарифмы. Логарифмическая функция. Тригонометрические функции и неравенства

Логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы, преобразование выражений, содержащих логарифмы, логарифмические уравнения и неравенства, способы их решения, логарифмическая функция, её свойства и график, тригонометрические функции, их свойства и графики, а также примеры тригонометрических неравенств. Завершается тема контрольной работой.

21 учебный час

13 Урок 13 Логарифм числа Открыть урок Свернуть урок

Урок 13. Логарифм числа

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сегодня появляется новое математическое понятие - логарифм. Мы не будем начинать с непонятной формулы. Сначала вспомним степень, затем изменим вопрос к знакомому показательному равенству и только после этого введём логарифм. Отдельно разберём, где находится основание логарифма, где его аргумент и что означает полученный ответ.

40 минут основной работы

Что вы изучите

Главная задача урока - не просто вычислить несколько логарифмов, а понять смысл новой записи и роль каждого числа в ней.

01

Поймёте смысл логарифма

Логарифм отвечает на вопрос о неизвестном показателе степени.

02

Научитесь читать запись

Отдельно разберём основание логарифма, аргумент и значение логарифма.

03

Поймёте ограничения

Узнаете, почему основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент должен быть положительным.

04

Научитесь менять форму записи

Будете переводить показательную запись в логарифмическую и обратно.

05

Научитесь вычислять

Разберём положительные, нулевые, отрицательные и дробные значения логарифма.

06

Научитесь проверять ответ

Любой найденный логарифм можно проверить обратным переходом к степени.

Начинаем со знакомой степени

Чтобы понять логарифм, сначала восстановим смысл записи степени.

2³ = 8

Разбираем показательную запись

2 основание степени

3 показатель степени

8 значение степени

Запись 2³ означает, что число 2 умножается само на себя три раза:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8

Пока логарифма здесь нет. Мы имеем три знакомых элемента: основание 2, показатель 3 и результат 8.

Теперь изменим вопрос

Представим, что основание и результат известны, а показатель степени неизвестен.

2^? = 8

Теперь задаём вопрос:

В какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить число 8?

Мы знаем: 2³ = 8 .

Значит, искомый показатель равен 3.

Именно этот неизвестный показатель степени и позволяет найти логарифм.

Что такое логарифм

Логарифм числа

Логарифмом положительного числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

log a (b) = c означает то же самое, что a^c = b

Что означает каждый символ

log a (b) = c

a основание логарифма. Оно записывается маленьким символом внизу после log.

b аргумент логарифма. Это число, логарифм которого ищем.

c значение логарифма. Это искомый показатель степени.

Запись log a (b) = c читается: «логарифм числа b по основанию a равен c».

Разберём конкретную запись

Здесь особенно важно увидеть, где находится маленькая двойка.

log 2 (8) = 3

2 основание логарифма

8 аргумент логарифма

3 значение логарифма

1

Находим основание

Маленькая цифра 2, расположенная внизу после слова log, является основанием.

2

Находим аргумент

В скобках находится число 8. Это аргумент.

3

Ставим вопрос

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8?

4

Проверяем степень

2³ = 8 .

5

Записываем результат

Поэтому log 2 (8) = 3 .

Три обязательных условия

Логарифм существует не при любых значениях основания и аргумента.

a > 0 a ≠ 1 b > 0

1. Основание должно быть положительным

Нужно: a > 0.

В школьном курсе действительных логарифмов основание берётся положительным.

2. Основание не должно быть равно 1

Нужно: a ≠ 1.

Любая степень числа 1 снова равна 1:

1² = 1 1⁵ = 1 1^-3 = 1

Поэтому основание 1 не позволяет однозначно определить логарифм.

3. Аргумент должен быть положительным

Нужно: b > 0.

При положительном основании значение степени всегда положительно. Поэтому получить ноль или отрицательное число невозможно.

Перед вычислением всегда проверяйте: основание положительно, основание не равно 1, аргумент положителен.

Как перейти от степени к логарифму

a^c = b превращается в log a (b) = c

1

Основание степени становится основанием логарифма

Число a записывается маленьким символом внизу после log.

2

Результат степени становится аргументом

Число b записывается в скобках после основания логарифма.

3

Показатель становится значением логарифма

Число c записывается после знака равенства.

Пример

Дано: 3⁴ = 81 .

Основание - 3. Результат - 81. Показатель - 4.

Поэтому:

log 3 (81) = 4

Как перейти от логарифма к степени

Теперь выполняем обратное действие.

log 4 (64) = 3 означает 4³ = 64

4 основание

64 аргумент

3 показатель степени

Полезная фраза: «основание в степени, равной логарифму, даёт аргумент».

Универсальный алгоритм вычисления логарифма

1

Найдите основание

Это маленькое число, расположенное внизу после слова log.

2

Найдите аргумент

Это число или выражение, записанное в скобках.

3

Задайте вопрос

В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?

4

Представьте аргумент как степень основания

Например: 32 = 2⁵, 81 = 3⁴.

5

Запишите показатель как ответ

Найденный показатель и является значением логарифма.

6

Проверьте ответ

Возведите основание в найденную степень. Должен получиться аргумент.

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Основание 2, аргумент 32

Вычислим логарифм числа 32 по основанию 2.

1

Записываем логарифм

log 2 (32) .

2

Ставим вопрос

2 в какой степени равно 32?

3

Представляем 32 степенью двойки

32 = 2⁵ .

4

Записываем ответ

3

Приравниваем показатели

2x = 1 , поэтому x = 1/2 .

4

Ответ

log 4 (2) = 1/2 .

Проверка: 4^1/2 = 2 .

Пример 6. Основание меньше 1

Вычислим логарифм числа 8 по основанию 1/2.

1

Ставим вопрос

Число 1/2 в какой степени равно 8?

2

Представляем через 2

1/2 = 2^-1 , а 8 = 2³ .

3

Находим показатель

(2^-1)^x = 2³ .

Значит: -x = 3 , откуда x = -3 .

4

Ответ

log 1/2 (8) = -3 .

Три важных равенства

0

Логарифм единицы

Поскольку a⁰ = 1, логарифм 1 по любому допустимому основанию равен 0.

1

Логарифм основания

Поскольку a¹ = a, логарифм основания по самому себе равен 1.

n

Логарифм степени

Если аргумент уже является степенью основания, значение логарифма равно показателю этой степени.

log a (1) = 0 log a (a) = 1 log a (aⁿ) = n

Каким может быть значение логарифма

Значение логарифма является показателем степени. Поэтому оно не обязано быть положительным целым числом.

Логарифм	Основание	Аргумент	Показательная запись	Ответ
log 2 (8)	2	8	2³ = 8	3
log 2 (1)	2	1	2⁰ = 1	0
log 2 (1/8)	2	1/8	2^-3 = 1/8	-3
log 4 (2)	4	2	4^1/2 = 2	1/2

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

Ошибка 1. Перепутать основание и аргумент

В логарифме числа 8 по основанию 2 маленькая двойка внизу является основанием, а 8 в скобках является аргументом.

Ошибка 2. Считать логарифм делением

Логарифм числа 8 по основанию 2 не означает 8 / 2. Нужно найти показатель степени.

Ошибка 3. Получить 4 вместо 3

То, что 8 / 2 = 4, к логарифму не относится. Нужно использовать 2³ = 8, поэтому ответ равен 3.

Ошибка 4. Разрешить отрицательный аргумент

Аргумент действительного логарифма должен быть положительным.

Ошибка 5. Разрешить нулевой аргумент

Логарифм нуля в действительных числах не определён.

Ошибка 6. Использовать основание 1

Основание логарифма не может быть равно 1.

Ошибка 7. Бояться отрицательного ответа

Значение логарифма может быть отрицательным, например если аргумент равен отрицательной степени основания.

Ошибка 8. Бояться дробного ответа

Значение логарифма может быть дробным. Например, 4^1/2 = 2.

Практические задания

При каждом логарифме сначала назовите основание и аргумент, а затем вычисляйте.

Задание 1. Переведите в логарифмическую форму

2⁴ = 16;
3³ = 27;
5⁰ = 1;
2^-3 = 1/8;
9^1/2 = 3.

Открыть подробный ответ

log 2 (16) = 4
log 3 (27) = 3
log 5 (1) = 0
log 2 (1/8) = -3
log 9 (3) = 1/2

Задание 2. Переведите в показательную форму

логарифм 32 по основанию 2 равен 5;
логарифм 64 по основанию 4 равен 3;
логарифм 1 по основанию 7 равен 0;
логарифм 1/25 по основанию 5 равен -2;
логарифм 4 по основанию 16 равен 1/2.

Открыть ответ

2⁵ = 32.
4³ = 64.
7⁰ = 1.
5^-2 = 1/25.
16^1/2 = 4.

Задание 3. Вычислите

логарифм 64 по основанию 2;
логарифм 81 по основанию 3;
логарифм 1 по основанию 5;
логарифм 10 по основанию 10;
логарифм 1/16 по основанию 2;
логарифм 3 по основанию 9.

Открыть подробное решение

64 = 2⁶, поэтому ответ 6.
81 = 3⁴, поэтому ответ 4.
1 = 5⁰, поэтому ответ 0.
10 = 10¹, поэтому ответ 1.
1/16 = 2^-4, поэтому ответ -4.
3 = 9^1/2, поэтому ответ 1/2.

Задание 4. Имеет ли логарифм смысл?

основание 2, аргумент 8;
основание 2, аргумент 0;
основание 3, аргумент -9;
основание 1, аргумент 5;
основание 1/2, аргумент 8;
основание -2, аргумент 8.

Открыть объяснение

Да. Основание положительно и не равно 1, аргумент положителен.
Нет. Аргумент равен 0.
Нет. Аргумент отрицательный.
Нет. Основание равно 1.
Да. Основание положительно, не равно 1, аргумент положителен.
Нет. Основание отрицательно.

Задание 5. Найдите неизвестный показатель

2^x = 128;
3^x = 1/27;
4^x = 2;
(1/2)^x = 16.

Открыть подробное решение

128 = 2⁷, поэтому x = 7.
1/27 = 3^-3, поэтому x = -3.
4 = 2².
2^2x = 2¹.
2x = 1.
x = 1/2.
1/2 = 2^-1.
16 = 2⁴.
2^-x = 2⁴.
-x = 4.
x = -4.

Задание 6. Найдите ошибку

Ученик решил, что логарифм числа 8 по основанию 2 равен 4, потому что 8 / 2 = 4.

Открыть объяснение

Логарифм не является делением аргумента на основание.

Нужно спросить: 2 в какой степени равно 8?

Поскольку 2³ = 8 , правильный ответ равен 3.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. При каждом логарифме сначала определяйте основание и аргумент.

Что называется логарифмом числа b по основанию a?
Где располагается основание логарифма?
Что называется аргументом логарифма?
Какие три ограничения должны выполняться?
Переведите 2⁶ = 64 в логарифмическую форму.
Переведите логарифм 81 по основанию 3, равный 4, в показательную форму.
Вычислите логарифм 125 по основанию 5.
Вычислите логарифм 1 по основанию 2.
Вычислите логарифм 1/32 по основанию 2.
Вычислите логарифм 3 по основанию 9.
Вычислите логарифм 27 по основанию 1/3.
Существует ли действительный логарифм -16 по основанию 4?

Открыть ответы и критерии

Логарифм числа b по основанию a - это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
Основание записывается маленьким символом внизу после слова log.
Аргумент - число, которое нужно получить после возведения основания в степень.
a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Логарифм 64 по основанию 2 равен 6.
3⁴ = 81.
125 = 5³, ответ 3.
1 = 2⁰, ответ 0.
1/32 = 2^-5, ответ -5.
3 = 9^1/2, ответ 1/2.
(1/3)^-3 = 27, ответ -3.
Нет. Аргумент отрицателен.

11-12 правильных ответов - материал усвоен уверенно.
8-10 - повторите отрицательные и дробные значения.
5-7 - повторите связь между степенью и логарифмом.
0-4 - вернитесь к началу урока и снова разберите схему «основание - аргумент - значение».

Видео по теме урока

Во время просмотра обращайте внимание на связь между степенью и логарифмом, а также на положение основания логарифма.

Основное видео Rutube. Рассматриваются смысл логарифма, компоненты записи и связь с показательным равенством.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Используйте презентацию после основной части урока для повторения определения и перехода между показательной и логарифмической формами.

При просмотре повторите

определение логарифма;
основание и аргумент;
условия существования;
связь логарифма со степенью;
целые и дробные значения логарифмов.

Открыть презентацию

Интерактивная тренировка

После основной практики выполните короткое упражнение на вычисление простых логарифмов.

Используйте один алгоритм

найдите основание;
найдите аргумент;
задайте вопрос о степени;
представьте аргумент степенью основания;
запишите показатель как ответ.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Отвечайте своими словами. Готовый ответ раскрывайте после собственной попытки.

01 На какой вопрос отвечает логарифм?

Ответ: в какую степень нужно возвести данное основание, чтобы получить данный аргумент.

02 Что означает логарифм 8 по основанию 2, равный 3?

Ответ: это означает, что 2³ = 8.

03 Где записывается основание логарифма?

Ответ: маленьким символом внизу после слова log.

04 Что называется аргументом логарифма?

Ответ: аргумент - это положительное число, которое нужно получить после возведения основания в соответствующую степень.

05 Какие условия должны выполняться?

Ответ: основание должно быть положительным и не равным 1, а аргумент должен быть положительным.

06 Почему логарифм единицы равен нулю?

Ответ: потому что любое допустимое основание в нулевой степени равно 1.

07 Может ли значение логарифма быть отрицательным?

Ответ: да. Например, 2^-3 = 1/8, поэтому логарифм 1/8 по основанию 2 равен -3.

08 Может ли значение логарифма быть дробным?

Ответ: да. Например, 4^1/2 = 2, поэтому логарифм 2 по основанию 4 равен 1/2.

Главное по уроку

Логарифм напрямую связан со степенью.

log a (b) = c означает a^c = b

В этой записи:

a - основание логарифма;
b - аргумент логарифма;
c - значение логарифма, то есть показатель степени.

Для существования логарифма необходимо:

a > 0 a ≠ 1 b > 0

Значение логарифма может быть положительным, равным нулю, отрицательным или дробным.

Самый надёжный способ проверки - вернуться к показательной записи и проверить, действительно ли основание в найденной степени даёт аргумент.

Следующий урок - «Десятичные и натуральные логарифмы».

14 Урок 14 Десятичные и натуральные логарифмы Открыть урок Свернуть урок

Урок 14. Десятичные и натуральные логарифмы

Урок предназначен для самостоятельного изучения. Сначала мы ещё раз очень внимательно разберём, как устроена запись логарифма и где в ней находится основание. Затем познакомимся с десятичным логарифмом lg и натуральным логарифмом ln. Все новые формулы будут сопровождаться пояснением каждого обозначения.

40 минут основной работы

Что вы изучите

К концу урока вы сможете правильно читать запись логарифма, различать основание и аргумент, вычислять простые десятичные и натуральные логарифмы и применять формулу перехода к новому основанию.

01

Повторите запись логарифма

Разберём отдельно буквы a, b и c и увидим, где расположено основание логарифма.

02

Узнаете, что такое lg и ln

Десятичный логарифм имеет основание 10, а натуральный логарифм - основание e.

03

Научитесь вычислять

Разберём вычисления пошагово и будем каждый раз определять основание, аргумент и искомый показатель степени.

Сначала разберём запись логарифма

Это главное место, где нельзя допускать неясности. Основание логарифма записывается маленьким символом внизу после слова log. Число или выражение в скобках является аргументом логарифма.

log a (b) = c означает a^c = b

Что означает каждый символ в формуле

log a (b) = c

a основание логарифма. Оно записывается маленьким символом внизу после log.

b аргумент логарифма. Это число, логарифм которого мы ищем.

c значение логарифма. Это искомый показатель степени.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию a называют показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получить число b.

Читайте запись log a (b) = c так: «логарифм числа b по основанию a равен c».

Самый простой пример: где находится число 2

Рассмотрим конкретную запись. Здесь особенно хорошо видно, что маленькая двойка внизу является основанием логарифма.

log 2 (8) = 3

2 основание логарифма

8 аргумент логарифма

3 значение логарифма

1

Смотрим на основание

Маленькая цифра 2, расположенная внизу после слова log, является основанием.

2

Смотрим на аргумент

В скобках находится число 8. Нужно понять, какой степенью числа 2 является число 8.

3

Подбираем показатель степени

Проверяем: 2³ = 8 .

4

Записываем ответ

Показатель степени равен 3. Поэтому log 2 (8) = 3 .

Когда логарифм существует

Не любое число можно поставить на место основания или аргумента.

a > 0 a ≠ 1 b > 0

В записи log a (b) основание a должно быть положительным и не должно быть равно 1.

Аргумент b должен быть строго положительным.

Поэтому логарифмы 0 и отрицательных чисел в множестве действительных чисел не определены.

Десятичный логарифм

Если основание логарифма равно 10, вместо полной записи используют короткое обозначение lg.

Десятичный логарифм

Десятичным логарифмом положительного числа x называется логарифм этого числа по основанию 10.

lg(x) это то же самое, что log 10 (x)

В обозначении lg основание 10 не пишут, но оно всегда подразумевается.

Пример 1. Вычислите lg(100)

Нужно определить показатель степени числа 10.

1

Восстанавливаем основание

lg означает основание 10. Поэтому вопрос звучит так: в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 100?

2

Представляем 100 степенью 10

10² = 100 .

3

Записываем результат

lg(100) = 2 .

Пример 2. Вычислите lg(0,01)

Здесь понадобится отрицательный показатель степени.

1

Основание по-прежнему равно 10

Нужно определить, в какую степень возвести 10, чтобы получить 0,01.

2

Представляем 0,01 как дробь

0,01 = 1 / 100 .

3

Переходим к степени 10

0,01 = 10^-2 .

4

Получаем ответ

lg(0,01) = -2 .

Основные значения десятичного логарифма

Выражение	Какой вопрос задаём	Степень	Ответ
lg(1)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 1?	10⁰ = 1	lg(1) = 0
lg(10)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 10?	10¹ = 10	lg(10) = 1
lg(100)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 100?	10² = 100	lg(100) = 2
lg(1000)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 1000?	10³ = 1000	lg(1000) = 3
lg(0,1)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 0,1?	10^-1 = 0,1	lg(0,1) = -1
lg(0,01)	В какую степень возвести 10, чтобы получить 0,01?	10^-2 = 0,01	lg(0,01) = -2

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм устроен точно так же, но его основанием является специальное число e.

Число e

Число e - математическая постоянная, приблизительно равная 2,71828. В дальнейшем оно будет особенно важно при изучении производной и показательной функции.

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом положительного числа x называется логарифм этого числа по основанию e.

ln(x) это то же самое, что log e (x)

В обозначении ln основание e не пишут, но оно всегда подразумевается.

Пример 3. Вычислите ln(e)

Основание натурального логарифма равно e.

1

Расшифровываем ln

ln(e) означает логарифм числа e по основанию e.

2

Задаём вопрос

В какую степень нужно возвести e, чтобы получить e?

3

Используем первую степень

e¹ = e .

4

Ответ

ln(e) = 1 .

Пример 4. Вычислите ln(e⁴)

Аргумент уже записан как степень основания e.

1

Основание

Для ln основание равно e.

2

Аргумент

Аргумент равен e⁴ .

3

Искомый показатель

Чтобы из e получить e⁴, нужно возвести e в четвёртую степень.

4

Ответ

ln(e⁴) = 4 .

Сравним lg и ln

Вид логарифма	Короткая запись	Основание	Полная запись
Десятичный логарифм	lg(x)	10	log 10 (x)
Натуральный логарифм	ln(x)	e	log e (x)

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Не путайте: lg(x) имеет основание 10, а ln(x) имеет основание e.

Формула перехода к новому основанию

Иногда нужно вычислить логарифм по основанию, для которого на калькуляторе нет отдельной кнопки. Тогда используют формулу перехода.

log a (b) = ln(b) / ln(a)

Обратите внимание на порядок: в числителе логарифм аргумента b, в знаменателе логарифм основания a.

Пример 5. Выразите log₂(7) через натуральные логарифмы

Сначала внимательно определяем основание и аргумент.

1

Определяем основание

В записи log 2 (7) маленькая цифра 2 внизу - это основание. Значит, a = 2.

2

Определяем аргумент

Число 7 находится в скобках. Поэтому b = 7.

3

Подставляем в формулу

В числитель ставим ln(7), потому что 7 - аргумент. В знаменатель ставим ln(2), потому что 2 - основание.

4

Получаем

log 2 (7) = ln(7) / ln(2) .

log a (b) можно также записать как lg(b) / lg(a)

Универсальный алгоритм чтения логарифма

Используйте этот алгоритм каждый раз, когда видите логарифм.

1

Найдите маленькое число внизу после log

Это основание логарифма.

2

Найдите число или выражение в скобках

Это аргумент логарифма.

3

Задайте вопрос

В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?

4

Найденный показатель степени и есть логарифм

Например: log 3 (81) = 4 , потому что 3⁴ = 81 .

Типичные ошибки

Ошибка 1. Не заметить основание

Маленькое число после log не является множителем. Это основание логарифма.

Ошибка 2. Перепутать основание и аргумент

В log₂(8) число 2 - основание, а число 8 - аргумент.

Ошибка 3. Считать lg и ln одинаковыми

lg имеет основание 10, а ln имеет основание e.

Ошибка 4. Писать lg(100) = 100

Логарифм показывает показатель степени. lg(100) = 2, потому что 10² = 100.

Ошибка 5. Перевернуть формулу перехода

В logₐ(b) = ln(b) / ln(a) в числителе находится аргумент b, а в знаменателе - основание a.

Ошибка 6. Вычислять логарифм нуля

Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Практические задания

В каждом задании сначала назовите основание и аргумент, а уже потом выполняйте вычисление.

Задание 1. Определите основание и аргумент

log₂(16)
log₅(125)
log₁₀(1000)

Открыть решение

В log₂(16): основание 2, аргумент 16.
В log₅(125): основание 5, аргумент 125.
В log₁₀(1000): основание 10, аргумент 1000.

Задание 2. Вычислите

lg(1);
lg(10);
lg(1000);
lg(0,1);
lg(0,001).

Открыть подробное решение

lg(1) = 0, потому что 10⁰ = 1.
lg(10) = 1, потому что 10¹ = 10.
lg(1000) = 3, потому что 10³ = 1000.
lg(0,1) = -1, потому что 10^-1 = 0,1.
lg(0,001) = -3, потому что 10^-3 = 0,001.

Задание 3. Натуральный логарифм

ln(1);
ln(e);
ln(e³);
ln(e^-2).

Открыть решение

ln(1) = 0, потому что e⁰ = 1.
ln(e) = 1, потому что e¹ = e.
ln(e³) = 3.
ln(e^-2) = -2.

Задание 4. Формула перехода

Выразите через натуральные логарифмы:

log₂(5);
log₃(7);
log₅(12).

Открыть решение

log₂(5) = ln(5) / ln(2).
log₃(7) = ln(7) / ln(3).
log₅(12) = ln(12) / ln(5).

Небольшая самостоятельная работа

Выполните задания самостоятельно. Перед каждым вычислением мысленно назовите основание и аргумент.

Итоговая проверка

В записи log₂(32) назовите основание.
В записи log₂(32) назовите аргумент.
Вычислите log₂(32).
Вычислите lg(10000).
Вычислите lg(0,01).
Вычислите ln(e⁵).
Выразите log₇(3) через натуральные логарифмы.

Открыть ответы

Основание равно 2.
Аргумент равен 32.
log₂(32) = 5, потому что 2⁵ = 32.
lg(10000) = 4.
lg(0,01) = -2.
ln(e⁵) = 5.
log₇(3) = ln(3) / ln(7).

7 баллов - материал усвоен уверенно.
5-6 баллов - повторите формулу перехода.
3-4 балла - снова разберите схему «основание - аргумент - значение».
0-2 балла - вернитесь к самому началу урока и повторите определение логарифма.

Видео по теме урока

Видео используйте после изучения основной теории. Во время просмотра следите за тем, где записано основание логарифма и что является его аргументом.

Основное видео Rutube. Определение логарифма, десятичный и натуральный логарифмы, основные свойства и формула перехода.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно. Затем откройте готовый ответ.

01 Где в записи logₐ(b) находится основание?

Ответ: основание - это a. Оно записывается маленьким символом внизу после слова log.

02 Что является аргументом в записи logₐ(b)?

Ответ: аргументом является b. В нашем оформлении он записан в скобках.

03 Что означает равенство log₂(8) = 3?

Ответ: оно означает, что 2³ = 8.

04 Какое основание имеет lg?

Ответ: основание 10.

05 Какое основание имеет ln?

Ответ: основание e.

06 Почему lg(1000) = 3?

Ответ: потому что 10³ = 1000.

07 Как выразить log₂(7) через натуральные логарифмы?

Ответ: log₂(7) = ln(7) / ln(2). Число 7 является аргументом и идёт в числитель, число 2 является основанием и идёт в знаменатель.

Главное по уроку

Общая запись логарифма:

log a (b) = c означает a^c = b

В этой записи a - основание, b - аргумент, c - значение логарифма.

Десятичный логарифм имеет основание 10: lg(x) = log 10 (x) .

Натуральный логарифм имеет основание e: ln(x) = log e (x) .

Формула перехода к новому основанию: log a (b) = ln(b) / ln(a) .

Следующий урок - «Преобразование выражений, содержащих логарифмы».

15 Урок 15 Преобразование выражений, содержащих логарифмы Открыть урок Свернуть урок

Урок 15. Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Урок предназначен для самостоятельного изучения. В предыдущих двух уроках мы выяснили, что такое логарифм, где находится его основание, что является аргументом, а также познакомились с десятичными и натуральными логарифмами. Теперь начинаем использовать свойства логарифмов для преобразования выражений. На этом уроке подробно разберём три основных свойства: логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени.

40 минут основной работы

Что вы изучите

Главная задача урока - научиться видеть структуру логарифмического выражения и правильно выбирать свойство для его преобразования.

01

Логарифм произведения

Узнаете, почему произведение внутри логарифма можно заменить суммой двух логарифмов.

02

Логарифм частного

Узнаете, почему деление внутри логарифма превращается в разность логарифмов.

03

Логарифм степени

Научитесь выносить показатель степени перед знаком логарифма.

04

Обратные преобразования

Будете объединять сумму и разность логарифмов в один логарифм.

05

Пошаговые вычисления

Каждое действие будем сопровождать объяснением, почему можно применить именно это свойство.

06

Типичные ошибки

Разберём преобразования, которые выглядят правдоподобно, но математически неверны.

Сначала повторим смысл логарифма

Свойства логарифмов легче понимать, если сохранять связь логарифма со степенью.

log a (b) = c означает a^c = b

В этой записи:

a - основание логарифма;
b - аргумент логарифма;
c - значение логарифма, то есть показатель степени.

Например:

log 2 (8) = 3 потому что 2³ = 8

На этом и всех следующих уроках основание логарифма всегда записывается маленьким символом внизу после log, а аргумент берётся в скобки.

Условия, которые нельзя забывать

Свойства логарифмов применяются только тогда, когда все участвующие логарифмы имеют смысл.

a > 0 a ≠ 1 x > 0 y > 0

Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1.

Каждый аргумент логарифма должен быть положительным.

Поэтому при преобразовании выражения нельзя забывать исходные ограничения.

Свойство 1. Логарифм произведения

Если внутри логарифма стоит произведение двух положительных чисел, его можно заменить суммой логарифмов этих чисел по тому же основанию.

1

Произведение превращается в сумму

Основание всех логарифмов остаётся одинаковым.

log a (x · y) = log a (x) + log a (y)

Словами: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

Пример 1. Вычислите логарифм произведения

Рассмотрим произведение 8 · 4 внутри логарифма по основанию 2.

1

Записываем исходное выражение

log 2 (8 · 4)

2

Видим произведение

Внутри скобок числа 8 и 4 умножаются. Значит, можно использовать свойство логарифма произведения.

3

Разделяем произведение на сумму

log 2 (8) + log 2 (4)

4

Вычисляем каждый логарифм

2³ = 8 , поэтому первый логарифм равен 3.

2² = 4 , поэтому второй логарифм равен 2.

5

Получаем ответ

3 + 2 = 5

Ответ: 5.

То же свойство можно использовать в обратную сторону

Если складываются два логарифма с одинаковым основанием, их можно объединить в один логарифм произведения.

log a (x) + log a (y) = log a (x · y)

Пример

Рассмотрим:

lg(4) + lg(25)

Основания одинаковы: оба логарифма десятичные, то есть основание равно 10.

Поэтому объединяем:

lg(4 · 25) = lg(100) = 2

Свойство 2. Логарифм частного

Если внутри логарифма одно положительное число делится на другое, логарифм частного можно заменить разностью логарифмов.

2

Деление превращается в вычитание

Основание логарифма не меняется.

log a (x / y) = log a (x) - log a (y)

Словами: логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Пример 2. Вычислите логарифм частного

Вычислим логарифм числа 81 / 3 по основанию 3.

1

Записываем выражение

log 3 (81 / 3)

2

Видим деление

Значит, используем свойство логарифма частного.

3

Заменяем частное разностью

log 3 (81) - log 3 (3)

4

Вычисляем

Поскольку 3⁴ = 81 , первый логарифм равен 4.

Поскольку 3¹ = 3 , второй логарифм равен 1.

5

Ответ

4 - 1 = 3

Ответ: 3.

Разность логарифмов можно объединить

log a (x) - log a (y) = log a (x / y)

Пример

log 3 (81) - log 3 (3)

Основания одинаковы, поэтому объединяем:

log 3 (81 / 3) = log 3 (27) = 3

Свойство 3. Логарифм степени

Если аргумент логарифма возведён в степень, показатель этой степени можно вынести перед знаком логарифма.

3

Показатель степени выходит перед логарифмом

Основание логарифма остаётся тем же.

log a (x^r) = r · log a (x)

Словами: логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Пример 3. Вынесите показатель степени

Рассмотрим логарифм третьей степени числа 25 по основанию 5.

1

Исходное выражение

log 5 (25³)

2

Видим степень аргумента

Число 25 возведено в третью степень. Значит, число 3 можно вынести перед знаком логарифма.

3

Применяем свойство

3 · log 5 (25)

4

Вычисляем логарифм

Поскольку 5² = 25 , логарифм 25 по основанию 5 равен 2.

5

Получаем ответ

3 · 2 = 6

Ответ: 6.

Число перед логарифмом можно внести в показатель степени

Свойство степени также работает в обратную сторону.

r · log a (x) = log a (x^r)

Пример

Рассмотрим:

2 · log 3 (9)

Вносим число 2 в показатель степени:

log 3 (9²) = log 3 (81) = 4

Три свойства в одной таблице

Что внутри логарифма	Что происходит	Правило	Что запомнить
Произведение x · y	Превращается в сумму	logₐ(x · y) = logₐ(x) + logₐ(y)	Умножение внутри - сложение снаружи.
Частное x / y	Превращается в разность	logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)	Деление внутри - вычитание снаружи.
Степень x^r	Показатель выносится вперёд	logₐ(x^r) = r · logₐ(x)	Показатель степени становится множителем.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Комбинированные примеры

Теперь будем определять, какое свойство нужно применить по структуре самого выражения.

Пример 4. Сумма двух логарифмов

Вычислим сумму логарифмов по основанию 2.

1

Исходное выражение

log 2 (8) + log 2 (4)

2

Проверяем основания

Оба основания равны 2. Значит, логарифмы можно объединить.

3

Сумму превращаем в произведение

log 2 (8 · 4)

4

Умножаем

8 · 4 = 32

5

Вычисляем логарифм

2⁵ = 32 , поэтому ответ равен 5.

Пример 5. Разность логарифмов

Вычислим разность логарифмов по основанию 5.

1

Исходное выражение

log 5 (125) - log 5 (5)

2

Основания одинаковы

Поэтому разность можно объединить в логарифм частного.

3

Объединяем

log 5 (125 / 5)

4

Делим

125 / 5 = 25

5

Ответ

Поскольку 5² = 25 , ответ равен 2.

Пример 6. Два свойства подряд

Вычислим выражение, где сначала используется свойство степени, а затем свойство произведения.

1

Исходное выражение

2 · log 2 (4) + log 2 (2)

2

Вносим коэффициент 2 в степень

log 2 (4²) + log 2 (2)

3

Вычисляем степень

4² = 16

4

Объединяем сумму логарифмов

log 2 (16 · 2)

5

Получаем 32

16 · 2 = 32

6

Ответ

Поскольку 2⁵ = 32 , ответ равен 5.

Как понять, какое свойство применять

1

Посмотрите внутрь скобок логарифма

Сначала определите, какое действие выполняется с аргументом.

2

Если внутри умножение

Логарифм произведения можно заменить суммой логарифмов.

3

Если внутри деление

Логарифм частного можно заменить разностью логарифмов.

4

Если аргумент возведён в степень

Показатель степени можно вынести перед логарифмом.

5

Если перед вами сумма или разность логарифмов

Сначала убедитесь, что основания одинаковы. После этого сумму можно превратить в произведение, а разность - в частное.

6

После преобразования снова оцените выражение

Иногда после одного свойства появляется возможность применить второе.

Очень важно: сумма внутри логарифма не раскрывается

Свойства произведения и частного часто ошибочно переносят на сложение и вычитание. Делать этого нельзя.

Неверно: log a (x + y) ≠ log a (x) + log a (y)

Также неверно: log a (x - y) ≠ log a (x) - log a (y)

Свойства работают для произведения, частного и степени.

Для обычной суммы x + y или разности x - y аналогичного правила нет.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Раскрывать логарифм суммы

Логарифм x + y не равен сумме логарифмов x и y.

Ошибка 2. Раскрывать логарифм разности

Логарифм x - y не равен разности логарифмов x и y.

Ошибка 3. Складывать логарифмы с разными основаниями

Напрямую объединять в один логарифм можно только логарифмы с одинаковым основанием.

Ошибка 4. Менять знак в свойстве произведения

Произведение соответствует сумме, а не разности.

Ошибка 5. Менять порядок при делении

В логарифме x / y первым идёт логарифм x, затем вычитается логарифм y.

Ошибка 6. Забыть показатель степени

В logₐ(x^r) число r не исчезает. Оно становится множителем перед логарифмом.

Ошибка 7. Менять основание

При раскрытии произведения, частного или степени основание логарифма остаётся прежним.

Ошибка 8. Не проверять положительность аргументов

Все аргументы действительных логарифмов должны быть положительными.

Практические задания

Сначала определите, какое свойство нужно применить. Только после этого начинайте вычисления.

Задание 1. Раскройте логарифм произведения

Представьте каждый логарифм в виде суммы.

log₂(4 · 8);
log₃(9 · 27);
log₅(25 · 125).

Открыть ответ

log₂(4) + log₂(8).
log₃(9) + log₃(27).
log₅(25) + log₅(125).

Задание 2. Раскройте логарифм частного

log₂(32 / 4);
log₃(81 / 9);
log₅(125 / 5).

Открыть ответ

log₂(32) - log₂(4).
log₃(81) - log₃(9).
log₅(125) - log₅(5).

Задание 3. Вынесите показатель степени

log₂(8²);
log₃(9⁴);
log₅(25³).

Открыть ответ

2 · log₂(8).
4 · log₃(9).
3 · log₅(25).

Задание 4. Объедините логарифмы

log₂(4) + log₂(8);
log₃(81) - log₃(3);
lg(5) + lg(20);
ln(10) - ln(2).

Открыть ответ

log₂(4 · 8) = log₂(32).
log₃(81 / 3) = log₃(27).
lg(5 · 20) = lg(100).
ln(10 / 2) = ln(5).

Задание 5. Вычислите

log₂(8) + log₂(4);
log₃(81) - log₃(3);
2 · log₅(25);
lg(4) + lg(25);
3 · log₂(4).

Открыть подробное решение

log₂(8 · 4) = log₂(32) = 5.
log₃(81 / 3) = log₃(27) = 3.
log₅(25) = 2, поэтому 2 · 2 = 4.
lg(4 · 25) = lg(100) = 2.
log₂(4) = 2, поэтому 3 · 2 = 6.

Задание 6. Найдите неверное преобразование

log₂(4 · 8) = log₂(4) + log₂(8);
log₃(27 / 3) = log₃(27) - log₃(3);
log₅(25 + 5) = log₅(25) + log₅(5);
log₂(8³) = 3 · log₂(8).

Открыть объяснение

Неверно третье преобразование.

Для суммы внутри логарифма свойства разложения на сумму логарифмов нет.

Поэтому log₅(25 + 5) нельзя заменить на log₅(25) + log₅(5).

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. Перед каждым преобразованием назовите используемое свойство.

Запишите формулу логарифма произведения.
Запишите формулу логарифма частного.
Запишите формулу логарифма степени.
Вычислите log₂(4) + log₂(16).
Вычислите log₃(81) - log₃(9).
Вычислите 2 · log₃(9).
Объедините lg(2) + lg(50).
Объедините ln(24) - ln(3).
Можно ли заменить log₂(4 + 8) на log₂(4) + log₂(8)?
Почему при объединении двух логарифмов нужно проверить их основания?

Открыть ответы и критерии

logₐ(x · y) = logₐ(x) + logₐ(y).
logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y).
logₐ(x^r) = r · logₐ(x).
log₂(4 · 16) = log₂(64) = 6.
log₃(81 / 9) = log₃(9) = 2.
log₃(9) = 2, поэтому 2 · 2 = 4.
lg(2 · 50) = lg(100) = 2.
ln(24 / 3) = ln(8).
Нет. Свойства для суммы внутри логарифма нет.
Формулы объединения суммы и разности применяются к логарифмам с одинаковым основанием.

9-10 правильных ответов - свойства усвоены уверенно.
7-8 - повторите обратное применение свойств.
5-6 - повторите различие между произведением, частным и суммой.
0-4 - снова разберите каждое из трёх свойств по отдельности.

Видео по теме урока

Видео используйте после самостоятельного изучения основных свойств. Во время просмотра сравнивайте каждую формулу с таблицей из урока.

Основное видео Rutube. Рассматриваются свойства логарифмов и их применение при вычислении и преобразовании выражений.

Открыть видео на Rutube

Презентация

Презентацию удобно использовать для повторения трёх основных свойств логарифмов.

При просмотре повторите

условия существования логарифмов;
логарифм произведения;
логарифм частного;
логарифм степени;
применение свойств в обе стороны.

Открыть презентацию

Интерактивная тренировка

После основной практики выполните упражнение на свойства логарифмов.

Перед ответом

определите основание логарифма;
посмотрите на действие внутри аргумента;
выберите нужное свойство;
не применяйте свойства произведения к сумме;
проверяйте результат.

Открыть упражнение LearningApps

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Во что превращается логарифм произведения?

Ответ: в сумму логарифмов множителей по тому же основанию.

02 Во что превращается логарифм частного?

Ответ: в разность логарифмов числителя и знаменателя.

03 Что происходит с показателем степени аргумента?

Ответ: показатель степени можно вынести перед знаком логарифма как множитель.

04 Можно ли объединить log₂(4) + log₃(9) в один логарифм произведения?

Ответ: нет. Основания различаются: первый логарифм имеет основание 2, второй - основание 3.

05 Можно ли раскрыть log₂(4 + 8) как log₂(4) + log₂(8)?

Ответ: нет. Для суммы внутри логарифма такого свойства не существует.

06 Как объединить сумму двух логарифмов с одинаковым основанием?

Ответ: аргументы нужно перемножить и записать один логарифм этого произведения.

07 Как объединить разность логарифмов с одинаковым основанием?

Ответ: аргумент первого логарифма нужно разделить на аргумент второго и записать один логарифм полученного частного.

08 Какие условия должны выполняться для аргументов логарифмов?

Ответ: аргументы действительных логарифмов должны быть строго положительными.

Главное по уроку

Сегодня изучены три основные формулы преобразования логарифмов.

1. Логарифм произведения

log a (x · y) = log a (x) + log a (y)

2. Логарифм частного

log a (x / y) = log a (x) - log a (y)

3. Логарифм степени

log a (x^r) = r · log a (x)

Все три свойства можно использовать в обе стороны.

Для суммы и разности внутри логарифма аналогичных правил нет.

При объединении нескольких логарифмов их основания должны совпадать.

Следующий урок - урок 16 «Преобразование выражений, содержащих логарифмы». В нём продолжим работу со свойствами и перейдём к более сложным выражениям, где несколько преобразований выполняются последовательно.

16 Урок 16 Преобразование выражений, содержащих логарифмы Открыть урок Свернуть урок

Урок 16. Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Урок предназначен для самостоятельного изучения. На предыдущем уроке были разобраны логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени. Теперь переходим к следующему уровню: учимся менять основание логарифма, находить взаимно обратные логарифмы, сокращать цепочки логарифмов и выполнять несколько преобразований последовательно.

40 минут основной работы

Что вы изучите

Сегодня свойства логарифмов начинают работать вместе. Главное - научиться видеть структуру выражения до начала вычислений.

01

Формула перехода

Научитесь заменять одно основание логарифма другим.

02

Переход к lg и ln

Поймёте, как вычислять логарифм с любым допустимым основанием на калькуляторе.

03

Обратные логарифмы

Разберём ситуацию, когда основание и аргумент меняются местами.

04

Цепочки логарифмов

Научитесь быстро сокращать произведение нескольких логарифмов.

05

Степень основания

Разберём случай, когда основание логарифма само является степенью.

06

Логарифмические тождества

Научитесь узнавать выражения, которые можно упростить одним действием.

Сначала повторим обозначения

Основание и аргумент должны быть видны сразу. Это особенно важно в сложных формулах.

log a (b) = c означает a^c = b

a - основание логарифма;
b - аргумент логарифма;
c - значение логарифма.

Во всех формулах урока основание логарифма записано маленьким символом внизу, а аргумент находится в скобках.

Три свойства из предыдущего урока

Эти свойства продолжают использоваться и в более сложных преобразованиях.

Ситуация	Формула	Что происходит	Как запомнить
Произведение	logₐ(x · y) = logₐ(x) + logₐ(y)	Произведение превращается в сумму.	Умножение внутри - сложение снаружи.
Частное	logₐ(x / y) = logₐ(x) - logₐ(y)	Частное превращается в разность.	Деление внутри - вычитание снаружи.
Степень аргумента	logₐ(x^r) = r · logₐ(x)	Показатель степени выходит перед логарифмом.	Показатель становится множителем.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Формула перехода к новому основанию

Один и тот же логарифм можно выразить через логарифмы по другому основанию.

1

Переход от основания a к основанию c

Новое основание c должно быть положительным и не равным 1.

log a (b) = log c (b) log c (a)

Главное правило: аргумент b идёт в числитель, а старое основание a - в знаменатель.

Алгоритм перехода к новому основанию

1

Найдите старое основание

Это маленькое число или выражение внизу после log.

2

Найдите аргумент

Это число или выражение в скобках.

3

Выберите новое основание

Часто удобно выбрать 10 и использовать lg или выбрать число e и использовать ln.

4

В числитель запишите логарифм аргумента

Аргумент исходного логарифма остаётся аргументом логарифма в числителе.

5

В знаменатель запишите логарифм старого основания

Новое основание в числителе и знаменателе должно быть одинаковым.

Пример 1. Переходим к натуральным логарифмам

Выразите log₂(7) через ln

Разберём отдельно основание, аргумент и порядок чисел в дроби.

1

Старое основание равно 2

В записи log 2 (7) маленькая цифра 2 является основанием.

2

Аргумент равен 7

Число 7 находится в скобках.

3

Выбираем натуральный логарифм

В числитель ставим ln(7), потому что 7 - аргумент.

4

В знаменатель ставим ln(2)

Число 2 было старым основанием.

5

Получаем

log 2 (7) = ln(7) ln(2)

Переход к lg или ln

Эти две формы чаще всего используются при вычислениях на калькуляторе.

log a (b) = lg(b) lg(a)

log a (b) = ln(b) ln(a)

Нельзя написать в числителе lg, а в знаменателе ln. Основание у обоих логарифмов должно быть одинаковым.

Взаимно обратные логарифмы

Очень важный частный случай формулы перехода возникает, когда основание и аргумент меняются местами.

log a (b) = 1 log b (a)

Если основание и аргумент поменялись местами, значение логарифма заменилось на обратное число.

log a (b) · log b (a) = 1

Пример 2. Произведение взаимно обратных логарифмов

Вычислите log₂(5) · log₅(2)

Здесь особенно важно сравнить основания и аргументы.

1

Первый логарифм

Основание 2, аргумент 5.

2

Второй логарифм

Основание 5, аргумент 2.

3

Числа поменялись местами

Значит, два логарифма являются взаимно обратными.

4

Ответ

log 2 (5) · log 5 (2) = 1

Цепочка логарифмов

Если аргумент первого логарифма совпадает с основанием второго, произведение можно значительно упростить.

2

Среднее число исчезает

Остаются первое основание и последний аргумент.

log a (b) · log b (c) = log a (c)

Удобно читать такую запись как путь: a → b → c. Среднее число b сокращается.

Пример 3. Вычисляем цепочку

Вычислите log₂(3) · log₃(8)

1

Определяем цепочку

Получаем путь: 2 → 3 → 8.

2

Среднее число 3 сокращается

Остаются основание 2 и аргумент 8.

3

Получаем один логарифм

log 2 (8)

4

Вычисляем

2³ = 8 , поэтому ответ равен 3.

Длинная цепочка логарифмов

То же правило работает и для трёх, четырёх и более множителей.

log a (b) · log b (c) · log c (d) = log a (d)

Пример

Рассмотрим:

log 2 (3) · log 3 (5) · log 5 (16)

Цепочка: 2 → 3 → 5 → 16.

Остаётся:

log 2 (16) = 4

Если основание логарифма является степенью

Степень в основании преобразуется иначе, чем степень в аргументе.

log a^m (b) = 1 m · log a (b)

Если степень находится в основании, её показатель появляется в знаменателе коэффициента.

Пример 4. Вычислите log₄(8)

Представим основание и аргумент степенями числа 2

1

Представляем основание

4 = 2²

2

Представляем аргумент

8 = 2³

3

Сравниваем показатели

Чтобы (2²)^x стало равно 2³ , должно выполняться 2x = 3 .

4

Находим x

x = 3/2

5

Ответ

log 4 (8) = 3/2

Два важных логарифмических тождества

Они показывают, что логарифмирование и возведение в степень являются взаимно обратными действиями.

log a (a^x) = x

a^{log a (b)} = b

В обоих тождествах основание степени и основание логарифма должны совпадать.

Пример 5. Несколько преобразований подряд

Вычислите log₂(3) · log₃(5) · log₅(32)

Вместо вычисления каждого логарифма отдельно увидим цепочку.

1

Записываем путь

2 → 3 → 5 → 32.

2

Убираем промежуточные числа

Числа 3 и 5 являются промежуточными звеньями цепочки.

3

Остаётся один логарифм

log 2 (32)

4

Вычисляем

2⁵ = 32 , поэтому ответ равен 5.

Новые свойства в одной таблице

Свойство	Формула	Что нужно заметить	Результат
Переход к новому основанию	logₐ(b) = log꜀(b) / log꜀(a)	Аргумент идёт в числитель, старое основание - в знаменатель.	Можно перейти к lg, ln или другому удобному основанию.
Обратные логарифмы	logₐ(b) · logᵦ(a) = 1	Основание и аргумент поменялись местами.	Произведение равно 1.
Цепочка	logₐ(b) · logᵦ(c) = logₐ(c)	Аргумент первого равен основанию второго.	Остаются первое основание и последний аргумент.
Степень основания	log₍ₐᵐ₎(b) = (1/m) · logₐ(b)	Степень находится именно в основании.	Показатель степени появляется в знаменателе.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Как действовать со сложным выражением

1

Не начинайте считать сразу

Сначала рассмотрите выражение целиком.

2

Определите основания и аргументы

Особенно внимательно смотрите на маленькие индексы после log.

3

Проверьте одинаковые основания

Возможно, сначала пригодятся свойства урока 15.

4

Ищите обратные логарифмы

Если основание и аргумент поменяны местами, произведение равно 1.

5

Ищите цепочку

Аргумент одного логарифма может оказаться основанием следующего.

6

При необходимости смените основание

Используйте формулу перехода.

7

После каждого шага снова смотрите на выражение

После упрощения может появиться новое свойство, которое раньше было не видно.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Перевернуть формулу перехода

Аргумент должен стоять в числителе, старое основание - в знаменателе.

Ошибка 2. Использовать разные новые основания

В числителе и знаменателе должно использоваться одно и то же новое основание.

Ошибка 3. Не заметить обратные логарифмы

logₐ(b) и logᵦ(a) являются взаимно обратными.

Ошибка 4. Сократить неправильную цепочку

Аргумент первого логарифма должен точно совпадать с основанием следующего.

Ошибка 5. Потерять первое основание

В цепочке сохраняется самое первое основание.

Ошибка 6. Потерять последний аргумент

В цепочке сохраняется самый последний аргумент.

Ошибка 7. Перепутать степень основания и аргумента

Они преобразуются по-разному.

Ошибка 8. Забыть условия существования

Основание положительно и не равно 1, аргумент положителен.

Практические задания

Перед вычислением определите, какое свойство нужно применить.

Задание 1. Перейдите к натуральным логарифмам

log₂(7);
log₃(5);
log₅(11);
log₇(2).

Открыть ответ

ln(7) / ln(2);
ln(5) / ln(3);
ln(11) / ln(5);
ln(2) / ln(7).

Задание 2. Взаимно обратные логарифмы

log₂(3) · log₃(2);
log₅(7) · log₇(5);
log₃(10) · log₁₀(3).

Открыть ответ

Во всех трёх случаях основание и аргумент поменялись местами.

1;
1;
1.

Задание 3. Цепочки логарифмов

log₂(3) · log₃(16);
log₃(5) · log₅(81);
log₂(5) · log₅(7) · log₇(32).

Открыть подробное решение

Цепочка 2 → 3 → 16.
Получаем log₂(16) = 4.
Цепочка 3 → 5 → 81.
Получаем log₃(81) = 4.
Цепочка 2 → 5 → 7 → 32.
Получаем log₂(32) = 5.

Задание 4. Вычислите логарифмы

log₄(16);
log₈(4);
log₉(27);
log₂₅(125).

Открыть решение

4 = 2², 16 = 2⁴.
Ответ: 2.
8 = 2³, 4 = 2².
Ответ: 2/3.
9 = 3², 27 = 3³.
Ответ: 3/2.
25 = 5², 125 = 5³.
Ответ: 3/2.

Задание 5. Используйте тождества

log₅(5⁷);
log₂(2⁹);
3^log₃(14);
7^log₇(20).

Открыть ответ

7;
9;
14;
20.

Задание 6. Найдите ошибку

Ученик записал:

log 2 (7) = ln(2) ln(7)

Открыть объяснение

Числитель и знаменатель перепутаны.

Число 7 является аргументом, поэтому ln(7) должно находиться в числителе.

Число 2 является старым основанием, поэтому ln(2) должно находиться в знаменателе.

Правильно: log₂(7) = ln(7) / ln(2).

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок.

Запишите формулу перехода к новому основанию.
Выразите log₇(3) через ln.
Выразите log₅(11) через lg.
Вычислите log₂(5) · log₅(2).
Вычислите log₃(7) · log₇(81).
Вычислите log₂(3) · log₃(5) · log₅(64).
Вычислите log₈(32).
Вычислите log₂₅(5).
Вычислите log₄(64).
Вычислите 11^log₁₁(7).

Открыть ответы и критерии

logₐ(b) = log꜀(b) / log꜀(a).
ln(3) / ln(7).
lg(11) / lg(5).
1.
log₃(81) = 4.
log₂(64) = 6.
5/3.
1/2.
3.
7.

9-10 правильных ответов - тема усвоена уверенно.
7-8 - повторите цепочки и степени оснований.
5-6 - повторите формулу перехода.
0-4 - снова разберите примеры урока по шагам.

Видео по теме урока

Сначала изучите материал урока самостоятельно, затем используйте видео для повторения.

Основное видео Rutube. Повторяются свойства логарифмов и преобразования логарифмических выражений.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Что находится в числителе формулы перехода?

Ответ: логарифм аргумента по новому основанию.

02 Что находится в знаменателе формулы перехода?

Ответ: логарифм старого основания по новому основанию.

03 Чему равно произведение logₐ(b) · logᵦ(a)?

Ответ: 1.

04 Чему равно logₐ(b) · logᵦ(c)?

Ответ: logₐ(c).

05 Что остаётся после сокращения длинной цепочки?

Ответ: самое первое основание и самый последний аргумент.

06 Куда попадает показатель степени основания?

Ответ: в знаменатель коэффициента перед логарифмом.

07 Чему равно logₐ(aˣ)?

Ответ: x.

08 Чему равно a в степени logₐ(b)?

Ответ: b.

Главное по уроку

Формула перехода

log a (b) = log c (b) log c (a)

Взаимно обратные логарифмы

log a (b) · log b (a) = 1

Цепочка

log a (b) · log b (c) = log a (c)

В сложном выражении сначала определяйте основания и аргументы, затем ищите известную структуру: одинаковые основания, обратные логарифмы, цепочку или удобный переход к новому основанию.

Следующий урок - урок 17 «Преобразование выражений, содержащих логарифмы». В нём продолжим тему и перейдём к ещё более сложным преобразованиям.

17 Урок 17 Преобразование выражений, содержащих логарифмы Открыть урок Свернуть урок

Урок 17. Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Этот урок можно пройти полностью самостоятельно. Мы не будем считать, что вы помните всю школьную математику. Сначала вспомним, что такое переменная, математическое выражение, корень, дробная степень и область допустимых значений. После этого научимся преобразовывать логарифмы, содержащие переменные, корни и степени, а также выражения, где логарифм находится в показателе степени.

45 минут основной работы

Что вы изучите

Сегодня мы связываем логарифмы с темами, которые изучались раньше: переменными, степенями и корнями.

01

Переменная

Вспомним, что означает буква x или y в математическом выражении.

02

ОДЗ

Научимся определять, при каких значениях переменной логарифм существует.

03

Корень и степень

Вспомним, как заменить корень дробной степенью.

04

Логарифм корня

Научимся преобразовывать логарифмы, содержащие квадратные и кубические корни.

05

Сложные выражения

Будем применять несколько свойств логарифмов последовательно.

06

Логарифм в степени

Разберём выражения вида a в степени log по основанию a.

Сначала вспомним основные слова

Если вы давно не занимались математикой, этот блок особенно важен.

Переменная

Переменная - это буква, вместо которой могут подставляться разные числа. Например, в выражении x + 3 буква x является переменной. Если x = 2, то x + 3 = 5. Если x = 10, то x + 3 = 13.

Математическое выражение

Выражение - это запись, состоящая из чисел, букв и математических действий. Например, x + 2, x², √x и log₂(x) - математические выражения.

Значение выражения

Значение выражения - это число, которое получается после подстановки конкретного значения переменной и выполнения всех действий.

Что такое ОДЗ

При работе с логарифмами недостаточно просто выполнить преобразование. Сначала нужно убедиться, что выражение вообще имеет смысл.

Область допустимых значений - ОДЗ

ОДЗ - это все значения переменной, при которых математическое выражение существует и имеет смысл.

Для логарифма нужно помнить два условия: аргумент должен быть больше нуля, а основание должно быть больше нуля и не равно 1.

a > 0 a ≠ 1 b > 0

В выражении log a (b) буква a обозначает основание, а b - аргумент.

Пример 1. Найдём ОДЗ

Для каких x существует log₂(x - 3)?

Основание 2 уже подходит: 2 больше нуля и не равно 1. Значит, нужно проверить аргумент.

1

Находим аргумент

Аргументом является выражение x - 3 .

2

Аргумент должен быть положительным

Записываем: x - 3 > 0 .

3

Прибавляем 3 к обеим частям

Получаем: x > 3 .

4

Ответ

Логарифм существует только при x > 3 .

Если переменная находится в основании

Тогда проверяется уже не одно, а два условия для основания.

Для каких x существует log₍ₓ₋₁₎(5)?

1

Аргумент равен 5

Число 5 положительное, поэтому с аргументом всё в порядке.

2

Основание равно x - 1

Оно должно быть больше нуля: x - 1 > 0 , значит x > 1 .

3

Основание не должно быть равно 1

x - 1 ≠ 1 , поэтому x ≠ 2 .

4

ОДЗ

Одновременно выполняются: x > 1 и x ≠ 2 .

Вспомним, что такое корень

Корень можно заменить степенью с дробным показателем. Именно это позволяет удобно работать с корнями внутри логарифмов.

Квадратный корень

√x - это такое неотрицательное число, квадрат которого равен x. Например, √9 = 3, потому что 3² = 9.

√x = x^1/2

∛x = x^1/3

Число в знаменателе дробного показателя показывает, какой корень берётся: 1/2 - квадратный корень, 1/3 - кубический корень, 1/4 - корень четвёртой степени.

Корни и степени

Запись с корнем	Запись через степень	Как читать	Пример
√x	x^1/2	Квадратный корень из x.	√16 = 4.
∛x	x^1/3	Кубический корень из x.	∛8 = 2.
1 / √x	x^-1/2	Обратное число к квадратному корню.	1 / √4 = 1/2.
x√x	x^3/2	x умножается на x в степени 1/2.	x · x^1/2 = x^3/2.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Логарифм квадратного корня

Теперь объединим два знания: корень заменим дробной степенью, а затем применим свойство логарифма степени.

log a (√x) = log a (x^1/2) = 1/2 · log a (x)

Для такого преобразования безопасно считаем x > 0, потому что аргумент логарифма должен быть положительным.

Пример 2. Преобразуем логарифм корня

Преобразуйте log₂(√x), если x > 0

1

Видим квадратный корень

√x можно заменить степенью x^1/2.

2

Переписываем

log 2 (x^1/2)

3

Выносим показатель

Используем свойство логарифма степени.

4

Получаем

1/2 · log 2 (x)

Кубический корень и другие дробные степени

log a (∛x) = 1/3 · log a (x)

log a (x^m/n) = m/n · log a (x)

Здесь m/n - обычная дробь. Например, показатель 3/2 означает, что число сначала связано с квадратным корнем, а затем с третьей степенью.

Пример 3. Несколько действий подряд

Преобразуйте log₅(x²√x), если x > 0

Здесь внутри логарифма одновременно есть степень, корень и произведение.

1

Заменяем корень степенью

√x = x^1/2

2

Получаем произведение степеней

x² · x^1/2

3

При одинаковом основании показатели складываются

2 + 1/2 = 5/2

Поэтому: x²√x = x^5/2 .

4

Применяем свойство логарифма степени

log 5 (x^5/2) = 5/2 · log 5 (x)

Произведение и частное с переменными

Свойства урока 15 работают и тогда, когда вместо чисел используются буквы.

log a (xy) = log a (x) + log a (y)

log a (x / y) = log a (x) - log a (y)

В этих формулах предполагается, что x > 0 и y > 0.

Пример 4. Раскроем сложный логарифм

Преобразуйте ln(x³√x / y²), если x > 0 и y > 0

1

Сначала замечаем деление

Логарифм частного превращается в разность.

Получаем: ln(x³√x) - ln(y²) .

2

В первом логарифме есть произведение

ln(x³) + ln(√x) - ln(y²)

3

Выносим показатели степеней

3ln(x) + 1/2 ln(x) - 2ln(y)

4

Складываем коэффициенты перед ln(x)

3 + 1/2 = 7/2

5

Ответ

7/2 ln(x) - 2ln(y)

Логарифм в показателе степени

Вспомним основное логарифмическое тождество. Оно понадобится для выражений, где логарифм находится наверху - в показателе степени.

a^{log a (b)} = b

Обратите внимание на совпадение двух оснований:

основание степени равно a;
основание логарифма тоже равно a.

Именно поэтому действия взаимно уничтожаются и остаётся аргумент b.

Пример 5. Коэффициент перед логарифмом

Вычислите 5 в степени 2log₅(3)

1

В показателе стоит 2 · log₅(3)

Число 2 можно внести в аргумент логарифма как показатель степени.

2

Используем свойство степени

2log₅(3) = log₅(3²)

3

Вычисляем 3²

3² = 9

4

Получаем основное тождество

5^log₅(9) = 9

5

Ответ

9

Сумма логарифмов в показателе степени

Сначала нужно преобразовать показатель степени, а уже затем применять основное тождество.

2^{log₂(3) + log₂(5)}

Основания логарифмов одинаковы. Поэтому:

log₂(3) + log₂(5) = log₂(15)

Теперь:

2^log₂(15) = 15

Как преобразовывать сложное выражение

1

Определите ОДЗ

Проверьте аргументы и основания логарифмов.

2

Посмотрите, есть ли корни

При необходимости замените корень дробной степенью.

3

Найдите произведения и частные

Используйте сумму или разность логарифмов.

4

Найдите степени

Показатель степени аргумента можно вынести перед логарифмом.

5

Приведите подобные части

Например, 3logₐ(x) + 1/2logₐ(x) можно объединить.

6

Если логарифм находится в показателе степени

Сначала упростите показатель, затем ищите основное логарифмическое тождество.

7

Проверьте результат

Убедитесь, что не потеряли коэффициент, знак или ограничение ОДЗ.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Не найти ОДЗ

Аргумент логарифма не может быть нулём или отрицательным числом.

Ошибка 2. Считать √x равным x²

Наоборот: √x = x в степени 1/2.

Ошибка 3. Потерять дробь 1/2

При преобразовании logₐ(√x) коэффициент 1/2 обязательно остаётся.

Ошибка 4. Раскрыть логарифм суммы

logₐ(x + y) нельзя заменить на logₐ(x) + logₐ(y).

Ошибка 5. Перепутать сумму показателей

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Ошибка 6. Применить тождество при разных основаниях

В a в степени logₐ(b) основание степени и основание логарифма должны совпасть.

Ошибка 7. Забыть скобки

Всегда должно быть понятно, какое именно выражение является аргументом логарифма.

Ошибка 8. Делать несколько действий мысленно

В сложных примерах лучше записывать каждое преобразование отдельной строкой.

Практические задания

Не торопитесь. Сначала называйте используемое правило, потом выполняйте действие.

Задание 1. Переведите корни в степени

√x;
∛x;
1 / √x;
x√x.

Открыть ответ

x^1/2;
x^1/3;
x^-1/2;
x^3/2.

Задание 2. Найдите ОДЗ

log₂(x - 5);
ln(x + 4);
log₍ₓ₎(7);
log₍ₓ₋₂₎(3).

Открыть ответ

x - 5 > 0, поэтому x > 5.
x + 4 > 0, поэтому x > -4.
x > 0 и x ≠ 1.
x - 2 > 0 и x - 2 ≠ 1.
Поэтому x > 2 и x ≠ 3.

Задание 3. Преобразуйте, если x > 0

log₂(√x);
log₃(∛x);
ln(x⁴);
lg(x^3/2).

Открыть ответ

1/2 · log₂(x);
1/3 · log₃(x);
4ln(x);
3/2 · lg(x).

Задание 4. Раскройте логарифмы

Считайте x > 0 и y > 0.

ln(x²y);
log₂(x³ / y);
lg(√x · y²);

Открыть подробный ответ

2ln(x) + ln(y).
3log₂(x) - log₂(y).
1/2lg(x) + 2lg(y).

Задание 5. Логарифм в показателе степени

2^log₂(7);
3^log₃(11);
5^2log₅(2);
2^{log₂(3) + log₂(4)}.

Открыть решение

7.
11.
2log₅(2) = log₅(4), поэтому ответ 4.
log₂(3) + log₂(4) = log₂(12), поэтому ответ 12.

Задание 6. Найдите ошибку

Ученик записал:

log 2 (√x) = 2 · log 2 (x)

Открыть объяснение

Ошибка в показателе степени.

√x = x^1/2, а не x².

Поэтому правильно:

log₂(√x) = 1/2 · log₂(x).

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. Если возникает затруднение, сначала вернитесь к определению или алгоритму, а не к готовому ответу.

Что называется переменной?
Что означает сокращение ОДЗ?
Какое условие должен выполнять аргумент логарифма?
Запишите √x через степень.
Преобразуйте log₅(√x), x > 0.
Преобразуйте ln(x³), x > 0.
Преобразуйте log₂(x²y³), x > 0, y > 0.
Найдите ОДЗ log₃(x - 8).
Вычислите 7^log₇(13).
Вычислите 3^2log₃(4).

Открыть ответы и критерии

Переменная - буква, вместо которой могут подставляться разные числа.
Область допустимых значений.
Аргумент должен быть больше нуля.
x^1/2.
1/2 · log₅(x).
3ln(x).
2log₂(x) + 3log₂(y).
x > 8.
13.
2log₃(4) = log₃(16), поэтому ответ 16.

9-10 правильных ответов - тема усвоена уверенно.
7-8 - повторите преобразование корней и степеней.
5-6 - повторите ОДЗ и свойства логарифмов.
0-4 - снова пройдите урок последовательно от определения переменной.

Видео по теме урока

Основное видео показывает работу с логарифмом в показателе степени. Дополнительное видео помогает повторить базовые понятия степеней, корней и логарифмов.

Основное видео Rutube. Подробно разбирается основное логарифмическое тождество и выражения, в которых логарифм находится в показателе степени.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте своими словами, затем откройте правильный ответ.

01 Что называется переменной?

Ответ: буква, вместо которой могут подставляться разные допустимые числа.

02 Что такое ОДЗ?

Ответ: область допустимых значений - все значения переменной, при которых выражение имеет математический смысл.

03 Каким должен быть аргумент логарифма?

Ответ: строго положительным.

04 Как записать √x через степень?

Ответ: x^1/2.

05 Чему равен logₐ(√x), если x > 0?

Ответ: 1/2 · logₐ(x).

06 Почему log₂(x - 3) требует x > 3?

Ответ: потому что аргумент x - 3 должен быть больше нуля.

07 Чему равно a в степени logₐ(b)?

Ответ: b.

08 Что нужно сделать перед применением нескольких свойств логарифмов?

Ответ: определить ОДЗ и внимательно разобрать структуру выражения.

Главное по уроку

ОДЗ показывает, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

√x = x^1/2 ∛x = x^1/3

Поэтому корни внутри логарифмов удобно сначала заменять дробными степенями.

log a (√x) = 1/2 · log a (x)

При произведении аргументов логарифмы складываются, при делении - вычитаются, а показатели степеней выносятся перед логарифмом.

a^{log a (b)} = b

Самое важное при сложном преобразовании - не делать несколько действий одновременно. Записывайте каждое преобразование отдельным шагом и после каждого шага проверяйте, какое свойство можно применить дальше.

Следующий урок - урок 18 «Преобразование выражений, содержащих логарифмы». В нём завершим блок преобразований и подготовимся к решению логарифмических уравнений и неравенств.

18 Урок 18 Преобразование выражений, содержащих логарифмы Открыть урок Свернуть урок

Урок 18. Преобразование выражений, содержащих логарифмы

Это завершающий урок по преобразованию логарифмических выражений. Он предназначен для полностью самостоятельного изучения. Поэтому сначала разберём новые слова - тождественное преобразование, раскрытие логарифма и свёртывание логарифмов. Затем научимся определять, в какую сторону удобнее преобразовывать выражение, и выполним несколько сложных примеров по шагам. В конце урока подготовимся к следующей теме - логарифмическим уравнениям и неравенствам.

45 минут основной работы

Что вы изучите

Главная задача урока - научиться самостоятельно выбирать нужное свойство, а не ждать подсказки, какую формулу применить.

01

Тождественное преобразование

Поймёте, почему выражение можно изменить по форме, не изменяя его значения.

02

Раскрытие логарифма

Научитесь превращать один сложный логарифм в сумму или разность более простых.

03

Свёртывание

Научитесь выполнять обратное действие - собирать несколько логарифмов в один.

04

Коэффициенты

Будем переносить коэффициент перед логарифмом в показатель степени аргумента.

05

Комбинированные выражения

Применим несколько свойств подряд в одном примере.

06

Подготовка к уравнениям

Увидите, зачем сворачивать логарифмы перед решением логарифмического уравнения.

Новые понятия

Сначала разберём термины. Без понимания этих слов дальнейшие инструкции могут быть непонятны.

Тождественное преобразование

Тождественное преобразование - это замена одного выражения другим выражением, которое имеет то же значение при всех допустимых значениях переменных.

Например:

2(x + 3) = 2x + 6

Форма записи изменилась, но значение выражения осталось тем же.

Раскрытие логарифма

Раскрыть логарифм - значит заменить один логарифм сложного выражения суммой, разностью или произведением числа на логарифм более простого выражения.

Свёртывание логарифмов

Свернуть логарифмы - значит выполнить обратное преобразование: заменить сумму, разность или несколько логарифмических членов одним логарифмом.

Свойства можно использовать в обе стороны

Раньше мы чаще раскрывали логарифмы. Теперь важно научиться выполнять и обратное действие.

Что видим	Раскрытие	Свёртывание	Что происходит
Произведение	logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)	logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(xy)	Произведение внутри соответствует сумме снаружи.
Частное	logₐ(x/y) = logₐ(x) - logₐ(y)	logₐ(x) - logₐ(y) = logₐ(x/y)	Деление внутри соответствует вычитанию снаружи.
Степень	logₐ(x^k) = k · logₐ(x)	k · logₐ(x) = logₐ(x^k)	Показатель степени становится коэффициентом и обратно.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Эти преобразования выполняются при соблюдении условий существования логарифмов. В стандартных преобразованиях с переменными мы внимательно следим, чтобы соответствующие аргументы были положительными.

Как свернуть сумму логарифмов

Если логарифмы имеют одинаковое основание, их сумму можно заменить логарифмом произведения.

log a (x) + log a (y) = log a (xy)

Перед свёртыванием обязательно проверьте: основания логарифмов должны совпадать.

Пример 1. Сворачиваем выражение

Сверните 2log₃(x) + log₃(y) - log₃(z)

Считаем x > 0, y > 0 и z > 0.

1

Проверяем основания

У всех логарифмов основание равно 3. Значит, свойства можно применять.

2

Убираем коэффициент 2

Переносим 2 в показатель степени:

2 · log 3 (x) = log 3 (x²)

3

Складываем первые два логарифма

Сумма превращается в логарифм произведения:

log 3 (x²y)

4

Учитываем вычитание log₃(z)

Разность логарифмов превращается в логарифм частного.

5

Получаем окончательный ответ

log 3 (x²y / z)

Как раскрыть сложный логарифм

При раскрытии удобно идти от внешнего действия к внутренним частям выражения.

1

Посмотрите на весь аргумент

Сначала определите главное действие: умножение, деление или степень.

2

Если есть деление

Сначала замените логарифм частного разностью логарифмов.

3

Если есть произведение

Замените логарифм произведения суммой.

4

Если есть степень или корень

Перенесите показатель степени перед логарифмом.

5

Вычислите известные логарифмы

Например, log₂(8) = 3, потому что 2³ = 8.

Пример 2. Раскрываем сложный логарифм

Раскройте log₂(8x³ / √y)

Считаем x > 0 и y > 0.

1

Главное действие - деление

Поэтому сначала получаем:

log₂(8x³) - log₂(√y)

2

В числителе есть произведение

Поэтому:

log₂(8) + log₂(x³) - log₂(√y)

3

Выносим степени

log₂(8) + 3log₂(x) - 1/2log₂(y)

4

Вычисляем log₂(8)

Так как 2³ = 8:

log₂(8) = 3

5

Ответ

3 + 3log₂(x) - 1/2log₂(y)

Пример 3. Не вычисляем каждый логарифм отдельно

Иногда выражение специально составлено так, чтобы его можно было быстро свернуть.

Вычислите log₅(125) + log₅(4) - log₅(20)

1

Все основания одинаковы

Основание каждого логарифма равно 5.

2

Складываем первые два логарифма

Получаем логарифм произведения 125 · 4.

3

Вычитание превращаем в деление

Получаем:

log₅((125 · 4) / 20)

4

Упрощаем аргумент

125 · 4 = 500, а 500 / 20 = 25.

5

Вычисляем логарифм

log₅(25) = 2 , потому что 5² = 25 .

Как понять, раскрывать или сворачивать

Это один из главных навыков сегодняшнего урока. Формулу нужно выбирать по виду выражения и по цели задачи.

Что дано	Что обычно удобно сделать	Почему	Пример
Один логарифм большого произведения	Раскрыть	Получаем несколько более простых логарифмов.	logₐ(x²y)
Сумма логарифмов с одинаковым основанием	Свернуть	Получаем один логарифм произведения.	logₐ(x) + logₐ(y)
Разность логарифмов	Свернуть	Разность превращается в логарифм частного.	logₐ(x) - logₐ(y)
Коэффициент перед логарифмом	При необходимости внести в степень	Это помогает свернуть несколько логарифмов.	3logₐ(x)
Числовое выражение из нескольких логарифмов	Искать свёртывание	Часто после свёртывания получается известная степень основания.	log₅(125) + log₅(4) - log₅(20)

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 4. Коэффициенты и свёртывание

Сверните 3ln(x) - 2ln(y) + ln(z)

Считаем x > 0, y > 0 и z > 0.

1

Переносим коэффициент 3 в степень

3ln(x) = ln(x³)

2

Переносим коэффициент 2 в степень

2ln(y) = ln(y²)

3

Получаем

ln(x³) - ln(y²) + ln(z)

4

Вычитание превращаем в деление

ln(x³ / y²) + ln(z)

5

Сумму превращаем в произведение

ln(x³z / y²)

Логарифм в показателе степени

Ещё один тип выражений, который важно узнавать сразу.

a^{log a (b)} = b

Нужно увидеть совпадение оснований: основание степени равно a, и основание логарифма тоже равно a.

Пример 5. Сначала упрощаем показатель степени

Вычислите 5 в степени 2 - log₅(4)

Здесь показатель степени состоит из числа и логарифма.

1

Представляем число 2 как логарифм

Так как 5² = 25:

2 = log₅(25)

2

Теперь показатель равен

log₅(25) - log₅(4)

3

Сворачиваем разность

log₅(25 / 4)

4

Применяем основное тождество

5^log₅(25/4) = 25/4

5

Ответ

25/4

Повторим цепочку логарифмов

Это свойство изучалось на уроке 16. В итоговом уроке нужно уметь узнавать его без подсказки.

log a (b) · log b (c) = log a (c)

Пример 6. Комбинированное вычисление

Вычислите log₂(3) · log₃(5) · log₅(8)

1

Видим цепочку

2 → 3 → 5 → 8.

2

Промежуточные числа исчезают

Остаётся первое основание 2 и последний аргумент 8.

3

Получаем

log₂(8)

4

Вычисляем

2³ = 8, поэтому: log₂(8) = 3 .

Итоговый алгоритм преобразования

Используйте этот порядок действий, если не знаете, с чего начать.

1

Определите ОДЗ

Проверьте, какие аргументы должны быть положительными и какие ограничения есть у оснований.

2

Посмотрите на основания логарифмов

Если основания одинаковы, можно использовать свойства суммы и разности.

3

Определите цель

Нужно раскрыть один сложный логарифм или, наоборот, собрать несколько логарифмов в один?

4

Обработайте коэффициенты

При свёртывании коэффициент перед логарифмом переносится в показатель степени аргумента.

5

Найдите произведения и частные

Сумма соответствует произведению, разность - частному.

6

Ищите специальные конструкции

Это могут быть цепочка логарифмов, взаимно обратные логарифмы или логарифм в показателе степени.

7

Упростите числовые части

После преобразования часто появляется простой логарифм, который можно вычислить.

8

Проверьте результат

Убедитесь, что не потеряли знак, коэффициент, степень или условие ОДЗ.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Складывать логарифмы с разными основаниями

Формула свёртывания суммы требует одинакового основания.

Ошибка 2. Считать сумму аргументов

logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(xy), а не logₐ(x + y).

Ошибка 3. При вычитании записать разность аргументов

Разность логарифмов соответствует делению аргументов.

Ошибка 4. Потерять коэффициент

Коэффициент перед логарифмом становится показателем степени аргумента.

Ошибка 5. Раскрывать logₐ(x + y)

Для логарифма суммы отдельного свойства нет.

Ошибка 6. Забыть ОДЗ

Аргумент каждого исходного логарифма должен быть положительным.

Ошибка 7. Делать всё одним действием

В сложном выражении каждое преобразование лучше записывать отдельной строкой.

Ошибка 8. Не проверять получившийся простой логарифм

После преобразований часто остаётся логарифм степени основания, который можно вычислить точно.

Практические задания

Сначала определите, что удобнее - раскрывать или сворачивать. Только после этого выполняйте преобразование.

Задание 1. Сверните логарифмы

Считайте все переменные положительными.

log₂(x) + log₂(y);
log₃(x) - log₃(y);
2log₅(x) + log₅(y);
3ln(x) - 2ln(y).

Открыть ответ

log₂(xy);
log₃(x/y);
log₅(x²y);
ln(x³/y²).

Задание 2. Раскройте логарифмы

Считайте x > 0 и y > 0.

ln(x²y);
log₂(x³/y);
lg(x√y);
log₅(x²/y³).

Открыть ответ

2ln(x) + ln(y);
3log₂(x) - log₂(y);
lg(x) + 1/2lg(y);
2log₅(x) - 3log₅(y).

Задание 3. Вычислите

log₂(8) + log₂(4);
log₃(27) - log₃(3);
log₅(25) + log₅(20) - log₅(4);
log₂(3) · log₃(16).

Открыть подробный ответ

log₂(8 · 4) = log₂(32) = 5.
log₃(27/3) = log₃(9) = 2.
log₅((25 · 20)/4) = log₅(125) = 3.
Цепочка 2 → 3 → 16.
Получаем log₂(16) = 4.

Задание 4. Вычислите выражения со степенью

2^log₂(7);
3^{log₃(5) + log₃(2)};
5^2log₅(3);
2^{3 - log₂(4)}.

Открыть решение

7.
log₃(5) + log₃(2) = log₃(10), поэтому ответ 10.
2log₅(3) = log₅(9), поэтому ответ 9.
3 = log₂(8).
log₂(8) - log₂(4) = log₂(2).
Поэтому ответ 2.

Задание 5. Найдите ОДЗ

log₂(x - 4);
ln(2x + 6);
log₍ₓ₎(5);
log₍ₓ₋₃₎(7).

Открыть ответ

x > 4.
2x + 6 > 0, поэтому x > -3.
x > 0, x ≠ 1.
x - 3 > 0 и x - 3 ≠ 1.
Поэтому x > 3 и x ≠ 4.

Задание 6. Найдите ошибку

Ученик записал:

log₂(x) + log₂(y) = log₂(x + y)

Открыть объяснение

Это неправильное преобразование.

Сумма двух логарифмов соответствует произведению аргументов.

Правильно:

log₂(x) + log₂(y) = log₂(xy).

Зачем это понадобится на следующем уроке

Начиная с урока 19 вы будете решать логарифмические уравнения. Перед решением часто нужно сначала преобразовать логарифмическую часть.

Логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная находится под знаком логарифма, в основании логарифма или связана с логарифмическим выражением.

Посмотрим только на подготовительное преобразование:

log₂(x) + log₂(x - 2) = 3

В левой части два логарифма с одинаковым основанием. Их можно свернуть:

log₂(x(x - 2)) = 3

Само уравнение сейчас решать не будем. На следующем уроке вы подробно разберёте, что делать дальше, как находить ОДЗ и как проверять полученные корни.

Важно увидеть связь тем: преобразование логарифмов - это инструмент, который понадобится при решении логарифмических уравнений.

Итоговая самостоятельная работа

Здесь уже не указано, какое свойство использовать. Вы должны выбрать его самостоятельно.

Объясните своими словами, что означает «свернуть логарифмы».
Объясните, что означает «раскрыть логарифм».
Сверните log₂(x) + log₂(y), если x > 0 и y > 0.
Сверните 2log₃(x) - log₃(y), если x > 0 и y > 0.
Раскройте ln(x³y²), если x > 0 и y > 0.
Раскройте log₅(x² / √y), если x > 0 и y > 0.
Вычислите log₂(16) + log₂(2) - log₂(4).
Вычислите log₃(5) · log₅(9).
Вычислите 5^{log₅(6) + log₅(2)}.
Найдите ОДЗ log₂(x - 7).
Найдите ошибку: log₃(x) - log₃(y) = log₃(x - y).
Сверните log₂(x) + log₂(x - 1).

Открыть ответы и критерии

Заменить несколько логарифмов одним логарифмом, используя свойства в обратную сторону.
Заменить один сложный логарифм суммой, разностью или выражением с коэффициентами перед более простыми логарифмами.
log₂(xy).
log₃(x²/y).
3ln(x) + 2ln(y).
2log₅(x) - 1/2log₅(y).
log₂((16 · 2)/4) = log₂(8) = 3.
Цепочка 3 → 5 → 9.
Получаем log₃(9) = 2.
log₅(6) + log₅(2) = log₅(12).
Ответ: 12.
x > 7.
Разность логарифмов соответствует частному, а не разности.
Правильно: log₃(x/y).
log₂(x(x - 1)).

11-12 правильных ответов - блок преобразования логарифмов усвоен уверенно.
8-10 - повторите свёртывание и коэффициенты перед логарифмом.
5-7 - повторите свойства произведения, частного и степени.
0-4 - вернитесь к урокам 15-17 и повторите материал последовательно.

Видео по теме урока

Основное видео содержит практику по преобразованию простых и более сложных логарифмических выражений. Используйте его после самостоятельного изучения материала урока.

Основное видео Rutube. В нём последовательно рассматриваются преобразования логарифмических выражений, а затем более сложные примеры.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Отвечайте без просмотра предыдущих блоков. После ответа откройте пояснение.

01 Что называется тождественным преобразованием?

Ответ: замена выражения другим равным ему выражением при всех допустимых значениях переменных.

02 Что означает «свернуть логарифмы»?

Ответ: заменить несколько логарифмических членов одним логарифмом.

03 Чему равна сумма logₐ(x) + logₐ(y)?

Ответ: logₐ(xy).

04 Чему равна разность logₐ(x) - logₐ(y)?

Ответ: logₐ(x/y).

05 Что происходит с коэффициентом k перед logₐ(x) при свёртывании?

Ответ: он становится показателем степени аргумента: klogₐ(x) = logₐ(xᵏ).

06 Можно ли заменить logₐ(x + y) суммой logₐ(x) + logₐ(y)?

Ответ: нет. Для логарифма суммы такого свойства нет.

07 Почему перед преобразованием выражения с переменными нужно помнить об ОДЗ?

Ответ: потому что логарифм существует только при допустимом основании и положительном аргументе.

08 Зачем сворачивать логарифмы перед решением некоторых уравнений?

Ответ: чтобы заменить несколько логарифмов одним и получить более простую форму уравнения.

Главное по уроку

Теперь одно и то же свойство логарифма вы должны уметь использовать в двух направлениях.

Сумма и произведение

logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(xy)

Разность и частное

logₐ(x) - logₐ(y) = logₐ(x/y)

Коэффициент и степень

k · logₐ(x) = logₐ(x^k)

Если дан один сложный логарифм, часто удобно его раскрыть. Если дана сумма или разность нескольких логарифмов с одинаковым основанием, часто удобно их свернуть.

Перед преобразованием выражений с переменными обязательно проверяется ОДЗ.

Уроками 15-18 завершён блок преобразования логарифмических выражений. Следующий урок - урок 19 «Логарифмические уравнения и неравенства». Там свойства логарифмов будут использоваться уже не только для упрощения выражений, но и непосредственно для нахождения неизвестной переменной.

19 Урок 19 Логарифмические уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 19. Логарифмические уравнения и неравенства

Это первый урок новой части темы. Сегодня мы начинаем с простейших логарифмических уравнений. Урок рассчитан на самостоятельное изучение, поэтому сначала вспомним, что вообще называется уравнением, что такое неизвестная переменная, корень уравнения, ОДЗ и проверка. Затем подробно разберём два основных вида простейших логарифмических уравнений.

45 минут основной работы

Что вы изучите

Не пытайтесь запоминать решения как набор действий. Сначала нужно понять смысл каждого шага.

01

Что такое уравнение

Вспомним, что означает знак равенства и что называется неизвестной переменной.

02

Корень уравнения

Разберём, что именно означает слово «корень» применительно к уравнению.

03

ОДЗ

Научимся определять допустимые значения переменной до решения уравнения.

04

Уравнение logₐ(f(x)) = b

Будем переходить от логарифмической записи к показательной.

05

Равные логарифмы

Разберём уравнения, где слева и справа стоят логарифмы с одинаковым основанием.

06

Проверка

Научимся отбрасывать значения, которые нарушают условия существования логарифма.

Вспомним: что такое уравнение

Уравнение

Уравнение - это равенство, в котором содержится неизвестное число. Обычно неизвестное число обозначают буквой x.

Например:

x + 3 = 8

Мы ищем такое число x, при котором левая часть действительно станет равна правой.

Если x = 5:

5 + 3 = 8

Получилось верное равенство. Поэтому x = 5 является решением этого уравнения.

Что называется корнем уравнения

Корень уравнения

Корень уравнения - это значение неизвестной переменной, при подстановке которого уравнение превращается в верное числовое равенство.

Не путайте два значения слова «корень». Корень уравнения - это найденное значение x. А знак √ обозначает арифметический квадратный корень. Это разные понятия.

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная переменная находится в аргументе логарифма, в основании логарифма или входит в другое логарифмическое выражение.

Например:

log 2 (x) = 3

Здесь переменная x находится внутри скобок, то есть является аргументом логарифма.

Ещё раз внимательно посмотрим на запись логарифма

log a (b) = c означает a^c = b

a - основание логарифма;
b - аргумент логарифма;
c - значение логарифма.

Логарифм отвечает на вопрос: «В какую степень нужно возвести основание a, чтобы получить аргумент b?»

Почему решение начинаем с ОДЗ

ОДЗ

ОДЗ - область допустимых значений. Это все значения переменной, при которых исходное выражение существует и имеет математический смысл.

a > 0 a ≠ 1 b > 0

Для логарифма особенно важно третье условие: аргумент должен быть строго больше нуля.

Пример

В уравнении

log 2 (x - 4) = 3

аргументом является выражение x - 4.

Поэтому:

x - 4 > 0 x > 4

Два основных вида уравнений этого урока

Вид	Что делаем	Во что переходим	Что обязательно проверяем
logₐ(f(x)) = b	Используем определение логарифма.	f(x) = a^b	Аргумент f(x) должен быть положительным.
logₐ(f(x)) = logₐ(g(x))	При одинаковых допустимых основаниях приравниваем аргументы.	f(x) = g(x)	f(x) > 0 и g(x) > 0.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Первый вид: logₐ(f(x)) = b

Это самый простой вид логарифмического уравнения.

log a (f(x)) = b переходим к f(x) = a^b

Основание логарифма становится основанием степени, а число справа становится показателем степени.

Алгоритм решения уравнения logₐ(f(x)) = b

1

Найдите ОДЗ

Аргумент f(x) должен быть больше нуля.

2

Определите основание логарифма

Это маленькое число или выражение внизу после log.

3

Определите значение логарифма

Это число справа от знака равенства.

4

Перейдите к показательной форме

Запишите f(x) = a в степени b.

5

Решите получившееся обычное уравнение

После исчезновения логарифма задача обычно становится значительно проще.

6

Сверьте ответ с ОДЗ

Если найденное значение не входит в ОДЗ, оно не является корнем исходного уравнения.

Пример 1. Самое простое логарифмическое уравнение

Решите log₂(x) = 3

Разберём буквально каждый элемент записи.

1

Находим ОДЗ

Аргумент равен x.

Поэтому: x > 0 .

2

Определяем основание

Маленькая цифра 2 под словом log является основанием.

3

Значение логарифма равно 3

Значит, нужно ответить на вопрос: 2 в третьей степени равно чему?

4

Переходим к степени

x = 2³

5

Вычисляем

2³ = 8

Поэтому: x = 8 .

6

Проверяем ОДЗ

8 > 0, значит найденное значение допустимо.

Ответ: x = 8.

Пример 2. Аргумент содержит выражение

Решите log₂(x - 1) = 3

1

Находим ОДЗ

Аргумент x - 1 должен быть положительным:

x - 1 > 0

Отсюда: x > 1 .

2

Переходим к показательной форме

Основание равно 2, значение логарифма равно 3.

Поэтому: x - 1 = 2³ .

3

Вычисляем степень

2³ = 8

Получаем: x - 1 = 8 .

4

Находим x

Прибавляем 1 к обеим частям:

x = 9 .

5

Проверяем ОДЗ

Нужно было x > 1.

9 > 1, значит значение подходит.

Ответ: x = 9.

Пример 3. Отрицательное значение логарифма

Решите log₅(x + 2) = -1

1

ОДЗ

x + 2 > 0

Поэтому: x > -2 .

2

Переходим к степени

x + 2 = 5^-1

3

Вспоминаем отрицательную степень

5^-1 = 1/5

4

Решаем обычное уравнение

x + 2 = 1/5

x = 1/5 - 2

x = -9/5

5

Проверяем ОДЗ

-9/5 = -1,8.

-1,8 > -2, поэтому значение допустимо.

Ответ: x = -9/5.

Второй вид: равные логарифмы

Теперь рассмотрим уравнение, где слева и справа стоят логарифмы с одинаковым основанием.

log a (f(x)) = log a (g(x))

f(x) = g(x)

При этом исходные аргументы должны существовать: f(x) > 0 и g(x) > 0.

Почему можно приравнять аргументы

Это правило нужно понимать, а не просто запоминать.

Если два логарифма имеют одно и то же допустимое основание и значения логарифмов равны, то их положительные аргументы тоже должны быть равны.

Например:

log₂(8) = 3 log₂(8) = 3

Чтобы получить одно и то же значение логарифма по одному и тому же основанию, аргументы должны совпасть.

Пример 4. Равные логарифмы

Решите log₃(x + 1) = log₃(7)

1

ОДЗ

Первый аргумент: x + 1 должен быть положительным.

x + 1 > 0

x > -1

Второй аргумент 7 уже положителен.

2

Основания одинаковы

Слева и справа основание равно 3.

3

Приравниваем аргументы

x + 1 = 7

4

Решаем

x = 6

5

Проверяем ОДЗ

Нужно было x > -1.

6 > -1, значит значение подходит.

Ответ: x = 6.

Пример 5. Два выражения с переменной

Решите log₅(2x - 1) = log₅(x + 3)

1

Первое условие ОДЗ

2x - 1 > 0

x > 1/2

2

Второе условие ОДЗ

x + 3 > 0

x > -3

3

Общее ОДЗ

Нужно выполнить оба условия одновременно.

Более строгое условие: x > 1/2 .

4

Приравниваем аргументы

2x - 1 = x + 3

5

Решаем линейное уравнение

Вычитаем x из обеих частей:

x - 1 = 3

Прибавляем 1:

x = 4

6

Проверяем ОДЗ

4 > 1/2.

Значение подходит.

Ответ: x = 4.

Если переменная находится в основании

Здесь особенно хорошо видно, почему нельзя забывать условия для основания логарифма.

Решите logₓ(16) = 4

1

Переменная x является основанием

Для основания нужны два условия:

x > 0 x ≠ 1

2

Переходим к показательной форме

x⁴ = 16

3

Решаем степенное уравнение

16 = 2⁴.

Из равенства x⁴ = 16 получаем два действительных кандидата:

x = 2 x = -2

4

Проверяем условия основания

x = 2 подходит: 2 > 0 и 2 ≠ 1.

x = -2 не подходит, потому что основание логарифма не может быть отрицательным.

5

Ответ

x = 2.

Именно такие примеры показывают, почему нельзя сначала решить уравнение, а условия существования логарифма вообще не проверять.

Что такое посторонний корень

Посторонний корень

Посторонний корень - это значение, которое появилось в процессе преобразований, но не является решением исходного уравнения.

В предыдущем примере число -2 удовлетворяет уравнению x⁴ = 16, но не подходит исходному логарифмическому уравнению, потому что -2 не может быть основанием логарифма.

Поэтому -2 является посторонним значением для исходной задачи.

Полезная схема решения

Шаг	Вопрос себе	Что записываем	Зачем
1	Где находится неизвестная?	Определяем аргумент и основание.	Чтобы правильно составить ОДЗ.
2	При каких x логарифм существует?	Записываем ОДЗ.	Чтобы не принять недопустимое значение.
3	Какой тип уравнения перед нами?	Выбираем правило.	Чтобы убрать логарифмы корректно.
4	Какое обычное уравнение получилось?	Решаем его.	Получаем кандидатов в корни.
5	Все ли найденные значения допустимы?	Сверяем с ОДЗ или проверяем подстановкой.	Отбрасываем посторонние значения.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

Ошибка 1. Не записывать ОДЗ

В результате можно получить значение, при котором логарифм вообще не существует.

Ошибка 2. Перепутать основание и аргумент

В log₂(x) цифра 2 - основание, а x - аргумент.

Ошибка 3. Неправильно перейти к степени

Из log₂(x) = 3 следует x = 2³, а не x = 3².

Ошибка 4. Считать логарифм делением

log₂(8) не означает 8/2. Это вопрос о показателе степени.

Ошибка 5. Приравнивать аргументы при разных основаниях

В сегодняшнем правиле основания двух логарифмов должны совпадать.

Ошибка 6. Забыть проверить оба аргумента

В уравнении с двумя логарифмами оба аргумента должны быть положительными.

Ошибка 7. Разрешить отрицательное основание

Основание логарифма должно быть строго положительным.

Ошибка 8. Считать основание 1 допустимым

Основание логарифма не может быть равно 1.

Практические задания

В каждом задании сначала найдите ОДЗ. Не пропускайте этот шаг даже тогда, когда ответ кажется очевидным.

Задание 1. Решите по определению логарифма

log₂(x) = 4;
log₃(x) = 2;
log₅(x) = 0;
log₁₀(x) = -2.

Открыть решение

x > 0.
x = 2⁴ = 16.
Ответ: 16.
x > 0.
x = 3² = 9.
Ответ: 9.
x > 0.
x = 5⁰ = 1.
Ответ: 1.
x > 0.
x = 10⁻² = 1/100.
Ответ: 1/100.

Задание 2. Аргумент содержит выражение

log₂(x - 3) = 2;
log₃(x + 1) = 2;
log₅(2x - 1) = 1;
ln(x + 2) = 0.

Открыть подробный ответ

ОДЗ: x > 3.
x - 3 = 2² = 4.
x = 7.
Ответ: 7.
ОДЗ: x > -1.
x + 1 = 3² = 9.
x = 8.
Ответ: 8.
ОДЗ: 2x - 1 > 0, поэтому x > 1/2.
2x - 1 = 5.
2x = 6.
x = 3.
Ответ: 3.
ln - это логарифм по основанию e.
ОДЗ: x + 2 > 0.
x + 2 = e⁰ = 1.
x = -1.
Ответ: -1.

Задание 3. Равные логарифмы

log₂(x) = log₂(7);
log₃(x + 2) = log₃(5);
log₅(2x - 1) = log₅(x + 4);

Открыть решение

ОДЗ: x > 0.
x = 7.
Ответ: 7.
ОДЗ: x + 2 > 0, поэтому x > -2.
x + 2 = 5.
x = 3.
Ответ: 3.
ОДЗ:
2x - 1 > 0, x > 1/2;
x + 4 > 0, x > -4.
Общее ОДЗ: x > 1/2.
2x - 1 = x + 4.
x = 5.
Ответ: 5.

Задание 4. Переменная в основании

logₓ(9) = 2;
logₓ(8) = 3;

Открыть решение

Для основания: x > 0, x ≠ 1.
x² = 9.
x = 3 или x = -3.
-3 не подходит как основание.
Ответ: 3.
x > 0, x ≠ 1.
x³ = 8.
x = 2.
Ответ: 2.

Задание 5. Найдите ошибку

Ученик решал:

log₂(x - 3) = 2 x - 3 = 4 x = 7

Ответ у него получился правильный. Но чего не хватает в оформлении?

Открыть объяснение

Не записано ОДЗ.

Нужно было сначала написать: x - 3 > 0, то есть x > 3.

После получения x = 7 нужно проверить, что 7 входит в ОДЗ.

Самостоятельная работа

Выполните задания без подсказок. В решении каждого уравнения обязательно напишите ОДЗ.

Объясните, что называется корнем уравнения.
Объясните, что называется логарифмическим уравнением.
Решите log₂(x) = 5.
Решите log₄(x) = 2.
Решите log₃(x - 2) = 2.
Решите log₅(x + 4) = 1.
Решите log₂(x + 3) = log₂(9).
Решите log₇(2x - 1) = log₇(x + 2).
Решите logₓ(25) = 2.
Почему значение x = -5 нельзя взять как основание логарифма?

Открыть ответы и критерии

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Уравнение, в котором неизвестная входит в логарифмическое выражение.
x > 0.
x = 2⁵ = 32.
Ответ: 32.
x > 0.
x = 4² = 16.
Ответ: 16.
x - 2 > 0, x > 2.
x - 2 = 9.
x = 11.
Ответ: 11.
x + 4 > 0, x > -4.
x + 4 = 5.
x = 1.
Ответ: 1.
ОДЗ: x + 3 > 0.
x + 3 = 9.
x = 6.
Ответ: 6.
ОДЗ:
2x - 1 > 0;
x + 2 > 0.
Получаем x > 1/2.
2x - 1 = x + 2.
x = 3.
Ответ: 3.
Основание: x > 0, x ≠ 1.
x² = 25.
x = 5 или x = -5.
-5 не подходит.
Ответ: 5.
Основание логарифма должно быть положительным.

9-10 правильных ответов - материал усвоен уверенно.
7-8 - повторите ОДЗ и переменную в основании.
5-6 - повторите переход от логарифмической формы к показательной.
0-4 - пройдите урок ещё раз начиная с определения логарифма.

Видео по теме урока

Основное видео содержит отдельный блок о простейших логарифмических уравнениях. Дополнительное видео полностью посвящено именно двум базовым видам простейших логарифмических уравнений и ОДЗ.

Основное видео Rutube. Раздел о простейших логарифмических уравнениях начинается примерно с 13:36. Перед просмотром попробуйте самостоятельно решить примеры урока.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно. После этого откройте правильный ответ.

01 Что называется уравнением?

Ответ: равенство, содержащее неизвестную переменную.

02 Что называется корнем уравнения?

Ответ: значение переменной, при котором уравнение становится верным равенством.

03 Какое главное условие должно выполняться для аргумента логарифма?

Ответ: аргумент должен быть строго больше нуля.

04 Во что превращается logₐ(f(x)) = b?

Ответ: f(x) = a в степени b.

05 Когда можно приравнять аргументы двух логарифмов?

Ответ: когда логарифмы имеют одинаковое допустимое основание и оба аргумента находятся в области допустимых значений.

06 Какие условия должно выполнять основание логарифма?

Ответ: основание должно быть больше нуля и не равно 1.

07 Что называется посторонним корнем?

Ответ: значение, которое возникло при преобразованиях, но не является решением исходного уравнения.

08 Почему после решения логарифмического уравнения нужно проверить найденные значения?

Ответ: потому что некоторые найденные значения могут нарушать ОДЗ исходного логарифмического выражения.

Главное по уроку

Логарифмическое уравнение - это уравнение, в котором неизвестная входит в логарифмическое выражение.

Решение начинаем с ОДЗ.

Первый основной вид

log a (f(x)) = b переходит в f(x) = a^b

Второй основной вид

log a (f(x)) = log a (g(x)) переходит в f(x) = g(x)

При этом необходимо помнить условия существования исходных логарифмов.

Урок 19 дал базовый способ решения простейших логарифмических уравнений. В уроке 20 «Логарифмические уравнения и неравенства» перейдём к уравнениям, где перед решением нужно использовать свойства логарифмов: раскрывать и сворачивать логарифмические выражения, приводить их к одному логарифму и только после этого находить x.

20 Урок 20 Логарифмические уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 20. Логарифмические уравнения и неравенства

На прошлом уроке мы научились решать простейшие логарифмические уравнения. Сегодня задача усложняется: логарифмов может быть несколько, поэтому сначала их нужно преобразовать. Мы подробно разберём, как использовать логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени, как получать обычное линейное или квадратное уравнение и почему после решения обязательно нужно возвращаться к области допустимых значений.

45 минут основной работы

Что вы изучите

Главный новый навык - увидеть, какое преобразование нужно выполнить до того, как начинать решать уравнение.

01

Повторение свойств

Вспомним произведение, частное и степень внутри логарифма.

02

ОДЗ

Будем находить ограничения сразу для нескольких логарифмов.

03

Сумма логарифмов

Научимся превращать её в один логарифм произведения.

04

Разность логарифмов

Будем превращать её в логарифм частного.

05

Квадратное уравнение

После преобразования логарифмов иногда получается уравнение второй степени.

06

Отбор корней

Из нескольких найденных значений оставим только допустимые.

Два понятия, которые понадобятся сегодня

Равносильные уравнения

Равносильными называются уравнения, которые имеют одни и те же корни. Когда мы преобразуем логарифмическое уравнение, наша цель - получить более простое уравнение, не потеряв правильные решения и не приняв недопустимые значения.

Потенцирование

Потенцированием называют переход от равенства логарифмов с одинаковым основанием к равенству их аргументов. Например, из равенства log по основанию 2 от A равно log по основанию 2 от B при допустимых положительных аргументах получаем A = B.

Само слово «потенцирование» запоминать необязательно сразу. Важно понимать действие: одинаковые логарифмы по одному основанию позволяют перейти к равенству аргументов.

Сначала повторим три свойства

Именно они позволяют превратить несколько логарифмов в один.

Ситуация	Правило	Что запомнить	Условие
Сумма логарифмов	log a (x) + log a (y) = log a (xy)	Сумма снаружи - произведение внутри.	x > 0, y > 0.
Разность логарифмов	log a (x) - log a (y) = log a (x / y)	Вычитание снаружи - деление внутри.	x > 0, y > 0.
Коэффициент	k · log a (x) = log a (x^k)	Коэффициент становится показателем степени.	x > 0.

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Основная идея сегодняшнего урока

Если в уравнении несколько логарифмов с одинаковым основанием, часто сначала удобно собрать их в один логарифм.

log a (f(x)) + log a (g(x)) = b

log a (f(x)g(x)) = b

f(x)g(x) = a^b

Получается три этапа: ОДЗ → преобразование логарифмов → обычное уравнение.

Общий алгоритм решения

1

Найдите ОДЗ

Выпишите условие положительности для каждого аргумента логарифма.

2

Сравните основания логарифмов

Для прямого применения свойств суммы и разности основания должны быть одинаковыми.

3

Сверните логарифмы

Сумму замените логарифмом произведения, разность - логарифмом частного.

4

Уберите логарифм

Используйте определение логарифма или приравняйте аргументы одинаковых логарифмов.

5

Решите обычное уравнение

Оно может оказаться линейным, дробным или квадратным.

6

Сверьте каждый найденный корень с ОДЗ

Недопустимые значения обязательно исключаются.

Пример 1. Сумма двух логарифмов

Решите уравнение

log 2 (x - 1) + log 2 (x + 1) = 3

1

Составляем ОДЗ

Первый аргумент:

x - 1 > 0

Поэтому x > 1 .

Второй аргумент:

x + 1 > 0

Поэтому x > -1 .

Оба условия должны выполняться одновременно. Более строгое:

x > 1 .

2

Складываем логарифмы

Основания одинаковы и равны 2.

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения:

log 2 ((x - 1)(x + 1)) = 3

3

Переходим к показательной форме

Основание равно 2, значение логарифма равно 3.

Значит:

(x - 1)(x + 1) = 2³

4

Упрощаем обе части

Произведение (x - 1)(x + 1) является разностью квадратов:

(x - 1)(x + 1) = x² - 1

А 2³ = 8 .

Поэтому:

x² - 1 = 8

5

Решаем обычное уравнение

Прибавляем 1:

x² = 9

Какие числа в квадрате дают 9?

3² = 9 и (-3)² = 9 .

Получаем два кандидата:

x = 3 x = -3

6

Проверяем ОДЗ

ОДЗ: x > 1 .

Число 3 подходит.

Число -3 не подходит.

Ответ: x = 3.

Если после логарифмов получилось квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Квадратным называется уравнение, в котором наибольшая степень неизвестной равна 2. Например, x² - 4x - 5 = 0.

После решения квадратного уравнения могут появиться два значения x. Для логарифмического уравнения каждое из них нужно отдельно проверить по ОДЗ.

Пример 2. Разность логарифмов

Решите уравнение

log 3 (x + 5) - log 3 (x - 1) = 1

1

ОДЗ

x + 5 > 0 даёт x > -5 .

x - 1 > 0 даёт x > 1 .

Общее ОДЗ: x > 1 .

2

Сворачиваем разность

Разность логарифмов превращается в логарифм частного:

log 3 ((x + 5) / (x - 1)) = 1

3

Переходим к показательной форме

(x + 5) / (x - 1) = 3¹

То есть:

(x + 5) / (x - 1) = 3

4

Убираем знаменатель

Умножаем обе части на x - 1:

x + 5 = 3(x - 1)

5

Раскрываем скобки

x + 5 = 3x - 3

Переносим x в правую часть, а -3 в левую:

8 = 2x

Делим на 2:

x = 4

6

Проверяем

ОДЗ: x > 1 .

4 > 1, следовательно, корень подходит.

Ответ: x = 4.

Пример 3. Коэффициент перед логарифмом

Решите уравнение

2 · log 5 (x) = log 5 (4x + 5)

1

ОДЗ

Первый аргумент: x > 0 .

Второй: 4x + 5 > 0 .

Из второго: x > -5/4 .

Общее ОДЗ: x > 0 .

2

Переносим коэффициент 2 в степень аргумента

2 · log 5 (x) = log 5 (x²)

3

Получаем равенство двух логарифмов

log 5 (x²) = log 5 (4x + 5)

4

Приравниваем аргументы

x² = 4x + 5

Переносим всё в левую часть:

x² - 4x - 5 = 0

5

Разлагаем квадратный трёхчлен

Нужно найти два числа, произведение которых равно -5, а сумма равна -4.

Это числа -5 и 1.

Поэтому:

(x - 5)(x + 1) = 0

6

Используем правило нулевого произведения

Если произведение двух множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Поэтому:

x - 5 = 0 или x + 1 = 0

Получаем:

x = 5 или x = -1

7

Проверяем ОДЗ

ОДЗ: x > 0 .

x = 5 подходит.

x = -1 не подходит.

Ответ: x = 5.

Пример 4. Логарифмы по обе стороны

Решите уравнение

log 2 (x) + log 2 (x - 2) = log 2 (3x)

1

ОДЗ

x > 0

x - 2 > 0 означает x > 2 .

3x > 0 означает x > 0 .

Общее ОДЗ: x > 2 .

2

Сворачиваем левую часть

log 2 (x(x - 2)) = log 2 (3x)

3

Приравниваем аргументы

x(x - 2) = 3x

4

Раскрываем скобки

x² - 2x = 3x

Переносим 3x влево:

x² - 5x = 0

5

Выносим общий множитель x

x(x - 5) = 0

Поэтому:

x = 0 или x = 5

6

ОДЗ оставляет только один корень

Нужно: x > 2 .

0 не подходит.

5 подходит.

Ответ: x = 5.

Иногда обычное число удобно записать как логарифм

Это помогает получить одинаковые логарифмы по обе стороны уравнения.

1 = log 3 (3)

2 = log 3 (9)

Почему это верно? Потому что 3¹ = 3 и 3² = 9.

Пример 5. В уравнении есть обычное число

Решите уравнение

log 3 (x) + 1 = log 3 (12)

1

ОДЗ

x > 0

2

Представляем число 1 как логарифм по основанию 3

1 = log 3 (3)

3

Подставляем

log 3 (x) + log 3 (3) = log 3 (12)

4

Сворачиваем левую часть

log 3 (3x) = log 3 (12)

5

Приравниваем аргументы

3x = 12

x = 4

6

Проверяем ОДЗ

4 > 0, поэтому значение подходит.

Ответ: x = 4.

Как выбрать нужное преобразование

Что видим	Что делаем	Во что превращается	Следующий шаг
Сумма двух логарифмов с одинаковым основанием	Складываем	Один логарифм произведения	Переход к показательной форме или равенству аргументов
Разность логарифмов	Сворачиваем	Один логарифм частного	Переходим к обычному уравнению
Число перед логарифмом	Переносим в показатель степени аргумента	Один логарифм	Приравниваем аргументы
Одинаковые логарифмы слева и справа	Приравниваем аргументы	Обычное уравнение	Решаем и проверяем ОДЗ
Обычное число рядом с логарифмом	Иногда записываем число как логарифм	Логарифмы с одинаковым основанием	Сворачиваем

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

Ошибка 1. Сначала решать, потом искать ОДЗ

Без ОДЗ легко принять посторонний корень.

Ошибка 2. Сложить аргументы

Сумма логарифмов даёт произведение аргументов, а не их сумму.

Ошибка 3. Вычесть аргументы

Разность логарифмов даёт частное аргументов.

Ошибка 4. Потерять коэффициент

В выражении 2log коэффициент 2 превращается в показатель степени аргумента.

Ошибка 5. Приравнять аргументы при разных основаниях

Сначала необходимо получить одинаковые основания.

Ошибка 6. Оставить все корни квадратного уравнения

Каждый найденный корень нужно проверить по ОДЗ исходного уравнения.

Ошибка 7. Забыть аргумент второго логарифма

Если логарифмов несколько, условие положительности записывается для каждого.

Ошибка 8. Выполнить несколько преобразований одной строкой

При самостоятельном обучении лучше записывать каждое действие отдельно.

Практические задания

Во всех заданиях сначала запишите ОДЗ.

Задание 1. Сумма логарифмов

log 2 (x) + log 2 (x - 1) = 1
log 3 (x) + log 3 (x - 2) = 1

Открыть подробное решение

ОДЗ: x > 1.
Сворачиваем: log₂(x(x - 1)) = 1.
x(x - 1) = 2.
x² - x - 2 = 0.
(x - 2)(x + 1) = 0.
x = 2 или x = -1.
По ОДЗ остаётся x = 2.
ОДЗ: x > 2.
log₃(x(x - 2)) = 1.
x(x - 2) = 3.
x² - 2x - 3 = 0.
(x - 3)(x + 1) = 0.
x = 3 или x = -1.
По ОДЗ остаётся x = 3.

Задание 2. Разность логарифмов

log 2 (x + 3) - log 2 (x - 1) = 2
log 5 (x + 7) - log 5 (x - 1) = 1

Открыть ответы

ОДЗ: x > 1.
log₂((x + 3)/(x - 1)) = 2.
(x + 3)/(x - 1) = 4.
x + 3 = 4x - 4.
7 = 3x.
x = 7/3.
Значение подходит.
ОДЗ: x > 1.
(x + 7)/(x - 1) = 5.
x + 7 = 5x - 5.
12 = 4x.
x = 3.
Значение подходит.

Задание 3. Коэффициент перед логарифмом

2 · log 2 (x) = log 2 (3x + 4)

Открыть решение

ОДЗ: x > 0.

Переносим 2 в степень: log₂(x²) = log₂(3x + 4).

Приравниваем аргументы: x² = 3x + 4.

x² - 3x - 4 = 0.

(x - 4)(x + 1) = 0.

x = 4 или x = -1.

По ОДЗ остаётся x = 4.

Задание 4. Логарифмы по обе стороны

log 3 (x) + log 3 (x - 2) = log 3 (3x)

Открыть решение

ОДЗ: x > 2.

Сворачиваем левую часть: log₃(x(x - 2)) = log₃(3x).

x(x - 2) = 3x.

x² - 5x = 0.

x(x - 5) = 0.

x = 0 или x = 5.

По ОДЗ остаётся x = 5.

Задание 5. Найдите ошибку

Обучающийся записал:

log 2 (x) + log 2 (x - 1) = log 2 (2x - 1)

Открыть объяснение

Аргументы нельзя складывать.

Сумма логарифмов превращается в логарифм произведения.

Правильно:

log₂(x) + log₂(x - 1) = log₂(x(x - 1)).

Самостоятельная работа

Здесь способ решения уже не указан. Сначала самостоятельно определите, какое свойство нужно использовать.

Что называют равносильными уравнениями?
Почему при решении логарифмического уравнения сначала находят ОДЗ?
log 2 (x) + log 2 (x - 2) = 3
log 3 (x + 4) - log 3 (x) = 1
2 · log 3 (x) = log 3 (5x + 6)
log 2 (x) + 1 = log 2 (10)
Почему из двух корней обычного квадратного уравнения иногда только один является корнем исходного логарифмического уравнения?

Открыть ответы

Уравнения, имеющие одинаковые множества корней.
Чтобы заранее определить значения, при которых все исходные логарифмы существуют, и затем исключить недопустимые решения.
ОДЗ: x > 2.
log₂(x(x - 2)) = 3.
x(x - 2) = 8.
x² - 2x - 8 = 0.
(x - 4)(x + 2) = 0.
x = 4 или x = -2.
По ОДЗ: x = 4.
ОДЗ: x > 0.
log₃((x + 4)/x) = 1.
(x + 4)/x = 3.
x + 4 = 3x.
4 = 2x.
x = 2.
ОДЗ: x > 0.
log₃(x²) = log₃(5x + 6).
x² = 5x + 6.
x² - 5x - 6 = 0.
(x - 6)(x + 1) = 0.
x = 6 или x = -1.
По ОДЗ: x = 6.
1 = log₂(2).
log₂(x) + log₂(2) = log₂(10).
log₂(2x) = log₂(10).
2x = 10.
x = 5.
Потому что найденный корень может нарушать условие положительности аргумента или другое условие ОДЗ исходного уравнения.

Видео по теме урока

Основное видео показывает несколько методов решения логарифмических уравнений. Дополнительное видео содержит практическое решение логарифмических уравнений с использованием свойств логарифмов.

Основное видео Rutube. В нём рассматриваются разные способы решения логарифмических уравнений, в том числе смешанные примеры.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала сформулируйте ответ самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Во что превращается сумма двух логарифмов с одинаковым основанием?

Ответ: в логарифм произведения аргументов.

02 Во что превращается разность двух логарифмов?

Ответ: в логарифм частного первого аргумента и второго аргумента.

03 Что происходит с коэффициентом перед логарифмом при свёртывании?

Ответ: он становится показателем степени аргумента.

04 Для каких аргументов существует логарифм?

Ответ: аргумент должен быть строго положительным.

05 Почему после получения квадратного уравнения нельзя сразу записывать все его корни в ответ?

Ответ: некоторые значения могут не входить в ОДЗ исходного логарифмического уравнения.

06 Что делаем после получения одинаковых логарифмов слева и справа?

Ответ: при соблюдении ОДЗ приравниваем их аргументы.

07 Как можно записать число 1 в виде логарифма по основанию 3?

Ответ:

1 = log 3 (3)

08 В каком порядке удобно решать уравнения сегодняшнего урока?

Ответ: ОДЗ → преобразование логарифмов → обычное уравнение → решение → проверка по ОДЗ.

Главное по уроку

Сегодня мы научились решать логарифмические уравнения, которые нельзя решить одним непосредственным переходом к показательной форме.

Сумма

log a (x) + log a (y) = log a (xy)

Разность

log a (x) - log a (y) = log a (x / y)

Коэффициент

k · log a (x) = log a (x^k)

Главный алгоритм: сначала ОДЗ, затем преобразование, затем решение обычного уравнения, затем проверка найденных значений.

Следующий урок - урок 21 «Логарифмические уравнения и неравенства». В нём перейдём к более сложным логарифмическим уравнениям: различным основаниям, замене переменной и уравнениям, которые сводятся к квадратному уравнению относительно самого логарифма.

21 Урок 21 Логарифмические уравнения и неравенства Открыть урок Свернуть урок

Урок 21. Логарифмические уравнения и неравенства

На предыдущих двух уроках мы научились решать простейшие логарифмические уравнения и уравнения, в которых сначала нужно применить свойства логарифмов. Теперь рассмотрим новый приём - замену переменной. Он нужен, когда один и тот же логарифм несколько раз встречается в уравнении, в том числе во второй степени. Также разберём уравнения с разными основаниями и научимся приводить их к одному основанию.

45 минут основной работы

Что вы изучите

Основная задача - научиться видеть повторяющееся логарифмическое выражение и временно заменять его одной простой буквой.

01

Замена переменной

Разберём, зачем сложное выражение временно обозначать буквой t.

02

Квадрат логарифма

Научимся правильно читать запись, в которой в квадрат возводится значение логарифма.

03

Квадратное уравнение

После замены переменной будем решать знакомое квадратное уравнение.

04

Возврат к x

После нахождения t обязательно вернёмся к исходному логарифму.

05

Разные основания

Научимся приводить логарифмы по основаниям 2 и 4 к одному основанию.

06

Проверка

Как и раньше, будем обязательно учитывать ОДЗ.

Что такое замена переменной

Замена переменной

Замена переменной - это приём, при котором повторяющееся сложное выражение временно обозначают новой буквой. Благодаря этому исходное сложное уравнение превращается в более простое и знакомое.

Например, если в уравнении много раз встречается выражение

log 2 (x)

мы можем временно написать:

t = log 2 (x)

Буква t здесь не является новым неизвестным вместо x навсегда. Это только временное обозначение, которое помогает упростить запись.

После того как мы найдём значения t, обязательно нужно выполнить обратную замену и снова перейти к x.

Что означает квадрат логарифма

Здесь легко перепутать две совершенно разные записи.

( log 2 (x) )²

Эта запись означает: сначала вычислить логарифм, а затем полученное число возвести в квадрат.

Например, если x = 8:

log 2 (8) = 3 3² = 9

Не путайте квадрат логарифма и логарифм квадрата аргумента. Это разные выражения.

( log 2 (x) )² не то же самое, что log 2 (x²)

Как работает замена

Этап	Что происходит	Пример	Зачем
1	Находим повторяющееся выражение	log по основанию 2 от x	Именно его удобно заменить
2	Вводим новую букву	t = log по основанию 2 от x	Уравнение становится короче
3	Решаем уравнение относительно t	t² - 5t + 6 = 0	Это обычное квадратное уравнение
4	Получаем значения t	t = 2 или t = 3	Это ещё не окончательный ответ
5	Возвращаем исходную замену	log по основанию 2 от x = 2 или = 3	Теперь ищем x
6	Проверяем ОДЗ	x > 0	Получаем окончательный ответ

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Пример 1. Квадратное уравнение относительно логарифма

Решите уравнение

( log 2 (x) )² - 5 · log 2 (x) + 6 = 0

1

Находим ОДЗ

Аргументом логарифма является x.

Поэтому:

x > 0

2

Видим повторяющееся выражение

В уравнении несколько раз встречается один и тот же логарифм:

log 2 (x)

3

Вводим замену

Пусть:

t = log 2 (x)

Тогда квадрат логарифма превращается просто в t².

4

Получаем обычное квадратное уравнение

t² - 5t + 6 = 0

5

Разлагаем на множители

Нам нужны два числа, произведение которых равно 6, а сумма равна -5.

Это -2 и -3.

Поэтому:

(t - 2)(t - 3) = 0

6

Находим t

t = 2 или t = 3

7

Возвращаем замену для t = 2

log 2 (x) = 2

Значит:

x = 2² = 4

8

Возвращаем замену для t = 3

log 2 (x) = 3

Поэтому:

x = 2³ = 8

9

Проверяем ОДЗ

Требовалось: x > 0 .

4 и 8 положительны.

Ответ: x = 4; x = 8.

Алгоритм метода замены

1

Найдите ОДЗ

Для logₐ(x) обычно получаем x > 0.

2

Найдите повторяющееся выражение

Например, один и тот же log по основанию 2 от x.

3

Обозначьте его буквой t

Запишите замену отдельно, чтобы потом к ней вернуться.

4

Решите уравнение относительно t

Чаще всего получится квадратное уравнение.

5

Выполните обратную замену

Для каждого найденного t снова запишите исходный логарифм.

6

Найдите x

Решите получившиеся простейшие логарифмические уравнения.

7

Проверьте ОДЗ

Только после этого записывайте окончательный ответ.

Пример 2. Уравнение с десятичным логарифмом

Решите

(lg(x))² - lg(x) - 2 = 0

1

ОДЗ

Десятичный логарифм определён только при x > 0 .

2

Вводим замену

t = lg(x)

3

Получаем квадратное уравнение

t² - t - 2 = 0

4

Разлагаем на множители

(t - 2)(t + 1) = 0

Поэтому: t = 2 или t = -1 .

5

Возвращаем t = 2

lg(x) = 2

Основание десятичного логарифма равно 10:

x = 10² = 100

6

Возвращаем t = -1

lg(x) = -1

Значит:

x = 10^-1 = 0,1

7

Проверяем ОДЗ

100 > 0 и 0,1 > 0.

Ответ: x = 100; x = 0,1.

Что делать, если основания логарифмов разные

Прямо складывать или сравнивать такие логарифмы неудобно. Сначала нужно привести их к одному основанию.

log 4 (x) можно выразить через основание 2

log 4 (x) = 1/2 · log 2 (x)

Почему появляется 1/2?

Основание 4 можно записать как 2². Поэтому логарифм по основанию 4 изменяется в два раза по сравнению с логарифмом по основанию 2.

Пример 3. Логарифмы по основаниям 2 и 4

Решите

log 2 (x) + log 4 (x) = 6

1

ОДЗ

В обоих логарифмах аргумент равен x.

Поэтому: x > 0

2

Приводим второй логарифм к основанию 2

log 4 (x) = 1/2 · log 2 (x)

3

Подставляем в исходное уравнение

log 2 (x) + 1/2 · log 2 (x) = 6

4

Складываем одинаковые логарифмы

1 + 1/2 = 3/2.

Поэтому:

3/2 · log 2 (x) = 6

5

Находим логарифм

Умножаем обе части на 2/3:

log 2 (x) = 4

6

Переходим к степени

x = 2⁴ = 16

7

Проверяем ОДЗ

16 > 0.

Ответ: x = 16.

Если основания не являются очевидными степенями друг друга

Тогда можно использовать уже знакомую формулу перехода к новому основанию.

log a (b) = ln(b) / ln(a)

В числителе всегда стоит логарифм аргумента b, а в знаменателе - логарифм основания a.

Пример 4. Сначала приводим основания, затем делаем замену

Решите

( log 2 (x) )² - 2 · log 4 (x) - 2 = 0

1

ОДЗ

x > 0

2

Приводим log по основанию 4 к основанию 2

log 4 (x) = 1/2 · log 2 (x)

3

Учитываем коэффициент 2

2 умножить на 1/2 равно 1.

Поэтому уравнение становится:

( log 2 (x) )² - log 2 (x) - 2 = 0

4

Вводим замену

t = log 2 (x)

5

Получаем квадратное уравнение

t² - t - 2 = 0

(t - 2)(t + 1) = 0

Поэтому: t = 2 или t = -1 .

6

Возвращаем t = 2

log 2 (x) = 2

x = 4

7

Возвращаем t = -1

log 2 (x) = -1

x = 2^-1 = 1/2

8

Проверяем ОДЗ

И 4, и 1/2 больше нуля.

Ответ: x = 4; x = 1/2.

Как понять, что нужна замена

Что видим	Вероятный приём	Почему	Пример структуры
Один логарифм и его квадрат	Замена переменной	Получится квадратное уравнение	логарифм² - 5·логарифм + 6 = 0
Один и тот же логарифм много раз	Замена переменной	Сложная запись становится простой	t = log по основанию a от x
Основания 2 и 4	Привести к основанию 2	4 = 2²	log₄(x) = 1/2 log₂(x)
Основания 3 и 9	Привести к основанию 3	9 = 3²	log₉(x) = 1/2 log₃(x)
Разные неудобные основания	Формула перехода	Получаем общее основание	logₐ(b) = ln(b)/ln(a)

Передвигайте ползунок, чтобы просмотреть всю таблицу

Типичные ошибки

Ошибка 1. Принять t за окончательный ответ

t - временная переменная. После её нахождения нужно обязательно вернуться к x.

Ошибка 2. Перепутать квадрат логарифма и логарифм квадрата

Скобки показывают, что именно возводится в квадрат.

Ошибка 3. Забыть ОДЗ

При любой замене исходный логарифм всё равно должен существовать.

Ошибка 4. Потерять один корень квадратного уравнения

У квадратного уравнения может быть два допустимых значения t.

Ошибка 5. Не выполнить обратную замену для каждого t

Если найдено два значения t, каждое рассматривается отдельно.

Ошибка 6. Складывать логарифмы с разными основаниями

Сначала основания нужно привести к одному виду.

Ошибка 7. Считать log₄(x) равным 2log₂(x)

Правильно наоборот: log₄(x) = 1/2 log₂(x).

Ошибка 8. Перепутать числитель и знаменатель в формуле перехода

В числителе стоит логарифм аргумента, в знаменателе - логарифм основания.

Практические задания

Сначала определите, какой приём нужен: замена переменной или приведение оснований.

Задание 1. Выполните замену переменной

( log 2 (x) )² - 3 · log 2 (x) + 2 = 0
(lg(x))² - 3lg(x) + 2 = 0

Открыть подробное решение

ОДЗ: x > 0.
Пусть t = log₂(x).
t² - 3t + 2 = 0.
(t - 1)(t - 2) = 0.
t = 1 или t = 2.
log₂(x) = 1 → x = 2.
log₂(x) = 2 → x = 4.
Ответ: 2; 4.
ОДЗ: x > 0.
t = lg(x).
t² - 3t + 2 = 0.
t = 1 или t = 2.
lg(x) = 1 → x = 10.
lg(x) = 2 → x = 100.
Ответ: 10; 100.

Задание 2. Отрицательное значение t

( log 3 (x) )² + log 3 (x) - 2 = 0

Открыть решение

ОДЗ: x > 0.

Пусть t = log₃(x).

Получаем: t² + t - 2 = 0.

(t - 1)(t + 2) = 0.

t = 1 или t = -2.

log₃(x) = 1 → x = 3.

log₃(x) = -2 → x = 3⁻² = 1/9.

Оба значения положительны.

Ответ: 3; 1/9.

Задание 3. Приведите основания

log 3 (x) + log 9 (x) = 6

Открыть решение

ОДЗ: x > 0.

log₉(x) = 1/2 log₃(x).

Поэтому: log₃(x) + 1/2log₃(x) = 6.

3/2log₃(x) = 6.

log₃(x) = 4.

x = 3⁴ = 81.

Ответ: 81.

Задание 4. Сначала основания, потом замена

( log 2 (x) )² - 4 · log 4 (x) = 0

Открыть решение

ОДЗ: x > 0.

log₄(x) = 1/2log₂(x).

Поэтому 4log₄(x) = 2log₂(x).

Уравнение: (log₂(x))² - 2log₂(x) = 0.

t = log₂(x).

t² - 2t = 0.

t(t - 2) = 0.

t = 0 или t = 2.

log₂(x) = 0 → x = 1.

log₂(x) = 2 → x = 4.

Ответ: 1; 4.

Задание 5. Найдите ошибку

Ученик получил:

t² - 5t + 6 = 0 t = 2; t = 3

и записал ответ: x = 2; x = 3.

Открыть объяснение

Это ошибка.

Если t было введено как log₂(x), то t и x - разные величины.

Нужно выполнить обратную замену:

log₂(x) = 2 → x = 4.

log₂(x) = 3 → x = 8.

Правильный ответ: 4; 8.

Самостоятельная работа

Теперь способ решения не указан. Для каждого примера сначала определите ОДЗ, затем выберите нужный метод.

Что называется заменой переменной?
Почему найденное значение t нельзя сразу записывать как значение x?
( log 2 (x) )² - 4 · log 2 (x) + 3 = 0
(lg(x))² + lg(x) - 2 = 0
log 2 (x) + log 4 (x) = 3
log 3 (x) + log 9 (x) = 3
Чем отличается (log₂(x))² от log₂(x²)?
Как выразить log₄(x) через log₂(x)?

Открыть ответы

Временная замена повторяющегося сложного выражения новой буквой для упрощения уравнения.
Потому что t обозначает целое логарифмическое выражение, а не сам x. Нужно выполнить обратную замену.
ОДЗ: x > 0.
t = log₂(x).
t² - 4t + 3 = 0.
(t - 1)(t - 3) = 0.
t = 1 или t = 3.
x = 2 или x = 8.
Ответ: 2; 8.
ОДЗ: x > 0.
t = lg(x).
t² + t - 2 = 0.
t = 1 или t = -2.
x = 10 или x = 0,01.
Ответ: 10; 0,01.
log₄(x) = 1/2log₂(x).
3/2log₂(x) = 3.
log₂(x) = 2.
x = 4.
log₉(x) = 1/2log₃(x).
3/2log₃(x) = 3.
log₃(x) = 2.
x = 9.
В первом случае в квадрат возводится значение логарифма. Во втором случае квадрат находится внутри аргумента логарифма.
log₄(x) = 1/2log₂(x).

7-8 правильных ответов - материал усвоен уверенно.
5-6 - повторите обратную замену и приведение оснований.
3-4 - повторите алгоритм замены переменной.
0-2 - ещё раз внимательно пройдите примеры 1-3.

Видео по теме урока

Основное видео содержит метод замены в логарифмических уравнениях. Дополнительное видео целиком посвящено логарифмическим уравнениям, решаемым заменой переменной.

Основное видео Rutube. Обратите особое внимание на фрагмент с методом замены в показательных и логарифмических уравнениях, который начинается примерно с 18:50.

Открыть видео на Rutube

Вопросы для самопроверки

Сначала ответьте самостоятельно, затем откройте пояснение.

01 Что такое замена переменной?

Ответ: временное обозначение повторяющегося сложного выражения новой буквой для упрощения уравнения.

02 Какое выражение удобно заменять буквой t?

Ответ: выражение, которое повторяется несколько раз и ведёт себя как одна переменная.

03 Что нужно сделать после нахождения t?

Ответ: выполнить обратную замену и найти исходную переменную x.

04 Что означает квадрат выражения log по основанию 2 от x?

Ответ: сначала вычисляется значение логарифма, затем это значение возводится в квадрат.

05 Как выразить log по основанию 4 от x через основание 2?

log 4 (x) = 1/2 · log 2 (x)

06 Почему основания 2 и 4 удобно связать между собой?

Ответ: потому что 4 = 2².

07 Нужно ли сохранять ОДЗ при замене переменной?

Ответ: да. Замена переменной не отменяет условий существования исходных логарифмов.

08 Какой общий порядок решения уравнения методом замены?

Ответ: ОДЗ → замена → уравнение относительно t → значения t → обратная замена → значения x → проверка.

Главное по уроку

Если один и тот же логарифм несколько раз встречается в уравнении, особенно если присутствует его квадрат, удобно использовать замену переменной.

t = log a (x)

После решения уравнения относительно t необходимо обязательно выполнить обратную замену.

Если логарифмы имеют разные, но связанные основания, сначала приводим их к одному основанию.

log 4 (x) = 1/2 · log 2 (x)

При более сложных основаниях можно использовать формулу перехода:

log a (b) = ln(b) / ln(a)

И во всех случаях сохраняется общий принцип: ОДЗ → преобразование → решение → обратная замена → проверка.

Следующий урок - урок 22 «Логарифмические уравнения и неравенства». В нём перейдём непосредственно к логарифмическим неравенствам: разберём знаки >, <, ≥, ≤ и главное различие между основаниями больше 1 и основаниями от 0 до 1.

Математика Алгебра · 11 класс

Курсы учебного предмета

Алгебра и начала математического анализа

Что вы изучите

Восстановите базовые понятия

Узнаете новое определение

Научитесь вычислять

Сначала вспомним: что такое степень

Нулевой показатель

Отрицательный целый показатель

Вспомним корень n-й степени

Что означает слово «рациональный»

Степень с рациональным показателем

Как читать дробный показатель

Как переводить дробную степень в корень

Отрицательный рациональный показатель

Почему важно учитывать основание степени

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Вычислите 642/3

Определим знаменатель показателя

Запишем степень через корень

Извлечём корень

Возведём результат в квадрат

Пример 2. Вычислите 81−1/2

Уберём отрицательный показатель

Заменим степень корнем

Вычислим

Пример 3. Вычислите (1/32)−2/5

Перейдём к обратному числу

Перейдём к корню пятой степени

Извлечём корень

Завершим вычисление

Пример 4. Вычислите 810,75

Переведём десятичную дробь в обычную

Перепишем выражение

Используем корень четвёртой степени

Типичные ошибки

Ошибка 1. Перепутать числитель и знаменатель

Ошибка 2. Считать отрицательную степень отрицательным числом

Ошибка 3. Забыть условие на основание

Ошибка 4. Неверно понимать показатель 1/2

Ошибка 5. Не сократить десятичный показатель

Ошибка 6. Слишком рано пользоваться калькулятором

Практические задания

Задание 1. Представьте в виде корня

Задание 2. Вычислите

Задание 3. Отрицательный показатель

Задание 4. Десятичные показатели

Задание 5. Объясните смысл записи

Небольшая самостоятельная работа

Итоговая проверка

Видео по теме урока

Презентация

На что обратить внимание

Интерактив

Как работать с упражнением

Вопросы для самопроверки

Главное по уроку

Что вы изучите

Повторите знакомые правила

Расширите правила

Научитесь выбирать свойство

Вспомним правило на простом примере

Основные свойства степени с рациональным показателем

Свойство 1. Умножение степеней с одинаковым основанием

Свойство 2. Деление степеней с одинаковым основанием

Свойство 3. Возведение степени в степень

Степень произведения и степень частного

Пример со произведением

Пример с частным

Почему в формулах указано a > 0

Как быстро выбрать нужное свойство

Одинаковые основания умножаются

Одинаковые основания делятся

Степень возводится в степень

Произведение под степенью

Частное под степенью

Структура не подходит

Подробно разобранные примеры

Пример 1. Упростите 23/4 · 25/4

Пример 1. Вычислите 64^2/3

Пример 2. Вычислите 81^−1/2

Пример 3. Вычислите (1/32)^−2/5

Пример 4. Вычислите 81^0,75

Пример 1. Упростите 2^3/4 · 2^5/4

Пример 2. Упростите a^7/6 / a^1/3

Пример 3. Упростите (x^3/5)^10/3

Пример 4. Вычислите (16 · 81)^1/4

Пример 5. Упростите a^1/2 · a^2/3 / a^1/6

Пример 1. Упростите a^1/2 · a^3/4 · a^−1/4

Пример 2. Упростите (x^2/3)^3/4 · x^1/2